CN104090578A - 一种基于周期Lyapunov方程的磁控偏置动量卫星的姿态控制方法 - Google Patents

Abstract

一种基于周期Lyapunov方程的磁控偏置动量卫星的姿态控制方法，本发明涉及磁控偏置动量卫星姿态控制系统。本发明是要解决磁控力矩幅值受限以及传统最优控制设计方法的加权矩阵的选取难以与实际系统的性能指标建立定量关系的问题，而提出的一种基于周期Lyapunov方程的磁控偏置动量卫星的姿态控制方法。该方法是通过1.建立磁控偏置动量卫星姿态控制系统的线性化动力学模型；2.求解周期Lyapunov微分方程的对称正定解W(t)；3.得到周期Riccati微分方程的对称正定解P(t)；4.得到状态反馈控制器；5.检验控制效果和控制力矩的幅值等步骤实现的。本发明应用于磁控偏置动量卫星姿态控制领域。

Description

一种基于周期Lyapunov方程的磁控偏置动量卫星的姿态控制方法

技术领域

本发明涉及一种基于周期Lyapunov方程的磁控偏置动量卫星的姿态控制方法。

背景技术

磁控偏置动量系统具有诸多优良的特性，在卫星姿态控制中应用广泛。一方面，磁控力矩利用地磁场产生控制转矩，作为一种半无源执行机构，能支持卫星长时间运行；另一方面，偏置动量系统中不需要偏航姿态敏感器，使得卫星结构简单，造价低廉，而且可靠性高。磁控偏置动量卫星的姿态稳定控制一直是国内外研究的焦点。

某型的磁力矩器磁矩固定，因此磁力矩器能提供的控制力矩幅值受限。控制信号的有界性导致实际系统具有本质的非线性特性，如果在设计过程中忽视这一点，不仅会降低闭环系统的性能，而且会导致系统不稳定。

磁控卫星姿态稳定的主动控制包括线性控制方法和非线性控制方法。前者一般是采用PID和线性二次型的方法设计控制律；后者一般都采用神经网络和滑模控制理论等设计控制规律。目前磁控卫星的姿态稳定控制方法存在如下问题：(1)PID控制器解决磁力矩器控制力矩幅值受限等问题时不理想；(2)一般最优控制设计方法的一个显著问题是目标函数加权矩阵的选取难以与实际系统的性能指标达到一个定量关系。

综上，有必要设计一种简单而有效的控制器，在镇定磁控偏置动量卫星姿态系统的同时能任意调节控制力矩的幅值大小，避免控制力矩饱和而导致的不稳定现象。

发明内容

本发明的目的是要解决磁控力矩幅值受限易饱和而导致系统不稳定、PID控制器解决的磁力矩器控制力矩幅值受限不理想以及最优控制设计方法的目标函数加权矩阵的选取难以与实际系统的性能指标建立一个定量关系的问题而提出的一种基于周期Lyapunov方程的磁控偏置动量卫星的姿态控制方法。

上述的发明目的是通过以下技术方案实现的：

步骤一、以卫星质心为原点o建立卫星本体坐标系，将x、y和z轴固定在卫星本体上，根据ω_x、ω_y、ω_z建立磁控偏置动量卫星的线性化动力学模型即偏置动量卫星姿态动力学方程；其中x轴沿卫星纵对称轴方向指向前，y轴在卫星纵对称面内，与x轴垂直指向下，z轴垂直于oxy平面，z轴方向遵循右手螺旋定则，x轴为滚转轴，y轴为俯仰轴和z轴为偏航轴；ω_x、ω_y、ω_z为卫星本体坐标系相对地心惯量坐标系的转动角速度在卫星本体坐标系下沿x、y、z三轴的转动角速度分量；

步骤二、选取设计参数γ，即标量函数γ，求解周期Lyapunov微分方程

$\stackrel{\·}{W}\left(t\right)=W\left(t\right)A^T+\mathrm{AW}\left(t\right)+\mathrm{\γ}\left(t\right)W\left(t\right)-B\left(t\right)R^{-1}\left(t\right)B^T\left(t\right)$

的唯一周期正定解W(t)；其中A为系统状态矩阵，B(t)为输入矩阵；R(t)为选择的加权正定对称周期矩阵；

步骤三、根据周期正定解W(t)计算P(t)＝W^-1(t)得到周期Riccati微分方程的极大周期对称解P(t)：

$-\stackrel{\·}{P}\left(t\right)=A^{T}P\left(t\right)+P\left(t\right)A+\mathrm{\γ}\left(t\right)P\left(t\right)-P\left(t\right)B\left(t\right)R^{-1}\left(t\right)B^T\left(t\right)P\left(t\right)$

其中A为系统状态矩阵，B(t)为输入矩阵；R(t)为加权正定对称周期矩阵；

步骤四、根据极大周期对称解P(t)设计状态反馈控制器；反馈增益K(t)为：

K(t)＝-R^-1(t)B^T(t)P(t)

由此得到磁控偏置动量卫星姿态稳定控制系统的状态反馈控制器

u(t)＝K(t)x(t)；

步骤五、根据步骤一建立的磁控偏置动量卫星的线性化动力学模型和步骤四设计的状态反馈控制器建立闭环系统以及初始状态变量x(t₀)，检验闭环系统对应的控制力矩的幅值是否满足设计要求，不满足设计要求则返回步骤二，重新选择设计参数γ，其中设计要求为磁力矩控制器所需的最大控制力矩不超过磁力矩控制器能够提供的最大控制力矩；即完成了一种基于周期Lyapunov方程的磁控偏置动量卫星的姿态控制方法。

发明效果

一种基于周期Lyapunov方程的磁控偏置动量卫星的姿态控制方法，它涉及磁控偏置动量卫星姿态控制系统设计方法和周期系统的控制方法。本发明所用方法的最显著优点是设计者只需求解一个带标量函数的线性周期Lyapunov微分方程，通过减小该标量函数的数值可以将控制力矩的幅值降低到任意期望值，并同时实现卫星姿态控制系统的镇定。

本发明的周期Lyapunov微分方程方法用于设计磁控偏置动量卫星姿态控制系统的镇定控制器。该方法可以通过调节设计参数，在磁力矩控制器所能提供的最大力矩范围内，根据实际需要任意选取控制力矩的大小。

通过求解步骤二的线性周期Lyapunov微分方程，既可得到步骤三中非线性周期Riccati微分方程的解析解也可得到其数值稳定性好的数值周期解。并且步骤四中控制器效果说明：仿真结果中，反馈增益是周期的，且周期与卫星所在轨道的周期相同；闭环系统能够达到稳定。当γ＝0.01，姿态角在1个周期内稳定；当γ＝0.0005，姿态角在1.5个周期时稳定；当γ＝0.0002，姿态角3个周期后稳定。γ取值越大，所需要的磁控力矩也越大；而当γ取值较小时，所需的磁控转矩也相应变小，代价是系统达到稳定的时间变大。(如图7～11)控制器在镇定磁控偏置动量卫星姿态系统的同时能任意调节控制力矩的幅值大小，避免控制力矩发生饱和而导致闭环系统的不稳定性，有利于工程实现。

附图说明

图1是具体实施方式一提出的一种基于周期Lyapunov方程的磁控偏置动量卫星的姿态控制方法流程图；；

图2是具体实施方式一提出卫星本体坐标系示意图；

图3是实施例提出的γ＝0.001、γ＝0.0005和γ＝0.0002时状态反馈增益K(1)的元素值；

图4是实施例提出的γ＝0.001、γ＝0.0005和γ＝0.0002时状态反馈增益K(2)的元素值；

图5是实施例提出的γ＝0.001、γ＝0.0005和γ＝0.0002时状态反馈增益K(3)的元素值；

图6是实施例提出的γ＝0.001、γ＝0.0005和γ＝0.0002时状态反馈增益K(4)的元素值；

图7是实施例提出的γ＝0.001、γ＝0.0005和γ＝0.0002时滚转轴磁控力矩大小示意图；

图8是实施例提出的γ＝0.001、γ＝0.0005和γ＝0.0002时俯仰轴磁控力矩大小示意图；

图9(a)是实施例提出的γ＝0.001时滚转角和俯仰角变化情况示意图；

图9(b)是实施例提出的γ＝0.0005时滚转角和俯仰角变化情况示意图；

图9(c)是实施例提出的γ＝0.0002时滚转角和俯仰角变化情况示意图；

图10(a)是实施例提出的γ＝0.001时滚转角速率和俯仰角速率变化情况示意图；

图10(b)是实施例提出的为γ＝0.0005时滚转角速率和俯仰角速率变化情况示意图；

图10(c)是实施例提出的为γ＝0.0002时滚转角速率和俯仰角速率变化情况示意图；

图11是实施例提出的γ＝0.001、γ＝0.0005和γ＝0.0002时闭环系统状态的2-范数，其中，2-范数为||x(t)||；

图12(a)是具体实施方式四提出的γ取值与滚转轴磁控力矩最大幅值示意图；

图12(b)是具体实施方式四提出的γ取值与偏航轴磁控力矩最大幅值示意图；

图13是实施例提出的一种基于周期Lyapunov方程的磁控偏置动量卫星的姿态控制系统设计流程图。

具体实施方式

具体实施方式一：本实施方式的一种基于周期Lyapunov方程的磁控偏置动量卫星的姿态控制方法，具体是按照以下步骤实现的：

步骤一、以卫星质心为原点o建立卫星本体坐标系，将x、y和z轴固定在卫星本体上，根据ω_x、ω_y、ω_z建立磁控偏置动量卫星的线性化动力学模型即偏置动量卫星姿态动力学方程；其中x轴沿卫星纵对称轴方向指向前，y轴在卫星纵对称面内，与x轴垂直指向下，z轴垂直于oxy平面，z轴方向遵循右手螺旋定则，x轴为滚转轴，y轴为俯仰轴和z轴为偏航轴；ω_x、ω_y、ω_z为卫星本体坐标系相对地心惯量坐标系的转动角速度在卫星本体坐标系下沿x、y、z三轴的转动角速度分量如图2；

步骤二、选取设计参数γ，即标量函数γ，求解周期Lyapunov微分方程

$\stackrel{\·}{W}\left(t\right)=W\left(t\right)A^T+\mathrm{AW}\left(t\right)+\mathrm{\γ}\left(t\right)W\left(t\right)-B\left(t\right)R^{-1}\left(t\right)B^T\left(t\right)$

的唯一周期正定解W(t)；其中A为系统状态矩阵，B(t)为输入矩阵；R(t)为任意选择的加权正定对称周期矩阵；

步骤三、根据周期正定解W(t)计算P(t)＝W^-1(t)得到周期Riccati微分方程的极大周期对称解P(t)：

$-\stackrel{\·}{P}\left(t\right)=A^{T}P\left(t\right)+P\left(t\right)A+\mathrm{\γ}\left(t\right)P\left(t\right)-P\left(t\right)B\left(t\right)R^{-1}\left(t\right)B^T\left(t\right)P\left(t\right)$

其中A为系统状态矩阵，B(t)为输入矩阵；R(t)为任意选择的加权正定对称周期矩阵；

步骤四、根据极大周期对称解P(t)设计状态反馈控制器；反馈增益K(t)为如图3、图4、图5和图6：

K(t)＝-R^-1(t)B^T(t)P(t)，

由此得到磁控偏置动量卫星姿态稳定控制系统的状态反馈控制器u(t)＝K(t)x(t)；

步骤五、根据步骤一建立的磁控偏置动量卫星的线性化动力学模型和步骤四设计的状态反馈控制器建立闭环系统以及初始状态变量x(t₀)，检验闭环系统对应的控制力矩(磁控力矩)的幅值是否满足设计要求，不满足设计要求则返回步骤二，重新选择设计参数γ，其中设计要求为磁力矩控制器所需的最大控制力矩不超过磁力矩控制器能够提供的最大控制力矩；如图7、图8、图12(a)和图12(b)；即完成了一种基于周期Lyapunov方程的磁控偏置动量卫星的姿态控制方法如图1。

本实施方式效果

一种基于周期Lyapunov方程的磁控偏置动量卫星的姿态控制方法，它涉及磁控偏置动量卫星姿态控制系统设计方法和周期系统的控制方法。本实施方式所用方法的最显著优点是设计者只需求解一个带标量函数的线性周期Lyapunov微分方程，通过减小该标量函数的数值可以将控制力矩的幅值降低到任意期望值，并同时实现卫星姿态控制系统的镇定。

本实施方式的周期Lyapunov微分方程方法用于设计磁控偏置动量卫星姿态控制系统的镇定控制器。该方法可以通过调节设计参数，在磁力矩控制器所能提供的最大力矩范围内，根据实际需要任意选取控制力矩的大小。

通过求解步骤二的线性周期Lyapunov微分方程，既可得到步骤三中非线性周期Riccati微分方程的解析解也可得到其数值稳定性好的数值周期解。并且步骤四中控制器效果说明：仿真结果中，反馈增益是周期的，且周期与卫星所在轨道的周期相同；闭环系统能够达到稳定。当γ＝0.01，姿态角在1个周期内稳定；当γ＝0.0005，姿态角在1.5个周期时稳定；当γ＝0.0002，姿态角3个周期后稳定。γ取值越大，所需要的磁控力矩也越大；而当γ取值较小时，所需的磁控转矩也相应变小，代价是系统达到稳定的时间变大。(如图7～11)控制器在镇定磁控偏置动量卫星姿态系统的同时能任意调节控制力矩的幅值大小，避免控制力矩发生饱和而导致闭环系统的不稳定性，有利于工程实现。

具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是：步骤一中以卫星质心为原点o建立卫星本体坐标系，将x、y和z轴固定在卫星本体上，根据ω_x、ω_y、ω_z建立磁控偏置动量卫星的线性化动力学模型即偏置动量卫星姿态动力学方程具体过程为：

$I\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}+\mathrm{\ω}\×(\mathrm{I\ω}+h)=-\stackrel{\·}{h}+T$

式中，ω＝[ω_x ω_y ω_z]^T为卫星本体坐标系相对地心惯量坐标系的转动角速度，为卫星本体坐标系相对地心惯量坐标系的转动角变化速率，ω_x、ω_y、ω_z为卫星本体坐标系相对地心惯量坐标系的转动角速度在卫星本体坐标系下沿x、y、z三轴的转动角速度分量；h为飞轮转动部分相对卫星本体的角动量；为偏置动量轮对卫星的控制力矩；I＝diag(I_x,I_y,I_z)为卫星的惯性张量矩阵；I_x为卫星绕本体坐标x轴的转动惯量；I_y为卫星绕本体坐标y轴的转动惯量；I_z为卫星绕本体坐标z轴的转动惯量；T卫星姿态外力矩，本发明针对磁控偏置动量卫星的偏置动量轮装在卫星的俯仰轴负方向上，故

h＝[0 -h_y 0]^T

其中，h_y为卫星俯仰轴偏置动量；

设卫星本体坐标系相对于轨道坐标系的转速为轨道坐标系在空间的转速为(0,-ω₀,0)；卫星在空间中的转速ω在卫星坐标系中表示为：

其中，ω₀为轨道速率；ψ为卫星本体坐标系相对于轨道坐标系偏航角；θ为卫星本体坐标系相对于轨道坐标系俯仰角；为卫星本体坐标系相对于轨道坐标系滚转角；滚转角变化速率，俯仰角变化速率，为偏航角变化速率，当卫星轨道高度<1000km，外力矩T主要考虑重力梯度力矩和磁控力矩为：

T＝T_g+T_c

其中T_g表示重力梯度力矩，T_c表示磁控力矩；

重力梯度力矩T_g的线性化模型为：

其中，T_gx,T_gy,T_gz表示重力梯度力矩沿卫星本体坐标系x、y、z三轴分量；

磁控力矩T_c的线性化模型为：

$T_c=\left[\begin{array}{c}{T}_{\mathrm{cx}}\\ T_{\mathrm{cy}}\\ T_{\mathrm{cz}}\end{array}\right]=b_m\left[\begin{array}{c}2d_y\sin {\mathrm{\&omega;}}_{0}t\\ d_z\cos {\mathrm{\&omega;}}_{0}t-2d_x\sin {\mathrm{\&omega;}}_{0}t\\ -d_y\cos {\mathrm{\&omega;}}_{0}t\end{array}\right]$

其中，[d_x d_y d_z]^T表示磁力矩器产生的磁偶极矩在卫星本体坐标系中沿x、y、z三轴的分量，T_cx T_cy T_cz表示磁控力矩在卫星本体坐标系中沿x、y、z三轴的分量；d_x为磁力矩控制器磁矩沿卫星本体x轴分量；d_y为磁力矩控制器磁矩沿卫星本体y轴分量；d_z为磁力矩控制器磁矩沿卫星本体z轴分量；b_m地磁场在卫星轨道上的磁场强度；t为时间；

安装在俯仰负轴的偏置动量轮产生的角动量h_y相对星体坐标是恒定的，且数值足够大，使卫星保持对地定向；这种定向性对滚转轴和偏航轴产生陀螺罗盘效应，卫星的偏航误差将随卫星的运行耦合到滚动误差；滚动误差可以由水平敏感器测出，控制滚动误差间接能消除偏航误差；因此，不用偏航敏感器的滚转—偏航两轴控制系统能实现偏置动量卫星的x、y、z三轴稳定姿态控制；磁力矩器对滚动、偏航轴进行进动控制，选取状态变量：

其中和ω_n为章动频率，

偏置动量卫星的滚转—偏航两轴控制系统就能实现x、y、z三轴稳定的姿态控制；则磁控偏置动量卫星动力学的状态空间方程即则滚转x—偏航z两轴控制系统为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+B\left(t\right)u\left(t\right)---\left(1\right)$

式中，控制量

u(t)＝d_y

A为系统状态矩阵，B(t)为输入矩阵，分别有如下形式:

$A=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& {\mathrm{\&omega;}}_n& 0\\ 0& 0& 0& {\mathrm{\&omega;}}_n\\ a_{31}& 0& 0& a_{34}\\ 0& a_{42}& a_{43}& 0\end{array}\right],B\left(t\right)\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2b_m\sin \left({\mathrm{\&omega;}}_{0}t\right)/{\mathrm{\&omega;}}_n{I}_x\\ -b_m\cos \left({\mathrm{\&omega;}}_{0}t\right)/{\mathrm{\&omega;}}_n{I}_z\end{array}\right]$

其中

$a_{31}=\frac{1}{{\mathrm{\&omega;}}_n{I}_x}[{\mathrm{\&omega;}}_0{h}_y-4{\mathrm{\&omega;}}_0^2(I_y-I_z)]$

$a_{34}=\frac{1}{I_x}[h_y-(T_y-I_z-I_x){\mathrm{\&omega;}}_0]$

$a_{42}=\frac{1}{{\mathrm{\&omega;}}_n{I}_z}[{\mathrm{\&omega;}}_0{h}_y-{\mathrm{\&omega;}}_0^2(I_y-I_z)]$

$a_{43}=\frac{1}{I_z}[(I_y-I_z-I_x){\mathrm{\&omega;}}_0-h_y]$

式(1)是一个以T_S＝2π/ω₀为周期的线性时变系统，且系统矩阵A是时不变的；式(1)具有如下特殊的性质：(A,B(t))一致完全能控，且当h_y、I_x、I_y、I_z以及ω₀之间满足关系：

$\left\{\begin{array}{c}(I_y-I_x){\mathrm{\&omega;}}_0-h_y\&GreaterEqual;0\\ 4(I_y-I_z){\mathrm{\&omega;}}_0-h_y\&GreaterEqual;0\end{array}\right.---\left(2\right)$

时，系统矩阵A的特征值都在复平面的虚轴上；根据偏置动量系统的角动量分布特性，_hy满足：

$\left\{\begin{array}{c}{h}_y<0\\ \left|h_y\right|>>\max (I_x{\mathrm{\&omega;}}_0,I_y{\mathrm{\&omega;}}_0,I_z{\mathrm{\&omega;}}_0)\end{array}\right.---\left(3\right)$

因此式(2)是成立的；式(1)的开环极点都在复平面虚轴上。其它步骤及参数与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是：步骤二中选取设计参数γ，即标量函数γ，求解周期Lyapunov微分方程的具体过程为：

(1)、周期Lyapunov微分方程为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{W}\left(t\right)=W\left(t\right)A^T+\mathrm{AW}\left(t\right)+\mathrm{\&gamma;}\left(t\right)W\left(t\right)-B\left(t\right)R^{-1}\left(t\right)B^T\left(t\right)---\left(4\right)$

其中A为系统状态矩阵，B(t)为输入矩阵，R(t)为任意选定的加权正定对称周期矩阵；

(2)、将周期Lyapunov微分方程(4)的解W(t)的解析解具体写为(假设γ为常数)：

$W\left(t\right)={\&Integral;}_t^{\&infin;}{e}^{A(t-s)}B\left(t\right)R^{-1}\left(t\right)B^T\left(t\right)e^{A^T(t-s)}{e}^{\mathrm{\&gamma;}(t-s)}\mathrm{ds}---\left(5\right)$

其中e为自然常数，其值约为2.71828，s为积分变量，R(t)为加权正定对称周期矩阵；

(3)、实际实现时，也可以用单点周期生成的方法得到数值解令Q(t)＝-B(t)R^-1(t)B^T(t)；周期正定解W(t)表示为：

$W\left(t\right)=e^{A(t-t_0)}W\left(t_0\right)e^{A^T(t-t_0)}{e}^{\mathrm{\&gamma;}(t-t_0)}+S(t,t_0)---\left(6\right)$

其中

$S(t,t_0)={{\&Integral;}_{t_0}^{t}e}^{A(t-t_0)}Q\left(t\right)e^{A^T(t-t_0)}{e}^{\mathrm{\&gamma;}(t-t_0)}\mathrm{ds}---\left(7\right)$

满足：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{S}(t,t_0)=\mathrm{AS}(t,t_0)+S(t,t_0)A^T+Q\left(t\right)\\ S(t_0,t_0)=0\end{array}\right.---\left(8\right)$

因此对(8)数值积分求取S(t,t₀)；

(4)、式(6)中，取t＝t₀+T_s，由W(t)的周期性知式(6)化成关于W(t₀)的线性代数方程；求解此代数方程得到W(t₀)，再以W(t₀)为初值，对微分方程(4)从初始t₀时刻数值积分到t₀+T_s时刻，从而得到一个周期T_s内的正定解W(t)。其它步骤及参数与具体实施方式一或二相同。

具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一至三之一不同的是：步骤五中根据步骤一建立的磁控偏置动量卫星的线性化动力学模型和步骤四得到的设计状态反馈控制器建立闭环系统

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=(A+B\left(t\right)K\left(t\right))x\left(t\right)$

以及初始状态变量x(t₀)，检验闭环系统对应的控制力矩的幅值是否满足设计要求，不满足设计要求则返回步骤二，重新选择设计参数γ的过程为：

(1)将步骤一建立的磁控偏置动量卫星的线性化动力学模型和步骤四得到的设计状态反馈控制器组成闭环系统 $\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=(A+B\left(t\right)K\left(t\right))x\left(t\right);$

(2)在磁控偏置动量卫星的线性化动力学模型中选取偏离平衡点的初始状态变量x(t₀)；

(3)根据初始状态变量x(t₀)和闭环系统仿真求得磁控力矩T_c或者u(t)；

(4)若磁控力矩T_c或者u(t)超过磁力矩器所能提供的最大力矩，则以5％的幅度减小γ的值，返回上述第(1)步；否则以5％的幅度增大γ的值，返回上述第(1)步；由于系统矩阵A的特征值都在复平面的虚轴上，对于任意的正标量δ和有界集可以证明存在一个标量γ^*>0，对于任意γ∈(0,γ^*)和其对应的状态反馈控制器u(t)＝K(t)x(t)与式(1)组成的闭环系统渐近稳定(即任意满足x(t₀)∈S初始状态变量x(t₀)都可渐近地恢复到0平衡点)且

$\underset{t\&Element;R}{\mathrm{tup}}\left|\right|u\left(t\right)\left|\right|\&le;\mathrm{\&delta;}$

即磁力矩所需提供的最大磁力矩不超过预先设定的值δ；

(5)上述过程结束后得到γ的最终值γ^*，此数γ^*为满足磁力矩控制器所需提供的力矩不超过其所能提供的最大力矩这一条件对应的参数γ的最大值。其它步骤及参数与具体实施方式一至三之一相同。

采用以下实施例验证本发明的效果：

实施例一：

本实施例的一种基于周期Lyapunov方程的磁控偏置动量卫星的姿态控制方法，具体是按照以下步骤设计(如图13)：

步骤一、以卫星质心为原点o建立卫星本体坐标系，将x、y和z轴固定在卫星本体上，根据ω_x、ω_y、ω_z建立磁控偏置动量卫星的线性化动力学模型即偏置动量卫星姿态动力学方程：

$I\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}+\mathrm{\&omega;}\&times;(\mathrm{I\&omega;}+h)=-\stackrel{\&CenterDot;}{h}+T$

其中x轴沿卫星纵对称轴方向指向前，y轴在卫星纵对称面内，与x轴垂直指向下，z轴垂直于oxy平面，z轴方向遵循右手螺旋定则，x轴为滚转轴，y轴为俯仰轴和z轴为偏航轴；ω＝[ω_x ω_y ω_z]^T为卫星本体坐标系相对地心惯量坐标系的转动角速度，为卫星本体坐标系相对地心惯量坐标系的转动角变化速率，ω_x、ω_y、ω_z为卫星本体坐标系相对地心惯量坐标系的转动角速度在卫星本体坐标系下沿x、y、z三轴的转动角速度分量如图2；h为飞轮转动部分相对卫星本体的角动量；为偏置动量轮对卫星的控制力矩；I＝diag(I_x,I_y,I_z)为卫星的惯性张量矩阵；I_x为卫星绕本体坐标x轴的转动惯量；I_y为卫星绕本体坐标y轴的转动惯量；I_z为卫星绕本体坐标z轴的转动惯量；T卫星姿态外力矩，本发明针对磁控偏置动量卫星的偏置动量轮装在卫星的俯仰轴负方向上，故

h＝[0 -h_y 0]^T

其中，h_y为卫星俯仰轴偏置动量；

设卫星本体坐标系相对于轨道坐标系的转速为轨道坐标系在空间的转速为(0,-ω₀,0)。卫星在空间中的转速ω在卫星坐标系中表示为：

其中，ω₀为轨道速率；ψ为卫星本体坐标系相对于轨道坐标系偏航角；θ为卫星本体坐标系相对于轨道坐标系俯仰角；为卫星本体坐标系相对于轨道坐标系滚转角；滚转角变化速率，俯仰角变化速率，为偏航角变化速率，当卫星轨道高度<1000km，外力矩T主要考虑重力梯度力矩和磁控力矩为：

T＝T_g+T_c

其中T_g表示重力梯度力矩，T_c表示磁控力矩；

重力梯度力矩T_g的线性化模型为：

其中，T_gx,T_gy,T_gz表示重力梯度力矩沿卫星本体坐标系x、y、z三轴分量；

磁控力矩T_c的线性化模型为：

$T_c=\left[\begin{array}{c}{T}_{\mathrm{cx}}\\ T_{\mathrm{cy}}\\ T_{\mathrm{cz}}\end{array}\right]=b_m\left[\begin{array}{c}2d_y\sin {\mathrm{\&omega;}}_{0}t\\ d_z\cos {\mathrm{\&omega;}}_{0}t-2d_x\sin {\mathrm{\&omega;}}_{0}t\\ -d_y\cos {\mathrm{\&omega;}}_{0}t\end{array}\right]$

其中，[d_x d_y d_z]^T表示磁力矩器产生的磁偶极矩在卫星本体坐标系中沿x、y、z三轴的分量，T_cx T_cy T_cz表示磁控力矩在卫星本体坐标系中沿x、y、z三轴的分量；d_x为磁力矩控制器磁矩沿卫星本体x轴分量；d_y为磁力矩控制器磁矩沿卫星本体y轴分量；d_z为磁力矩控制器磁矩沿卫星本体z轴分量；b_m地磁场在卫星轨道上的磁场强度；t为时间。

安装在俯仰负轴的偏置动量轮产生的角动量h_y相对星体坐标是恒定的，且数值足够大，使卫星保持对地定向。这种定向性对滚转轴和偏航轴产生陀螺罗盘效应，卫星的偏航误差将随卫星的运行耦合到滚动误差。滚动误差可以由水平敏感器测出，控制滚动误差间接能消除偏航误差。因此，不用偏航敏感器的滚转—偏航两轴控制系统能实现偏置动量卫星的x、y、z三轴稳定姿态控制。磁力矩器对滚动、偏航轴进行进动控制，选取状态变量：

其中和ω_n为章动频率，

偏置动量卫星的滚转—偏航两轴控制系统就能实现x、y、z三轴稳定的姿态控制。则磁控偏置动量卫星动力学的状态空间方程即则滚转x—偏航z两轴控制系统为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+B\left(t\right)u\left(t\right)---\left(1\right)$

式中，控制量

u(t)＝d_y

A为系统状态矩阵，B(t)为输入矩阵，分别有如下形式:

$A=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& {\mathrm{\&omega;}}_n& 0\\ 0& 0& 0& {\mathrm{\&omega;}}_n\\ a_{31}& 0& 0& a_{34}\\ 0& a_{42}& a_{43}& 0\end{array}\right],B\left(t\right)\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2b_m\sin \left({\mathrm{\&omega;}}_{0}t\right)/{\mathrm{\&omega;}}_n{I}_x\\ -b_m\cos \left({\mathrm{\&omega;}}_{0}t\right)/{\mathrm{\&omega;}}_n{I}_z\end{array}\right]$

其中

$a_{31}=\frac{1}{{\mathrm{\&omega;}}_n{I}_x}[{\mathrm{\&omega;}}_0{h}_y-4{\mathrm{\&omega;}}_0^2(I_y-I_z)]$

$a_{34}=\frac{1}{I_x}[h_y-(T_y-I_z-I_x){\mathrm{\&omega;}}_0]$

$a_{42}=\frac{1}{{\mathrm{\&omega;}}_n{I}_z}[{\mathrm{\&omega;}}_0{h}_y-{\mathrm{\&omega;}}_0^2(I_y-I_z)]$

$a_{43}=\frac{1}{I_z}[(I_y-I_z-I_x){\mathrm{\&omega;}}_0-h_y]$

式(1)是一个以T_S＝2π/ω₀为周期的线性时变系统，且系统矩阵A是时不变的；式(1)具有如下特殊的性质：(A,B(t))一致完全能控，且当h_y、I_x、I_y、I_z以及ω₀之间满足关系：

$\left\{\begin{array}{c}(I_y-I_x){\mathrm{\&omega;}}_0-h_y\&GreaterEqual;0\\ 4(I_y-I_z){\mathrm{\&omega;}}_0-h_y\&GreaterEqual;0\end{array}\right.---\left(2\right)$

时，系统矩阵A的特征值都在复平面的虚轴上；根据偏置动量系统的角动量分布特性，h_y满足：

$\left\{\begin{array}{c}{h}_y<0\\ \left|h_y\right|>>\max (I_x{\mathrm{\&omega;}}_0,I_y{\mathrm{\&omega;}}_0,I_z{\mathrm{\&omega;}}_0)\end{array}\right.---\left(3\right)$

因此式(2)是成立的；式(1)的开环极点都在复平面虚轴上。

步骤二、选取设计参数γ，即标量函数γ，求解周期Lyapunov微分方程的唯一周期正定解W(t)具体过程为：

(1)、周期Lyapunov微分方程为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{W}\left(t\right)=W\left(t\right)A^T+\mathrm{AW}\left(t\right)+\mathrm{\&gamma;}\left(t\right)W\left(t\right)-B\left(t\right)R^{-1}\left(t\right)B^T\left(t\right)---\left(4\right)$

其中A为系统状态矩阵，B(t)为输入矩阵；R(t)为任意选择的加权正定对称周期矩阵；

(2)、将周期Lyapunov微分方程(4)的解W(t)的解析解具体写为(假设γ为常数)：

$W\left(t\right)={\&Integral;}_t^{\&infin;}{e}^{A(t-s)}B\left(t\right)R^{-1}\left(t\right)B^T\left(t\right)e^{A^T(t-s)}{e}^{\mathrm{\&gamma;}(t-s)}\mathrm{ds}---\left(5\right)$

e为自然常数，其值约为2.71828，s为积分变量，A为系统状态矩阵，B(t)为输入矩阵；R(t)为任意选择的加权正定对称周期矩阵；

(3)、实际实现时，也可以用单点周期生成的方法得到数值解令Q(t)＝-B(t)R^-1(t)B^T(t)；周期正定解W(t)表示为：

$W\left(t\right)=e^{A(t-t_0)}W\left(t_0\right)e^{A^T(t-t_0)}{e}^{\mathrm{\&gamma;}(t-t_0)}+S(t,t_0)---\left(6\right)$

其中

$S(t,t_0)={{\&Integral;}_{t_0}^{t}e}^{A(t-t_0)}Q\left(t\right)e^{A^T(t-t_0)}{e}^{\mathrm{\&gamma;}(t-t_0)}\mathrm{ds}---\left(7\right)$

满足：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{S}(t,t_0)=\mathrm{AS}(t,t_0)+S(t,t_0)A^T+Q\left(t\right)\\ S(t_0,t_0)=0\end{array}\right.---\left(8\right)$

因此对(8)数值积分求取S(t,t₀)；

(4)、式(6)中，取t＝t₀+T_s，由W(t)的周期性知式(6)化成关于W(t₀)的线性代数方程。求解此代数方程得到W(t₀)，再以W(t₀)为初值，对微分方程(4)从初始t₀时刻数值积分到t₀+T_s时刻，从而得到一个周期T_s内的正定解W(t)。

步骤三、根据周期正定解W(t)计算P(t)＝W^-1(t)得到周期Riccati微分方程的极大周期对称解P(t)：

$-\stackrel{\&CenterDot;}{P}\left(t\right)=A^{T}P\left(t\right)+P\left(t\right)A+\mathrm{\&gamma;}\left(t\right)P\left(t\right)-P\left(t\right)B\left(t\right)R^{-1}\left(t\right)B^T\left(t\right)P\left(t\right)---\left(9\right)$

其中A为系统状态矩阵，B(t)为输入矩阵；R(t)为任意选择的加权正定对称周期矩阵；

步骤四、根据极大周期对称解P(t)设计状态反馈控制器

K(t)＝-R^-1(t)B^T(t)P(t)，       (10)

当γ分别取值为γ＝0.01，γ＝0.0005，γ＝0.0002且R(t)为单位阵时，该反馈增益K(t)的各个元素的值如图3、图4、图5和图6所示。由此得到磁控偏置动量卫星姿态稳定控制系统的状态反馈控制器

u(t)＝K(t)x(t)；

步骤五、根据步骤一建立的磁控偏置动量卫星的线性化动力学模型和步骤四设计的状态反馈控制器建立闭环系统以及初始状态变量x(t₀)，检验闭环系统对应的控制力矩的幅值是否满足设计要求，不满足设计要求则返回步骤二，重新选择设计参数γ；其中设计要求为磁力矩控制器所需的最大控制力矩不超过磁力矩控制器能够提供的最大控制力矩，具体过程为：

(1)将步骤一建立的磁控偏置动量卫星的线性化动力学模型和步骤四得到的设计状态反馈控制器建立为闭环系统 $\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=(A+B\left(t\right)K\left(t\right))x\left(t\right);$

(2)在磁控偏置动量卫星的线性化动力学模型中选取偏离平衡点的初始状态变量x(t₀)对上述闭环系统进行仿真；假设某一偏离平衡点的初始条件为x₀＝[0.03 0.03 0.02 0.01]^T，分别取γ的值为γ＝0.01，γ＝0.0005，γ＝0.0002且R(t)为单位阵，则闭环系统的状态响应和系统状态的2-范数分别如图9(a)、图9(b)、图9(c)、图10(a)、图10(b)、图10(c)和图11所示；

(3)根据初始状态变量x(t₀)对应的上述仿真结果求得对应的磁控力矩T_c或者u(t)；假设分别取γ的值为γ＝0.01，γ＝0.0005，γ＝0.0002且R(t)为单位阵，则滚转轴和俯仰轴磁控力矩大小分别如图7和图8所示；

(4)若磁控力矩T_c超过磁力矩器所能提供的最大力矩，则以5％的幅度减小γ的值，否则以5％的幅度增加γ的值，重复上面的(1)-(4)。由于系统矩阵A的特征值都在复平面的虚轴上，对于任意的正标量δ和有界集可以证明存在一个标量γ^*>0，对于任意γ∈(0,γ^*)和，其对应的状态反馈控制器u(t)＝K(t)x(t)与式(1)组成的闭环系统渐近稳定(即任意满足x(t₀)∈S初始状态变量x(t₀)都可渐近地恢复到0平衡点)且

$\underset{t\&Element;R}{\mathrm{tup}}\left|\right|u\left(t\right)\left|\right|\&le;\mathrm{\&delta;}$

即磁力矩所需提供的最大磁力矩不超过预先设定的值δ。假设某一偏离平衡点的初始条件为x₀＝[0.03 0.03 0.02 0.01]^T，则参数γ或者参数γ^*的值与磁力矩控制器所需磁控力矩的最大值的关系如图12(a)和图12(b)所示。

通过求解步骤二的线性周期Lyapunov微分方程，既可得到步骤三中非线性周期Riccati微分方程的解析解也可得到其数值稳定性好的数值周期解。步骤四中控制器效果说明：从仿真结果可以看出，无论γ取何值，如图3-图6所示的控制增益都是周期的，且周期和卫星所在轨道的周期相同；从如图9(a)、图9(b)、图9(c)、图10(a)、图10(b)、图10(c)和图11所示可以看出闭环系统能够达到稳定。当γ＝0.01时，姿态角在1个周期内稳定；当γ＝0.005时，姿态角在1.5个周期时稳定；当γ＝0.002时，姿态角3个周期后稳定。γ取值越大，所需要的磁控力矩也越大；而当γ取值较小时，所需的磁控转矩也相应变小，代价是系统达到0平衡点所需要的时间变大。(如图7～11)控制器在镇定磁控偏置动量卫星姿态系统的同时能任意调节控制力矩的幅值大小，避免控制力矩发生饱和而导致闭环系统的不稳定性，有利于工程实现。

调整γ的数值可保证磁控力矩控制器所需提供的最大磁力矩不超过其所能提供的最大控制力。某型卫星的磁力矩器的最大磁矩为500Am2，因此能提供的最大控制力矩为0.0213Nm。调整设计参量γ，绘制实现卫星姿态稳定所需的磁控力矩最大幅值与设计参量γ的关系，如图12(a)和图12(b)所示。当γ取γ^*＝0.0018时，磁力矩控制器的力矩达到上限。因此γ可以在γ∈(0,γ^*)的范围内任意取值，也就是能在可以提供的最大力矩范围内任意选取控制力矩的大小。

另外，根据磁控力矩控制器所需提供的磁力矩的最大幅值与设计参量γ的关系可以看出，两者在变化趋势上一致。因此，在实际应用中调整设计参量γ时，可以根据需要有方向性地进行调整，为设计带来了方便。

本发明还可有其它多种实施例，在不背离本发明精神及其实质的情况下，本领域技术人员当可根据本发明作出各种相应的改变和变形，但这些相应的改变和变形都应属于本发明所附的权利要求的保护范围。

Claims (4)

1.一种基于周期Lyapunov方程的磁控偏置动量卫星的姿态控制方法，其特征在于一种基于周期Lyapunov方程的磁控偏置动量卫星的姿态控制方法具体是按照以下步骤进行的：

步骤一、以卫星质心为原点o建立卫星本体坐标系，将x、y和z轴固定在卫星本体上，根据ω_x、ω_y、ω_z建立磁控偏置动量卫星的线性化动力学模型即偏置动量卫星姿态动力学方程；其中x轴沿卫星纵对称轴方向指向前，y轴在卫星纵对称面内，与x轴垂直指向下，z轴垂直于oxy平面，z轴方向遵循右手螺旋定则，x轴为滚转轴，y轴为俯仰轴和z轴为偏航轴；ω_x、ω_y、ω_z为卫星本体坐标系相对地心惯量坐标系的转动角速度在卫星本体坐标系下沿x、y、z三轴的转动角速度分量；

步骤二、选取设计参数γ，即标量函数γ，求解周期Lyapunov微分方程：

$\stackrel{\&CenterDot;}{W}\left(t\right)=W\left(t\right)A^T+\mathrm{AW}\left(t\right)+\mathrm{\&gamma;}\left(t\right)W\left(t\right)-B\left(t\right)R^{-1}\left(t\right)B^T\left(t\right)$

的唯一周期正定解W(t)；其中A为系统状态矩阵，B(t)为输入矩阵；R(t)为加权正定对称周期矩阵；

步骤三、根据周期正定解W(t)计算P(t)＝W^-1(t)得到周期Riccati微分方程的极大周期对称解P(t)：

$-\stackrel{\&CenterDot;}{P}\left(t\right)=A^{T}P\left(t\right)+P\left(t\right)A+\mathrm{\&gamma;}\left(t\right)P\left(t\right)-P\left(t\right)B\left(t\right)R^{-1}\left(t\right)B^T\left(t\right)P\left(t\right)$

其中，A为系统状态矩阵，B(t)为输入矩阵；R(t)为加权正定对称周期矩阵；

步骤四、根据极大周期对称解P(t)设计状态反馈控制器，反馈增益K(t)为：

K(t)＝-R^-1(t)B^T(t)P(t)

由此得到磁控偏置动量卫星姿态稳定控制系统的状态反馈控制器u(t)＝K(t)x(t)；

步骤五、根据步骤一建立的磁控偏置动量卫星的线性化动力学模型和步骤四得到的状态反馈控制器建立闭环系统以及初始状态变量x(t₀)，检验闭环系统对应的控制力矩的幅值是否满足设计要求，不满足设计要求则返回步骤二，重新选择设计参数γ，其中设计要求为磁力矩控制器所需的最大控制力矩不超过磁力矩控制器能够提供的最大控制力矩；即完成了一种基于周期Lyapunov方程的磁控偏置动量卫星的姿态控制方法。

2.根据权利要求1所述一种基于周期Lyapunov方程的磁控偏置动量卫星的姿态控制方法，其特征在于：步骤一中以卫星质心为原点o建立卫星本体坐标系，将x、y和z轴固定在卫星本体上，根据ω_x、ω_y、ω_z建立磁控偏置动量卫星的线性化动力学模型即偏置动量卫星姿态动力学方程具体过程为：

$I\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}+\mathrm{\&omega;}\&times;(\mathrm{I\&omega;}+h)=-\stackrel{\&CenterDot;}{h}+T$

式中，ω＝[ω_x ω_y ω_z]^T为卫星本体坐标系相对地心惯量坐标系的转动角速度，为卫星本体坐标系相对地心惯量坐标系的转动角变化速率，ω_x、ω_y、ω_z为卫星本体坐标系相对地心惯量坐标系的转动角速度在卫星本体坐标系下沿x、y、z三轴的转动角速度分量；h为飞轮转动部分相对卫星本体的角动量；为偏置动量轮对卫星的控制力矩；I＝diag(I_x,I_y,I_z)为卫星的惯性张量矩阵；I_x为卫星绕本体坐标x轴的转动惯量；I_y为卫星绕本体坐标y轴的转动惯量；I_z为卫星绕本体坐标z轴的转动惯量；T卫星姿态外力矩，针对磁控偏置动量卫星的偏置动量轮装在卫星的俯仰轴负方向上，故

h＝[0 -h_y 0]^T

其中，h_y为卫星俯仰轴偏置动量；

设卫星本体坐标系相对于轨道坐标系的转速为轨道坐标系在空间的转速为(0,-ω₀,0)；卫星在空间中的转速ω在卫星坐标系中表示为：

其中，ω₀为轨道速率；ψ为卫星本体坐标系相对于轨道坐标系偏航角；θ为卫星本体坐标系相对于轨道坐标系俯仰角；为卫星本体坐标系相对于轨道坐标系滚转角；滚转角变化速率，俯仰角变化速率，为偏航角变化速率，当卫星轨道高度<1000km，外力矩T为：

T＝T_g+T_c

其中T_g表示重力梯度力矩，T_c表示磁控力矩；

重力梯度力矩T_g的线性化模型为：

其中T_gx,T_gy,T_gz分别表示重力梯度力矩沿卫星本体坐标系x、y、z三轴分量；

磁控力矩T_c的线性化模型为：

$T_c=\left[\begin{array}{c}{T}_{\mathrm{cx}}\\ T_{\mathrm{cy}}\\ T_{\mathrm{cz}}\end{array}\right]=b_m\left[\begin{array}{c}2d_y\sin {\mathrm{\&omega;}}_{0}t\\ d_z\cos {\mathrm{\&omega;}}_{0}t-2d_x\sin {\mathrm{\&omega;}}_{0}t\\ -d_y\cos {\mathrm{\&omega;}}_{0}t\end{array}\right]$

其中，[d_x d_y d_z]^T表示磁力矩器产生的磁偶极矩在卫星本体坐标系中沿x、y、z三轴的分量，T_cx T_cy T_cz表示磁控力矩在卫星本体坐标系中沿x、y、z三轴的分量；d_x为磁力矩控制器磁矩沿卫星本体x轴分量；d_y为磁力矩控制器磁矩沿卫星本体y轴分量；d_z为磁力矩控制器磁矩沿卫星本体z轴分量；b_m地磁场在卫星轨道上的磁场强度；t为时间；

选取状态变量：

其中和ω_n为章动频率，则磁控偏置动量卫星动力学的状态空间方程即则滚转x—偏航z两轴控制系统为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+B\left(t\right)u\left(t\right)---\left(1\right)$

式中，控制量

u(t)＝d_y

A为系统状态矩阵，B(t)为输入矩阵，分别有如下形式:

$A=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& {\mathrm{\&omega;}}_n& 0\\ 0& 0& 0& {\mathrm{\&omega;}}_n\\ a_{31}& 0& 0& a_{34}\\ 0& a_{42}& a_{43}& 0\end{array}\right],B\left(t\right)\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2b_m\sin \left({\mathrm{\&omega;}}_{0}t\right)/{\mathrm{\&omega;}}_n{I}_x\\ -b_m\cos \left({\mathrm{\&omega;}}_{0}t\right)/{\mathrm{\&omega;}}_n{I}_z\end{array}\right]$

其中

$a_{31}=\frac{1}{{\mathrm{\&omega;}}_n{I}_x}[{\mathrm{\&omega;}}_0{h}_y-4{\mathrm{\&omega;}}_0^2(I_y-I_z)]$

$a_{34}=\frac{1}{I_x}[h_y-(T_y-I_z-I_x){\mathrm{\&omega;}}_0]$

$a_{42}=\frac{1}{{\mathrm{\&omega;}}_n{I}_z}[{\mathrm{\&omega;}}_0{h}_y-{\mathrm{\&omega;}}_0^2(I_y-I_z)]$

$a_{43}=\frac{1}{I_z}[(I_y-I_z-I_x){\mathrm{\&omega;}}_0-h_y]$

式(1)是一个以T_S＝2π/ω₀为周期的线性时变系统，且系统矩阵A是时不变的；式(1)具有如下特殊的性质：(A,B(t))一致完全能控，且当h_y、I_x、I_y、I_z以及ω₀之间满足关系：

$\left\{\begin{array}{c}(I_y-I_x){\mathrm{\&omega;}}_0-h_y\&GreaterEqual;0\\ 4(I_y-I_z){\mathrm{\&omega;}}_0-h_y\&GreaterEqual;0\end{array}\right.---\left(2\right)$

时，系统矩阵A的特征值都在复平面的虚轴上；h_y满足：

$\left\{\begin{array}{c}{h}_y<0\\ \left|h_y\right|>>\max (I_x{\mathrm{\&omega;}}_0,I_y{\mathrm{\&omega;}}_0,I_z{\mathrm{\&omega;}}_0)\end{array}\right.---\left(3\right)$

式(1)的开环极点都在复平面虚轴上。

3.根据权利要求1所述一种基于周期Lyapunov方程的磁控偏置动量卫星的姿态控制方法，其特征在于：步骤二中选取设计参数γ，即标量函数γ，求解周期Lyapunov微分方程的具体过程为：

(1)、周期Lyapunov微分方程为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{W}\left(t\right)=W\left(t\right)A^T+\mathrm{AW}\left(t\right)+\mathrm{\&gamma;}\left(t\right)W\left(t\right)-B\left(t\right)R^{-1}\left(t\right)B^T\left(t\right)---\left(4\right)$

其中A为系统状态矩阵，B(t)为输入矩阵；R(t)为加权正定对称周期矩阵；

(2)、将周期Lyapunov微分方程(4)的解W(t)的解析解具体写为：

$W\left(t\right)={\&Integral;}_t^{\&infin;}{e}^{A(t-s)}B\left(t\right)R^{-1}\left(t\right)B^T\left(t\right)e^{A^T(t-s)}{e}^{\mathrm{\&gamma;}(t-s)}\mathrm{ds}---\left(5\right)$

其中，e为自然常数，其值约为2.71828，s为积分变量，R(t)为加权正定对称周期矩阵，

(3)、用单点周期生成的方法得到数值解令Q(t)＝-B(t)R^-1(t)B^T(t)；周期正定解W(t)表示为：

$W\left(t\right)=e^{A(t-t_0)}W\left(t_0\right)e^{A^T(t-t_0)}{e}^{\mathrm{\&gamma;}(t-t_0)}+S(t,t_0)---\left(6\right)$ 其中

$S(t,t_0)={{\&Integral;}_{t_0}^{t}e}^{A(t-t_0)}Q\left(t\right)e^{A^T(t-t_0)}{e}^{\mathrm{\&gamma;}(t-t_0)}\mathrm{ds}---\left(7\right)$

由于S(t,t₀)满足：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{S}(t,t_0)=\mathrm{AS}(t,t_0)+S(t,t_0)A^T+Q\left(t\right)\\ S(t_0,t_0)=0\end{array}\right.---\left(8\right)$

因此对(8)数值积分求取S(t,t₀)；

(4)、式(6)中，取t＝t₀+T_s，由W(t)的周期性知式(6)化成关于W(t₀)的线性代数方程；

求解此代数方程得到W(t₀)，再以W(t₀)为初值，对微分方程(4)从初始t₀时刻数值积分到t₀+T_s时刻，从而得到一个周期T_s内的正定解W(t)。

4.根据权利要求1所述一种基于周期Lyapunov方程的磁控偏置动量卫星的姿态控制方法，其特征在于：步骤五中根据步骤一建立的磁控偏置动量卫星的线性化动力学模型和步骤四得到的设计状态反馈控制器建立闭环系统以及初始状态变量x(t₀)，检验闭环系统对应的控制力矩的幅值是否满足设计要求，不满足设计要求则返回步骤二，重新选择设计参数γ过程为：

(1)将步骤一建立的磁控偏置动量卫星的线性化动力学模型和步骤四得到的设计状态反馈控制器组成闭环系统 $\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=(A+B\left(t\right)K\left(t\right))x\left(t\right);$

(2)在磁控偏置动量卫星的线性化动力学模型中选取偏离平衡点的初始状态变量x(t₀)；

(3)根据初始状态变量x(t₀)和闭环系统仿真求得磁控力矩T_c或者u(t)；

(4)若磁控力矩T_c或者u(t)超过磁力矩器所能提供的最大力矩，则以5％的幅度减小γ的值，返回上述第(1)步；否则以5％的幅度增大γ的值，返回上述第(1)步；

(5)上述过程结束后得到γ的最终值γ^*，其中γ^*为满足磁力矩控制器所需提供的力矩不超过其所能提供的最大力矩这一条件对应的参数γ的最大值。