CN112464452A - 考虑姿轨耦合的空间碎片双系绳拖曳系统最优离轨方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开的考虑姿轨耦合的空间碎片双系绳拖曳系统最优离轨方法，属于航天器轨道与姿态的动力学与控制领域。本发明将空间碎片绳系拖曳系统中的拖船等效为质点，碎片等效为刚体，连接拖船和碎片的两系绳等效为不可压缩的弹簧阻尼模型，其中两系绳能够连接在碎片任意位置；基于第二类拉格朗日方法建立绳系拖曳系统的二维姿轨耦合动力学精确模型，通过对比可压缩弹簧阻尼系绳模型与不可压缩弹簧阻尼系绳模型拖曳离轨过程中的碎片姿态角变化，分析出碎片失稳是系绳由松弛到张紧的冲击过程造成的，基于此原因，添加使系绳时刻张紧的绳长约束条件，改进最优模型的约束条件，使得绳系拖曳系统在稳定的前提下以尽量小的燃料消耗进行离轨清除任务。

Description

考虑姿轨耦合的空间碎片双系绳拖曳系统最优离轨方法

技术领域

本发明涉及一种空间碎片绳系拖曳系统的最优离轨方法，涉及精确动力学模型建立、 绳系拖曳系统失稳分析以及最优控制模型建立，属于航天器轨道与姿态的动力学与控制领 域。

背景技术

在研究绳系拖曳系统拖曳空间碎片离轨过程前，首先需要对绳系拖船系统进行动力学 建模，建模的精度不同将影响后续控制研究的内容以及难度。文献(Wen,H.,Zhu,Z.H.,et al."Constrained tension control of a tethered space-tug system withonly length measurement." Acta Astronautica,2016.)基于系绳的哑铃模型通过在反馈控制中添加特殊饱和项，设计了 无需速度反馈的张力控制律，抑制绳系拖曳系统的振荡。在该方法中，系绳被处理为刚性 直杆，拖船与碎片均被处理为质点，这种建模方法便于后续控制的研究与设计，但是由于 实际中系绳为不可压缩的柔性体，且若将碎片视为质点，将忽略碎片在拖曳离轨中的姿态 变化，使得碎片失稳导致的系绳缠绕甚至与拖船碰撞成为潜在危险因素。为此在实际工程 中，需要建立一种更加贴合实际的绳系拖曳系统模型，进而基于建立的模型进行后续拖曳 离轨研究。

另外，目前大多的相关文献较少地涉及拖曳离轨过程中的燃料消耗问题，而燃料的消 耗又是工程中所关注的实际问题，并且单次任务较小的燃料消耗可以支持拖曳系统执行更 多次的拖曳清除任务，因此研究如何在保证绳系拖曳系统稳定的前提下，完成低耗能的轨 道转移是十分有意义的。

发明内容

本发明目的是提供一种考虑姿轨耦合的空间碎片双系绳拖曳系统最优离轨方法，在空 间绳系拖曳系统精确建模的基础之上，通过考虑不同的系绳模型，分析出碎片失稳的原因， 并基于此改进最优模型的约束条件，从而保证绳系拖船系统在碎片姿态稳定的情况下燃料 消耗较少，使得空间碎片的拖曳离轨过程兼具安全性与经济性。

本发明的目的通过以下技术方案实现。

本发明公开的考虑姿轨耦合的空间碎片双系绳拖曳系统最优离轨方法，将空间碎片绳 系拖曳系统中的拖船等效为质点，碎片等效为刚体，连接拖船和碎片的两系绳等效为不可 压缩的弹簧阻尼模型，其中两系绳能够连接在碎片任意位置。接着基于第二类拉格朗日方 法建立绳系拖曳系统的二维姿轨耦合动力学精确模型，并通过对比可压缩弹簧阻尼系绳模 型与不可压缩弹簧阻尼系绳模型拖曳离轨过程中的碎片姿态角变化，分析出碎片失稳是系 绳由松弛到张紧的冲击过程造成的，基于此原因，添加使系绳时刻张紧的绳长约束条件， 改进最优模型的约束条件，使得绳系拖曳系统在稳定的前提下以尽量小的燃料消耗进行离 轨清除任务。本发明建立的动力学建模更加贴近实际，具有无需设计复杂控制器的优点， 为空间碎片稳定且耗能小的离轨移除技术提供有力依据。

本发明公开的考虑姿轨耦合的空间碎片双系绳拖曳系统最优离轨方法，包括如下步骤：

步骤一：通过第二类拉格朗日方法建立绳系拖曳系统的二维姿轨耦合动力学精确模型；

在空间碎片绳系拖曳系统动力学建模中，将拖船等效为质点，碎片等效为刚体，两系 绳等效为不可压缩的弹簧阻尼模型，并且连接在碎片的任意位置。定义坐标系O_ex_ey_e、O_ox_oy_o、O_b2x_b2y_b2分别表示地心惯性坐标系、空间碎片绳系拖曳系统轨道坐标系以及碎片 本体坐标系。其中地心惯性坐标系的x_e轴指向春分点，z_e轴指向北极，y_e与前两者构成右 手坐标系；轨道坐标系的x_o轴沿着地心与绳系拖曳系统质心连线指向外，y_o轴在轨道平面 内与x_o垂直并且指向飞行方向，z₀轴与其他两轴构成右手系；碎片的本体坐标系三轴分别 沿其惯性主轴方向。定义系统姿态角γ为绳系拖曳系统质心连线O₁O_b2与y_o轴的夹角，以 顺时针转动为正，碎片姿态角θ为x_b2与x_o夹角，以顺时钟转动为正，绳系拖曳系统质心连 线的距离记为l。拖船和碎片的质量分别记为m₁和m₂，地心与绳系拖曳系统质心距离以及 真近点角记为R和β。拖船推力与y_o轴的夹角记为ψ，推力幅值记为F。从碎片本体坐标 系到轨道坐标系的转换矩阵A_ob2以及轨道坐标系到地心惯性坐标系的转换矩阵A_eo的具体 表达式如下所示：

采用Lagrange方程对双绳拖曳系统进行动力学建模，选取R、β、θ、γ、l作为绳系拖曳系统的广义坐标，并进行如下的归一化处理：

通过计算整理可以得到双绳拖曳系统的非线性动力学方程，用下式进行表示：

式中J_x、J_y、J_z为碎片在本体系下的三轴转动惯量，c_a、c_b为系绳阻尼系数，x_a，y_a，x_b，y_b代表了系绳与碎片的连接位置，H函数代表Heaviside阶跃函数，当l_a≤l_a0或者l_b≤l_b0时，对应的函数值为零，表示该模型中系绳的不可压缩性。K_a、K_b，ξ_a、ξ_b以及η_a、η_b的表 达式如下所示：

步骤二：建立以推力方向角为控制量且耗能最小的最优离轨模型，通过对比可压缩弹 簧阻尼系绳模型与不可压缩弹簧阻尼系绳模型拖曳离轨过程中的碎片姿态角变化，分析出 碎片失稳是由系绳“冲击”造成的，所述“冲击”指系绳第一次松弛至张紧的过程。

为了防止绳系拖船系统在拖曳碎片的过程中，出现碎片失稳导致系绳缠绕甚至与拖船 碰撞的危险现象，需先对碎片失稳的原因进行分析，并基于此改进最优模型，给出稳定绳 系拖船系统的方法。

首先建立传统的最优模型。考虑拖船推力的大小保持不变，而控制推力方向ψ在轨道 平面中[-π/2,π/2]内变化的耗能最小轨道优化问题，由于燃料的消耗量与推力作用时间成正 比关系，因此该模型的目标函数可表述为J＝t_f，其中t_f代表最终到达时间。

其次，给定最优模型的初值条件，并将推力方向角ψ作为控制量。

考虑将GEO轨道碎片拖曳至预期清除轨道，并设终端边界条件以及上下界约束。通过设计合理的推力方向角ψ(t)使目标函数最小，进而达到燃耗最小的目的。

接着将绳系拖曳系统动力学约束式(2)进行离散化。首先把绳系拖船系统各个状态量 X(t)以及推力方向角ψ(t)视为决策变量，将绳系拖曳系统状态微分方程写成如下矩阵形式：

其中：X＝[Rβθγl v f p q s]^T。

动力学约束要求在任意时刻，状态量与控制量都应满足绳系拖曳系统动力学方程，把 整个轨迹在连续的时间[t₀,t_f]上离散为若干区间段，区间段长度为h，并选取其中[t_k,t_k+1]一 段进行分析。

该区间段两个端点记为两个节点，两节点上的状态量与控制量分别为：[X_k,ψ_k]，[X_k+1,ψ_k+1]，且满足动力学约束，即：

考虑利用两节点处的四个变量

构造区间段的三次Hermit插值多 项式:X(t)＝A₀+A₁t+A₂t²+A₃t³。其中[A₀ A₁ A₂ A₃]中的各项为插值多项式的未知系数10 维列向量，由于：X(0)＝X_k，

X(h)＝X_k+1，

则能够建立如下的矩 阵方程：

由此解出四个未知系数列向量。选取该区间段中点记为“配置点”，则根据式(4)和求 出的四个未知系数可得该配置点的状态量，求导后得到其一阶导数表达式：

配置点处的控制量ψ_c处理为两点线性差值，最后可以将式(5)与动力学微分方程在该配 置点的值做差，得到该区段的代数动力学约束方程，如式(6)所示。通过对所有区段添加类 似的约束方程，则完成对连续动力学约束条件的离散处理。

基于上述的离散最优模型，对全弹簧模型与半弹簧模型拖曳离轨过程中的碎片姿态角 变化进行对比分析，二者均考虑在拖船恒定推力下进行升轨机动，基于离散后的离轨过程 对两种模型下的最优推力方向角进行求解，最后将该最优解代回到原动力学方程中重新数 值积分，以得到更高精度的广义坐标数值X。其中，所述全弹簧模型即指可压缩弹簧阻尼 模型，所述半弹簧模型即指不可压缩弹簧阻尼模型。

分析两种模型下的碎片姿态角θ以及系绳长度l_a或l_b的变化，将最优推力角度代入到 可压缩弹簧阻尼模型，重积分后得到的碎片姿态较好地控制在约束条件内，但是代入不可 压缩弹簧阻尼模型时，结果显示碎片发生翻滚，即绳系拖曳系统会产生失稳现象。

将得到最优推力方向角ψ、失稳的碎片姿态角θ以及系绳长度变化l_a或l_b对比分析，得 到姿态失稳发生在推力方向发生多次大角度变向后的时刻，说明推力方向多次变向是间接 因素，发生失稳的时刻是系绳第一次从松弛到达张紧状态。

再将绳长变化与姿态角速率变化进行对比分析，当系绳发生“冲击”时，碎片姿态角 速率发生突变，接着系绳再次松弛，在到达下一次“冲击”的过程中，由于系绳处于松弛，碎片处于无控状态，因此姿态角速率也不发生改变。以此类推，每次冲击都会使得姿态角速率产生一个突变，直到绳长逐渐收敛到时刻紧绷状态。而由于最初的姿态角速率大多为正，进而导致姿态角最开始会朝一个方向持续变化，导致碎片翻滚、系统失稳。因此绳系 拖曳系统失稳主要是由于系绳中的“冲击”引起的。

通过对比全弹簧模型与半弹簧模型拖曳离轨过程中的碎片姿态角变化，分析出碎片失 稳的是由系绳“冲击”所导致的姿态角速度突变与积累造成的。

步骤三：基于步骤二分析的碎片失稳原因，通过添加使系绳时刻张紧的绳长约束条件， 保证碎片在拖曳离轨过程中时刻受控，进而保证绳系拖船系统在碎片姿态稳定的情况下燃 料消耗较少，使得空间碎片的拖曳离轨过程兼具安全性与经济性。

基于步骤二分析的碎片失稳原因，若能减缓甚至消除“冲击”，便能够减缓状态变量的 变化速度，进而解决碎片失稳的问题，所以通过添加使系绳时刻张紧的绳长约束条件，保 证碎片在拖曳离轨过程中时刻受控以消除“冲击”问题，从而保证绳系拖船系统在碎片姿 态稳定的情况下燃料消耗较少，使得空间碎片的拖曳离轨过程兼具安全性与经济性。

所述绳长约束条件如下：l_a0＜l_a＜l_au，l_b0＜l_b＜l_bu。其中l_a0或l_b0代表系绳原长，l_au或l_bu代表为绳长设置的上界，防止系绳内部产生过大的张力。

有益效果：

1、本发明公开的考虑姿轨耦合的空间碎片双系绳拖曳系统最优离轨方法，通过建立绳 系拖船系统的二维姿轨耦合动力学精确模型，其中拖船视为质点，碎片视为刚体，两系绳 等效为不可压缩的弹簧阻尼模型，并且连接在碎片的任意位置，同时将绳系拖曳系统的轨 道运动考虑进动力学模型当中，考虑轨道与姿态耦合的作用，使得空间碎片绳系拖曳系统 模型更加精确。

2、本发明公开的考虑姿轨耦合的空间碎片双系绳拖曳系统最优离轨方法，通过对比可 压缩弹簧阻尼系绳模型与不可压缩弹簧阻尼系绳模型拖曳离轨过程中的碎片姿态角变化， 分析出碎片失稳是由系绳“冲击”造成的，该原因将为后续的绳系拖曳系统稳定控制提供 依据。

3、本发明公开的考虑姿轨耦合的空间碎片双系绳拖曳系统最优离轨方法，根据分析得 出的碎片失稳原因，通过添加使系绳时刻张紧的绳长约束条件，改进最优离轨模型，使得 两系绳在绳系拖曳系统离轨过程中时刻张紧，无需设计复杂的控制器便能够保证绳系拖船 系统在碎片姿态稳定的情况下以较小的燃料消耗完成离轨清除任务，使得空间碎片的拖曳 离轨过程兼具安全性与经济性。

附图说明

图1为本发明中绳系拖船系统的示意图；

图2为分析碎片失稳时两种模型下的碎片姿态θ以及绳长l_a0或l_b0变化，其中图2(a) 为全弹簧模型下的结果，图2(b)为半弹簧模型下的结果。

图3为对不可压缩弹簧阻尼器的系绳模型下的失稳分析对比图，其中图3(a)为最优 推力方向角、失稳姿态角以及绳长变化，图3(b)为姿态角速率与绳长变化对比；

图4为两种模型下最优推力方向角ψ以及碎片姿态θ变化对比，其中图4(a)为最优推力方向角ψ变化对比，图4(b)为碎片姿态角θ变化对比；

图5为实施中两种模型下的绳长变化对比。

图6为本发明公开的考虑姿轨耦合的空间碎片双系绳拖曳系统最优离轨方法的流程图。

具体实施方式

为了更好地说明本发明的目的和优点，下面结合附图和实例对本发明的具体实施方式 以及效果作进一步的详细说明。

首先，选取位于GEO近圆轨道上的绳系拖船系统作为主要研究对象，绳系拖船系统的示意图如图1所示。绳系拖曳系统主要参数如下表所示：

表1绳系拖曳系统参数

本实施例公开的考虑姿轨耦合的空间碎片双系绳拖曳系统最优离轨方法，具体实现步 骤如下：

步骤一：通过第二类拉格朗日方法建立绳系拖曳系统的二维姿轨耦合动力学精确模型；

Lagrange方程的具体形式如下：

其中q表示绳系拖曳系统的广义坐标，在实例中q＝[R，β，θ，γ,l]^T，T为绳系拖曳系统动 能，如下所示：

其中i＝1,2，分别在实例中代表拖船与碎片，v_i代表二者在地心惯性系下的绝对速度，J_z为碎片绕z₂轴的转动惯量。绳系拖曳系统的总势能分为重力势能与系绳的弹性势能，分别 记为V_g与V_e，具体表达式如下所示：

其中r₁、r₂分别表示由绳系拖曳系统质心指向拖船与碎片质心的向量，ρ代表由碎片质心 指向碎片微元的向量，l_a0与l_b0代表了两系绳的原长。

Q_j为作用在绳系拖曳系统上的广义力，具体形式如下：

式中c_a、c_b为系绳阻尼系数，F为拖船的牵引力，R₁为地心指向拖船的向量，它在惯性系 下的分量形式如式(12)所示。D_j为广义阻尼力，可用式(13)表示。

将上述相关公式代入式(7)中，通过计算整理可以得到双绳拖曳系统的非线性姿轨耦合 动力学方程，具体表达式与式(2)一致，且式中各个参数取自表2中的绳系拖曳系统参数。

步骤二：建立以推力方向角为控制量且耗能最小的最优离轨模型，通过对比可压缩弹 簧阻尼系绳模型与不可压缩弹簧阻尼系绳模型拖曳离轨过程中的碎片姿态角变化，分析出 碎片失稳是由系绳“冲击”造成的；

首先建立传统的最优模型。考虑拖船推力的大小保持不变，而控制推力方向ψ在轨道 平面中[-π/2,π/2]内变化的耗能最小轨道优化问题，由于燃料的消耗量与推力作用时间成正 比关系，因此该模型的目标函数可表述为J＝t_f，其中t_f代表最终到达时间。

给定最优模型的初值条件，如表2所示，并将推力方向角ψ作为控制量。

表2最优模型初值条件

结合《空间碎片减缓指南》中给出的对于GEO空间碎片处理建议，本实例考虑将GEO轨道碎片抬升300km至坟墓轨道。设终端边界条件以及上下界约束为：

v(t_f)＝0，

-π/2＜θ，γ，ψ＜π/2。通过设计合理的推力方向角ψ使目标函数最 小，进而达到燃耗最小的目的。其中模型的初始边界条件如表(2)所示，推力方向角ψ为 控制量。

接着采用直接法中的Hermit-Simpson配点法对动力学约束式(2)进行离散化处理， 完成对最优离轨模型离散形式的建立，为后续仿真做准备。

基于上述的离散最优模型，分别对全弹簧模型与半弹簧模型进行了仿真实验对比，二 者均考虑在0.5N的拖船恒定推力下进行升轨机动，将离轨过程分为199段，并利用Matlab 中的fmincon函数对两种模型下的最优推力方向角进行求解，最后将该最优解代回到原动 力学方程中重新数值积分，以得到更高精度的解。

附图中图2表示了两种模型下的碎片姿态角θ以及系绳长度l_a(l_b)的变化，图中显示将 最优推力角度代入到可压缩弹簧阻尼模型，重积分后得到的碎片姿态较好地控制在了约束 条件内，但是代入不可压缩弹簧阻尼模型时，结果显示碎片发生了翻滚，即绳系拖曳系统 会产生失稳现象。

将得到最优推力方向角ψ、失稳的碎片姿态角θ以及系绳长度变化l_a(l_b)放在一起，如 图3(a)所示，可知姿态失稳是发生在推力方向发生多次大角度变向后的时刻，说明推力方 向多次变向是一种间接因素，真正发生失稳发生在系绳第一次从松弛到达张紧的时刻。

将绳长变化与姿态角速率变化放在同一张图中对比，如图3(b)所示，系绳发生“冲击” 时，碎片姿态角速率发生突变，接着系绳再次松弛，在到达下一次“冲击”前的过程中，由于系绳处于松弛，碎片处于“无控”状态，而此过程突变后的姿态角速度发生积累，导 致碎片翻滚、系统失稳。因此绳系拖曳系统失稳主要是由于系绳中的“冲击”引起的。

步骤三：基于步骤二分析的碎片失稳原因，通过添加使系绳时刻张紧的绳长约束条件， 保证碎片在拖曳离轨过程中时刻受控，进而保证绳系拖船系统在碎片姿态稳定的情况下燃 料消耗较少，使得空间碎片的拖曳离轨过程兼具安全性与经济性。

基于上一步骤分析的失稳原因，考虑将绳长条件也考虑到约束条件中，期望系绳时刻 绷紧，以消除“冲击”问题。具体约束条件如下：

其中l_a0或l_b0代表系绳原长，l_au或l_bu代表为绳长设置的上界，以防止系绳内部产生过大的 张力。

在原有的约束条件添加绳长条件后便得到改进的最优模型，据此得到的最优推力方向 角以及姿态变化如图4(a)所示。图中显示二者推力方向角变化主要区别在其方向多次大角 度变化的过程中，所述差别是为防止在停止变向后系绳发生松弛。图4(b)中展示的碎片姿 态角都控制在了约束条件内，说明了该方法的可行性。

最后给出可压缩弹簧阻尼系绳模型和不可压缩弹簧阻尼系绳模型下离轨过程中的绳长 变化，如附图中的图5所示。图中黑线代表系绳原长。图中体现出二者的差别主要在推力 方向大角度变向过程中，可压缩弹簧阻尼系绳模型下的绳长变化虽然有低于原长的时刻 (2.05×10⁴s左右的蓝线)，但是由于考虑的系绳模型本身不存在松弛的情况，因此也就不 会有“冲击”产生，碎片也时刻受控；而在将绳长也考虑进约束条件的不可压缩弹簧阻尼 模型中，虽然系绳模型本身可能会松弛，但是由于约束的限制，整个离轨过程中绳长时刻 大于原长，同样避免“冲击”的出现，使得碎片姿态很好的控制下来，同时还具有较小的燃料消耗，保证该离轨清除过程兼具安全性与经济性。

以上所述的具体描述，对发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明， 所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施例而已，并不用于限定本发明的保护范围， 凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明 的保护范围之内。

Claims (5)

1.考虑姿轨耦合的空间碎片双系绳拖曳系统最优离轨方法，其特征在于：包括如下步骤，

步骤一：通过第二类拉格朗日方法建立绳系拖曳系统的二维姿轨耦合动力学精确模型；

步骤二：建立以推力方向角为控制量且耗能最小的最优离轨模型，通过对比可压缩弹簧阻尼系绳模型与不可压缩弹簧阻尼系绳模型拖曳离轨过程中的碎片姿态角变化，分析出碎片失稳是由系绳“冲击”造成的，所述“冲击”指系绳第一次松弛至张紧的过程；

步骤三：基于步骤二分析的碎片失稳原因，通过添加使系绳时刻张紧的绳长约束条件，保证碎片在拖曳离轨过程中时刻受控，进而保证绳系拖船系统在碎片姿态稳定的情况下燃料消耗较少，使得空间碎片的拖曳离轨过程兼具安全性与经济性。

2.如权利要求1所述的考虑姿轨耦合的空间碎片双系绳拖曳系统最优离轨方法，其特征在于：步骤一实现方法为，

在空间碎片绳系拖曳系统动力学建模中，将拖船等效为质点，碎片等效为刚体，两系绳等效为不可压缩的弹簧阻尼模型，并且连接在碎片的任意位置；定义坐标系O_ex_ey_e、O_ox_oy_o、O_b2x_b2y_b2分别表示地心惯性坐标系、空间碎片绳系拖曳系统轨道坐标系以及碎片本体坐标系；其中地心惯性坐标系的x_e轴指向春分点，z_e轴指向北极，y_e与前两者构成右手坐标系；轨道坐标系的x_o轴沿着地心与绳系拖曳系统质心连线指向外，y_o轴在轨道平面内与x_o垂直并且指向飞行方向，z₀轴与其他两轴构成右手系；碎片的本体坐标系三轴分别沿其惯性主轴方向；定义系统姿态角γ为绳系拖曳系统质心连线O₁O_b2与y_o轴的夹角，以顺时针转动为正，碎片姿态角θ为x_b2与x_o夹角，以顺时钟转动为正，绳系拖曳系统质心连线的距离记为l；拖船和碎片的质量分别记为m₁和m₂，地心与绳系拖曳系统质心距离以及真近点角记为R和β；拖船推力与y_o轴的夹角记为ψ，推力幅值记为F；从碎片本体坐标系到轨道坐标系的转换矩阵A_ob2以及轨道坐标系到地心惯性坐标系的转换矩阵A_eo的具体表达式如下所示：

采用Lagrange方程对双绳拖曳系统进行动力学建模，选取R、β、θ、γ、l作为绳系拖曳系统的广义坐标，并进行如下的归一化处理：

通过计算整理可以得到双绳拖曳系统的非线性动力学方程，用下式进行表示：

式中J_x、J_y、J_z为碎片在本体系下的三轴转动惯量，c_a、c_b为系绳阻尼系数，x_a，y_a，x_b，y_b代表了系绳与碎片的连接位置，H函数代表Heaviside阶跃函数，当l_a≤l_a0或者l_b≤l_b0时，对应的函数值为零，表示该模型中系绳的不可压缩性；K_a、K_b，ξ_a、ξ_b以及η_a、η_b的表达式如下所示：

。

3.如权利要求2所述的考虑姿轨耦合的空间碎片双系绳拖曳系统最优离轨方法，其特征在于：步骤二实现方法为，

为了防止绳系拖船系统在拖曳碎片的过程中，出现碎片失稳导致系绳缠绕甚至与拖船碰撞的危险现象，需先对碎片失稳的原因进行分析，并基于此改进最优模型，给出稳定绳系拖船系统的方法；

首先建立传统的最优模型；考虑拖船推力的大小保持不变，而控制推力方向ψ在轨道平面中[-π/2,π/2]内变化的耗能最小轨道优化问题，由于燃料的消耗量与推力作用时间成正比关系，因此该模型的目标函数可表述为J＝t_f，其中t_f代表最终到达时间；

其次，给定最优模型的初值条件，并将推力方向角ψ作为控制量；

考虑将GEO轨道碎片拖曳至预期清除轨道，并设终端边界条件以及上下界约束；通过设计合理的推力方向角ψ(t)使目标函数最小，进而达到燃耗最小的目的；

接着将绳系拖曳系统动力学约束式(2)进行离散化；首先把绳系拖船系统各个状态量X(t)以及推力方向角ψ(t)视为决策变量，将绳系拖曳系统状态微分方程写成如下矩阵形式：

其中：X＝[R β θ γ l v f p q s]^T；

动力学约束要求在任意时刻，状态量与控制量都应满足绳系拖曳系统动力学方程，把整个轨迹在连续的时间[t₀,t_f]上离散为若干区间段，区间段长度为h，并选取其中[t_k,t_k+1]一段进行分析；

该区间段两个端点记为两个节点，两节点上的状态量与控制量分别为：[X_k,ψ_k]，[X_k+1,ψ_k+1]，且满足动力学约束，即：

考虑利用两节点处的四个变量

构造区间段的三次Hermit插值多项式:X(t)＝A₀+A₁t+A₂t²+A₃t³；其中[A₀ A₁ A₂ A₃]中的各项为插值多项式的未知系数10维列向量，由于：X(0)＝X_k，

X(h)＝X_k+1，

则能够建立如下的矩阵方程：

由此解出四个未知系数列向量；选取该区间段中点记为“配置点”，则根据式(4)和求出的四个未知系数可得该配置点的状态量，求导后得到其一阶导数表达式：

配置点处的控制量ψ_c处理为两点线性差值，最后可以将式(5)与动力学微分方程在该配置点的值做差，得到该区段的代数动力学约束方程，如式(6)所示；通过对所有区段添加类似的约束方程，则完成对连续动力学约束条件的离散处理；

基于上述的离散最优模型，对全弹簧模型与半弹簧模型拖曳离轨过程中的碎片姿态角变化进行对比分析，二者均考虑在拖船恒定推力下进行升轨机动，基于离散后的离轨过程对两种模型下的最优推力方向角进行求解，最后将该最优解代回到原动力学方程中重新数值积分，以得到更高精度的广义坐标数值X；其中，所述全弹簧模型即指可压缩弹簧阻尼模型，所述半弹簧模型即指不可压缩弹簧阻尼模型；

分析两种模型下的碎片姿态角θ以及系绳长度l_a或l_b的变化，将最优推力角度代入到可压缩弹簧阻尼模型，重积分后得到的碎片姿态较好地控制在约束条件内，但是代入不可压缩弹簧阻尼模型时，结果显示碎片发生翻滚，即绳系拖曳系统会产生失稳现象；

将得到最优推力方向角ψ、失稳的碎片姿态角θ以及系绳长度变化l_a或l_b对比分析，得到姿态失稳发生在推力方向发生多次大角度变向后的时刻，说明推力方向多次变向是间接因素，发生失稳的时刻是系绳第一次从松弛到达张紧状态；

再将绳长变化与姿态角速率变化进行对比分析，当系绳发生“冲击”时，碎片姿态角速率发生突变，接着系绳再次松弛，在到达下一次“冲击”的过程中，由于系绳处于松弛，碎片处于无控状态，因此姿态角速率也不发生改变；以此类推，每次冲击都会使得姿态角速率产生一个突变，直到绳长逐渐收敛到时刻紧绷状态；而由于最初的姿态角速率大多为正，进而导致姿态角最开始会朝一个方向持续变化，导致碎片翻滚、系统失稳；因此绳系拖曳系统失稳主要是由于系绳中的“冲击”引起的；

通过对比全弹簧模型与半弹簧模型拖曳离轨过程中的碎片姿态角变化，分析出碎片失稳的是由系绳“冲击”所导致的姿态角速度突变与积累造成的。

4.如权利要求3所述的考虑姿轨耦合的空间碎片双系绳拖曳系统最优离轨方法，其特征在于：步骤三实现方法为，

基于步骤二分析的碎片失稳原因，若能减缓甚至消除“冲击”，便能够减缓状态变量的变化速度，进而解决碎片失稳的问题，所以通过添加使系绳时刻张紧的绳长约束条件，保证碎片在拖曳离轨过程中时刻受控以消除“冲击”问题，从而保证绳系拖船系统在碎片姿态稳定的情况下燃料消耗较少，使得空间碎片的拖曳离轨过程兼具安全性与经济性。

5.如权利要求4所述的考虑姿轨耦合的空间碎片双系绳拖曳系统最优离轨方法，其特征在于：所述绳长约束条件如下，l_a0＜l_a＜l_au，l_b0＜l_b＜l_bu；其中l_a0或l_b0代表系绳原长，l_au或l_bu代表为绳长设置的上界，防止系绳内部产生过大的张力。

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