CN110727199A - 控制受限航天器交会控制系统的时变反馈有限时间镇定方法 - Google Patents

Abstract

控制受限航天器交会控制系统的时变反馈有限时间镇定方法，所述镇定方法步骤包括，步骤一：建立控制受限航天器交会控制系统的轨道动力学模型，并得到状态空间方程；步骤二：建立参量Lyapunov方程并分析其性质，通过参量Lyapunov方程的正定解P(γ)，设计显式的控制受限情形下的线性时变反馈控制律，即设计控制受限航天器交会控制系统的状态反馈控制器；步骤三：通过构造显式的Lyapunov函数，利用参量Lyapunov方程解的性质设计控制器参数，保证追踪航天器和目标航天器在有限时间内完成交会任务。本发明为实现控制受限情形下的航天器交会控制系统的有限时间镇定。

Description

控制受限航天器交会控制系统的时变反馈有限时间镇定方法

技术领域

本发明涉及一种航天器轨道交会空间操作控制方法，特别涉及控制受限航天器交会控制系统的时变反馈有限时间镇定方法。

背景技术

航天器轨道交会是追赶航天器主动追踪、靠近目标航天器，使两者能实现交会的空间操作。航天器交会的轨道控制是完成一些空间操作如在轨装配、空间站补给和空间维修的先决条件。

传统的控制算法大多能够实现闭环系统渐近稳定，即系统状态随时间趋于无穷而收敛到平衡点。而有限时间控制器实现了闭环系统能在有限时间内收敛到期望状态的需求，并且在实际环境中因为航天器时刻受到来自外界的干扰和模型不确定性的影响，因此设计的控制器应具备较好的鲁棒特性，已有研究成果的大量仿真表明有限时间控制对干扰和不确定性的抑制能力大于传统的渐近控制。因此针对航天器交会系统设计有限时间控制器具有重要的工程意义。

受执行机构影响，追赶航天器的只能提供有限推力，如果在进行控制器的设计中不考虑此问题，理论计算需要的产生的加速度可能会大于推力器实际能产生的加速度，轻者影响控制效果，重者甚至会导致灾难性后果。在有限推力情况下(控制受限)，难以实现航天器有限时间交会任务。另外，传统航天器轨道交会的有限时间控制大都采用了非光滑反馈控制方法，例如滑模控制算法等。然而该方法会带来抖振、控制器输入幅值较大等缺点。

发明内容

本发明为提供一种控制受限航天器交会控制系统的时变反馈有限时间镇定方法，以解决不能实现控制受限情形下的航天器有限时间交会任务。该镇定方法基于时变反馈的控制受限航天器交会，能实现控制受限情形下的航天器有限时间交会任务。

控制受限航天器交会控制系统的时变反馈有限时间镇定方法，它包括：

步骤一：建立控制受限航天器交会控制系统的轨道动力学模型，并得到状态空间方程；

步骤二：建立参量Lyapunov方程并分析其性质，通过参量Lyapunov方程的正定解P(γ)，设计显式的控制受限情形下的线性时变反馈控制律，即设计控制受限航天器交会控制系统的状态反馈控制器；

步骤三：通过构造显式的Lyapunov函数，利用参量Lyapunov方程解的性质设计控制器参数，保证追踪航天器和目标航天器在有限时间T₁内完成交会任务。

本发明相比现有技术的有益效果是

本发明提出一种不同与以往的控制器设计方法，即为控制受限航天器交会控制系统的时变反馈有限时间镇定方法，本发明所提出的方法最显著的优点是，针对控制受限情形下的航天器交会控制系统，设计者通过参量Lyapunov方程的正定解，设计显式的时变反馈控制律，通过构造显式的Lyapunov函数，保证追踪航天器和目标航天器在有限时间T₁内完成交会任务。

通过求解步骤二的参量Lyapunov方程，得到控制受限情形下的显式时变有限时间反馈控制律，并且仿真结果说明：基于时变反馈控制律的闭环系统比基于定常反馈控制律的闭环系统收敛更快，并且能在有限时间T₁内收敛到平衡点。

下面结合附图和具体实施方式对本发明的技术方案作进一步地说明：

附图说明

图1是本发明实施例的步骤二中式(4)所示函数的变化曲线图；

图2是不同控制器下，公式(9)下所示闭环系统的状态变化曲线图；

图3是公式(8)下所设计的时变控制器的变化曲线图；

图4是控制受限航天器交会控制系统在不同初始状态下，公式(9)所示的闭环系统的变化曲线图；

图5是不同输入受限条件下，公式(9)下得到闭环系统的变化曲线图。

具体实施方式

具体实施方式一：控制受限航天器交会控制系统的时变反馈有限时间镇定方法，它包括：

步骤一、建立控制受限航天器交会控制系统的轨道动力学模型，并得到状态空间方程；

步骤二、建立参量Lyapunov方程并分析其性质，通过参量Lyapunov方程的正定解P(γ)，设计显式的控制受限情形下的线性时变反馈控制律，即设计控制受限航天器交会控制系统的状态反馈控制器；

步骤三、通过构造显式的Lyapunov函数，利用参量Lyapunov方程解的性质设计控制器参数，保证追踪航天器和目标航天器在有限时间T₁内完成交会任务。

具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是：步骤一具体为：

建立航天器交会控制系统的数学模型：目标航天器和追赶航天器的非线性相对运动方程为：

其中

引入目标航天器轨道坐标系o-xyz，其原点o位于目标航天器的质心，x轴沿着目标航天器运行轨道切线的方向，z轴沿着圆轨道半径的方向，y轴指向轨道平面外与x轴和z轴构成右手坐标系，其中，是在追赶航天器推力器上的归一化了的加速度矢量，a₁，a₂，a₃为推力器在x轴、z轴和y轴方向上产生加速度，u为归一化输入向量，其中，u₁，u₂，u₃分别是推力器在x轴、z轴和y轴方向上产生的归一化加速度，u_max＞0表示推力器在三个方向上提供的最大加速度，R₀是目标航天器的轨道半径，(x₁，x₂，x₃)是定义坐标原点在目标航天器质心上右手坐标系下，对应坐标x轴，z轴，y轴，追赶航天器相对目标航天器的位置，μ是引力参数，目标航天器的轨道速率为

当推力器在三个方向上提供的最大加速度相同时，

定义

是状态向量，线性化后的方程为：

公式(2)即为航天器交会控制系统的状态空间方程

其中：A是航天器交会控制系统的状态矩阵，B是航天器交会系统的输入矩阵。

具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式二不同的是：公式(1)中，μ＝GM，μ是引力参数，M是星体的质量，G是引力常数。

具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式二或三不同的是：所述航天器交会控制系统的状态矩阵A为：

所述航天器交会系统的输入矩阵B为：B＝u_max[0，I₂]^T；

σ(u(t))＝sign(u(t))min{1，|u(t)|}；I₂表示2阶单位矩阵；I₃表示3阶单位矩阵。

具体实施方式五：本实施方式与具体实施方式一至四之一不同的是：步骤二的具体过程为：

步骤5.1、构建参量Lyapunov方程

A^TP(γ)+P(γ)A-P(γ)BB^TP(γ)+γP(γ)＝0， (3)

其中

t∈[0，T₁)；γ₀＞0为待设计的常数；

δ_c(γ₀)≥1是有关于γ₀的常数；

进一步分析δ_c(γ₀)可得：

其中λ_max(U(γ)W^-1(γ))表示矩阵U(γ)W^-1(γ)的最大特征值；π(γ)是有关于γ的函数；U(γ)是以下Lyapunov方程的唯一正定解；

其中I₆表示6阶单位矩阵；W(γ)＝P^-1(γ)，标量δ_c(γ₀)可通过离散γ得到：

其中γ_i＝γ₀+iΔγ,Δγ是一个充分小的正数，称作步长，N是一个充分大的数；

由上述分析可知γ＞0，结合系统矩阵A是临界稳定这一条件，保证式(3)所示参量Lyapunov方程存在唯一正定解P(γ)；且P(γ)具有以下性质：

性质1：π(γ)＝tr(B^TPB)＝2tr(A)+nγ,其中n为非线性相对运动方程(1)的阶数，tr(B^TPB)表示矩阵B^TPB的迹，tr(A)表示矩阵A的迹，由于状态空间方程(2)中矩阵A的特征值全在虚轴上，因此，tr(A)＝0，π(γ)＝tr(B^TPB)＝nγ＞0；

性质2：且P(γ)下界为：

其中p＝p(A，B)是有关于(A，B)的常数，α(A)为与矩阵A最小特征值λ_min(A)相关的约当矩阵块的最大阶数,

表示矩阵A最小特征值的实部；由于系统(2)中矩阵A的特征值全在虚轴上，因此，

性质3：

满足

且与P(γ)的关系为：

步骤5.2、构建物理可实现时变反馈增益：

首先构建基于式(3)的时变反馈增益：

K(γ)＝B^TP(γ) (6)

观察t∈[0，T₁)可得：当时间t趋于T₁，γ趋于正无穷；性质2可得：γ趋于正无穷，则P(γ)趋于正无穷；式(6)可得：P(γ)趋于正无穷，则K(γ)趋于无穷；因此基于式(3)的时变反馈增益(6)是物理不可实现的；此外，γ在时间区域t∈[T₁，+∞)内没有被定义，导致时变反馈增益(6)在时间区域t∈[T₁，+∞)内没有被定义，为了设计物理可实现的时变反馈增益，给出一种γ的设计方法；

其中0＜T₁ ^*＜T₁是被待设计的参数；

步骤5.3、构建线性时变反馈控制律：

u(t)＝-K(γ)x (8)

则闭环控制系统(2)和(8)可表示为：

公式(8)表示光滑控制律，采用此种设计可有效地降低抖振，克服滑模控制方法带来抖振的现象，进一步提高控制效果；其它步骤及参数与具体实施方式一至五之一相同。

具体实施方式六：本实施方式与具体实施方式一至五之一不同的是：步骤三的具体过程为：

步骤6.1、|u_i(t)|≤1，i＝1，2，3情形下闭环系统Lyapunov稳定性检验

定义以下凸包：

ξ(γ)＝{x：π(γ)x^TP(γ)x≤4} (10)

定义以下Lyapunov函数:

V(t，x)＝π(γ)x^TP(γ)x (11)

由性质1可知V(t)≥0，

当x∈ξ(γ)时，利用性质1可得：

其中B_i表示为矩阵B的第i列；由式(12)可知对于任意的i＝1，2，3

Lyapunov函数V(t)沿着闭环系统(9)的时间导数为：

由

可得

因此

式(14)可继续写为

由

可得

因此，式(15)可继续写为

由式(16)可得：

式(17)表明：对于任意的x(0)∈ξ(γ₀)，可得V(t，x)≤4，

其中，x(0)为系统(9)在t＝0时刻的状态，

步骤4.2、|u_i(t)|≤1，i＝1，2，3情形下闭环系统状态收敛速度检验

由性质2可得：

由性质1和式(11)可得：

V(0，x(0))≤nγ₀||P(γ₀)||||x₀||² (19)

由式(17)可得：

结合式(18)、(19)和(20)可得：

结合式(17)和由

可得状态空间方程(2)的状态x(t)在有限时间T₁内趋于零，即航天器交会任务在有限时间T₁内完成；

步骤6.3、

情形下闭环系统Lyapunov稳定性检验以及闭环系统状态收敛速度检验

在步骤6.1和步骤6.2中，只提供了|u_i(t)|≤1，i＝1，2，3情形下的闭环系统Lyapunov稳定性检验以及闭环系统状态收敛速度检验方法。下面将给出

情形下闭环系统Lyapunov稳定性检验以及闭环系统状态收敛速度检验方法，其中

是u_i(t)输出的最大值；

通过选择状态空间方程(2)变成

其中|v_i(t)|≤1，i＝1，2，3，在这种情况下，我们不失一般性的假设

然后按照(6.1)和(6.2)所示步骤可得：在

情形下，对于任意的

状态空间方程(2)的状态x(t)在有限时间T内趋于零，即航天器交会任务在有限时间T₁内完成，其中吸引域

可表示为

步骤6.4：参数γ₀的设计方法

由可知有限时间T₁依赖于参数γ₀和状态空间方程(2)的矩阵参数，并且

满足

由此，即完成航天器交会任务有限时间T₁内的系统状态收敛至零的镇定。

由式(23)可知γ₀越小有限时间T越长，另一方面，根据性质3和式(22)可知γ₀越小，吸引域

越大。故当u_max固定时，参数γ₀的设计需要在吸引域

和有限时间T做一下权衡。其它步骤及参数与具体实施方式一至五之一相同。

实施例

直接针对原始非线性方程(1)进行仿真。假设目标航天器轨道42241km，轨道周期24h，轨道速率相关技术参数如下表：

从式(3)、(4)和式(5)可以看出是不依赖于u_max的数，所以，当计算

的值时，不失一般性的，我们可以假设u_max＝1，图1给出了函数

随γ的变化曲线，由图可以看出当γ＞0时，

是有界的。在仿真中，

选择初始状态为x(0)＝[-1000，1000，1000，2，-2，2]^T＝x0，通过求解方程π(γ₀)x^TP(γ₀)x＝4可得到γ₀＝0.00691，在仿真中，根据式(1)中的非线性方程，选择δ_c(γ₀)＝20.5。

选取u_max＝0.1，考虑两种不同的案例，案例一：选取γ(t)＝γ₀，t≥0，构建线性定常反馈控制器；案例二：通过步骤二选取γ(t)并且选择T₁ ^*＝T1-0.1，构建时变反馈控制器。通过求解步骤二的参量Lyapunov方程，得到控制受限情形下的显式时变有限时间反馈控制律，并且仿真结果说明：图2、图3、图4和图5中横坐标表示时间t，单位是秒(s)，图2、图4和图5纵坐标表示状态的范数即

单位是米(m),

单位是米每秒(m/s)，图3中纵坐标表示控制信号u，单位是米每二次方秒(m/s²)，图2给出了两种案例的闭环系统状态的范数变化曲线(一个是定常反馈控制器，一个是时变反馈控制器)，图3给出了两种案例的输入信号的变化曲线。从图2可以看出基于时变反馈控制律的闭环系统在有限时间T₁内收敛到平衡点附近，并且所设计的时变反馈控制律比线性定常反馈控制律在更短的时间内收敛到平衡点。有限时间T₁与初始条件γ₀和u_max紧密相关。为了验证这一结论，给定u_max＝0.1，并且选择不同的初始状态条件

图4给出了此条件下闭环系统状态范数的变化曲线，从中可以看到有限时间T₁随着i的增大(即初始状态的减小)而缩短。另一方面，选择相同的初始状态x(0)＝x₀，选择不同的幅值受限数值，即u_max＝0.1，0.5，0.9，1.3。图5给出了此条件下闭环系统状态的范数变化曲线，图5表明有限时间T₁随着u_max的增大的而缩短。

Claims (6)

1.控制受限航天器交会控制系统的时变反馈有限时间镇定方法，其特征在于：它包括：

步骤一：建立控制受限航天器交会控制系统的轨道动力学模型，并得到状态空间方程；

步骤二：建立参量Lyapunov方程并分析其性质，通过参量Lyapunov方程的正定解P(γ)，设计显式的控制受限情形下的线性时变反馈控制律，即设计控制受限航天器交会控制系统的状态反馈控制器；

步骤三：通过构造显式的Lyapunov函数，利用参量Lyapunov方程解的性质设计控制器参数，保证追踪航天器和目标航天器在有限时间T₁内完成交会任务。

2.根据权利要求1所述的控制受限航天器交会控制系统的时变反馈有限时间镇定方法，其特征在于：步骤一的具体过程为：

建立航天器交会控制系统的数学模型：目标航天器和追赶航天器的非线性相对运动方程为：

其中

引入目标航天器轨道坐标系o-xyz，其原点o位于目标航天器的质心，x轴沿着目标航天器运行轨道切线的方向，z轴沿着圆轨道半径的方向，y轴指向轨道平面外与x轴和z轴构成右手坐标系，其中，

是在追赶航天器推力器上的归一化了的加速度矢量，a₁，a₂，a₃为推力器在x轴、z轴和y轴方向上产生加速度，u为归一化输入向量，其中，u₁，u₂，u₃分别是推力器在x轴、z轴和y轴方向上产生的归一化加速度，u_max＞0表示推力器在三个方向上提供的最大加速度，R₀是目标航天器的轨道半径，(x₁，x₂，x₃)是定义坐标原点在目标航天器质心上右手坐标系下，对应坐标x轴，z轴，y轴，追赶航天器相对目标航天器的位置，μ是引力参数，目标航天器的轨道速率为

当推力器在三个方向上提供的最大加速度相同时，

定义

是状态向量，线性化后的方程为：

公式(2)即为航天器交会控制系统的状态空间方程

其中：A是航天器交会控制系统的状态矩阵，B是航天器交会系统的输入矩阵。

3.根据权利要求2所述的控制受限航天器交会控制系统的时变反馈有限时间镇定方法，其特征在于：公式(1)中，μ＝GM，μ是引力参数，M是星体的质量，G是引力常数。

4.根据权利要求2或3所述的控制受限航天器交会控制系统的时变反馈有限时间镇定方法，其特征在于：所述航天器交会控制系统的状态矩阵A为：

所述航天器交会系统的输入矩阵B为：B＝u_max[0，I₂]^T；

σ(u(t))＝sign(u(t))min{1，|u(t)|}；I₂表示2阶单位矩阵；I₃表示3阶单位矩阵。

5.根据权利要求4所述的控制受限航天器交会控制系统的时变反馈有限时间镇定方法，其特征在于：步骤二的具体过程为：

5.1、构建参量Lyapunov方程

A^TP(γ)+P(γ)A-P(γ)BB^TP(γ)+γP(γ)＝0， (3)

其中

t∈[0，T₁)；γ₀＞0为待设计的常数；

δ_c(γ₀)≥1是有关于γ₀的常数；

其中λ_max(U(γ)W^-1(γ))表示矩阵U(γ)W^-1(γ)的最大特征值；π(γ)是有关于γ的函数；U(γ)是以下公式(5)的Lyapunov方程的唯一正定解；

其中I₆表示6阶单位矩阵；W(γ)＝P^-1(γ)，标量δ_c(γ₀)可通过离散γ得到：

其中γ_i＝γ₀+iΔγ,Δγ是一个充分小的正数，称作步长，N是一个充分大的数；

γ＞0，结合系统矩阵A是临界稳定这一条件，保证式(3)所示参量Lyapunov方程存在唯一正定解P(γ)；且P(γ)具有以下性质：

性质1：π(γ)＝tr(B^TPB)＝2tr(A)+nγ,其中n为非线性相对运动方程(1)的阶数，tr(B^TPB)表示矩阵B^TPB的迹，tr(A)表示矩阵A的迹，由于状态空间方程(2)中矩阵A的特征值全在虚轴上，因此，tr(A)＝0，π(γ)＝tr(B^TPB)＝nγ＞0；

性质2：且P(γ)下界为：

其中p＝p(A，B)是有关于(A，B)的常数，α(A)为与矩阵A最小特征值λ_min(A)相关的约当矩阵块的最大阶数，

表示矩阵A最小特征值的实部；由于公式(2)中矩阵A的特征值全在虚轴上，因此，

性质3：

满足

且

与P(γ)的关系为：

5.2、构建物理可实现时变反馈增益：

首先构建基于式(3)的时变反馈增益：

K(γ)＝B^TP(γ) (6)

观察

t∈[0，T₁)可得：当时间t趋于T₁，γ趋于正无穷；性质2可得：γ趋于正无穷，则P(γ)趋于正无穷；式(6)可得：P(γ)趋于正无穷，则K(γ)趋于无穷；因此基于式(3)的时变反馈增益(6)是物理不可实现的；此外，γ在时间区域t∈[T₁，+∞)内没有被定义，导致时变反馈增益(6)在时间区域t∈[T₁，+∞)内没有被定义，为了设计物理可实现的时变反馈增益，给出一种γ的设计方法；

其中0＜T₁ ^*＜T₁是被待设计的参数；

5.3、构建线性时变反馈控制律：

u(t)＝-K(γ)x (8)

则闭环控制系统(2)和(8)可表示为：

完成控制受限航天器交会控制系统的状态反馈控制器的设计。

6.根据权利要求5所述的控制受限航天器交会控制系统的时变反馈有限时间镇定方法，其特征在于：步骤三的具体过程为：

6.1、|u_i(t)|≤1，i＝1，2，3情形下闭环系统Lyapunov稳定性检验

定义以下凸包：

ξ（γ）＝{x：π(γ)x^TP(γ)x≤4} (10)

定义以下Lyapunov函数:

V(t，x)＝π(γ)x^TP(γ)x (11)

由性质1可知V(t)≥0，当x∈ξ(γ)时，利用性质1可得：

其中B_i表示为矩阵B的第i列，由式(12)可知对于任意的i＝1，2，3

Lyapunov函数V(t)沿着闭环系统(9)的时间导数为：

由

可得

因此

式(14)可写为

由

可得

因此，式(15)可写为

由式(16)可得：

式(17)表示：对于任意的x(0)∈ξ(γ₀)，可得V(t，x)≤4，

其中，x(0)为公式

(9)闭环控制系统在t＝0时刻的状态；

6.2、|u_i(t)|≤1，i＝1，2，3情形下的闭环系统Lyapunov稳定性检验以及闭环系统状态收敛速度检验；

由性质2可得：

由性质1和式(11)可得：

V(0，x(0))≤nγ₀||P(γ)||||x₀||² (19)

由式(17)可得：

结合式(18)、(19)和(20)可得：

结合式(17)和由

可得状态空间方程(2)的状态x(t)在有限时间T₁内趋于零，即航天器交会任务在有限时间T₁内完成；

6.3、

情形下闭环系统Lyapunov稳定性检验以及闭环系统状态收敛速度检验

其中

是u_i(t)输出的最大值；

通过选择

状态空间方程(2)变成

其中|v_i(t)|≤1，i＝1，2，3，在这种情况下，我们不失一般性的假设然后按照(6.1)和(6.2)所示步骤可得：在

情形下，对于任意的

状态空间方程(2)的状态x(t)在有限时间T₁内趋于零，即航天器交会任务在有限时间T₁内完成，其中吸引域

可表示为

6.4、参数γ₀的设计方法

由可知有限时间T₁依赖于参数γ₀和控制受限航天器交会控制系统的矩阵参数A和B，并且

满

由此，实现航天器交会任务有限时间T₁内的系统状态收敛至零的镇定。

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