CN110007681A - 一种利用连续推进器实现绳系编队自旋稳定展开优化方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开的一种利用连续推进器实现绳系编队自旋稳定展开优化方法，属于航天器制导与控制领域。本发明实现方法为：定义不同的参考坐标系来描述绳系编队系统运动，利用拉格朗日方程来建立自旋稳定绳系编队系统的动力学模型；在实时域中描述有限时域最优控制问题，然后基于时域映射将其转化为Mayer形式，对自旋稳定绳系编队系统的动力学模型给定控制输入和状态变量约束，构建自旋稳定绳系编队系统最优展开模型；利用Legendre‑Gauss离散化方法，将绳系编队系统自旋稳定展开的最终状态和控制输入离散在一系列离散点上，通过高斯伪谱法对绳系编队系统地自旋稳定展开动力学过程进行数值求解，能够减少需要输入的参数，提高计算精度。
Description
技术领域
本发明涉及一种利用连续推进器实现绳系编队自旋稳定展开优化方 法，尤其涉及一种寻找开环最优轨迹，将子星从初始位置引导到最终旋转 状态方法，属于航天器制导与控制领域。
背景技术
绳系卫星系统是指由绳系连接两颗或多颗卫星而组成的航天器系 统，绳系卫星在大气探测、空间环境探测、空间碎片清除等领域有着 广阔的应用前景，可以将其作为人类探索宇宙空间、获取宇宙中的资 源、拓宽人类生存空间的新结构。例如利用系绳将空间探测平台从主 星上释放到地球大气层，实现对近地大气的探测。通过绳系卫星系统 在高速运行时绳系切割地磁力线，产生电流并在地磁场作用下提升或 降低系统轨道且不消耗燃料。
近年来，利用自旋稳定绳系编队构建大型柔性空间系统的概念引 起了人们极大的关注。自旋稳定的绳系编队可以通过自旋产生的离心 力保持其构型，这样相比传统空间系统可以用更少的燃料消耗来控制 空间系统。此外通过调节连接绳索的长度，编队还能够提供长而可变 的基线，从而可以进行高质量的空间观测。但绳系编队系统自旋稳定展 开过程中存在动力学耦合及约束控制非线性问题。
对于仅考虑拉伸情况的绳系卫星系统选用拉格朗日法建模。如果 绳系编队包括三个或更多个星体，编队操作会由于实际挑战变得困难， 其中一个挑战是将编队从初始状态展开到最终期望的结构。由于科里 奥利加速度和重力梯度，子星受到平面内和平面外的振动，导致绳系 松弛甚至相邻构件之间的碰撞。总的来说，这些挑战主要来自编队动 力学的复杂性；虽然许多研究人员已经研究了绳系编队的控制问题， 但较少考虑具有中心体的自旋稳定绳系编队，这使得编队展开更加复 杂。
发明内容
针对绳系编队系统自旋稳定展开过程中的动力学耦合及约束控制非线 性问题，求解具体非线性方程存在需要输入的参数较多、计算精度差的 缺点，本发明公开的一种利用连续推进器实现绳系编队自旋稳定展开优化 方法要解决的技术问题是：利用Legendre-Gauss离散化方法，将绳系编队 系统自旋稳定展开的最终状态和控制输入离散在一系列离散点上，通过高 斯伪谱法对绳系编队系统地自旋稳定展开动力学过程进行数值求解，进而能够减少需要输入的参数，提高计算精度。利用所述的数值求解能够为 绳系编队系统提供高精度控制方案，进而提高绳系编队系统自旋稳定展开 控制精度。
本发明的目的通过以下技术方案实现。
本发明公开的一种利用连续推进器实现绳系编队自旋稳定展开优化方 法，定义不同的参考坐标系来描述绳系编队系统运动，利用拉格朗日方程 来建立自旋稳定绳系编队系统的动力学模型。在实时域中描述有限时域最 优控制问题，然后基于时域映射将其转化为Mayer形式，对自旋稳定绳系 编队系统的动力学模型给定控制输入和状态变量约束，构建自旋稳定绳系 编队系统最优展开模型。利用Legendre-Gauss离散化方法，将绳系编队系 统自旋稳定展开的最终状态和控制输入离散在一系列离散点上，通过高斯 伪谱法对绳系编队系统地自旋稳定展开动力学过程进行数值求解，进而能 够减少需要输入的参数，提高计算精度。
本发明公开的一种利用连续推进器实现绳系编队自旋稳定展开优化方 法，包括如下步骤：
步骤一：定义不同的参考坐标系来描述绳系编队系统运动，利用拉格 朗日方程来建立自旋稳定绳系编队系统的动力学模型；
步骤1.1：定义地球惯性坐标系ECI、局部垂直局部水平LVLH坐标 系和本体固连坐标系；
以OXYZ表示的地球惯性坐标系ECI是非旋转坐标系；其x轴和y轴 位于赤道平面，x轴与春分点重合，z轴穿过地球北极，y轴由右手定则 确定。以Oxyozoo表示的局部垂直局部水平LVLH坐标系与主星相连，其zo轴是沿着从航天器到地球质心的半径矢量，xo轴是沿着轨道速度的矢量yo轴由右手定则确定。表示为Oxbybzb的本体固连坐标系用来定义动力学变量，它的原点固定在主星的质心，xb轴称为局部径向，源于原点到系绳连 接点，yb轴与系统的旋转轴对齐，zb轴由右手定则确定。
步骤1.2：计算绳系编队系统的总动能；
当编队沿着旋转轴对称时，在局部垂直局部水平坐标系内，得：
其中：ρi＝[ρx ρy ρz]T表示第i子星相对于局部垂直局部水平坐标系的 位置矢量，还表示为：
其中：r是主星的半径，θi是主星的自旋角。αi是从连接绳系测量到 局部径向的振动角度，li表示连接绳系的长度。此外，vi表示为地球惯性 坐标系内的子星速度，由公式(3)计算：
vi＝v0+vci (3)
其中：vo表示地球惯性坐标系内系统质心的速度，vci表示子星相对 于地球惯性坐标系中主星的速度。由于编队应处于圆形轨道，地球惯性坐 标系内系统质心的速度vo由公式(4)计算：
v0＝Ω×R (4)
其中Ω＝[0,-Ω,0]T是轨道速度矢量，R是编队中心的轨道位置矢量。另 外，vci由公式(5)计算：
将式(2)代入式(5)可得：
最后，通过公式(7)获得绳系编队系统的总动能：
其中：
Tci＝mi(vo+vci)·(vo+vci) (9)
其中：Jc表示主星相对于旋转轴的惯性动量，mc和mi分别代表主 星和子星的质量。式(7)右边的第二项可以扩展为：
由式(1)得：
将式(3)，式(4)和式(11)代入式(10)然后得到：
步骤1.3：计算绳系编队系统的总势能；
忽略地球扁率扰动，将绳系编队系统的重力势能公式化为：
其中：μe是恒定的引力系数，接下来将(Rc+ρi)-1项扩展为泰勒级数并 忽略高阶项：
其中ρi＝||ρi||。将式(14)代入式(13)最终得到：
步骤1.4：利用拉格朗日方程建立自旋稳定绳系编队系统的动力学模 型，并将所述自旋稳定绳系编队系统的动力学模型用状态空间形式表示。
拉格朗日方程根据动能和势能条件描述编队的运动：
其中：qj是广义坐标，Qj表示作用于系统上的广义力。通过选择之前 定义的自变量作为广义坐标，并将动能和势能项代入式(16)，获得如公式 (17)至(19)所示的自旋稳定绳系编队系统的动力学模型：
其中：f＝[uθ,uαi,uli]T表示主动控制输入向量，而f＝[udθ,udαi,udli]T表示与重力梯度和离心力相关的扰动，每个扰动分量表示为：
现有技术中主星通常被认为是质点，进而限制主星和绳系之间动态耦 合的动力学问题处理。由于动力学和扰动的复杂性，很难为编队的展开设 计解析的控制方案。因此，通常只能获得编队动力学的近似值。当主星在 完全主动控制下不断旋转时，对绳系编队系统解耦，实现对每个子星的动 力学解耦分析。因此，对于每个子星，通过公式(23)、(24)分别独立地 描述俯仰角和绳系长度的运动：
其中：是主星的恒定旋转速率。式(23)描述绳系编队系统平 面内振动，式(24)表明绳系的长度变化。由于每颗子星的动力学形式相 同，不失一般性，任何符号的下标i都被忽略。在展开过程中，编队的旋 转速率总是大于轨道角速度；因此，式(20)到式(22)中的扰动项能够 忽略不计。最后，定义状态向量自旋稳定绳系编队系统的动力 学模型用状态空间公式表示为：
其中：u＝[fα,fl]T表示控制输入，f(x,u)表示的向量函数为：
步骤二：在实时域中描述有限时域最优控制问题，然后基于时域映射 将其转化为Mayer形式；对步骤一建立的自旋稳定绳系编队系统的动力学 模型，给定控制输入和状态变量约束，构建自旋稳定绳系编队系统最优展 开模型。
步骤2.1：在实时域中描述有限时域最优控制问题；
在实时域中自旋稳定绳系编队系统表示为：
其中：t∈[t0,tf]，x(t)是系统状态，u(t)是控制输入。将成本函数定义 为：
有限时域最优控制问题是确定状态控制对在式(28)中的成本函数最 小化，且服从式(27)中的动力学和给定约束。
x(t0)＝x0x(tf)＝xf (29)
Ψ(x)≥0t∈[to,tf] (30)
Θ(u)≥0t∈[t0,tf] (31)
其中：式(29)是边界条件，式(30)和式(31)是状态和控制输入 的路径约束。
求解受约束的最优控制问题，其中成本函数以伴随变量的形式出现。 最优控制问题在实际中视为两点边界问题，增广哈密顿量通常根据系统状 态，控制输入和伴随变量来定义。哈密顿量的消失梯度为庞特里亚金优化 提供必要条件，最终能够根据必要条件得到最优解。
步骤2.2：对步骤2.1描述的有限时域最优控制问题，基于时域映射将 其转化为Mayer形式。
在高斯伪谱法的框架下，利用拉格朗日多项式在Legendre Gauss点近 似求解最优控制问题的状态变量和控制变量。然后通过微分矩阵在 Legendre Gauss点计算状态变量的状态导数，同时，并将连续约束转化为 离散的代数约束。由于Legendre Gauss点在[-1,1]的范围内，所以最优控制 问题的原型通过将实时区间映射到[-1,1]域来重新形成Mayer型。对于实时 区间t∈[t0,tf]，通过以下变换实现域映射：
根据式(32)，可推导：
以及：
在时域映射之后，计算状态的一阶导数：
通过式(34)和式(35)，动力学改写为：
然后Mayer形式的最优控制问题可以表示为如下：在[-1,1]域内找到状 态控制对，使成本函数最小化。
服从式(36)和边界条件的动态约束：
x(τ＝-1)＝x0x(τ＝-1)＝xf (38)
路径约束：
Ψ(x(τ))≥0τ∈[-1,1] (39)
Θ(u(τ))≥0τ∈[-1,1] (40)
步骤2.3：根据步骤2.1描述的有限时域最优控制问题和步骤2.2基于 时域映射将其转化为Mayer形式；对步骤一建立的自旋稳定绳系编队系统 的动力学模型，给定控制输入和状态变量约束，构建自旋稳定绳系编队系 统最优展开模型。
初始展开条件包括初始振动角度和速率及绳系长度和速率：
绳系编队系统成功展开后，预计达到最终状态：
其中：αf和lf表示最终的振动角度和绳系长度。在展开期间，绳系张 力应限制为：
其中：和分别表示下边界和上边界。表示确保 连接绳系安全的最大允许振幅，而代表确保绳系刚度的最小允许 振幅。
利用连续推进器产生供编队展开的控制力。由于绳系仅提供阻力，所 以配备纵向推力器产生正向力。因此纵向控制力能够扩展到从负到正的范 围，沿着绳系的总纵向控制力表示为：
fl＝ftether+fthruster1 (44)
由于推进器的振幅限制，纵向推进器产生的力受到如下约束：
其中：表示纵向推进器提供的最大推力。对于切向推力器，连续 控制力的界限如下：
为了实现实时监视，使用摄像机检查子星的运动。在展开期间，子星 必须位于摄像机的视场FOV内。因此，振动角度的等效约束满足：
-αmax≤α≤αmax (47)
其中：αmax是由监视摄像机FOV范围确定的振动角边界。
最后，用于最小化功耗的成本函数表述为：
公式(48)服从下述约束及边界条件：式(27)的动力学约束，式(41) 和式(42)的边界条件，式(43)、式(45)和式(46)的输入约束，式(47) 的路径约束。
所述用于最小化功耗的成本函数即为构建的自旋稳定绳系编队系统最 优展开模型。
步骤三：利用Legendre-Gauss离散化方法，将绳系编队系统自旋稳定 展开的最终状态和控制输入离散在一系列离散点上，通过高斯伪谱法对绳 系编队系统地自旋稳定展开动力学过程进行数值求解，进而能够减少需要 输入的参数，提高计算精度。利用所述的数值求解能够为绳系编队系统 提供解析的、高精度控制方案，进而提高绳系编队系统自旋稳定展开控制 精度。
使用拉格朗日插值多项式，最终状态和控制输入在Legendre Gauss点 处近似产生N次多项式为：
其中：k是Legendre Gauss点的数量，并且是拉格朗日插值多项式。
如式(49)和式(50)所示，拉格朗日插值能够确保x(τi)＝X(τi)和 u(τi)＝U(τi)，其中非Legendre Gauss点的值仅近似等于真值。求式(49) 的微分为：
其中：微分矩阵Dki确定为：
其中k＝1,2,…,K和PK(τ)是K阶Legendre多项式，表示为：
将式(55)代入式(27)中，绳系编队系统动力学改写为：
即实现利用Legendre-Gauss离散化方法，将绳系编队系统自旋稳定展 开的最终状态和控制输入离散在一系列离散点上。
此外，通过高斯求积获得最终状态：
其中：ωk和DKi仅由Legendre Gauss点的数量决定，并且在数值传 播的下一步之前离线计算。最后，基于高斯伪谱法，原型最优控制问题转 化为非线性规划问题，形式如下：
即通过公式(57)、(58)实现高斯伪谱法对绳系编队系统地自旋稳定 展开动力学过程进行数值求解，进而能够减少需要输入的参数，提高计 算精度。利用所述的数值求解能够为绳系编队系统提供高精度控制方案， 进而提高绳系编队系统自旋稳定展开控制精度。
有益效果：
1、本发明公开的一种利用连续推进器实现绳系编队自旋稳定展开优化 方法，在圆形轨道中将主星自旋考虑在内，给出考虑主星旋转的复杂绳 系编队系统自旋展开的动力学模型，提高主星旋转的复杂绳系编队系 统的建模精度。
2、本发明公开的一种利用连续推进器实现绳系编队自旋稳定展开 优化方法，在时域中以一般形式描述有限时域最优控制问题，然后基 于时域映射将其转化为Mayer形式，再利用编队动力学以及控制输入 和状态变量的操作约束来构造最优展开问题，实现了利用连续推进器产 生供编队展开的控制力，同时使纵向控制力能够扩展到从负到正的范围。
3、本发明公开的一种利用连续推进器实现绳系编队自旋稳定展开 优化方法，利用Legendre-Gauss离散化方法，将绳系编队系统自旋稳定展 开的最终状态和控制输入离散在一系列离散点上，通过高斯伪谱法对绳系 编队系统地自旋稳定展开动力学过程进行数值求解，进而能够减少需要输 入的参数，提高计算精度。利用所述的数值求解能够为绳系编队系统提 供高精度控制方案，进而提高绳系编队系统自旋稳定展开控制精度。
附图说明：
图1是本发明的一种利用连续推进器实现绳系编队自旋稳定展开优化 方法流程图；
图2为本发明绳系卫星编队示意图；
图3为本发明步骤二展开约束示意图；
图4为本发明实施例A振动角度和角速度示意图；
图5为本发明实施例A绳系长度和展开速率示意图；
图6为本发明实施例A在局部垂直局部水平坐标系与本体固连坐标系 子星的展开路径示意图；
图7为本发明实施例A最优控制输入示意图；
图8为本发明实施例B振动角度和角速度示意图；
图9为本发明实施例B绳系长度和展开速率示意图；
图10为本发明实施例B在局部垂直局部水平坐标系与本体固连坐标 系子星的展开路径示意图；
图11为本发明实施例B最优控制输入示意图；
图12为本发明实施例中具有不同旋转速率的状态组件的展开曲线图；
图13为本发明实施例中具有不同旋转速率的控制曲线图；
图14为本发明实施例中推力器成本函数和最大振幅对自旋速率的灵 敏度结果示意图；
图15为本发明实施例中具有不同展开时间的状态组件的展开曲线图；
图16为本发明实施例中具有不同展开时间的控制曲线图；
图17为本发明实施例中推进器成本函数和最大幅值对展开时间的灵 敏度结果示意图。
具体实施方式
为了更好地说明本发明的目的和优点，下面结合附图对本发明的具体 实施方式作进一步详细的说明。
实施例A与例B：
为验证本实施例公开的一种利用连续推进器实现绳系编队自旋稳定展 开优化方法可行性，首先构造绳系卫星数值模型。系统基本参数如表1所 示。为了便于比较，在仿真中考虑了两种典型的展开情况。第一种涉 及切向和纵向推进器，而第二种只涉及切线推进器。为了避免由不等 式约束引起的收敛问题，本实施例算法迭代地确定区间的数量/宽度和 每个区间的多项式次数；因此，节点的数量和多项式的次数持续更新，直 到满足指定的公差为止，并且伪线性化传播被设计为当且仅当所有 Legendre Gauss点满足|u(k+1)-u(k)|≤10-3时终止。两种情况的参数如表2 所示。
表1系统参数
表2实施例参数
如图1所示，本实施例公开的一种利用连续推进器实现绳系编队自旋 稳定展开优化方法，包括如下步骤：
步骤一：定义不同的参考坐标系来描述绳系编队系统运动，利用拉格 朗日方程来建立自旋稳定绳系编队系统的动力学模型；
定义状态向量自旋稳定绳系编队系统的动力学模型用状态 空间公式表示为：
其中：u＝[fα,fl]T表示控制输入，f(x,u)表示的向量函数为：
其中：r是主星的半径，α是从连接绳系测量到局部径向的振动角度， l表示连接绳系的长度，Ω是轨道速度矢量，ω是主星的恒定旋转速率。
所以f(x,u)表示的向量函数为改写为：
步骤二：在实时域中描述有限时域最优控制问题，然后基于时域映射 将其转化为Mayer形式；对步骤一建立的自旋稳定绳系编队系统的动力学 模型，给定控制输入和状态变量约束，构建自旋稳定绳系编队系统最优展 开模型。
用于最小化功耗的成本函数表述为：
发明内容中公式(48)服从下述约束及边界条件：
-αmax≤α≤αmax (11)
其中：t∈[0,120]，x(t)是系统状态，u(t)是控制输入，αf和lf表示 最终的振动角度和绳系长度，和分别表示下边界和上边界， 表示纵向推进器提供的最大推力，实施例A为5N，实施例B为0， 表示切向推进器提供的最大推力，实施例A为5N，实施例B为10N， αmax＝π/3rad是由监视摄像机FOV范围确定的振动角边界。
步骤三：利用Legendre-Gauss离散化方法，将绳系编队系统自旋稳定 展开的最终状态和控制输入离散在一系列离散点上，通过高斯伪谱法对绳 系编队系统地自旋稳定展开动力学过程进行数值求解，进而能够减少需要 输入的参数，提高计算精度。利用所述的数值求解能够为绳系编队系统 提供解析的、高精度控制方案，进而提高绳系编队系统自旋稳定展开控制 精度。
使用拉格朗日插值多项式，最终状态和控制输入在Legendre Gauss点 处近似产生N次多项式为：
其中：k是Legendre Gauss点的数量，并且是拉格朗日插值多项式。
如式(12)和式(13)所示，拉格朗日插值能够确保x(τi)＝X(τi)和 u(τi)＝U(τi)，其中非Legendre Gauss点的值仅近似等于真值。求式(12) 的微分为：
其中：微分矩阵Dki确定为：
其中k＝1,2,…,K和PK(τ)是K阶Legendre多项式，表示为：
将式(18)代入式(5)中，绳系编队系统动力学改写为：
即实现利用Legendre-Gauss离散化方法，将绳系编队系统自旋稳定展 开的最终状态和控制输入离散在一系列离散点上。
其中：ωk和DKi仅由Legendre Gauss点的数量决定，并且在数值传 播的下一步之前离线计算。基于高斯伪谱法，原型最优控制问题转化为非 线性规划问题。
如图3所示，振动角从零开始平滑变化，几乎减小到-1rad，并且 始终保持负值，表明子星在旋转展开期间总是位于局部径向之后。另 外，由于摄像机监视的约束，振动角的幅度受到-π/3rad的边界限制， 并且在40s之后，振动角逐渐增加到零。振动角速率起始于初始阶段 的快速振荡。这种快速振荡与初始快速下降的振动角很好地吻合，但 在初始短期振荡之后，振动角速度缓慢变化并最终趋近于零。
如图4所示，在展开过程中绳系长度和展开速率平稳变化，绳系 展开速率始终保持为正，表明绳系长度总是在增加并最终达到500米 的长度，而绳系展开速率在t＝60s达到最大值并在最终结束时接近零。
图5表示了包括局部垂直局部水平坐标系和主体固连坐标系中的 子星轨迹。结果表明，在整个展开期间没有发生明显的轨道振动，这 意味着编队保持良好并且最终在轨道上实现稳定的构型。所述结果能 够支持子星相对于主星的相对运动分析。
图6绘出了控制输入曲线图，包括绳系张力的分量，切向和纵向 推力器的力。结果表明，在t＝20s之前所有的输入分量在相应的限制 范围内变化，切向推力器总是产生负向力，以较小的振荡来调节子星 的偏离角。在t＝60s之前，纵向推力器提供正向力使绳系沿径向展开， 但在t＝50s后，纵向推进器保持不活动状态直到展开完成。如图6所 示，绳系张力保持1N直到73s，然后在展开结束时逐渐增加到3.6N。
图7给出了振动角和角速率经历初始振荡，但是两个变量的振荡 范围大于实施例A的振动范围，这导致局部垂直局部水平和本体固连 坐标系中的子星轨道明显振荡，如图9所示。绳系长度和展开速率的 变化如图8所示。结果表明，绳系长度在整个展开过程中持续增加， 最终达到500m的长度。展开速率在t＝56s时达到其最大值，但与实 施例A结果相比，绳系展开速率在t＝20s之前会出现明显振荡。在局 部垂直局部水平和本体固连坐标系中都能够看到所述振荡。
图10中绘出了切向推力器的振幅始终保持为零，而纵向推进器的 振幅在[-5,8]N范围内变化。绳系拉力保持1N直到82s，然后逐渐增 加到最大值4N。其在展开结束时达到3.6N，同实施例A结果一致。 更重要的是，图10表明通过在展开阶段停用切向推进器进行展开，应 该增加主动推进器的最大振幅以确保解决方案可行，并且为了成功展 开还需要增加功耗。
最佳展开问题可以通过120s的展开时间解决，如图11所示，所 有状态变量在展开过程中都有相同的变化趋势。振动角变化平稳但总 是受FOV约束的限制，并且在所有情况下几乎同时发生初始振荡。但 值得注意的是，面内振动角速率的初始振荡的峰值以及系绳展开速率 的最大值显示出对旋转速率变化的典型灵敏度。结果表明，增加旋转 速率会降低振动角速率的峰值，同时增加最大绳系展开速率。
最优控制输入的结果如图12所示。对于所有情况，切向推力和绳 系张力都没有发生明显的振荡，但两个输入分量的最大振幅随着主星 自旋速率的增加而增大。通过分析底部曲线得到的推理结果具有较为 鲜明的特点:如果旋转速率为ω＝2π/80rad/s时，纵向推力始终保持为 1N；然而在较高的旋转速率下，超调将在展开开始时出现。该图还表 明较低的旋转速率将与纵向推力的较大峰值相关。
为了证明成本函数和最大推力振幅对旋转速度的敏感性，将旋转 周期从60s增加到160s，时间间隔为10s。不同旋转速率的结果如图 13所示，证明通过降低旋转速率，成本函数和切向推力(负)的最大 振幅均单调减小，但当自旋周期大于120s时，减少变得不明显。曲线 显示了最大纵向推力对旋转速率的敏感性，然而与切向推力的结果相 比，仅当自旋周期长于90s时才出现敏感度增加的现象，而当旋转周 期比90s短时，最大值几乎保持不变。
通过选择80s，100s和120s的展开时间，获得80s的旋转周期结 果，如图14所示。该图显示，随着每次展开时间的增加，各变量的所 有时间历程都以相同的趋势变化，并且振动角速率和绳系展开速率的 峰值都没有变化。如图15所示，切向推力和绳系张力即使在不同的展 开时间也具有相似的趋势，而对于纵向推力，在80s的展开时间发生 超调，但对于其他情况它几乎保持恒定。
成本函数和最大推力振幅对展开时间的敏感性也在一系列仿真中 进行分析，其中展开时间从50s增加到140s，时间间隔为10s。如图 16所示，所有结果都表明当展开时间增加时振幅减小。但是应该注意的 是，当展开时间超过90s时，所有结果的减少变得不明显。
综上所述，以上仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明 的保护范围。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、 改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
Claims (4)
1.一种利用连续推进器实现绳系编队自旋稳定展开优化方法，其特征在于：包括如下步骤，
步骤一：定义不同的参考坐标系来描述绳系编队系统运动，利用拉格朗日方程来建立自旋稳定绳系编队系统的动力学模型；
步骤二：在实时域中描述有限时域最优控制问题，然后基于时域映射将其转化为Mayer形式；对步骤一建立的自旋稳定绳系编队系统的动力学模型，给定控制输入和状态变量约束，构建自旋稳定绳系编队系统最优展开模型；
步骤三：利用Legendre-Gauss离散化方法，将绳系编队系统自旋稳定展开的最终状态和控制输入离散在一系列离散点上，通过高斯伪谱法对绳系编队系统地自旋稳定展开动力学过程进行数值求解，进而能够减少需要输入的参数，提高计算精度；利用所述的数值求解能够为绳系编队系统提供解析的、高精度控制方案，进而提高绳系编队系统自旋稳定展开控制精度。
2.如权利要求1所述的一种利用连续推进器实现绳系编队自旋稳定展开优化方法，其特征在于：步骤一具体实现方法为，
步骤1.1：定义地球惯性坐标系ECI、局部垂直局部水平LVLH坐标系和本体固连坐标系；
以OXYZ表示的地球惯性坐标系ECI是非旋转坐标系；其x轴和y轴位于赤道平面，x轴与春分点重合，z轴穿过地球北极，y轴由右手定则确定；以Oxoyozo表示的局部垂直局部水平LVLH坐标系与主星相连，其zo轴是沿着从航天器到地球质心的半径矢量，xo轴是沿着轨道速度的矢量yo轴由右手定则确定；表示为Oxbybzb的本体固连坐标系用来定义动力学变量，它的原点固定在主星的质心，xb轴称为局部径向，源于原点到系绳连接点，yb轴与系统的旋转轴对齐，zb轴由右手定则确定；
步骤1.2：计算绳系编队系统的总动能；
当编队沿着旋转轴对称时，在局部垂直局部水平坐标系内，得：
其中：ρi＝[ρx ρy ρz]T表示第i子星相对于局部垂直局部水平坐标系的位置矢量，还表示为：
其中：r是主星的半径，θi是主星的自旋角；αi是从连接绳系测量到局部径向的振动角度，li表示连接绳系的长度；此外，vi表示为地球惯性坐标系内的子星速度，由公式(3)计算：
vi＝v0+vci (3)
其中：vo表示地球惯性坐标系内系统质心的速度，vci表示子星相对于地球惯性坐标系中主星的速度；由于编队应处于圆形轨道，地球惯性坐标系内系统质心的速度vo由公式(4)计算：
v0＝Ω×R (4)
其中Ω＝[0,-Ω,0]T是轨道速度矢量，R是编队中心的轨道位置矢量；另外，vci由公式(5)计算：
将式(2)代入式(5)可得：
最后，通过公式(7)获得绳系编队系统的总动能：
其中：
Tci＝mi(vo+vci)·(vo+vci) (9)
其中：Jc表示主星相对于旋转轴的惯性动量，mc和mi分别代表主星和子星的质量；式(7)右边的第二项可以扩展为：
由式(1)得：
将式(3)，式(4)和式(11)代入式(10)然后得到：
步骤1.3：计算绳系编队系统的总势能；
忽略地球扁率扰动，将绳系编队系统的重力势能公式化为：
其中：μe是恒定的引力系数，接下来将(Rc+ρi)-1项扩展为泰勒级数并忽略高阶项：
其中ρi＝||ρi||；将式(14)代入式(13)最终得到：
步骤1.4：利用拉格朗日方程建立自旋稳定绳系编队系统的动力学模型，并将所述自旋稳定绳系编队系统的动力学模型用状态空间形式表示；
拉格朗日方程根据动能和势能条件描述编队的运动：
其中：qj是广义坐标，Qj表示作用于系统上的广义力；通过选择之前定义的自变量作为广义坐标，并将动能和势能项代入式(16)，获得如公式(17)至(19)所示的自旋稳定绳系编队系统的动力学模型：
其中：f＝[uθ,uαi,uli]T表示主动控制输入向量，而f＝[udθ,udαi,udli]T表示与重力梯度和离心力相关的扰动，每个扰动分量表示为：
当主星在完全主动控制下不断旋转时，对绳系编队系统解耦，实现对每个子星的动力学解耦分析；因此，对于每个子星，通过公式(23)、(24)分别独立地描述俯仰角和绳系长度的运动：
其中：是主星的恒定旋转速率；式(23)描述绳系编队系统平面内振动，式(24)表明绳系的长度变化；由于每颗子星的动力学形式相同，不失一般性，任何符号的下标i都被忽略；在展开过程中，编队的旋转速率总是大于轨道角速度；因此，式(20)到式(22)中的扰动项能够忽略不计；最后，定义状态向量自旋稳定绳系编队系统的动力学模型用状态空间公式表示为：
其中：u＝[fα,fl]T表示控制输入，f(x,u)表示的向量函数为：
3.如权利要求2所述的一种利用连续推进器实现绳系编队自旋稳定展开优化方法，其特征在于：步骤二具体实现方法为，
步骤2.1：在实时域中描述有限时域最优控制问题；
在实时域中自旋稳定绳系编队系统表示为：
其中：t∈[t0,tf]，x(t)是系统状态，u(t)是控制输入；将成本函数定义为：
有限时域最优控制问题是确定状态控制对在式(28)中的成本函数最小化，且服从式(27)中的动力学和给定约束；
x(t0)＝x0 x(tf)＝xf (29)
Ψ(x)≥0 t∈[to,tf] (30)
Θ(u)≥0 t∈[t0,tf] (31)
其中：式(29)是边界条件，式(30)和式(31)是状态和控制输入的路径约束；
求解受约束的最优控制问题，其中成本函数以伴随变量的形式出现；最优控制问题在实际中视为两点边界问题，增广哈密顿量通常根据系统状态，控制输入和伴随变量来定义；哈密顿量的消失梯度为庞特里亚金优化提供必要条件，最终能够根据必要条件得到最优解；
步骤2.2：对步骤2.1描述的有限时域最优控制问题，基于时域映射将其转化为Mayer形式；
在高斯伪谱法的框架下，利用拉格朗日多项式在Legendre Gauss点近似求解最优控制问题的状态变量和控制变量；然后通过微分矩阵在Legendre Gauss点计算状态变量的状态导数，同时，并将连续约束转化为离散的代数约束；由于Legendre Gauss点在[-1,1]的范围内，所以最优控制问题的原型通过将实时区间映射到[-1,1]域来重新形成Mayer型；对于实时区间t∈[t0,tf]，通过以下变换实现域映射：
根据式(32)，可推导：
以及：
在时域映射之后，计算状态的一阶导数：
通过式(34)和式(35)，动力学改写为：
然后Mayer形式的最优控制问题可以表示为如下：在[-1,1]域内找到状态控制对，使成本函数最小化；
服从式(36)和边界条件的动态约束：
x(τ＝-1)＝x0 x(τ＝-1)＝xf (38)
路径约束：
Ψ(x(τ))≥0 τ∈[-1,1] (39)
Θ(u(τ))≥0 τ∈[-1,1] (40)
步骤2.3：根据步骤2.1描述的有限时域最优控制问题和步骤2.2基于时域映射将其转化为Mayer形式；对步骤一建立的自旋稳定绳系编队系统的动力学模型，给定控制输入和状态变量约束，构建自旋稳定绳系编队系统最优展开模型；
初始展开条件包括初始振动角度和速率及绳系长度和速率：
绳系编队系统成功展开后，预计达到最终状态：
其中：αf和lf表示最终的振动角度和绳系长度；在展开期间，绳系张力应限制为：
其中：和分别表示下边界和上边界；表示确保连接绳系安全的最大允许振幅，而代表确保绳系刚度的最小允许振幅；
利用连续推进器产生供编队展开的控制力；由于绳系仅提供阻力，所以配备纵向推力器产生正向力；因此纵向控制力能够扩展到从负到正的范围，沿着绳系的总纵向控制力表示为：
fl＝ftether+fthruster1 (44)
由于推进器的振幅限制，纵向推进器产生的力受到如下约束：
其中：表示纵向推进器提供的最大推力；对于切向推力器，连续控制力的界限如下：
为了实现实时监视，使用摄像机检查子星的运动；在展开期间，子星必须位于摄像机的视场FOV内；因此，振动角度的等效约束满足：
-αmax≤α≤αmax (47)
其中：αmax是由监视摄像机FOV范围确定的振动角边界；
最后，用于最小化功耗的成本函数表述为：
公式(48)服从下述约束及边界条件：式(27)的动力学约束，式(41)和式(42)的边界条件，式(43)、式(45)和式(46)的输入约束，式(47)的路径约束；
所述用于最小化功耗的成本函数即为构建的自旋稳定绳系编队系统最优展开模型。
4.如权利要求3所述的一种利用连续推进器实现绳系编队自旋稳定展开优化方法，其特征在于：步骤三具体实现方法为，
使用拉格朗日插值多项式，最终状态和控制输入在Legendre Gauss点处近似产生N次多项式为：
其中：k是Legendre Gauss点的数量，并且是拉格朗日插值多项式；
如式(49)和式(50)所示，拉格朗日插值能够确保x(τi)＝X(τi)和u(τi)＝U(τi)，其中非Legendre Gauss点的值仅近似等于真值；求式(49)的微分为：
其中：微分矩阵Dki确定为：
其中k＝1,2,…,K和PK(τ)是K阶Legendre多项式，表示为：
将式(55)代入式(27)中，绳系编队系统动力学改写为：
即实现利用Legendre-Gauss离散化方法，将绳系编队系统自旋稳定展开的最终状态和控制输入离散在一系列离散点上；
此外，通过高斯求积获得最终状态：
其中：ωk和DKi仅由Legendre Gauss点的数量决定，并且在数值传播的下一步之前离线计算；最后，基于高斯伪谱法，原型最优控制问题转化为非线性规划问题，形式如下：
即通过公式(57)、(58)实现高斯伪谱法对绳系编队系统地自旋稳定展开动力学过程进行数值求解，进而能够减少需要输入的参数，提高计算精度；利用所述的数值求解能够为绳系编队系统提供高精度控制方案，进而提高绳系编队系统自旋稳定展开控制精度。
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| GR01 | Patent grant | ||
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