CN106054906A - 基于非线性空间绳系系统的欠驱动释放控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供的基于非线性空间绳系系统的欠驱动释放控制方法，包括以下步骤：步骤一，采用哑铃模型，根据第二类Lagrange方程建立系统动力学微分方程组，并对所述微分方程引入无量纲形式；步骤二，基于以上动力学微分方程组的范式表达式，设定系统面内俯仰角及面外转滚角的期望值，得到系统在释放过程中的平衡位置；步骤三，自系统的平衡位置出发，推导得出能够实现系绳释放的绳长变化控制律；步骤四，确定期望面内俯仰角的取值范围，以保证系绳的释放过程在此控制律作用下是渐近稳定的。数值模拟表明，在发明提出的释放控制方法作用下空间系绳可以实现渐近稳定的释放，可以找到能够覆盖平衡点的吸引子及足够厚度的吸引域。

Description

基于非线性空间绳系系统的欠驱动释放控制方法

技术领域

本发明涉及航天器控制领域，具体是一种非线性空间绳系系统欠驱动释放控制方法，并能够证明该方法是全局稳定的。

背景技术

空间系绳释放技术已受到学者们的广泛关注。如Barkow等对比研究了制动控制、Kissel控制、最优控制等多种方法对绳系卫星的释放控制效果。Tanaka等针对一类微型绳系卫星，设计了一套开环控制律，有效抑制了系绳在释放过程中的面内俯仰角。Williams构建了六自由度绳系卫星非线性动力学方程，通过拉力调节实现对系绳的最优释放/回收控制，但期间引起了较大的系绳摆幅。Yu等计入刚-柔耦合效应，研究了系绳自由释放及受控释放时航天器本体的姿态动力学问题，揭示了绳系释放对于航天器本体的动响应规律。Liu等基于变结构控制方法，通过系绳拉力调节对短距绳系卫星快速释放/回收过程的面内俯仰角、面外滚转角及角速度实现了有效控制。Jung等研究了一类三体绳系卫星系统，发现在收放过程中科氏力将导致系绳振荡，若不加以控制会产生大幅摆动甚至旋转。Aslanov在摆动原理基础上设计了一套绳系释放控制律，实现了返回舱再入的空间任务。

通过关注前人研究成果可以发现，以路径或时间最优为代表的系绳最优释放控制策略，控制过程通常会引起系绳的大幅振荡，且耗费大量的计算时间；以Kissel控制为代表的拉力或绳长控制策略，通常只适用于圆周绕地轨道，且仅能对面内俯仰摆角进行抑制；而且，一般的径向释放控制对摄动因素考虑的尚不充分，缺少全局稳定性分析。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是针对前述背景技术中的缺陷和不足，基于空间高维非线性时变绳系系统动力学方程，提出一种欠驱动系绳释放控制策略，对径向释放过程中的面内外摆角同时进行抑制，随后，基于Floquet理论证明释放过程中，在取值范围内系统平衡点的稳定性，进一步又通过胞映射方法研究平衡点的全局稳定性。

本发明提供的基于非线性空间绳系系统的欠驱动释放控制方法包括以下步骤：

步骤一，采用哑铃模型，根据第二类Lagrange方程建立系统动力学微分方程组，并对所述微分方程引入无量纲形式；

步骤二，基于所述动力学微分方程组的范式表达式，设定系统面内俯仰角及面外转滚角的期望值，得到系统在释放过程中的平衡位置；

步骤三，自系统的平衡位置出发，推导得出能够实现系绳释放的绳长变化控制律；

步骤四，确定期望面内俯仰角的取值范围，以保证系绳的释放过程在此控制律作用下是渐近稳定的。

步骤一具体指：

步骤1.1，采用哑铃模型，将质量为m_M和m_S的主星M和子星S简化为质点、长度为l的系绳视作一根无质量刚性杆，设系统的面内俯仰角为θ及面外滚转角为φ；构建惯性坐标系O-XYZ固结于地球质心O，同时，建立一个轨道坐标系o-xyz，其原点o固结于运行在Kepler轨道上的系统质心；

步骤1.2，根据第二类Lagrange方程，选取面内俯仰角θ、面外滚转角φ及绳长l为广义坐标，则系统动力学微分方程可写为

$\left\{\begin{array}{c}2\tilde{m}{\mathrm{ll}}^{\′}({\mathrm{\θ}}^{\′}+v^{\′}){\cos }^2\mathrm{\φ}+\tilde{m}{l}^2\[({\mathrm{\θ}}^{\′\′}+v^{\′\′}){\cos }^2\mathrm{\φ}-2({\mathrm{\θ}}^{\′}+v^{\′}){\mathrm{\φ}}^{\′}\sin \mathrm{\φ}\cos \mathrm{\φ}\]+\frac{3{\mathrm{\μ}}_E\tilde{m}{l}^2}{r{\left(v\right)}^3}{\mathrm{sin\θcos\θcos}}^2\mathrm{\φ}=0\\ 2\tilde{m}{\mathrm{ll}}^{\′}{\mathrm{\φ}}^{\′}+\tilde{m}{l}^2{\mathrm{\φ}}^{\′\′}+\tilde{m}{l}^2{({\mathrm{\θ}}^{\′}+v^{\′})}^2\sin \mathrm{\φ}\cos \mathrm{\φ}+\frac{3{\mathrm{\μ}}_E\tilde{m}{l}^2}{r{\left(v\right)}^3}{\mathrm{sin\φcos\φcos}}^2\mathrm{\θ}=0\\ \tilde{m}{l}^{\′\′}-\tilde{m}l\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}^2+{({\mathrm{\θ}}^{\′}+v^{\′})}^2{\cos }^2\mathrm{\φ}\]+\frac{{\mathrm{\μ}}_E\tilde{m}l}{r{\left(v\right)}^3}(1-3{\cos }^2{\mathrm{\θcos}}^2\mathrm{\φ})=-T\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中“'”表示对时间t的导数，v为真近点角，μ_E为地球引力常数，r为系统质心至地心距离，T为系绳张力，其中

$r\left(v\right)=\frac{a(1-e^2)}{\mathrm{\κ}},v^{\′}={\mathrm{\κ}}^2\sqrt{\frac{{\mathrm{\μ}}_E}{{\[a(1-e^2)\]}^3}}---\left(2\right)$

这里，a和e分别为绕地轨道长半轴和偏心率，κ＝1+ecosv；

步骤1.3，以l_max表示计划要释放的系绳长度，则引入无量纲变换

$\frac{d\left(\right)}{dt}=\frac{d\left(\right)}{dv}\·\frac{dv}{dt},\mathrm{\ξ}=\frac{l}{l_{max}}---\left(3\right)$

将式(2)、(3)分别代入方程式(1)，得系统的无量纲形式

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+2(\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+1)(\frac{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}{\mathrm{\ξ}}-\frac{e\sin v}{\mathrm{\κ}}-\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}tan\mathrm{\φ})+\frac{3}{\mathrm{\κ}}sin\mathrm{\θ}cos\mathrm{\θ}=0\\ \stackrel{\·\·}{\mathrm{\φ}}+2\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}(\frac{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}{\mathrm{\ξ}}-\frac{e\sin v}{\mathrm{\κ}})+\[{(\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+1)}^2+\frac{3{\cos }^2\mathrm{\θ}}{\mathrm{\κ}}\]\sin \mathrm{\φ}\cos \mathrm{\φ}=0\\ \stackrel{\·\·}{\mathrm{\ξ}}-\frac{2e\sin v}{\mathrm{\κ}}\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}-\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}^2+{(\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+1)}^2{\cos }^2\mathrm{\φ}+\frac{3{\cos }^2{\mathrm{\θcos}}^2\mathrm{\φ}-1}{\mathrm{\κ}}\]\mathrm{\ξ}=-u\end{array}\right.---\left(4\right)$

式中以真近点角v为无量纲时间，“·”表示对v求导数，为无量纲控制张力。

步骤二具体指：

由于在无量纲控制力u作用下，系统(4)的第三式即绳长变化率已被约束，且当ξ＝1时释放过程结束，针对式(4)的前两式，令则方程组(4)可写为范式

得到系统平衡位置

步骤三具体指：

为满足式(6)第一式中反正弦函数的定义域[-1,1]，无量纲系绳长度变化率须满足

$\frac{\mathrm{\ξ}(4esinv-3)}{4\mathrm{\κ}}\≤\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}\≤\frac{\mathrm{\ξ}(4esinv+3)}{4\mathrm{\κ}}---\left(7\right)$

期望保持恒定，由式(6)第一式可推导出系绳长度变化控制律

将上式代入到系统动力学方程(4)的第三式，计算出实时的无量纲控制张力u，并通过u实现此系绳长度变化控制律。

步骤四具体指：联立式(7)和(8)可得：

同时，若要求系绳保持释放，即则由式(8)可得出

联立式(9)和(10)能够得到在释放过程期望平衡位置中面内俯仰角的取值范围

得到基于释放控制律(8)，存在一个平衡点能使系绳沿期望倾角释放。

本发明采用以上技术方案与现有技术相比，具有以下技术效果：

空间绳系系统具有非线性特性，且运行于Kepler椭圆轨道时通常属于一类非自治系统。发明推导出一套能使系绳保持平衡位置沿径向释放的欠驱动控制律，并给出平衡位置中期望倾角的取值范围。Floquet理论、胞映射方法可以分别验证系统平衡位置的局部和全局稳定性。数值模拟表明，在发明提出的释放控制方法作用下空间系绳可以实现渐近稳定的释放，可以找到能够覆盖平衡点的吸引子及足够厚度的吸引域。

附图说明

图1是哑铃模型示意图；

图2是胞映射方法分析流程图；

图3是|λ_i|_max与期望面内俯仰角关系对比图；

图4是渐近稳定的径向释放控制下面内俯仰角随真近点角变化趋势图；

图5是渐近稳定的径向释放控制下面外滚转角随真近点角变化趋势图；

图6是渐近稳定的径向释放控制下子星释放轨迹图；

图7是渐近稳定的径向释放控制下无量纲绳长随真近点角变化趋势图；

图8是胞映射计算出的吸引子及吸引域(从Γ|_ξ＝0.01平面出发)；

图9是胞映射计算出的吸引子及吸引域(从Γ|_ξ＝0.01平面出发)。

具体实施方式

本发明提供基于非线性空间绳系系统的欠驱动释放控制方法，为使本发明的目的、技术方案及效果更加清楚，明确，以及参照附图并举实例对本发明进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

如图1至图9所示，讨论空间绳系卫星系统的面内外振荡。采用哑铃模型，将质量为m_M和m_S的主星M和子星S简化为质点、长度为l的系绳视作一根无质量刚性杆，研究系统的面内俯仰角为θ及面外滚转角为φ。构建惯性坐标系O-XYZ固结于地球质心O，同时，建立一个轨道坐标系o-xyz，其原点o固结于运行在Kepler轨道上的系统质心，如图1所示。

根据第二类Lagrange方程，选取俯仰角θ、滚转角φ及系绳长l为广义坐标，则系统动力学微分方程可写为

$\left\{\begin{array}{c}2\tilde{m}{\mathrm{ll}}^{\′}({\mathrm{\θ}}^{\′}+v^{\′}){\cos }^2\mathrm{\φ}+\tilde{m}{l}^2\[({\mathrm{\θ}}^{\′\′}+v^{\′\′}){\cos }^2\mathrm{\φ}-2({\mathrm{\θ}}^{\′}+v^{\′}){\mathrm{\φ}}^{\′}\sin \mathrm{\φ}\cos \mathrm{\φ}\]+\frac{3{\mathrm{\μ}}_E\tilde{m}{l}^2}{r{\left(v\right)}^3}{\mathrm{sin\θcos\θcos}}^2\mathrm{\φ}=0\\ 2\tilde{m}{\mathrm{ll}}^{\′}{\mathrm{\φ}}^{\′}+\tilde{m}{l}^2{\mathrm{\φ}}^{\′\′}+\tilde{m}{l}^2{({\mathrm{\θ}}^{\′}+v^{\′})}^2\sin \mathrm{\φ}\cos \mathrm{\φ}+\frac{3{\mathrm{\μ}}_E\tilde{m}{l}^2}{r{\left(v\right)}^3}{\mathrm{sin\φcos\φcos}}^2\mathrm{\θ}=0\\ \tilde{m}{l}^{\′\′}-\tilde{m}l\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}^2+{({\mathrm{\θ}}^{\′}+v^{\′})}^2{\cos }^2\mathrm{\φ}\]+\frac{{\mathrm{\μ}}_E\tilde{m}l}{r{\left(v\right)}^3}(1-3{\cos }^2{\mathrm{\θcos}}^2\mathrm{\φ})=-T\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中“'”表示对时间t的导数，v为真近点角，μ_E为地球引力常数，r为系统质心至地心距离，T为系绳张力，其中

$r\left(v\right)=\frac{a(1-e^2)}{\mathrm{\κ}},v^{\′}={\mathrm{\κ}}^2\sqrt{\frac{{\mathrm{\μ}}_E}{{\[a(1-e^2)\]}^3}}---\left(2\right)$

这里，a和e分别为绕地轨道长半轴和偏心率，κ＝1+ecosv。若以l_max表示计划要释放的系绳长度，则引入无量纲变换

$\frac{d\left(\right)}{dt}=\frac{d\left(\right)}{dv}\·\frac{dv}{dt},\mathrm{\ξ}=\frac{l}{l_{max}}---\left(3\right)$

将式(2)、(3)分别代入方程式(1)，可得系统的无量纲形式

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+2(\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+1)(\frac{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}{\mathrm{\ξ}}-\frac{e\sin v}{\mathrm{\κ}}-\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}tan\mathrm{\φ})+\frac{3}{\mathrm{\κ}}sin\mathrm{\θ}cos\mathrm{\θ}=0\\ \stackrel{\·\·}{\mathrm{\φ}}+2\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}(\frac{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}{\mathrm{\ξ}}-\frac{e\sin v}{\mathrm{\κ}})+\[{(\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+1)}^2+\frac{3{\cos }^2\mathrm{\θ}}{\mathrm{\κ}}\]\sin \mathrm{\φ}\cos \mathrm{\φ}=0\\ \stackrel{\·\·}{\mathrm{\ξ}}-\frac{2e\sin v}{\mathrm{\κ}}\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}-\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}^2+{(\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+1)}^2{\cos }^2\mathrm{\φ}+\frac{3{\cos }^2{\mathrm{\θcos}}^2\mathrm{\φ}-1}{\mathrm{\κ}}\]\mathrm{\ξ}=-u\end{array}\right.---\left(4\right)$

式中以真近点角v为无量纲时间，“·”表示对v求导数，为无量纲控制张力。动力学微分方程组(4)说明空间绳系卫星系统具有非线性特性，其可以描述运行过程中系绳的面内外摆动，且当偏心率不为0时，这将是一个非自治系统。

仅对无量纲绳长ξ进行控制，研究释放过程中非线性时变系统(4)的面内外摆角振动抑制问题。由于在无量纲控制力u作用下，系统(4)的第三式即绳长变化率已被约束，且当ξ＝1时释放过程结束，针对式(4)的前两式，令则方程组(4)可写为范式

易求出其平衡位置

其中，为满足式(6)第一式中反正弦函数的定义域[-1,1]，无量纲系绳长度变化率须满足

$\frac{\mathrm{\ξ}(4esinv-3)}{4\mathrm{\κ}}\≤\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}\≤\frac{\mathrm{\ξ}(4esinv+3)}{4\mathrm{\κ}}---\left(7\right)$

现在，若期望保持恒定，由式(6)第一式可推导出系绳长度变化控制律

只需将上式代入到系统动力学方程(4)的第三式，能够计算出实时的无量纲控制张力u，并通过u可以实现此系绳长度变化控制律

联立式(7)和(8)可得

同时，若要求系绳保持释放，即则由式(8)可得出

联立式(9)和(10)能够得到在释放过程期望平衡位置中面内俯仰角的取值范围

通过以上分析发现，基于释放控制律(8)，存在一个平衡点能使系绳沿期望倾角释放，但该平衡点的稳定性须进一步讨论。另外，值得注意的是，若仅以无量纲绳长ξ为控制变量，对系统面内、面外摆角两个参数同时进行振动抑制，则其将是一个欠驱动控制系统。

讨论释放过程中平衡点的局部稳定性。基于绳长变化率(8)对系绳进行释放控制，利用Floquet理论对该非自治系统局部稳定性进行分析，研究原系统(4)的变分方程

$\stackrel{\·}{\mathrm{\Φ}}=Df\mathrm{\Φ}---\left(12\right)$

其中

该Jacobi矩阵满足

Df(v+Θ)＝Df(v) (14)

其周期为Θ＝2π；特别地，在初始时刻，若积分变量矩阵Φ取为单位矩阵，即Φ|_t＝0＝I，则变分方程(12)经历一个周期Θ＝2π的积分迭代，可以得到单值矩阵

B＝Φ|_t＝2π (15)

再根据Floquet理论，通过单值矩阵特征根λ_i(i＝1,2,3,4)可以判定原系统(4)的零解稳定性，即

这可以有效地研究在先前欠驱动释放控制律下，非自治系统在平衡点附近的稳定性。

另一方面，该系统的全局稳定性可利用胞映射方法进行讨论。根据简单胞映射算法流程，须先确定此高维系统状态空间的研究范围并按坐标方向均分为n_i(i＝1,2,3,4)份，同时，以释放出的无量纲绳长ξ∈[ξ_min,1]为坐标，将其均分为n₅份。至此，系统状态被划分成个胞z_i(i＝1,2,…,N_c)，每个胞中含有θ、φ、ξ等系统状态信息。此外，定义陷胞

值得注意的是，对于该含控制状态约束的连续系统，须在简单胞映射算法基础上加以改进，从而实现对所有状态胞z_i(i＝1,2,…,N_c+1)进行动力学分析。只要系绳达到控制约束边界(即释放完毕ξ＝1)，则认为所有途径的胞序列{z_q}到达吸引子，故只有平衡胞而没有周期胞，此时，赋胞序列{z_q}组号Gr(z_q)并记录轨迹Tr(z_q)，具体算法流程如图2所示。最终，可通过数值方法研究所有胞的动力学特性，寻找到不同初始释放长度胞空间的吸引子及对应的吸引域，从而得出在释放过程中系统关于平衡位置的全局稳定性。

实施例

选取参数对绳系卫星系统释放控制过程的稳定性进行数值验证。设系统初始时刻真近点角v₀＝0、无量纲系绳长度ξ₀＝0.01、运行的Kepler轨道偏心率e＝0.05，则基于Floquet理论可以判定系统在平衡点附近的稳定性。

研究期望面外滚转角φ_e＝0所处平衡点(θ_e,0,φ_e,0)的稳定性，依据期望面内俯仰角取值范围的表达式(11)，可得θ_e∈[-π/4,-0.0334)。数值仿真可得出定义域范围内系统单值矩阵最大特征值模与期望面内俯仰角的关系，如图3所示。从图中可以看出，对于φ_e＝0，当期望俯仰角θ_e∈[-π/4,-0.0334)时，有|λ_i|_max＜1，则释放过程中系统在期望俯仰角附近渐近稳定；当θ_e∈[-0.0334,0)时，此时不能保证系绳恒定释放(即有可能)却仍有|λ_i|_max＜1；而当θ_e∈(0,0.2]时，有|λ_i|_max＞1，期望俯仰角已超出定义域且不稳定。

基于原先设定的系统参数并取θ_e＝-0.1rad、φ_e＝0，在控制力作用下实现释放控制律(8)，研究系绳沿倾角(θ_e,φ_e)释放的动力学行为。通过Floquet理论可计算出系统单值矩阵特征根的模

$\left\{\begin{array}{c}\left|{\mathrm{\λ}}_{1,2}\right|=0.391652767628123\\ \left|{\mathrm{\λ}}_{3,4}\right|=0.391652767247680\end{array}\right.---\left(17\right)$

皆小于1，故此释放控制过程应是渐近稳定的。图4表示系统面内俯仰角随真近点角v变化情况，可见系绳在初始摄动作用下围绕期望俯仰角反复摆动后，逐渐趋近于-0.1rad。图5表示面外滚转角随真近点角v变化情况，系绳经历一段时间振荡后，逐渐趋近于0，表明该释放控制过程是渐近稳定的，与Floquet理论研究的结论一致。图6展示了无量纲轨道坐标系o-χη下(即原点o固结于主星质点M上，η轴由地球质心O指向质点M)子星的径向释放轨迹在φ＝0平面的投影。图7为系绳无量纲控制张力随真近点角v的变化情况，当真近点角到达v＝34.5rad时，系绳释放完成，其中张力始终大于0说明该释放过程是可控的。

利用胞映射对释放控制过程中系统平衡点的全局稳定性进行研究。为讨论及计算方便，仅研究系绳沿期望面内俯仰角θ_e＝-0.1rad释放的动力学特性，关注范围取θ∈[-0.6,0.4]、按坐标方向各自均分为151份，同时，释放控制的无量纲绳长范围取ξ∈[0.01,1]，均分为20份，则系统状态空间划分为456020个立体胞。设陷胞为z₄₅₆₀₂₁。

自Γ|_ξ＝0.01平面出发的状态胞，经过简单胞映射计算后，在Γ|_ξ＝1平面的吸引子及在Γ|_ξ＝0.01平面的吸引域如图所示。譬如，胞z₁₀₀表示系统状态处于θ∈[0.05563,0.06225]、ξ∈[0.01,0.0595]时，经过胞映射z₁₀₀→z₃₅₄₄₀→z₆₁₉₈₈→z₁₀₄₄₀₆→z₁₆₉₉₄₅→z₃₀₆₆₀₇→z₄₄₅₅₂₇，到达吸引子胞z₄₄₅₅₂₇；又如胞z₅表示系统状态处于θ∈[-0.57351,-0.56689]、ξ∈[0.01,0.0595]时，经过胞映射z₅→z₄₅₆₀₂₁，到达陷胞z₄₅₆₀₂₁。从图8可以看出，吸引子位于θ∈[-0.14,-0.06]、的狭小范围，期望俯仰角θ_e＝-0.1rad及角速度位于吸引子中。这说明在释放控制结束时系绳仍有小幅波动，但俯仰振荡已得到了明显抑制，与先前图4的数值仿真结果相符，进而表明本文提出的释放控制律也是全局稳定的。从图9能够看到，将Γ|_ξ＝1平面的吸引子投影到Γ|_ξ＝0.01平面，吸引域占据了Γ|_ξ＝0.01平面上较大的关注范围，说明该控制方法适应于大量不利的初始状态、可行性很强。

Claims (5)

1.基于非线性空间绳系系统的欠驱动释放控制方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

步骤一，采用哑铃模型，根据第二类Lagrange方程建立系统动力学微分方程组，并对所述微分方程引入无量纲形式；

步骤二，基于所述动力学微分方程组的范式表达式，设定系统面内俯仰角及面外转滚角的期望值，得到系统在释放过程中的平衡位置；

步骤三，自系统的平衡位置出发，推导得出能够实现系绳释放的绳长变化控制律；

步骤四，确定期望面内俯仰角的取值范围，以保证系绳的释放过程在此控制律作用下是渐近稳定的。

2.根据权利要求1所述的基于非线性空间绳系系统的欠驱动释放控制方法，其特征在于，步骤一具体指：

步骤1.1，采用哑铃模型，将质量为m_M和m_S的主星M和子星S简化为质点、长度为l的系绳视作一根无质量刚性杆，设系统的面内俯仰角为θ及面外滚转角为φ；构建惯性坐标系O-XYZ固结于地球质心O，同时，建立一个轨道坐标系o-xyz，其原点o固结于运行在Kepler轨道上的系统质心；

步骤1.2，根据第二类Lagrange方程，选取面内俯仰角θ、面外滚转角φ及绳长l为广义坐标，则系统动力学微分方程可写为

$\left\{\begin{array}{c}2\tilde{m}{\mathrm{ll}}^{\′}({\mathrm{\θ}}^{\′}+v^{\′}){\cos }^2\mathrm{\φ}+\tilde{m}{l}^2\[({\mathrm{\θ}}^{\′\′}+v^{\′\′}){\cos }^2\mathrm{\φ}-2({\mathrm{\θ}}^{\′}+v^{\′}){\mathrm{\φ}}^{\′}\sin \mathrm{\φ}\cos \mathrm{\φ}\]+\frac{3{\mathrm{\μ}}_E\tilde{m}{l}^2}{r{\left(v\right)}^3}{\mathrm{sin\θcos\θcos}}^2\mathrm{\φ}=0\\ 2\tilde{m}{\mathrm{ll}}^{\′}{\mathrm{\φ}}^{\′}+\tilde{m}{l}^2{\mathrm{\φ}}^{\′\′}+\tilde{m}{l}^2{({\mathrm{\θ}}^{\′}+v^{\′})}^2\sin \mathrm{\φ}\cos \mathrm{\φ}+\frac{3{\mathrm{\μ}}_E\tilde{m}{l}^2}{r{\left(v\right)}^3}{\mathrm{sin\φcos\φcos}}^2\mathrm{\θ}=0\\ \tilde{m}{l}^{\′\′}-\tilde{m}l\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}^2+{({\mathrm{\θ}}^{\′}+v^{\′})}^2{\cos }^2\mathrm{\φ}\]+\frac{{\mathrm{\μ}}_E\tilde{m}l}{r{\left(v\right)}^3}(1-3{\cos }^2{\mathrm{\θcos}}^2\mathrm{\φ})=-T\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中“'”表示对时间t的导数，ν为真近点角，μ_E为地球引力常数，r为系统质心至地心距离，T为系绳张力，其中

$r\left(v\right)=\frac{a(1-e^2)}{\mathrm{\κ}},v^{\′}={\mathrm{\κ}}^2\sqrt{\frac{{\mathrm{\μ}}_E}{{\[a(1-e^2)\]}^3}}---\left(2\right)$

这里，a和e分别为绕地轨道长半轴和偏心率，κ＝1+ecosν；

步骤1.3，以l_max表示计划要释放的系绳长度，则引入无量纲变换

$\frac{d\left(\right)}{dt}=\frac{d\left(\right)}{dv}\·\frac{dv}{dt},\mathrm{\ξ}=\frac{l}{l_{max}}---\left(3\right)$

将式(2)、(3)分别代入方程式(1)，得系统的无量纲形式

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+2(\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+1)(\frac{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}{\mathrm{\ξ}}-\frac{e\sin v}{\mathrm{\κ}}-\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}tan\mathrm{\φ})+\frac{3}{\mathrm{\κ}}sin\mathrm{\θ}cos\mathrm{\θ}=0\\ \stackrel{\·\·}{\mathrm{\φ}}+2\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}(\frac{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}{\mathrm{\ξ}}-\frac{e\sin v}{\mathrm{\κ}})+\[{(\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+1)}^2+\frac{3{\cos }^2\mathrm{\θ}}{\mathrm{\κ}}\]\sin \mathrm{\φ}\cos \mathrm{\φ}=0\\ \stackrel{\·\·}{\mathrm{\ξ}}-\frac{2e\sin v}{\mathrm{\κ}}\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}-\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}^2+{(\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+1)}^2{\cos }^2\mathrm{\φ}+\frac{3{\cos }^2{\mathrm{\θcos}}^2\mathrm{\φ}-1}{\mathrm{\κ}}\]\mathrm{\ξ}=-u\end{array}\right.---\left(4\right)$

式中以真近点角ν为无量纲时间，“·”表示对ν求导数，为无量纲控制张力。

3.根据权利要求2所述的基于非线性空间绳系系统的欠驱动释放控制方法，其特征在于，步骤二具体指：

由于在无量纲控制力u作用下，系统(4)的第三式即绳长变化率已被约束，且当ξ＝1时释放过程结束，针对式(4)的前两式，令则方程组(4)可写为范式

得到系统平衡位置

4.根据权利要求2所述的基于非线性空间绳系系统的欠驱动释放控制方法，其特征在于，步骤三具体指：

为满足式(6)第一式中反正弦函数的定义域[-1,1]，无量纲系绳长度变化率须满足

$\frac{\mathrm{\ξ}(4esinv-3)}{4\mathrm{\κ}}\≤\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}\≤\frac{\mathrm{\ξ}(4esinv+3)}{4\mathrm{\κ}}---\left(7\right)$

期望保持恒定，由式(6)第一式可推导出系绳长度变化控制律

将上式代入到系统动力学方程(4)的第三式，计算出实时的无量纲控制张力u，并通过u实现此系绳长度变化控制律。

5.根据权利要求2所述的基于非线性空间绳系系统的欠驱动释放控制方法，其特征在于，步骤四具体指：联立式(7)和(8)可得：

同时，若要求系绳保持释放，即则由式(8)可得出

联立式(9)和(10)能够得到在释放过程期望平衡位置中面内俯仰角的取值范围

得到基于释放控制律(8)，存在一个平衡点能使系绳沿期望倾角释放。