CN104881036A - 基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制方法 - Google Patents

Abstract

基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制方法，本发明涉及基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制方法。本发明为实现控制受限情形下的小卫星三轴磁力矩姿态控制系统的全局稳定。步骤一：建立控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制的姿态运动学与姿态动力学模型，并得到状态空间方程；步骤二：求解代数Lyapunov方程A^TP₀+P₀A＝-D^TD的显式解P₀：其中A是系统矩阵，D是任意维数的矩阵，系统矩阵A是临界稳定或是Lyapunov稳定的，保证上述代数Lyapunov方程存在正定解P₀；步骤三：通过代数Lyapunov方程的正定解P₀，设计显式的控制受限情形下的线性反馈控制律。本发明应用于卫星控制领域。

Description

基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制方法

技术领域

本发明涉及基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制方法。

背景技术

对于磁力矩姿态镇定控制系统而言，唯一的执行器是磁力矩器，其重量低于重力梯度控制系统和飞轮控制系统的重量，使用功耗低于飞轮控制系统，而小卫星的重量和功耗预算是非常有限的。基于这些优点，对于小卫星姿态控制系统的选择上首推磁力矩姿态控制系统。

控制系统受到的约束在磁力矩姿态控制系统的设计中扮演着重要的角色，由于磁线圈只能由有限的电流来驱动，尤其是存在大姿态角度误差和大角速率信号时，执行器的受限问题必须予以考虑；不然，控制受限将会降低实际控制系统的控制品质，甚至导致不稳定性，造成灾难性后果。

控制受限情形下磁力矩姿态控制系统的全局镇定问题是控制受限情形下周期系统全局镇定问题的一个特例，所以对于后者所建立的理论可以应用到前者当中。然而，不同于控制受限情形下的线性时不变系统的控制问题，控制受限情形下周期系统的控制问题，特别是全局镇定问题，尚没有得到应有的重视，文献中尚无关于全局镇定问题的结论的报道。

发明内容

本发明为实现控制受限情形下的小卫星三轴磁力矩姿态控制系统的全局稳定，而提供了基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制方法。

基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制方法，它按以下步骤实现：

步骤一：建立控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制的姿态运动学与姿态动力学模型，并得到状态空间方程；

步骤二：求解代数Lyapunov方程的显式解P₀：

A^TP₀+P₀A＝-D^TD

其中A是系统矩阵，D是任意维数的矩阵，由于系统矩阵A是临界稳定或是Lyapunov稳定的，保证上述代数Lyapunov方程存在正定解P₀；

步骤三：通过代数Lyapunov方程的正定解P₀，设计显式的控制受限情形下的线性反馈控制律，即设计控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制系统的状态反馈磁力矩姿态镇定控制器和基于观测器的磁力矩姿态镇定控制器；通过构造显式的Lyapunov函数，保证闭环系统的全局渐近稳定性。

发明效果：基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制方法。本发明所提出的方法最显著的优点是，针对控制受限情形下的具有时变周期特性的小卫星三轴磁力矩姿态控制系统，设计者通过代数Lyapunov方程的正定解，建立显式的周期反馈增益，设计显式的周期线性反馈控制律，通过构造显式的Lyapunov函数，保证控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制系统的全局渐近稳定性。

通过求解步骤二的代数Lyapunov方程，得到步骤三的控制受限情形下的显式周期线性反馈控制律，并且步骤三控制器效果说明：仿真结果中，从图2中可以看出闭环系统在8小时内成功地收敛到平衡点，比现有方法能更快地收敛到平衡点，图5展示了闭环系统固有的非线性特征；由于控制器设计所用的模型与仿真所用的真实非线性模型有着明显的不同，所以仿真结果还说明了利用本方法所设计的控制方案具有较好的鲁棒性。

附图说明

图1是地心惯性坐标系和卫星参考坐标系；

图2是姿态四元数和转速在初始误差30-deg和0.03deg/s时的变化曲线；其中，所述上图为姿态四元数在初始误差30-deg时的变化曲线，下图为转速在初始误差0.03deg/s时的变化曲线；

图3是不同控制器下的姿态四元数q₁，q₂，q₃在初始误差30-deg和0.03deg/s时的变化曲线；其中，所述上图为q₁在初始误差30-deg和0.03deg/s时的变化曲线，中图为q₂在初始误差30-deg和0.03deg/s时的变化曲线，下图为q₃在初始误差30-deg和0.03deg/s时的变化曲线；

图4是不同控制器下的转速在初始误差30-deg和0.03deg/s时的变化曲线；其中，所述上图为转速在X轴上的分量ω_x在初始误差30-deg和0.03deg/s时的变化曲线，中图为转速在Y轴上的分量ω_y在初始误差30-deg和0.03deg/s时的变化曲线，下图为转速在Z轴上的分量ω_z在初始误差30-deg和0.03deg/s时的变化曲线；

图5是控制信号在初始误差30-deg和0.03deg/s时的变化曲线。

具体实施方式

具体实施方式一：本实施方式的基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制方法，它按以下步骤实现：

步骤一：建立控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制的姿态运动学与姿态动力学模型，并得到状态空间方程；

步骤二：求解代数Lyapunov方程的显式解P₀：

A^TP₀+P₀A＝-D^TD

其中A是系统矩阵，D是任意维数的矩阵，由于系统矩阵A是临界稳定或是Lyapunov稳定的，保证上述代数Lyapunov方程存在正定解P₀；

步骤三：通过代数Lyapunov方程的正定解P₀，设计显式的控制受限情形下的线性反馈控制律，即设计控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制系统的状态反馈磁力矩姿态镇定控制器和基于观测器的磁力矩姿态镇定控制器；通过构造显式的Lyapunov函数，保证闭环系统的全局渐近稳定性。

具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是：步骤一具体为：

(1)坐标系定义

引入地心赤道惯性坐标系X-Y-Z记作F_i，其中X轴指向春分点，X-Y面为地球赤道面，Z轴沿地轴指向北极；

F_b记为卫星本体坐标系，F_o为轨道坐标系，其坐标原点位于卫星的质心，x_o沿着轨道方向，y_o垂直于轨道面，z_o是最低点方向；

在轨道坐标系F_o下描述卫星的姿态，如果卫星姿态达到期望位置，则卫星本体坐标x_b-y_b-z_b和轨道坐标x_o-y_o-z_o完成重合；

卫星本体坐标系F_b和轨道坐标系F_o之间通过姿态矩阵Ψ相联系

其中，所述q＝[q₁,q₂,q₃,q₄]^T是四元数，设卫星本体坐标系F_b相对于轨道坐标系F_o在X轴，Y轴和Z轴上的相对位置分量分别是x,y,z，和分别表示姿态矩阵Ψ在三个坐标轴方向分量；

(2)建立小卫星三轴磁力矩姿态控制系统的姿态运动学与姿态动力学模型

小卫星的姿态运动学模型：

$\stackrel{\·}{q}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cccc}0& {\mathrm{\ω}}_{rz}& -{\mathrm{\ω}}_{ry}& {\mathrm{\ω}}_{rx}\\ -{\mathrm{\ω}}_{rz}& 0& {\mathrm{\ω}}_{rx}& {\mathrm{\ω}}_{ry}\\ {\mathrm{\ω}}_{ry}& -{\mathrm{\ω}}_{rx}& 0& {\mathrm{\ω}}_{rz}\\ -{\mathrm{\ω}}_{rx}& -{\mathrm{\ω}}_{ry}& -{\mathrm{\ω}}_{rz}& 0\end{array}\right]q,---\left(1\right)$

小卫星的姿态动力学方程：

$\left\{\begin{array}{c}{J}_x{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_x+(J_z-J_y){\mathrm{\ω}}_y{\mathrm{\ω}}_z=T_{gx}+T_{mx},\\ J_y{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_y+(J_x-J_z){\mathrm{\ω}}_x{\mathrm{\ω}}_z=T_{gy}+T_{my},\\ J_z{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_z+(J_y-J_x){\mathrm{\ω}}_y{\mathrm{\ω}}_x=T_{gz}+T_{mz},\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，所述表示卫星绕地球旋转的角速度，μ＝3.986×10¹⁴m³/s²是地球引力常数，r是卫星环绕轨道的半长轴，ω_r＝[ω_rx,ω_ry,ω_rz]^T是卫星本体坐标系F_b相对于轨道坐标系F_o的相对角速度，ω_rx，ω_ry和ω_rz分别表示角速度ω_r在三个坐标轴方向的分量；J_x,J_y和J_z是航天器的转动惯量，ω＝[ω_x,ω_y,ω_z]^T是卫星本体坐标系F_b相对地心赤道惯性坐标系F_i的角速度，ω_x，ω_y和ω_z分别表示角速度ω在三个坐标轴方向的分量；T_mx，T_my和T_mz分别表示磁力矩在三个坐标轴方向的分量；向量T_g是重力梯度力矩，

其中T_gx，T_gy和T_gz分别表示重力梯度力矩在三个坐标轴方向的分量，J＝diag{J_x,J_y,J_z}，×表示叉积；

向量ω_r和ω满足

ω_r＝ω+ω₀φ_y

向量T_m＝[T_mx,T_my,T_mz]^T是磁力矩，表示为

T_m＝m×b,    (4)

其中m＝m(t)＝[m_x(t),m_y(t),m_z(t)]^T是磁力矩器产生的磁偶极矩，m_x(t)，m_y(t)和m_z(t)分别表示磁偶极矩在地心赤道惯性坐标系的三个坐标轴方向的分量，b表示在地心赤道惯性坐标系F_i中的地磁场矢量；忽略地球扁率的影响，则在轨道坐标系F_o中地磁场矢量表示为

$b_0=\frac{{\mathrm{\μ}}_m}{r^3}\left[\begin{array}{c}{\mathrm{cos\ω}}_0{\mathrm{tsini}}_m\\ -{\mathrm{cosi}}_m\\ 2{\mathrm{sin\ω}}_0{\mathrm{tsini}}_m\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{b}_1\left(t\right)\\ b_2\left(t\right)\\ b_3\left(t\right)\end{array}\right],---\left(5\right)$

其中，b₁(t)，b₂(t)和b₃(t)分别表示地磁场b₀在三个坐标轴方向的分量，i_m是航天器在磁赤道上的倾角，时间测定是从t＝0在升交点穿越磁赤道开始；场偶极子强度μ_m＝7.9×10¹⁵Wb-m，b和b₀的关系为

b＝Ψb₀    (6)；

(3)由小卫星三轴磁力矩姿态控制系统的姿态运动学与姿态动力学模型得到状态空间方程

在平衡点q^*＝[0,0,0,1]^T和ω^*＝[0,-ω₀,0]^T处姿态运动学模型(1)与姿态动力学模型(2)可得

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{q}}_1\\ {\stackrel{\·}{q}}_2\\ {\stackrel{\·}{q}}_3\end{array}\right]=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_x+2{\mathrm{\ω}}_0{q}_3\\ {\mathrm{\ω}}_y+{\mathrm{\ω}}_0\\ {\mathrm{\ω}}_z-2{\mathrm{\ω}}_0{q}_1\end{array}\right],---\left(7\right)$

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_x\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_y\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-8{\mathrm{\ω}}_0^2{q}_1{\mathrm{\σ}}_1-2{\mathrm{\ω}}_0{\mathrm{\σ}}_1{\stackrel{\·}{q}}_3\\ -6{\mathrm{\ω}}_0^2{\mathrm{\σ}}_2{q}_2\\ 2{\mathrm{\ω}}_0{\mathrm{\σ}}_3{\stackrel{\·}{q}}_1-2{\mathrm{\ω}}_0^2{\mathrm{\σ}}_3{q}_3\end{array}\right]+J^{-1}{T}_m,---\left(8\right)$

其中，所述 ${\mathrm{\σ}}_1=\frac{J_y-J_z}{J_x},{\mathrm{\σ}}_2=\frac{J_x-J_z}{J_y}$ 和 ${\mathrm{\σ}}_3=\frac{J_y-J_x}{J_z};$ 此时有Ψ＝I₃，I₃是3阶单位矩阵，从(4)和(6)中得到T_m＝m×b₀；

选取状态向量控制向量m和输出向量y(t)＝[q₁,q₂,q₃]^T,由方程(7)和(8)可得状态空间方程

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\mathrm{\χ}}\left(t\right)=\mathrm{A\χ}\left(t\right)+B\left(t\right)m\left(t\right),\\ y\left(t\right)=\mathrm{C\χ}\left(t\right),\end{array}\right.---\left(9\right)$

其中A为系统矩阵，B(t)是输入矩阵，C是输出矩阵，分别有如下形式

$A=\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ -4{\mathrm{\ω}}_0^2{\mathrm{\σ}}_1& 0& 0& 0& 0& {\mathrm{\ω}}_0(1-{\mathrm{\σ}}_1)\\ 0& -3{\mathrm{\ω}}_0^2{\mathrm{\σ}}_2& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& -{\mathrm{\ω}}_0^2{\mathrm{\σ}}_3& {\mathrm{\ω}}_0({\mathrm{\σ}}_3-1)& 0& 0\end{array}\right],---\left(10\right)$

$B\left(t\right)=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& \frac{b_3\left(t\right)}{J_x}& -\frac{b_2\left(t\right)}{J_x}\\ -\frac{b_3\left(t\right)}{J_y}& 0& \frac{b_1\left(t\right)}{J_y}\\ \frac{b_2\left(t\right)}{J_z}& -\frac{b_1\left(t\right)}{J_z}& 0\end{array}\right],C={\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]}^T---\left(11\right)$

其中，所述B(t)是一个周期为的周期矩阵，A是系统矩阵，是一个常数矩阵；小卫星滚转角φ，俯仰角θ，偏航角ψ与四元数q之间的关系为式(9)具有如下特殊的性质：(A,B(t))能控，(A,C)能测，且当(σ₁,σ₂,σ₃)满足如下

$\left\{\begin{array}{c}0<{\mathrm{\&sigma;}}_2,\\ 0<{\mathrm{\&sigma;}}_1{\mathrm{\&sigma;}}_3:={\mathrm{\&phi;}}_1,\\ 0<3{\mathrm{\&sigma;}}_1+{\mathrm{\&sigma;}}_3{\mathrm{\&sigma;}}_1+1:={\mathrm{\&phi;}}_2,\\ 0<{(3{\mathrm{\&sigma;}}_1+1+{\mathrm{\&sigma;}}_3{\mathrm{\&sigma;}}_1)}^2-16{\mathrm{\&sigma;}}_1{\mathrm{\&sigma;}}_3={\mathrm{\&phi;}}_2^2-16{\mathrm{\&phi;}}_1.\end{array}\right.---\left(12\right)$

时，系统矩阵A的特征值都在虚轴上，并且特征值的代数和几何重数都是1，即系统矩阵A是Lyapunov稳定或临界稳定的；

所述小卫星为控制受限小卫星，主要表现在：

在实际情况下，由于能提供给磁力矩器的电流不能太大，磁力矩器产生的磁偶极矩m(t)(即控制向量m(t))在各轴上的分量的绝对值不能超出该轴上的最大值如果理论上需要的控制向量m(t)在各轴上的分量的绝对值|m_k(t)|超出该轴上允许的最大值闭环系统将是非线性的并且其稳定性不能得到保证；因此实际控制器设计必须考虑控制受限的情况，即要求

其中表示磁力矩器在地心赤道惯性坐标系中的k轴上能产生的最大磁偶极矩分量。

其它步骤及参数与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是：步骤二中求解代数Lyapunov方程正定解P₀的具体过程：

代数Lyapunov方程

A^TP₀+P₀A＝-D^TD    (14)

令其中e_j表示6阶单位矩阵I₆的第j列，则计算

${\mathrm{HAH}}^{-1}={\mathrm{\&omega;}}_0\left[\begin{array}{ccc}{A}_2& 0& 0\\ 0& 0& A_1\\ 0& A_3& 0\end{array}\right]={\mathrm{\&omega;}}_0{A}_0,$

其中A₁,A₂和A₃均为与ω₀无关的常数矩阵，表示如下

$A_1=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -4{\mathrm{\&sigma;}}_1& 1-{\mathrm{\&sigma;}}_1\end{array}\right],A_2=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -3{\mathrm{\&sigma;}}_2& 0\end{array}\right],A_3=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -{\mathrm{\&sigma;}}_3& {\mathrm{\&sigma;}}_3-1\end{array}\right]\&CenterDot;$

假设σ₁σ₂σ₃≠0，则在D＝0时，代数Lyapunov方程(14)的所有解表示为

$P_0=H^{T}PH,P=\left[\begin{array}{ccc}{P}_2& & \\ & P_1& \\ & & P_3\end{array}\right],$

其中P₂＝diag{3σ₂γ₂,γ₂}，γ₂为任意常数，

$\left\{\begin{array}{c}{P}_1=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&sigma;}}_3({\mathrm{\&gamma;}}_3+(1-{\mathrm{\&sigma;}}_1){\mathrm{\&gamma;}}_{13})& -{\mathrm{\&sigma;}}_3{\mathrm{\&gamma;}}_{13}\\ -{\mathrm{\&sigma;}}_3{\mathrm{\&gamma;}}_{13}& {\mathrm{\&gamma;}}_1\end{array}\right],\\ P_3=\left[\begin{array}{cc}4{\mathrm{\&sigma;}}_1({\mathrm{\&gamma;}}_1+(1-{\mathrm{\&sigma;}}_3){\mathrm{\&gamma;}}_{13})& 4{\mathrm{\&sigma;}}_1{\mathrm{\&gamma;}}_{13}\\ 4{\mathrm{\&sigma;}}_1{\mathrm{\&gamma;}}_{13}& {\mathrm{\&gamma;}}_3\end{array}\right],\end{array}\right.$

其中γ₁,γ₃和γ₁₃是任何标量，并使得下式成立

$(1-{\mathrm{\&sigma;}}_1)({\mathrm{\&gamma;}}_1-\frac{J_x}{J_z}{\mathrm{\&gamma;}}_3)+(4{\mathrm{\&sigma;}}_1-{\mathrm{\&sigma;}}_3){\mathrm{\&gamma;}}_{13}=0$

如果选择γ₁₃＝0和得正定矩阵

$P_1=diag\{{\mathrm{\&sigma;}}_3{\mathrm{\&gamma;}}_3,\frac{J_x}{J_z}{\mathrm{\&gamma;}}_3\},P_2=diag\{3{\mathrm{\&sigma;}}_2{\mathrm{\&gamma;}}_2,{\mathrm{\&gamma;}}_2\},P_3=diag\{4\frac{J_x}{J_z}{\mathrm{\&sigma;}}_1{\mathrm{\&gamma;}}_3,{\mathrm{\&gamma;}}_3\}.$

其它步骤及参数与具体实施方式一或二相同。

具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一至三之一不同的是：步骤三中控制受限情形下的线性反馈控制律的具体设计过程：

步骤3.1：定义饱和函数；

sat_α(·)是向量值饱和函数，其饱和度向量表示为

α＝[α₁,α₂,…,α_r]^T,α_d>0,d∈I[1,r]＝{1,2,…,r},

即

${\mathrm{sat}}_{\mathrm{\&alpha;}}\left(u\right)={\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{sat}}_{{\mathrm{\&alpha;}}_1}\left(u_1\right)& {\mathrm{sat}}_{{\mathrm{\&alpha;}}_2}\left(u_1\right)& ...& {\mathrm{sat}}_{{\mathrm{\&alpha;}}_r}\left(u_r\right)\end{array}\right]}^T,$

其中u＝[u₁,u₂,…,u_r]^T和 ${\mathrm{sat}}_{{\mathrm{\&alpha;}}_d}\left(u_d\right)=sign\left(u_d\right)min\left\{\right|u_d|,{\mathrm{\&alpha;}}_d\},d\&Element;I\&lsqb;1,r\&rsqb;;$

令即

步骤3.2：对于任何η>0和δ>0，定义周期矩阵Q_δ(t)＝D^TD+δP₀B(t)B^T(t)P₀和A_c(t)＝A-ηB(t)B^T(t)P₀，其中B^T(t)是输入矩阵B(t)的转置，验证(A_c(t),Q_δ(t))是可检测的；

通过反证法验证；假设(A_c(t),Q_δ(t))不可测，则存在一个特征指数ρ∈E(A_c(t))使得(15)式成立

$Q_{\mathrm{\&delta;}}\left(t\right)\mathrm{\&xi;}\left(t\right)\&equiv;0,\&ForAll;t\&GreaterEqual;t_0,---\left(15\right)$

其中E(A_c(t))是A_c(t)的特征指数的集合，t₀表示初始时刻，ξ(t)是以T为周期的向量，称之为与ρ相关的右广义特征向量，且满足

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}\left(t\right)=(A-\mathrm{\&eta;B}(t)B^T\left(t\right)P_0-{\mathrm{\&rho;I}}_6)\mathrm{\&xi;}\left(t\right).---\left(16\right)$

因为δ>0，所以从(15)式可得

$B^T\left(t\right)P_0\mathrm{\&xi;}\left(t\right)\&equiv;0,\&ForAll;t\&GreaterEqual;t_0,---\left(17\right)$

$D\mathrm{\&xi;}\left(t\right)\&equiv;0,\&ForAll;t\&GreaterEqual;t_0.---\left(18\right)$

通过恒等式(17)，方程(16)导出(19)式

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}\left(t\right)=(A-{\mathrm{\&rho;I}}_6)\mathrm{\&xi;}\left(t\right),---\left(19\right)$

令ξ₀(t)＝P₀ξ(t)≠0,从恒等式(18)和式(19)可得下式

$\begin{array}{c}0=D^T\mathrm{D\&xi;}\left(t\right)\\ =(A^T{P}_0+P_{0}A)\mathrm{\&xi;}\left(t\right)\\ =(A^T{P}_0+{\mathrm{\&rho;P}}_0)\mathrm{\&xi;}\left(t\right)+P_0\mathrm{\&xi;}\left(t\right)\\ ={\mathrm{\&xi;}}_0\left(t\right)+(A^T+{\mathrm{\&rho;I}}_6){\mathrm{\&xi;}}_0\left(t\right),\end{array}$

即可得式(20)

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}}_0\left(t\right)=(-A^T-{\mathrm{\&rho;I}}_6){\mathrm{\&xi;}}_0\left(t\right).---\left(20\right)$

上式蕴含ρ是-A^T的一个特征指数，ξ₀(t)是与ρ相关的右广义特征向量，即

ρ∈E(-A^T)    (21)

再次利用恒等式(18)和式(19)，可导出下式

$\begin{array}{c}0={\mathrm{\&xi;}}^H\left(t\right)D^{T}D\mathrm{\&xi;}\left(t\right)\\ ={\mathrm{\&xi;}}^H\left(t\right)(A^T{P}_0+P_{0}A)\mathrm{\&xi;}\left(t\right)\\ ={\mathrm{\&xi;}}^H\left(t\right)A^T{P}_0\mathrm{\&xi;}\left(t\right)+{\mathrm{\&xi;}}^H\left(t\right)P_{0}A\mathrm{\&xi;}\left(t\right)\\ ={\left(\mathrm{\&xi;}\right(t)+\mathrm{\&rho;}\mathrm{\&xi;}(t\left)\right)}^H{P}_0\mathrm{\&xi;}\left(t\right)+{\mathrm{\&xi;}}^H\left(t\right)P_0\left(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}\right(t)+\mathrm{\&rho;}\mathrm{\&xi;}\left(t\right))\\ ={\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}}^H\left(t\right)P_0\mathrm{\&xi;}\left(t\right)+{\mathrm{\&rho;}}^H{\mathrm{\&xi;}}^H\left(t\right)P_0\mathrm{\&xi;}\left(t\right)+{\mathrm{\&xi;}}^H\left(t\right)P_0\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}\left(t\right)+{\mathrm{\&rho;\&xi;}}^H\left(t\right)P_0\mathrm{\&xi;}\left(t\right)\\ =\frac{d}{dt}\left(\mathrm{\&xi;}{H}^{}\right(t\left)P_0\mathrm{\&xi;}\left(t\right)\right)+2\mathrm{Re}\left(\mathrm{\&rho;}\right){\mathrm{\&xi;}}^H\left(t\right)P_0\mathrm{\&xi;}\left(t\right),\end{array}$

其中ξ^H(t)表示ξ(t)的共轭转置，Re(ρ)表示ρ的实数部分；上面的等式可改写成下式

$\frac{d}{dt}\left({\mathrm{\&xi;}}^H\right(t)P_0\mathrm{\&xi;}\left(t\right))=-2\mathrm{Re}\left(\mathrm{\&rho;}\right){\mathrm{\&xi;}}^H\left(t\right)P_0\mathrm{\&xi;}\left(t\right),$

由此可知，对于任何t≥t₀,有下式成立

${\mathrm{\&xi;}}^H\left(t\right)P_0\mathrm{\&xi;}\left(t\right)=e^{-2\mathrm{Re}\left(\mathrm{\&rho;}\right)(t-t_0)}{\mathrm{\&xi;}}^H\left(t_0\right)P_0\mathrm{\&xi;}\left(t_0\right).$

如果Re(ρ)>0,则有

lim_t→∞ξ^H(t)P₀ξ(t)＝-∞,    (22)

又由于P₀正定并且ξ(t)是以T为周期的，所以(22)是不可能成立的；类似的，如果Re(ρ)<0，则lim_t→∞ξ^H(t)P₀ξ(t)＝∞，这也是不可能的；因此必有(23)式成立

Re(ρ)＝0.    (23)

注意到从(17)式可得B^T(t)ξ₀(t)＝0；通过式(20)，(21)和(23)，可以推出(-A^T,B^T(t))是不可检测的，即(A,B(t))是不可镇定的；这与(A,B(t))是可控的矛盾；所以(A_c(t),Q_δ(t))是可检测的；

步骤3.3：令δ>0是任意常数，验证周期矩阵A_c(t)＝A-ηB(t)B^T(t)P₀的渐近稳定性；将代数Lyapunov方程(14)改写成下式

$\begin{array}{c}{A}_c^T\left(t\right)P_0+{\mathrm{PA}}_c\left(t\right)\\ ={(A-\mathrm{\&eta;}B(t\left)B^T\right(t\left)P_0\right)}^T{P}_0+P_0\left(A\right(t)-\mathrm{\&eta;}B\left(t\right)B^T\left(t\right)P_0)\\ =-(D^{T}D+2{\mathrm{\&eta;P}}_{0}B(t)B^T\left(t\right)P_0)\\ =-Q_{2\mathrm{\&eta;}}\left(t\right).\end{array}$

因为(A-ηB(t)B^T(t)P₀,Q_2η(t))是可检测的并且P₀正定，由Lyapunov矩阵方程理论可知A_c(t)＝A-ηB(t)B^T(t)P₀是渐近稳定的；

步骤3.4：设计控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制系统的状态反馈磁力矩姿态镇定控制器

其中η>0是任意常数；验证如下闭环系统

的全局渐近稳定性；令δ>0是任意常数，定义周期矩阵

Q_δ(t)＝D^TD+δP₀B(t)B^T(t)P₀

则对于任何η>0和δ>0，由步骤3.3可知周期矩阵A_c(t)＝A-ηB(t)B^T(t)P₀是渐近稳定的，从而如下周期Lyapunov微分方程

$\stackrel{\&CenterDot;}{P}\left(t\right)+A_c^T\left(t\right)P\left(t\right)+P\left(t\right)A_c\left(t\right)=-I_6$

具有唯一周期正定解P(t)；选择式(25)所示显式的Lyapunov函数

其中

$p=\underset{t\&Element;\&lsqb;t_0,t_0+T\&rsqb;}{\max }\left\{\right|\left|P^{\frac{1}{2}}\left(t\right)B\left(t\right)\right|\left|\right\}=\underset{t\&GreaterEqual;t_0}{\max }\left\{\right|\left|P^{\frac{1}{2}}\left(t\right)B\left(t\right)\right|\left|\right\},$

V₁(χ(t))＝χ^T(t)P₀χ(t)

$V_2\left(\mathrm{\&chi;}\right(t\left)\right)=2\sqrt{{\mathrm{\&chi;}}^T\left(t\right)P\left(t\right)\mathrm{\&chi;}\left(t\right)}$

从而

其中和定义为

$\left\{\begin{array}{c}{p}_P^{+}=ma{x}_{t\&Element;\&lsqb;t_0,t_0+\mathrm{\&omega;}\&rsqb;}\left\{{\mathrm{\&lambda;}}_{max}\right\{P\left(t\right)\left\}\right\}>0,\\ p_P^{-}=mi{n}_{t\&Element;\&lsqb;t_0,t_0+\mathrm{\&omega;}\&rsqb;}\left\{{\mathrm{\&lambda;}}_{min}\right\{P\left(t\right)\left\}\right\}>0.\end{array}\right.$

其中λ_max{P(t)}，λ_min{P(t)}分别表示周期矩阵P(t)的最大特征值和最小特征值；V(χ(t))是正定的；对Lyapunov函数(25)沿闭环轨迹求导有：

根据Lyapunov稳定性定理，闭环系统(24)是全局渐近稳定的；

步骤3.5：设计控制受限小卫星基于观测器的磁力矩姿态镇定控制器

其中矩阵L使得A+LC是Hurwitz的,η>0是任意常数，ξ(t)是观测器的状态；令e(t)＝χ(t)-ξ(t)，验证如下闭环系统

的全局渐近稳定性；选择式(27)所示显式的正定Lyapunov函数

其中p,V₁(χ(t)),V₂(χ(t))的表达式同步骤3.4；

$l={\max }_{t\&GreaterEqual;t_0}\left|\right|P_0\left(t\right)B\left(t\right)\left|\right|={\max }_{t\&Element;\&lsqb;t_0,t_0+T\&rsqb;}\left|\right|P_0\left(t\right)B\left(t\right)\left|\right|.$

$q=\underset{t\&lsqb;t_0,t_0+T\&rsqb;}{\max }\left\{\right|\left|P\left(t\right)B\left(t\right)\right|\left|\right\}=\underset{t\&GreaterEqual;t_0}{\max }\left\{\right|\left|P\left(t\right)B\left(t\right)\right|\left|\right\},$

$V_3\left(e\right(t))=2\sqrt{e^T\left(t\right)P_e\left(t\right)e\left(t\right)},$

P_e(t)是如下周期Lyapunov微分方程

${\stackrel{\&CenterDot;}{P}}_e\left(t\right)+{(A+LC)}^T{P}_e\left(t\right)+P_e\left(t\right)(A+LC)=-I_6$

的唯一周期正定解；对Lyapunov函数(27)沿闭环轨迹求导有：

根据Lyapunov稳定性定理，闭环系统(26)是全局渐近稳定的。

其它步骤及参数与具体实施方式一至三之一相同。

具体实施例

直接针对原始非线性方程(1)和(2)进行仿真。假设某型卫星轨道高度600km，倾斜角是90deg，相关技术参数如下表：

设定σ₁＝0.4023,σ₂＝0.2200和σ₃＝0.2000,选择P₁>0和P₃>0，则按照本发明的步骤得到状态反馈控制器中F(t)如下

$F\left(t\right)=\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& -\frac{b_3\left(t\right)}{J_y{\mathrm{\&omega;}}_0^2}{\mathrm{\&gamma;}}_2& \frac{b_2\left(t\right)}{J_z{\mathrm{\&omega;}}_0^2}{\mathrm{\&gamma;}}_3\\ 0& 0& 0& \frac{b_3\left(t\right)}{J_z{\mathrm{\&omega;}}_0^2}{\mathrm{\&gamma;}}_3& 0& -\frac{b_1\left(t\right)}{J_z{\mathrm{\&omega;}}_0^2}{\mathrm{\&gamma;}}_3\\ 0& 0& 0& -\frac{b_2\left(t\right)}{J_z{\mathrm{\&omega;}}_0^2}{\mathrm{\&gamma;}}_3& \frac{b_1\left(t\right)}{J_y{\mathrm{\&omega;}}_0^2}{\mathrm{\&gamma;}}_2& 0\end{array}\right],$

其中γ₃>0和γ₂>0。为了仿真需要，在F(t)中选定在每个轴上选定大初始姿态误差大约为30deg，并且初始姿态速率误差范围从-0.03deg/s到0.03deg/s，ω₀＝0.0630deg/s＝0.0011rad/s；在三轴上最大偶极子矩为0.03A.m²，选定η＝3.1623×10⁸，仿真展示了闭环系统对于大初始姿态和速率误差的响应特性；结果表明闭环系统具有相当满意的瞬态和稳态响应性能；对于初始条件φ(t₀)＝θ(t₀)＝ψ(t₀)＝30deg和图3-4记录了状态响应曲线；由此可见，系统在8小时内成功收敛到平衡点；图5记录了控制信号变化曲线，可以看出在大部分时间中执行器都是饱和的；这说明了闭环系统呈现出本质的非线性特征；由于用于控制器设计和仿真的模型是明显不同的，所以仿真的结果还说明了本发明所提出的控制方案具有较好的鲁棒性。

出于比较的目的，图中也给出渐近周期线性二次调节方法(APLQR)：设计饱和线性状态反馈控制其中常数α₀>0，P_ε是如下方程的解

A^TP_ε+P_εA-P_εS_εP_ε＝-Q,

其中对于R₀>0，有R＝R(ε)＝R₀/ε²，当ε充分小时APLQR控制器也可用于镇定小卫星三轴磁力矩姿态控制系统；为了给出一个相对较好的控制性能，选择如下合适的参数：Q＝diag{0.1,1,1,0.1,0.1,1,0.1}，R＝7.281×10⁴和α₀＝491；在图3-4中，记录了在相同初始条件下的状态响应曲线，可以观察到，系统的状态需要16个小时以上的时间从初始条件转移到平衡点。这个调节时间大约是本发明所提出的控制器调节时间的两倍。

Claims (4)

1.基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制方法，其特征在于它按以下步骤实现：

步骤一：建立控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制的姿态运动学与姿态动力学模型，并得到状态空间方程；

步骤二：求解代数Lyapunov方程的显式解P₀：

A^TP₀+P₀A＝-D^TD

其中A是小卫星姿态控制系统的系统矩阵，D是任意维数的矩阵，由于系统矩阵A是临界稳定或是Lyapunov稳定的，保证上述代数Lyapunov方程存在正定解P₀；

步骤三：通过代数Lyapunov方程的正定解P₀，设计显式的控制受限情形下的线性反馈控制律，即设计控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制系统的状态反馈磁力矩姿态镇定控制器和基于观测器的磁力矩姿态镇定控制器；通过构造显式的Lyapunov函数，保证闭环系统的全局渐近稳定性。

2.根据权利要求1所述的基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制方法，其特征在于步骤一具体为：

(1)坐标系定义

引入地心赤道惯性坐标系X-Y-Z记作F_i，其中X轴指向春分点，X-Y面为地球赤道面，Z轴沿地轴指向北极；

F_b记为卫星本体坐标系，F_o为轨道坐标系，其坐标原点位于卫星的质心，x_o沿着轨道方向，y_o垂直于轨道面，z_o是最低点方向；

在轨道坐标系F_o下描述卫星的姿态，如果卫星姿态达到期望位置，则卫星本体坐标x_b-y_b-z_b和轨道坐标x_o-y_o-z_o完成重合；

卫星本体坐标系F_b和轨道坐标系F_o之间通过姿态矩阵Ψ相联系

其中，所述q＝[q₁,q₂,q₃,q₄]^T是四元数，设卫星本体坐标系F_b相对于轨道坐标系F_o在X轴，Y轴和Z轴上的相对位置分量分别是x,y,z，和分别表示姿态矩阵Ψ在三个坐标轴方向分量；

(2)建立小卫星三轴磁力矩姿态控制系统的姿态运动学与姿态动力学模型

小卫星的姿态运动学模型：

$\stackrel{\&CenterDot;}{q}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cccc}0& {\mathrm{\&omega;}}_{rz}& -{\mathrm{\&omega;}}_{ry}& {\mathrm{\&omega;}}_{rx}\\ -{\mathrm{\&omega;}}_{rz}& 0& {\mathrm{\&omega;}}_{rx}& {\mathrm{\&omega;}}_{ry}\\ {\mathrm{\&omega;}}_{ry}& -{\mathrm{\&omega;}}_{rx}& 0& {\mathrm{\&omega;}}_{rz}\\ -{\mathrm{\&omega;}}_{rx}& -{\mathrm{\&omega;}}_{ry}& -{\mathrm{\&omega;}}_{rz}& 0\end{array}\right]q,---\left(1\right)$

小卫星的姿态动力学方程：

$\left\{\begin{array}{c}{J}_x{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_x+(J_z-J_y){\mathrm{\&omega;}}_y{\mathrm{\&omega;}}_z=T_{gx}+T_{mx},\\ J_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_y+(J_x-J_z){\mathrm{\&omega;}}_x{\mathrm{\&omega;}}_z=T_{gy}+T_{my},\\ J_z{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_z+(J_y-J_x){\mathrm{\&omega;}}_y{\mathrm{\&omega;}}_x=T_{gz}+T_{mz},\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，所述表示卫星绕地球旋转的角速度，μ＝3.986×10¹⁴m³/s²是地球引力常数，r是卫星环绕轨道的半长轴，ω_r＝[ω_rx,ω_ry,ω_rz]^T是卫星本体坐标系F_b相对于轨道坐标系F_o的相对角速度，ω_rx，ω_ry和ω_rz分别表示角速度ω_r在三个坐标轴方向的分量；J_x,J_y和J_z是航天器的转动惯量，ω＝[ω_x,ω_y,ω_z]^T是卫星本体坐标系F_b相对地心赤道惯性坐标系F_i的角速度，ω_x，ω_y和ω_z分别表示角速度ω在三个坐标轴方向的分量；T_mx，T_my和T_mz分别表示磁力矩在三个坐标轴方向的分量；向量T_g是重力梯度力矩，

其中T_gx，T_gy和T_gz分别表示重力梯度力矩在三个坐标轴方向的分量，J＝diag{J_x,J_y,J_z}，×表示叉积；

向量ω_r和ω满足

ω_r＝ω+ω₀φ_y

向量T_m＝[T_mx,T_my,T_mz]^T是磁力矩，表示为

T_m＝m×b,         (4)

其中m＝m(t)＝[m_x(t),m_y(t),m_z(t)]^T是磁力矩器产生的磁偶极矩，m_x(t)，m_y(t)和m_z(t)分别表示磁偶极矩在地心赤道惯性坐标系的三个坐标轴方向的分量，b表示在地心赤道惯性坐标系F_i中的地磁场矢量；忽略地球扁率的影响，则在轨道坐标系F_o中地磁场矢量表示为

$b_0=\frac{{\mathrm{\&mu;}}_m}{r^3}\left[\begin{array}{c}cos{\mathrm{\&omega;}}_{0}tsin{i}_m\\ -{\mathrm{cosi}}_m\\ 2{\mathrm{sin\&omega;}}_0{\mathrm{tsini}}_m\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{b}_1\left(t\right)\\ b_2\left(t\right)\\ b_3\left(t\right)\end{array}\right],---\left(5\right)$

其中，b₁(t)，b₂(t)和b₃(t)分别表示地磁场b₀在三个坐标轴方向的分量，i_m是航天器在磁赤道上的倾角，时间测定是从t＝0在升交点穿越磁赤道开始；场偶极子强度μ_m＝7.9×10¹⁵Wb-m，b和b₀的关系为

b＝Ψb₀         (6)；

(3)由小卫星三轴磁力矩姿态控制系统的姿态运动学与姿态动力学模型得到状态空间方程

在平衡点q^*＝[0,0,0,1]^T和ω^*＝[0,-ω₀,0]^T处姿态运动学模型(1)与姿态动力学模型(2)可得

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_3\end{array}\right]=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&omega;}}_x+2{\mathrm{\&omega;}}_0{q}_3\\ {\mathrm{\&omega;}}_y+{\mathrm{\&omega;}}_0\\ {\mathrm{\&omega;}}_z-2{\mathrm{\&omega;}}_0{q}_1\end{array}\right],---\left(7\right)$

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_x\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_y\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-8{\mathrm{\&omega;}}_0^2{q}_1{\mathrm{\&sigma;}}_1-2{\mathrm{\&omega;}}_0{\mathrm{\&sigma;}}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_3\\ -6{\mathrm{\&omega;}}_0^2{\mathrm{\&sigma;}}_2{q}_2\\ 2{\mathrm{\&omega;}}_0{\mathrm{\&sigma;}}_3{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_1-2{\mathrm{\&omega;}}_0^2{\mathrm{\&sigma;}}_3{q}_3\end{array}\right]+J^{-1}{T}_m,---\left(8\right)$

其中，所述 ${\mathrm{\&sigma;}}_1=\frac{J_y-J_z}{J_x},{\mathrm{\&sigma;}}_2=\frac{J_x-J_z}{J_y}$ 和 ${\mathrm{\&sigma;}}_3=\frac{J_y-J_x}{J_z};$ 此时有Ψ＝I₃，I₃是3阶单位矩阵，从(4)和(6)中得到T_m＝m×b₀

选取状态向量控制向量m和输出向量y(t)＝[q₁,q₂,q₃]^T,由方程(7)和(8)可得状态空间方程

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&chi;}}\left(t\right)=A\mathrm{\&chi;}\left(t\right)+B\left(t\right)m\left(t\right),\\ y\left(t\right)=C\mathrm{\&chi;}\left(t\right),\end{array}\right.---\left(9\right)$

其中A为系统矩阵，B(t)是输入矩阵，C是输出矩阵，分别有如下形式

$A=\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ -4{\mathrm{\&omega;}}_0^2{\mathrm{\&sigma;}}_1& 0& 0& 0& 0& {\mathrm{\&omega;}}_0(1-{\mathrm{\&sigma;}}_1)\\ 0& -3{\mathrm{\&omega;}}_0^2{\mathrm{\&sigma;}}_2& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& -{\mathrm{\&omega;}}_0^2{\mathrm{\&sigma;}}_3& {\mathrm{\&omega;}}_0({\mathrm{\&sigma;}}_3-1)& 0& 0\end{array}\right],---\left(10\right)$

$B\left(t\right)=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& \frac{b_3\left(t\right)}{J_x}& -\frac{b_2\left(t\right)}{J_x}\\ -\frac{b_3\left(t\right)}{J_y}& 0& \frac{b_1\left(t\right)}{J_y}\\ \frac{b_2\left(t\right)}{J_z}& -\frac{b_1\left(t\right)}{J_z}& 0\end{array}\right],C={\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]}^T---\left(11\right)$

其中，所述B(t)是一个周期为的周期矩阵，A是系统矩阵，是一个常数矩阵；

小卫星滚转角φ，俯仰角θ，偏航角ψ与四元数q之间的关系为

式(9)具有如下特殊的性质：(A,B(t))能控，(A,C)能测，且当(σ₁,σ₂,σ₃)满足如下

$\left\{\begin{array}{c}0<{\mathrm{\&sigma;}}_2,\\ 0<3{\mathrm{\&sigma;}}_1{\mathrm{\&sigma;}}_3:={\mathrm{\&phi;}}_1,\\ 0<3{\mathrm{\&sigma;}}_1+{\mathrm{\&sigma;}}_3{\mathrm{\&sigma;}}_1+1:={\mathrm{\&phi;}}_2,\\ 0<{(3{\mathrm{\&sigma;}}_1+1+{\mathrm{\&sigma;}}_3{\mathrm{\&sigma;}}_1)}^2-16{\mathrm{\&sigma;}}_1{\mathrm{\&sigma;}}_3={\mathrm{\&phi;}}_2^2-16{\mathrm{\&phi;}}_1\&CenterDot;\end{array}\right.---\left(12\right)$

时，系统矩阵A的特征值都在虚轴上，并且特征值的代数和几何重数都是1，即系统矩阵A是Lyapunov稳定或临界稳定的；

所述小卫星为控制受限小卫星，主要表现在：

其中表示磁力矩器在地心赤道惯性坐标系中的k轴上能产生的最大磁偶极矩分量。

3.根据权利要求2所述的基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制方法，其特征在于：步骤二中求解代数Lyapunov方程正定解P₀的具体过程：

代数Lyapunov方程

A^TP₀+P₀A＝-D^TD             (14)

令其中e_j表示6阶单位矩阵I₆的第j列，则计算

${\mathrm{HAH}}^{-1}={\mathrm{\&omega;}}_0\left[\begin{array}{ccc}{A}_2& 0& 0\\ 0& 0& A_1\\ 0& A_3& 0\end{array}\right]={\mathrm{\&omega;}}_0{A}_0,$

其中A₁,A₂和A₃均为与ω₀无关的常数矩阵，表示如下

$A_1=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -4{\mathrm{\&sigma;}}_1& 1-{\mathrm{\&sigma;}}_1\end{array}\right],A_2=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -3{\mathrm{\&sigma;}}_2& 0\end{array}\right],A_3=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -{\mathrm{\&sigma;}}_3& {\mathrm{\&sigma;}}_3-1\end{array}\right]\&CenterDot;$

假设σ₁σ₂σ₃≠0，则在D＝0时，代数Lyapunov方程(14)的所有解表示为

$P_0=H^{T}PH,P=\left[\begin{array}{ccc}{P}_2& & \\ & P_1& \\ & & P_3\end{array}\right],$

其中P₂＝diag{3σ₂γ₂,γ₂}，γ₂为任意常数，

$\left\{\begin{array}{c}{P}_1=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&sigma;}}_3({\mathrm{\&gamma;}}_3+(1-{\mathrm{\&sigma;}}_1){\mathrm{\&gamma;}}_{13})& -{\mathrm{\&sigma;}}_3{\mathrm{\&gamma;}}_{13}\\ -{\mathrm{\&sigma;}}_3{\mathrm{\&gamma;}}_{13}& {\mathrm{\&gamma;}}_1\end{array}\right],\\ P_3=\left[\begin{array}{cc}4{\mathrm{\&sigma;}}_1({\mathrm{\&gamma;}}_1+(1-{\mathrm{\&sigma;}}_3){\mathrm{\&gamma;}}_{13})& 4{\mathrm{\&sigma;}}_1{\mathrm{\&gamma;}}_{13}\\ 4{\mathrm{\&sigma;}}_1{\mathrm{\&gamma;}}_{13}& {\mathrm{\&gamma;}}_3\end{array}\right],\end{array}\right.$

其中γ₁,γ₃和γ₁₃是任何标量，并使得下式成立

$(1-{\mathrm{\&sigma;}}_1)({\mathrm{\&gamma;}}_1-\frac{J_x}{J_z}{\mathrm{\&gamma;}}_3)+(4{\mathrm{\&sigma;}}_1-{\mathrm{\&sigma;}}_3){\mathrm{\&gamma;}}_{13}=0$

如果选择γ₁₃＝0和得正定矩阵

$P_1=diag\{{\mathrm{\&sigma;}}_3{\mathrm{\&gamma;}}_3,\frac{J_x}{J_z}{\mathrm{\&gamma;}}_3\},P_2=diag\{3{\mathrm{\&sigma;}}_2{\mathrm{\&gamma;}}_2,{\mathrm{\&gamma;}}_2\},P_3=diag\{4\frac{J_x}{J_z}{\mathrm{\&sigma;}}_1{\mathrm{\&gamma;}}_3,{\mathrm{\&gamma;}}_3\}.$

4.根据权利要求3所述的基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制方法，其特征在于：步骤三中控制受限情形下的线性反馈控制律的具体设计过程：

步骤3.1：定义饱和函数；

sat_α(·)是向量值饱和函数，其饱和度向量表示为

α＝[α₁,α₂,…,α_r]^T,α_d>0,d∈I[1,r]＝{1,2,…,r},

即

${\mathrm{sat}}_{\mathrm{\&alpha;}}\left(u\right)={\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{sat}}_{{\mathrm{\&alpha;}}_1}\left(u_1\right)& {\mathrm{sat}}_{{\mathrm{\&alpha;}}_2}\left(u_2\right)& ...& {\mathrm{sat}}_{{\mathrm{\&alpha;}}_r}\left(u_r\right)\end{array}\right]}^T,$

其中u＝[u₁,u₂,…,u_r]^T和 ${\mathrm{sat}}_{{\mathrm{\&alpha;}}_d}\left(u_d\right)=sign\left(u_d\right)min\left\{\right|u_d|,{\mathrm{\&alpha;}}_d\},d\&Element;I\&lsqb;1,r\&rsqb;;$

令即

步骤3.2：对于任何η>0和δ>0，定义周期矩阵Q_δ(t)＝D^TD+δP₀B(t)B^T(t)P₀和A_c(t)＝A-ηB(t)B^T(t)P₀，其中B^T(t)是输入矩阵B(t)的转置，验证(A_c(t),Q_δ(t))是可检测的；

通过反证法验证；假设(A_c(t),Q_δ(t))不可测，则存在一个特征指数ρ∈E(A_c(t))使得(15)式成立

$Q_{\mathrm{\&delta;}}\left(t\right)\mathrm{\&xi;}\left(t\right)\&equiv;0,\&ForAll;t\&GreaterEqual;t_0,---\left(15\right)$

其中E(A_c(t))是A_c(t)的特征指数的集合，t₀表示初始时刻，ξ(t)是以T为周期的向量，

称之为与ρ相关的右广义特征向量，且满足

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}\left(t\right)=(A-\mathrm{\&eta;}B\left(t\right)B^T\left(t\right)P_0-{\mathrm{\&rho;I}}_6)\mathrm{\&xi;}\left(t\right).---\left(16\right)$

因为δ>0，所以从(15)式可得

$B^T\left(t\right)P_0\mathrm{\&xi;}\left(t\right)\&equiv;0,\&ForAll;t\&GreaterEqual;t_0,---\left(17\right)$

$D\mathrm{\&xi;}\left(t\right)\&equiv;0,\&ForAll;t\&GreaterEqual;t_0.---\left(18\right)$

通过恒等式(17)，方程(16)导出(19)式

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}\left(t\right)=(A-{\mathrm{\&rho;I}}_6)\mathrm{\&xi;}\left(t\right),---\left(19\right)$

令ξ₀(t)＝P₀ξ(t)≠0,从恒等式(18)和式(19)可得下式

$\begin{array}{c}0=D^{T}D\mathrm{\&xi;}\left(t\right),\\ =(A^T{P}_0+P_{0}A)\mathrm{\&xi;}\left(t\right)\\ =(A^T{P}_0+{\mathrm{\&rho;P}}_0)\mathrm{\&xi;}\left(t\right)+P_0\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}\left(t\right)\\ ={\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}}_0\left(t\right)+(A^T+{\mathrm{\&rho;I}}_6){\mathrm{\&xi;}}_0\left(t\right),\end{array}$

即可得式(20)

ξ₀(t)＝(-A^T-ρI₆)ξ₀(t).      (20)

上式蕴含ρ是-A^T的一个特征指数，ξ₀(t)是与ρ相关的右广义特征向量，即

ρ∈E(-A^T)        (21)

再次利用恒等式(18)和式(19)，可导出下式

$\begin{array}{c}0={\mathrm{\&xi;}}^H\left(t\right)D^{T}D\mathrm{\&xi;}\left(t\right)\\ ={\mathrm{\&xi;}}^H\left(t\right)(A^T{P}_0+P_{0}A)\mathrm{\&xi;}\left(t\right)\\ ={\mathrm{\&xi;}}^H\left(t\right)A^T{P}_0\mathrm{\&xi;}\left(t\right)+{\mathrm{\&xi;}}^H\left(t\right)P_{0}A\mathrm{\&xi;}\left(t\right)\\ ={(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}\left(t\right)+\mathrm{\&rho;}\mathrm{\&xi;}\left(t\right))}^H{P}_0\mathrm{\&xi;}\left(t\right)+{\mathrm{\&xi;}}^H\left(t\right)P_0(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}\left(t\right)+\mathrm{\&rho;}\mathrm{\&xi;}\left(t\right))\\ ={\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}}^H\left(t\right)P_0\mathrm{\&xi;}\left(t\right)+{\mathrm{\&rho;}}^H{\mathrm{\&xi;}}^H\left(t\right)P_0\mathrm{\&xi;}\left(t\right)+{\mathrm{\&xi;}}^H\left(t\right)P_0\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}\left(t\right)+{\mathrm{\&rho;\&xi;}}^H\left(t\right)P_0\mathrm{\&xi;}\left(t\right)\\ =\frac{d}{dt}\left({\mathrm{\&xi;}}^H\left(t\right)P_0\mathrm{\&xi;}\left(t\right)\right)+2\mathrm{Re}\left(\mathrm{\&rho;}\right){\mathrm{\&xi;}}^H\left(t\right)P_0\mathrm{\&xi;}\left(t\right),\end{array}$

其中ξ^H(t)表示ξ(t)的共轭转置，Re(ρ)表示ρ的实数部分；上面的等式可改写成下式

$\frac{d}{\mathrm{dt}}\left({\mathrm{\&xi;}}^H\left(t\right)P_0\mathrm{\&xi;}\left(t\right)\right)=-2\mathrm{Re}\left(\mathrm{\&rho;}\right){\mathrm{\&xi;}}^H\left(t\right)P_0\mathrm{\&xi;}\left(t\right),$

由此可知，对于任何t≥t₀,有下式成立

${\mathrm{\&xi;}}^H\left(t\right)P_0\mathrm{\&xi;}\left(t\right)=e^{-2\mathrm{Re}\left(\mathrm{\&rho;}\right)(t-t_0)}{\mathrm{\&xi;}}^H\left(t_0\right)P_0\mathrm{\&xi;}\left(t_0\right).$

如果Re(ρ)>0,则有

lim_t→∞ξ^H(t)P₀ξ(t)＝-∞,       (22)

又由于P₀正定并且ξ(t)是以T为周期的，所以(22)是不可能成立的；类似的，如果Re(ρ)<0，则lim_t→∞ξ^H(t)P₀ξ(t)＝∞，这也是不可能的；因此必有(23)式成立

Re(ρ)＝0.          (23)

注意到从(17)式可得B^T(t)ξ₀(t)＝0；通过式(20)，(21)和(23)，可以推出(-A^T,B^T(t))是不可检测的，即(A,B(t))是不可镇定的；这与(A,B(t))是可控的矛盾；所以(A_c(t),Q_δ(t))是可检测的；

步骤3.3：令δ>0是任意常数，验证周期矩阵A_c(t)＝A-ηB(t)B^T(t)P₀的渐近稳定性；

将代数Lyapunov方程(14)改写成下式

$\begin{array}{c}{A}_c^T\left(t\right)P_0+{\mathrm{PA}}_c\left(t\right)\\ ={(A-\mathrm{\&eta;}B\left(t\right)B^T\left(t\right)P_0)}^T{P}_0+P_0(A\left(t\right)-\mathrm{\&eta;}B\left(t\right)B^T\left(t\right)P_0)\\ =-(D^{T}D+2{\mathrm{\&eta;P}}_{0}B\left(t\right)B^T\left(t\right)P_0)\\ =-Q_{2\mathrm{\&eta;}}\left(t\right).\end{array}$

因为(A-ηB(t)B^T(t)P₀,Q_2η(t))是可检测的并且P₀正定，由Lyapunov矩阵方程理论可知

A_c(t)＝A-ηB(t)B^T(t)P₀是渐近稳定的；

步骤3.4：设计控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制系统的状态反馈磁力矩姿态镇定控制器

其中η>0是任意常数；验证如下闭环系统

的全局渐近稳定性；令δ>0是任意常数，定义周期矩阵

Q_δ(t)＝D^TD+δP₀B(t)B^T(t)P₀

则对于任何η>0和δ>0，由步骤3.3可知周期矩阵A_c(t)＝A-ηB(t)B^T(t)P₀是渐近稳定的，从而如下周期Lyapunov微分方程

$\stackrel{\&CenterDot;}{P}\left(t\right)+A_c^T\left(t\right)P\left(t\right)+P\left(t\right)A_c\left(t\right)=-I_6$

具有唯一周期正定解P(t)；选择式(25)所示显式的Lyapunov函数

其中

$p=\underset{t\&Element;\&lsqb;t_0,t_0+T\&rsqb;}{max}\left\{\right|\left|P^{\frac{1}{2}}\left(t\right)B\left(t\right)\right|\left|\right\}=\underset{t\&GreaterEqual;t_0}{max}\left\{\right|\left|P^{\frac{1}{2}}\left(t\right)B\left(t\right)\right|\left|\right\},$

V₁(χ(t))＝χ^T(t)P₀χ(t)

$V_2\left(\mathrm{\&chi;}\right(t))=2\sqrt{{\mathrm{\&chi;}}^T\left(t\right)P\left(t\right)\mathrm{\&chi;}\left(t\right)}$

从而

其中和定义为

$\left\{\begin{array}{c}{p}_P^{+}=ma{x}_{t\&Element;\&lsqb;t_0,t_0+\mathrm{\&omega;}\&rsqb;}\left\{{\mathrm{\&lambda;}}_{max}\right\{P\left(t\right)\left\}\right\}>0,\\ p_P^{-}=mi{n}_{t\&Element;\&lsqb;t_0,t_0+\mathrm{\&omega;}\&rsqb;}\left\{{\mathrm{\&lambda;}}_{min}\right\{P\left(t\right)\left\}\right\}>0.\end{array}\right.$

其中λ_max{P(t)}，λ_min{P(t)}分别表示周期矩阵P(t)的最大特征值和最小特征值；V(χ(t))是正定的；对Lyapunov函数(25)沿闭环轨迹求导有：

根据Lyapunov稳定性定理，闭环系统(24)是全局渐近稳定的；

步骤3.5：设计控制受限小卫星基于观测器的磁力矩姿态镇定控制器

其中矩阵L使得A+LC是Hurwitz的,η>0是任意常数，ξ(t)是观测器的状态；令e(t)＝χ(t)-ξ(t)，验证如下闭环系统

的全局渐近稳定性；选择式(27)所示显式的正定Lyapunov函数

其中p,V₁(χ(t)),V₂(χ(t))的表达式同步骤3.4；

$l={\max }_{t\&GreaterEqual;t_0}\left|\right|P_0\left(t\right)B\left(t\right)\left|\right|={\max }_{t\&Element;\&lsqb;t_0,t_0+T\&rsqb;}\left|\right|P_0\left(t\right)B\left(t\right)\left|\right|.$

$q=\underset{t\&Element;\&lsqb;t_0,t_0+T\&rsqb;}{max}\left\{\right|\left|P\left(t\right)B\left(t\right)\right|\left|\right\}=\underset{t\&GreaterEqual;t_0}{max}\left\{\right|\left|P\left(t\right)B\left(t\right)\right|\left|\right\},$

$V_3\left(e\left(t\right)\right)=2\sqrt{e^T\left(t\right)P_e\left(t\right)e\left(t\right)},$

P_e(t)是如下周期Lyapunov微分方程

${\stackrel{\&CenterDot;}{P}}_e\left(t\right)+{(A+LC)}^T{P}_e\left(t\right)+P_e\left(t\right)(A+LC)=-I_6$

的唯一周期正定解；对Lyapunov函数(27)沿闭环轨迹求导有：

根据Lyapunov稳定性定理，闭环系统(26)是全局渐近稳定的。