CN112286058A - 控制受限卫星编队飞行系统的时变反馈有限时间控制方法 - Google Patents

控制受限卫星编队飞行系统的时变反馈有限时间控制方法 Download PDF

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CN112286058A CN202011233304.4A CN202011233304A CN112286058A CN 112286058 A CN112286058 A CN 112286058A CN 202011233304 A CN202011233304 A CN 202011233304A CN 112286058 A CN112286058 A CN 112286058A
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Abstract

控制受限卫星编队飞行系统的时变反馈有限时间控制方法，方法包括，步骤一：建立控制受限卫星编队飞行系统的轨道动力学模型并得到状态空间方程，建立待跟踪信号模型并得到状态空间方程；步骤二：建立参量Lyapunov方程并分析其性质，通过参量Lyapunov方程的正定解，设计显式的线性时变反馈控制律，建立输出调节方程，通过输出调节方程的解，设计显式的线性时变前馈控制律，通过线性时变反馈控制律和线性时变前馈控制律设计控制受限卫星编队飞行系统的时变状态控制器；步骤三：通过构造显式的Lyapunov函数，利用参量Lyapunov方程和调节方程解的性质设计控制器参数，保证伴飞卫星在有限时间内完成跟踪任务。本发明为实现控制受限情形下卫星编队飞行系统的有限时间控制。

Description

控制受限卫星编队飞行系统的时变反馈有限时间控制方法
技术领域
本发明涉及控制受限卫星编队飞行系统的时变反馈有限时间控制方法。
背景技术
卫星编队飞行实质上是利用多个飞行中的卫星组成一定形状的系统，各颗卫星之间通 过星间通信相互联系、协同工作，共同承担空间信号的采集与处理等任务。卫星伴飞作为 一种主要的卫星编队飞行构型受到了包括美国国家航空航天局、美国空军和欧空局在内的 多家著名航空航天研究机构的广泛关注。卫星伴飞系统由目标卫星和伴飞卫星构成，其中 伴飞卫星以指定的轨迹围绕目标卫星做相对运动。从目前来看，伴飞卫星的主要作用是对 主卫星进行观测并辅助其完成相关任务。
卫星伴飞系统的控制问题可以转化为跟踪控制问题。传统的跟踪控制算法大多能够实 现闭环系统渐近跟踪，即系统状态在时间趋于无穷时才能完成对轨迹的跟踪任务。然而传 统的跟踪控制算法并不能满足一些特殊的任务需求，即有限时间跟踪控制任务。有限时间 控制器实现了闭环系统能在有限时间内收敛到期望状态的需求，另一方面，受执行机构推 力的限制，伴飞卫星只能提供有限的加速度，如果在进行控制器的设计中不考虑此问题， 理论计算需要的产生的加速度可能会大于推力器实际能产生的加速度，轻者影响控制效果， 重者甚至会导致系统不稳定。因此，针对控制受限卫星伴飞系统设计有限时间跟踪控制算 法具有重要的理论与工程意义。
目前，传统卫星伴飞系统的有限时间控制大都采用了非光滑反馈控制方法，例如滑模 控制算法等。然而该方法会带来抖振、控制器输入幅值较大等缺点。
发明内容
本发明为实现控制受限情形下的卫星编队飞行任务，而提供了一种基于光滑时变反馈 的控制受限卫星编队飞行系统的时变反馈有限时间控制方法。
控制受限卫星编队飞行系统的时变反馈有限时间控制方法，它包括：
步骤一：建立控制受限卫星编队飞行系统的轨道动力学模型并得到状态空间方程，建 立待跟踪信号模型并得到状态空间方程；
步骤二：建立参量Lyapunov方程并分析其性质，通过参量Lyapunov方程的正定解P(γ)，设计显式的线性时变反馈控制律，然后建立输出调节方程，通过输出调节方程的解，设计显式的线性时变前馈控制律，最后通过线性时变反馈控制律和线性时变前馈控制律设计控制受限卫星编队飞行系统的时变状态控制器；
步骤三：通过构造显式的Lyapunov函数，利用参量Lyapunov方程和调节方程解的性 质设计控制器参数，保证伴飞卫星在有限时间内完成跟踪控制任务。
本发明相比现有技术的有益效果是：
控制受限卫星编队飞行系统的时变反馈有限时间控制方法，本发明所提出的方法最显 著的优点是，针对控制受限情形下的卫星编队飞行系统，设计者通过参量Lyapunov方程 的正定解和调节方程的唯一解，设计显式的时变状态控制律，通过构造显式的Lyapunov函数，保证卫星伴飞系统在有限时间内完成伴飞任务。
通过求解步骤二的参量Lyapunov方程和调节方程，得到控制受限情形下的显式时变 有限时间跟踪控制控制律，并且仿真结果说明：基于时变反馈控制律的闭环系统在有限时 间内实现跟踪控制任务，即伴飞卫星在有限时间内完成对给定轨迹的跟踪。
下面结合附图和实施方式对本发明作进一步地说明：
附图说明
图1是不同γ(t)情况下伴飞卫星的轨迹曲线；
图2是所设计的控制器中控制信号的变化曲线。
具体实施方式
具体实施方式一：控制受限航天器交会控制系统的时变反馈有限时间镇定方法，它按 以下步骤实现：
步骤一：建立控制受限卫星编队飞行系统的轨道动力学模型并得到状态空间方程，建 立待跟踪信号模型并得到状态空间方程；
步骤二：建立参量Lyapunov方程并分析其性质，通过参量Lyapunov方程的正定解P(γ)，设计显式的线性时变反馈控制律，然后建立输出调节方程，通过输出调节方程的解，设计显式的线性时变前馈控制律，最后通过线性时变反馈控制律和线性时变前馈控制律设计控制受限卫星编队飞行系统的时变状态控制器；
步骤三：通过构造显式的Lyapunov函数，利用参量Lyapunov方程和调节方程解的性 质设计控制器参数，保证伴飞卫星在有限时间内完成跟踪任务。
本发明所涉及的领域为卫星编队飞行系统，所对应的控制问题为给定信号的跟踪问题， 即当给定信号为零时，所设计的控制器可以使得系统稳定，当给定信号不为零时，所设计 的控制器使得伴飞卫星能跟踪给定信号。简而言之，反馈控制律的意义在于使得闭环系统 稳定，前馈控制律的意义在于使得系统的输出信号可以跟踪给定的信号。
具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是：步骤一具体为：建立卫星编队飞行系统的数学模型：考虑目标卫星运行在平面圆轨道上的情形，其中Re是地球 的轨道半径，rref是目标卫星的轨道半径，iref是目标卫星参考轨道的初始倾角，J2是地球 位势的二次球谐函数中的位势常数，θ是目标卫星和追赶卫星之间的相角，(x1，x2)是坐标 原点在目标卫星质心上右手坐标系的坐标，
Figure BDA0002765919560000031
是由于空气动力阻力而产生的在 方向(x1，x2)上的附加加速度，M是星体的质量，G是引力常数，μ＝GM是引力参数，
Figure BDA0002765919560000032
是目标卫星的轨道速率，目标卫星和伴飞卫星的在平面内的非线性相对运 动方程为：
Figure BDA0002765919560000033
其中
Figure RE-GDA0002828088270000034
定义
Figure RE-GDA0002828088270000035
定义rrel为目标卫星和追赶卫星的相对距离，则目标卫星和伴飞卫星的在平面内的非线性 相对运动方程(1)的初始状态为
Figure RE-GDA0002828088270000036
x2(0)＝rrelsin(θ),
Figure RE-GDA0002828088270000037
Figure RE-GDA0002828088270000038
由于只考虑目标卫星和伴飞卫星的在平面内运动，因此可得iref＝0，定义
Figure RE-GDA0002828088270000039
和
Figure RE-GDA00028280882700000310
Figure RE-GDA00028280882700000311
其中δa是由于控制作用引起的旋转角的变化，x(t)表示状态向量， u(t)表示控制输入。则目标卫星和伴飞卫星的在平面内的非线性相对运动方程线性化后 的方程为：
Figure BDA00027659195600000312
其中：
Figure BDA00027659195600000313
amax＞0表示空气动力阻力以及卫星动力系统可以提供的最大加速度，
Figure BDA00027659195600000314
Figure BDA00027659195600000315
I2表示2阶单位矩阵；By是与空气阻力有关的常数。
具体实施方式三、本实施方式进一步限定的是：步骤二具体过程为：建立待跟踪信号 模型：卫星编队飞行的任务是驱动状态向量[x1,x2]T来跟踪的给定信号
Figure RE-GDA0002828088270000041
其中r和wref是给定的常数。因此给定信号可用以下线性状态方程描述：
Figure BDA0002765919560000042
其中，
Figure BDA0002765919560000043
b＝r，跟踪误差e(t)可用以下方程描述：
e(t)＝Cx(t)+Dw(t) (4)
其中，
Figure BDA0002765919560000044
观察式(4)可知，当e(t)趋于零时，卫星编 队飞行跟踪任务完成。
具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一、二或三不同的是：步骤二的过程具 体为：
步骤2.1：构建参量Lyapunov方程
ATP(γ)+P(γ)A-P(γ)BBTP(γ)+γP(γ)＝0 (5)
其中
Figure BDA0002765919560000045
t∈[0，T)；γ0＞0为待设计的常数；
Figure BDA0002765919560000046
α4＝α2-α3；
Figure BDA0002765919560000047
α3是待设计的常数；δc(γ0)≥1是有关于γ0的常数；
由上述分析可知γ＞0，结合系统矩阵A是临界稳定这一条件，保证式(5)所示参量Lyapunov方程存在唯一正定解P(γ)；且P(γ)具有以下性质：
·性质1：π(γ)＝tr(BTPB)＝2tr(A)+nγ，其中n为系统(2)的阶数，tr(BTPB)表 示矩阵BTPB的迹，tr(A)表示矩阵A的迹。由于系统(2)中矩阵A的特征值全在 虚轴上，因此，tr(A)＝0，π(γ)＝tr(BTPB)＝nV＞0；
·性质2：
Figure BDA0002765919560000048
满足
Figure BDA0002765919560000049
且
Figure BDA00027659195600000410
与P(γ)的关系为：
Figure BDA00027659195600000411
Figure BDA00027659195600000412
步骤2.2：构建基于式(5)时变反馈增益：
K(γ)＝BTP(γ) (6)
步骤2.3：构建调节方程：
Figure BDA00027659195600000413
其中，Π和Γ即为调节方程(7)的解；
步骤2.4：构建基于式(6)和(7)的线性时变前馈增益：
L(γ)＝Γ+K(γ)Π (8)
步骤2.5：构建物理可实现的时变控制器：
首先基于式(6)和(8)构建时变控制器：
u(t)＝-K(γ)x(t)+L(γ)w(t) (9)
可见，本发明构建物理可实现的时变控制器不仅包括反馈控制信号(即-K(γ)x(t))， 还包括前馈控制信号L(γ)w(t)，其目的就是使得闭环系统的输出可以跟踪给定的信号。
其中反馈增益K(γ)由参量Lyapunov方程的正定解得到，即K(γ)＝BTP(γ)，其中P(γ)为 Lyapunov方程的唯一正定解；前馈增益L(γ)由反馈增益和调节方程的唯一解构造，即 L(γ)＝Γ+K(γ)Π。
则闭环控制系统(2)、(3)、4)和(9)可表示为：
Figure BDA0002765919560000051
观察
Figure BDA0002765919560000052
t∈[0，T1)可得：当时间t趋于T1，γ趋于正无穷；观察性质2可得：γ趋 于正无穷，则P(γ)趋于正无穷；观察式(6)可得：P(γ)趋于正无穷，则K(γ)趋于无穷。 观察式(8)可得：K(γ)趋于正无穷，则L(γ)趋于无穷。因此基于式(6)和(8)的时变控制器(9)是物理不可实现的。此外，γ在时间区域t∈[T1，+∞)内没有被定义，导致时 变控制器(9)在时间区域t∈[T1，+∞)内没有被定义；为了设计物理可实现的时变控制器， 给出一种γ的设计方法；
Figure BDA0002765919560000053
其中
Figure BDA0002765919560000054
是被待设计的参数。
具体实施方式五：本实施方式与具体实施方式一不同的是：步骤三具体为：
步骤3.1：为了方便分析，做以下的状态变换：定义χ(t)＝x(t)-Πw(t)，利用调节方 程(7)，闭环系统(10)可重新写为
Figure BDA0002765919560000055
观察闭环系统(12)可知：χ(t)趋于零，则e(t)趋于零。对比闭环系统(10)和(12)可知，通过线性变换χ(t)＝x(t)-Πw(t)，跟踪控制问题转化为扰动情况下的镇定问题。为 方便起见，以闭环系统(12)为对象进行稳定性分析。
步骤3.2：为了实现控制受限卫星编队飞行系统的时变反馈有限时间控制，需要对外 部系统(3)做以下要求：存在一个集合Ω和一个常数
Figure BDA0002765919560000061
使得对于所有的w(0)∈Ω，
Figure BDA0002765919560000062
其中w(0)为w(t)在t＝0时刻的值，||Γw(t)||∞为Fw(t)的无穷范数。
步骤3.3：|ui(t)|≤umax，i＝1，2情形下闭环系统Lyapunov稳定性检验
定义χ＝χ(t)，定义以下凸包：
Figure BDA0002765919560000063
定义以下Lyapunov函数：
V(t，χ)＝π(γ)χTP(γ)χ (15)
由性质1可知V(t，χ)≥0，
Figure BDA0002765919560000064
当χ∈ξ(γ)时，利用性质1可得：
Figure BDA0002765919560000065
其中Bi表示为矩阵B的第i列。由式(16)可知
Figure BDA0002765919560000066
其中||BTPχ||∞为BTPχ的无穷范数。由式(13)和(17)可知
Figure BDA0002765919560000067
因此闭环系统(12)可写为
Figure BDA0002765919560000068
Lyapunov函数V(t，χ)沿着闭环系统(19)的时间导数为：
Figure RE-GDA0002828088270000069
由
Figure BDA00027659195600000610
可得
Figure BDA00027659195600000611
因此，利用性质2可得
Figure BDA00027659195600000612
式(20)可 继续写为：
Figure BDA0002765919560000071
由
Figure BDA0002765919560000072
可得
Figure BDA0002765919560000073
因此，式(21)可继续写为
Figure BDA0002765919560000074
由式(22)可得：
Figure BDA0002765919560000075
式(23)表明：对于任意的χ(0)∈ξ(γ0)，可得
Figure BDA0002765919560000076
其中，χ(0) 为状态χ(t)在t＝0时刻的值；
步骤3.4：|ui(t)|≤umax，i＝1，2情形下闭环系统状态收敛速度检验
由式(22)可得：
V(t，χ)≤eφV(t(0)，χ(0)) (24)
其中V(t(0)，χ(0))为函数V(t，χ)在t＝0时刻的值，
Figure BDA0002765919560000077
因此，式 (24)可继续写为
Figure BDA0002765919560000078
其中
Figure BDA0002765919560000079
P(γ0)为γ(t)在t＝0时刻参量Lyapunov方程(5)的解，λmax(P(γ0))为P(γ0) 的最大特征值，π(γ0)为π(γ)在t＝0时刻的值，||χ(0)||为χ(0)的范数。
观察式(15)可得
V(t，χ)≥λmin(P(γ0))π(γ0)||χ(t)||2 (26)
其中λmin(P(γ0))为P(γ0)的最小特征值，||χ(t)||为χ(t)的范数。因此，由式(25)和(26) 可得
Figure BDA00027659195600000710
式(27)表明：当时间t趋于T1时，χ(t)趋于零，即e(t)趋于零。即卫星编队飞行系统跟踪 任务在有限时间T内完成。
步骤3.5：参数γ0和α3的设计方法
由
Figure BDA00027659195600000711
可知有限时间T1依赖于参数γ0，并且
Figure BDA00027659195600000712
满足
Figure BDA0002765919560000081
由式(28)可知γ0越小有限时间T1越长。另一方面，根据性质2和式(14)可知γ0越小，吸引域ξ(γ0)越大。故当umax固定时，参数γ0的设计需要在吸引域
Figure BDA0002765919560000089
和有限时间T1做一下权衡。
在另一方面，由
Figure BDA0002765919560000082
可知有限时间T1还依赖于参数α3，并且
Figure BDA0002765919560000083
满足
Figure BDA0002765919560000084
由式(29)可知当α3越小有限时间T1越短，并且当α3趋于零时，T1趋于
Figure BDA0002765919560000085
当α3越 大有限时间T1越长，并且当α3趋于α2时，T1趋于无穷大。因此可根据控制任务在[0，α2)之 间调节α3，使得有限时间T1在
Figure BDA0002765919560000086
内被合适的选取。其它步骤及参数与具体实施方 式一至四之一相同。
实施例
直接针对原始非线性方程(1)进行仿真。卫星编队飞行的相关技术参数如下表：
Figure BDA0002765919560000087
伴飞卫星需要跟踪的轨迹参数如下：r＝10，wref＝n。
因此，可直接||Γw(t)||∞≤6.5×10-5。
假设umax＝6×10-4。在仿真中，选择初始状态为通过求解方程 π(γ0)χT(0)P(γ0)χ(0)＝(6×10-4-6.5×10-5)2可得到γ0＝0.0058，在仿真中选择 δc(γ0)＝32。
考虑两种不同的案例，案例一：选取γ(t)＝γ0，t≥0，构建线性定常控制器；案例二： 通过步骤二选取γ(t)并且选择
Figure BDA0002765919560000088
a3＝0.0153，构建时变控制器。图1给出了两种案例的伴飞卫星的轨迹曲线，图2给出了第二种案例的输入信号的变化曲线。从图1可以看 出基于时变控制律的闭环系统在有限时间T1内跟踪上给定的轨迹曲线，而基于定常控制律的闭环系统无法在有限时间T1内跟踪上给定的轨迹曲线。从图1可以看出在收敛阶段，所设计的时变控制律始终没有发生饱和现象，即||u(t)||∞≤umax。
本发明已以较佳实施案例揭示如上，然而并非用以限定本发明，任何熟悉本专业的技 术人员，在不脱离本发明技术方案范围内，当可以利用上述揭示的结构及技术内容做出些 许的更动或修饰为等同变化的等效实施案例，均仍属本发明技术方案范围。

Claims (5)

1.控制受限卫星编队飞行系统的时变反馈有限时间控制方法，其特征在于：它按以下步骤实现：
步骤一：建立控制受限卫星编队飞行系统的轨道动力学模型并得到状态空间方程，建立待跟踪信号模型并得到状态空间方程；
步骤二：建立参量Lyapunov方程并分析其性质，通过参量Lyapunov方程的正定解P(γ)，设计显式的线性时变反馈控制律，然后建立输出调节方程，通过输出调节方程的解，设计显式的线性时变前馈控制律，最后通过线性时变反馈控制律和线性时变前馈控制律设计控制受限卫星编队飞行系统的时变状态控制器；
步骤三：通过构造显式的Lyapunov函数，利用参量Lyapunov方程和调节方程解的性质设计控制器参数，保证伴飞卫星在有限时间内完成跟踪任务。
2.根据权利要求1所述的控制受限卫星编队飞行系统的时变反馈有限时间控制方法，其特征在于：步骤一具体为：建立卫星编队飞行系统的数学模型：考虑目标卫星运行在平面圆轨道上的情形，其中Re是地球的轨道半径，rref是目标卫星的轨道半径，iref是目标卫星参考轨道的初始倾角，J2是地球位势的二次球谐函数中的位势常数，θ是目标卫星和伴飞卫星之间的相角，(x1，x2)是坐标原点在目标卫星质心上右手坐标系的坐标，
Figure RE-RE-FDA0002828088260000011
是由于空气动力阻力而产生的在方向(x1，x2)上的附加加速度，M是星体的质量，G是引力常数，μ＝GM是引力参数，
Figure RE-RE-FDA0002828088260000012
是目标卫星的轨道速率，则目标卫星和伴飞卫星的在平面内的非线性相对运动方程为：
Figure RE-RE-FDA0002828088260000013
其中
Figure RE-RE-FDA0002828088260000014
定义
Figure RE-RE-FDA0002828088260000015
定义rrel为目标卫星和追赶卫星的相对距离，则目标卫星和伴飞卫星的在平面内的非线性相对运动方程(1)的初始状态为
Figure RE-RE-FDA0002828088260000016
x2(0)＝rrelsin(θ)，
Figure RE-RE-FDA0002828088260000017
Figure RE-RE-FDA0002828088260000018
由于目标卫星和伴飞卫星在平面内运动，因此，可得iref＝0，定义
Figure RE-RE-FDA0002828088260000019
和
Figure RE-RE-FDA00028280882600000110
其中δa是由于控制作用引起的旋转角的变化，则目标卫星和伴飞卫星的在平面内的非线性相对运动方程线性化后的方程为：
Figure RE-RE-FDA0002828088260000021
其中：
Figure RE-RE-FDA0002828088260000022
amax＞0表示空气动力阻力以及卫星动力系统可以提供的最大加速度，
Figure RE-RE-FDA0002828088260000023
Figure RE-RE-FDA0002828088260000024
I2表示2阶单位矩阵；By是与空气阻力有关的常数。
3.根据权利要求1或2所述的控制受限卫星编队飞行系统的时变反馈有限时间控制方法，其特征在于：
步骤一建立待跟踪信号模型过程为：卫星编队飞行的任务是驱动状态向量[x1，x2]T来跟踪的给定信号
Figure RE-RE-FDA0002828088260000025
其中r和wref是给定的常数；因此，给定信号可用以下线性状态方程描述：
Figure RE-RE-FDA0002828088260000026
其中，
Figure RE-RE-FDA0002828088260000027
b＝r；跟踪误差e(t)可用以下方程描述：
e(t)＝Cx(t)+Dw(t) (4)
其中，
Figure RE-RE-FDA0002828088260000028
观察式(4)可知，当e(t)趋于零时，卫星编队飞行跟踪任务完成。
4.根据权利要求3所述的控制受限卫星编队飞行系统的时变反馈有限时间控制方法，其特征在于：步骤二的具体过程为：
2.1构建参量Lyapunov方程
ATP(γ)+P(γ)A-P(γ)BBTP(γ)+γP(γ)＝0 (5)
其中
Figure RE-RE-FDA0002828088260000029
t∈[0，T)；γ0＞0为待设计的常数；
Figure RE-RE-FDA00028280882600000210
α4＝α2-α3；
Figure RE-RE-FDA00028280882600000211
α3是待设计的常数；δc(γ0)≥1是有关于γ0的常数；
由上述分析可知γ＞0，结合系统矩阵A是临界稳定这一条件，保证式(5)所示参量Lyapunov方程存在唯一正定解P(γ)，且P(γ)具有以下性质：
性质1：π(γ)＝tr(BTPB)＝2tr(A)+nγ，其中n为系统(2)的阶数，tr(BTPB)表示矩阵BTPB的迹，tr(A)表示矩阵A的迹，由于系统(2)中矩阵A的特征值全在虚轴上，因此，tr(A)＝0，π(γ)＝tr(BTPB)＝nγ＞0；
性质2：
Figure RE-RE-FDA0002828088260000031
满足
Figure RE-RE-FDA0002828088260000032
且
Figure RE-RE-FDA0002828088260000033
与P(γ)的关系为：
Figure RE-RE-FDA0002828088260000034
2.2、构建基于式(5)时变反馈增益：
K(γ)＝BTP(γ) (6)
2.3、构建调节方程：
Figure RE-RE-FDA0002828088260000035
其中
Figure RE-RE-FDA0002828088260000036
和
Figure RE-RE-FDA0002828088260000037
即为调节方程(7)的解；
2.4、构建基于式(6)和(7)的线性时变前馈增益：
Figure RE-RE-FDA0002828088260000038
2.5、构建物理可实现的时变控制器：
首先基于式(6)和(8)构建时变控制器
u(t)＝-K(γ)x(t)+L(γ)w(t)， (9)
则闭环控制系统(2)、(3)、(4)和(9)可表示为：
Figure RE-RE-FDA0002828088260000039
观察
Figure RE-RE-FDA00028280882600000310
t∈[0，T1)可得：当时间t趋于T1，γ趋于正无穷；观察性质2可得：γ趋于正无穷，则P(γ)趋于正无穷；观察式(6)可得：P(γ)趋于正无穷，则K(γ)趋于无穷，观察式(8)可得：K(γ)趋于正无穷，则L(γ)趋于无穷，因此，基于式(6)和(8)的时变控制器(9)是物理不可实现的，此外，γ在时间区域t∈[T1，+∞)内没有被定义，导致时变控制器(9)在时间区域t∈[T1，+∞)内没有被定义，为了设计物理可实现的时变控制器，给出一种γ的设计方法；
Figure RE-RE-FDA00028280882600000311
其中
Figure RE-RE-FDA00028280882600000312
是被待设计的参数，至此完成控制受限卫星编队飞行系统的时变状态控制器的设计。
5.根据权利要求1或4所述的控制受限卫星编队飞行系统的时变反馈有限时间控制方法，其特征在于：步骤三的具体过程为：
3.1、状态变换：定义
Figure RE-RE-FDA0002828088260000049
利用调节方程(7)，闭环系统(10)可重新写为：
Figure RE-RE-FDA0002828088260000041
观察闭环系统(12)可知：X(t)趋于零，则e(t)趋于零；对比系统(10)和(12)可知，通过线性变换
Figure RE-RE-FDA00028280882600000410
跟踪控制问题转化为扰动情况下的镇定问题，以闭环系统(12)为对象进行稳定性分析；
3.2、实现控制受限卫星编队飞行系统的时变反馈有限时间控制，对外部系统(3)做以下要求：存在一个集合Ω和一个常数
Figure RE-RE-FDA0002828088260000042
使得对于所有的w(0)∈Ω；
Figure RE-RE-FDA0002828088260000043
其中w(0)为w(t)在t＝0时刻的值，
Figure RE-RE-FDA00028280882600000411
为
Figure RE-RE-FDA00028280882600000412
的无穷范数；
3.3、|ui(t)|≤umax，i＝1，2情形下闭环系统Lyapunov稳定性检验
定义X＝X(t)，定义以下凸包：
Figure RE-RE-FDA0002828088260000044
定义以下Lyapunov函数；
V(t，X)＝π(γ)XTP(γ)X (15)
由性质1可知
Figure RE-RE-FDA0002828088260000045
当X∈ξ(γ)时，利用性质1可得：
Figure RE-RE-FDA0002828088260000046
其中Bi表示为矩阵B的第i列，由式(16)可知
Figure RE-RE-FDA0002828088260000047
其中||BTPX||∞为BTPX的无穷范数，由式(13)和(17)可知
Figure RE-RE-FDA0002828088260000048
因此，闭环系统(12)可写为
Figure RE-RE-FDA0002828088260000051
Lyapunov函数V(t，X)沿着闭环系统(19)的时间导数为：
Figure RE-RE-FDA0002828088260000052
由
Figure RE-RE-FDA0002828088260000053
可得
Figure RE-RE-FDA0002828088260000054
因此，利用性质2可得
Figure RE-RE-FDA0002828088260000055
式(20)可继续写为
Figure RE-RE-FDA0002828088260000056
由
Figure RE-RE-FDA0002828088260000057
可得
Figure RE-RE-FDA0002828088260000058
因此，式(21)可继续写为
Figure RE-RE-FDA0002828088260000059
由式(22)可得：
Figure RE-RE-FDA00028280882600000510
式(23)表明：对于任意的X(0)∈ξ(γ0)，可得
Figure RE-RE-FDA00028280882600000511
其中，X(0)为状态X(t)在t＝0时刻的值；
3.4、|ui(t)|≤umax，i＝1，2情形下闭环系统状态收敛速度检验
由式(22)可得：
V(t，X)≤eφV(t(0)，X(0)) (24)
其中V(t(0)，X(0))为函数V(t，X)在t＝0时刻的值，
Figure RE-RE-FDA00028280882600000512
因此，式(24)可继续写为
Figure RE-RE-FDA00028280882600000513
其中
Figure RE-RE-FDA00028280882600000514
P(γ0)为γ(t)在t＝0时刻参量Lyapunov方程(5)的解，λmax(P(γ0))为P(γ0)的最大特征值，π(γ0)为π(γ)在t＝0时刻的值，||X(0)||为X(0)的范数；
观察式(15)可得
V(t，X)≥λmin(P(γ0))π(γ0)||X(t)||2 (26)
其中λmin(P(γ0))为P(γ0)的最小特征值，||X(t)||为X(t)的范数，因此，由式(25)和(26)可得
Figure RE-RE-FDA0002828088260000061
式(27)表明：当时间t趋于T1时，X(t)趋于零，即e(t)趋于零，即卫星编队飞行系统跟踪任务在有限时间T内完成；
3.5、参数γ0和α3的设计方法
由
Figure RE-RE-FDA0002828088260000062
可知有限时间T1依赖于参数γ0，并且
Figure RE-RE-FDA0002828088260000063
满足
Figure RE-RE-FDA0002828088260000064
由式(28)可知γ0越小有限时间T1越长，另一方面，根据性质2和式(14)可知γ0越小，吸引域ξ(γ0)越大，故当umax固定时，参数γ0的设计需要在吸引域
Figure RE-RE-FDA0002828088260000065
和有限时间T1做一下权衡；
在另一方面，由
Figure RE-RE-FDA0002828088260000066
可知有限时间T1还依赖于参数α3，并且
Figure RE-RE-FDA0002828088260000067
满足
Figure RE-RE-FDA0002828088260000068
由式(29)可知，当α3越小有限时间T1越短，并且当α3趋于零时，T1趋于
Figure RE-RE-FDA0002828088260000069
当α3越大有限时间T1越长，并且当α3趋于α2时，T1趋于无穷大，因此，可根据控制任务在[0，α2)之间调节α3，在
Figure RE-RE-FDA00028280882600000610
内选取合适的有限时间T1。
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