CN103592848A - 一种变速控制力矩陀螺群的精准敏捷操纵方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种变速控制力矩陀螺群的精准敏捷操纵方法，本发明充分利用VSCMG转子转速可变的条件，通过按照姿态控制任务所需力矩大小将VSCMG的工作模式划分为CMG/MW混合工作模式和独立MW工作模式，通过两种工作模式的合理切换，使一套VSCMG在无需配置额外执行机构的情况下，不但能实现提供姿态机动控制等任务的大力矩要求，又能提供姿态稳定控制任务的高精度小力矩的要求，很好的解决了单独利用一套SGCMG或一套MW进行航天器姿态控制时无法完全解决的问题。

Description

一种变速控制力矩陀螺群的精准敏捷操纵方法

技术领域

本发明涉及一种变速控制力矩陀螺群的精准敏捷操纵方法，尤其涉及一种以变速控制力矩陀螺群为执行机构的操纵律设计方法，属于航天器姿态控制系统设计技术领域。

背景技术

为了使搭载于航天器上的有效载荷能够顺利完成工作任务，航天器平台本身首先应满足一定的姿态指向要求，为此，现代航天器一般都采用一定的执行机构提供力矩输出来进行主动姿态控制。航天器主动姿态控制的执行机构主要有喷气推力器和动量交换装置两类，前者由于需要消耗星上的不可再生能源而使其使用受到较大限制，后者使用星上通过太阳能转换可不断获取的电能来工作，因而从工作能源角度来讲相对具有优势。角动量交换装置的工作原理建立在角动量守恒的基础上，当其角动量的大小或者方向按一定规律变化时，将产生连续的反作用力矩作用在航天器本体上，从而达到控制航天器姿态的目的，航天器上作为姿态控制执行机构的角动量装置一般包括动量轮（MomentumWheel，以下简称MW）和控制力矩陀螺（Control Moment Gyro，以下简称CMG）两种。MW提供控制力矩输出的原理是控制其转速大小的变化从而使角动量大小产生变化，输出的力矩大小正比于其转速大小变化率，受限于现今伺服控制技术的状况，MW转速变化率是有限的，结果导致常规航天器上MW的力矩输出量级约为0.1Nms左右，因此，MW在要求大的控制力矩输出的场合无法采用。控制力矩陀螺最常用的形式是单框架控制力矩陀螺（Single Gimbal ControlMoment Gyro，以下简称SGCMG）。相比于MW通过改变转子转速大小来实现力矩输出的工作原理来讲，SGCMG提供力矩输出的工作原理是改变其转子转速的方向，从而导致角动量的方向发生改变进而产生力矩输出，而具体改变转子转速方向的方法则是通过旋转安装转子的框架来达到。与改变转子转速大小的MW相比，改变转子转速方向的SGCMG具有优良的力矩放大效应，其力矩输出量级一般可达到10Nms甚至100Nms，因而在航天器姿态机动或大型航天器姿态控制等需要大力矩输出的场合受到了极大的关注。

然而，SGCMG在提供大力矩输出的同时，也面临两方面的主要问题：一是奇异构型的问题。正常工作的航天器姿态控制系统要求其每一时刻均具有在三维空间中任意方向输出力矩的能力。分析单个SGCMG通过改变转子转速方向来提供力矩输出的工作原理可知，其输出力矩的方向为沿着同时垂直于转子转轴和框架转轴的方向，从航天器内部来看，可以认为框架转轴的方向是保持不变的，但是，转子转轴的方向会随着框架的转动而不断变化，因此，最终导致SGCMG力矩输出的方向也是不断相应变化的。这种力矩输出方向的变化性有可能导致某一时刻下，SGCMG群的所有力矩输出方向共面甚至共轴，即只能在该面或该轴上进行力矩输出，失去了完整的三维空间任意方向力矩输出的能力，这种现象就称为SGCMG群陷入了奇异构型，是航天器姿态控制过程中必须尽力避免的。第二个问题是SGCMG的力矩输出精度问题。由于SGCMG具有力矩放大效应，因此，SGCMG框架转动和转子转动的伺服控制误差也会被放大，最终体现在力矩输出误差上，框架转速或转子转速上较小的伺服控制误差即会产生相对较大的力矩输出误差。框架转速伺服控制的死区特性是导致力矩误差的另一个因素。当今的伺服技术对于转动运动的伺服控制存在着死区问题，即当转速非常低，例如非大型航天器在作姿态稳定控制等需要小力矩输出的场合下，其框架转速就经常处于较低的转速状态，当转速低至某一阈值之内时，转速控制的误差会急剧增大，导致控制效果很差，这一转速误差再经过SGCMG放大效应的传递，最后常会导致更大的不可接受的力矩输出误差，这一转速阈值之内的范围就称为转速死区，它也是导致SGCMG力矩输出误差的重要因素之一。

已有的文献或专利针对SGCMG的上述两个问题存在着一些相应的解决策略。添加零运动方法是解决SGCMG奇异构型问题的主要方法，并且是一种不引入力矩误差的精确方法。专利200810222230.7对此方法针对转子转速保持不变的SGCMG（即Constant Speed Control Moment Gyro，以下简称CSCMG）进行了详细描述。该方法的基本原理是：由于CSCMG群一般均具有四个或以上的CMG，因此其控制自由度是超出三维的力矩输出自由度的，于是CSCMG群在保证指令力矩输出的同时，还总是存在着所有CSCMG的框架转速不全部为零但其总输出力矩为零的空转运动，即零运动，并且该零运动有无穷多组，可以通过选取参数进行设计。添加零运动方法就是通过选取适当的零运动参数，使CSCMG群总是朝着远离奇异构型的趋势运动，从而避免整体陷入奇异的情形。

对于SGCMG的力矩输出误差问题，专利200910093791.6从避奇异的伪逆操纵律的角度出发提出了一种思路。SGCMG伪逆操纵律通过引入力矩误差的方式来实现奇异回避，其本身就是一种通过牺牲部分力矩输出精度即增大力矩输出误差的方式来完成奇异回避的功能，为此，该专利提出的策略是灵活调整所引入力矩误差的大小，即在SGCMG远离奇异构型的状态下不引入力矩误差，在接近奇异构型时依据接近程度逐步增大引入的力矩误差。总的来看，这种方法只是在SGCMG接近奇异构型时有一定的效果，并且这种效果体现在努力减小之前为了解决奇异问题而引入的误差方面，如果解决奇异问题时不需要引入力矩误差，那么这一方法就没有适用性。该方法对于前面分析的SGCMG由于力矩放大特性和转速死区特性所导致的力矩误差不能适用。专利201310007615.2提出了一种同时使用SGCMG和MW的混合执行机构，该方法的优点是既能够满足大力矩输出又能够满足高精度小力矩输出的控制要求，但它的一个显著缺点是相比于仅用SGCMG群的方式来讲额外增加了执行机构，提高了星载负荷及其它相应而来的设计任务。

常规SGCMG的形式一般均为保持其转子转速不变的CSCMG，直至在1997年的AAS/AIAA的飞行力学专业会议上，Ford等人以“框架动量轮”的形式首次提出转子转速可变的变速SGCMG，可称为VSCMG（Variable Speed Control MomentGyro）。当前对于VSCMG的研究大多类似于CSCMG的情况，较多的精力都集中于关注如何回避奇异构型的问题。

发明内容

本发明的技术解决问题是：克服现有技术的不足，提供一种变速控制力矩陀螺群的精准敏捷操纵方法，不但能实现提供姿态机动控制等任务的大力矩要求，又能提供姿态稳定控制任务的高精度小力矩的要求。

本发明的技术解决方案是：一种变速控制力矩陀螺群的精准敏捷操纵方法，步骤如下：

（1）根据航天器所需力矩T_c大小，地面发送遥控指令控制变速控制力矩陀螺群工作在不同模式：当航天器需要进行姿态机动时，地面发送遥控指令控制变速控制力矩陀螺的框架和转子均正常运动，进入变速控制力矩陀螺和动量轮联合工作模式，执行步骤（2）；当航天器姿态机动完成后进入姿态稳定状态时，地面发送遥控指令或航天器自动控制锁死变速控制力矩陀螺的框架运动，仅保持转子运动，进入动量轮独立工作模式，执行步骤（3）；

（2）在变速控制力矩陀螺和动量轮联合工作模式下，计算力矩方程T_c=-Qx的加权伪逆特解x_T和零运动解x_N，用动量轮独立工作模式的力矩补偿功能进行框架转速的死区非线性处理，具体方法如下：

（2.1）根据力矩方程T_c=-Qx计算基于奇异度量的加权伪逆操纵律x_T， $x_T=\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}\end{array}\right)\end{array}=-Q_W^{+}{T}_c,$ 其中 $Q_W^{+}={\mathrm{WQ}}^T{\left(\mathrm{QW}{Q}^T\right)}^{-1}$ 为Q的加权广义逆矩阵，W=diag(W_g1…W_gnW_s1…W_sn)为权重系数矩阵，其中W_gj取为1，而

为基于奇异度量κ₁的权重，

ε为正的设计参数，奇异度量κ₁定义为A_t与其转置矩阵

的乘积的行列式，即

（2.2）基于Lyapunov方法设计回避框架奇异构型和进行转子转速平衡的零运动x_N，方法如下：

首先根据力矩方程T_c=-Qx得到对应的齐次方程：0=Qx，根据齐次方程可解得零运动的通解为x_N=k_NP_Qd；其中k_N为正的待设计常数，

为对称正半定矩阵，I_2n×2n表示2n×2n维的单位矩阵，d为任意矢量；

然后确定期望的转子转速Ω_f和期望的框架角δ_f：转子转速期望值Ω_f为期望的常值轮速，框架角期望值δ_f的计算方法为：记框架角偏差为Δδ=δ_f-δ，取奇异度量

其中δ₁和δ₃分别为A_t的最大和最小非零奇异值，设κ₂(δ)为当前时刻t的奇异度量，下一时刻t+Δt的奇异度量κ₂(δ+Δδ)，Δδ表示Δt时间内的框架角增量，应用Taylor公式展开并取其前二阶有：

设期望框架角满足κ₂(δ+Δδ)=1，则上式关于Δδ的最小范数解为：

$\mathrm{\Δ\δ}=\frac{{\∂\mathrm{\κ}}_2}{\∂\mathrm{\δ}}{\left[{\left(\frac{{\∂\mathrm{\κ}}_2}{\∂\mathrm{\δ}}\right)}^T\frac{{\∂\mathrm{\κ}}_2}{\∂\mathrm{\δ}}\right]}^{-1}[1-{\mathrm{\κ}}_2\left(\mathrm{\δ}\right)]=\frac{[1-{\mathrm{\κ}}_2\left(\mathrm{\δ}\right)]}{{|{\∂\mathrm{\κ}}_2/\∂\mathrm{\δ}|}^2}\frac{{\∂\mathrm{\κ}}_2}{\∂\mathrm{\δ}},$

的计算方法为：设A_t的奇异值分解为 $A_t={\mathrm{USV}}^T=\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\σ}}_i{u}_i{v}_i^T,$ 则有 $\frac{{\∂\mathrm{\κ}}_2}{\∂\mathrm{\δ}}=-\frac{1}{{\mathrm{\σ}}_1}\left[\begin{array}{c}{u}_3^T{s}_1{v}_{13}\\ \·\\ \·\\ \·\\ u_3^T{s}_n{v}_{n3}\end{array}\right]+\frac{{\mathrm{\σ}}_3}{{\mathrm{\σ}}_1^2}\left[\begin{array}{c}{u}_1^T{s}_1{v}_{11}\\ \·\\ \·\\ \·\\ u_1^T{s}_n{v}_{n1}\end{array}\right];$

（2.3）设计框架转速死区非线性的动量轮补偿策略；设陀螺框架转速的死区阈值为

当某一只或几只陀螺框架角速度大小陷入死区，即

时，通过沿着原有的运动方向调整其特解

为使新的总框架角速度逃离死区范围，即： $\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_i^{*}\right|=|({\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_{\mathrm{iT}}+{\mathrm{\Δ}\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_{\mathrm{iT}})+{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_{\mathrm{iN}}|=|({\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_{\mathrm{iT}}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_{\mathrm{iN}})+\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_{\mathrm{iT}}|=|{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_i+\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_{\mathrm{iT}}|\≥{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_{\min };$

式中

表示调整后的总框架角速度，

表示特解上的框架角速度调整量。特解

的调整方向与原框架角速度同向，即

sign()为符号函数；

特解

的调整具体采取如下规律： $\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_{\mathrm{iT}}=\left\{\begin{array}{c}\sin g\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_i\right)|{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_{\min }-|{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_i\left|\right|,\left|{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_i\right|<{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_{\min }\\ 0,\left|{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_i\right|\&GreaterEqual;{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_{\min }\end{array}\right.$

（3）进入动量轮独立工作模式，首先进入框架锁死的过渡过程，然后设计框架锁死状态下的MW操纵律，最后进入框架解锁的过渡过程；

（3.1）首先进行框架锁死过渡过程的框架角速度规划，然后设计框架锁死过渡过程零运动；

框架锁死过渡过程的框架角速度规划：对于加权伪逆解x_T的权重矩阵W=diag(W_g1…W_gnW_s1…W_sn)中代表框架运动的权重分量W_gi按照如下下降抛物线规律进行规划： $W_{\mathrm{gi}}=\frac{W_{\mathrm{gi}}^0}{T^2}{(t-T)}^2,i=\mathrm{1,2},...,n$

其中

是W_gi的初值，

是W_sj的初值，T为设定的过渡过程的总时间长度；

框架锁死过渡过程零运动设计：按以下方法计算此时的

设A_t的奇异值分解为 $A_t=U_t{S}_t{V_t}^T=\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{it}}{u}_{\mathrm{it}}{v}_{\mathrm{it}}^T,$ 则有：

$\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&kappa;}}_{\mathrm{cmg}}}{\&PartialD;\mathrm{\&delta;}}=-\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}_{1t}}\left[\begin{array}{c}{u}_{3t}^T{s}_{1t}{v}_{13,t}\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ u_{3t}^T{s}_{\mathrm{nt}}{v}_{n3,t}\end{array}\right]+\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_{t3}}{{\mathrm{\&sigma;}}_{t1}^2}\left[\begin{array}{c}{u}_{1t}^T{s}_{1t}{v}_{11,t}\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ u_{1t}^T{s}_{\mathrm{nt}}{v}_{n1,t}\end{array}\right]$

设A_s的奇异值分解为 $A_s=U_s{S}_s{V_s}^T=\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{is}}{u}_{\mathrm{is}}{v}_{\mathrm{is}}^T,$ 则有：

$\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&kappa;}}_{\mathrm{mv}}}{\&PartialD;\mathrm{\&delta;}}=-\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}_{1s}}\left[\begin{array}{c}{u}_{3s}^T{s}_{1s}{v}_{13,s}\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ u_{3s}^T{s}_{\mathrm{ns}}{v}_{n3,s}\end{array}\right]+\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_{t3}}{{\mathrm{\&sigma;}}_{t1}^2}\left[\begin{array}{c}{u}_{1s}^T{s}_{1s}{v}_{11,s}\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ u_{1s}^T{s}_{\mathrm{ns}}{v}_{n1,s}\end{array}\right]$

最后有： $\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&kappa;}}_2}{\&PartialD;\mathrm{\&delta;}}=\frac{\&PartialD;\left({\mathrm{\&kappa;}}_{\mathrm{cmg}}{\mathrm{\&kappa;}}_{\mathrm{mw}}\right)}{\&PartialD;\mathrm{\&delta;}}=\frac{\&PartialD;\left({\mathrm{\&kappa;}}_{\mathrm{cmg}}\right)}{\&PartialD;\mathrm{\&delta;}}{\mathrm{\&kappa;}}_{\mathrm{mw}}+{\mathrm{\&kappa;}}_{\mathrm{cmg}}\frac{\&PartialD;\left({\mathrm{\&kappa;}}_{\mathrm{mw}}\right)}{\&PartialD;\mathrm{\&delta;}}$

（3.2）设计框架锁死状态下的MW操纵律；动量轮独立工作模式下的系统力矩方程为

其操纵律取为如下伪逆解：

（3.3）进入框架解锁的过渡过程，框架解锁过程可以按照为锁死过程的逆过程来进行设计，首先框架解锁过渡过程的框架角速度规划，然后框架解锁过渡过程零运动设计；

框架解锁过渡过程的框架角速度规划：对于加权伪逆解x_T中的权值W=diag(W_g1…W_gnW_s1…W_sn)中代表框架运动的权重分量W_gi按照如下上升抛物线规律规划： $W_{\mathrm{gi}}=\frac{W_{\mathrm{gi}}^0}{T^2}{(t-(T_{\mathrm{UnlockStart}}+T_{\mathrm{UnlockSpan}}))}^2,i=\mathrm{1,2},...,n$

其中是W_gi的初值，

是W_sj的初值，T_UnlockStart为开始解锁时刻，T_UnlockSpan为解锁过渡过程的总时间长度；

框架解锁过渡过程零运动设计：该过程零运动的设计方法与框架锁死过渡过程中零运动设计方法完全相同。

根据Lyapunov直接法设计参数d，使之满足奇异回避和转子转速平衡；定义当前框架角位置δ和转子角速率Ω与其各自的期望值δ_f、Ω_f的偏差为 $e_a=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&delta;}}_f-\mathrm{\&delta;}\\ {\mathrm{\&Omega;}}_f-\mathrm{\&Omega;}\end{array}\right],$ 偏差对时间求导可得 ${\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_a=-(x_T+x_N)=-x,$ 取Lyapunov函数为

对其求导并将误差函数及其导数、VSCMG的力矩方程代入，则有

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_a=e_a^T{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_a=-e_a^T(x_T+x_N)=-e_a^T{x}_T-k_N{e}_a^T{P}_{Q}d,$ 根据Lyapunov直接法定理可知，此时VSCMGs在如下零运动操纵律下 $x_N=k_N{P}_{Q}d=k_N{P}_Q{e}_a=k_N(I_{2n\&times;2n}-Q_W^{+}Q)W\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&delta;}}_f-\mathrm{\&delta;}\\ {\mathrm{\&Omega;}}_f-\mathrm{\&Omega;}\end{array}\right],$ 对上述偏差系统具有较好的Lyapunov意义下全局稳定趋向性，框架角δ将逐渐趋向于δ_f，转子角速度Ω将逐渐趋向于Ω_f。

本发明与现有技术相比的有益效果是：本发明充分利用VSCMG转子转速可变的条件，通过按照姿态控制任务所需力矩大小将VSCMG的工作模式划分为CMG/MW混合工作模式和独立MW工作模式，通过两种工作模式的合理切换，使一套VSCMG在无需配置额外执行机构的情况下，不但能实现提供姿态机动控制等任务的大力矩要求，又能提供姿态稳定控制任务的高精度小力矩的要求，很好的解决了单独利用一套SGCMG或一套MW进行航天器姿态控制时无法完全解决的问题。

附图说明

图1为SGCMG的结构示意图；

图2为VSCMGs金字塔构型安装的示意图；

图3为本发明的实现流程图；

图4为混合工作模式中未添加零运动和添加了零运动时的奇异度量曲线。

图5为混合工作模式中未添加零运动和添加了零运动时的转子转速曲线。

图6为混合工作模式中未做死区非线性处理和做过死区非线性处理时的力矩误差曲线。

图7为“混合工作模式——锁死过渡——完全锁死工作——解锁过渡——恢复到混合工作模式”全过程的框架角速度运动曲线。

图8为常规CSCMG进行姿态稳定控制与框架完全锁死状态下的独立MW工作模式进行姿态稳定控制时的力矩误差曲线。

具体实施方式

为更清楚的介绍本实施方式，首先简单说明VSCMG输出力矩的原理。参见图1，VSCMG由一个可变转速的转子和支撑转子的框架组成，

为转子自旋轴方向，

为框架轴转速方向，

与输出控制力矩方向相反。转子自旋轴与框架轴正交安装，分别由转子电机和框架电机驱动。转子电机驱动转子以可变转速Ω绕自旋轴旋转，产生一个角动量。框架电机根据控制指令使框架绕固连于航天器本体的框架轴以角速度

转过框架角δ。由于转子转速大小的改变，使转子的角动量发生改变，从而输出一个MW模式的力矩。由于框架轴的转动，导致转子自旋轴方向改变，从而使转子的角动量发生改变，于是输出一个CMG模式的力矩。CMG模式的力矩输出能力远大于MW模式的力矩输出能力，VSCMG的整体力矩输出也是依靠其CMG模式，所以单只VSCMG产生的力矩主要在与其框架轴垂直的平面上，而为了对航天器进行三轴控制，一般需要不少于3只VSCMG组成陀螺群，通过不同框架角组合方式调整输出力矩的方向和大小。对于由多个陀螺构成的VSCMGs系统来讲，为使控制逻辑简单，陀螺群中的单个陀螺在质量m和转动惯量I等参数方面取相同值，并且期望通过设计使各转子转速也趋于一致。设陀螺群由n只陀螺组成，第i只陀螺的框架轴方向单位矢量为转子角动量方向单位矢量为

陀螺输出力矩反方向单位矢量为

转子转速为Ω_i，框架转速为

则陀螺群的总角动量可以表示为 ${\stackrel{\&RightArrow;}{h}}_c=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}I{\mathrm{\&Omega;}}_i{\stackrel{\&RightArrow;}{s}}_i---\left(1\right)$

其中，为系统的总角动量矢量，将其写成在航天器本体坐标系f_b(o_bx_by_bz_b)下的分量列阵形式为h_c=A_sIΩ               (2)

其中，A_s=[s₁ s₂ … s_n]，s_i为对应的第i个VSCMG的角动量方向单位矢量

在f_b中的分量列阵，Ω=[Ω₁ Ω₁ … Ω_n]。

根据动量定理，对(2)求导可以得到陀螺群输出的总力矩为

$T_c=-{\stackrel{\&CenterDot;}{h}}_c=-A_t\mathrm{Id}\left[\mathrm{\&Omega;}\right]\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}-A_{s}I\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&Omega;}}---\left(3\right)$

其中，T_c为n只陀螺产生的合成力矩矢量在本体系f_b中的分量列阵，

A_t=[t₁ t₂ … t_n]，t_i为对应的第i个方向矢量在f_b中的分量列阵，

为框架角速度列向量。对任意n维向量x=[x₁ x₂ … x_n]^T，算子d[x]定义为如下对角阵

d[x]=diag(x₁ x₂ … x_n)                (4)

在式(3)中，A_s和A_t为变量，随陀螺框架角δ变化，可写为

A_s=A_s0d[cosδ]+A_t0d[sinδ]            (5)

A_t=A_t0d[cosδ]-A_s0d[sinδ]            (6)

式中，A_s0和A_t0分别为A_s和A_t的初始值，cosδ=[cosδ₁ cosδ₂ ... cosδ_n]^T，sinδ=[sinδ₁ sinδ₂ ... sinδ_n]^T。在式(3)中，

代表CMG模式所产生的力矩输出，代表MW模式产生的力矩输出。

令Q=(A_tId[Ω] A_sI)， $x=\left(\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}\\ \stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&Omega;}}\end{array}\right),$ 则(3)式可整理为T_c=-Qx              (7)

以上分别得到了n个陀螺组成的VSCMGs的角动量方程(2)和力矩方程(7)。

参见图2，金字塔构型VSCMGs由四只陀螺组成，其框架轴分别垂直于金字塔的四个侧面，角θ=53.13°。图2所示为金字塔构型的标称位置。金字塔构型的VSCMGs是本发明中为了描述所设计方法而选取的构型，但本发明的方法同样适用于其它形式的安装构型。

如图3所示，下面即是本发明的具体实施步骤。

步骤1设计工作模式切换策略。

根据航天器的实际工作情况，我们倾向于采用基于天地大回路的遥控式工作模式切换策略，即由航天控制中心的指挥者基于当前实际姿态控制任务所需力矩的大小，下达工作模式切换的遥控指令。例如，当航天器处于姿态机动过程中，VSCMG工作于CMG/MW混合模式；当机动任务完成时，期望进入后续的姿态稳定状态，则下达“锁死框架”的遥控指令，此时航天器将开始先进入框架锁死的过渡过程，框架锁死过渡过程完成后，航天器再可自动或由指挥者下达遥控指令使其进入框架完全锁死的MW独立工作的状态；在姿态稳定过程中，若需要进行姿态机动，则首先由指挥者下达“框架解锁”的遥控指令，此时航天器将开始进入框架解锁的过渡过程，框架解锁过渡过程完成后，航天器已处于CMG/MW混合工作模式下，可提供大力矩输出，此时即可由指挥者下达姿态机动的遥控指令使其进行任务操作。

步骤2：设计CMG/MW混合工作模式。该步骤首先设计力矩方程(7)的加权伪逆特解x_T和零运动解x_N，则综合的操纵指令为x=x_T+x_N；之后再利用MW模式的力矩补偿功能进行框架转速的死区非线性处理。具体可分为以下几个子步骤：

步骤2.1：计算基于奇异度量的加权伪逆操纵律x_T。设要求的指令力矩为T_c，根据VSCMGs的力矩方程(7)，可计算解得一个加权伪逆式的特解为：

$x_T\left(\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}\\ \stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&Omega;}}\end{array}\right)=-Q_W^{+}{T}_c---\left(8\right)$

其中

为Q的加权广义逆矩阵，W=diag(W_g1…W_gnW_s1…W_sn)为权重系数矩阵，其中W_gj取为1，而

为基于奇异度量κ₁的权重，

ε为正的设计参数，可根据具体情况适当调整，奇异度量κ₁定义为A_t与其转置矩阵

的乘积的行列式，即

W_gj和W_sj的比例关系反映了输出力矩中CMG模式力矩和MW模式力矩之间的比例，当奇异度量κ₁增大时，表明框架构型远离奇异状态，此时W_sj减小，说明MW模式输出力矩较少，当奇异度量κ₁减小时，W_sj增大说明MW模式输出力矩增大。

步骤2.2：基于Lyapunov方法设计回避框架奇异构型和进行转子转速平衡的零运动x_N。设计方法由步骤2.2.1和步骤2.2.2组成。

步骤2.2.1：

力矩方程对应的齐次方程为：0=Qx             (9)

根据该方程可解得零运动的通解为x_N=k_NP_Qd             (10)

其中k_N为正的待设计常数，

为对称正半定矩阵，I_2n×2n表示2n×2n维的单位矩阵，d为任意矢量，是主要的待设计参数，下面将根据Lyapunov直接法设计参数d，使之满足奇异回避和转子转速平衡的功能。

定义当前框架角位置δ和转子角速率Ω与其各自的期望值δ_f、Ω_f的偏差为 $e_a=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&delta;}}_f-\mathrm{\&delta;}\\ {\mathrm{\&Omega;}}_f-\mathrm{\&Omega;}\end{array}\right],$ 偏差对时间求导可得 ${\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_a=-(x_T+x_N)=-x.$ 取Lyapunov函数为

对其求导并将误差函数及其导数、VSCMG的力矩方程代入，则有 ${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_a=e_a^T{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_a=-e_a^T(x_T+x_N)=-e_a^T{x}_T-k_N{e}_a^T{P}_{Q}d---\left(11\right)$

由该式可发现，当取设计参数d=e_a时，可使

的绝对值为正的最大投影值，此时

将最大程度上的取向负值。根据Lyapunov直接法定理可知，此时VSCMGs在如下零运动操纵律下

$x_N=k_N{P}_{Q}d=k_N{P}_Q{e}_a=k_N(I_{2n\&times;2n}-Q_W^{+}Q)W\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&delta;}}_f-\mathrm{\&delta;}\\ {\mathrm{\&Omega;}}_f-\mathrm{\&Omega;}\end{array}\right]---\left(12\right)\end{array}$

对上述偏差系统具有较好的Lyapunov意义下全局稳定趋向性，框架角δ将逐渐趋向于δ_f，转子角速度Ω将逐渐趋向于Ω_f。

步骤2.2.2确定期望的转子转速Ω_f和期望的框架角δ_f。

转子转速期望值Ω_f直接给定为期望的常值轮速即可。

框架角期望值δ_f的设计较为复杂，下面将进行详细描述。记框架角偏差为Δδ=δ_f-δ，为了得到最终的零运动解，下面的方法将直接设计框架角偏差Δδ=δ_f-δ，而不间接的先设计期望的框架角δ_f。

取奇异度量

其中δ₁和δ₃分别为A_t的最大和最小非零奇异值。设κ₂(δ)为当前时刻t的奇异度量，下一时刻t+Δt的奇异度量κ₂(δ+Δδ)，Δδ表示Δt时间内的框架角增量。应用Taylor公式展开并取其前二阶有

${\mathrm{\&kappa;}}_2(\mathrm{\&delta;}+\mathrm{\&Delta;\&delta;})={\mathrm{\&kappa;}}_2\left(\mathrm{\&delta;}\right)+{\left(\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&kappa;}}_2}{\&PartialD;\mathrm{\&delta;}}\right)}^T\mathrm{\&Delta;\&delta;}---\left(13\right)$

由于κ₂的范围为0≤κ₂≤1，κ₂越接近于1时表明系统越远离奇异构型，因此期望通过再构型使其趋向于1，因此设期望框架角满足κ₂(δ+Δδ)=1，则上式关于Δδ的最小范数解为

$\mathrm{\&Delta;\&delta;}=\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&kappa;}}_2}{\&PartialD;\mathrm{\&delta;}}{\left[{\left(\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&kappa;}}_2}{\&PartialD;\mathrm{\&delta;}}\right)}^T\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&kappa;}}_2}{\&PartialD;\mathrm{\&delta;}}\right]}^{-1}[1-{\mathrm{\&kappa;}}_2\left(\mathrm{\&delta;}\right)]=\frac{[1-{\mathrm{\&kappa;}}_2\left(\mathrm{\&delta;}\right)]}{{|{\&PartialD;\mathrm{\&kappa;}}_2/\&PartialD;\mathrm{\&delta;}|}^2}\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&kappa;}}_2}{\&PartialD;\mathrm{\&delta;}}---\left(14\right)$

的计算方法为：设A_t的奇异值分解为

则有

$\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&kappa;}}_2}{\&PartialD;\mathrm{\&delta;}}=-\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}_1}\left[\begin{array}{c}{u}_3^T{s}_1{v}_{13}\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ u_3^T{s}_n{v}_{n3}\end{array}\right]+\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_3}{{\mathrm{\&sigma;}}_1^2}\left[\begin{array}{c}{u}_1^T{s}_1{v}_{11}\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ u_1^T{s}_n{v}_{n1}\end{array}\right].$

步骤2.3设计框架转速死区非线性的MW补偿策略。

由步骤2.2的设计可知陀螺框架角速度为

其中零运动

已用于框架调整以实现构型避奇异和框架角速度平衡，仔细思考发现，难以对

作进一步改进，使之在保证原有功能的基础上，同时再实现框架角速度回避死区的问题。因此，我们考虑采用调整加权伪逆特解的方法来完成框架角速度的死区回避问题。

设陀螺框架转速的死区阈值为当某一只或几只陀螺框架角速度大小陷入死区，即

时，通过沿着

原有的运动方向调整其特解

为

使新的总框架角速度逃离死区范围，即：

$\left|{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_i^{*}\right|=|({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_{\mathrm{iT}}+{\mathrm{\&Delta;}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_{\mathrm{iT}})+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_{\mathrm{iN}}|=|({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_{\mathrm{iT}}+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_{\mathrm{iN}})+\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_{\mathrm{iT}}|=|{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_i+\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_{\mathrm{iT}}|\&GreaterEqual;{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_{\min }---\left(15\right)$

式中表示调整后的总框架角速度，

表示特解上的框架角速度调整量。特解

的调整方向与原框架角速度同向，即

sign()为符号函数。

特解

的调整具体采取如下规律： $\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_{\mathrm{iT}}=\left\{\begin{array}{c}\sin g\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_i\right)|{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_{\min }-|{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_i\left|\right|,\left|{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_i\right|<{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_{\min }\\ 0,\left|{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_i\right|\&GreaterEqual;{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_{\min }\end{array}\right.---\left(16\right)$

陀螺i框架角速度的特解作出的调整量后，VSCMG的CMG模式输出的力矩也发生了变化，即CMG模式的力矩输出增加了

这部分力矩变化需要通过MW模式进行反向补偿，基于广义逆的补偿算法为：

$\mathrm{\&Delta;}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&Omega;}}=I^{-1}{A}_s^T{\left(A_s{A}_s^T\right)}^{-1}\mathrm{\&Delta;T}---\left(17\right)$

调整后的转子转速为

由于框架角速度的调整量是小于其死区范围的，也就是说该调整量是极小的，于是由此所导致的力矩调整量ΔT也是很小的，该调整量在VSCMG的MW模式的力矩输出能力之内，因此是合理可行的。应该注意到的一点是，该死区非线性处理方法适用于任何框架处于运动时的情况。

步骤3设计MW独立工作模式。该步骤应划分为以下几个子步骤：

步骤3.1设计框架锁死的过渡过程。该步骤又分为如下两个子步骤依次进行。

步骤3.1.1框架锁死过渡过程的框架角速度规划

在VSCMGs运动过程中中，框架运动总是由提供力矩输出的非零运动

和零运动

两部分组成，即

框架锁死过渡过程实际上就是同时规划框架的非零运动和零运动逐渐并同时到零，最终使其和运动逐渐归零。

框架非零运动

的归零可通过规划其权值逐渐到零的方式来实现。即对于加权伪逆解x_T的权重矩阵W=diag(W_g1…W_gnW_s1…W_sn)中代表框架运动的权重分量W_gi按照如下下降抛物线规律进行规划：

$W_{\mathrm{gi}}=\frac{W_{\mathrm{gi}}^0}{T^2}{(t-T)}^2,i=\mathrm{1,2},...,n---\left(18\right)$

其中是W_gi的初值，

是W_sj的初值，T为设定的过渡过程的总时间长度。该过程将产生相应的力矩误差ΔT，该误差同样由MW模式进行补偿，即调整转子转速为 ${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&Omega;}}}^{*}=\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&Omega;}}+\mathrm{\&Delta;}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&Omega;}},$ 其中增量 $\mathrm{\&Delta;}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&Omega;}}=I^{-1}{A}_s^T{\left(A_s{A}_s^T\right)}^{-1}\mathrm{\&Delta;T}.$

框架的零运动

可通过规划零运动x_N=k_NP_Qd的系数k_N逐渐归零来实现；而k_N的归零过程可以采取与上述权重矩阵一致的下降抛物线式归零过程来完成，即：

$k_N=\frac{k_N^0}{T^2}{(t-T)}^2---\left(19\right)$

步骤3.1.2框架锁死过渡过程零运动设计

该零运动设计的目的有三点：框架构型的奇异回避，MW构型的奇异回避，转子转速平衡，该设计目的与步骤2.2基本相同，唯一的不同点在于增加了对MW构型的奇异回避。所以，与此相对应地，该零运动的具体设计方法也与2.2.1——2.2.2基本相同，唯一的不同点在于2.2.2中选取的奇异度量是框架构型的奇异度量κ₂，而这里应该用框架构型的奇异度量κ_cmg和MW构型的奇异度量κ_mw的综合指标函数κ₂=κ_cmg×κ_mw将其代替，并按以下方法计算此时的设A_t的奇异值分解为 $A_t=U_t{S}_t{V_t}^T=\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{it}}{u}_{\mathrm{it}}{v}_{\mathrm{it}}^T,$ 则有：

$\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&kappa;}}_{\mathrm{cmg}}}{\&PartialD;\mathrm{\&delta;}}=-\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}_{1t}}\left[\begin{array}{c}{u}_{3t}^T{s}_{1t}{v}_{13,t}\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ u_{3t}^T{s}_{\mathrm{nt}}{v}_{n3,t}\end{array}\right]+\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_{t3}}{{\mathrm{\&sigma;}}_{t1}^2}\left[\begin{array}{c}{u}_{1t}^T{s}_{1t}{v}_{11,t}\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ u_{1t}^T{s}_{\mathrm{nt}}{v}_{n1,t}\end{array}\right]---\left(20\right)$

设A_s的奇异值分解为 $A_s=U_s{S}_s{V_s}^T=\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{is}}{u}_{\mathrm{is}}{v}_{\mathrm{is}}^T,$ 则有：

$\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&kappa;}}_{\mathrm{mv}}}{\&PartialD;\mathrm{\&delta;}}=-\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}_{1s}}\left[\begin{array}{c}{u}_{3s}^T{s}_{1s}{v}_{13,s}\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ u_{3s}^T{s}_{\mathrm{ns}}{v}_{n3,s}\end{array}\right]+\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_{t3}}{{\mathrm{\&sigma;}}_{t1}^2}\left[\begin{array}{c}{u}_{1s}^T{s}_{1s}{v}_{11,s}\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ u_{1s}^T{s}_{\mathrm{ns}}{v}_{n1,s}\end{array}\right]---\left(21\right)$

最后有：

$\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&kappa;}}_2}{\&PartialD;\mathrm{\&delta;}}=\frac{\&PartialD;\left({\mathrm{\&kappa;}}_{\mathrm{cmg}}{\mathrm{\&kappa;}}_{\mathrm{mw}}\right)}{\&PartialD;\mathrm{\&delta;}}=\frac{\&PartialD;\left({\mathrm{\&kappa;}}_{\mathrm{cmg}}\right)}{\&PartialD;\mathrm{\&delta;}}{\mathrm{\&kappa;}}_{\mathrm{mw}}+{\mathrm{\&kappa;}}_{\mathrm{cmg}}\frac{\&PartialD;\left({\mathrm{\&kappa;}}_{\mathrm{mw}}\right)}{\&PartialD;\mathrm{\&delta;}}---\left(22\right)$

步骤3.2设计框架锁死状态下的MW操纵律。

框架完全锁死以后，只有MW在独立工作，该情况与常规的MW执行机构系统是非常相似的，其区别仅在于各飞轮的具体安装方式不同，但只要VSCMG的MW模式构型非奇异，那么两者在本质上是相同的，因此该情况下的MW操纵律算法与冗余配置的MW模式的操纵律算法完全相同。MW模式下的系统力矩方程为 $T_c=-A_{s}I\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&Omega;}},$ 其操纵律取为如下伪逆解： $\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&Omega;}}=-I^{-1}{A}_s^T{\left(A_s{A}_s^T\right)}^{-1}{T}_c---\left(23\right)$

步骤3.3设计框架解锁的过渡过程。框架解锁过程可以按照为锁死过程的逆过程来进行设计，该步骤也分为如下两个子步骤依次进行。

步骤3.3.1框架解锁过渡过程的框架角速度规划框架解锁过程实际上就是同时规划框架的非零运动和零运动均由零逐步变化到完全自由的状态。对于加权伪逆解x_T中的权值W=diag(W_g1…W_gnW_s1…W_sn)中代表框架运动的权重分量W_gi按照如下上升抛物线规律规划：

$W_{\mathrm{gi}}=\frac{W_{\mathrm{gi}}^0}{T^2}{(t-(T_{\mathrm{UnlockStart}}+T_{\mathrm{UnlockSpan}}))}^2,i=\mathrm{1,2},...,n---\left(24\right)$

其中

是W_gi的初值，是W_sj的初值，T_UnlockStart为开始解锁时刻，T_UnlockSpan为解锁过渡过程的总时间长度。该过程将产生相应的力矩误差ΔT，该误差由MW模式进行补偿，即调整转子转速为 ${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&Omega;}}}^{*}=\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&Omega;}}+\mathrm{\&Delta;}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&Omega;}},$ 其中增量 $\mathrm{\&Delta;}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&Omega;}}=I^{-1}{A}_s^T{\left(A_s{A}_s^T\right)}^{-1}\mathrm{\&Delta;T}.$ 框架的零运动

可通过规划零运动x_N=k_NP_Qd的系数k_N逐步解锁来实现；而k_N的解锁过程可以采取与上述框架运动权值一致的上升抛物线式解锁过程来完成，即： $k_N=\frac{k_N^0}{T^2}{(t-(T_{\mathrm{UnlockStart}}+T_{\mathrm{UnlockSpan}}))}^2---\left(25\right)$

步骤3.3.2框架解锁过渡过程零运动设计

框架解锁过程设计的另一任务就是设计该过程中的零运动，该过程零运动的设计方法与框架锁死过渡过程中零运动设计方法（即步骤3.1.2）完全相同。

下面结合某个航天器姿态控制仿真结果对本方案作具体的说明。

在该仿真中，航天器参数主要参考了法国的Pleiades-HR卫星，设定其轨道高度为694Km，该卫星质量为1吨，其姿态控制执行机构采用4个按金字塔构型安装的VSCMGs，VSCMG标称角动量为15Nms，输出力矩为45Nm。CMG/MW混合工作模式中框架奇异回避的有效性。参见图4，图中分别显示了该段混合工作模式过程中未添加零运动和添加了零运动后的奇异度量κ₂的曲线，从中可以看出，未添加零运动时奇异度量值较小的地方，在添加了零运动以后，对应的奇异度量值均有较明显的提高，从而使原来接近奇异的状态得到了较好的奇异逃离；而在原有未添加零运动但奇异度量值较大、即离奇异点较远的地方，添加零运动后的奇异度量值可能略有降低，但从该奇异度量值可以看出系统构型仍然保持在较好的远离奇异的状态，因此说明，加入了零运动以后，框架构型得到了更好的保持，从而验证了所设计的零运动对于逃避奇异的有效性。CMG/MW混合工作模式中转子转速平衡的有效性。参见图5，图中左右两部分分别显示了未添加零运动和添加零运动以后转子转速的运动曲线，很明显，在没有添加零运动时，各转子转速相差很大并基本维持这一不平衡趋势，而在右方添加了零运动的情况下，各转子转速较快的趋向于期望的平衡转速Ω_f=6000rpm，从而验证了所设计的零运动对于转子转速平衡的有效性。

死区非线性处理的有效性。参见图6，图中左右两部分分别显示了在某次CMG/MW混合工作模式中未做死区非线性处理和做了死区非线性处理时的力矩误差曲线，该曲线中挑选的是一段指令力矩较小因而框架角速度也较小的时间段，因此若无特别处理，较小的框架角速度将比较容易陷入死区。从图中可以看出，相对于未做死区非线性处理的情况，做了死区非线性处理之后，最大力矩误差约减小一半，更主要的是，未做死区非线性处理时，在大量时刻上出现最大力矩误差，而做死区非线性处理后，只有极少数情况的误差力矩较大，多数时刻的力矩误差远小于其最大误差，因此总体上说明死区非线性处理有效地减小了力矩输出的误差，从而验证了其有效性。

独立MW工作模式框架运动的平滑性。参见图7，图中显示了“0～10秒混合工作模式——10秒～40秒锁死过渡——40秒～60秒完全锁死工作——60秒～90秒解锁过渡——90秒以后恢复到混合工作模式”全过程的框架角速度运动曲线，从图中可以看出，框架角速度运动在整个过程中均平稳无冲击，因此具有切实可行的有效性。

独立MW工作模式力矩误差控制的有效性。参见图8，图中左右两部分分别显示了利用常规CSCMG进行姿态稳定控制与框架完全锁死状态下的独立MW工作模式进行姿态稳定控制时的力矩误差曲线，从图中可以看出，框架完全锁死状态下的独立MW工作模式的力矩误差比前者大约低一个量级，从而验证了独立MW工作模式在姿态稳定控制等小力矩要求场合下能够提供较高的力矩输出精度，弥补了常规SGCMG做姿态稳定控制时的不足。

本发明说明书中未作详细描述的内容属本领域技术人员的公知技术。

Claims (2)

1.一种变速控制力矩陀螺群的精准敏捷操纵方法，其特征在于步骤如下：

（1）根据航天器所需力矩T_c大小，地面发送遥控指令控制变速控制力矩陀螺群工作在不同模式：当航天器需要进行姿态机动时，地面发送遥控指令控制变速控制力矩陀螺的框架和转子均正常运动，进入变速控制力矩陀螺和动量轮联合工作模式，执行步骤（2）；当航天器姿态机动完成后进入姿态稳定状态时，地面发送遥控指令或航天器自动控制锁死变速控制力矩陀螺的框架运动，仅保持转子运动，进入动量轮独立工作模式，执行步骤（3）；

（2）在变速控制力矩陀螺和动量轮联合工作模式下，计算力矩方程T_c=-Qx的加权伪逆特解x_T和零运动解x_N，用动量轮独立工作模式的力矩补偿功能进行框架转速的死区非线性处理，具体方法如下：

（2.1）根据力矩方程T_c=-Qx计算基于奇异度量的加权伪逆操纵律x_T， $x_T=\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}\\ \stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&Omega;}}\end{array}\right)\end{array}=-Q_W^{+}{T}_c,$ 其中 $Q_W^{+}={\mathrm{WQ}}^T{\left(\mathrm{QW}{Q}^T\right)}^{-1}$ 为Q的加权广义逆矩阵，W=diag(W_g1…W_gnW_s1…W_sn)为权重系数矩阵，其中W_gj取为1，而

为基于奇异度量κ₁的权重，

ε为正的设计参数，奇异度量κ₁定义为A_t与其转置矩阵

的乘积的行列式，即

（2.2）基于Lyapunov方法设计回避框架奇异构型和进行转子转速平衡的零运动x_N，方法如下：

首先根据力矩方程T_c=-Qx得到对应的齐次方程：0=Qx，根据齐次方程可解得零运动的通解为x_N=k_NP_Qd；其中k_N为正的待设计常数，

为对称正半定矩阵，I_2n×2n表示2n×2n维的单位矩阵，d为任意矢量；

然后确定期望的转子转速Ω_f和期望的框架角δ_f：转子转速期望值Ω_f为期望的常值轮速，框架角期望值δ_f的计算方法为：记框架角偏差为Δδ=δ_f-δ，取奇异度量其中δ₁和δ₃分别为A_t的最大和最小非零奇异值，设κ₂(δ)为当前时刻t的奇异度量，下一时刻t+Δt的奇异度量κ₂(δ+Δδ)，Δδ表示Δt时间内的框架角增量，应用Taylor公式展开并取其前二阶有：

设期望框架角满足κ₂(δ+Δδ)=1，则上式关于Δδ的最小范数解为：

$\mathrm{\&Delta;\&delta;}=\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&kappa;}}_2}{\&PartialD;\mathrm{\&delta;}}{\left[{\left(\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&kappa;}}_2}{\&PartialD;\mathrm{\&delta;}}\right)}^T\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&kappa;}}_2}{\&PartialD;\mathrm{\&delta;}}\right]}^{-1}[1-{\mathrm{\&kappa;}}_2\left(\mathrm{\&delta;}\right)]=\frac{[1-{\mathrm{\&kappa;}}_2\left(\mathrm{\&delta;}\right)]}{{|{\&PartialD;\mathrm{\&kappa;}}_2/\&PartialD;\mathrm{\&delta;}|}^2}\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&kappa;}}_2}{\&PartialD;\mathrm{\&delta;}},$

的计算方法为：设A_t的奇异值分解为 $A_t={\mathrm{USV}}^T=\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&sigma;}}_i{u}_i{v}_i^T,$ 则有 $\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&kappa;}}_2}{\&PartialD;\mathrm{\&delta;}}=-\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}_1}\left[\begin{array}{c}{u}_3^T{s}_1{v}_{13}\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ u_3^T{s}_n{v}_{n3}\end{array}\right]+\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_3}{{\mathrm{\&sigma;}}_1^2}\left[\begin{array}{c}{u}_1^T{s}_1{v}_{11}\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ u_1^T{s}_n{v}_{n1}\end{array}\right];$

（2.3）设计框架转速死区非线性的动量轮补偿策略；设陀螺框架转速的死区阈值为

当某一只或几只陀螺框架角速度大小陷入死区，即

时，通过沿着

原有的运动方向调整其特解

为

使新的总框架角速度逃离死区范围，即： $\left|{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_i^{*}\right|=|({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_{\mathrm{iT}}+{\mathrm{\&Delta;}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_{\mathrm{iT}})+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_{\mathrm{iN}}|=|({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_{\mathrm{iT}}+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_{\mathrm{iN}})+\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_{\mathrm{iT}}|=|{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_i+\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_{\mathrm{iT}}|\&GreaterEqual;{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_{\min };$

式中

表示调整后的总框架角速度，

表示特解上的框架角速度调整量。特解

的调整方向与原框架角速度同向，即

sign()为符号函数；

特解的调整具体采取如下规律： $\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_{\mathrm{iT}}=\left\{\begin{array}{c}\sin g\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_i\right)|{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_{\min }-|{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_i\left|\right|,\left|{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_i\right|<{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_{\min }\\ 0,\left|{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_i\right|\&GreaterEqual;{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_{\min }\end{array}\right.$

（3）进入动量轮独立工作模式，首先进入框架锁死的过渡过程，然后设计框架锁死状态下的MW操纵律，最后进入框架解锁的过渡过程；

（3.1）首先进行框架锁死过渡过程的框架角速度规划，然后设计框架锁死过渡过程零运动；

框架锁死过渡过程的框架角速度规划：对于加权伪逆解x_T的权重矩阵W=diag(W_g1…W_gnW_s1…W_sn)中代表框架运动的权重分量W_gi按照如下下降抛物线规律进行规划： $W_{\mathrm{gi}}=\frac{W_{\mathrm{gi}}^0}{T^2}{(t-T)}^2,i=\mathrm{1,2},...,n$

其中

是W_gi的初值，

是W_sj的初值，T为设定的过渡过程的总时间长度；

框架锁死过渡过程零运动设计：按以下方法计算此时的

设A_t的奇异值分解为 $A_t=U_t{S}_t{V_t}^T=\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{it}}{u}_{\mathrm{it}}{v}_{\mathrm{it}}^T,$ 则有：

$\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&kappa;}}_{\mathrm{cmg}}}{\&PartialD;\mathrm{\&delta;}}=-\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}_{1t}}\left[\begin{array}{c}{u}_{3t}^T{s}_{1t}{v}_{13,t}\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ u_{3t}^T{s}_{\mathrm{nt}}{v}_{n3,t}\end{array}\right]+\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_{t3}}{{\mathrm{\&sigma;}}_{t1}^2}\left[\begin{array}{c}{u}_{1t}^T{s}_{1t}{v}_{11,t}\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ u_{1t}^T{s}_{\mathrm{nt}}{v}_{n1,t}\end{array}\right]$

设A_s的奇异值分解为 $A_s=U_s{S}_s{V_s}^T=\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{is}}{u}_{\mathrm{is}}{v}_{\mathrm{is}}^T,$ 则有：

$\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&kappa;}}_{\mathrm{mv}}}{\&PartialD;\mathrm{\&delta;}}=-\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}_{1s}}\left[\begin{array}{c}{u}_{3s}^T{s}_{1s}{v}_{13,s}\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ u_{3s}^T{s}_{\mathrm{ns}}{v}_{n3,s}\end{array}\right]+\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_{t3}}{{\mathrm{\&sigma;}}_{t1}^2}\left[\begin{array}{c}{u}_{1s}^T{s}_{1s}{v}_{11,s}\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ u_{1s}^T{s}_{\mathrm{ns}}{v}_{n1,s}\end{array}\right]$

最后有： $\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&kappa;}}_2}{\&PartialD;\mathrm{\&delta;}}=\frac{\&PartialD;\left({\mathrm{\&kappa;}}_{\mathrm{cmg}}{\mathrm{\&kappa;}}_{\mathrm{mw}}\right)}{\&PartialD;\mathrm{\&delta;}}=\frac{\&PartialD;\left({\mathrm{\&kappa;}}_{\mathrm{cmg}}\right)}{\&PartialD;\mathrm{\&delta;}}{\mathrm{\&kappa;}}_{\mathrm{mw}}+{\mathrm{\&kappa;}}_{\mathrm{cmg}}\frac{\&PartialD;\left({\mathrm{\&kappa;}}_{\mathrm{mw}}\right)}{\&PartialD;\mathrm{\&delta;}}$

（3.2）设计框架锁死状态下的MW操纵律；动量轮独立工作模式下的系统力矩方程为

其操纵律取为如下伪逆解：

（3.3）进入框架解锁的过渡过程，框架解锁过程可以按照为锁死过程的逆过程来进行设计，首先框架解锁过渡过程的框架角速度规划，然后框架解锁过渡过程零运动设计；

框架解锁过渡过程的框架角速度规划：对于加权伪逆解x_T中的权值W=diag(W_g1…W_gnW_s1…W_sn)中代表框架运动的权重分量W_gi按照如下上升抛物线规律规划： $W_{\mathrm{gi}}=\frac{W_{\mathrm{gi}}^0}{T^2}{(t-(T_{\mathrm{UnlockStart}}+T_{\mathrm{UnlockSpan}}))}^2,i=\mathrm{1,2},...,n$

其中

是W_gi的初值，

是W_sj的初值，T_UnlockStart为开始解锁时刻，T_UnlockSpan为解锁过渡过程的总时间长度；

框架解锁过渡过程零运动设计：该过程零运动的设计方法与框架锁死过渡过程中零运动设计方法完全相同。

2.根据权利要求1所述的一种变速控制力矩陀螺群的精准敏捷操纵方法，其特征在于：根据Lyapunov直接法设计参数d，使之满足奇异回避和转子转速平衡；定义当前框架角位置δ和转子角速率Ω与其各自的期望值δ_f、Ω_f的偏差为

偏差对时间求导可得取Lyapunov函数为对其求导并将误差函数及其导数、VSCMG的力矩方程代入，则有 ${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_a=e_a^T{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_a=-e_a^T(x_T+x_N)=-e_a^T{x}_T-k_N{e}_a^T{P}_{Q}d,$ 根据Lyapunov直接法定理可知，此时VSCMGs在如下零运动操纵律下 $x_N=k_N{P}_{Q}d=k_N{P}_Q{e}_a=k_N(I_{2n\&times;2n}-Q_W^{+}Q)W\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&delta;}}_f-\mathrm{\&delta;}\\ {\mathrm{\&Omega;}}_f-\mathrm{\&Omega;}\end{array}\right],$ 对上述偏差系统具有较好的Lyapunov意义下全局稳定趋向性，框架角δ将逐渐趋向于δ_f，转子角速度Ω将逐渐趋向于Ω_f。

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