CN107908855A - 刚‑柔耦合空间带状绳系系统的建模方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种刚‑柔耦合空间带状绳系系统的建模方法，包括：建立固结于地球质心OE的惯性坐标系OE‑XEYEZE，其XE轴指向升交点，ZE轴垂直于轨道平面；建立一系列固结于系统离散单元的体坐标系oi‑xiyizi；以航天器质心o为原点再构建一个轨道坐标系o‑xyz，其x轴指向航天器运动的反方向，y轴由地球质心OE指向主星质心o。惯性坐标系OE‑XEYEZE用于建立并计算带状绳系系统动力学方程；体坐标系oi‑xiyizi用于分析离散单元的刚体运动；轨道坐标系o‑xyz用于展现数值结果。将带状系绳均匀离散为n个系绳单元，以获得接近真实系绳的模型。基于牛顿第二定律及动量矩定理，本发明充分考虑了空间带状系绳的拉伸、弯曲及扭转特性，准确而有效地描述刚‑柔耦合空间带状绳系系统的复杂动力学行为。

Description

刚-柔耦合空间带状绳系系统的建模方法
技术领域
本发明涉及航天器控制技术领域，具体是一种刚-柔耦合空间带状绳系系统的建模方法，该方法可准确描述空间带状系绳的拉伸、弯曲、扭转等动力学特性，并有效地揭示航天器(及末端载荷)刚体与空间柔性带状系绳间的刚-柔耦合关系。
背景技术
为了节约空间资源和提高效率，人们通常利用导电的带状系绳代替空间绳系系统终端的电荷采集装置，构成一个空间带状绳系系统，其在航天器离轨、碎片移除、轨道再推进等领域都有着广泛的应用前景。值得注意的是，当带状系绳被置于空间环境并与航天器本体耦合时，由于没有大气阻尼，这导致其一旦受到摄动作用便会持续摆动，极易产生一系列极为复杂的非线性现象；同时，离子场-力-电-磁-热多场耦合作用也可能使系统姿态运动能量不断增加而导致系统失稳。所以，该空间带状绳系系统具有刚-柔耦合、强非线性、大变形等特点，目前已引起学者们的广泛关注。譬如，Fujii等指出在T-Rex空间任务中已实现对一根宽25mm、厚50μm带状系绳的成功释放。Mantellato等数值研究了一根数公里长带状系绳的释放过程，并讨论了该系绳末端载荷的姿态动力学及稳定性。Kunugi等利用欧拉角研究了带状系绳的弯曲及扭转振动并通过一组地面实验验证了其的数值结果。Khan等则对航天器离轨过程中带状系绳的生存问题进行了深入探讨。
通过对已有的研究成果关注可以发现，西方发达国家已开始了对带状绳系系统进行地面甚至空间实验，但仅局限于可行性论证尚无法深刻揭示该系统的动力学现象。另外，在带状系绳离轨问题的研究中通常采用的都是理想带状绳模型，该模型忽略了系绳可能存在的拉伸、弯曲、扭转等特性，因此在对本征问题的描述仍存在不足。
发明内容
针对于上述现有技术的不足，本发明的目的在于提供一种刚-柔耦合空间带状绳系系统的建模方法，本发明的建模方法可精确刻画卫星刚体运动及系绳拉伸、弯曲、扭转等动力学特性。
为达到上述目的，本发明采用的技术方案如下：
本发明的一种刚-柔耦合空间带状绳系系统的建模方法，包括步骤如下：
建立固结于地球质心OE的惯性坐标系OE-XEYEZE，其XE轴指向升交点，ZE轴垂直于轨道平面，YE轴由右手定则确定；建立一系列固结于航天器、末端载荷及系绳单元的体坐标系oi-xiyizi；以航天器质心o为原点再构建一个轨道坐标系o-xyz，其x轴指向航天器运动的反方向，y轴由地球质心OE指向主星质心o，z轴由右手定则确定；惯性坐标系OE-XEYEZE用于建立带状绳系系统动力学方程及计算动力学响应；体坐标系oi-xiyizi则用于分析带状绳系系统离散单元的刚体运动；轨道坐标系o-xyz用于展现最终的数值结果；
设系绳长度为L，宽度为dw，厚度为dt，dw＞＞dt，并将其均匀离散为n个系绳单元，以获得接近真实系绳的模型；再将离散的系绳单元依次记为i，i＝1,2,...,n；同时将航天器M和末端载荷S分别记为航天器单元0和末端载荷单元n+1；利用拉伸弹簧、抗弯弹簧及扭转弹簧将n+2个航天器、末端载荷及系绳的离散单元依次连接以等效带状系绳的拉伸、弯曲、扭转动力学特性。
优选地，所述建模方法还包括：将作用于每个离散单元的外力简化到相应离散单元的质心上，得到一系列的等效力和等效力矩；根据牛顿第二定律，系统各离散单元i质心的动力学方程如下：
其中，对于航天器单元或末端载荷单元，mi表示航天器或末端载荷自身的质量，而对于系绳单元，mi表示第i个系绳单元的质量mi＝ρLLe，i＝0,1,…,n,n+1；其中ρL表示系绳的线密度，Le＝L/n表示系绳单元长度，ri表示惯性坐标系OE-XEYEZE下离散单元i质心的位置矢量，表示地球引力对离散单元i的主矢，Pi表示相邻离散单元i间相互作用的拉力，Ri表示离散单元i受到的合外力。
优选地，所述的表达式为：
其中，μE表示地球引力常数，Ji表示体坐标系oi-xiyizi下离散单元i的惯量张量，表达式为：
和分别表示离散单元i的体坐标中xi轴、yi轴和zi轴与离散单元位置矢量ri的方向余弦，参数
优选地，所述建模方法还包括：将离散单元视为由一系列拉伸弹簧连接而成，设弹簧刚度为ks＝EAc，E和Ac分别表示系绳的杨氏模量和截面面积；根据Kelvin-Voigt定理并考虑到系绳的粘弹性，相邻的离散单元间的拉力表示为：
其中，ηi,j表示离散单元i和j之间系绳的延伸率，i＝0,1,…,n,n+1；j＝i±1；αt表示系绳的阻尼系数，离散单元i上的拉力表示为：
Pi＝Pi,i-1+Pi,i+1 (5)
其中，Pi,i±1表示离散单元i±1作用于离散单元i上的拉力，i＝0,1,…,n,n+1。
优选地，根据动量矩定理，离散单元i的刚体转动方程表示为：
其中，ωi表示离散单元i的角速度矢量，i＝0,1,…,n,n+1，j＝i±1，表示由地球引力产生的主矩，
表示系绳拉力对离散单元i质心引起的力矩，和分别表示由系绳变形引起的弯矩和扭矩，表示合外力矩。
优选地，所述建模方法还包括：设相邻的离散单元i与i±1间的偏转角θi,i±1，恢复弯矩的大小取决于由外部弯矩引起的偏转角的大小，考虑每对相邻的离散单元间都是由刚度系数为kb＝EI的抗弯弹簧连接，因此，离散单元i与i±1间的弯矩和的大小表示为：
这里的符号'表示相对于系绳长度方向的导数，i＝0,1,…,n,n+1，j＝i±1，因此，离散单元i的弯矩表示为：
Mi＝Mi,i-1+Mi,i+1 (9)；
考虑离散单元沿系绳长度方向的扭转运动，其中ψLi表示离散单元i的绝对扭转角，表示相邻的离散单元i和j间的相对扭转角，将相应离散单元的截面沿绳长方向向航天器底部投影，并规定飞行方向至投影的夹角逆时针为负，认为每对相邻的离散单元都是由刚度系数为kt＝GIt的扭转弹簧连接，则相邻的离散单元间的扭矩表示为：
其中，为对系绳长度的导数，
离散单元i所承受的扭矩实际取决于与相邻的离散单元i±1对其的扭矩之和，因此，作用于离散单元i的扭矩为：
本发明的有益效果：
本发明的建模方法可以准确地描述航天器刚体及末端载荷刚体的定点运动，并精确地展示柔性带状系绳的拉伸、弯曲、扭转及构形变化，从而有效地揭示刚-柔耦合空间带状绳系系统的复杂动力学行为。
附图说明
图1为空间带状绳系系统示意图。
图2为带状系绳的面内俯仰角及面外滚转角示意图。
图3为带状柔性系绳离散示意图。
图4为系绳单元模型示意图。
图5为具有恢复弯矩的带状系绳示意图。
图6为无恢复弯矩的带状系绳示意图。
图7为偏转角示意图。
图8为弯矩示意图。
图9为受外部扭矩的带状系绳示意图。
图10为扭转角示意图。
图11为扭转角定义示意图。
图12为扭矩示意图。
图13为不同抗弯刚度带状系绳俯仰角随真近点角ν变化示意图。
图14为抗弯刚度为EI＝0的带状系绳构形变化示意图。
图15为抗弯刚度为EI＝10MNm 2 /rad的带状系绳构形变化示意图。
图16为抗弯刚度为EI＝20MNm 2 /rad的带状系绳构形变化示意图。
图17为离散单元扭转角随真近点角ν变化示意图。
图18为离散单元有效面积随真近点角ν变化示意图。
具体实施方式
为了便于本领域技术人员的理解，下面结合实施例与附图对本发明作进一步的说明，实施方式提及的内容并非对本发明的限定。
如图1所示，其为一个状态保持阶段的空间带状绳系系统。该系统由带状系绳连接的航天器M和末端载荷S组成。
本发明的一种刚-柔耦合空间带状绳系系统的建模方法，包括步骤如下：
建立固结于地球质心OE的惯性坐标系OE-XEYEZE，其XE轴指向升交点，ZE轴垂直于轨道平面，YE轴由右手定则确定；同时，建立一系列固结于航天器、末端载荷及系绳单元的体坐标系oi-xiyizi(如固结于航天器质心o构建一个体坐标系o-xMyMzM)；另外，以航天器质心o为原点再构建一个轨道坐标系o-xyz，其x轴指向航天器运动的反方向，y轴由地球质心OE指向主星质心o，z轴由右手定则确定。而系绳的面内俯仰角θ和面外滚转角φ如图2所示。须指出的是，惯性坐标系OE-XEYEZE用于建立带状绳系系统动力学方程及计算动力学响应；体坐标系oi-xiyizi则用于分析带状绳系系统离散单元的刚体运动；轨道坐标系o-xyz用于展现最终的数值结果。
空间带状系绳只能承受拉力、不能承受压力，并考虑垂直于系绳表面的弯矩和沿长度方向的扭矩，同时设系绳长度为L，宽度为dw，厚度为dt，dw＞＞dt。为了精确地研究带状系绳的动力学行为，将其均匀离散为n个离散单元，如图3所示。显然，只要单元数足够多，便可获得接近真实系绳的模型。为方便表示，将离散的系绳单元依次记为i，i＝1,2,...,n；同时将航天器M和末端载荷S分别记为航天器单元0和末端载荷单元n+1；因此共有n+2个离散单元，包括航天器单元0、系绳单元i(i＝1,2,...,n)及末端载荷单元n+1；利用拉伸弹簧、抗弯弹簧、扭转弹簧这三类弹簧将n+2个航天器、末端载荷及系绳的离散单元依次连接以等效带状系绳的拉伸、弯曲、扭转动力学特性。
将作用于每个离散单元的外力简化到相应离散单元的质心上，得到一系列的等效力和等效力矩。根据牛顿第二定律，系统各离散单元i质心的动力学方程如下：
其中，对于航天器单元或末端载荷单元，mi表示航天器或末端载荷自身的质量，而对于系绳单元，mi表示第i个系绳单元的质量mi＝ρLLe，i＝0,1,…,n,n+1；其中ρL表示系绳的线密度，Le＝L/n表示系绳单元长度，ri表示惯性坐标系OE-XEYEZE下离散单元i质心的位置矢量，表示地球引力对离散单元i的主矢，Pi表示相邻离散单元i间相互作用的拉力，Ri表示离散单元i受到的合外力。
其中，所述的表达式为：
其中，μE表示地球引力常数，Ji表示体坐标系oi-xiyizi下离散单元i的惯量张量，表达式为：
和分别表示离散单元i的体坐标中xi轴、yi轴和zi轴与离散单元位置矢量ri的方向余弦，参数
为了描述由于弹性拉伸而引起的系绳拉力，如图4所示，将离散单元视为由一系列拉伸弹簧连接而成，设弹簧刚度为ks＝EAc，E和Ac分别表示系绳的杨氏模量和截面面积。根据Kelvin-Voigt定理并考虑到系绳的粘弹性，相邻离散单元间的拉力表示为：
其中，ηi,j表示离散单元i和j之间系绳的延伸率，i＝0,1,…,n,n+1；j＝i±1；αt表示系绳的阻尼系数，离散单元i上的拉力表示为：
Pi＝Pi,i-1+Pi,i+1 (5)
其中，Pi,i±1表示离散单元i±1作用于离散单元i上的拉力，i＝0,1,…,n,n+1；
另一方面，根据动量矩定理，离散单元i的刚体转动方程表示为：
其中，ωi表示离散单元i的角速度矢量，i＝0,1,…,n,n+1，j＝i±1，表示由地球引力产生的主矩，
表示系绳拉力对离散单元i质心引起的力矩，和分别表示由系绳变形引起的弯矩和扭矩，表示合外力矩。
值得注意的是，如图5所示，系绳受到一对垂直于带状系绳表面的外部弯矩Mb而产生弯曲变形，故将会产生恢复弯矩；而如图6所示，当系绳受到一个垂直于带状系绳表面的外部合力Rc而产生弯曲变形时，其将不会产生恢复力或恢复弯矩，这是因为带状绳的宽度远大于厚度。
以下研究带状系绳的抗弯效应，设相邻离散单元i与i±1间的偏转角θi,i±1如图7所示，显然，恢复弯矩的大小取决于由外部弯矩引起的偏转角的大小。此外，如图8所示，考虑每对相邻离散单元间都是由刚度系数为kb＝EI的抗弯弹簧连接。因此，离散单元i与i±1间的弯矩和的大小表示为：
这里的符号'表示相对于系绳长度方向的导数，i＝0,1,…,n,n+1，j＝i±1，因此，离散单元i的弯矩表示为：
Mi＝Mi,i-1+Mi,i+1 (9)；
考虑离散单元沿系绳长度方向的扭转运动。图9表示当带状系绳受到绕中心轴的外部扭矩时会引起扭动，离散单元间的扭转角如图10所示，其中ψLi(i＝0,1,…,n,n+1)表示离散单元i的绝对扭转角，表示相邻离散单元i和j间的相对扭转角。图11定义了扭转角ψLi的取值方法，即将相应离散单元的截面沿绳长方向向航天器底部投影，并规定飞行方向至投影的夹角逆时针为负，如图11所示。此外，如图12所示，认为每对相邻离散单元都是由刚度系数为kt＝GIt的扭转弹簧连接，则相邻离散单元间的扭矩表示为：
其中，是对系绳长度的导数，
不难看出，离散单元i所承受的扭矩实际取决于与相邻离散单元i±1对其的扭矩之和，因此，作用于离散单元i的扭矩为：
我们通过采用拉伸弹簧、抗弯弹簧及扭转弹簧将离散单元依次连接便实现了对空间带状系绳的等效，再运用牛顿第二定律及动量矩定理可以完成对该刚-柔耦合系统的建模。
通过数值仿真研究空间带状绳系系统的动力学特性。设带状系绳的线密度为ρL＝0.5×10-3kg/m、阻尼系数为αt＝0.08s，长度、宽度及厚度分别为L＝10km、dw＝25mm和dt＝50μm，拉伸刚度、抗弯刚度及扭转刚度分别为EAc＝1.25×105N、EI＝4MNm2/rad和GIt＝3.6×10-3Nm2/rad，所有离散单元的初始绝对扭转角ψLi＝0。同时，设航天器及末端载荷的质量分别为mM＝2×103kg和mS＝0.1×103kg，航天器运行于距地300km高度的圆周轨道且初始真近点角为ν＝0。
首先，设末端载荷受到一个初始面内冲击RS＝[5000N 00]T的作用，研究抗弯刚度对空间带状系绳振动的影响。图13表示具有不同抗弯刚度时带状系绳俯仰角随真近点角ν的变化情况，可以清楚地看到系统的振幅及频率存在明显差异。另外，图14-16分别则展示了在轨道坐标系o-xyz下当抗弯刚度分别为EI＝4MNm2/rad、EI＝10MNm2/rad、EI＝20MNm2/rad时带状系绳的构形变化。
其次，另设末端载荷受到一初始冲击力矩MS＝[000.5Nm]T，据此研究扭转刚度对空间带状系绳振动的影响。图17表示系统各离散单元扭转角随真近点角的变化情况，可以看出空间带状系绳的扭转特性被很好地展示。图18表示各离散单元有效面积Aei随真近点角的变化情况，有效面积的巨幅变化将直接改变大气阻尼、热冲击等环境因素对系统的影响，故空间带状系绳的扭转特性是不可忽略的。
不难看出，本发明所提出的建模方法可以准确而有效地描述刚-柔耦合空间带状绳系系统的复杂动力学行为。
本发明具体应用途径很多，以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以作出若干改进，这些改进也应视为本发明的保护范围。

Claims (6)

1.一种刚-柔耦合空间带状绳系系统的建模方法，其特征在于，包括步骤如下：
建立固结于地球质心OE的惯性坐标系OE-XEYEZE，其XE轴指向升交点，ZE轴垂直于轨道平面，YE轴由右手定则确定；同时，建立一系列固结于航天器、末端载荷及系绳单元的体坐标系oi-xiyizi；以航天器质心o为原点再构建一个轨道坐标系o-xyz，其x轴指向航天器运动的反方向，y轴由地球质心OE指向主星质心o，z轴由右手定则确定；惯性坐标系OE-XEYEZE用于建立带状绳系系统动力学方程及计算动力学响应；体坐标系oi-xiyizi用于分析带状绳系系统离散单元的刚体运动；轨道坐标系o-xyz用于展现最终的数值结果；
设系绳长度为L，宽度为dw，厚度为dt，dw＞＞dt，并将其均匀离散为n个系绳单元，以获得接近真实系绳的模型；再将离散的系绳单元依次记为i，i＝1,2,...,n；同时将航天器M和末端载荷S分别记为航天器单元0和末端载荷单元n+1；利用拉伸弹簧、抗弯弹簧及扭转弹簧将n+2个航天器、末端载荷及系绳的离散单元依次连接以等效带状系绳的拉伸、弯曲、扭转动力学特性。
2.根据权利要求1所述的刚-柔耦合空间带状绳系系统的建模方法，其特征在于，所述建模方法还包括：将作用于离散单元的外力简化到相应离散单元的质心上，得到一系列的等效力和等效力矩；根据牛顿第二定律，空间带状绳系系统各离散单元i质心的动力学方程如下：
<mrow> <msub> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>r</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>G</mi> <mi>i</mi> <mi>E</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>P</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，对于航天器单元或末端载荷单元，mi表示航天器或末端载荷自身的质量，而对于系绳单元，mi表示第i个系绳单元的质量mi＝ρLLe，i＝0,1,...,n,n+1；其中ρL表示系绳的线密度，Le＝L/n表示系绳单元长度，ri表示惯性坐标系OE-XEYEZE下离散单元i质心的位置矢量，表示地球引力对离散单元i的主矢，Pi表示相邻离散单元i间相互作用的拉力，Ri表示离散单元i受到的合外力。
3.根据权利要求2所述的刚-柔耦合空间带状绳系系统的建模方法，其特征在于，所述的表达式为：
<mrow> <msubsup> <mi>G</mi> <mi>i</mi> <mi>E</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>E</mi> </msub> <msubsup> <mi>r</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>3</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>r</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mn>5</mn> <mi>Q</mi> <mo>-</mo> <mn>10</mn> <mover> <mi>Q</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>3</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>r</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>E</mi> </msub> <msubsup> <mi>r</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>3</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>r</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mn>5</mn> <mi>Q</mi> <mo>-</mo> <mn>10</mn> <mover> <mi>Q</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>3</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>r</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>E</mi> </msub> <msubsup> <mi>r</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>3</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>r</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mn>5</mn> <mi>Q</mi> <mo>-</mo> <mn>10</mn> <mover> <mi>Q</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>3</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>r</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，μE表示地球引力常数，Ji表示体坐标系oi-xiyizi下离散单元i的惯量张量，表达式为：
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和分别表示离散单元i的体坐标中xi轴、yi轴和zi轴与离散单元位置矢量ri的方向余弦，参数
4.根据权利要求2所述的刚-柔耦合空间带状绳系系统的建模方法，其特征在于，所述建模方法还包括：将离散单元视为由一系列拉伸弹簧连接而成，设弹簧刚度为ks＝EAc，E和Ac分别表示系绳的杨氏模量和截面面积；根据Kelvin-Voigt定理并考虑到系绳的粘弹性，相邻离散单元间的拉力表示为：
<mrow> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>EA</mi> <mi>c</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>t</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;eta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，ηi,j表示离散单元i和j之间系绳的延伸率，i＝0,1,…,n,n+1；j＝i±1；αt表示系绳的阻尼系数，离散单元i上的拉力表示为：
Pi＝Pi,i-1+Pi,i+1 (5)
其中，Pi,i±1表示离散单元i±1作用于离散单元i上的拉力。
5.根据权利要求1所述的刚-柔耦合空间带状绳系系统的建模方法，其特征在于，利用动量矩定理，离散单元i的刚体转动方程表示为：
<mrow> <msub> <mi>J</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;times;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>J</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>M</mi> <mi>i</mi> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>M</mi> <mn>1</mn> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>M</mi> <mi>i</mi> <mi>b</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>M</mi> <mi>i</mi> <mi>t</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>M</mi> <mi>i</mi> <mi>R</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，ωi表示离散单元i的角速度矢量，i＝0,1,…,n,n+1，j＝i±1，表示由地球引力产生的主矩，
<mrow> <msubsup> <mi>M</mi> <mi>i</mi> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>E</mi> </msub> </mrow> <msubsup> <mi>r</mi> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;gamma;</mi> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;gamma;</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>E</mi> </msub> </mrow> <msubsup> <mi>r</mi> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;gamma;</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;gamma;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>E</mi> </msub> </mrow> <msubsup> <mi>r</mi> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;gamma;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;gamma;</mi> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
表示系绳拉力对离散单元i质心引起的力矩，和分别表示由系绳变形引起的弯矩和扭矩，表示合外力矩。
6.根据权利要求5所述的刚-柔耦合空间带状绳系系统的建模方法，其特征在于，所述建模方法还包括：设相邻离散单元i与i±1间的偏转角θi,i±1，恢复弯矩的大小取决于由外部弯矩引起的偏转角的大小，考虑每对相邻离散单元间都是由刚度系数为kb＝EI的抗弯弹簧连接，因此，离散单元i与i±1间的弯矩和的大小表示为：
<mrow> <msubsup> <mi>M</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> <mi>b</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>EI&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
这里的符号'表示相对于系绳长度方向的导数，i＝0,1,…,n,n+1，j＝i±1，因此，离散单元i的弯矩表示为：
Mi＝Mi,i-1+Mi,i+1 (9)；
考虑离散单元沿系绳长度方向的扭转运动，其中ψLi表示离散单元i的绝对扭转角，表示相邻的离散单元i和j间的相对扭转角，将相应离散单元的截面沿绳长方向向航天器底部投影，并规定飞行方向至投影的夹角逆时针为负，认为每对相邻的离散单元都是由刚度系数为kt＝GIt的扭转弹簧连接，则相邻的离散单元间的扭矩表示为：
其中，表示对系绳长度的导数，
离散单元i所承受的扭矩实际取决于与相邻的离散单元i±1对其的扭矩之和，因此，作用于离散单元i的扭矩为：
<mrow> <msubsup> <mi>M</mi> <mi>i</mi> <mi>t</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>M</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>t</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>M</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>t</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow>
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