CN105159309B

CN105159309B - 一种利用偏置系绳的空间飞行器姿态稳定控制方法

Info

Publication number: CN105159309B
Application number: CN201510551519.3A
Authority: CN
Inventors: 孟中杰; 黄攀峰; 刘正雄
Original assignee: Northwestern Polytechnical University
Current assignee: Northwestern Polytechnical University
Priority date: 2015-09-01
Filing date: 2015-09-01
Publication date: 2018-01-23
Anticipated expiration: 2035-09-01
Also published as: CN105159309A

Abstract

本发明公开了一种利用偏置系绳的空间飞行器姿态稳定控制方法，通过建立系统动力学模型，然后将非仿射非线性系统模型转化为仿射非线性系统模型，再将速度信息作为虚拟控制量，设计控制器；接着将设计虚拟控制量作为控制指令，设计速度/角速度控制器；最后，在控制器中加入抗饱和模块，抑制系绳连接点移动受限带来的影响；本发明利用偏置系绳点的移动，控制抓捕机构姿态，大大节省了操作任务过程中抓捕机构的燃料消耗。另外，本发明利用一阶泰勒展开的方式将非仿射非线性系统转化为仿射非线性系统并证明其相似性及误差满足Lipschitz条件，并在控制系统设计时，设计自适应补偿项补偿模型误差，简单且实用性强。

Description

一种利用偏置系绳的空间飞行器姿态稳定控制方法

【技术领域】

本发明涉及一种空间飞行器利用偏置系绳的姿态稳定控制方法，属于空间飞行器在轨服务领域。

【背景技术】

空间绳系机器人由于其灵活、安全、燃料消耗低等特点，在空间在轨服务中有着广泛的作用，可以广泛应用于太空垃圾清理、失效卫星救助、静止轨道站位再生等操作。空间绳系机器人有空间平台、空间系绳、抓捕机构三部分组成。由于抓捕机构的位置与任务的成败密切相关，目前的空间绳系机器人的飞行控制研究多集中在抓捕机构的飞行控制上。而空间系绳的存在使得抓捕机构的飞行控制变得十分困难。

在传统的空间飞行器飞行控制中，空间系绳的张力被视为干扰，通过抓捕机构携带推力器和动量轮等进行抑制。近年来，黄攀峰、孟中杰等人提出了一种变干扰为控制力的系绳、推力器协调控制思路，但是仅利用系绳拉力进行抓捕机构的减速，进而实现与推力器协同实现轨道控制。假设系绳与抓捕机构的连接点与抓捕机构的质心不重合，系绳产生的张力矩可以稳定抓捕机构与系绳方向垂直的两个方向(一般称为俯仰通道、偏航通道)的姿态，另外一个方向(滚转通道)的姿态需要引入动量轮。但是，系绳张力一般被用来与推力器联合进行轨道控制，要利用张力矩控制姿态，必须利用可变的系绳连接点位置信息。NohmiM教授等人针对此问题，提出一种偏置系绳连接杆的方式，并利用PID控制设计控制系统，但是未考虑轨道的干扰、控制器稳定等问题。文浩、金栋平等人基于偏置系绳连接杆，利用伪谱法，提出一种开环优化和闭环跟踪的控制方法，其核心在于开环优化，在闭环跟踪方面，采用线性化模型的最优控制或回退时域控制。王东科等人提出了一种利用多系绳结构改变系绳连接点的方法，但对姿态/轨道耦合控制问题未深入研究。

因此，综合姿态/轨道耦合问题，需要设计一种利用偏置系绳的空间绳系机器人飞行控制系统，充分利用系绳张力、实现轨道控制；充分利用系绳张力矩，实现姿态稳定。

【发明内容】

本发明的目的在于提出一种利用偏置系绳的空间飞行器姿态稳定控制方法。该控制方法通过移动系绳与飞行器的连接点，充分利用系绳张力矩，实现系绳张力的充分利用。

为达到上述目的，本发明采用以下技术方案予以实现：

一种利用偏置系绳的空间飞行器姿态稳定控制方法，包括以下步骤：

1)建立系统动力学模型；

2)将非仿射非线性系统模型转化为仿射非线性系统模型；

选择系统状态X＝[X₁；X₂]，其中，X₁＝q＝[l α ψ]^T，系统输入为：U＝[Q_l Q_α/l d_x]^T，则系统模型(2)写为：

设计虚拟信号υ：

k_υ为设计的3×3的正定矩阵；

将在U＝υ处一阶泰勒展开，得：

其中，Δ为一阶泰勒展开后剩余的高阶项；

则系统(3)转化为仿射非线性系统模型：

由于g(X₁,X₂,U)有界且连续可导，其导数有界，设g(X₁,X₂,U)的2范数的上界为：g_u，则：

||f(X₁,X₂,U)-f(X₁,X_2,υ)||≤L||U-υ|| (6)

其中，||·||表示2范数，L为设计的正数，则：

即：一阶泰勒展开后的剩余高阶项Δ满足局部Lipschitz条件，系统模型(2)与模型(8)近似，误差满足局部Lipschitz条件，且误差与泰勒展开点υ有关；通过虚拟信号υ的生成表达式(4)可知，误差与系数矩阵k_υ有关；

3)将速度信息作为虚拟控制量，设计控制器；

设控制指令为：X_1d，定义跟踪误差为：X_1e＝X₁-X_1d，其导数为：将X₂作为虚拟控制量，设计控制器为：k₁为设计的正定矩阵；

设计新的状态变量X_2d，并令其中，ε为正数；

定义：y₂＝X_2d-X_2c,X_2e＝X₂-X_2d，跟踪误差X_1e的导数为：

4)将设计虚拟控制量作为控制指令，设计速度/角速度控制器；

速度项跟踪误差为：

则，控制器为：

其中，k₂和P均为设计的正定矩阵，为估计的自适应补偿项，其自适应律为：

a和ε_λ为设计的正数；aX_2e·X_2e仍为列向量，表征列向量aX_2e和X_2e的对应项相乘；

5)在控制器中加入抗饱和模块，抑制系绳连接点移动受限带来的影响；

设经过限幅环节后的控制输入为U_g，令ΔU＝U_g-U₀；设计虚拟变量ξ，其导数为：

其中，ξ为设计的小正数，K_ξ为设计的正定矩阵；

则，将控制器修正为：

则，X_2e的导数可表示为：

本发明进一步的改进在于：

所述步骤1)中，建立系统动力学模型的具体方法如下：

以EXYZ为地心惯性系，OX_PY_PZ_P为平台轨道系，OX_PY_P平面为轨道平面，O_TX_TY_TZ_T为系绳坐标系，O_bX_bY_bZ_b为操作机构本体坐标系，忽略系统面外运动，即假设EZ轴、OZ_P轴、O_TZ_T轴以及O_bZ_b轴相互平行，EXY，OX_PY_P，O_TX_TY_T以及O_bX_bY_b共面；设坐标系O_TX_TY_TZ_T与坐标系OX_PY_PZ_P夹角为α，坐标系O_bX_bY_bZ_b与坐标系OX_PY_PZ_P夹角为ψ，轨道角速度为ω，系绳长度为l，抓捕机构质量为m，绕O_bZ_b轴的转动惯量为I_z，系绳连接点在O_bX_bY_bZ_b的坐标为［d_x,d_y,0］；

假设：

i：平台运行于圆轨道，质量远大于抓捕机构，忽略系绳拉力对平台的干扰；

ii：忽略系绳质量和弹性，利用拉格朗日法建立空间绳系机器人的动力学模型为：

其中，q＝[l α ψ]^T,τ＝［Q_l Q_α/l Q_ψ］^T，

式中，Q_l为系绳拉力，Q_α为作用于系绳的非保守力力矩，由操作机构的推力器提供，Q_ψ为作用于组合体的非保守力矩，由操作机构的姿态控制推力器提供；

在协调控制中，利用Q_l，Q_α，Q_ψ分别控制系统状态l，α，ψ；系统动力学模型为：

其中，τ_p＝[Q_l Q_α/l 0]^T，系统属于典型的非仿射非线性模型。

与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：

本发明利用偏置系绳点的移动，控制抓捕机构姿态，大大节省了操作任务过程中抓捕机构的燃料消耗。另外，本发明利用一阶泰勒展开的方式将非仿射非线性系统转化为仿射非线性系统并证明其相似性及误差满足Lipschitz条件，并在控制系统设计时，设计自适应补偿项补偿模型误差，简单且实用性强。

【附图说明】

图1为本发明的原理图。

其中：1为空间平台；2为空间系绳；3为抓捕机构。

【具体实施方式】

下面结合附图对本发明做进一步详细描述：

如图1所示，本发明包括以下步骤：

第一步，建立系统动力学模型：

EXYZ为地心惯性系，OX_PY_PZ_P为平台轨道系，OX_PY_P平面为轨道平面，O_TX_TY_TZ_T为系绳坐标系，O_bX_bY_bZ_b为操作机构本体坐标系。忽略系统面外运动，即假设EZ轴、OZ_P轴、O_TZ_T轴、O_bZ_b轴相互平行，EXY，OX_PY_P，O_TX_TY_T，O_bX_bY_b共面。上述四个坐标系可通过一次旋转获得。设坐标系O_TX_TY_TZ_T与坐标系OX_PY_PZ_P夹角为α，坐标系O_bX_bY_bZ_b与坐标系OX_PY_PZ_P夹角为ψ，轨道角速度为ω，空间系绳2的长度为l，抓捕机构3质量为m，绕O_bZ_b轴的转动惯量为I_z，系绳连接点在O_bX_bY_bZ_b的坐标为［d_x,d_y,0］。

假设①空间平台1运行于圆轨道，质量远大于抓捕机构3，系绳拉力对平台干扰可忽略；②忽略了系绳质量和弹性。利用拉格朗日法建立空间绳系机器人的动力学模型为：

其中，q＝[l α ψ]^T,τ＝［Q_l Q_α/l Q_ψ］^T,

式中，Q_l为系绳拉力，Q_α为作用于系绳的非保守力力矩，由操作机构的推力器提供，Q_ψ为作用于组合体的非保守力矩，由操作机构的姿态控制推力器等姿态控制机构提供。

在常规的协调控制中，主要利用Q_l，Q_α，Q_ψ分别控制系统状态l，α，ψ。这时，系统属于典型的仿射非线性系统。本发明充分利用偏置系绳的特点，提出一种利用Q_l，Q_α，d_x控制系统状态l，α，ψ的方法。这时，系统动力学模型为：

第二步，将非仿射非线性系统模型转化为仿射非线性系统模型

选择系统状态X＝[X₁；X₂]，其中，系统输入为：U＝[Q_l Q_α/l d_x]^T，则系统模型(2)，可以写为：

设计虚拟信号υ

k_υ为设计的3×3的正定矩阵。

将在U＝υ处一阶泰勒展开，得：

其中，Δ为一阶泰勒展开后剩余的高阶项。

则系统(3)可转化为仿射非线性系统模型：

由于g(X₁,X₂,U)有界且连续可导，其导数有界，设g(X₁,X₂,U)的2范数的上界为：g_u。依据Khalil K Khalil的著作《非线性系统》(电子工业出版社，2005.7)第62页中的引理3.1，可知：

||f(X₁，X₂，U)-f(X₁，X₂，v)||≤L||U-v|| (6)

其中，||·||表示2范数，L为设计的正数。则：

即：一阶泰勒展开后的剩余高阶项Δ满足局部Lipschitz条件，系统模型(2)与模型(8)近似，误差满足局部Lipschitz条件，且误差与泰勒展开点υ有关。通过虚拟信号υ的生成表达式(4)可知，误差与系数矩阵k_υ有关。

第三步，将速度信息作为虚拟控制量，设计控制器

设控制指令为：X_1d，定义跟踪误差为：X_1e＝X₁-X_1d，其导数为：将X₂作为虚拟控制量，设计控制器为：k₁为设计的正定矩阵。

设计新的状态变量X_2d，并令其中，ε为正数。

定义：y₂＝X_2d-X_2c,X_2e＝X₂-X_2d，跟踪误差X_1e的导数为：

第四步，将设计虚拟控制量作为控制指令，设计速度/角速度控制器

速度项跟踪误差为：

则，控制器为：

其中，k₂和P均为设计的正定矩阵。为估计的自适应补偿项，其自适应律为：

a和ε_λ为设计的正数。aX_2e·X_2e仍为列向量，表征列向量aX_2e和X_2e的对应项相乘。

第五步，在控制器中加入抗饱和模块，抑制系绳连接点移动受限带来的影响

设经过限幅环节后的控制输入为U_g，令ΔU＝U_g-U₀。设计虚拟变量ξ，其导数为：

其中，ξ为设计的小正数，K_ξ为设计的正定矩阵。

则，将控制器修正为：

则，X_2e的导数可表示为：

第六步，对设计的控制器进行稳定性证明。

假设自适应补偿项的真值为λ_L，设估计误差为：选择M，令

选择李雅普诺夫函数为：

则，

又有界，则依据Lasalle-Yoshizawa定理，系统一致有界稳定。

以上内容仅为说明本发明的技术思想，不能以此限定本发明的保护范围，凡是按照本发明提出的技术思想，在技术方案基础上所做的任何改动，均落入本发明权利要求书的保护范围之内。

Claims

1.一种利用偏置系绳的空间飞行器姿态稳定控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)建立系统动力学模型；

以EXYZ为地心惯性系，OX_PY_PZ_P为平台轨道系，OX_PY_P平面为轨道平面，O_TX_TY_TZ_T为系绳坐标系，O_bX_bY_bZ_b为操作机构本体坐标系，忽略系统面外运动，即假设EZ轴、OZ_P轴、O_TZ_T轴以及O_bZ_b轴相互平行，EXY，OX_PY_P，O_TX_TY_T以及O_bX_bY_b共面；设坐标系O_TX_TY_TZ_T与坐标系OX_PY_PZ_P夹角为α，坐标系O_bX_bY_bZ_b与坐标系OX_PY_PZ_P夹角为ψ，轨道角速度为ω，系绳长度为l，抓捕机构质量为m，绕O_bZ_b轴的转动惯量为I_z，系绳连接点在O_bX_bY_bZ_b的坐标为[d_x,d_y,0]；

假设：

<mrow> <mi>M</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mi>C</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mi>G</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>&tau;</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，q＝[l α ψ]^T,τ＝[Q_l Q_α/l Q_ψ]^T，

<mrow> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>m</mi> <mi>l</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>&omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>md</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mover> <mi>&psi;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>&omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>m</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>&omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>m</mi> <mover> <mi>l</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>md</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>&psi;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>&omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>m</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mi>&omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>md</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>l</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mi>l</mi> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mi>l</mi> <mi>&omega;</mi> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>

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式中，Q_l为系绳拉力，Q_α为作用于系绳的非保守力力矩，由操作机构的推力器提供，Q_ψ为作用于组合体的非保守力矩，由操作机构的姿态控制推力器提供；[d₂,d₁,0]为O_bX_bY_bZ_b坐标系下的系绳连接点位置矢量在OX_PY_PZ_P坐标系中的描述，即：

<mrow> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>M</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>C</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mi>M</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>G</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>M</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>&tau;</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，τ_p＝[Q_l Q_α/l 0]^T，系统属于典型的非仿射非线性模型；

2)将非仿射非线性系统模型转化为仿射非线性系统模型；

选择系统状态X＝[X₁；X₂]，其中，X₁＝q＝[l α ψ]^T，系统输入为：U＝[Q_l Q_α/l d_x]^T，则仿射非线性系统模型写为：

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>M</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>C</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mi>M</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>G</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>M</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>&tau;</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mi>U</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

设计虚拟信号υ：

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k_υ为设计的3×3的正定矩阵；

将在U＝υ处一阶泰勒展开，得：

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其中，Δ为一阶泰勒展开后的剩余高阶项；

则系统(3)转化为仿射非线性系统模型：

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>&lsqb;</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mi>&upsi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mi>&upsi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&upsi;</mi> <mo>&rsqb;</mo> <mo>+</mo> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mi>&upsi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>U</mi> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

||f(X₁,X₂,U)-f(X₁,X₂,υ)||≤L||U-υ|| (6)

其中，||·||表示2范数，L为设计的正数，则：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>&Delta;</mi> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>=</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mi>U</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mi>&upsi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mi>&upsi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&upsi;</mi> <mo>-</mo> <mi>U</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&le;</mo> <mi>L</mi> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mi>&upsi;</mi> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>g</mi> <mi>u</mi> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mi>&upsi;</mi> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>L</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>g</mi> <mi>u</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mi>&upsi;</mi> <mo>|</mo> <mo>|</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

即：一阶泰勒展开后的剩余高阶项Δ满足局部Lipschitz条件，系统动力学模型(2)与下述模型(8)近似，误差满足局部Lipschitz条件，且误差与泰勒展开点υ有关；通过虚拟信号υ的生成表达式(4)可知，误差与系数矩阵k_υ有关；

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>&lsqb;</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mi>&upsi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mi>&upsi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&upsi;</mi> <mo>&rsqb;</mo> <mo>+</mo> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mi>&upsi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>U</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mi>&upsi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mi>&upsi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>U</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

3)将速度信息作为虚拟控制量，设计控制器；

设计新的状态变量X_2d，并令其中，ε为正数；

定义：y₂＝X_2d-X_2c,X_2e＝X₂-X_2d，跟踪误差X_1e的导数为：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>1</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>1</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>1</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>1</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

速度项跟踪误差为：

<mrow> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>2</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>2</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>&lsqb;</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mi>&upsi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mi>&upsi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&upsi;</mi> <mo>&rsqb;</mo> <mo>+</mo> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mi>&upsi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>U</mi> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>2</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

则，控制器为：

<mrow> <msub> <mi>U</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mi>&upsi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>{</mo> <mo>-</mo> <mo>&lsqb;</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mi>&upsi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mi>&upsi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&upsi;</mi> <mo>&rsqb;</mo> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>2</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>PX</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mover> <mi>&lambda;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>L</mi> </msub> <mo>&CenterDot;</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <mi>&epsiv;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msub> <mover> <mover> <mi>&lambda;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>L</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>aX</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>&CenterDot;</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>&epsiv;</mi> <mi>&lambda;</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mover> <mi>&xi;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>&xi;</mi> </msub> <mover> <mi>&xi;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <msup> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>U</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <mn>0.5</mn> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>U</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>U</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>&xi;</mi> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mi>&xi;</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>U</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>&xi;</mi> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>&GreaterEqual;</mo> <mi>&mu;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>&xi;</mi> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo><</mo> <mi>&mu;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，μ为设计的正数，K_ξ为设计的正定矩阵；

则，将控制器修正为：

<mrow> <msub> <mi>U</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mi>&upsi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>{</mo> <mo>-</mo> <mo>&lsqb;</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mi>&upsi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mi>&upsi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&upsi;</mi> <mo>&rsqb;</mo> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>2</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mi>&xi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>PX</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mover> <mi>&lambda;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>L</mi> </msub> <mo>&CenterDot;</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <mi>&epsiv;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

则，X_2e的导数可表示为：

<mrow> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>2</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mi>&xi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>PX</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&lambda;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>L</mi> </msub> <mfrac> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <mi>&epsiv;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow>