CN104527994A - 异面交叉快变轨道固定时间稳定姿态指向跟踪控制方法 - Google Patents

Abstract

异面交叉快变轨道固定时间稳定姿态指向跟踪控制方法，本发明涉及异面交叉快变轨道稳定姿态指向跟踪控制方法。本发明为了解决现有技术未考虑航天器的惯量不确定性，依赖于状态初值，无法自由调整收敛时间，以及飞轮在奇异方向产生的补偿力矩需要人为设计的问题。具体是按照以下步骤进行的：步骤一、设追踪星与目标星位于异面交叉轨道上，需要确定期望姿态；步骤二、期望姿态跟踪控制律的设计；步骤三、消除期望姿态跟踪控制律的抖振；步骤四、追踪星与目标星轨道交叉点的期望姿态随追踪星与目标星轨道交叉点间的距离而变化，根据期望姿态跟踪控制律来确定执行机构的配置方案，求解期望姿态控制力矩。本发明应用于卫星控制领域。

Description

异面交叉快变轨道固定时间稳定姿态指向跟踪控制方法

技术领域

本发明涉及异面交叉快变轨道稳定姿态指向跟踪控制方法。

背景技术

1957年，前苏联发射了首颗人造地球卫星，标志着人类对太空的探索历程向前推进了一大步。现如今，航天技术已成为世界上最引人关注的技术之一，它推动着人类科学技术的进步，使人类的活动领域由大气层内扩展到宇宙空间。其中，为科学研究、国民经济和军事服务的各种科学卫星与应用卫星得到很大发展，卫星已应用于生活的各个领域，如气象卫星、遥感卫星、侦察卫星、导航卫星、地球资源卫星等。而丰富的空间资源也引起各国的争夺，就像各国对制海权、制空权的争夺一样，空天战将成为未来战争的一种重要模式。所以，卫星的军事用途显而易见。

激光武器是目前对卫星软打击的最主要手段，星载激光武器由于距离目标较近并且不需要穿透大气层，只需要很小的功率就可使目标卫星致盲。对目标的跟踪瞄准是激光武器的关键技术之一，所以要求天基激光武器载体卫星具有高精度姿态指向控制能力；另外在对目标卫星的观测监视时，也需要观测仪器的观测轴始终精确对准目标卫星，以上都可归结为姿态指向跟踪控制问题。

近几十年来，滑模变结构控制因其对满足匹配条件的参数摄动和外界干扰具有不变性，得到了广泛的关注和研究。而终端滑模控制与普通的滑模控制相比，可以是系统在有限时间内收敛到给定轨迹，具有动态响应速度快、稳态跟踪精度高等特点。

一种基于线性矩阵不等式(LMI)的姿态控制器设计方法。利用非线性H_∞控制来处理航天器姿态控制问题，并在ROLSAT-3系统中进行仿真验证，结果误差较小，精度较高。并且由于该方法基于无源性，所以也同样适用于航天器挠性动态影响问题。并未考虑航天器的惯量不确定性。

一种自适应滑模控制律。既保证了系统的鲁棒性，又同时将有界干扰力矩和转动惯量不确定因素的影响考虑进来。由于滑模控制容易滑使系统出现抖振现象，故用双曲正切函数代替符号函数来克服该问题。但不足的是，该算法收敛时间依赖于状态初值，无法自由调整收敛时间，因此具有一定的局限性。

单框架控制力矩陀螺与动量轮组成混合执行机构，可以实现力矩的准确输出。利用奇异值分解，将指令控制力矩按方向分解，奇异方向上的力矩由动量轮来补偿，完成控制力 矩分配后，再分别进行控制力矩陀螺与动量轮的操纵律设计，从而避免奇异问题。但是该方法既需进行在线实时的奇异值分解运算，并且飞轮在奇异方向产生的补偿力矩需要人为设计。

发明内容

本发明的目的为了解决现有技术未考虑航天器的惯量不确定性的问题，依赖于状态初值，无法自由调整收敛时间的问题，以及飞轮在奇异方向产生的补偿力矩需要人为设计的问题，而提出了异面交叉快变轨道固定时间稳定姿态指向跟踪控制方法。

上述的发明目的是通过以下技术方案实现的：

异面交叉快变轨道固定时间稳定姿态指向跟踪控制方法，其特征在于：异面交叉快变轨道固定时间稳定姿态指向跟踪控制方法具体是按照以下步骤进行的：

步骤一、设追踪星与目标星位于异面交叉轨道上，追踪星需要自主探测目标星的位置，需要确定期望姿态；

步骤二、期望姿态跟踪控制律的设计；

步骤三、消除期望姿态跟踪控制律的抖振；

步骤四、追踪星与目标星轨道交叉点的期望姿态随追踪星与目标星轨道交叉点间的距离而变化，根据期望姿态跟踪控制律来确定执行机构的配置方案，求解期望姿态控制力矩。

发明效果

采用本发明的异面交叉快变轨道固定时间稳定姿态指向跟踪控制方法。

(1)本发明结合期望姿态跟踪控制律的设计，考虑了航天器的惯性不确定性的问题，针对较难解决的异面轨道姿态指向问题提出控制算法，具有其实际应用价值。

(2)本发明针对异面快变交叉轨道下星间姿态指向跟踪控制问题，设计了一种改进型非线性终端滑模控制律，该控制律可以实现不依赖系统状态初值，并能自由调整收敛时间；控制机构方面，选取控制力矩陀螺与飞轮的混合执行机构，既远离奇异点，又可以节省空间，减小复杂度，适用于卫星姿态指向控制。

(3)本发明采用控制机构方面，选取控制力矩陀螺与飞轮的混合执行机构，既远离奇异点，又可以节省空间，减小复杂度，适用于卫星姿态指向控制。

由于只有异面轨道交叉点附近一小段满足探测距离要求，这时期望姿态往往变化很快，本发明可以进行快速指向，实现有限时间控制。利用滑模变结构的抗扰动特性设计控制算法，实现高精度姿态跟踪指向。能实现不依赖系统初值调整过渡过程时间，并且可以自由调整过渡时间。给出一套完整的执行机构选取方案，即反作用飞轮与控制力矩陀螺 (CMG)组合作为控制系统执行机构，用两个平行放置的单框架控制力矩陀螺控制偏航轴，用两个飞轮分别控制另外两个轴。只用两只陀螺，节约空间，减小复杂度，适用于小型航天器。不需要对期望姿态欧拉角求二阶导数，消除不必要的精度损失。

附图说明

图1是本发明流程示意图；

图2是卫星姿态描述和欧拉角描述法中1-2-3旋转示意图，x_b-y_b-z_b是卫星本体坐标系，x_r–y_r–z_r是卫星的参考坐标系，x′-y′-z′和x″-y″-z″是卫星从参考坐标系到本体坐标系转换过程中的坐标系；

图3是轨道根数中轨道六要素在轨道面中的表示图，i为轨道倾角、Ω为升交点赤经、ω为近心点角距、θ为真近角，x为x坐标轴，y为y坐标轴，z为z坐标轴；

图4是异面快变交叉轨道中期望姿态坐标系，x为x坐标轴，y为y坐标轴，z为z坐标轴；

图5是具体实施方式五中控制力矩陀螺群(CMGs)在卫星本体坐标系中的安装构型，h₁为，h₂为，x为x坐标轴，y为y坐标轴，z为z坐标轴，o为坐标轴中心；

图6是具体实施方式五中力矩模式PD控制器形式图，k_p是比例放大系数k_d是积分放大系数，t_s为惯性时间常数，I为电路电流，u_d为干扰力矩，为期望输入角度，为实际输出角度，为期望输入角度，e为角度误差，u^*为电机期望输入力矩，s为算子，u_w为控制输出力矩；

图7是姿态运动模型的建立中力矩电机的完整动力学模型图，K_v为电压比例系数，BEMF为反电动势，B为电机转子所测量的粘滞阻尼系数(viscosity damping coefficient)，ω_rel为电机旋转部分相对于航天器(卫星)的角速度，V是电机的输入电压，R_M是电机电枢的阻抗，K_M为电机的力矩系数，i_M为电机转子和飞轮的总转动惯量，为电机输出力矩，I_w为电机转子和飞轮的总转动惯量，ω_W为机正向加速度，为电机反向输出力矩，ωs为电机反向角速度，I_s为航天器(卫星)的转动惯量，s为算子；

图8是姿态运动模型的建立中力矩指令模式下的力矩电机动力学模型图，T_c为初始力矩，K_T为饱和比例系数，K为电压积分比例系数，s为算子，V_M为电机电压，R_M是电机电枢的阻抗，K_M为电机的力矩系数，i_M为电机转子和飞轮的总转动惯量，为电机 输出力矩，I_w为电机转子和飞轮的总转动惯量，ω_W为电机正向加速度，为电机反向输出力矩，ωs为电机反向角速度，I_s为航天器(卫星)的转动惯量，ω_rel为电机旋转部分相对于航天器(卫星)的角速度，B为电机转子所测量的粘滞阻尼系数(viscosity damping coefficient)，且阻尼力矩与ω_rel成正比，K_V为电压比例系数，BEMF为反电动势，current limit为电流限制，Voltage limit为电压限制；

k_p是比例放大系数k_d是积分放大系数，t_s为惯性时间常数，I为电机转子惯量，u_d为干扰力矩，为期望输入角度，为实际输出角度，e为角度误差u^*为电机期望输入力矩，u_w为电机控制输出力矩u_d为电机干扰力矩为电机实际输入角度，，为实际输出角速度，I_s为航天器(卫星)的转动惯量； 

图9是姿态运动模型的建立中力矩模式PD控制器形式图，为期望输入角度，e为角度误差，k_p为比例放大系数，k_d为积分放大系数，u^*为电机期望输入力矩，s为算子，t_s为惯性时间常数，为实际输出角速度，为实际输出角度，I_s为航天器(卫星)的转动惯量；

图10是实施例3中姿态角误差变化曲线图；

图11是实施例3中卫星角速度变化曲线图；

图12是实施例3中控制力矩变化曲线图；

图13是实施例3中CMG框架角速度变化曲线图；

图14是实施例3中CMGs奇异值度量变化曲线图。

具体实施方式

具体实施方式一：结合图1说明本实施方式，异面交叉快变轨道固定时间稳定姿态指向跟踪控制方法，其特征在于：异面交叉快变轨道固定时间稳定姿态指向跟踪控制方法具体是按照以下步骤进行的：

步骤一、设追踪星与目标星位于异面交叉轨道上，追踪星需要自主探测目标星的位置，为了让追踪星的激光发射器或观察设备始终指向目标星，首先要确定期望姿态；

步骤二、期望姿态跟踪控制律的设计；

步骤三、消除期望姿态跟踪控制律的抖振；

步骤四、追踪星与目标星轨道交叉点的期望姿态随追踪星与目标星轨道交叉点间的距 离而变化，根据期望姿态跟踪控制律来确定执行机构的配置方案，求解期望姿态控制力矩。

具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是，其特征在于：所述步骤一中设追踪星与目标星位于异面交叉轨道上，追踪星需要自主探测目标的位置，为了让追踪星的激光发射器或观察设备始终指向目标星，首先要确定期望姿态，具体过程为：

期望姿态坐标系各坐标轴单位矢量在惯性系中由下式确定：

$i=\frac{r_t-r_c}{|r_t-r_c|}$

$j=\frac{i\×r_c}{|i\×r_c|}---\left(1\right)$

k＝i×j

其中r_t与r_c分别为追踪星与目标星在地心惯性坐标系中的位置矢量；

若期望姿态坐标系与质心轨道坐标系相对质心惯性坐标系的余弦转换矩阵分别为Rdi和Roi，则期望姿态坐标系相对于质心轨道坐标系的转换矩阵为：

$R_{\mathrm{do}}=R_{\mathrm{di}}{R}_{\mathrm{oi}}^T---\left(2\right).$

其它步骤及参数与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是，其特征在于：所述所述步骤二中期望姿态跟踪控制律的设计，具体步骤为：

在期望姿态坐标系各坐标轴单位矢量下对期望姿态角和本体姿态角进行计算：

将期望姿态角和本体姿态角分别记为a_d和a_b，它们的差为欧拉姿态角误差，记为e，即e＝a_b-a_d，令系统状态为可写出线性化状态方程

$\left[\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{e}\\ \stackrel{--}{e}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}e\\ \stackrel{\‾}{e}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ \stackrel{\‾}{I}\end{array}\right](u-{\stackrel{--}{a}}_{d}I)---\left(3\right)$

其中I为对应轴主惯量，在姿态跟踪过程中期望姿态角加速度是有界的，将项当成有界干扰γ，设γ₀为干扰上界，为欧拉姿态角的一阶导数，为欧拉姿态角的二阶导数，u为输入力矩，为本体姿态角的二阶导数；

线性化状态方程 $\left[\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{e}\\ \stackrel{--}{e}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}e\\ \stackrel{\‾}{e}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ \stackrel{\‾}{I}\end{array}\right](u-{\stackrel{--}{a}}_{d}I)$ 满足算法假设条件rank[b,Ab]＝n，

式中，n＝2为系统阶数， $A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ \stackrel{\‾}{I}\end{array}\right];$ u为输入力矩；

并对线性化状态方程 $\left[\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{e}\\ \stackrel{--}{e}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}e\\ \stackrel{\‾}{e}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ \stackrel{\‾}{I}\end{array}\right](u-{\stackrel{--}{a}}_{d}I)$ 进行线性变换，x＝Ge，G＝[Ab,b]^-1，可得到： $\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{x}}_1\\ {\stackrel{\‾}{x}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right](u+\mathrm{\γ})---\left(4\right)$

x₁和x₂是x＝Ge中的x，是个矢量 $x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right];$ 是x₁的一阶导数，是x₂的二阶导数，γ为有界干扰，u为输入力矩；

引入不丢失正负号信息的乘方运算符z^[q]＝|z|^qsign(z)，z，q∈R；滑模面的形式为：

$s=x_2+{(x_2^{\left[2\right]}+{\mathrm{\α}}_1{x}_1+{\mathrm{\β}}_1{x}_1^{\left[3\right]})}^{[1/2]}---\left(5\right)$

式中，α₁β₁是可变的常值系数；

期望姿态跟踪控制律中期望姿态跟踪滑模控制律具有如下形式：

$u_1=-(\frac{{\mathrm{\α}}_1+3{\mathrm{\β}}_1{x}_1^2}{2}+{\mathrm{\γ}}_0)\mathrm{sign}\left(s\right)-{({\mathrm{\α}}_{2}s+{\mathrm{\β}}_2{s}^{\left[3\right]})}^{[1/2]}---\left(6\right)$

式中，u₁为期望力矩，sign(s)为符号函数；α₁、α₂、β₁和β₂都是可变常值系数，是可以任意赋值的变量；由期望姿态跟踪滑模控制律形式可知需要调节的参数为T_max和γ₀；x在时间T_max内收敛到原点，即欧拉姿态角误差e在有限时间内收敛到原点。

其它步骤及参数与具体实施方式一或二相同。

具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一、二或三不同的是，其特征在于：所述步骤三中消除期望姿态跟踪控制律的抖振，具体步骤为：消除期望姿态跟踪控制律中期望姿态跟踪滑模控制律的抖振，在姿态跟踪滑模控制律中用饱和函数sat(s)代替符号函数

$\mathrm{sign}\left(s\right),u_1=-(\frac{{\mathrm{\α}}_1+3{\mathrm{\β}}_1{x}_1^2}{2}+{\mathrm{\γ}}_0)\mathrm{sat}\left(s\right)-{({\text{\α}}_{2}s+{\mathrm{\β}}_2{s}^{\left[3\right]})}^{[1/2]}---\left(7\right)$

$\mathrm{sat}\left(s\right)=\left\{\begin{array}{cc}1& s>\mathrm{\&Delta;}\\ \frac{1}{\mathrm{\&Delta;}}s& \left|s\right|\&le;\mathrm{\&Delta;}\\ -1& s<-\mathrm{\&Delta;}\end{array}\right.$

其中Δ>0，为边界层； $s=x_2+{(x_2^{\left[2\right]}+{\mathrm{\&alpha;}}_1{x}_1+{\mathrm{\&beta;}}_1{x}_1^{\left[3\right]})}^{[1/2]}.$

其它步骤及参数与具体实施方式一、二或三相同。

具体实施方式五：本实施方式与具体实施方式一、二、三或四不同的是，其特征在于：所述步骤四中追踪星与目标星轨道交叉点的期望姿态随追踪星与目标星轨道交叉点间的距离而变化，根据期望姿态跟踪控制律来确定执行机构的配置方案，求解期望姿态控制力矩，具体步骤为：

选用反作用飞轮和控制力矩陀螺组合配置，由于两星轨道交叉点附近期望姿态有大幅度变化，故对控制力矩要求较高，因为本文任务中只有偏航轴力矩需求较大，其他两轴力矩需求很小，所以将飞轮和CMG组合使用；

姿态稳定与控制执行机构主要有两种实现形式，一种是基于质量交换原理的喷气推力执行机构，另一种则是以动量交换原理的角动量体执行机构。推力器虽然能提供较大的力矩，但输出力矩不是连续的，不能精确跟踪指令力矩，破坏了控制系统性能。在滑模变结构控制中，对控制量精度要求更高，用推力器作执行机构更容易引起抖振，达不到理想的控制效果。并且，推力器系统所耗费的工质是星体上携带的，工作寿命受携带工质的多少所限，不适于长期运行的航天器。

控制力矩陀螺(Control Momentum Gyroscope，简称CMG)能够输出高精度光滑力矩，控制力矩大，动态响应快，能耗低，寿命长。但由于其通常需要冗余复杂的构型，占用空间较大，所以主要应用于空间站等大型航天器上，在小型卫星上应用的还不多。

由于两星轨道交叉点附近期望姿态有大幅度变化，故对控制力矩要求较高。注意到本文任务中只有偏航轴力矩需求较大，其他两轴力矩需求很小，可以将飞轮和CMG组合使用，即用两个平行放置的单框架控制力矩陀螺控制偏航轴，用两个飞轮分别控制另外两个轴。这样只用两个陀螺极大地节省了空间，也减小了复杂度，适用于本任务中小卫星姿态控制。

控制力矩陀螺群(CMGs)在卫星本体坐标系中的安装构型如图5所示，h₁和h₂为两个陀螺转子角动量。这种构型只能输出x、z方向力矩，下文中各二维向量代表x和z方向。

当偏航轴用两个平行放置的单框架控制力矩陀螺控制；当整个卫星角动量为零，即在卫星本体角速度为零时，使h₁和h₂方向相反，框架角为零；用两个平行放置的单框架控制力矩陀螺控制偏航轴，这样只用两个陀螺极大地节省了空间，也减小了复杂度，适用于本任务中小卫星姿态控制；

当偏航轴采用控制力矩陀螺控制时，两个陀螺转子角动量大小都为h，框架角分别为δ₁和δ₂，陀螺群在卫星本体系中总角动量为

$H=h\left[\begin{array}{c}\cos \left({\mathrm{\&delta;}}_1\right)-\cos \left({\mathrm{\&delta;}}_2\right)\\ -\sin \left({\mathrm{\&delta;}}_1\right)+\sin \left({\mathrm{\&delta;}}_2\right)\end{array}\right]---\left(8\right)$

h₁和h₂为二维角动量，有方向有大小，只能输出x、z方向力矩；h₁和h₂是矢量，h是在某个方向上的h₁和h₂的标量；

各陀螺框架转动产生的合成陀螺力矩T可表示为： 

$T=-\stackrel{\&OverBar;}{H}=-h\left[\begin{array}{cc}-{\sin \mathrm{\&delta;}}_1& \sin {\mathrm{\&delta;}}_2\\ -\cos {\mathrm{\&delta;}}_1& \cos {\mathrm{\&delta;}}_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}}_1\\ {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}}_2\end{array}\right]=-\mathrm{hC}\left(\mathrm{\&delta;}\right)\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}---\left(9\right)$

式中，δ为陀螺框架角，是陀螺的框架角速度，C(δ)为陀螺群的力矩矩阵，是H的一阶导数，是δ₁的一阶导数，是δ₂的一阶导数；

CMG在使用中会出现奇异，即在某种框架角组合下无法输出期望力矩，一般要设计合适的操纵律来回避或脱离奇异状态。

控制力矩陀螺产生奇异，会陷入奇异状态，不能有效输出控制力矩，设计合适的操纵律来回避或脱离奇异状态，奇异值度量为：D＝det(CC^T)       (10) 

奇异时D＝0，非奇异时D>0，且该值越大表明奇异程度越小；

在通常的冗余构型中，对应同一角动量有多种框架角组合，从而对应的奇异程度也不相同，在设计操纵律的时候都会加入一个空转指令在不改变总角动量的情况下远离奇异状态。

本文所用单平行构型为非冗余构型，不能在不引起角动量变化情况下，进行框架空转运动，无法使用含有空转指令的操纵律。框架角速度采用鲁棒伪逆操纵律进行计算，具有如下形式： $\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}=-C^T{({\mathrm{CC}}^T+\mathrm{\&alpha;E})}^{-1}\frac{T}{h}---\left(11\right)$

其中，为框架角速度，T为指令力矩，只需输出z轴力矩，即[0,T_z]^T；α为权系数，可根据D的大小实时调整；E是单位矩阵；C为陀螺群的力矩矩阵；h为陀螺转子角动量大小；

此外，对于滚转通道和俯仰通道的控制方法是：在滚转轴和俯仰轴上各安装一个飞轮，以输出较小的力矩。

由前文可知，本姿态控制可近似看做单轴控制(偏航轴)，而滚转轴和俯仰轴所需控制力矩较小。以上终端滑模控制算法仅用于偏航轴的控制。在卫星近似绕偏航轴旋转时，滚转轴和俯仰轴姿态角近似为0，且轨道角速度与卫星角速度相比也为小量，故滚转通道和俯仰通道使用常规PID(或PD)控制。力矩工作模式下，对于从控制器算出的期望力矩到实际的输出力矩，飞轮的作用相当于比例环节和一阶惯性环节乘积，如果参数合理设计或P、I、D各参数等比例变化，可以认为比例环节是1，因此可以将力矩工作模式下的飞轮作为单纯一阶惯性环节即下式进行分析与控制器设计。

而滚动轴和俯仰轴分别用一个飞轮控制，期望姿态控制力矩工作模式下飞轮作为单纯一阶惯性环节，对

进行分析与控制器设计；式中，t_s为一阶惯性系统的时间常数；

采用PD控制器进行设计，力矩模式PD控制器，其形式如图6所示，从e到飞轮实际输出期望姿态控制力矩u_w的传递函数为

式中，k_p为比例环节系数，k_d为微分环节系数，为系统的传递函数；期望姿态控制力矩u_w为

其它步骤及参数与具体实施方式一、二、三或四相同。

1、卫星姿态控制

获得并保持卫星在空间定向的技术叫做卫星的姿态控制，这种指向一般是指相对于某参考系的姿态。对于在轨的卫星，要求其姿态以给定的要求或规律变化。

对于卫星的姿态控制可以分成两类，即被动和主动控制。两种类型相结合又可以衍生出其他的控制类型。其中被动控制主要是指利用各种环境条件，如重力梯度、气动、太阳辐射以及地磁等产生力矩控制卫星姿态。这种控制的特点在于不消耗星上能源，其缺点主要在于属于开环控制，且受环境影响较大，一般需要较长控制时间。主动控制则是指利用卫星自身的姿态确定环节、姿态控制器环节、执行机构等环节的联合作用，形成闭环反馈的控制方式。按稳定方式主要分为自旋稳定和三轴稳定。

卫星姿态控制系统包括控制算法和执行机构的设计。姿态控制主要有姿态调节、跟踪和机动等方面。其中姿态调节是指星体在轨期间，抵御内外各种干扰力矩的影响，保持一 定的姿态，并达到要求的姿态角稳定精度和角速度稳定度。姿态机动则是指星体从一个姿态转动到另一个姿态的重新定向并调节过程。姿态跟踪是使星体的姿态按给定轨迹变化，实现对目标定向的任务。本论文主要对姿态跟踪控制部分进行深入研究。

2、卫星姿态描述和欧拉角描述法

为了描述卫星的轨道与姿态参数，首先需要建立相应的坐标系。卫星的轨道要素与在轨道中的位置和速度通常表示在地心惯性坐标系中。卫星的姿态由参考坐标系与本体坐标系的转换关系确定，参考坐标系通常选为质心惯性坐标系或质心轨道坐标系。

(1)地心惯性坐标系

原点位于地球中心，x轴沿地球赤道平面与黄道平面的交线指向春分点，z轴沿地球自转轴指向北极，y轴与x、z轴组成右手坐标系。

(2)RSW坐标系

原点位于卫星质心，x轴沿地心指向卫星方向，y轴在轨道平面内与x轴垂直，指向速度方向，z轴垂直于轨道平面，与x、y轴组成右手坐标系。

(3)质心惯性坐标系

原点位于卫星质心，各坐标轴方向与地心惯性坐标系平行。

(4)质心轨道坐标系

原点位于卫星质心，z轴指向地心，x轴在轨道平面内与z轴垂直，指向速度方向，y轴垂直于轨道平面，与x、z轴组成右手坐标系。

(5)本体坐标系 

原点位于卫星质心，x、y、z三轴固连于星体上。当卫星本体坐标系与某一姿态参考坐标系重合时，定义姿态角为零。

在工程技术中，希望三个姿态参数具有更简便、更明显的几何意义，并能用姿态敏感器直接测出这些参数，能较方便的求解用这些姿态参数描述的姿态动力学方程。欧拉角是这种最合适的姿态参数。根据欧拉定理，刚体绕固定点的位移也可以是绕该点的若干次有限转动的合成。在欧拉转动中，将参考坐标系转动三次得到星体坐标系，在三次转动中每次的旋转轴是被转动坐标系的某一坐标轴，每次转动角即为欧拉角。因此，用欧拉角确定的姿态矩阵式三次坐标转换矩阵的乘积，这些坐标转换都有如下标准形式：

$R_x\left(\mathrm{\&theta;}\right)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \mathrm{\&theta;}& \sin \mathrm{\&theta;}\\ 0& -\sin \mathrm{\&theta;}& \cos \mathrm{\&theta;}\end{array}\right],R_y\left(\mathrm{\&theta;}\right)\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\&theta;}& 0& -\sin \\ 0& 1& 0\\ \sin \mathrm{\&theta;}& 0& \cos \mathrm{\&theta;}\end{array}\right],R_z\left(\mathrm{\&theta;}\right)=\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\&theta;}& \sin \mathrm{\&theta;}& 0\\ -\sin \mathrm{\&theta;}& \cos \mathrm{\&theta;}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

显然，姿态矩阵还与三次转换的顺序有关，转动顺序可分为两类。

第一类：第一次转动和第三次转动是绕同类坐标轴进行的，第二次转动是绕另两类轴中的一轴进行的；

第二类：每次转动是绕不同类别的坐标轴进行的。

如以数字1，2，3分别代表各类坐标系的坐标轴x、y、z，则12种欧拉转动顺序可表示为

1-2-1  1-3-1  2-1-2  2-3-2  3-1-3  3-2-3及1-2-3  1-3-2  2-1-3 

2-3-1  3-1-2  3-2-1

一般取绕x、y、z三轴转动的欧拉角分别为θ、ψ，其几何意义如下：

ψ为偏航角——卫星滚动轴O_bX_b(指向卫星速度方向)在当地水平面上的投影与轨道坐标系O_oX_o轴的夹角；

θ为俯仰角——卫星滚动轴O_bX_b与其在当地水平面上的投影的夹角；

为俯仰角——卫星俯仰轴O_bY_b与其在当地水平面上的投影的夹角。

例如，定义三次旋转的角度依次为θ、ψ，有欧拉角描述的姿态矩阵为

其中1-2-3旋转示意图如图2所示；

3、轨道根数 

轨道根数又称轨道参数，他们确定轨道平面在空间的取向，轨道的形状和空间飞行器在轨道上的位置。轨道要素共有六个，如图3，即：轨道倾角i、升交点赤经Ω、近心点角距ω、真近角θ、轨道半长轴a和偏心率e。

(1)轨道根数i：航天器运行轨道所在平面叫做轨道面，这个平面通过地心，它与地球赤道平面的夹角成为轨道倾角。

(2)升交点赤经Ω：从春分点方向轴量起的升交点的精度，顺地球自转方向为正。0≤Ω≤2π。轨道平面与赤道平面的交线在天球上有两个交点。其中，对应航天器由南半球向北半球上升段经过的那一点叫升交点；反之，另一点叫做降交点。

(3)近心点角距ω：投影在天球上的椭圆轨道近地点与升交点对地心所张的角度， 从升交点顺航天器运行方向量到近地点。

(4)真近角θ：在轨道平面内从e到r之间的夹角。

(5)轨道半长轴a：椭圆轨道的半长轴长度。

(6)偏心率e：椭圆轨道的偏心率，其中b是椭圆轨道短半轴。

4、异面快变交叉轨道

设追踪星与目标星位于异面交叉轨道上如图4，追踪星需要自主探测目标的位置。例如，为了让追踪星的激光发射器或观察设备始终指向目标星，首先要确定期望姿态，这样对目标的指向便成为姿态跟踪问题。由于探测范围有限，只有在追踪星与目标星距离较近时才能进行激光攻击或观测监视。当两星轨道夹角较大时，只有轨道交叉点附近一小段满足探测距离要求，这时期望姿态往往变化很快，故称为：异面交叉快变轨道。异面交叉快变轨道对指向的响应速度要求很高，而本发明中的控制算法则很好地解决了这个问题。

5、非线性终端滑模控制

(1)滑模变结构控制理论

滑模变结构控制理论出现于20世纪60年代，经过几十年的发展，已成为一个比较完整的理论体系。进入80年代以来，随着计算机、大功率电子开关器件等技术的飞速发展，滑模变结构控制的对象已涉及离散系统、非线性大系统、滞后系统以及分布参数等众多复杂系统。

滑模变结构控制实质上是一类特殊的非线性控制，与其他控制的不同之处在于系统的“结构”并不固定，而是根据系统当前的状态，按照预定的“滑动模态”的状态轨迹运动。由于滑动模态可以设计且与对象参数及扰动无关，舍得滑模变结构控制具有快速响应、对参数变化及扰动不灵敏、无需系统在线辨识、实现简单等优点。但是，滑模变结构控制存在一个严重的缺点，即抖振。抖振的存在很容易激发系统的未建模特性，从而影响系统的控制性能，给滑模变结构控制的实际应用带来困难。近年来，有研究者尝试将变结构控制与其他控制结合起来，如自适应控制、神经网络控制等，综合两种控制的优点，达到更好的效果。

(2)终端滑模控制 

传统的滑模变结构控制采用线性滑模，系统状态与给定轨迹之间的偏差渐近收敛。与线性滑模相比，终端滑模变结构控制通过在滑模面函数中有目的地引入非线性项，改善系统的收敛特性，使得系统状态能够在有限时间内收敛到给定轨迹。因此，终端滑模具有动态响应速度快、有限时间收敛、稳态跟踪精度高等优点，适用于高精度控制。

固定时间稳定控制终端滑模控制的一种，可以使得系统状态在一固定时间内收敛到给定轨迹，且该固定时间不受系统状态初值影响。

6、姿态控制执行机构

卫星控制系统是卫星极其重要的分系，控制系统性能的好坏将直接决定整个卫星工作的成败。卫星控制系统分为姿态敏感器、控制器和执行机构。姿态敏感器有陀螺、地球敏感器、太阳敏感器和星敏感器等；控制器为星载计算机，接受姿态敏感器的输出信息经解算输出指令给执行机构。卫星常用执行机构有推力器、飞轮(偏置动量轮和反作用飞轮)、磁力矩器及控制力矩陀螺(简称CMG，下同)等。推力器控制相对简单，但受燃料限制不可能长期使用，且喷气对姿态稳定度的影响也较大，很难满足较高的精度要求。飞轮及磁力矩器的控制力矩有限,满足不了大惯量大干扰力矩卫星的要求。

(1)飞轮

飞轮是一种通过动量交换实现航天器姿态控制的执行机构。即通过改变飞轮的动量矩来吸收星体的多余动量矩，从而控制星体的姿态。由于作用到星体上的干扰力矩通常包含周期项，此周期项干扰力矩将造成星体动量矩的周期性改变。这种改变反馈到飞轮转轴的电机上，使飞轮产生往复转动，消除星体姿态的扰动。

由不同的工作方式，飞轮可分为反作用轮和偏置动量轮。其中，如果飞轮的转速可以正负改变，且平均动量矩为零，则称为反作用轮；如果飞轮的平均动量矩是一个不为零的常值——偏置值，也就是说飞轮储存了一个较大的动量矩，飞轮的转速可以相对于偏置值有一定的变化，从而产生控制力矩。具有这种特点的飞轮成为偏置动量轮。

(2)控制力矩陀螺 

如果把恒速旋转的轮子装在框架上，而框架又可以相对于航天器本体转动，即框架角变化，那么就得到了动量矩的大小恒定不变而方向可变的飞轮。这种飞轮称为控制力矩陀螺(Control Momentum Gyroscope，简称CMG)。

控制力矩陀螺能够输出高精度光滑力矩，控制力矩大，动态响应快，能耗低，寿命长。但由于其通常需要冗余复杂的构型，占用空间较大，所以主要应用于空间站等大型航天器上，在小型卫星上应用的还不多。

本发明考虑实际情况，采用飞轮和控制力矩陀螺组合的执行机构，即用两个平行放置的单框架控制力矩陀螺控制卫星姿态的一个轴，用两个飞轮分别控制另外两个轴。这样只用两个陀螺极大地节省了空间，也减小了复杂度，适用于本任务中卫星的姿态指向控制需求。

7、操纵律

控制力矩陀螺群操纵律设计的实质是对所列的力矩方程的求逆问题，即根据当前(或 一段时间内)控制力矩陀螺群的框架角状态和期望力矩指令，在考虑约束条件下，通过一定的分配算法调整各个陀螺的框架角速度，使陀螺群能够精确输出期望力矩指令。由于框架角空间的维数一般大于期望力矩的维数，所以求逆所得的解不是唯一的，通过不同的算法解得的操纵律控制效果相差很大。

操纵律根据应对奇异的方式，操纵律可分为奇异回避、奇异逃离和混合操纵律。奇异回避操纵律应对的是如何回避奇异的问题，不会引入力矩误差，具有很好的力矩输出精度，但是回避奇异能力弱，属于奇异发生前的回避策略。而奇异逃离操纵律应对的是陷入奇异时如何逃离的问题，通常需要以牺牲姿态控制精度且带来一定的力矩误差为代价逃离奇异，奇异逃离能力强。混合操纵律则是综合了奇异回避操纵律和奇异逃离操纵律各自的优点，通过对奇异点的判断，采取不同的应对策略。

本发明中所用单平行构型为非冗余构型，不能在不引起角动量变化情况下，进行框架空转运动，无法使用含有空转指令的操纵律。故采用基本的鲁棒伪逆操纵律。

8、参数定义 

a_d为期望姿态角，a_b为本体姿态角，e为欧拉姿态角误差，I为对应轴轴主惯量，γ为有界干扰，T_max为系统状态收敛到零时对应时间值，h₁,h₂为两个陀螺转子的角动量，δ₁,δ₂为两个陀螺转子的框架角，H为陀螺群在本体系中总角动量，T为各陀螺框架转动产生的合成陀螺力矩，E为单位矩阵；

9、控制律作用下系统有限时间收敛性证明

定义D^*作为函数y(t)的一种导数算子：

有下面关于固定时间收敛的定理：

如果存在连续的具有无穷大性质的标量函数V：Rⁿ→R₊∪{0}，使得其满足下列条件

(1) $V\left(x\right)=0\&DoubleRightArrow;x\&Element;M,M{\&Subset;R}^n;$

(2)存在α，β，p，q，k>0，pk<1，qk>1使得系统的任意解x(t)满足不等式D^*V(x)≤-[αV^p(x)+βV^q(x)]^k

则对于任意初值的系统状态会在时间T≤1/[α^k(1-pk)]+1/[β^k(qk-1)]内收敛到域M内并停留在里面。

如果条件(1)改为那么可以得到系统状态在固定时间内收敛到原点。

首先取V(x)＝|s(x)|，有 $D^{*}\left|s\left(x\right)\right|=({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2+\frac{\left|x_2\right|{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2+\frac{{\mathrm{\&alpha;}}_1+3{\mathrm{\&beta;}}_1{x}_1^2}{2}{x}_2}{{|x_2^{\left[2\right]}+{\mathrm{\&alpha;}}_1{x}_1+{\mathrm{\&beta;}}_1{x}_1^{\left[3\right]}|}^{1/2}})\mathrm{sign}\left(s\right)$

由于 ${({\mathrm{\&alpha;}}_{2}s+{\mathrm{\&beta;}}_2{s}^{\left[3\right]})}^{[1/2]}\mathrm{sign}\left(s\right)={\left({\mathrm{\&alpha;}}_2\right|s|+{\mathrm{\&beta;}}_2{\left|s\right|}^3)}^{1/2}$

对于s≠0时有

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\mathrm{sign}\left(s\right)=(u+\mathrm{\&gamma;})\mathrm{sign}\left(s\right)\\ =-\left(\frac{{\mathrm{\&alpha;}}_1+3{\mathrm{\&beta;}}_1{x}_1^2}{2}\right)-{\left({\mathrm{\&alpha;}}_2\right|s|+{\mathrm{\&beta;}}_2{\left|s\right|}^3)}^{1/2}-[{\mathrm{\&gamma;}}_0-\mathrm{\&gamma;sign}\left(s\right)]\end{array}$

因此D^*|s|≤-(α₂|s|+β₂|s|³)^1/2

根据前述定理，对 $\&ForAll;t\&GreaterEqual;(2/\sqrt{{\mathrm{\&alpha;}}_2})+(2/\sqrt{{\mathrm{\&beta;}}_2})=T_{\max }/2,$ 有|s|＝0。

这同时意味着 $2x_2^{\left[2\right]}+{\mathrm{\&alpha;}}_1{x}_1+{\mathrm{\&beta;}}_1{x}_1^3=0$

即 ${\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1=-{[({\mathrm{\&alpha;}}_1/2)x_1+({\mathrm{\&beta;}}_1/2)x_1^3]}^{[1/2]}$

再次应用定理可得对于 $\&ForAll;t\&GreaterEqual;(T_{\max }/2)+(2\sqrt{2}/\sqrt{{\mathrm{\&alpha;}}_1})+(2\sqrt{2}/\sqrt{{\mathrm{\&beta;}}_1})=T_{\max },$ 有x₁＝0并且s＝0，可推出此时必有x₂＝0。至此，证明了系统的状态x在时间T_max内收敛到原点，由x＝Ge可知原系统状态e也收敛到原点。

由控制律形式可知需要调节的参数只有Tmax和γ₀，且都具有明显的物理意义，易于选取和调节。

10、姿态运动模型的建立

(1)姿态运动学模型

卫星在惯性空间的角速度ω，等于卫星本体坐标系相对姿态参考坐标系的角速度ω_br与姿态参考坐标系相对质心惯性坐标系的牵连角速度ω_ri之和，即ω＝ω_br+ω_ri下面给出由3-1-2旋转欧拉角描述的卫星姿态运动学方程。

惯性定向飞行模式

此时参考坐标系即为质心惯性坐标系，ω_ri＝0，有

得到欧拉角姿态运动学方程：

由上文可知，当偏航轴大角度、滚转轴和俯仰轴小角度时，有：sinθ＝0,cosθ＝1,

故上式等效为：

所以本方程可以近似为“三轴解耦”模型。在三轴解耦情况下，俯仰、偏航和滚动3个通道的运动互不相关，而形式上完全相同。

(2)姿态动力学模型

根据刚体的动量矩定理，在卫星本体坐标系中有其中T为卫星所受外力矩之和，包括控制力矩和干扰力矩；H为整星角动量，有H＝Iω；I为卫星惯量矩阵，矩阵中对角线元素为刚体绕本体坐标轴x、y、z的转动惯量，其他元素为惯量积。

$I=\left[\begin{array}{ccc}{I}_x& -I_{\mathrm{xy}}& -I_{\mathrm{yz}}\\ -I_{\mathrm{xy}}& I_y& {-I}_{\mathrm{yz}}\\ {-I}_{\mathrm{xz}}& -I_{\mathrm{yz}}& I_z\end{array}\right]$

若以轮控执行机构(如飞轮和控制力矩陀螺等)控制卫星姿态，用h表示轮控执行 机构的角动量，则星体总角动量H＝Iω+h，代入式，有

$I\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}+\mathrm{\&omega;}\&times;(\mathrm{I\&omega;}+h)=-\stackrel{\&OverBar;}{h}+T$

在轨卫星会受到各种各样干扰力矩的作用，外干扰力矩有：太阳光压力矩、重力梯度力矩、地磁力矩、气动力矩等，内干扰力矩有：有效载荷活动部件、帆板挠性、太阳电池阵驱动机构、飞轮的安装误差和动不平衡等，这些干扰力矩会对卫星的姿态控制带来负面影响。

(3)飞轮执行机构的建模

飞轮系统主要由轴承、传感器、相关的控制电路和力矩电机组成。

飞轮的运行原理是：当飞轮内的电机绕组中按规律通入电流时，电机中产生转矩或最终达到一定的转速从而形成动量，该转矩或动量作用到飞轮安装的载体，就会改变载体的姿态或提高载体抗扰动转矩的能力，控制系统就可以动态地控制飞轮进行姿态控制。

对于良好的飞轮系统而言，要求具备以下特点：

提供足够的转矩或者动量，这样才能有效控制载体的姿态；

要有良好的特性，在控制系统的指令下(如起动、制动、转向和不同的转矩指令等)能够快速准确地响应；

要有良好的稳定性和可靠性，因为所处的太空环境复杂，而且所应用的航天器成本高；

飞轮控制系统是高精度卫星姿态控制系统的一个关键子系统。随着姿态敏感器、飞轮电机制造等技术的发展，飞轮控制系统的性能对卫星姿态的指向精度的影响日益加大。

在航天器体内，设有一对称旋转体(symmetrical rotating body)，初始角动量为h_w，当其绕旋转轴加速旋转时将产生力矩。由于h_w存在于航天器内部，所以旋转体角动量的增减并不能改变整个系统(航天器和旋转体)的总角动量，而是仅仅把动量的变化量转移到航天器中。这就是角动量守恒原理(principle of conservation of angular momentum)。

力矩电机的完整动力学模型如图7所示。

图7中，V是电机的输入电压，R_M是电机电枢的阻抗，K_M为电机的力矩系数，I_w为电机转子和飞轮的总转动惯量，I_s为航天器(卫星)的转动惯量，ω_rel为电机旋转部分相对于航天器(卫星)的角速度，B为电机转子所测量的粘滞阻尼系数(viscosity damping coefficient)，且阻尼力矩与ω_rel成正比。为了得到整个动力学模型的线性传递函数(linear transfer function)，在分析时忽略图中的库仑摩擦和干摩擦(coulomb and dry  friction block)块。在这些假设条件下，由图很容易得到

$\frac{{\stackrel{\&CenterDot;}{h}}_w}{V}=\frac{I_w{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_w}{V}=\frac{s(K_M/R_M)}{s+(\frac{1}{I_w}+\frac{1}{I_s})(\frac{K_v{K}_M}{R_M}+B)}$

上式表明，电机的阶跃电压输入信号并不能直接产生所需要的控制力矩，这是因为分母中存在一个时间常数分子中存在一个微分环节。在合理的假设下，也就是B→0，且I_w<<I_s，则上式可以简化为

通过调节电机的电枢电流产生所需的电磁力矩，克服轴承的摩擦力矩之后，得到加速轮子的力矩，施加到卫星的控制力矩是轮子的反作用力矩。在这种工作模式中，摩擦力矩对卫星姿态的影响是直接的，特别是当反作用飞轮转速过零时，由于摩擦力矩方向突变，引起姿态剧烈的瞬态响应，使姿态精度，特别是稳定度恶化。

因其反馈回路不包含飞轮动力学部分，因此对飞轮控制特性无改善，类似开环控制。

值得关心的问题是：在力矩指令信号T_c的作用下，如何快速得到控制力矩力矩指令模式下的力矩电机动力学模型图，解决了这个问题。图中，在电机电流处引入了一个反馈环，这样，从T_c到的传递函数就可以写成：

如果我们选择K>>K_vK_M/I_w，则有  $\frac{{\stackrel{\&CenterDot;}{h}}_w}{T_c}=\frac{1}{1+s(R_M/K)}$

这就是把电机转化为我们常说的反作用飞轮(RW)或动量轮(MW)的基本方程。可以看出飞轮力矩模式下从期望力矩到实际输出力矩间的传递函数为比例项及一阶惯性项乘积形式。

力矩工作模式下，对于从控制器算出的期望力矩到实际的输出力矩，飞轮的作用相当于比例环节和一阶惯性环节乘积，如果参数合理设计或P、I、D各参数等比例变化，可以 认为比例环节是1，因此可以将力矩工作模式下的飞轮作为单纯一阶惯性环节即下式进行分析与控制器设计。

采用PD控制器进行设计，其力矩模式PD控制器形式如图9所示。

可知，从e到飞轮实际输出力矩u_w的传递函数为

(4)控制力矩陀螺工作原理

单框架控制力矩陀螺仅有一个框架，其框架转轴线与飞轮转轴始终垂直，并通过飞轮质心，飞轮角动量的进动限于框架周的垂直平面内。在某一瞬时(相当于某一框架角)，其角动量变率(陀螺力矩)限于单自由度。因此，至少应用三个单框架控制力矩陀螺实现三自由度姿态控制。由于框架转动引起的陀螺力矩垂直于框架转轴，因此该力矩通过框架轴承直接作用到陀螺基座(星体)上，力矩传递与框架伺服系统的力矩器无关，从而可以获得较大控制力矩的输出。这是单框架控制力矩陀螺的重要优点。

接下来分析单框架控制力矩陀螺的力矩放大原理。定义框架坐标系ox_gy_gz_g，沿输出力矩方向、角动量方向以及框架轴方向分别定义坐标基单位矢量t，w，g。按叉积规则，力矩轴垂直于框架平面(框架轴与角动量轴组成的平面)令陀螺的框架转角为δ，由陀螺原理可知，陀螺框架的转动将引起飞轮角动量的变化，进而产生输出力矩T_o，可表示为

$T_o=-\left(\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}g\right)\&times;\left(\mathrm{hw}\right)=-\left(\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}h\right)t$

略去框架转动的动态过程，驱动框架转动的输入力矩T_i仅需克服星本体转动ω引起的陀螺反作用力矩在框架轴的分量，即

$\begin{array}{c}{T}_i=-[(\mathrm{\&omega;}\&times;h)\&CenterDot;g]g=h[(g\&times;w)\&CenterDot;\mathrm{\&omega;}]g\\ =h(t\&CenterDot;\mathrm{\&omega;})g\end{array}$

将式表示的输出力矩与式  $\begin{array}{c}{T}_i=-[(\mathrm{\&omega;}\&times;h)\&CenterDot;g]g=h[(g\&times;w)\&CenterDot;\mathrm{\&omega;}]g\\ =h(t\&CenterDot;\mathrm{\&omega;})g\end{array}$ 表示的输入力矩相比得到力矩陀螺的力矩放大倍数

$\left|\right|T_o\left|\right|/\left|\right|T_i\left|\right|=\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}/\mathrm{\&omega;}$

此放大倍数不受框架力矩器能力的控制。星体惯量远大于陀螺框架质量，两者的转速相差甚大，因而力矩放大倍数很大，可达千倍。这是单框架控制力矩陀螺最突出的优点。

仿真研究中，需要应用控制力矩陀螺的数学模型，控制力矩陀螺群的总角动量表达式为

H＝h(Asinδ+Bcosδ)E

式中h为单个控制力矩陀螺的角动量，E为n维单位矢量，E＝[1 1 … 1]^T，A、B为安装矩阵，其元素仅与安装构型有关，可以写成

$A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& ...& a_{2n}\\ a_{31}& ...& a_{3n}\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{ccc}{b}_{11}& ...& b_{1n}\\ b_{21}& ...& b_{2n}\\ b_{31}& ...& b_{3n}\end{array}\right]$

矩阵A和B的第i列矢量是框架角为90°和0°时第i个控制力矩陀螺的角动量单位矢量。sinδ为框架角的正弦对角阵，cosδ为框架角的余弦对角阵，可以写成

上式表征了控制力矩陀螺群的角动量构型。

在本体坐标系中，控制力矩陀螺群各陀螺框架角速度产生的合成陀螺力矩T可以表示为(略去负号) $T=\stackrel{\&CenterDot;}{H}=C\left(\mathrm{\&delta;}\right)\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}h$

式中为n维框架角速度矢量， $\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}={\left[\begin{array}{cccc}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}}_1& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}}_2& ...& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}}_n\end{array}\right]}^T,$ C(δ)为陀螺群的力矩矩阵(也称Jacobi矩阵)，可以写成C(δ)＝Acosδ-Bsinδ

由上式可见，控制力矩陀螺群的输出力矩T等于Jacobi矩阵C(δ)与框架角速度矢量乘积，因此该式称为控制力矩陀螺群的力矩方程。如果控制力矩陀螺的框架角运动，使得陀螺群的力矩方程不为零，则称此运动为力矩产生运动，即框架角改变，就会输出力矩，该解可视为力矩方程的特解。与此对应，如果控制力矩陀螺的框架角运动，使得陀螺群的力矩方程等于零，则称此运动为零运动，即框架角虽然改变，但不会输出力矩，该解可视为力矩方程的齐次解，上述两种解共同组成框架运动指令。

为描述控制力矩陀螺群接近奇异状态的程度，定义如下奇异度量(本文涉及奇异度量处均采用该形式)D＝det(CC^T)

(5)终端滑模控制有限时间收敛的证明

设终端滑模可由如下一阶动态方程描述：

式中，系统状态x∈R¹；设计参数β>0；p和q均为奇数，且q<p<2q。解方程(可 得： $\frac{p}{p-q}[x{\left(t\right)}^{(p-q)/p}-x{\left(0\right)}^{(p-q)/p}]=-\mathrm{\&beta;}\&CenterDot;t$

设从初始状态x(0)≠0到x＝0的时间为t_s，t_s可由下式确定：  $t_s=\frac{p}{\mathrm{\&beta;}(p-q)}{\left|x\left(0\right)\right|}^{(p-q)/p}$

系统状态x将在有限时间t_s内收敛到零。 

采用以下实施例验证本发明的有益效果：

实施例1

一种自适应滑模控制律基于大范围相对运动的两航天器间的载荷指向跟踪问题提出一种自适应滑模控制律。既保证了系统的鲁棒性，又同时将有界干扰力矩和转动惯量不确定因素的影响考虑进来。实际问题是以主航天器至目标航天器的相对指向矢量为基础，定义视线坐标系，确立主航天器的指向跟踪姿态基准。

为描述航天器姿态问题，选取三大坐标系为参考系，分别为：惯性坐标系(S_i)、星体坐标系(S_b)、视线坐标系(S_s)。定义α为X_S轴到X_i轴的夹角，β为Y_S轴到Y_i轴的夹角，这两个参数取决于两航天器的相对运动关系，有导航系统实时给出。

定义 ${\mathrm{\&sigma;}}_d=\tan \frac{\mathrm{\&beta;}}{4}{\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right]}^T\&CircleTimes;\tan \frac{\mathrm{\&alpha;}}{4}{\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\end{array}\right]}^T,$ ω_d＝[β 0 0]^T+C_is[0 α 0]^T。其中，为MRP乘法，C_is为S_i相对S_b的MRP参数计算得到的方向余弦。

定义δσ为S_b相对于S_S的MRP，δω为S_b相对于S_S的角速度在S_b中的投影。

(1)姿态跟踪误差系统的描述

选取MRP参数描述航天器的姿态,相应的运动学方程为：σ＝G(σ)ω

式中，根据式可知，姿态指向跟踪误差的运动学方程为：δσ＝G(δσ)(δω)

由上述可知，该航天器姿态指向跟踪控制问题的目标是:对于系统(4-2)设计控制律,使得δσ→0,δω→0.

(2)滑模控制律的设计

取滑模面为：s＝δω+K(δσ)；趋近律为：

式中，ε＝diag{ε₁ ε₂ ε₃}，ε_i为正数；sgn(s)＝[sgn(s₁) sgn(s₂) sgn(s₃)]^T。对式(4-3)求导，代入(4-4)。由于式中符号函数sgn(s)的存在会使系统出现抖振现象，故用双曲正切函数th(s/p²)代替sgn(s)，即用平滑连续函数替换不连续函数。其中p为转移因子。为保证替换前后的等价性，p应尽量小。等价后，可得控制律为：T_c＝ω^×Jω+JC_bsω_d-JKG(δσ)(δω)(α+T_d)th(s/p²) 

(3)自适应控制律的设计

由于航天器转动惯量未知，故引入自适应控制律以应对该问题。对转动惯量矩阵  $J=\left[\begin{array}{ccc}{J}_{11}& J_{12}& J_{13}\\ J_{21}& J_{22}& J_{23}\\ J_{31}& J_{32}& J_{33}\end{array}\right],$ 定义算子L(J)＝[J₁₁ J₁₂ J₁₃ J₂₂ J₂₃ J₃₃]^T。任意给定三维矢量a＝[a₁ a₂ a₃]^T和b＝[b₁ b₂ b₃]^T，使算子h满足：a^TJb＝L^T(J)h(a,b)。设转动惯量估计值为则误差为：设转动惯量J变化较慢，则有取的控制律为：

L(～J)＝KJ{h[ω^×,sω]-h[s,C_bsω_d-KG(δσ)(δω)]}使用代替J，可得指令控制力矩为：

$T_c={\mathrm{\&omega;}}^{\&times;}\hat{J}\mathrm{\&omega;}+\hat{J}{C}_{\mathrm{bs}}{\mathrm{\&omega;}}_d-\hat{J}\mathrm{KG}\left(\mathrm{\&delta;\&sigma;}\right)\left(\mathrm{\&delta;\&omega;}\right)(\mathrm{\&alpha;}+T_d)\mathrm{th}(s/p^2)$

为分析(4-6)以及(4-7)的稳定性，选取Lyapunov函数：

$V=\frac{1}{2}{s}^T\mathrm{Js}+\frac{1}{2}{L}^T(~J)K{J}^{-1}L(~J)$

对求导，并代入(4-6)以及(4-7)，得：

$\stackrel{\&OverBar;}{V}=s^T\mathrm{Js}+L^T(-J){\mathrm{KJ}}^{-1}L(-J),$ 经推导、整理，得：

由可知，当且仅当s＝0时，等号成立。由Lyapunov稳定性理论可知，当t→∞,s→0时，系统将从任意初始状态收敛到滑动平面上。根据Lasalle不变集原理，当s→0时，δσ→0,δω→0，控制目标达成。

实际应用时，需要定义转动惯量以及估计转动惯量初值且由控制律可以看出，该方案无法自由调整收敛时间，因此具有一定的局限性。

实施例2

单框架控制力矩陀螺与动量轮组成混合执行机构，利用控制力矩陀螺和动量轮构成混合执行机构，并设计了姿态跟踪控制律。为解决单框架控制力矩陀螺的奇异问题，对奇异值进行分解，分配指令力矩，再分别设计控制力矩陀螺和动量轮的操纵律。这种方案的优点是，精度高，且在单框架控制力矩陀螺奇异时，仍可控。

(1)系统动力学模型

假设该航天器为刚体，内部装有n个SGCMG和m个MW。由文献[3]可得系统动力学模型为：I_tω+ω^×(I_tω+A_sI_wsΩ+C_SI_wsmΩ_m)＝T_c+T_d，

式中，T_c为混合执行机构作用于航天器的内力矩。

(2)姿态跟踪控制律设计

系统惯量矩阵变化率可通过测陀螺框架角速度计算得到，而航天器本体转动惯量矩阵I_S已知，因此可根据Lyapunov方法设计基于系统模型的姿态跟踪控制律。

文献中采用四元数来描述航天器姿态，并由LaSalle不变性原理可知系统对于姿态误差q_e和角速度误差ω_e是渐近稳定的。推导可得混合执行机构的操纵方程：

$-(B\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}+C_2\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}+D{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&Omega;}}}_m)=T_c^{*}$

其中，即为基于系统模型所设计的期望姿态控制力矩，由SGCMGs和MWs共同提供； 是陀螺框架角加速度引起的控制力矩，是框架角速度引起转子角动量方向变化产生的控制力矩，则是动量轮角加速度引起的控制力矩。

(3)SGCMGs和MWs的操纵律设计

方法是先确定奇异方向，再将指令力矩进行显示分配，再分别设计SGCMGs和MWs的操纵律。

首先，对矩阵C进行奇异值分解：C＝USV^T。其中，U∈R^3×3,V∈R^n×n，为酉矩阵。由单框架控制力矩陀螺与动量轮组成混合执行机构，可以确定SGCMGs的指令力矩为：  $T_{C1}^{*}=T_C^{*}-T_{C2}^{*}={\mathrm{US}}_{\mathrm{\&alpha;}}{U}^T{T}_C^{*},$ 其中由上式可得，可看出，当SGCMGs逐渐接近奇异时，σ₃→0而同时α增大,避免了框架角速度解过大甚至无解的现象发生。而MWs的操纵律同理可得。由上述推导可得，该方案若想避免奇异现象发生， 既需进行在线实时的奇异值分解运算，又需人为设计飞轮在奇异方向产生的补偿力矩，精度虽高，但较为繁琐。

实施例3

仿真参数设置 

(1)轨道参数；设目标星处于600km太阳同步轨道，初始轨道根数为：a₁＝6978140m，e₁＝0，i₁＝97.7597°，Ω₁＝0，ω₁＝0，f₁＝-6.2°；追踪星位于同形异面轨道上，且与目标具有一定相位差，初始轨道根数为：a₂＝6978140m，e₂＝0，i₂＝i₁+5°，Ω₂＝0，ω₂＝0，f₂＝f₁-0.0821°。

(2)卫星刚体部分信息；追踪星惯量矩阵 $I=\left[\begin{array}{ccc}456.82& 0.19& 2.44\\ 0.19& 503.49& 3.80\\ 2.44& 3.80& 611.20\end{array}\right]$ (kg·m²)

(3)执行机构参数；

设单个陀螺转子角动量h＝30Nms，陀螺框架角速度上限30°/s，操纵律权系数α＝e^-10D.

(4)控制器参数；控制器参数选取T_max＝30，γ_0x＝γ_0y＝0.01，γ_0z＝3，Δ＝0.05；PID参数K_p＝1.8I，K_i＝1，K_d＝1.8I，I为对应轴主惯量，积分阈值0.01°。

仿真时加入的空间干扰力矩有：太阳光压力矩、重力梯度力矩、地磁力矩、气动力矩。

仿真分析

通过仿真，分别得到异面快变交叉轨道姿态控制各指标变化趋势，如图10、图11、图12、图13和图14所示：由图10可以看出初始偏差较大时俯仰轴和滚转轴误差收敛较慢，是因为只有飞轮作执行机构，提供力矩不足，但30s后跟踪精度很高，轨道交叉点附近误差也不超过5×10^-4°。由图14显示CMGs在初始阶段处于奇异状态，但在鲁棒伪逆操纵律下仍能输出具有一定偏差的力矩，而且初始偏差较大时属于粗调，对控制力矩的精度要求不高；在轨道交叉点附近CMGs远离奇异状态，能精确跟踪指令力矩，保证了姿态跟踪的精度。综上，针对异面快变交叉轨道姿态控制问题，通过本发明给出的改进型终端滑模控制律以及飞轮和控制力矩陀螺组合配置方案可以看出，只要合理选择T_max和γ₀参数，就可以自由调整系统过渡时间，不依赖系统初值，且精度高、鲁棒性强；同时，在执行机构的选取上，反作用飞轮和CMGs组合方案可以实现空间节约，减小设计的复杂度，更适用于小型航天器，有很大的实际工程应用价值。

Claims (5)

1.异面交叉快变轨道固定时间稳定姿态指向跟踪控制方法，其特征在于：异面交叉快变轨道固定时间稳定姿态指向跟踪控制方法具体是按照以下步骤进行的：

步骤一、设追踪星与目标星位于异面交叉轨道上，追踪星需要自主探测目标星的位置，需要确定期望姿态；

步骤二、期望姿态跟踪控制律的设计；

步骤三、消除期望姿态跟踪控制律的抖振；

步骤四、追踪星与目标星轨道交叉点的期望姿态随追踪星与目标星轨道交叉点间的距离而变化，根据期望姿态跟踪控制律来确定执行机构的配置方案，求解期望姿态控制力矩。

2.根据权利要求1所述异面交叉快变轨道固定时间稳定姿态指向跟踪控制方法，其特征在于：所述步骤一中设追踪星与目标星位于异面交叉轨道上，追踪星需要自主探测目标的位置，需要确定期望姿态，具体过程为：

期望姿态坐标系各坐标轴单位矢量在惯性系中由下式确定：

$i=\frac{r_t-r_c}{|r_t-r_c|}$

$j=\frac{i\&times;r_c}{|i\&times;r_c|}---\left(1\right)$

k＝i×j

其中r_t与r_c分别为追踪星与目标星在地心惯性坐标系中的位置矢量；

若期望姿态坐标系与质心轨道坐标系相对质心惯性坐标系的余弦转换矩阵分别为Rdi和Roi，则期望姿态坐标系相对于质心轨道坐标系的转换矩阵为

$R_{\mathrm{ab}}=R_{\mathrm{di}}{R}_{\mathrm{oi}}^T---\left(2\right).$

3.根据权利要求2所述异面交叉快变轨道固定时间稳定姿态指向跟踪控制方法，其特征在于：所述步骤二中期望姿态跟踪控制律的设计，具体步骤为：

在期望姿态坐标系各坐标轴单位矢量下对期望姿态角和本体姿态角进行计算：

将期望姿态角和本体姿态角分别记为a_d和a_b，它们的差为欧拉姿态角误差，记为e，即e＝a_b-a_d，令系统状态为可写出线性化状态方程

$\left[\begin{array}{c}\stackrel{\&OverBar;}{e}\\ \stackrel{--}{e}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}e\\ \stackrel{\&OverBar;}{e}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{I}\end{array}\right](u-{\stackrel{--}{a}}_{d}I)---\left(3\right)$

其中I为对应轴主惯量，在姿态跟踪过程中期望姿态角加速度是有界的，将项当成有界干扰γ，设γ₀为干扰上界，为欧拉姿态角的一阶导数，为欧拉姿态角的二阶导数，u为输入力矩，为本体姿态角的二阶导数；

线性化状态方程 $\left[\begin{array}{c}\stackrel{\&OverBar;}{e}\\ \stackrel{--}{e}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}e\\ \stackrel{\&OverBar;}{e}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{I}\end{array}\right](u-{\stackrel{--}{a}}_{d}I)$ 满足算法假设条件rank[b,Ab]＝n，

式中，n＝2为系统阶数， $A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{I}\end{array}\right];$ u为输入力矩；

并对线性化状态方程 $\left[\begin{array}{c}\stackrel{\&OverBar;}{e}\\ \stackrel{--}{e}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}e\\ \stackrel{\&OverBar;}{e}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{I}\end{array}\right](u-{\stackrel{--}{a}}_{d}I)$ 进行线性变换，x＝Ge，G＝[Ab,b]^-1，可得到

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\\ {\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right](u+\mathrm{\&gamma;})---\left(4\right)$

x₁和x₂是x＝Ge中的x，是个矢量 $x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right];$ 是x₁的一阶导数，是x₂的二阶导数，γ为有界干扰，u为输入力矩；

引入不丢失正负号信息的乘方运算符z^[q]＝|z|^qsign(z)，z，q∈R；滑模面的形式为：

$s=x_2+{(x_2^{\left[2\right]}+{\mathrm{\&alpha;}}_1{x}_1+{\mathrm{\&beta;}}_1{x}_1^{\left[3\right]})}^{[1/2]}---\left(5\right)$

式中，α₁β₁是可变的常值系数；

期望姿态跟踪控制律中期望姿态跟踪滑模控制律具有如下形式：

$u_1=-(\frac{{\mathrm{\&alpha;}}_1+3{\mathrm{\&beta;}}_1{x}_1^2}{2}+{\mathrm{\&gamma;}}_0)\mathrm{sign}\left(s\right)-{({\mathrm{\&alpha;}}_{2}s+{\mathrm{\&beta;}}_2{s}^{\left[3\right]})}^{[1/2]}---\left(6\right)$

式中，u₁为期望力矩， $({\mathrm{\&alpha;}}_1/2)={\mathrm{\&alpha;}}_2=({\mathrm{\&beta;}}_1/2)={\mathrm{\&beta;}}_2=(64/T_{\max }^2);$ sign(s)为符号函数；α₁、α₂、β₁和β₂都是可变常值系数，是可以任意赋值的变量；由期望姿态跟踪滑模控制律(6)形式可知需要调节的参数为T_max和γ₀；x在时间T_max内收敛到原点，即欧拉姿态角误差e在有限时间内收敛到原点。

4.根据权利要求3所述异面交叉快变轨道固定时间稳定姿态指向跟踪控制方法，其特征在于：所述步骤三中消除期望姿态跟踪控制律的抖振，具体步骤为：消除期望姿态跟踪控制律中期望姿态跟踪滑模控制律的抖振，在姿态跟踪滑模控制律中用饱和函数sat(s)代替符号函数sign(s)，

$u_1=-(\frac{{\mathrm{\&alpha;}}_1+3{\mathrm{\&beta;}}_1{x}_1^2}{2}+{\mathrm{\&gamma;}}_0)\mathrm{sat}\left(s\right)-{({\mathrm{\&alpha;}}_{2}s+{\mathrm{\&beta;}}_2{s}^{\left[3\right]})}^{[1/2]}---\left(7\right)$

$\mathrm{sat}\left(s\right)=\left\{\begin{array}{cc}1& s>\mathrm{\&Delta;}\\ \frac{1}{\mathrm{\&Delta;}}s& \left|s\right|\&le;\mathrm{\&Delta;}\\ -1& s<-\mathrm{\&Delta;}\end{array}\right.$

其中Δ>0，为边界层； $s=x_2+{(x_2^{\left[2\right]}+{\mathrm{\&alpha;}}_1{x}_1+{\mathrm{\&beta;}}_1{x}_1^{\left[3\right]})}^{[1/2]}.$

5.根据权利要求4所述异面交叉快变轨道固定时间稳定姿态指向跟踪控制方法，其特征在于：所述步骤四中追踪星与目标星轨道交叉点的期望姿态随追踪星与目标星轨道交叉点间的距离而变化，根据期望姿态跟踪控制律来确定执行机构的配置方案，求解期望姿态控制力矩，具体步骤为：

选用反作用飞轮和控制力矩陀螺组合配置；

当偏航轴用两个平行放置的单框架控制力矩陀螺控制；整个卫星角动量为零，即在卫星本体角速度为零时，使h₁和h₂方向相反，框架角为零；当两个陀螺转子角动量大小都为h，框架角分别为δ₁和δ₂，陀螺群在卫星本体系中总角动量为

$H=h\left[\begin{array}{c}\cos \left({\mathrm{\&delta;}}_1\right)-\cos \left({\mathrm{\&delta;}}_2\right)\\ -\sin \left({\mathrm{\&delta;}}_1\right)+\sin \left({\mathrm{\&delta;}}_2\right)\end{array}\right]---\left(8\right)$

h₁和h₂为二维角动量，有方向有大小，只能输出x、z方向力矩；h₁和h₂是矢量，h是在某个方向上的h₁和h₂的标量；

各陀螺框架转动产生的合成陀螺力矩T可表示为：

$T=-\stackrel{\&OverBar;}{H}=-h\left[\begin{array}{cc}-\sin {\mathrm{\&delta;}}_1& \sin {\mathrm{\&delta;}}_2\\ -\cos {\mathrm{\&delta;}}_1& \cos {\mathrm{\&delta;}}_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}}_1\\ {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}}_2\end{array}\right]=-\mathrm{hC}\left(\mathrm{\&delta;}\right)\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}---\left(9\right)$

式中，δ为陀螺框架角，是陀螺的框架角速度，C(δ)为陀螺群的力矩矩阵，是H的一阶导数，是δ₁的一阶导数，是δ₂的一阶导数；

控制力矩陀螺产生奇异，会陷入奇异状态，不能有效输出控制力矩，设计合适的操纵律来回避或脱离奇异状态，奇异值度量为：

D＝det(CC^T)         (10)

奇异时D＝0，非奇异时D>0，且该值越大表明奇异程度越小，

框架角速度采用鲁棒伪逆操纵律进行计算，具有如下形式：

$\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}=-C^T{({\mathrm{CC}}^T+\mathrm{\&alpha;E})}^{-1}\frac{T}{h}---\left(11\right)$

其中，为框架角速度，T为指令力矩，只需输出z轴力矩，即[0,T_z]^T；α为权系数，可根据D的大小实时调整；E是单位矩阵；C为陀螺群的力矩矩阵；h为陀螺转子角动量大小；

而滚动轴和俯仰轴分别用一个飞轮控制，期望姿态控制力矩工作模式下飞轮作为单纯一阶惯性环节，对

$\frac{1}{t_s{s}_1+1}---\left(12\right)$

进行分析与控制器设计；式中，t_s为一阶惯性系统的时间常数；

采用PD控制器进行设计，从e到飞轮实际输出期望姿态控制力矩u_w的传递函数为

$G_e^{u_w}=(k_p+k_d{s}_1)\frac{1}{t_s{s}_1+1}---\left(13\right)$

式中，k_p为比例环节系数，k_d为微分环节系数，为系统的传递函数；

期望姿态控制力矩u_w为