CN107145071B - 一种空间系绳系统的拉格朗日动力模型及控制器 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种空间系绳系统的拉格朗日动力模型及控制器，针对空间绳系系统的建模问题，考虑了目标的三个姿态角、系绳面内、面外角、系绳长度等6个参数，利用拉格朗日法详细推导了系绳的广义力模型，并设计了广义状态稳定控制器。有益效果：可用于解决平台和目标质量相当时的绳系系统目标姿态建模问题；设计的控制器可实现目标抓捕后绳系系统广义变量的控制。

Description

一种空间系绳系统的拉格朗日动力模型及控制器

技术领域

本发明属于绳系系统控制领域，涉及一种空间系绳系统的拉格朗日动力模型及控制器。

背景技术

空间系绳系统是通过挠性系绳将空间平台与航天飞机、宇宙飞船、空间站或其它卫星、抓捕器(飞爪、飞矛、飞舌、飞网等)连接起来而形成的新型空间挠性组合体，这种挠性组合体长度可达几百米甚至数百公里。绳系系统具有广泛的用途和应用前景，可广泛应用于空间实验、空间运输、太空垃圾清理、失效卫星救助、静止轨道站位再生等操作。空间绳系系统由空间平台、空间系绳、目标三部分组成。绳系系统的精确建模能够反映出绳系系统的本质属性，便于绳系系统的控制和空间应用。

目前针对绳系系统的建模方法有以下几种：1)、Misra、Z.H.Zhu、H.Wen等将绳系卫星系统视为二体质点问题，建模时仅考虑了系绳面内、面外角及系绳长度3个参数，视系绳长度为数公里甚至数百公里，不适用于系绳长度为数百米的情况，同时不能反映出绳系卫星的姿态角；2)、刘莹莹等考虑了子星姿态，建立了百米级绳系系统的运动学与动力学模型，考虑了子星的三个姿态角、系绳面内、面外角及系绳长度等6个参数，但该建模方法假设子星远小于主星质量，系绳与子星的姿态运动不影响系统的轨道；4)、王东科等建立了绳系机器人系统复杂的拉格朗日动力学模型，系绳长度为百米级，考虑了绳系机器人的三个姿态角、系绳面内、面外角及系绳长度等6个参数，该建模方法成立的前提条件是空间平台的质量远远大于绳系机器人的质量，但当空间平台的质量和目标质量相当时，该建模方法不再成立；5)、张帆等建立了目标和平台质量相当时的拉格朗日动力学模型，系绳长度为百米级，考虑了目标和平台的偏航角、俯仰角、系绳面内角、面外角、系绳长度等7个参数，但未考虑目标的滚转角。

发明内容

要解决的技术问题

为了避免现有技术的不足之处，本发明提出一种空间系绳系统的拉格朗日动力模型及控制器。

技术方案

一种建立空间系绳系统的拉格朗日动力模型的方法，其特征在于步骤如下：

步骤1：建立坐标系：OXYZ为惯性坐标系；o₀x₀y₀z₀为空间绳系系统轨道坐标系，坐标原点o₀位于绳系系统质心处，o₀y₀沿空间绳系系统运动切线方向，o₀x₀背离地心；ox₂y₂z₂为目标坐标系，ox₂y₂z₂经轨道坐标系按照3-1-2旋转θ₂和ψ₂而成；o_tx_ty_tz_t为系绳坐标系，o_tx_t沿系绳运动切线方向，o_tx_t背离地心，α为空间系绳坐标系绕o₀z₀轴旋转的面内角，β为空间系绳坐标系绕o₀y₀轴旋转的面外角；γ为真近点角；

绳系系统的位置：

其中，平台、目标和系绳的质量为m₁、m₂和m_t，和分别为平台、目标和系绳的位置矢量，为系统的质心位置；

平台、目标和系绳的位置表达式：

其中，为目标质心到系绳点的位置矢量，为平台质心到目标系绳连接点的位置矢量，忽略系绳径向系绳长度变化，定义l为系绳长度，为o_tx_t轴的方向向量，定义ω₀为轨道角速度大小；

目标相对于惯性系的角速度ω₂在目标本体系下的表示为：

系绳相对于惯性系的角速度ω_t在系绳本体系下的表示：

其中，代表(·)对时间的一阶导数；

步骤2：建立绳系系统的动能和势能绳系系统的总动能为：Γ＝Γ_trans+Γ_rot

绳系系统平动动能：

其中：

绳系系统的旋转动能：

绳系系统势能：

其中，||·||表示2范数，E为系绳的杨氏模量，S为系绳的横截面积；

步骤3：根据拉格朗日方程得到空间绳系系统的动力学方程：

目标航天器的偏航角动力学方程：

目标航天器的俯仰角θ₂动力学方程：

目标航天器的滚转角ψ₂动力学方程：

系绳面内角α动力学方程：

系绳面外角β动力学方程：

绳长l的动力学方程：

其中，代表(·)对时间的二阶导数。

一种利用所述的拉格朗日动力学模型的空间系绳系统的控制器，其特征在于控制器为：

其中，为期望的控制变量，k₁∈R^6×6,k₂∈R^6×6为设计的控制器参数；

其中，

M₃₁＝-I_dy sinθ₂,M₃₂＝0,M₃₃＝I_dy

M₃₄＝0,M₃₅＝0,M₃₆＝0

有益效果

本发明提出的一种空间系绳系统的拉格朗日动力模型及控制器，针对空间绳系系统的建模问题，考虑了目标的三个姿态角、系绳面内、面外角、系绳长度等6个参数，利用拉格朗日法详细推导了系绳的广义力模型，并设计了广义状态稳定控制器。

与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：

1)可用于解决平台和目标质量相当时的绳系系统目标姿态建模问题；

2)设计的控制器可实现目标抓捕后绳系系统广义变量的控制。

附图说明

图1为绳系系统坐标系定义及系统配置图

具体实施方式

现结合实施例、附图对本发明作进一步描述：

为实现上述目的，本发明是通过以下技术方案来实现：

步骤1，建立坐标系定义并给出绳系系统的位置和角速度表达式；

步骤2，建立绳系系统的动能和势能；

步骤3，建立绳系系统的广义力模型；

步骤4，针对建立的拉格朗日动力学模型，设计控制器。

1、附图1为绳系系统坐标系定义及系统配置图，其中，OXYZ为惯性坐标系；o₀x₀y₀z₀为空间绳系系统轨道坐标系，坐标原点o₀位于绳系系统质心处，o₀y₀沿空间绳系系统运动切线方向，o₀x₀背离地心；ox₂y₂z₂为目标坐标系，ox₂y₂z₂经轨道坐标系按照3-1-2旋转θ₂和ψ₂而成；o_tx_ty_tz_t为系绳坐标系，o_tx_t沿系绳运动切线方向，o_tx_t背离地心，α为空间系绳坐标系绕o₀z₀轴旋转的面内角，β为空间系绳坐标系绕o₀y₀轴旋转的面外角；γ为真近点角。为简化起见，视系绳为单段处理，且视空间平台为质点，定义ω₀为轨道角速度大小。

对于圆轨道，系统轨道角速度为：

ω₀＝[0 0 ω₀]^T (1)

其中ω₀为常数，根据质心运动定理，满足下述函数表达式：

其中，平台、目标和系绳的质量为m₁、m₂和m_t，和分别为平台、目标和系绳的位置矢量，为系统的质心位置。定义三者的总质量为m＝m₁+m₂+m_t，整理可得三者间的位置表达式为：

其中，为目标质心到系绳点的位置矢量，为平台质心到目标系绳连接点的位置矢量，忽略系绳径向系绳长度变化，定义l为系绳长度，为o_tx_t轴的方向向量。

轨道坐标系与目标本体系按照3-1-2分别旋转θ₂和ψ₂，旋转矩阵为

其中，

惯性坐标系与轨道坐标系的旋转矩阵为：

根据R₀和R₂解算出目标相对于惯性系的角速度ω₂在目标本体系下的表示为：

其中，代表(·)对时间的一阶导数。轨道坐标系与系绳本体系按照先绕o₀z₀轴旋转α，再绕根据o₀y₀旋转β角的旋转变换矩阵为：

R_t＝R_y(β)R_z(α) (8)

根据R₀和R_t解算出系绳相对于惯性系的角速度ω_t在系绳本体系下的表示：

2、建立绳系系统的动能和势能如下：

对式(3)求一阶导数，整理得到平台、目标和绳系的平动速度表达式为：

其中，为反对称矩阵，对于任意的a＝[a₁ a₂ a₃]^T，满足：

利用Lagrange方法建立系统动力学模型。假设绳系系统质心在圆形开普勒轨道上运行，根据目标、平台与系绳的相对运动关系，得到绳系系统的动能与势能分别为：

为便于公式推导，定义并将绳系系统平动动能Γ_trans书写为如下形式：

其中

绳系系统的旋转动能Γ_rot数学表达式为：

其中，I_d为目标的转动惯量，定义I_d＝diag([I_dx I_dy I_dz])，绳系系统的总动能为：

Γ＝Γ_trans+Γ_rot (21)

绳系系统势能计算表达式为：

其中，μ为地球引力常数，V_p为平台重力势能，V_d为目标重力势能，V_t为系绳重力势能和弹性势能，|·|表示2范数，E为系绳的杨氏模量，S为系绳的横截面积，c_3d是与重力的方向有关的向量。由于忽略式(22)的高阶项，整理可得绳系系统的总势能表达式为

3、根据拉格朗日方程可得到空间绳系系统的动力学方程如式(24)～式(29)所示。

(1)、目标航天器的偏航角动力学方程表达式为：

(2)、目标航天器的俯仰角θ₂动力学方程表达式为：

(3)、目标航天器的滚转角ψ₂动力学方程表达式为：

(4)、系绳面内角α动力学方程表达式为：

(5)、系绳面外角β动力学方程表达式为：

(6)、绳长l的动力学方程表达式为：

其中，代表(·)对时间的二阶导数。

步骤4，针对建立的拉格朗日动力学模型，设计控制器。

将式(24)～式(29)写成矩阵形式如下表达式：

其中，

定义

据此整理可得

根据拉格朗日动力学性质可知M可逆，M的逆矩阵为M^-1，因此有

设计控制器如下：

其中，为期望的控制变量，k₁∈R^6×6,k₂∈R^6×6为设计的控制器参数。

Claims (2)

1.一种建立空间系绳系统的拉格朗日动力学模型的方法，其特征在于步骤如下：

步骤1：建立坐标系：OXYZ为惯性坐标系；o₀x₀y₀z₀为空间绳系系统轨道坐标系，坐标原点o₀位于绳系系统质心处，o₀y₀沿空间绳系系统运动切线方向，o₀x₀背离地心；ox₂y₂z₂为目标坐标系，ox₂y₂z₂经轨道坐标系按照3-1-2旋转θ₂和ψ₂而成；o_tx_ty_tz_t为系绳坐标系，o_tx_t沿系绳运动切线方向，o_tx_t背离地心，α为空间系绳坐标系绕o₀z₀轴旋转的面内角，β为空间系绳坐标系绕o₀y₀轴旋转的面外角；γ为真近点角；

绳系系统的位置：

其中，平台、目标和系绳的质量为m₁、m₂和m_t，和分别为平台、目标和系绳的位置矢量，为系统的质心位置；

平台、目标和系绳的位置表达式：

其中，为目标质心到系绳点的位置矢量，为平台质心到目标系绳连接点的位置矢量，忽略系绳径向系绳长度变化，定义l为系绳长度，为o_tx_t轴的方向向量，定义ω₀为轨道角速度大小；

目标相对于惯性系的角速度ω₂在目标本体系下的表示为：

系绳相对于惯性系的角速度ω_t在系绳本体系下的表示：

其中，代表(·)对时间的一阶导数；

步骤2：建立绳系系统的动能和势能

绳系系统的总动能为：Γ＝Γ_trans+Γ_rot

绳系系统平动动能：

其中：

绳系系统的旋转动能：

其中，I_d为目标的转动惯量；

绳系系统势能：

其中，||·||表示2范数，E为系绳的杨氏模量，S为系绳的横截面积；

步骤3：根据拉格朗日方程得到空间绳系系统的动力学方程：

目标航天器的偏航角动力学方程：

目标航天器的俯仰角θ₂动力学方程：

目标航天器的滚转角ψ₂动力学方程：

系绳面内角α动力学方程：

系绳面外角β动力学方程：

绳长l的动力学方程：

其中，代表(·)对时间的二阶导数；

2.一种控制器包括利用根据权利要求1所述的方法建立的拉格朗日动力学模型，其特征在于控制器为：

其中，为期望的控制变量，k₁∈R^6×6,k₂∈R^6×6为设计的控制器参数；

其中，

M₁₂＝e₂,M₁₃＝e₃,

M₂₃＝0

M₃₁＝-I_dysinθ₂,M₃₂＝0,M₃₃＝I_dy

M₃₄＝0,M₃₅＝0,M₃₆＝0