CN109002050A - 非惯性参考系下空间三体柔性绳系卫星编队系统建模方法 - Google Patents

非惯性参考系下空间三体柔性绳系卫星编队系统建模方法 Download PDF

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Abstract

本发明属于航天器飞行技术领域，具体是一种非惯性参考坐标系下空间三体柔性绳系卫星编队系统的建模方法。该建模方法步骤为：首先，建立卫星编队系统模型和固结于系统质心的非惯性参考系；接着，将连接卫星的柔性系绳离散为若干个系绳单元并对卫星和系绳单元质点编号；最后，建立非惯性参考系下离散单元质点的动力学方程，进而推导出卫星编队系统的动力学方程。本发明在非惯性参考系下建模，不再需要选取广义坐标和坐标变换等冗余步骤，同时考虑了空间系绳的柔性，因而在描述编队系统的各种空间动力学行为、揭示系统的自旋稳定及失稳性态时更快速准确。此外，本发明还可推广到四体或多体空间绳系编队系统建模中，具有很大的实用价值。

Description

非惯性参考系下空间三体柔性绳系卫星编队系统建模方法
技术领域
本发明涉及航天器飞行技术领域，具体是一种在非惯性参考坐标系下，对空间三体柔性绳系卫星编队系统的建模方法。
背景技术
作为一类新型在轨航天器，空间绳系卫星编队系统具备观测范围广、机动性高、可重复使用等优点，其可承担在轨货物传送、极光观察、立体探测及超声波测距等深空任务[1-4]，而编队系统的建模方法作为实现并完成这些任务关键性的技术基础，正受到广大科研工作者越来越多的关注。
在已发展的空间绳系卫星编队系统建模方法中，基于第二类拉格朗日方程，祁瑞等构建了双金字塔形绳系卫星编队系统的动力学方程，并通过公式推导，指出该对称系统构型存在一个解析的静力平衡解[5]；运用牛顿第二定律，刘壮壮等建立了一时变自由度有限维空间绳系系统动力学模型，并在惯性坐标系下数值研究了系统的动力学响应[6]；Larsen等利用图论方法研究了空间绳系系统编队的复杂构型[7]；Gates应用动量矩定理，讨论了绳系编队中卫星刚体的姿态动力学问题[8]。
通过对已有的研究成果总结可以发现，现有的对空间绳系卫星编队系统的研究主要是在惯性参考系下或通过选取广义坐标的方式展开的，因此，通常需要至少经过一次坐标变换才可能得到原系统真实的动力学响应。另外，在讨论柔性系绳时往往是将其考虑为理想的刚性杆模型、忽略系绳柔性以方便研究，而这却大大降低了模型的准确性。
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发明内容
针对上述问题，本发明提出一种在非惯性参考系下构建空间三体柔性绳系卫星编队系统的动力学建模方法，该方法不再需要选取广义坐标及坐标变换等冗余步骤，并考虑系绳柔性，可以直接准确地计算出编队系统的动力学响应。
本发明的技术方案为：
非惯性参考系下空间三体柔性绳系卫星编队系统建模方法，
所述编队系统包括：卫星S1、S2和S3，以及三根连接卫星S1、S2和S3的柔性系绳L12、L23和L31；编队系统质心为o；
所述建模方法包括以下步骤：
一、建立卫星编队系统模型，并以卫星编队系统质心o为原点建立空间非惯性参考系；
二、将柔性系绳离散为若干个系绳单元，视系绳单元质点位于系绳单元中心，并对三颗卫星和系绳单元质点进行编号；
三、建立非惯性参考系下离散质点的动力学方程，推导出柔性绳系卫星编队系统的动力学方程。
进一步地，步骤一具体为：
卫星S1的质量记为m1；卫星S2的质量记为m2；卫星S3的质量记为m3；连接卫星S1和S2的柔性系绳的长度为L12、刚度为E12A12、线密度为连接卫星S2和S3的柔性系绳的长度为L23、刚度为E23A23、线密度为连接卫星S1和S3的柔性系绳的长度为L31，刚度为E31A31，线密度为三根空间柔性系绳L12、L23和L31能够承受拉力但不能承受压力；
定义地球赤道所处平面为赤道平面，编队系统质心o所运行平面为轨道平面；系统质心以角速度Ω在一个固定的绕地圆周轨道上运动，系统自身以角速度ω绕质心o自旋运动；
此外，构建一个以编队系统质心o为原点的非惯性参考系o-xyz，其中，x轴指向与质心o运动相反的方向，y轴由地球质心指向编队系统质心，z轴垂直于轨道平面。
进一步地，步骤二具体为：
为充分展示空间系绳的柔性，将三根起连接作用的柔性系绳L12、L23和L31分别离散为n个系绳单元；同时，认为每个系绳单元的质量都集中于单元中心，即构成单元质点，则三根系绳中系绳单元的质量表示为(p＝1,2,3、q＝1,2,3且p≠q)，系绳原始单元长度表示为lepq0＝Lpq/n(p＝1,2,3、q＝1,2,3且p≠q)；L12与L21表示同一根系绳，相应地，L23与L32同，L31与L13同。
为表述方便，将三颗卫星及系绳单元质点依次进行编号；记卫星S1为质点1、卫星S2为质点n+2、卫星S3为质点2n+3；另外，记系绳L12上的单元质点依次为2、3、...、n+1，记系绳L23上的单元质点依次为n+3、n+4、…、2n+2，记系绳L31上的单元质点依次为2n+4、2n+5、...、3n+3。
进一步地，步骤三具体为：
基于牛顿第二定律，在非惯性参考系o-xyz下得到上述3n+3个离散质点的动力学方程
其中，“·”表示对时间t求导，mi表示第i个质点的质量，ri＝(xi,yi,zi)T为第i个质点的位置矢量；在非惯性参考系中，质点i的重力加速度为
其中，μE为地球引力常数，rE＝(0,-roE,0)T表示地球质心在非惯性参考系中的位置矢量，roE为非惯性系坐标原点o与地球质心间的距离。Pij表示质点j对质点i产生的系绳拉力，Pik表示质点k对质点i产生的系绳拉力，质点j和质点k为与质点i相邻的两个质点；
系绳拉力的具体表达式为
其中，EiAi为质点i对应系绳的刚度，lij0表示质点i与质点j之间的无拉伸原始距离，参数δij定义为
lik0表示质点i与质点k之间的无拉伸原始距离，参数δik定义为
式(5)和(6)意味当两质点的当前距离超过原始长度时，该段系绳将承受拉力；当两质点的当前距离小于原始长度时，该段系绳将不承受拉力和压力；
另外，牵连惯性力的表达式为
其中，为非惯性参考系绕地心转动的角速度；由于且
故有
Fi Ie＝[mixiΩ2,mi(yi+roE)Ω2,0]T (9)
在式(8)中，i、j、k为非惯性参考系中x轴、y轴和z轴对应的单位矢量。
科氏惯性力的表达式为
其中，是非惯性系绕其原点o的自转角速度，为质点i在非惯性参考系中的相对速度，将和依次代入式(9)，则Fi IC的具体表达式可写为
最后，将表达式(2)、(3)、(4)、(9)和(11)代入方程(1)，则三体柔性绳系卫星编队系统的动力学方程写为
方程(12)用于描述三体绳系卫星编队系统在空间的动力学行为。
本发明的有益效果在于：
本发明建立了非惯性参考系，不再需要选取广义坐标及坐标变换等冗余步骤，简化了卫星编队系统的建模过程；此外，现有技术在面对绳系柔性问题时将其考虑为刚性杆模型以方便研究，而本发明充分考虑了绳系的柔性并对其进行研究，这大大提高了系统模型的准确性，从而本发明可以直接、快速、准确地计算出三体绳系编队系统的动力学响应，描述三体绳系系统的各种空间动力学行为，揭示系统的自旋稳定及失稳性态；本发明还可以推广应用到四体或者多体空间绳系编队系统的建模中，具有很大的实用价值。
附图说明
图1为本发明的三体绳系卫星编队系统示意图；
图2为本发明的柔性系绳离散示意图；
图3为本发明的绳系编队系统离散示意图；
图4为本发明的实施例当系统初始自旋角速度ω＝0.8Ω时的三颗卫星运行轨迹；
图5为本发明的实施例当系统初始自旋角速度ω＝0.8Ω时的三颗卫星间距离随真近点角的变化情况；
图6为本发明的实施例当系统初始自旋角速度ω＝0.5Ω时的卫星S1的运动轨迹；
图7为本发明的实施例当系统初始自旋角速度ω＝0.5Ω时的卫星S2的运动轨迹；
图8为本发明的实施例当系统初始自旋角速度ω＝0.5Ω时的卫星S3的运动轨迹；
图9为本发明的实施例当系统初始自旋角速度ω＝0.5Ω时的三颗卫星间距离随真近点角的变化情况；
图中标识：S1、S2和S3表示三个卫星，o表示编队系统质心，o-xyz表示非惯性参考系，ω表示编队系统绕质心o的自旋角速度，Ω表示编队系统质心的绕地运动角速度；
mepq表示系绳单元的质量，lepq0表示系绳原始单元长度；
L12表示连接卫星S1和S2的系绳及该系绳长度，L23表示连接卫星S2和S3的系绳及该系绳长度，L31表示连接卫星S1和S3的系绳及该系绳长度；
d12表示卫星S1和S2的间距，d23表示S2和S3的间距，d31表示S1和S3的间距，ν表示真近点角。
具体实施方式
下面结合附图对本发明的具体实施方式作进一步的详细说明。
如图1所示的一个在轨三体绳系卫星编队系统，该系统由三根柔性系绳连接三颗卫星S1、S2和S3构成，编队系统质心为o。
卫星S1的质量记为m1；卫星S2的质量记为m2；卫星S3的质量记为m3；连接卫星S1和S2的柔性系绳的长度为L12、刚度为E12A12、线密度为连接卫星S2和S3的柔性系绳的长度为L23、刚度为E23A23、线密度为连接卫星S1和S3的柔性系绳的长度为L31，刚度为E31A31，线密度为三根空间柔性系绳能够承受拉力但不能承受压力。
定义地球赤道所处平面为赤道平面，编队系统质心o所运行平面为轨道平面。设系统质心以角速度Ω在一个固定的绕地圆周轨道上运动，系统自身以角速度ω绕质心o自旋运动。
此外，如图1所示，构建一个固结于编队系统质心o的非惯性参考系o-xyz，其中，x轴指向与质心o运动相反的方向，y轴由地球质心指向编队系统质心，z轴垂直于轨道平面。
为充分展示空间系绳的柔性，将这三根起连接作用的柔性系绳L12、L23和L31分别离散为n个系绳单元，如图2所示。同时，认为每个系绳单元的质量都集中于单元中心，即构成单元质点，则三根系绳中系绳单元的质量分别为(p＝1,2,3、q＝1,2,3)，原始单元长度为lepq0＝Lpq/n(p＝1,2,3、q＝1,2,3)。
为表述方便，将三颗卫星及系绳单元质点依次进行编号，如图3所示。记卫星S1为质点1、卫星S2为质点n+2、卫星S3为质点2n+3；另外，再依次记三根系绳L12、L23和L31上对应的单元质点为2、3、…、n+1，n+3、n+4、…、2n+2及2n+4、2n+5、…、3n+3。
基于牛顿第二定律，在非惯性参考系o-xyz下可得到以上3n+3个离散质点的动力学方程
其中，“·”表示对时间t求导，mi表示第i个质点的质量，ri＝(xi,yi,zi)T为第i个质点的位置矢量。在非惯性参考系中，质点i的重力加速度可写为
其中，μE为地球引力常数，rE＝(0,-roE,0)T表示地球质心在非惯性参考系中的位置矢量，roE为非惯性系坐标原点o与地球质心间的距离；Pij和Pik分别表示相邻质点j和k对质点i产生的系绳拉力，拉力的具体表达式为
其中，EiAi为质点i所属系绳的刚度，lij0表示质点i与j之间的无拉伸原始距离，参数δij定义为
这意味当两质点的当前距离超过原始长度时，该段系绳将承受拉力；当两质点的当前距离小于原始长度时，该段系绳将不承受拉力和压力。δik的表达式及意义与δij类似。另外，牵连惯性力的表达式为
其中，为非惯性参考系绕地心转动的角速度。由于且
故有
Fi Ie＝[mixiΩ2,mi(yi+roE)Ω2,0]T (8)
在式(7)中，i、j、k为非惯性参考系中x轴、y轴和z轴对应的单位矢量。
科氏惯性力的表达式为
其中，是非惯性系绕其原点o的自转角速度，为质点i在非惯性参考系中的相对速度，依次代入式(9)，则Fi IC的具体表达式可写为
最后，将表达式(2)、(3)、(4)、(8)和(10)代入方程(1)，则三体柔性绳系卫星编队系统的动力学方程写为
方程(11)可用于描述三体绳系卫星编队系统在空间的动力学行为。
下面通过数值仿真研究系统的动力学行为，以展示本发明所提出的三体柔性绳系卫星编队系统建模方法的可行性。
给出一组系统参数，设三颗卫星的质量均为m＝800kg，三根系绳的刚度、初始长度及线密度分别为EA＝5×104N、L0＝10km和ρL＝0.5×10-3kg/m。系统质心的绕地角速度为Ω＝1.109×10-3rad/s。
设绳系编队系统的初始自旋角速度为ω＝0.8Ω，施加初始扰动，系统的动力学响应可以被直接展示，如图4和图5所示。从图4中可以看出三颗卫星的运动轨迹都是闭合的。而卫星间距离d随真近点角ν的变化情况如图5所示。图5表明三根柔性系绳始终保持紧绷状态。因此，可以推断出当ω＝0.8Ω时，该三体绳系编队系统在做渐近稳定的周期运动。
再设编队系统的初始自旋角速度为ω＝0.5Ω，系统的动力学响应仍可以被直接展示，如图6-9所示。图6-8描述了三颗卫星的运动轨迹，可以看出三颗卫星皆无法形成闭合曲线。图9卫星间的距离变化情况表明三根空间柔性系绳始终处于松弛状态。因此，该动力学算例表明，当ω＝0.5Ω时，该三体绳系编队系统将呈现不稳定的运动。

Claims (4)

1.非惯性参考系下空间三体柔性绳系卫星编队系统建模方法，其特征在于，该卫星编队系统包括：卫星S1、S2和S3，以及连接卫星S1、S2和S3的空间柔性系绳L12、L23和L31；卫星编队系统的质心为o；
所述建模方法包括以下步骤：
一、建立卫星编队系统模型，并以卫星编队系统质心o为原点建立空间非惯性参考系；
二、将柔性系绳离散为若干个系绳单元，视系绳单元质点位于系绳单元中心，并对三颗卫星和系绳单元质点进行编号；
三、建立非惯性参考系下离散质点的动力学方程，推导出柔性绳系卫星编队系统的动力学方程。
2.根据权利要求1所述的非惯性参考系下空间三体柔性绳系卫星编队系统建模方法，其特征在于，步骤一具体为：
卫星S1的质量记为m1；卫星S2的质量记为m2；卫星S3的质量记为m3；连接卫星S1和S2的柔性系绳的长度为L12、刚度为E12A12、线密度为连接卫星S2和S3的柔性系绳的长度为L23、刚度为E23A23、线密度为连接卫星S1和S3的柔性系绳的长度为L31，刚度为E31A31，线密度为三根空间柔性系绳能够承受拉力但不能承受压力；
定义地球赤道所处平面为赤道平面，编队系统质心o所运行平面为轨道平面；系统质心以角速度Ω在一个固定的绕地圆周轨道上运动，系统自身以角速度ω绕质心o自旋运动；
构建一个以编队系统质心o为原点的空间非惯性参考系o-xyz，其中，x轴指向与质心o运动相反的方向，y轴由地球质心指向编队系统质心，z轴垂直于轨道平面。
3.根据权利要求1或2所述的非惯性参考系下空间三体柔性绳系卫星编队系统建模方法，其特征在于，步骤二具体为：
将三根起连接作用的柔性系绳L12、L23和L31分别离散为n个系绳单元；同时，视每个系绳单元的质量都集中于系绳单元中心，即构成单元质点，则三根系绳中的系绳单元质量为(p＝1,2,3、q＝1,2,3且p≠q)，原始单元长度为(p＝1,2,3、q＝1,2,3且p≠q)；
将三颗卫星及系绳单元质点依次进行编号，记卫星S1为质点1、卫星S2为质点n+2、卫星S3为质点2n+3；另外，再依次记三根系绳L12、L23和L31上对应的单元质点为2、3、…、n+1，n+3、n+4、…、2n+2及2n+4、2n+5、…、3n+3。
4.根据权利要求3所述的非惯性参考系下空间三体柔性绳系卫星编队系统建模方法，其特征在于，步骤三具体为：
基于牛顿第二定律，在非惯性参考系o-xyz下得到所述3n+3个离散质点的动力学方程
其中，“·”表示对时间t求导，mi表示第i个质点的质量，ri＝(xi,yi,zi)T为第i个质点的位置矢量；在非惯性参考系中，质点i的重力加速度为
其中，μE为地球引力常数，rE＝(0,-roE,0)T表示地球质心在非惯性参考系中的位置矢量，roE为非惯性系坐标原点o与地球质心间的距离；Pij表示质点j对质点i产生的系绳拉力，Pik表示质点k对质点i产生的系绳拉力，质点j和质点k为与质点i相邻的两个质点；
系绳拉力的具体表达式为
其中，EiAi为质点i所属系绳的刚度，lij0表示质点i与j之间的无拉伸原始距离，参数δij定义为
lik0表示质点i与质点k之间的无拉伸原始距离，参数δik定义为
这意味当两质点的当前距离超过原始长度时，该段系绳将承受拉力；当两质点的当前距离小于原始长度时，该段系绳将不承受拉力和压力；
另外，牵连惯性力的表达式为
其中，为非惯性参考系绕地心转动的角速度；由于且
故有
在式(8)中，i、j、k为非惯性参考系中x轴、y轴和z轴对应的单位矢量；
科氏惯性力的表达式为
其中，是非惯性系绕其原点o的自转角速度，为质点i在非惯性参考系中的相对速度，则Fi IC的具体表达式写为
最后，将表达式(2)、(3)、(4)、(9)和(11)代入方程(1)，则三体柔性绳系卫星编队系统的动力学方程为
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