CN114706413B - 近地轨道微纳卫星变质心姿态控制方法及系统 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种近地轨道微纳卫星变质心姿态控制方法及系统，本发明方法按如下步骤：S1，建立在圆轨道运动的基于气动阻力作用的立方体微纳卫星姿态动力学模型；S2，利用滑块运动产生的压心与质心间距离变化控制卫星姿态，最终实现卫星三轴姿态稳定，即：使卫星本体坐标系与参考轨道坐标系重合，且两者相对角速度为零。本发明减弱了卫星姿态稳定时的振荡现象，减小了姿态稳定误差，有助于提高微纳卫星在近地轨道上运行时的姿态稳定精度。

Description

近地轨道微纳卫星变质心姿态控制方法及系统

技术领域

本发明属于卫星控制技术领域，具体涉及一种近地轨道微纳卫星变质心姿态控制方法及系统。

背景技术

当航天器处于低轨环境时，大气密度较大，航天器高速运动引发的气动阻力的长时效应无法忽略，为了维持航天器三轴姿态稳定，需要使用额外的能量对其进行控制。如若将气动力矩作为控制力矩的一部分，既可以有效减少航天器能量的消耗，延长在轨时间，又可以降低航天器的结构质量，减少发射成本，具有巨大的经济效益^[1]。传统的气动力控制^[1-4](【1】London H S.Change of Satellite Orbit Plane by AerodynamicManeuvering[J].Journal of the Aerospace Sciences,2015,29(3):323-332.【2】KumarR R,Mazanek D D,Heck M L.Simulation and Shuttle Hitchhiker validation ofpassive satellite aerostabilization[J].Journal of Spacecraft and Rockets,1995,32(5):806-811.【3】Virgili Llop,J.,“Aerostability for Low Altitude FlyingCubeSats,”2nd IAA Conference on University Satellites Missions and CubesatWorkshop,IAA Paper IAA-CU-13-10-03,Feb.2013.【4】Psiaki,Mark L.NanosatelliteAttitude Stabilization Using Passive Aerodynamics and Active MagneticTorquing[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2004,27(3):347-355.)均采用气动帆板，或者进行独特的气动外形设计。对于微纳卫星而言，其本身不能搭载过大的气动帆板；而进行气动外形设计不但延长了设计周期也增加了设计成本，这与其经济性南辕北辙。以上这些掣肘均要求提出一种新型的执行机构以更好的实现气动力控制在微纳卫星上的应用。

变质心控制是一种通过调整飞行器内部活动体与壳体的相对位置使系统质心发生变化，改变外力的作用力臂从而产生相应的附加力矩控制航天器姿态运动的控制技术^[5](【5】李涧青,高长生,荆武兴,杜华军.俯控式单滑块变质心飞行器控制问题[J].中国科学:技术科学,2016,46(10):1048-1056.)，其在卫星姿态控制上的应用在国内外均受到了广泛关注。埃及曼苏拉大学数学系的Gohary^[6-8](【6】El-Gohary A.On the Control ofProgrammed Motion of a Rigid Body Containing Moving Masses[J].InternationalJournal of Non-Linear Mechanics,2000,35(1):27-35.【7】El-Gohary A.GlobalStability of the Rotational Motion of a Rigid Body Containing Moving Masses[J].International Journal of Non-Linear Mechanics,2001,36(4):663-669.【8】El-Gohary A,Tawfik T.Optimal Control of the Rotational Motion of a Rigid Bodyusing Moving Masses[M].Elsevier Science Inc.2004.)着重研究了三轴稳定卫星的变质心姿态控制，针对刚体姿态运动设计一种配置三个滑块的主动稳定系统。南京理工大学的陆正亮^[9-10](【9】陆正亮,张翔,于永军,莫乾坤,廖文和.纳卫星变轨段质量矩姿态控制系统设计[J].航空学报,2017,38(06):242-252.【10】陆正亮,张翔,于永军,莫乾坤,廖文和.立方体卫星质量矩姿态控制建模与布局优化[J].系统工程与电子技术,2017,39(03):599-605.)研究了变质心姿态控制在使用固体推进装置的微纳卫星上的应用。美国海军研究生院的Chesi^[11](【11】Chesi S,Gong Q,Romano M.Aerodynamic Three-Axis AttitudeStabilization of a Spacecraft by Center-of-Mass Shifting[J].Journal ofGuidance Control&Dynamics,2017,40(7).)于2017年提出了一种基于气动力作用的变质心控制方法，并将其应用于微纳卫星的三轴稳定控制。基于气动力作用的变质心控制系统本身并不要求额外额气动帆板或者独特的气动外形，可以较好地弥补传统气动力控制的不足。因此，基于上述现状，本发明选择“双轴质量块+三轴磁力矩器”作为变质心执行机构，对近地轨道微纳卫星三轴姿态镇定的问题进行了研究，提出了一种近地轨道微纳卫星变质心姿态控制方法及系统。

发明内容

针对现有技术的上述现状，本发明提出了一种近地轨道微纳卫星变质心姿态控制方法及系统。

本发明采取如下技术方案：

近地轨道微纳卫星变质心姿态控制方法，其按如下步骤：

S1，建立在圆轨道运动的基于气动阻力作用的立方体微纳卫星姿态动力学模型；

S2，利用滑块运动产生的压心与质心间距离变化控制卫星姿态，实现卫星三轴姿态稳定，即：使卫星本体坐标系与参考轨道坐标系重合，且两者相对角速度为零。

优选的，步骤S1具体如下：

S1.1，建立立方体卫星气动模型：

将立方体卫星视为由两个部分组成的系统，其一是卫星壳体，其质心在立方体的体心O_b处，拥有系统90％以上的质量；其二是由壳体内部的可动质量块组成的质点系，各个质量块相对于壳体质心的相对位矢为r_i ；可动质量块均可视为质点，其质量用m_i表示；卫星壳体质心相对地心O_e位矢为R，质量块相对地心位矢为ρ_i；F_aero表示作用于卫星上的气动阻力，与卫星运行速度方向矢量v反向；

定义两个坐标系：卫星本体坐标系和参考轨道坐标系；卫星本体坐标系是星体固联坐标系，坐标原点为卫星壳体质心；取壳体质心与面心的连线中构成右手系的三条作为三轴；指向卫星速度方向的称为滚转轴O_bX_b，指向轨道平面负法线方向的成为偏航轴O_bY_b，指向地心方向的成为偏航轴O_bZ_b；卫星轨道坐标系的原点为卫星壳体质心，O_bZ_s轴由原点指向地心，O_bX_s轴在卫星轨道平面内，垂直于O_bZ_s轴，O_bY_s轴与轨道平面负法线方向一致，三轴组成右手系；

采用气动阻力与气动阻力矩模型：

T_aero＝r_p×F_aero (1-2)

其中，C_D为气动阻力系数，ρ为当地大气密度，V为轨道运行速率，S为卫星迎风面积，v为速度方向的单位矢量，r_p为壳体质心至气动压心的位置矢量；

对于边长为a立方体卫星各个表面的迎风面积用下式表示：

S_i＝a²sin(θ_i)＝a²(n_iv)i＝1，2...6 (1-3)

其中，θ_i为各面与气动阻力的夹角，n_i是各个面的外法向量，符号函数sgn判断各面是否迎风；当立方体卫星某一面迎风时，其背面一定背风；假设背风面不受气动阻力作用；

将(1-3)式代入(1-1)式获得各表面所受气动阻力：

其中，i＝1,2,3,4,5,6；将1,4；2,5；3,6做为3组对立面，各组对立面外法向量等大反向；

n₁＝-n₄；n₂＝-n₅；n₃＝-n₆

立方体卫星所受到的总的气动阻力是各个迎风面受到的气动阻力之和：

其中，k_d为立方体卫星的总气动阻力系数；气动阻力与卫星轨道速度反向；

同样的，立方体卫星所受到的总的气动阻力矩也是各个迎风面受到的气动阻力矩之和；

对于立方体来说，各个表面的形心即为各面压心，则气动力臂表示如下：

将(1-3)和上式代入(1-2)获得各表面所受气动阻力矩：

各面所受气动阻力矩视为系数部分

和矢量部分[(n_iv)sgn(n_iv)](n_i×v)的乘积；对于各对立面而言，其矢量部分是相同的：

(n₁v)(n₁×v)＝(-n₁v)(-n₁×v)＝(n₄v)(n₄×v)

(n₂v)(n₂×v)＝(-n₂v)(-n₂×v)＝(n₅v)(n₅×v)

(n₃v)(n₃×v)＝(-n₃v)(-n₃×v)＝(n₆v)(n₆×v)

这说明无论是对立面中的哪一面受作用，所受气动力矩是相同的；因此当计算立方体卫星所受总气动阻力时仅计算各组对立面中的一面，并省略符号函数；不失一般性的，仅计算1,2,3面，立方体卫星所受总的气动阻力矩如下：

在卫星本体系ObXbYbZb中将上式展开

其中，v_x、v_y、v_z为速度方向单位矢量，在卫星本体系ObXbYbZb下的三轴分量；

S1.2，建立立方体微纳卫星姿态动力学模型

对于微纳卫星壳体部分，利用欧拉方程得到其在卫星本体系下的姿态动力学方程：

其中，T_m为电磁力矩，T_i为内力矩；

对于可动质量块部分，利用质点转动动力学基本方程得到其在地心惯性系下的转动动力学方程：

其中ρ_i＝R+r_i，为可动质量块相对地心位矢；

将(2)式等号左侧完全展开：

卫星内部可动质量块相对壳体质心的位矢r_i相对于壳体质心的地心矢径R为小量，且一般变化缓慢，忽略其二阶导数项；(2)式化简为：

假设系统仅受气动阻力及重力，则系统动力学方程为：

同理，忽略r_i二阶导数项，代入(4)式；可动滑块的姿态动力学模型最终简化为：

r_i ^×μ_iF_aero＝-Τ_i (6)

其中μ_i为可动质量块与系统总质量的比值，由式(7)确定：

(7)式在卫星本体系和地心惯性系中拥有相同的表达式，所以系统姿态动力学方程在卫星本体系下的表达式直接由(2)式和(7)式相加得到：

其中，T_r＝F_aero ^×∑μ_ir_i，为可动质量块引起的附加气动力矩，即变质心控制力矩；

卫星对地心转动角速度分解为对参考轨道坐标系转动角速度ω_e与参考轨道坐标系对地心惯性系的转动角速度ω_o之和，即ω＝ω_e+ω_o，如此，(9)式变形为：

参考轨道系对地心惯性系转动角速度在本体系下的时间导数由相对求导法：

C_bs代表参考轨道系到卫星本体系的转换矩阵，即x^b＝C_bsx^s，上标表示变量在不同坐标系中的分量式；默认ω_e,I,r_i,T_m为本体系下分量式，ω_o,F_aero为轨道坐标系下分量，略去上标；最终得到的姿态动力学模型如下：

式中/>

F_earo ^b＝C_bsFaero，T_r＝F_aero ^b×∑μ_ir_i。

进一步优选的，步骤S2具体如下：

采用四元数描述卫星姿态，设Q为卫星本体坐标系相对于参考轨道系的姿态四元数，运动学方程由下式表示：

根据李雅普诺夫稳定性定理，取李雅普诺夫函数为：

其中，k_q和K_I为正的常数，K_I大于等于壳体转动惯量矩阵的最大元素值；当且仅当Q＝[1 0 0 0]^T，并且ω_e＝[0 0 0]^T时，李雅普诺夫函数为零，其他任意状态，李雅普诺夫函数值均大于零，即李雅普诺夫函数是正定的；

对李雅普诺夫函数进行求导：

将其分成关于四元数和关于角速度的两部分分别化简；

将(24)式代入(27)式：

将(24)式代入(28)式：

由混合积运算法则得：

由于惯量矩阵为对称阵，则有：

将(31)_式和(32)式代入(30)式，得到式子如下：

/>

对于变质心卫星，控制力矩为：

其中，B为地磁场在卫星本体系下分量式，m为卫星磁矩在卫星本体系下分量式；

取控制量为：

u＝∑μ_ir_i (35)

另设磁矩m为控制量的线性函数：

控制力矩化简为：

其中，K为控制输入矩阵；

将(29)式、(34)式和(37)式代入(26)式，李雅普诺夫函数的时间函数化简为：

可取控制量为：

u＝-K^-1(k_qq+k_ωω_e) (39)

其中，k_ω为大于零的常数；最终，(38)式化简为：

可知李雅普诺夫导函数在平衡点Q＝[1 0 0 0]^T ω_e＝[0 0 0]^T处之外始终小于零，即李雅普诺夫导函数在状态空间中是负定的；

由于滑块位移最大不能超出立方星壳体，变质心执行器存在饱和性，设l_max为最大位移距离；附加气动力矩最终由下式表示：

考虑磁力矩器的饱和性，设M_max为最大磁偶极矩，电磁力矩最终由下式表示：

本发明还公开一种近地轨道微纳卫星变质心姿态控制系统，其包括如下模块：

模型建立模块：建立在圆轨道运动的基于气动阻力作用的立方体微纳卫星姿态动力学模型；

变质心控制模块：利用滑块运动产生的压心与质心间距离变化控制卫星姿态，实现卫星三轴姿态稳定，即：使卫星本体坐标系与参考轨道坐标系重合，且两者相对角速度为零。

本发明针对在对地高度200～400km处运行的近地轨道微纳卫星，根据其所受气动阻力较大的特点，设计了一种基于气动阻力作用的变质心姿态控制技术方案。考虑到变质心卫星系统质心位置可变，本发明建立了以卫星壳体质心为参考点的变质心卫星姿态动力学方程。

更进一步，基于李雅普诺夫第二法，本发明设计了一种“类PD”控制律，并证明了卫星姿态在该控制律作用下的稳定性。由于气动力矩垂直于气动阻力，为实现理想的控制力矩需要考虑额外的执行机构辅助控制，本发明采用了磁力矩器。利用数值仿真模拟卫星在轨运行，通过移动卫星内部可动质量块位置，改变系统质心相对于壳体气动压心的位置矢量，从而改变作用于卫星上的气动力矩以实现对卫星姿态的控制。仿真结果表明，变质心控制方法相较于传统的纯磁控方法，减弱了卫星姿态稳定时的振荡现象，减小了姿态稳定误差，有助于提高微纳卫星在近地轨道上运行时的姿态稳定精度。

附图说明

图1是变质心微纳卫星在轨示意图。

图2是坐标系示意图。

图3是立方星气动阻力示意图。

图4是本发明近地轨道微纳卫星变质心姿态控制系统框图。

图5是卫星姿态四元数图。

图6是内部质量块位移图。

图7是三轴磁矩图。

具体实施方式

下面结合附图对发明优选实施例做详细说明。

实施例1

本实施例近地轨道微纳卫星变质心姿态控制方法，按如下步骤：

1、变质心姿态动力学模型的建立和约束

变质心微纳卫星的姿态动力学模型的建立是微纳卫星变质心姿态控制的基础。本步骤建立了在圆轨道运动的基于气动阻力作用的立方体微纳卫星姿态动力学模型。

1.1立方星气动模型

本步骤将立方星视为由两个部分组成的系统。其一是卫星壳体，其质心在立方体的体心O_b处，拥有系统90％以上的质量；其二是由壳体内部的可动质量块组成的质点系，各个质量块相对于壳体质心的相对位矢为r_i ；可动质量块均可视为质点，其质量用m_i分别表示。卫星壳体质心相对地心O_e位矢为R，质量块相对地心位矢为ρ_i。F_aero表示作用于卫星上的气动阻力，与卫星运行速度方向矢量v反向。

首先定义两个坐标系：航天器本体坐标系和参考轨道坐标系。航天器本体坐标系是星体固联坐标系，坐标原点为航天器壳体质心。由于本发明研究对象为立方星，故取壳体质心与面心的连线中构成右手系的三条作为三轴。指向航天器速度方向的称为滚转轴O_bX_b，指向轨道平面负法线方向的成为偏航轴O_bY_b，指向地心方向的成为偏航轴O_bZ_b。航天器轨道坐标系的原点为航天器壳体质心，O_bZ_s轴由原点指向地心，O_bX_s轴在航天器轨道平面内，垂直于O_bZ_s轴，O_bY_s轴与轨道平面负法线方向一致，三轴组成右手系。

气动阻力和气动阻力矩的计算方法可由空气动力学得出。本实施例使用工程上常用的气动阻力与气动阻力矩模型：

T_aero＝r_p×F_aero (1-2)

其中C_D为气动阻力系数，ρ为当地大气密度，V为轨道运行速率，S为航天器迎风面积，v为速度方向的单位矢量，r_p为壳体质心至气动压心的位置矢量。参见图3。

对于边长为a立方星各个表面的迎风面积可以用下式表示：

S_i＝a²sin(θ_i)＝a²(n_iv) i＝1，2...6 (1-3)

其中θ_i为各面与气动阻力的夹角，n_i是各个面的外法向量，符号函数sgn判断各面是否迎风。显而易见的，当立方星某一面迎风时，其背面一定背风。基于常识，本实施例假设背风面不受气动阻力作用。

将(1-3)代入(1-1)可以获得各表面所受气动阻力：

其中i＝1,2,3,4,5,6。不失一般性的，本实施例将1,4；2,5；3,6做为3组对立面，各组对立面外法向量等大反向。

n₁＝-n₄；n₂＝-n₅；n₃＝-n₆

立方星所受到的总的气动阻力是各个迎风面受到的气动阻力之和：

其中，k_d为立方星的总气动阻力系数。气动阻力与卫星轨道速度反向。

同样的，立方星所受到的总的气动阻力矩也是各个迎风面受到的气动阻力矩之和。

对于立方体来说，各个表面的形心即为各面压心，则气动力臂可表示如下：

将(1-3)和上式代入(1-2)可以获得各表面所受气动阻力矩：

各面所受气动阻力矩可以视为系数部分

和矢量部分[(n_iv)sgn(n_iv)](n_i×v)的乘积。对于各对立面而言，其矢量部分是相同的：

(n₁v)(n₁×v)＝(-n₁v)(-n₁×v)＝(n₄v)(n₄×v)

(n₂v)(n₂×v)＝(-n₂v)(-n₂×v)＝(n₅v)(n₅×v)

(n₃v)(n₃×v)＝(-n₃v)(-n₃×v)＝(n₆v)(n₆×v)

这说明无论是对立面中的哪一面受作用，所受气动力矩是相同的。因此，当计算立方星所受总气动阻力时可以仅计算各组对立面中的一面，并省略符号函数。不失一般性的，仅计算1,2,3面，立方星所受总的气动阻力矩如下：

在卫星本体系ObXbYbZb中将上式展开

其中，v_x、v_y、v_z为速度方向单位矢量在卫星本体系ObXbYbZb下的三轴分量。

对于受气动阻力作用的立方星而言，在系统质心位于立方体的体心的情况下，不受气动阻力矩作用。这说明，系统在不受控制作用的情况下，系统姿态能在惯性坐标系下保持初始姿态不变。

1.2变质心立方星姿态动力学建模

对于微纳卫星壳体部分，可以直接利用欧拉方程得到其在航天器本体系下的姿态动力学方程：

其中，T_m为电磁力矩，T_i为内力矩

对于可动质量块部分，利用质点转动动力学基本方程得到其在地心惯性系下的转动动力学方程：

其中ρ_i＝R+r_i，为可动质量块相对地心位矢。

将(2)式等号左侧完全展开：

卫星内部可动质量块相对壳体质心的位矢r_i相对于壳体质心的地心矢径R为小量，且一般变化缓慢，忽略其二阶导数项。(2)式可化简为：

假设系统仅受气动阻力及重力，则系统动力学方程为：

同理，忽略r_i二阶导数项，代入(4)式。可动滑块的姿态动力学模型最终简化为：

r_i ^×μ_iF_aero＝-Τ_i (6)

其中μ_i为可动质量块与系统总质量的比值，由式(8)确定：

/>

(7)式在航天器本体系和地心惯性系中拥有相同的表达式，所以系统姿态动力学方程在航天器本体系下的表达式可直接由(2)式和(7)式相加得到：

其中，T_r＝F_aero ^×∑μ_ir_i，为可动质量块引起的附加气动力矩，即变质心控制力矩。变质心控制通过控制内部可动质量块的位置，改变系统所受附加气动力矩的大小和方向，从而控制系统的姿态。

航天器对地心转动角速度,可以分解为对参考轨道坐标系转动角速度ω_e与参考轨道坐标系对地心惯性系的转动角速度ω_o之和，即ω＝ω_e+ω_o。如此，(9)式可以变形为：

参考轨道系对地心惯性系转动角速度在本体系下的时间导数可由相对求导法：

C_bs代表参考轨道系到航天器本体系的转换矩阵，即x^b＝C_bsx^s，上标表示变量在不同坐标系中的分量式。默认ω_e,I,r_i,T_m为本体系下分量式，ω_o,F_aero为轨道坐标系下分量，略去上标。最终得到的姿态动力学模型如下：

式中/>

F_aero ^b＝C_bsF_aero,

T_r＝F_aero ^b×∑μ_ir_i。

变质心控制原理如下：

定义参考轨道坐标系至航天器本体系的三轴姿态角分别为：滚转角

偏航角λ和俯仰角θ。定义坐标变换的转动顺序为先偏航，后俯仰，再滚转，即zyx转序。

为了定量的分析变质心航天器的控制原理，需要对变质心航天器的姿态动力学模型进行简化。故做线性化假设如下：当航天器姿态控制系统正常工作时，航天器本体坐标系相对于参考轨道坐标系的偏差很小，三轴稳定航天器姿态角与姿态角变化率都是小量，可以忽略其二阶以上的各项。这也是传统姿态稳定控制的基本假设。

目前，越来越多的空间任务要求卫星具备全方位的机动能力和高精度的姿态保持能力。当卫星进行大角度姿态机动之后，姿态动力学方程耦合程度加剧，非线性项增多。对于变质心航天器而言，由于内部可动质量块的偏移，系统耦合程度更加严重，线性化假设不但无法保证系统的性能，更有可能导致系统不稳定。针对稳定姿态角度较大的情况，需要进一步对其稳定控制原理进行阐述。

1.3.1线性化假设下的三轴稳定控制原理具体如下：

将变质心控制力矩在航天器本体系下展开：

/>

前文提到，可动质量块总质量不足航天器总质量的10％，因此各个质量块与系统总质量的比值μ_i为小量。结合小角度假设，忽略(9)式中的二阶小量：

完整的姿态动力学简化模型如下：

由线性化结果可知，对于附加气动力矩，俯仰轴质量块的偏移会引起偏航轴力矩的变化从而控制偏航轴姿态角的变化，而偏航轴质量块的偏移则会引起俯仰轴力矩的变化从而控制俯仰轴姿态角的变化，这就是变质心控制的基本原理。最终稳定时，偏航轴与俯仰轴姿态角为0°，两轴质量块位于坐标原点。

另一方面，若仅由变质心机构控制姿态，会使滚转轴处于无控状况。这是因为对于气动力矩而言，其只存在垂直于航天器运行速度方向平面内的分量，当系统姿态角过小时，速度方向和滚转轴方向基本重合，故而无法产生沿滚转轴方向的控制力矩。为了实现对航天器姿态的完全控制，必须引入其他执行机构产生滚转轴的控制力矩。

1.3.2非线性化假设下的三轴稳定控制原理具体如下：

当航天器本体坐标系相对参考轨道坐标系的姿态参数无法视为小量时，变质心航天器姿态动力学方程在航天器本体坐标系下展开为：

其中，c_ij为转换矩阵C_bs第i行第j列元素。

假设航天器已经稳定在某一确定姿态，此时三轴姿态角速度和姿态角加速度均为零。上式化简为：

由1.1步的分析可知，当系统质心与立方体体心重合时，系统姿态在惯性空间内保持不变。在航天器本体坐标系下，系统会受到惯性力矩

和

的作用，使航天器姿态发生漂移。为了使航天器姿态在航天器本体坐标系下稳定，必须消除惯性力矩的影响，这就要求合理布置可动质量块的位置，使得上面三个式子成立。将上式变形为矩阵方程AR＝B的形式：

经计算，A矩阵的秩为2，增广矩阵(A|B)的秩为3，原矩阵方程无解。这说明，当系统仅受变质心执行机构控制时，当且仅当三轴惯量至少有两个相等时，系统可以稳定在任意姿态。一般情况下，仅靠变质心执行机构无法实现系统在任意姿态的稳定，需要增加额外的执行机构。根据1.3.1节的分析，磁力矩器负责滚转轴控制，变质心执行机构负责俯仰轴和偏航轴控制，略去滚转轴可动质量块。

可以看出，当稳定状态的姿态参数相同时，即c_ij不变时，航天器惯性主轴惯量差I_z-I_x、I_x-I_y越大，所需可动质量块的位移r_y、r_z越大。当惯性主轴惯量差确定，可动质量块位移随稳定状态的姿态参数变化较为复杂，为进一步分析，先将(12)式展开：

其中，s、c、t分别代表sin，cos，tan。当稳定姿态角确定之后，可由(13)式、(14)式分别计算出平衡惯性力矩所需的质量块位移。

由于内部质量块最大位移距离r_ymax、r_zmax的限制，并不是所有的姿态角都可以实现稳定。从(13)、(14)式可以看出，由于tan(λ)项的存在，偏航角λ的大小会对可稳定的姿态角范围产生显著影响。当偏航角为0°时，无论稳定状态俯仰角和滚转角如何变化，航天器姿态稳定时两轴质量块位置均为0，这是因为c₁₂＝cos(θ)sin(λ)＝0，系统仅有滚转轴受到惯性力矩作用。而当偏航角逐渐增大接近±90°时，系统仅在俯仰角θ为0°时，才有可能保持稳定，否则r_z或r_y会趋于无穷大，这是无法实现的。为定量分析偏航角对姿态角稳定范围的影响，利用多元函数极值理论分别计算不同偏航角下双轴质量块位移的理论最大值。

1)z轴质量块位移理论最大值与偏航角的关系

固定偏航角λ，将r_z视为滚转角φ和俯仰角θ的二元函数，求出r_z理论最大值关于偏航角的函数关系。

先求(13)式关于滚转角和俯仰角的偏导数：

/>

当以上两式均为0时，r_z取极值，联立解得

θ＝0或/>

或

分别代入(13)式，

最终r_z最大值由下式表示

2)y轴质量块位移理论最大值与偏航角的关系

同样的，求(14)式关于滚转角和俯仰角的偏导数：

可以解得在

θ＝0或/>

或/>

时，(14)式取极值，代入化简结果与(17)式类似，不再赘述。最终得到r_y最大值由下式表示：

由(18)、(21)式可以看出，当航天器轨道参数ω_o、k_d以及自身质量参数μ_i、I_x、I_y、I_z确定之后，航天器是否能稳定在某一姿态参数主要由偏航角λ决定。

当y轴和z轴质量块均位于其能到达的最大位移时，解得：

(22)、(23)式分别代表了z轴质量块最大位移距离与y轴质量块最大位移距离限制下，一定能实现姿态稳定的最大偏航角。

根据之前的分析可知，对于变质心航天器，若要求其稳定在非零姿态角，需要合理配置质量块位置以平衡惯性力矩。而系统能否平衡惯性力矩，又受到稳定姿态角和双轴质量块最大位移的双重约束。当abs(λ)≤min{λ_y λ_z}时，可以通过(13)式和(14)式合理地配置质量块位置实现航天器姿态稳定。当abs(λ)≥min{λ_y λ_z}之后，无论如何调整质量块位置，某些姿态角是无法实现稳定的，随着偏航角λ的增大，不可稳定的姿态角范围也会逐渐扩大。

2.变质心控制器设计

本发明姿态控制的目的是使航天器三轴姿态稳定，即使航天器本体坐标系与参考轨道坐标系重合，且两者相对角速度ω_e为零。

基于Lyapunov直接法的姿态控制律设计：

采用四元数描述航天器姿态。设Q为航天器本体坐标系相对于参考轨道系的姿态四元数，运动学方程可由下式表示：

根据李雅普诺夫稳定性定理，取李雅普诺夫函数为：

其中，k_q和K_I为正的常数，K_I大于等于壳体转动惯量矩阵的最大元素值；易知，当且仅当Q＝[1 0 0 0]^T，并且ω_e＝[0 0 0]^T时，李雅普诺夫函数为零，其他任意状态，李雅普诺夫函数值均大于零，即李雅普诺夫函数是正定的。

对李雅普诺夫函数进行求导：

将其分成关于四元数和关于角速度的两部分分别化简；

将(12)式代入(16)式：

将(13)式代入(17)式：

由混合积运算法则得：

由于惯量矩阵为对称阵，则有：

将(20)式和(21)式代入(19)式，得到式子如下：

对于变质心航天器，控制力矩为：

其中，B为地磁场在航天器本体系下分量式，m为航天器磁矩在航天器本体系下分量式。

取控制量为：

u＝∑μ_ir_i (35)

另设磁矩m为控制量的线性函数：

控制力矩化简为：

其中，K为控制输入矩阵。

将(29)式、(34)式和(37)式代入(26)式，李雅普诺夫函数的时间函数化简为：

可取控制量为：

u＝-K^-1(k_qq+k_ωω_e) (39)

其中，k_ω为大于零的常数。最终，(38)式化简为：

可知李雅普诺夫导函数在平衡点Q＝[1 0 0 0]^Tω_e＝[0 0 0]^T处之外始终小于零，即李雅普诺夫导函数在状态空间中是负定的。因此，在该控制律作用下，航天器姿态控制系统是大范围渐进稳定的。

由于滑块位移最大不能超出立方星壳体，变质心执行器存在饱和性，设l_max为最大位移距离。附加气动力矩最终由下式表示：

考虑磁力矩器的饱和性，设M_max为最大磁偶极矩，电磁力矩最终由下式表示：

从上文的分析可知，即使对理论控制力矩的实现方式进行了设计，仍然无法避免某些特殊情况下，控制力矩无法实现的情况。例如，当航天器轨道运行速度方向与当地地磁场磁感应强度方向一致时，附加气动力矩和电磁力矩均无法提供沿航天器轨道运行速度方向的力矩。由于惯性，这种情况不会长期存在。因此，采用本发明的方式可较好地实现理论控制力矩。

对上述实施例进行仿真校验：

利用matlab&simulink软件搭建仿真平台。假设某卫星结构尺寸为10cm×10cm×10cm，系统质量为1kg，内部滑块质量均为系统总质量的2.5％，卫星壳体转动惯量矩阵为diag[0.011,0.0138,0.0043]kg·m²。模拟卫星在350km高度的轨道上运行，轨道运行角速率ω_o为1.146×10^-3rad/s，轨道运行速率V为7.701×10³m/s。仿真时地磁场采用第12代IGRF(International Geomagnetic Reference Field)地磁场模型。

仿真结果如图5-7所示。实施例2

本实施例公开了一种近地轨道微纳卫星变质心姿态控制系统，其包括相连的如下模块：

模型建立模块：建立在圆轨道运动的基于气动阻力作用的立方体微纳卫星姿态动力学模型；

变质心控制模块：利用滑块运动产生的压心与质心间距离变化控制卫星姿态，实现卫星三轴姿态稳定，即：使卫星本体坐标系与参考轨道坐标系重合，且两者相对角速度为零。

本实施例的其他内容可以参考实施例1。

本发明首先建立了以系统质心为参考点的变质心航天器姿态动力学方程，明确了变质心控制系统的工作方式，证明了变质心执行机构控制立方形姿态运动的可行性，并利用小角度假设的分析结果将三滑块简化为双滑块以减小系统的三轴耦合性。然后本发明基于李雅普诺夫直接法设计了三轴姿态镇定控制律，并根据执行机构提供力矩的方向性设计了控制力矩的分配关系。最后在matlab&simulink平台上进行了仿真校验。仿真结果证明，所设计控制律和变质心执行机构可有效的实现立方星的三轴姿态镇定。

以上显示和描述了本发明的基本原理和主要特征和本发明的优点。本领域技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明范围内。

Claims (4)

1.近地轨道微纳卫星变质心姿态控制方法，其特征是按如下步骤：

S1，建立在圆轨道运动的基于气动阻力作用的立方体微纳卫星姿态动力学模型；

S2，利用滑块运动产生的压心与质心间距离变化控制卫星姿态，实现卫星三轴姿态稳定，即：使卫星本体坐标系与参考轨道坐标系重合，且两者相对角速度为零；

步骤S1具体如下：

S1.1，建立立方体卫星气动模型：

将立方体卫星视为由两个部分组成的系统，其一是卫星壳体，其质心在立方体的体心O_b处，拥有系统90％以上的质量；其二是由壳体内部的可动质量块组成的质点系，各个质量块相对于壳体质心的相对位矢为r_i；可动质量块均能视为质点，其质量用m_i表示；卫星壳体质心相对地心O_e位矢为R，质量块相对地心位矢为ρ_i；F_aero表示作用于卫星上的气动阻力，与卫星运行速度方向矢量v反向；

定义两个坐标系：卫星本体坐标系和参考轨道坐标系；卫星本体坐标系是星体固联坐标系，坐标原点为卫星壳体质心；取壳体质心与面心的连线中构成右手系的三条作为三轴；指向卫星速度方向的称为滚转轴O_bX_b，指向轨道平面负法线方向的成为偏航轴O_bY_b，指向地心方向的成为偏航轴O_bZ_b；卫星轨道坐标系的原点为卫星壳体质心，O_bZ_s轴由原点指向地心，O_bX_s轴在卫星轨道平面内，垂直于O_bZ_s轴，O_bY_s轴与轨道平面负法线方向一致，三轴组成右手系；

采用气动阻力与气动阻力矩模型：

T_aero＝r_p×F_aero (1-2)

其中，C_D为气动阻力系数，ρ为当地大气密度，V为轨道运行速率，S为卫星迎风面积，v为速度方向的单位矢量，r_p为壳体质心至气动压心的位置矢量；

对于边长为a立方体卫星各个表面的迎风面积用下式表示：

S_i＝a²sin(θ_i)＝a²(n_iv)i＝1，2...6 (1-3)

其中，θ_i为各面与气动阻力的夹角，n_i是各个面的外法向量，符号函数sgn判断各面是否迎风；当立方体卫星某一面迎风时，其背面一定背风；假设背风面不受气动阻力作用；

将(1-3)式代入(1-1)式获得各表面所受气动阻力：

其中，i＝1,2,3,4,5,6；将1,4；2,5；3,6做为3组对立面，各组对立面外法向量等大反向；

n₁＝-n₄；n₂＝-n₅；n₃＝-n₆

立方体卫星所受到的总的气动阻力是各个迎风面受到的气动阻力之和：

其中，k_d为立方体卫星的总气动阻力系数；气动阻力与卫星轨道速度反向；

同样的，立方体卫星所受到的总的气动阻力矩也是各个迎风面受到的气动阻力矩之和；

对于立方体来说，各个表面的形心即为各面压心，则气动力臂表示如下：

将(1-3)和上式代入(1-2)获得各表面所受气动阻力矩：

各面所受气动阻力矩视为系数部分

和矢量部分[(n_iv)sgn(n_iv)](n_i×v)的乘积；对于各对立面而言，其矢量部分是相同的：

(n₁v)(n₁×v)＝(-n₁v)(-n₁×v)＝(n₄v)(n₄×v)

(n₂v)(n₂×v)＝(-n₂v)(-n₂×v)＝(n₅v)(n₅×v)

(n₃v)(n₃×v)＝(-n₃v)(-n₃×v)＝(n₆v)(n₆×v)

这说明无论是对立面中的哪一面受作用，所受气动力矩是相同的；因此当计算立方体卫星所受总气动阻力时仅计算各组对立面中的一面，并省略符号函数；仅计算1,2,3面，立方体卫星所受总的气动阻力矩如下：

在卫星本体系ObXbYbZb中将上式展开

其中，v_x、v_y、v_z为速度方向单位矢量，在卫星本体系ObXbYbZb下的三轴分量；

S1.2，建立立方体微纳卫星姿态动力学模型

对于微纳卫星壳体部分，利用欧拉方程得到其在卫星本体系下的姿态动力学方程：

其中，T_m为电磁力矩，T_i为内力矩；

对于可动质量块部分，利用质点转动动力学基本方程得到其在地心惯性系下的转动动力学方程：

其中ρ_i＝R+r_i，为可动质量块相对地心位矢；

将(2)式等号左侧完全展开：

/>

卫星内部可动质量块相对壳体质心的位矢r_i相对于壳体质心的地心矢径R为小量，忽略其二阶导数项；(2)式化简为：

假设系统仅受气动阻力及重力，则系统动力学方程为：

同理，忽略r_i二阶导数项，代入(4)式；可动滑块的姿态动力学模型最终简化为：

r_i ^×μ_iF_aero＝-Τ_i (6)

其中μ_i为可动质量块与系统总质量的比值，由式(7)确定：

(7)式在卫星本体系和地心惯性系中拥有相同的表达式，所以系统姿态动力学方程在卫星本体系下的表达式直接由(2)式和(7)式相加得到：

其中，T_r＝F_aero ^×∑μ_ir_i，为可动质量块引起的附加气动力矩，即变质心控制力矩；

卫星对地心转动角速度分解为对参考轨道坐标系转动角速度ω_e与参考轨道坐标系对地心惯性系的转动角速度ω_o之和，即ω＝ω_e+ω_o，如此，(9)式变形为：

参考轨道系对地心惯性系转动角速度在本体系下的时间导数由相对求导法：

C_bs代表参考轨道系到卫星本体系的转换矩阵，即x^b＝C_bsx^s，上标表示变量在不同坐标系中的分量式；默认ω_e,I,r_i,T_m为本体系下分量式，ω_o,F_aero为轨道坐标系下分量，略去上标；最终得到的姿态动力学模型如下：

式中/>

T_r＝F_aero ^b×Σμ_ir_i。

2.如权利要求1所述的近地轨道微纳卫星变质心姿态控制方法，其特征是，步骤S2具体如下：采用四元数描述卫星姿态，设Q为卫星本体坐标系相对于参考轨道系的姿态四元数，运动学方程由下式表示：

根据李雅普诺夫稳定性定理，取李雅普诺夫函数为：

其中，k_q和K_I为正的常数，K_I大于等于壳体转动惯量矩阵的最大元素值；当且仅当Q＝[10 0 0]^T，并且ω_e＝[0 0 0]^T时，李雅普诺夫函数为零，其他任意状态，李雅普诺夫函数值均大于零，即李雅普诺夫函数是正定的；

对李雅普诺夫函数进行求导：

将其分成关于四元数和关于角速度的两部分分别化简；

将(24)式代入(27)式：

将(24)式代入(28)式：

由混合积运算法则得：

由于惯量矩阵为对称阵，则有：

将(31)式和(32)式代入(30)式，得到式子如下：

对于变质心卫星，控制力矩为：

其中，B为地磁场在卫星本体系下分量式，m为卫星磁矩在卫星本体系下分量式；

取控制量为：

u＝Σμ_ir_i (35)

另设磁矩m为控制量的线性函数：

控制力矩化简为：

其中，K为控制输入矩阵；

将(29)式、(34)式和(37)式代入(26)式，李雅普诺夫函数的时间函数化简为：

取控制量为：

u＝-K^-1(k_qq+k_ωω_e) (39)

其中，k_ω为大于零的常数；最终，(38)式化简为：

/>

得知李雅普诺夫导函数在平衡点Q＝[1 0 0 0]^Tω_e＝[0 0 0]^T处之外始终小于零，即李雅普诺夫导函数在状态空间中是负定的；

由于滑块位移最大不能超出立方星壳体，变质心执行器存在饱和性，设l_max为最大位移距离；附加气动力矩最终由下式表示：

考虑磁力矩器的饱和性，设M_max为最大磁偶极矩，电磁力矩最终由下式表示：

3.近地轨道微纳卫星变质心姿态控制系统，其特征是包括如下模块：

模型建立模块：建立在圆轨道运动的基于气动阻力作用的立方体微纳卫星姿态动力学模型；

变质心控制模块：利用滑块运动产生的压心与质心间距离变化控制卫星姿态，实现卫星三轴姿态稳定，即：使卫星本体坐标系与参考轨道坐标系重合，且两者相对角速度为零；

模型建立模块包括立方体卫星气动模型、立方体微纳卫星姿态动力学模型；

立方体卫星气动模型具体如下：

将立方体卫星视为由两个部分组成的系统，其一是卫星壳体，其质心在立方体的体心O_b处，拥有系统90％以上的质量；其二是由壳体内部的可动质量块组成的质点系，各个质量块相对于壳体质心的相对位矢为r_i；可动质量块均能视为质点，其质量用m_i表示；卫星壳体质心相对地心O_e位矢为R，质量块相对地心位矢为ρ_i；F_aero表示作用于卫星上的气动阻力，与卫星运行速度方向矢量v反向；

定义两个坐标系：卫星本体坐标系和参考轨道坐标系；卫星本体坐标系是星体固联坐标系，坐标原点为卫星壳体质心；取壳体质心与面心的连线中构成右手系的三条作为三轴；指向卫星速度方向的称为滚转轴O_bX_b，指向轨道平面负法线方向的成为偏航轴O_bY_b，指向地心方向的成为偏航轴O_bZ_b；卫星轨道坐标系的原点为卫星壳体质心，O_bZ_s轴由原点指向地心，O_bX_s轴在卫星轨道平面内，垂直于O_bZ_s轴，O_bY_s轴与轨道平面负法线方向一致，三轴组成右手系；

采用气动阻力与气动阻力矩模型：

T_aero＝r_p×F_aero (1-2)

其中，C_D为气动阻力系数，ρ为当地大气密度，V为轨道运行速率，S为卫星迎风面积，v为速度方向的单位矢量，r_p为壳体质心至气动压心的位置矢量；

对于边长为a立方体卫星各个表面的迎风面积用下式表示：

S_i＝a²sin(θ_i)＝a²(n_iv)i＝1，2...6 (1-3)

其中，θ_i为各面与气动阻力的夹角，n_i是各个面的外法向量，符号函数sgn判断各面是否迎风；当立方体卫星某一面迎风时，其背面一定背风；假设背风面不受气动阻力作用；

将(1-3)式代入(1-1)式获得各表面所受气动阻力：

其中，i＝1,2,3,4,5,6；将1,4；2,5；3,6做为3组对立面，各组对立面外法向量等大反向；

n₁＝-n₄；n₂＝-n₅；n₃＝-n₆

立方体卫星所受到的总的气动阻力是各个迎风面受到的气动阻力之和：

其中，k_d为立方体卫星的总气动阻力系数；气动阻力与卫星轨道速度反向；

同样的，立方体卫星所受到的总的气动阻力矩也是各个迎风面受到的气动阻力矩之和；

对于立方体来说，各个表面的形心即为各面压心，则气动力臂表示如下：

将(1-3)和上式代入(1-2)获得各表面所受气动阻力矩：

各面所受气动阻力矩视为系数部分

和矢量部分[(n_iv)sgn(n_iv)](n_i×v)的乘积；对于各对立面而言，其矢量部分是相同的：

(n₁v)(n₁×v)＝(-n₁v)(-n₁×v)＝(n₄v)(n₄×v)

(n₂v)(n₂×v)＝(-n₂v)(-n₂×v)＝(n₅v)(n₅×v)

(n₃v)(n₃×v)＝(-n₃v)(-n₃×v)＝(n₆v)(n₆×v)

这说明无论是对立面中的哪一面受作用，所受气动力矩是相同的；因此当计算立方体卫星所受总气动阻力时仅计算各组对立面中的一面，并省略符号函数；仅计算1,2,3面，立方体卫星所受总的气动阻力矩如下：

在卫星本体系ObXbYbZb中将上式展开

其中，v_x、v_y、v_z为速度方向单位矢量，在卫星本体系ObXbYbZb下的三轴分量；

立方体微纳卫星姿态动力学模型具体如下：

对于微纳卫星壳体部分，利用欧拉方程得到其在卫星本体系下的姿态动力学方程：

其中，T_m为电磁力矩，T_i为内力矩；

对于可动质量块部分，利用质点转动动力学基本方程得到其在地心惯性系下的转动动力学方程：

其中ρ_i＝R+r_i，为可动质量块相对地心位矢；

将(2)式等号左侧完全展开：

卫星内部可动质量块相对壳体质心的位矢r_i相对于壳体质心的地心矢径R为小量，忽略其二阶导数项；(2)式化简为：

假设系统仅受气动阻力及重力，则系统动力学方程为：

同理，忽略r_i二阶导数项，代入(4)式；可动滑块的姿态动力学模型最终简化为：

r_i ^×μ_iF_aero＝-Τ_i (6)

其中μ_i为可动质量块与系统总质量的比值，由式(7)确定：

(7)式在卫星本体系和地心惯性系中拥有相同的表达式，所以系统姿态动力学方程在卫星本体系下的表达式直接由(2)式和(7)式相加得到：

其中，T_r＝F_aero ^×∑μ_ir_i，为可动质量块引起的附加气动力矩，即变质心控制力矩；

卫星对地心转动角速度分解为对参考轨道坐标系转动角速度ω_e与参考轨道坐标系对地心惯性系的转动角速度ω_o之和，即ω＝ω_e+ω_o，如此，(9)式变形为：

参考轨道系对地心惯性系转动角速度在本体系下的时间导数由相对求导法：

C_bs代表参考轨道系到卫星本体系的转换矩阵，即x^b＝C_bsx^s，上标表示变量在不同坐标系中的分量式；默认ω_e,I,r_i,T_m为本体系下分量式，ω_o,F_aero为轨道坐标系下分量，略去上标；最终得到的姿态动力学模型如下：

式中/>

F_aero ^b＝C_bsF_aero,

T_r＝F_aero ^b×∑μ_ir_i。

4.如权利要求3所述的近地轨道微纳卫星变质心姿态控制系统，其特征是，变质心控制模块具体如下：

采用四元数描述卫星姿态，设Q为卫星本体坐标系相对于参考轨道系的姿态四元数，运动学方程由下式表示：

根据李雅普诺夫稳定性定理，取李雅普诺夫函数为：

其中，k_q和K_I为正的常数，K_I大于等于壳体转动惯量矩阵的最大元素值；当且仅当Q＝[10 0 0]^T，并且ω_e＝[0 0 0]^T时，李雅普诺夫函数为零，其他任意状态，李雅普诺夫函数值均大于零，即李雅普诺夫函数是正定的；

对李雅普诺夫函数进行求导：

将其分成关于四元数和关于角速度的两部分分别化简；

将(24)式代入(27)式：

将(24)式代入(28)式：

由混合积运算法则得：

由于惯量矩阵为对称阵，则有：

将(31)式和(32)式代入(30)式，得到式子如下：

对于变质心卫星，控制力矩为：

其中，B为地磁场在卫星本体系下分量式，m为卫星磁矩在卫星本体系下分量式；

取控制量为：

u＝∑μ_ir_i (35)

另设磁矩m为控制量的线性函数：

控制力矩化简为：

其中，K为控制输入矩阵；

将(29)式、(34)式和(37)式代入(26)式，李雅普诺夫函数的时间函数化简为：

取控制量为：

u＝-K^-1(k_qq+k_ωω_e) (39)

其中，k_ω为大于零的常数；最终，(38)式化简为：

得知李雅普诺夫导函数在平衡点Q＝[1 0 0 0]^Tω_e＝[0 0 0]^T处之外始终小于零，即李雅普诺夫导函数在状态空间中是负定的；

由于滑块位移最大不能超出立方星壳体，变质心执行器存在饱和性，设l_max为最大位移距离；附加气动力矩最终由下式表示：

考虑磁力矩器的饱和性，设M_max为最大磁偶极矩，电磁力矩最终由下式表示：

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