CN115639837A - 一种在轨非典型平面内两体绳系系统运动形式的辨识方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种在轨非典型平面内两体绳系系统运动形式的辨识方法，首先，在局部轨道坐标系下构建能描述任意非典型平面内绳系系统动力学行为的桌球模型；其次，基于欧拉定理将动力学系统转换到二维运动平面坐标系内；最后，根据运动稳定性理论及系统运动特征辨识其运动形式。本发明对于任意平面内、任意初始面内俯仰角、任意初始角速度的系统，都能够对系统的运动形式进行辨识。

Description

一种在轨非典型平面内两体绳系系统运动形式的辨识方法

技术领域

本发明属于航天器飞行技术领域，具体涉及一种在轨非典型平面内两体绳系系统运动形式的辨识方法。

背景技术

在轨绳系系统具有可靠性高、成本低、可重复使用等特点，其在对地侦察、三维成像、空间碎片清理等方面都有着巨大的应用前景，越来越多的科技人员已对其产生了浓厚兴趣。例如，Kojima等研究了椭圆轨道下电动力绳系统的混沌天平动，同时指出除非施加正交于轨道平面的面外控制，否则必然会发生面内外耦合运动。Nakanishi等对轨道平面内绳系系统俯仰运动的分岔行为进行分析，发现随着轨道偏心率增大，将会出现一条通向混沌的路径。对于旋转面法向指向地球(即旋转面与轨道平面垂直)的开/闭轴-辐型绳系编队系统，Avanzini等数值讨论了系绳质量、阻尼及刚度对系统运动稳定性的影响。Zukovic等探讨了参数激励下轨道面内线形绳系编队的非线性特性，通过一个参数域全局展示了有界运动、翻滚及单调自旋等运动形式。针对一个面内绳系返回舱任务，Aslanov推导出了一套绳系释放控制律，其系绳需求长度明显少于在轨的YES2任务。基于反馈线性化方法，Paul等设计了对绳系系统面内外耦合振荡进行抑制的非线性控制器，但其指出此方法仅对面内振荡有效。Lim等分析了轨道面内空间系绳捕获轨道碎片后的回收动力学，对碎片的轨道半径、抓捕速度、回收速度皆进行了数值评估。Qi等深入考虑面内系绳的强耦合及非线性特性，讨论了绳系拖曳系统的稳定性，并搭建了一套地面实验平台对数值结果进行验证。

既有的学术成果表明，在轨绳系系统的动力学研究多局限于轨道平面或垂直于轨道平面的典型平面内，而对于除此以外的非典型平面内的系统运动研究不足，目前尚没有对任意平面内系统运动形式讨论的有效方法。

发明内容

发明目的：本发明给出一种在轨非典型平面内两体绳系系统运动形式的辨识方法，对于任意平面内、任意初始面内俯仰角、任意初始角速度的系统，该方法都能够对系统的运动形式进行辨识。

技术方案：本发明提供了一种在轨非典型平面内两体绳系系统运动形式的辨识方法，具体包括以下步骤：

(1)在局部轨道坐标系下构建能描述任意非典型平面内绳系系统动力学行为的桌球模型；

(2)基于欧拉定理将动力学系统转换到二维运动平面坐标系内；

(3)根据运动稳定性理论及系统运动特征辨识其运动形式。

进一步地，所述步骤(1)实现过程如下：

构建一个绕地球飞行的面内绳系系统，系统由母星M、子星S及一根弹性系绳组成，并运行于平面Π内，其面外运动被正交于平面Π作用于子星的控制力所抑制；轨道平面Λ和运动平面Π的法向量n_o和n_m可以既不满足n_o||n_m也不满足n_o⊥n_m；面内俯仰角θ被定义于运动平面Π内；将母星和子星皆视为质点，质量分别用m_M和m_S表示，且m_S＜＜m_M；假设母星始终飞行于圆周开普勒轨道上，由无质量系绳拉伸及冲击产生的能量耗散忽略不计；

构造一个局部轨道坐标系o-x^oy^oz^o，该坐标系原点固定于母星o，并以轨道角速度Ω_o绕地心转动；x^o轴和z^o轴皆位于轨道平面Λ内，由原点o分别指向母星的运动方向和地球质心；y^o轴可由右手定则确定，法向量n_o重合于y^o轴；定义两个旋转角，其中旋转角ψ表示自n_o到n_m的角度，而另一个旋转角

表示自z^o轴到法向量n_m在平面Λ上投影的角度，两个旋转角可以唯一确定法向量n_m；

对子星S应用牛顿第二定律，其在局部轨道坐标系o-x^oy^oz^o下的动力学方程为：

式中，“··”表示对时间t的二次导数，

表示子星的位置矢量；指向地球质心的重力为：

式中，μ_E表示地球重力参数，

表示局部轨道坐标系下地球质心的位置矢量，R_E和H_M分别表示地球平均半径和母星的轨道高度；由系绳拉伸变形而产生的拉力为：

式中，E_t和A_t分别表示系绳的杨氏模量和横截面积，L_u表示系绳的无应力长度；当系绳松弛时，即

时，系绳拉力等于0；由局部轨道坐标系o-x^oy^oz^o绕地旋转而产生的牵连惯性力为：

式中，

为轨道角速度；由于子星所在的局部轨道坐标系绕地旋转，故存在科氏力：

式中，

表示子星的相对速度；面外控制力

满足：

式中，

表示重力垂直于平面Π的分量。

进一步地，所述步骤(2)实现过程如下：

构建一个变换坐标系o-x^ty^tz^t，x^t轴和z^t轴位于运动平面Π内且相互正交，y^t轴满足右手定则，当旋转角满足ψ＝0和

时，x^t轴、y^t轴、z^t轴重合于x^o轴、y^o轴、z^o轴；基于欧拉定理，推导出子星位置矢量在两个不同坐标系间的变换关系：

有限转动张量与旋转角ψ和

有关，为：

式中，

为子星S在变换坐标系o-x^ty^tz^t下的位置矢量；变换以后，子星位置矢量的第二个分量

恒等于0；因此，选择

及它们的导数定义一个矢量变量：

随后，构造一个Poincaré映射P，其满足：

P(χ^(w))＝χ^(w+1)∈Γ (10)

式中，Γ＝{(χ₁,χ₂,χ₃,χ₄)|χ₃＝χ_3,p,χ₁<0}表示Poincaré截面，χ_3,p是一个选定的常数，χ^(w)表示在Poincaré截面上的第w个Poincaré点。

进一步地，所述步骤(3)实现过程如下：

为了评估稳定性，Poincaré映射被线性化：

χ^(w+1)-χ_p＝DP(χ_p)(χ^(w)-χ_p) (11)

式中，χ_p表示在Poincaré截面上的不动点，即

DP(χ_p)则表示Poincaré映射P在点χ_p处的雅克比矩阵；计算出该雅克比矩阵的特征根λ_r(r＝1,2,3,4)，便得到以下系统面内运动稳定性判据：

根据子星的运动轨迹，若子星轨迹闭合，则系统为自旋运动；而若子星轨迹不闭合，则系统呈现类摆运动。

进一步地，所述

也可为拉力、牵连惯性力或科氏力垂直于平面Π的分量。

有益效果：与现有技术相比，本发明的有益效果：本发明对于任意平面内、任意初始面内俯仰角、任意初始角速度的系统，都能够对系统的运动形式进行辨识。

附图说明

图1为两体绳系系统的桌球模型示意图；

图2为自旋运动形式下局部轨道坐标系下的系统运动；

图3为自旋运动形式下变换坐标系下的子星运动轨迹；

图4为不规则运动形式下局部轨道坐标系下的系统运动

图5为不规则运动形式下变换坐标系下的子星运动轨迹；

图6为单摆运动形式下局部轨道坐标系下的系统运动；

图7为单摆运动形式下变换坐标系下的子星运动轨迹。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步详细说明。

本发明提供了一种在轨非典型平面内两体绳系系统运动形式的辨识方法，首先，在局部轨道坐标系下构建可以描述任意非典型平面内绳系系统动力学行为的桌球模型，再基于欧拉定理将动力学系统转换到二维运动平面坐标系内，然后，根据运动稳定性理论及系统运动特征辨识其运动形式，而不再是利用地面等效实验观察系统运动形式。具体实现过程如下：

如图1所示，研究一个绕地球飞行的面内绳系系统。该系统由母星M、子星S及一根弹性系绳组成，并运行于平面Π内，其面外运动被正交于平面Π作用于子星的控制力所抑制。需强调的是，轨道平面Λ和运动平面Π的法向量n_o和n_m可以既不满足n_o||n_m也不满足n_o⊥n_m。此外，面内俯仰角θ被定义于运动平面Π内。将母星和子星皆视为质点，它们质量分别用m_M和m_S表示，且m_S＜＜m_M，因此，可以假设母星始终飞行于圆周开普勒轨道上。同时，由无质量系绳拉伸及冲击产生的能量耗散忽略不计。

为了更加清晰地对系统运动行为进行描述，构造一个局部轨道坐标系o-x^oy^oz^o，如图1所示。该坐标系原点固定于母星o，并以轨道角速度Ω_o绕地心转动；x^o轴和z^o轴皆位于轨道平面Λ内，它们由原点o分别指向母星的运动方向和地球质心；y^o轴可由右手定则确定。注意到，此处法向量n_o重合于y^o轴。同时，定义两个旋转角，其中旋转角ψ表示自n_o到n_m的角度，而另一个旋转角

表示自z^o轴到法向量n_m在平面Λ上投影的角度。显然，由这两个旋转角可以唯一确定法向量n_m。

对子星S应用牛顿第二定律，其在局部轨道坐标系o-x^oy^oz^o下的动力学方程可写为：

式中，“··”表示对时间t的二次导数，

表示子星的位置矢量。指向地球质心的重力可写为：

式中，μ_E表示地球重力参数，

表示局部轨道坐标系下地球质心的位置矢量，这里，R_E和H_M分别表示地球平均半径和母星的轨道高度。由系绳拉伸变形而产生的拉力表示为：

式中，E_t和A_t分别表示系绳的杨氏模量和横截面积，L_u表示系绳的无应力长度。显然，当系绳松弛时，即

时，系绳拉力等于0。此外，由局部轨道坐标系o-x^oy^oz^o绕地旋转而产生的牵连惯性力表示为：

式中，

为轨道角速度。由于子星所在的局部轨道坐标系绕地旋转，故存在科氏力：

其中，

表示子星的相对速度。面外控制力

满足：

这里，

表示重力(拉力、牵连惯性力或科氏力)垂直于平面Π的分量。

以上构建的桌球模型可以用于讨论飞行于非典型平面内绳系系统的运动形式。

近一步讨论此在轨绳系系统的运动稳定性。为了便于分析，构建一个变换坐标系o-x^ty^tz^t，如图1所示。这里，x^t轴和z^t轴位于运动平面Π内且相互正交，y^t轴满足右手定则。易见，当旋转角满足ψ＝0和

时，x^t轴、y^t轴、z^t轴重合于x^o轴、y^o轴、z^o轴。

基于欧拉定理讨论坐标系变换问题，可推导出子星位置矢量在两个不同坐标系间的变换关系：

这里，有限转动张量与旋转角ψ和

有关，写为：

式中，

为子星S在变换坐标系o-x^ty^tz^t下的位置矢量。可以看到，变换以后，子星位置矢量的第二个分量

恒等于0。因此，选择

及它们的导数定义一个矢量变量：

随后，构造一个Poincaré映射P，其满足：

P(χ^(w))＝χ^(w+1)∈Γ (10)

这里，Γ＝{(χ₁,χ₂,χ₃,χ₄)|χ₃＝χ_3,p,χ₁<0}表示Poincaré截面，χ_3,p是一个选定的常数，χ^(w)表示在Poincaré截面上的第w个Poincaré点。

为了评估稳定性，此Poincaré映射被线性化：

χ^(w+1)-χ_p＝DP(χ_p)(χ^(w)-χ_p) (11)

式中，χ_p表示在Poincaré截面上的不动点，即

DP(χ_p)则表示Poincaré映射P在点χ_p处的雅克比矩阵。只需计算出该雅克比矩阵的特征根λ_r(r＝1,2,3,4)，便可得到以下系统面内运动稳定性判据：

根据子星的运动轨迹，可以进一步做出以下辨识：若子星轨迹闭合，则系统为自旋运动；而若子星轨迹不闭合，则系统呈现类摆运动。

本实施方式中，假设母星M在距地H_M＝500km的圆周开普勒轨道上运行，同时设子星质量为m_S＝0.1×10³kg，空间系绳的杨氏模量和横截面积分别为E_t＝200Gpa和A_t＝1×10^-6m²。两星之间无应力的系绳长度为L_u＝5km。初始时刻，星体外部的系绳既不松弛也不紧绷。现取旋转角ψ＝π/6和

初始面内俯仰角θ₀＝π/8及初始角速度比为ω₀/Ω_o＝2.0进行运动形式分析。可先求出系统四个特征根分别为

显然有|λ_r|_max≤1，因此，需要进一步讨论系统的数值结果。系统对应的运动形式如图2、图3所示，可以看出，在图2中系绳始终处于紧绷状态，而在图3中子星轨迹是闭轨。这说明此参数作用下系统的运动形式为自旋运动。

同样取旋转角ψ＝π/6和

初始面内俯仰角θ₀＝π/8，而仅将初始角速度比改为ω₀/Ω_o＝-2.0。可求出系统的四个特征根为

显然有|λ_rv_max>1。系统对应的运动形式如图4、图5所示，这是一个不规则运动。不难看出，数值结果与理论辨识结果一致。

再取旋转角ψ＝π/6和

初始面内俯仰角θ₀＝π/8，而将初始角速度比再改为ω₀/Ω_o＝1.0。可求出系统的四个特征根为

显然有|λ_rv_max<1，系统运动形式如图6、图7所示。在图6中系绳紧绷，且在图7中子星轨迹是不闭合。这表明此参数下，系统的运动形式为类摆运动。

Claims (5)

1.一种在轨非典型平面内两体绳系系统运动形式的辨识方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)在局部轨道坐标系下构建能描述任意非典型平面内绳系系统动力学行为的桌球模型；

(2)基于欧拉定理将动力学系统转换到二维运动平面坐标系内；

(3)根据运动稳定性理论及系统运动特征辨识其运动形式。

2.根据权利要求1所述的一种在轨非典型平面内两体绳系系统运动形式的辨识方法，其特征在于，所述步骤(1)实现过程如下：

构建一个绕地球飞行的面内绳系系统，系统由母星M、子星S及一根弹性系绳组成，并运行于平面Π内，其面外运动被正交于平面Π作用于子星的控制力所抑制；轨道平面Λ和运动平面Π的法向量n_o和n_m可以既不满足n_o||n_m也不满足n_o⊥n_m；面内俯仰角θ被定义于运动平面Π内；将母星和子星皆视为质点，质量分别用m_M和m_S表示，且m_S＜＜m_M；假设母星始终飞行于圆周开普勒轨道上，由无质量系绳拉伸及冲击产生的能量耗散忽略不计；

构造一个局部轨道坐标系o-x^oy^oz^o，该坐标系原点固定于母星o，并以轨道角速度Ω_o绕地心转动；x^o轴和z^o轴皆位于轨道平面Λ内，由原点o分别指向母星的运动方向和地球质心；y^o轴可由右手定则确定，法向量n_o重合于y^o轴；定义两个旋转角，其中旋转角ψ表示自n_o到n_m的角度，而另一个旋转角

表示自z^o轴到法向量n_m在平面Λ上投影的角度，两个旋转角可以唯一确定法向量n_m；

对子星S应用牛顿第二定律，其在局部轨道坐标系o-x^oy^oz^o下的动力学方程为：

式中，

表示对时间t的二次导数，

表示子星的位置矢量；指向地球质心的重力为：

式中，μ_E表示地球重力参数，

表示局部轨道坐标系下地球质心的位置矢量，R_E和H_M分别表示地球平均半径和母星的轨道高度；由系绳拉伸变形而产生的拉力为：

式中，E_t和A_t分别表示系绳的杨氏模量和横截面积，L_u表示系绳的无应力长度；当系绳松弛时，即

时，系绳拉力等于0；由局部轨道坐标系o-x^oy^oz^o绕地旋转而产生的牵连惯性力为：

式中，

为轨道角速度；由于子星所在的局部轨道坐标系绕地旋转，故存在科氏力：

式中，

表示子星的相对速度；面外控制力

满足：

式中，

表示重力垂直于平面Π的分量。

3.根据权利要求1所述的一种在轨非典型平面内两体绳系系统运动形式的辨识方法，其特征在于，所述步骤(2)实现过程如下：

构建一个变换坐标系o-x^ty^tz^t，x^t轴和z^t轴位于运动平面Π内且相互正交，y^t轴满足右手定则，当旋转角满足ψ＝0和

时，x^t轴、y^t轴、z^t轴重合于x^o轴、y^o轴、z^o轴；基于欧拉定理，推导出子星位置矢量在两个不同坐标系间的变换关系：

有限转动张量与旋转角ψ和

有关，为：

式中，

为子星S在变换坐标系o-x^ty^tz^t下的位置矢量；变换以后，子星位置矢量的第二个分量

恒等于0；因此，选择

及它们的导数定义一个矢量变量：

随后，构造一个Poincaré映射P，其满足：

P(χ^(w))＝χ^(w+1)∈Γ (10)

式中，Γ＝{(χ₁,χ₂,χ₃,χ₄)|χ₃＝χ_3,p,χ₁<0}表示Poincaré截面，χ_3,p是一个选定的常数，χ^(w)表示在Poincaré截面上的第w个Poincaré点。

4.根据权利要求1所述的一种在轨非典型平面内两体绳系系统运动形式的辨识方法，其特征在于，所述步骤(3)实现过程如下：

为了评估稳定性，Poincaré映射被线性化：

χ^(w+1)-χ_p＝DP(χ_p)(χ^(w)-χ_p) (11)

式中，χ_p表示在Poincaré截面上的不动点，即

DP(χ_p)则表示Poincaré映射P在点χ_p处的雅克比矩阵；计算出该雅克比矩阵的特征根λ_r(r＝1,2,3,4)，便得到以下系统面内运动稳定性判据：

根据子星的运动轨迹，若子星轨迹闭合，则系统为自旋运动；而若子星轨迹不闭合，则系统呈现类摆运动。

5.根据权利要求2所述的一种在轨非典型平面内两体绳系系统运动形式的辨识方法，其特征在于，所述

也可为拉力、牵连惯性力或科氏力垂直于平面Π的分量。

Images