CN106896821B - 一种变速控制力矩陀螺的角动量管理方法 - Google Patents

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Abstract

本发明涉及一种变速控制力矩陀螺的角动量管理方法，技术方案如下：设计了VSCMGs的角动量管理算法，重点解决了以下几个问题——基于奇异度量的混合模式指令力矩输出，零运动作转子轮速平衡，零运动作框架构型避奇异，框架角速度死区非线性处理以及忽略项的补偿，并给出了相应的理论分析；VSCMGs的混合模式充分发挥了控制力矩陀螺可进行大力矩输出的优点，利用该操纵律，可实现大角度快速姿态机动操作。本发明方法提供了一种新的VSCMGs角动量管理算法，该方法相比于已有的角动量管理算法无论是在力矩输出精度、角速度跟踪还是在框架避奇异方面都有明显的改善，具有很好的工程价值。

Description

一种变速控制力矩陀螺的角动量管理方法
技术领域
本发明是一种变速控制力矩陀螺的角动量管理方法，涉及航天卫星姿态控制领域，具体涉及一种卫星上用于姿态控制的角动量交换装置——变速控制力矩陀螺(VSCMG)的角动量管理方法，将转子加速和框架运动分开设计以达到很好的力矩输出精度的一种技术。
背景技术
随着航天事业的高速发展，航天任务的多样化，从几千克的皮卫星到几百吨的空间站，各式各样的姿态控制装置应运而生。目前用于卫星姿态机动主动控制的执行机构主要包括推力器、反作用飞轮、控制力矩陀螺等。控制力矩陀螺包括单框架控制力矩陀螺(CSCMG)和双框架控制力矩陀螺(DGCMG)。如果转子转速可变，两者又可以变为变速控制力矩陀螺(VSCMG)和双框架变速控制力矩陀螺(DGV)。控制力矩陀螺(CMG)由高速旋转的动量飞轮、框架和框架转动伺服系统组成。框架转动迫使动量飞轮的角动量改变方向，因而向外提供力矩输出，CMGs(不加s代表单个CMG，加s代表CMG构成的系统)向外提供的力矩与支撑其框架转动伺服系统的力矩器所需输入力矩之比近似等于框架转速与航天器姿态角速度之比，因此，CMG具有很高的力矩放大能力，这是它相比于飞轮机构最突出的优点。
VSCMG由于转子转速可调，因此在同样构型下，相比于CSCMG，它不但依然具有大力矩输出的特点，而且操纵自由度比CSCMG(不加s代表单个CSCMG，加s代表CSCMG构成的系统)多了一倍，使其在完成姿态控制时完全没有求解的奇异问题；同时转子转速可变的特点使其具有动量轮系统的特点，可以考虑利用VSCMGs(不加s代表单个VSCMG，加s代表VSCMG构成的系统)的动量轮模式来提供精细力矩输出。这样一来，利用同一套执行机构就实现了既能作大力矩输出也能作精细小力矩输出的功能。虽然VSCMGs具有其它执行机构无可比拟的显著优点，但操纵自由度的增加也必然带来了设计上的复杂性。与同时具备飞轮系统和CMGs两者的优点一样，VSCMGs在设计复杂性上常常也同时兼有这二者的特点：
首先，VSCMGs由于转子转速可变而具备了高精度力矩输出的可能性，因此，如何设计操纵律，使这种高精度输出能力从单纯理论上的可能性具体地转化为在大力矩输出和小力矩输出这两种不同情况下的切实可行的实现方法，这是首要的问题。
第二点，与CSCMGs类似，为了保持持续的三向力矩输出能力，VSCMGs必须避免构型上的奇异性，虽然从数学上讲，VSCMGs的奇异性可以通过其动量轮模式来补偿，但是由于实际上动量轮(RW)模式所能提供的补偿力矩相对于控制力矩陀螺(CMG)模式所能提供的力矩来说要小得多，因此，在要求提供较大的指令力矩时，RW模式对于CMG模式的构型奇异也是无能为力的，所以与CSCMGs相同，避免构型奇异也是VSCMGs的一个关键问题。
第三点，与CSCMGs不同，VSCMGs的转子转速可变性导致其有可能出现部分转子转速较低，使其力矩输出能力有限，或者部分转子转速过高，从而易于饱和的情况，因此，希望各VSCMGs的转子转速能够尽量达到平衡，确保适宜的角动量包络范围，避免系统较快的陷入饱和奇异状态。
最后，VSCMGs的转子转速可变性导致其存在与飞轮系统同样的角动量饱和卸载问题，如何设计合适的卸载策略，确保VSCMGs能够长期稳定的工作，是VSCMGs必须考虑的问题。
传统的VSCNGs操纵律中所谓的CMG/RW混合模式是根据指令力矩，通过权重矩阵进行力矩分配，然后将框架角速度和转子角加速度一起求解，然后通过零运动使CMG尽量规避隐奇异，并且使转子转速趋向于指定的转速，但这种操纵律存在两个问题：虽然力矩分配权重矩阵可以通过CMG模式的奇异度量灵活的改变，但权重矩阵的选取与力矩分配之间的关系是隐微的，而且在进行力矩分配时，并没有考虑RW构型的奇异问题，有可能在某一方向CMG接近奇异时，通过权重矩阵将大部分力矩分配给RW，但此时RW构型在另一个方向也接近奇异，在实际运行过程中有可能转子角加速度很大，超过了执行机构的执行能力，(虽然VSCMGs整体不会奇异的本质在于，当CMG某一方向接近奇异时，在相应的方向RW远离奇异，但在其他方向RW也可能接近奇异)。
发明内容
本发明的目的在于提出一种变速控制力矩陀螺的角动量管理方法，是一种新的VSCMGs角动量管理算法，通过将CMG模式和RW模式分开分步求解，在保证VSCMGs输出精度的情况下尽量充分的利用VSCMGs的执行能力。由于操纵律是线性的，因此满足齐次性和叠加性，最后将所有求得的指令框架角速度和转子角加速度相加即可。
针对上述问题，本发明一种变速控制力矩陀螺的角动量管理方法的技术方案如下：
设计了VSCMGs的角动量管理算法，重点解决了以下几个问题——基于奇异度量的混合模式指令力矩输出，零运动作转子轮速平衡，零运动作框架构型避奇异，框架角速度死区非线性处理以及忽略项的补偿，并给出了相应的理论分析；VSCMGs的混合模式充分发挥了控制力矩陀螺可进行大力矩输出的优点，利用该操纵律，可实现大角度快速姿态机动操作。具体求解步骤如下(如图1所示)：
步骤1：建立带有N个VSCMG的航天器模型，包括如下步骤：
子步骤1.1：定义相关坐标系
a)轨道坐标系fn(onxnynzn)：原点在系统质心；z轴在轨道平面内指向地心；x轴的正方向指向飞行方向；y轴按右手定则确定；
b)惯性坐标系fi(oi xiyizi)：由于惯性坐标系相互之间是等价的，我们定义的惯性坐标系是一种中间坐标系，初始时刻与轨道坐标系重合，与地心惯性坐标系存在固定的转换关系，在不引起混淆的情况下，下文所说的惯性坐标系均为初始时刻惯性坐标系。
c)本体坐标系fb(obxbybzb)：即一般意义上的本体坐标系，当姿态角为零时，与惯性坐标系重合；
d)VSCMG的框架坐标系fci(ocigisiti)，假设转子质心、框架质心和VSCMG形心重合，则认为原点在VSCMG质心处，坐标系各方向单位矢量分别为沿框架轴方向的、沿转子自旋轴方向以及沿框架角速度产生的输出力矩反方向的。
子步骤1.2：定义相关参数
从本体坐标系到轨道坐标系的转换角度，采用3-1-2的旋转顺序；
第i个VSCMG的框架角速度
Ωi:第i个VSCMG的框架角速度和转子转速
Iwi：第i个VSCMG的转子相对VSCMG质心的惯量矩阵
第i个框架坐标系到本体坐标系的转化矩阵
ωb＝[ωbx ωby ωbz]T：为航天器相对惯性坐标系的角速度
Igi：第i个VSCMG的框架相对陀螺质心的惯量矩阵
Ici：整个陀螺(包括框架和转子)绕陀螺体坐标系三轴的转动惯量
为框架角速度向量
Ω＝[Ω1 Ω2 … Ωn]T：为转子转速向量
Ic*＝diag(Ic*1 Ic*2 … Ic*n),(*＝g,s,t)：为VSCMGs(包括框架和转子)的转动惯量对角阵
Iws＝diag(Iws1 Iws2 … Iwsn)：为VSCMGs转子轴向转动惯量的对角阵
Ib：为计入VSCMGs质量后的航天器常值惯量矩阵
Tc：为VSCMGs输出的控制力矩
力矩输出部分框架角速度
零运动部分的框架角速度
Ωmax：每个转子可以达到的最大转速；
Ωmin：每个转子可以达到的最小转速；
Ωd＝[Ωd1 … Ωdi … ΩdN]T：为所有转子的参考转速
h0max：为转子最大转速时的标称角动量
为转子的最小框架角速度；
表示框架角加速度；
ω0＝[0 -ω0 0]T：轨道系下空间站轨道角速度；
子步骤1.3：建立VSCMGs的动力学模型：
如图2所示，VSCMG的转子以正交方式安装在单轴框架上，框架轴与转子轴垂直，框架相对基座可以转动，提供一个控制自由度，转子转速可变，提供另一个自由度。以和Ωi分别表示第i个VSCMG的框架角速度和转子转速，则可知Ωi均为变量。
子步骤1.3.1：转子角动量
定义Iwi为第i个VSCMG的转子相对VSCMG质心的惯量矩阵，且假设Iwi具有如下的对角形式
Iwi＝diag(Iwgi Iwsi Iwti) (1)
diag(·)表示对角化，显然第i个框架坐标系到本体坐标系的转化矩阵为：
转子在框架坐标系中的角速度为Ω＝[0 Ω 0]T；第i个框架在框架坐标系中的角速度为记转子相对惯性坐标系的角速度为ωwi，在框架坐标系fci(ocigisiti)中，ωwi可以写为：
式中,ωb＝[ωbx ωby ωbz]T为航天器相对惯性坐标系的角速度，在航天器本体坐标系fb中表示。gi,si和ti分别为单位矢量和在航天器本体坐标系fb中的列阵表示式。其中gi为定常值，取决第i个VSCMG的框架轴在本体坐标系fb中的安装方位；si和ti为变量，表示框架坐标系绕框架轴gi旋转δi后的位置，计算方法如下：
展开得到：
其中，si0和ti0分别为si和ti的初始值。
由(1)和(3)可知，转子i相对惯性坐标系的角动量可在框架坐标系中fci写为：
子步骤1.3.2：框架角动量
定义Igi为第i个VSCMG的框架相对陀螺质心的惯量矩阵，且假设Igi具有如下的对角形式：
Igi＝diag(Iggi Igsi Igti) (7)
记框架相对惯性坐标系的角速度为ωgi，在框架坐标系fci中，ωgi可以写为：
框架i相对惯性坐标系的角动量可在框架坐标系中fci写为：
子步骤1.3.3：陀螺角动量
VSCMG角动量即为转子和框架角动量之和，由于两者均在框架坐标系中描述，因此第i个VSCMG的角动量可以写为
式中，Icgi、Icsi和Icti分别为惯量矩阵Ici＝Igi+Iwi＝diag[Icgi Icsi Icti]中的相应分量，也就是整个VSCMG(包括框架和转子)绕陀螺体坐标系三轴的转动惯量。
上述陀螺角动量是在框架坐标系中描述的，将其转换到航天器本体坐标系中为：
整个陀螺群由n个陀螺构成，则陀螺群的总角动量hc为：
式中，为框架角速度向量；Ω＝[Ω1 Ω2 … Ωn]T为转子转速向量；Ic*＝diag(Ic*1 Ic*2 …I c*n)(*＝g,s,t)为VSCMGs(包括框架和转子)的转动惯量对角阵，其下标g、s、t分别代表框架角速度方向、转子转速方向和CMG模式输出力矩反方向；Iws＝diag(Iws1 Iws2 … Iwsn)为VSCMGs转子轴向转动惯量的对角阵；Ag＝[g1 g2 … gn]，As＝[s1 s2 … sn]，At＝[t1 t2 … tn]分别为SGCMGs的框架角速度方向矩阵，转子转速方向矩阵和横向矩阵，其中Ag为常值矩阵，As、At是变量，随框架角变化而变化，具体表达式为：
其中：Dcosδ＝diag(cosδ1 … cosδn)；Dsinδ＝diag(sin)δ1 … sinδn)。
下面讨论的表达式。As和At中的第i列分别表示和在航天器本体坐标系fb中的列阵表示式，其具体形式如式(5)所示，则对这两式求导可得：
由此可得：
算子d[x]定义为如下对角阵
d[x]＝diag(x1 x2 ... xn) (16)
子步骤1.3.4：系统动力学方程
整个系统的角动量在fb中可以写为：
式中，Ib为计入VSCMGs质量后的航天器常值惯量矩阵，It为整个系统惯量矩阵，随陀螺框架角变化而变化，表示为：
假设航天器本体坐标系fb的原点取在系统质心，则根据动量矩定理可得系统动力学方程为
而可以表示为：
其中
则带n个VSCMGs的刚体航天器系统动力学方程又可写为
式中，Tc即为VSCMGs输出的控制力矩，表达式为：
其中
VSCMGs的力矩方程如式(22)所示，其中由产生的力矩通常远远小于由产生的力矩，而C1中ωb相比Ω也是小量，为此可忽略其中的小量而得到简化后的VSCMGs力矩方程为：
式中：C(δ,Ω)和D(δ)分别为由框架转动引起角动量方向变化和动量轮转子速度变换引起角动量大小变化所产生力矩的力矩矩阵，At和As可分别称为二者的力矩系数矩阵；Tc是航天器作用在VSCMGs上的力矩，与VSCMGs输出的姿控力矩大小相等方向相反。
步骤2：VSCMGs特性分析
子步骤2.1：VSCMGs力矩输出特性分析
分析VSCMGs的力矩输出机理，可知其存在以下较显著的优缺点。首先，VSCMGs具有以下优点：
(1)分析(24)式可知，CMG模式力矩矩阵C的列矢量的模远大于RW模式力矩矩阵D的列矢量的模，这说明通过改变框架角获得姿控力矩比通过改变转子角速度来获得姿控力矩更容易，这就是控制力矩陀螺相对于动量轮机构能提供更大输出力矩的特点；
(2)从功耗等方面考虑，控制力矩陀螺模式也比动量轮模式有效得多，控制力矩陀螺具有显著的力矩放大的优点。这些优点使得控制力矩陀螺特别适合应用于姿态机动等需要大力矩输出的情况下。
然而，另一方面，控制力矩陀螺也有其它模式所不存在或不同时存在的一些缺点：
(1)首先是奇异性问题，控制力矩陀螺输出的力矩方向是随着动态框架构型而变化的，因此当满足一定条件的时候，陀螺群将可能在某些方向上无法进行力矩输出，也就是发生了奇异现象，因此对这一现象必须采取相应的措施进行避免；
(2)其次是精细力矩输出问题，框架和转子的转动都是通过伺服电机来控制的，当转速较高时，电机调速系统控制下的转速伺服精度较高，同时高转速下的转子轴向摩擦等误差因素也能够更准确的得到补偿，所以动量轮模式能够输出较精细的力矩，当转速较低时，电机调速系统控制下的转速伺服精度较差，尤其是当转速陷于死区以内时，根本无法提供准确的指令力矩输出，再者，低转速下时，轴向摩擦等误差的组成因素变得非常复杂，难以较好的得到补偿，从而也限制了指令力矩的准确输出，所以，基于目前的分系统和部分设计水平，控制力矩陀螺在精细力矩输出方面存在固有的不足。
(3)除了基本的指令力矩输出之外，VSCMGs由于转子转速可变，因此还需要考虑该轮速的平衡问题。因为按CMG模式工作时，VSCMG必须要保证一定的角动量体大小，否则CMG模式能够提供的力矩将非常有限，而由框架角加速度引起的干扰力矩将逐渐显现；再者，若某些转子角速率为零，矩阵Cl的秩与At的秩不再相等，且有可能小于2；另外，转子的转速不平衡，将促使陀螺转子的使用寿命产生差异，而转子转速在过零时，伺服系统的跟踪性能也会因为摩擦力矩等影响而严重下降。所以，VSCMGs的操纵律应具有转子轮速平衡的功能，且轮速的变化应控制在一定的范围内，以使VSCMGs能够保持预先设计的角动量体。
针对以上对VSCMG的特点分析，我们希望能够充分的扬长避短，一方面发挥CMG模式能够进行大力矩输出的优点，同时尽量避免其落入奇异区域；另一方面，利用RW模式进行精细力矩输出，避免陀螺框架转速陷入死区，同时又通过一定的手段实现转子轮速的平衡。这样一来，通过应用VSCMGs，就同时兼顾了“快速性”和“高精度”的要求。
子步骤2.2：VSCMGs奇异特性分析
当VSCMGs仅被用作姿态控制系统的执行机构时，既可以像CMGs一样通过改变角动量的方向来输出力矩，也可以像RW一样通过改变角动量的大小来输出力矩，前者称为CMG模式，后者称为RW模式。单从数学结构上来分析，同样构型下，VSCMGs的操纵自由度比CSCMGs多了一倍，在完成姿态控制方面，完全没有求解的奇异问题；但由于CMG模式能够提供比RW模式大得多的力矩，并且节省功耗，因此期望姿态控制要求的指令力矩主要由CMG模式来提供，而在接近框架构型奇异时，再由陀螺转子的变速来提供力矩，同时，还可以利用RW模式提供的力矩帮助VSCMGs在奇异构型上进行精确指令力矩输出。下面具体的从力矩矩阵秩的角度上分析VSCMGs的奇异性。记rCMG＝rank[C]，对应于CMGs的力矩矩阵的秩，记rRW＝rank[D]为RW力矩矩阵的秩。根据矩阵理论，我们不难发现：当所有转子转速均不为零时，有：
以下分两种情况分析：
若rCMG＝rank[C]＝3，则rCMG＝rank[CD]≥rank[C]＝3和rCMG≤3知rCMG＝3，即当对应的CMGs模式非奇异时，VSCMGs模式也非奇异。
若rCMG＝rank[C]＜3，即CMG模式下各输出力矩方向ti(i＝1,…n)共面，但因为框架轴两两不互相平行，且ti⊥si，则至少有(n-1)个si在该平面之外，则(24)式恒有解，在CMG的奇异方向上由RW模式来提供力矩，所以VSCMG仍然能够满足姿态控制要求。
具体来说，VSCMGs的构型可以分为三类：
I)独立型：所有框架轴均不相同且任意三个框架轴不共面：3≥rCMG≥2如我们常见的金字塔构型(PC),五棱锥构型(FPC)；
II)共面型：所有框架轴均共面：3≥rCMG≥1如屋顶构型(RC)；
III)多平行构型：框架轴被分成不同的组，同一组中的框架轴指向同一方向：3≥rCMG≥1RC构型也属于此类。
从工程实际上来讲，由于RW模式能够输出的力矩要远远小于CMG模式能够输出的力矩，所以当CMG模式陷于奇异状态而在某一方向上无法提供指令力矩输出时，RW模式虽然保持有这一方向上的力矩输出自由度，但当该要求的指令力矩较大时，RW模式也是无能为力的，RW模式只能在一定程度上也就是CMG奇异方向要求的指令力矩较小时才能弥补CMG模式的不足。所以，总的来讲，对于采用VSCMGs作为执行机构的航天器，为了充分发挥其三轴大力矩输出的优点，也是要避免CMG模式陷入奇异状态。
接下来我们对CMG模式的奇异特性进行分析，对At进行奇异值分解可得到：
At＝VSUT (26)
式中V∈R3×3,U∈Rn×n,为酉矩阵。S∈R3×n可写为如下形式
S＝[S1 03×(n-3)] (27)
其中S1＝diag(σ1σ2σ3)；σ1、σ2和σ3为At的奇异值，且满足σ1≥σ2≥σ3≥0。若指令力矩全部分配给CMG模式时，式(25)的最优解为：
则将式(26)-(27)代入式(28),伪逆操纵律可改写为
其中，ui和vi分别表示U和V的第i列。由于V的三列是相互正交的：
所以，指令力矩一定可以表示成如下形式：
Tc＝α1v1+α2v2+α3v3 (31)
其中α1,α2,α3∈R且为常值，则此时(29)可以改写成如下形式：
对于第一类构型，当CMGs模式接近奇异时，σ3→0,rCMG→2若此时力矩Tc在v3方向存在分量，即α3≠0，则会有即伪逆操纵律失效。不过，若指令力矩与奇异方向垂直时(α3＝0)，利用伪逆操纵律仍能计算得到需要的指令框架角速度解；对于第二类或者第三类构型，当CMG模式接近奇异时，不仅是σ3→0,rCMG→2，还有可能σ2→0,rCMG→1若此时力矩Tc在v3或v2方向存在分量，即α3≠0||α2≠0，则会有即伪逆操纵律失效。当然若此时指令力矩沿着v1方向，鲁棒伪逆操纵率仍然是有解的。
通过以上对伪逆操纵律的分析可知，v1,v2,v3这组正交基时按照CMG模式的力矩输出能力进行分解的，在v1方向上力矩输出能力最强，在v3力矩输出能力最弱。伪逆操纵律的失效正是由于当系统遭遇奇异时奇异值为0而导致的。从而可以通过人为地改变奇异值改善SGCMGs的奇异性。这正是鲁棒性伪逆操纵律的设计原理。
我们定义CMG模式的奇异度量为：
其中δC2用于构型Ⅱ和构型Ⅲ，类似的我们可以定义RW模式的奇异度量，对矩阵As进行奇异值分解：
式中Vs＝[vs1 vs2 vs3]∈R3×3,Us＝[us1 … usN]∈Rn×n,为酉矩阵。Ss∈R3×n可写为如下形式
Ss＝[diag(σr1 σr2 σr3)03×(N-3)] (35)
σr1、σr2和σr3为As的奇异值，且满足σ1≥σ2≥σ3≥0。类似的我们定义无量纲化的RW模式奇异度量指标：
步骤3：VSCMGs的操纵率设计
子步骤3.1总体思路
1)首先将指令力矩全部赋予CMG模式，CMG模式采用基于奇异值分解的鲁棒伪逆操纵律，鲁棒伪逆系数只有在某一方向接近奇异时才不为零，这样求解出的框架角速度只有在接近奇异方向才会存在偏差；对于CMG接近奇异时奇异方向存在的力矩偏差采用RW模式进行补偿，因为在CMG接近奇异的方向RW一定远离奇异，故采用伪逆求解转子角加速度的解一定存在；
2)对于VSCMGs来说，我们还是尽量希望CMG远离奇异以保持其输出大力矩的能力，因此零运动中包含了CMG模式的零运动，另外，由于VSCMGs的转子转速可变，为了保证转子转速不会过低或者过高，并且使得VSCMGs的角动量执行能力得到充分的利用，需要设计全局收敛的转速跟踪率，并且参考转速随着VSCMGs角动量的变化而变化；
3)CMG模式的误差主要来自于指令框架转速偏差和死区误差，其中指令转速偏差是难以通过操纵律来弥补的只能通过伺服系统来提高，而死区可以通过在操纵律中加入死区补偿使所有框架角转速原理死区。
子步骤3.2力矩输出部分操纵律设计
这里需要解决的问题有两个：一个是CMG模式的操纵律设计；另一个是CMG模式下的误差计算及其RW补偿设计。为解决伪逆加零运动操纵律无法使CMGs脱离显奇异点的问题，给出基于奇异值分解的鲁棒伪逆操纵律的具体设计过程
若指令力矩全部赋予CMG模式，则此时有：
其中，为有控制力矩输出的框架转速指令。由前面步骤2.2中奇异特性分析可知：式(37)的最优解为式(29)，我们采用基于奇异值分解的鲁棒伪逆操纵率来解决CMG模式的奇异性问题：
式中：
其中ξ2,ξ3为伪逆系数ξaξbεa,εb为正常值。跟式(37)相比，产生的力矩误差为：
从上式可见，力矩误差的引入只使得当系统接近奇异时，奇异值由0变为ξ2或者ξ3，而其它奇异值并没有改变，力矩误差只有在CMG接近奇异时奇异值很小的方向产生。因此可使得采用此操纵律时，能在避免显隐奇异的同时使得力矩误差最小，有效保证了力矩的输出精度，也保证了下面求解RW模式下的转子角加速度解的存在性。
RW模式的操纵律设计可以参考单独采用飞轮作为系统执行机构的航天器姿态控制问题。此时的指令力矩为Terror。由广义逆定理求得RW转子角加速度的解为：
子步骤3.3零运动操纵律设计
零运动包括两个部分：CMG模式的主动避奇异；转子转速跟踪
子步骤3.3.1CMG模式(框架角避奇异)
根据等式(37)，我们知道框架角零运动可以表示为如下形式：
α为常值系数，对奇异值度量δC1求导：
其中
为了让CMG模式尽快脱离奇异，我们有：
当y和x平行时，上式取得最大值，此时有：
将等式(47)代入到(43)，我们有：
其中
根据酉矩阵的性质，以及等式(26)，我们有：
对式(50)中δi进行微分，并且分别左乘
将两式相加：
根据酉矩阵的性质结合(49)，有
其中：此时(53)变为：
因此：
相应的框架角零运动避奇异为：
式中α为正的增益，用来权衡零运动使框架脱离奇异的速度。通过式(56)重构框架，即可使CMG模式脱离奇异。
子步骤3.3.2VSCMGs转子转速平衡
为了充分的利用VSCMGs构型的冗余和转子的变速性能，同时防止转子转速过高或者过低，我们希望转子转速能够在一个比较合理的范围内变化，若VSCMG的转子转速可变范围是Ωi∈(Ωmin,Ωmax)我们希望转子转速的变化一直是在这个范围内的，因此就需要设计相应的转子转速跟踪率。
其中Ωdi是参考转速，Ωd＝[Ωd1 … Ωdi … ΩdN]T为所有转子的参考转速。λ1i∈(0.8～0.95)以保证当VSCMGs角动量较大时转子有较高的转速，同时又有一定的加速空间；
λ2i∈(1.05～1.2)当VSCMGs角动量较低时，转子转速也较低，同时略高于最低转速，这样转子转速依旧存在一定的调节空间；
λ3是常值，与VSCMGs的构型有关，如金字塔构型时取2.56，五棱锥构型时取4.2；
h0max：为转子最大转速时的标称角动量；
h：为当前VSCMGs的角动量；
定义框架角位置和转子角速率的偏差值为
ea＝Ωd-ΩN (58)
接下来要做的就是寻找合适的误差跟踪率使得ea→0下面利用李雅普诺夫直接法分析状态量偏差在零运动下的运动规律，定义准李雅普诺夫函数为：
对上式进行求导：
为了保证负定，我们取：
其中Λ＝diag(λ41 … λ4i … λ4N)，而λ4i是正值，为了保证转子角加速度在合理的范围内，λ4i设置如下：
λ4i＝Λi/|Ωdi-Ωi| (62)
此时每个VSCMG的转子角加速度就是λ4i，将式(61)代入式(60)得：
由此可见，该跟踪率时全局渐进稳定的，即所有的转子转速经过一定时间之后都会趋向于参考转速。但这时还存在两个问题：一个是采用的转子转速跟踪的方法来使转速一致，而单纯的飞轮组作为执行机构时一般是采用的轮速平衡，所以子步骤3.3采用的方法必然会导致力矩的产生，力矩的产生则需要CMG模式来将其进行抵消，由此产生了另一个问题，但需要CMG模式产生力矩来平衡RW模式轮速跟踪产生的力矩时，CMG模式并不能保证处于非奇异状态。也就是说上述跟踪率只有在CMG非奇异的状态才能使用。其相应的控制逻辑为：
很容易计算转子转速跟踪产生的力矩为：
这一部分的力矩采用CMG模式进行抵消，很容易计算此时所需的框架角速度为：
这样整体的输出力矩就为零。此时结合式(38)，(56)，(66)整体的框架角速度：
整体的框架角加速度为：
子步骤3.4死区和忽略项补偿
当某陀螺框架角速度陷入死区，即时，通过沿着原有的方向调整特解使新的框架角速度逃离死区范围，即：
其中sign(·)表示符号函数，调整后的框架角速度为：
显然，框架角速度的调整会引起CMG模式的力矩输出：
忽略项的补偿问题：当航天器在快速机动时本体角速度较大，而指令力矩较大或者CMG模式接近奇异时转子角加速度也会比较大，此时式(24)相比于式(22)忽略掉的部分就会比较大，但仔细观察可以发现忽略掉的部分其实是对CMG模式的简化，因此该部分完全可以通过RW模式来进行补偿，忽略掉的力矩为：
这两部分力矩变化需要通过RW模式进行补偿，基于广义伪逆的补偿，解算出转子角加速度为：
即调整后的转子速度为：
不管是死区补偿还是忽略项补偿都必须要保证RW模式远离奇异，若RW模式接近奇异则不可以进行补偿，即：
为了保证对死区和忽略项进行补偿后转子角速度依然是收敛的，需要有：
下面求的上界，类似于CMG模式，对式(73)中As进行奇异值分解后展开得：
Tignore+ΔT＝α1v1+α2v2+α3v3 (78)
将上式代入(73)得：
首先有：
对于给定的Tignore+ΔT结合式(78)有：
又因为σ3≥εΔ&|α3|≤|Tignore+ΔT|，有：
下面求|Tignore+ΔT|的上界|Tignore+ΔT|max：
在工程上每个VSCMG的参数可以认为是一样的，即对于每个VSCMG的框架角死区，转动惯量、最高转速都是一样的，所以有：
对于式(83)右边的每个部分分别求最值：
其中表示执行机构所能达到的最大框架角加速度。
其中表示执行机构所能达到的最大框架角速度；ωbmax表示在可控范围内，航天本体可能达到最大本体角速度。
根据矩阵理论，我们有：
结合式(26)、(27)、(34)、(35)有
即
其中Ωmax，ωbmax分别为伺服系统所能实现的VSCMGs最大转子转速，最大框架角速度，最大框架角加速度，以及航天器最大本体转速。最终我们有：
也就是说为了保证对框架角死区和忽略项补偿后转子角速度跟踪仍然是收敛的，结合式(61)，为了保证李雅普诺夫函数的导数负定，必须要有：
其中Λimax表示所有Λi中的最大值。
步骤4：对于具体的航天器器参数和姿态控制任务，利用步骤1～步骤3所建立的航天器动力学、运动学以及VSCMGs动力学模型，选取合适的参数，通过仿真验证，设计出合适的VSCMGs角动量管理算法。
本发明一种变速控制力矩陀螺的角动量管理方法的有益效果是：提供了一种新的VSCMGs角动量管理算法，该方法相比于已有的角动量管理算法无论是在力矩输出精度、角速度跟踪还是在框架避奇异方面都有明显的改善，具有很好的工程价值。
附图说明
图1为VSCMGs角动量管理方法流程图。
图2为VSCMG的安装示意图图。
图3为航天器的三轴姿态角。
图4为VSCMGs力矩输出误差。
图5为VSCMGs框架角速度。
图6为VSCMGs转子角速度。
图7为VSCMGs转子角加速度。
图8为RW模式输出力矩。
图9为CMG模式输出力矩。
图10为CMG模式的奇异度量。
图11为RW模式的奇异度量。
具体实施方式
本专利针对一颗中等量级的卫星进行仿真验证，仿真中卫星动力学模型采用带有挠性附件的中心刚体模型，执行机构采用一套金字塔构型的VSCMGs，部分参数设置如表1所示，而VSCMG角动量管理算法参数如表2所示。
表1
表2
为了验证该算法的有效性，我们将VSCMGs的初始框架角设置为：δ＝[0 90 0 90]T，我们对初始框架角所对应的At、As进行奇异值分解：
从上面两式可以看出：在初始时刻，CMG模式和RW模式均处于奇异状态，CMG模式在俯仰轴方向没有力矩输出能力，而RW模式在滚动轴方向没有力矩输出能力，对于以上条件进行仿真，仿真结果如图3～图11，从图10和图11可以看出，在初始时刻，CMG模式和RW模式都是奇异状态，根据以上分析，CMG模式在俯仰轴方向没有力矩输出能力(如图8，图9所示)，所以在俯仰轴方向所需要的力矩由RW模式提供，此时转子角加速度较大(如图7所示)。同时考虑到RW模式是接近奇异的，所以，转子转速没有收敛(如图6所示)，同时在初始时刻RW模式也是接近奇异的，所以死区和忽略项都没有补偿(如图4所示)。但是从32.5s开始，RW模式的奇异度量超过了阈值0.1，开始对死区和忽略项进行补偿，此时，所有的框架角速度都抬高到死区之外(如图5所示)。所以在姿态机动的时候，CMG已经远离奇异，航天器能够保证很好的控制精度(图3)。仿真结果验证了该算法的有效性。

Claims (1)

1.一种变速控制力矩陀螺的角动量管理方法，特征在于，其包括如下步骤：
步骤1、建立带有N个VSCMG的航天器模型，包括如下步骤：
步骤1.1：定义相关坐标系
a)轨道坐标系fn(onxnynzn)：原点在系统质心；z轴在轨道平面内指向地心；x轴的正方向指向飞行方向；y轴按右手定则确定；
b)惯性坐标系fi(oixiyizi)：由于惯性坐标系相互之间是等价的，我们定义的惯性坐标系是一种中间坐标系，初始时刻与轨道系重合，与地心惯性坐标系存在固定的转换关系，在不引起混淆的情况下，下文所说的惯性系均为该惯性坐标系；
c)本体坐标系fb(obxbybzb)：即一般意义上的本体坐标系，当姿态角为零时，与惯性系重合；
d)VSCMG的框架坐标系fci(ocigisiti)，假设转子质心、框架质心和VSCMG形心重合，则认为原点在VSCMG质心处，坐标系各方向单位矢量分别为沿框架轴方向的、沿转子自旋轴方向以及沿框架角速度产生的输出力矩反方向的；
步骤1.2：定义相关参数
惯性系下从本体系到惯性系的转换角度，采用3-1-2的旋转顺序；
第i个VSCMG的框架角速度
Ωi:第i个VSCMG的框架角速度和转子转速
Iwi：第i个VSCMG的转子相对VSCMG质心的惯量矩阵
第i个框架坐标系到本体系的转化矩阵
ωb＝[ωbx ωby ωbz]T：为航天器相对惯性坐标系的角速度
Igi：第i个VSCMG的框架相对陀螺质心的惯量矩阵
Ici：整个陀螺绕陀螺体坐标系三轴的转动惯量
为框架角速度向量
Ω＝[Ω1 Ω2 … Ωn]T：为转子转速向量
Ic*＝diag(Ic*1 Ic*2 … Ic*n),(*＝g,s,t)：为VSCMGs的转动惯量对角阵
Iws＝diag(Iws1 Iws2 … Iwsn)：为VSCMGs转子轴向转动惯量的对角阵
Ib：为计入VSCMGs质量后的航天器常值惯量矩阵
Tc：为VSCMGs输出的控制力矩
力矩输出部分框架角速度
零运动部分的框架角速度
Ωmax：每个转子可以达到的最大转速；
Ωmin：每个转子可以达到的最小转速；
Ωd＝[Ωd1 … Ωdi … ΩdN]T：为所有转子的参考转速
h0max：为转子最大转速时的标称角动量
为转子的最小框架角速度；
表示框架角加速度；
ω0＝[0 -ω0 0]T：轨道系下空间站轨道角速度；
步骤1.3：建立VSCMGs的动力学模型：
VSCMG的转子以正交方式安装在单轴框架上，框架轴与转子轴垂直，框架相对基座可以转动，提供一个控制自由度，转子转速可变，提供另一个自由度；以和Ωi分别表示第i个VSCMG的框架角速度和转子转速，则可知Ωi均为变量；
步骤1.3.1：转子角动量
定义Iwi为第i个VSCMG的转子相对VSCMG质心的惯量矩阵，且假设Iwi具有如下的对角形式
Iwi＝diag(Iwgi Iwsi Iwti) (1)
diag(·)表示对角化，显然第i个框架坐标系到本体系的转化矩阵为：
转子在框架坐标系中的角速度为Ω＝[0 Ω 0]T；第i个框架在框架坐标系中的角速度为记转子相对惯性系的角速度为ωwi，在框架坐标系fci(ocigisiti)中，ωwi可以写为：
式中,ωb＝[ωbx ωby ωbz]T为航天器相对惯性坐标系的角速度，在航天器本体坐标系fb中表示；gi,si和ti分别为单位矢量和在航天器本体坐标系fb中的列阵表示式；其中gi为定常值，取决第i个VSCMG的框架轴在本体坐标系fb中的安装方位；si和ti为变量，表示框架坐标系绕框架轴gi旋转δi后的位置，计算方法如下：
由(1)和(3)可知，转子i相对惯性坐标系的角动量可在框架坐标系中fci写为：
步骤1.3.2：框架角动量
定义Igi为第i个VSCMG的框架相对陀螺质心的惯量矩阵，且假设Igi具有如下的对角形式：
Igi＝diag(Iggi Igsi Igti) (6)
记框架相对惯性系的角速度为ωgi，在框架坐标系fci中，ωgi可以写为：
步骤1.3.3：陀螺角动量
VSCMG角动量即为转子和框架角动量之和，由于两者均在框架坐标系中描述，因此第i个VSCMG的角动量可以写为
式中，Icgi、Icsi和Icti分别为惯量矩阵Ici＝Igi+Iwi＝diag[Icgi Icsi Icti]中的相应分量，也就是整个陀螺绕陀螺体坐标系三轴的转动惯量；
上述陀螺角动量是在框架坐标系中描述的，将其转换到航天器本体坐标系中为：
整个陀螺群由n个陀螺构成，则陀螺群的总角动量为：
式中，为框架角速度向量；Ω＝[Ω1 Ω2 … Ωn]T为转子转速向量；Ic*＝diag(Ic*1 Ic*2 … Ic*n)(*＝g,s,t)为VSCMGs的转动惯量对角阵，其下标g、s、t分别代表框架角速度方向、转子转速方向和CMG输出力矩反方向；Iws＝diag(Iws1 Iws2 … Iwsn)为VSCMGs转子轴向转动惯量的对角阵；Ag＝[g1 g2 … gn]，As＝[s1 s2 … sn]，At＝[t1 t2 …tn]分别为SGCMGs的框架角速度方向矩阵，转子转速方向矩阵和横向矩阵，其中Ag为常值矩阵，As、At是变量，随框架角变化而变化，具体表达式为：
其中：Dcosδ＝diag(cosδ1 … cosδn)；Dsinδ＝diag(sinδ1 … sinδn)；
步骤1.3.4：系统动力学方程
整个系统的角动量在fb中可以写为：
式中，Ib为计入VSCMGs质量后的航天器常值惯量矩阵，It为整个系统惯量矩阵，随陀螺框架角变化而变化，表示为：
设航天器本体坐标系fb原点为系统质心，根据动量矩定理可得系统动力学方程为：
而可以表示为：
其中
则带n个VSCMGs的刚体航天器系统动力学方程又可写为：
式中，Tc即为VSCMGs输出的控制力矩，表达式为：
其中
VSCMGs的力矩方程如式(17)所示，其中由产生的力矩通常远远小于由产生的力矩，而C1中ωb相比Ω也是小量，为此可忽略其中的小量而得到简化后的VSCMGs力矩方程为：
式中：C(δ,Ω)和D(δ)分别为由框架转动引起角动量方向变化和动量轮转子速度变换引起角动量大小变化所产生力矩的力矩矩阵，At和As可分别称为二者的力矩系数矩阵；Tc是航天器作用在VSCMGs上的力矩，与VSCMGs输出的姿控力矩大小相等方向相反；
步骤2、VSCMGs特性分析
具体的从力矩矩阵秩的角度上分析VSCMGs的奇异性；记rCMG＝rank[C]，对应于CMGs的力矩矩阵的秩，记rRW＝rank[D]为RW力矩矩阵的秩；根据矩阵理论，不难发现：当所有转子转速均不为零时，有：
以下分两种情况分析：
若rCMG＝rank[C]＝3，则rCMG＝rank[CD]≥rank[C]＝3和rCMG≤3知rCMG＝3，即当对应的CMGs模式非奇异时，VSCMGs模式也非奇异；
若rCMG＝rank[C]＜3，即CMG模式下各输出力矩方向ti(i＝1,…n)共面，但因为框架轴两两不互相平行，且ti⊥si，则至少有(n-1)个si在该平面之外，则(19)式恒有解，在CMG的奇异方向上由RW模式提供力矩，所以VSCMG仍然能够满足姿态控制要求；
具体来说，VSCMGs的构型可以分为三类：
I)独立型：所有框架轴均不相同且任意三个框架轴不共面：3≥rCMG≥2具体有：金字塔构型,五棱锥构型；
II)共面型：所有框架轴均共面：3≥rCMG≥1具体为屋顶构型；
III)多平行构型：框架轴被分成不同的组，同一组中的框架轴指向同一方向：3≥rCMG≥1RC构型也属于此类；
接下来对CMG模式的奇异特性进行分析，对At进行奇异值分解可得到：
At＝VSUT (21)
式中V∈R3×3,U∈Rn×n,为酉矩阵；S∈R3×n可写为如下形式
S＝[S1 03×(n-3)] (22)
其中S1＝diag(σ1 σ2 σ3)；σ1、σ2和σ3为At的奇异值，且满足σ1≥σ2≥σ3≥0；若指令力矩全部分配给CMG模式时，式(20)的最优解为：
则将式(21)-(22)代入式(23),伪逆操纵律可改写为
其中，ui和vi分别表示U和V的第i列；由于V的三列是相互正交的：
所以，指令力矩一定可以表示成如下形式：
Tc＝α1v1+α2v2+α3v3 (26)
其中α1,α2,α3∈R且为常值，则此时(24)可以改写成如下形式：
对于第一类构型即独立构型，当CMGs模式接近奇异时，σ3→0,rCMG→2若此时力矩Tc在v3方向存在分量，即α3≠0，则会有即伪逆操纵律失效；不过，若指令力矩与奇异方向垂直时(α3＝0)，利用伪逆操纵律仍能计算得到需要的指令框架角速度解；对于第二类即共面型或者第三类构型即多平行构型，当CMG模式接近奇异时，不仅是σ3→0,rCMG→2，还有可能σ2→0,rCMG→1若此时力矩Tc在v3或v2方向存在分量，即α3≠0||α2≠0，则会有即伪逆操纵律失效；当然若此时指令力矩沿着v1方向，鲁棒伪逆操纵率仍然是有解的；
通过以上对伪逆操纵律的分析可知，v1,v2,v3这组正交基时按照CMG模式的力矩输出能力进行分解的，在v1方向上力矩输出能力最强，在v3力矩输出能力最弱；伪逆操纵律的失效正是由于当系统遭遇奇异时奇异值为0而导致的；从而可以通过人为地改变奇异值改善SGCMGs的奇异性；
定义CMG模式的奇异度量为：
其中δC2用于构型Ⅱ和构型Ⅲ，类似的，定义RW模式的奇异度量，对矩阵As进行奇异值分解：
式中Vs＝[vs1 vs2 vs3]∈R3×3,Us＝[us1 … usN]∈Rn×n,为酉矩阵；Ss∈R3×n可写为如下形式
Ss＝[diag(σr1 σr2 σr3) 03×(N-3)] (30)
σr1、σr2和σr3为As的奇异值，且满足σ1≥σ2≥σ3≥0；类似的我们定义无量纲化的RW模式奇异度量指标：
步骤3、VSCMGs的操纵率设计
步骤3.1力矩输出部分操纵律设计
这里需要解决的问题有两个：一个是CMG模式的操纵律设计；另一个是CMG模式下的误差计算及其RW补偿设计；为解决伪逆加零运动操纵律无法使CMGs脱离显奇异点的问题，给出基于奇异值分解的鲁棒伪逆操纵律的具体设计过程
若指令力矩全部赋予CMG模式，则此时有：
其中，为有控制力矩输出的框架转速指令；由前面步骤2中奇异特性分析可知：式(32)的最优解为式(24)，采用基于奇异值分解的鲁棒伪逆操纵率来解决CMG模式的奇异性问题：
式中：
其中ξ2,ξ3为伪逆系数ξaξbεa,εb为正常值；跟式(32)相比，产生的力矩误差为：
从上式可见，力矩误差的引入只使得当系统接近奇异时，奇异值由0变为ξ2或者ξ3，而其它奇异值并没有改变，力矩误差只有在CMG接近奇异时奇异值很小的方向产生；因此可使得采用此操纵律时，能在避免显隐奇异的同时使得力矩误差最小，有效保证了力矩的输出精度，也保证了下面求解RW模式下的转子角加速度解的存在性；
RW模式的操纵律设计可以参考单独采用飞轮作为系统执行机构的航天器姿态控制问题；此时的指令力矩为Terror；由广义逆定理求得RW转子角加速度的解为：
步骤3.2零运动操纵律设计
零运动包括两个部分：CMG模式的主动避奇异和转子转速跟踪
子步骤3.2.1CMG模式——框架角避奇异
框架角零运动避奇异为：
α为常值系数，且
子步骤3.2.2VSCMGs转子转速平衡
若VSCMG的转子转速可变范围是Ωi∈(Ωmin,Ωmax)我们希望转子转速的变化一直是在这个范围内的，因此就需要设计相应的转子转速跟踪率；
其中Ωdi是参考转速，Ωd＝[Ωd1 … Ωdi … ΩdN]T为所有转子的参考转速；λ1i∈(0.8～0.95)以保证当VSCMGs角动量较大时转子有较高的转速，同时又有一定的加速空间；
λ2i∈(1.05～1.2)当VSCMGs角动量较低时，转子转速也较低，同时略高于最低转速，这样转子转速依旧存在一定的调节空间；
λ3是常值，与VSCMGs的构型有关，如金字塔构型取2.56，五棱锥构型取4.2；
h0max：为转子最大转速时的标称角动量；
h：为当前VSCMGs的角动量；
为了保证转子转速跟踪参考转速，取：
其中Λ＝diag(λ41 … λ4i … λ4N)，而λ4i是正值，为了保证转子角加速度在合理的范围内，λ4i设置如下：
λ4i＝Λi/|Ωdi-Ωi| (42)
但这时还存在两个问题：一个是采用的转子转速跟踪的方法来使转速一致，而单纯的飞轮组作为执行机构时一般是采用的轮速平衡，所以步骤3.2用的方法必然会导致力矩的产生，力矩的产生则需要CMG模式来将其进行抵消，由此产生了另一个问题，但需要CMG模式产生力矩来平衡RW模式轮速跟踪产生的力矩时，CMG模式并不能保证处于非奇异状态；也就是说上述跟踪率只有在CMG非奇异的状态才能使用；其相应的控制逻辑为：
计算转子转速跟踪产生的力矩为：
这一部分的力矩采用CMG模式进行抵消，计算此时所需的框架角速度为：
这样整体的输出力矩就为零；此时结合式(33)，(38)，(45)整体的框架角速度：
整体的框架角加速度为：
步骤3.3死区和忽略项补偿
当某陀螺框架角速度陷入死区，即时，通过沿着原有的方向调整特解使新的框架角速度逃离死区范围，即：
其中sign(·)表示符号函数，调整后的框架角速度为：
框架角速度的调整会引起CMG模式的力矩输出：
忽略项的补偿问题：当航天器在快速机动时本体角速度较大，而指令力矩较大或者CMG模式接近奇异时转子角加速度也会比较大，此时式(19)相比于式(17)忽略掉的部分就会比较大，但忽略掉的部分其实是对CMG模式的简化，因此该部分通过RW模式来进行补偿，忽略掉的力矩为：
这两部分力矩变化需要通过RW模式进行补偿，基于广义伪逆的补偿，解算出转子角加速度为：
即调整后的转子速度为：
不管是死区补偿还是忽略项补偿都必须要保证RW模式远离奇异，若RW模式接近奇异则不可以进行补偿，即：
为了保证对死区和忽略项进行补偿后转子角速度依然是收敛的，需要有：
上界为：
其中Ωmax，ωbmax分别为伺服系统所能实现的VSCMGs最大转子转速，最大框架角速度，最大框架角加速度，以及航天器最大本体转速；为了保证对框架角死区和忽略项补偿后转子角速度跟踪仍然是收敛的，结合式(41)必须要有：
其中Λimax表示所有Λi中的最大值；
步骤4
对于具体的航天器器参数和姿态控制任务，利用步骤1～步骤3所建立的航天器动力学、运动学以及VSCMGs动力学模型，选取合适的参数，通过仿真验证，设计出合适的VSCMGs角动量管理算法。
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