CN105468011A - 一种辐射开环绳系卫星编队匀速自旋展开控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开的一种辐射开环绳系卫星编队匀速自旋展开控制方法，涉及绳系卫星编队匀速自旋展开成辐射开环构型的动力学搭建与控制策略设计，属于航天器编队控制领域。本发明针对在地球中心引力场中运行于圆形Kepler轨道上的辐射开环绳系卫星编队，考虑多体系统运动特点和重力梯度力矩作用，经由拉格朗日方程建立系统自旋展开动力学；在此基础上设计主星匀速自旋展开，针对重力梯度力矩进行补偿并在展开末段加入阻尼以抑制系统振荡的闭环控制策略。所述的动力学和控制方法简单，有效，易于实现；控制绳系卫星系统进行匀速展开的全过程平稳、安全、可靠性高。

Description

一种辐射开环绳系卫星编队匀速自旋展开控制方法

技术领域

本发明涉及绳系卫星编队自旋展开成辐射开环构型的动力学与控制策略设计，属于航天器编队控制领域。

背景技术

绳系卫星编队在空间发电、空间操作、空间大型结构构建等方面具有特殊优势。绳系卫星编队的构型有多种类型，“辐射开环”是一种新型的编队构型。辐射开环绳系卫星编队由中心主星和用绳系连接到主星的多颗子星组成，主星通过执行机构产生自旋运动，利用自旋运动产生的离心力使绳系张紧带动编队以一定的角速度在空间自旋。这种由离心力维持构型的设计一方面能够减少燃料消耗，同时系统通过自旋又能获得较高的稳定性；另一方面，系统的自旋运动和绳系的收放及控制都可由主星实现，控制方式简单、任务灵活。

目前，在绳系卫星编队的动力学与控制技术领域，已有的技术方法多集中于解决多体绳系卫星编队构型的动力学和稳定性控制以及二体绳系卫星编队的动力学和展开控制等问题，缺少解决辐射开环绳系卫星编队展开的动力学和控制问题的技术方法。本专利提出的一种辐射开环绳系卫星编队匀速自旋展开控制方法，考虑多体系统运动特点和重力梯度力矩作用，建立系统自旋展开动力学，在此基础上设计以主星自旋角、绳系相对主星的俯仰角和绳系已展开长度为控制量，针对重力梯度力矩进行补偿的主星自旋展开控制策略。

本专利的动力学模型能够有效刻画成员姿态运动和系统构型之间的相互关系，反映展开过程编队的稳定性及绳系的运动特性，由此设计出的针对重力梯度力矩进行补偿的控制方法能有效实现对自旋展开过程的控制。

发明内容

本发明要解决的技术问题是辐射开环绳系卫星编队匀速自旋展开全过程的控制问题。

本发明的目的是通过下述技术方案实现的。

一种辐射开环绳系卫星编队匀速自旋展开控制方法，具体实现步骤如下：

步骤一：建立系统的自旋展开动力学。

建立地心惯性坐标系、轨道坐标系和编队本体固连坐标系，得到编队系统主星、各子星以及绳系的动能和重力势能的表达，再代入拉格朗日方程得到系统展开的动力学方程(1)、(2)和(3)。

步骤二：对步骤一得到的动力学方程进行无量纲处理。

确定辐射开环绳系卫星编队自旋展开过程的控制变量为主星自旋角θ_i、主星与子星连接绳系已展开长度l_i和绳系相对主星的俯仰角α_i。θ_i和l_i的控制通过主星实现，α_i的控制通过子星消耗能量实现。但考虑到系统实际应用中所处的工程条件，主星的角速度和角加速度能够为任意，因此绳系拉力通过主星对绳长展开速度进行控制，子星相对于主星的俯仰角α_i控制由θ_i和l_i的规划实现，所以在设计展开控制律时主要考虑方程(2)。

为了减小因量级的巨大差异引起星载控制计算机的计算失真，提高控制的精度，对动力学方程(2)进行归一化处理，令为无量纲长度，升交角距ν为无量纲时间，引入无量纲变化(4)，得到所需的无量纲形式的动力学方程(5)，l*为主星与子星连接绳系总长度。

步骤三：由步骤一和步骤二的动力学方程，对于具体的系统目标状态，设计针对重力梯度力矩进行补偿的主星匀速自旋展开控制律。

对子星重力梯度进行补偿，广义的补偿控制力为f_dg表示重力梯度引起的广义摄动力。子星重力梯度补偿所需的控制由子星推力器输出得到，并且推力器输出连续推力，展开过程推力器对子星的控制力矩T的表达为(6)。主星匀速自旋展开满足绳系匀速展开的速度与绳系相对于主星的俯仰角的正弦值成正比(满足0°＜α_i≤90°)，从而得到绳系张力和主星力矩的广义控制的表达(7)。

编队展开完成后，系统的状态为(8)。绳系相对主星的俯仰角运动满足方程(9)，即初始摆角α_i0≠0则α_i会出现周期性震荡而可能导致子星碰撞，为避免这种情况的发生，进一步完善控制律，将绳系按分段展开。采用闭环控制，在俯仰角运动中引入二阶阻尼项，得到新的俯仰角运动方程(10)，通过调整与俯仰角阻尼运动相关的系数k的取值可以得到过阻尼、欠阻尼等系统，使绳系相对于主星的俯仰角最终收敛到0°，即完成整个控制。

步骤一中所述系统展开的动力学方程为

$\begin{array}{c}\{\frac{1}{2}{\mathrm{Mr}}^2+\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{m}_i\[(2r^2+2l_i^2+4{\mathrm{rl}}_i{\mathrm{cos\α}}_i)\]\}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_i-\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{m}_i\{\[(2l_i^2+2{\mathrm{rl}}_i{\mathrm{cos\α}}_i){\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}}_i\]+{\mathrm{rsin\α}}_i{\stackrel{\·\·}{l}}_i\\ -4l_i{\stackrel{\·}{l}}_i({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_i)-4r{\stackrel{\·}{l}}_i({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_i){\mathrm{cos\α}}_i+2{\mathrm{rl}}_i{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_i(2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+2\mathrm{\Ω}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_i){\mathrm{sin\α}}_i\}=u_{{\mathrm{\θ}}_i}+f_{{\mathrm{dg}}_{\mathrm{\θ}}}\end{array}---\left(1\right)$

${\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}}_i-(1+\frac{r}{l_i}{\mathrm{cos\α}}_i){\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_i+2\frac{{\stackrel{\·}{l}}_i}{l_i}({\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_i-{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i-\mathrm{\Ω})+\frac{r}{l_i}{({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω})}^2{\mathrm{sin\α}}_i=u_{{\mathrm{\α}}_i}+f_{{\mathrm{dg}}_{\mathrm{\α}}}---\left(2\right)$

$\frac{1}{2}{m}_i\[2{\stackrel{\·\·}{l}}_i-2r{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_i{\mathrm{sin\α}}_i-2l_i{({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_i)}^2-2r{({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω})}^2{\mathrm{cos\α}}_i\]=u_{l_i}+f_{{\mathrm{dg}}_l}---\left(3\right)$

其中，θ_i为主星自旋角，α_i为绳系相对于主星的俯仰角，r为主星轮毂半径，M、m_i为主星和子星i的质量，n为子星个数，ρ为绳系的线密度，l_i为与子星i连接绳系的总长度和展开长度，v_c为系统质心的速度，Ω为轨道角速度。表示相应广义坐标方向上的广义控制力；f_dg表示重力梯度引起的广义摄动力。

步骤二中所述无量纲变化为

$\begin{array}{ccc}{l}_i={\tilde{l}}_i{l}^{*}& r=\tilde{r}{l}^{*}& d\left(\right)/dt=\mathrm{\Ω}d\left(\right)/dv\end{array}---\left(4\right)$

得到的无量纲形式动力学方程为

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}}_i-(1+\frac{\tilde{r}}{{\tilde{l}}_i}{\mathrm{cos\α}}_i){\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_i+2\frac{{\stackrel{\·}{l}}_i}{{\tilde{l}}_i}({\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_i-{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i-1)+\frac{\tilde{r}}{{\tilde{l}}_i}{({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+1)}^2{\mathrm{sin\α}}_i=\\ {\tilde{u}}_{{\mathrm{\α}}_i}+\frac{\tilde{r}}{{\tilde{l}}_i}{\mathrm{sin\α}}_i+3\frac{\tilde{r}}{{\tilde{l}}_i}{\mathrm{cos\θ}}_i\sin ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\α}}_i)+\\ 3\cos ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\α}}_i)\sin ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\α}}_i)\end{array}---\left(5\right)$

其中点号表示相对于无量纲时间ν的导数，为α_i相对应的广义力。

步骤三中所述展开过程推力器对子星的控制力矩为

$\begin{array}{c}T\left(t\right)=u_{{\mathrm{\α}}_i}{m}_i{l}_i^2=-m_i{l}_i{\mathrm{\Ω}}^2\[{\mathrm{rsin\α}}_i+3{\mathrm{rcos\θ}}_i\sin ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\α}}_i)+\\ 3l_i\cos ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\α}}_i)\sin ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\α}}_i)\end{array}---\left(6\right)$

绳系张力和主星力矩的广义控制为

$\left\{\begin{array}{c}{u}_{l_i}=-m_i{({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω})}^2\[l_i+{\mathrm{rcos\α}}_i\]-f_{{\mathrm{dg}}_l}\\ u_{{\mathrm{\θ}}_i}=2\underset{i=1}{\overset{4}{\Σ}}{m}_i{l}_i{\stackrel{\·}{l}}_i({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_i)-f_{{\mathrm{dg}}_{\mathrm{\θ}}}\end{array}\right.---\left(7\right)$

编队展开完成后，系统的状态为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i\left(t_f\right)={\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_e\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_i\left(t_f\right)=0\\ l_i\left(t_f\right)=l_e\end{array}\right.---\left(8\right)$

展开过程绳系相对主星的俯仰角运动方程为

${\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}}_i+\frac{r}{l_e}({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω}){\mathrm{sin\α}}_i=0---\left(9\right)$

引入二阶阻尼项后新的俯仰角运动方程为

${\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}}_i+2k{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_i+\frac{r}{l_i}({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω}){\mathrm{\α}}_i=0---\left(10\right)$

有益效果：

1、本专利的一种辐射开环绳系卫星编队匀速自旋展开控制方法，该方法的动力学考虑了多体系统运动特点和重力梯度力矩作用，能够有效刻画成员姿态运动和系统构型之间的相互关系，反映展开过程编队的稳定性及绳系的运动特性；

2、本专利的一种辐射开环绳系卫星编队匀速自旋展开控制方法，以主星自旋角、绳系相对主星的俯仰角、绳系已展开长度为控制量，设计针对重力梯度力矩进行补偿的主星自旋展开控制策略，控制律简单、有效、易于实现，能够有效控制绳系卫星编队匀速自旋展开成辐射开环构型，过程平稳、安全、可靠性高。

附图说明

图1为步骤一中建模参照坐标系示意图；

图2为本发明实施例1绳系编队参数表；

图3为本发明实施例1无阻尼下主星匀速时绳系自旋展开俯仰角曲线图；

图4为本发明实施例1无阻尼下主星匀速时绳系自旋展开长度变化曲线图；

图5为本发明实施例1无阻尼下主星匀速时绳系自旋展开控制力矩变化曲线图；

图6为本发明实施例1无阻尼下主星匀速时绳系自旋展开控制力变化曲线图；

图7为本发明实施例1小阻尼自旋展开俯仰角变化曲线图；

图8为本发明实施例1小阻尼自旋展开绳长变化曲线图；

图9为本发明实施例1小阻尼自旋展开控制力矩变化曲线图；

图10为本发明实施例1小阻尼自旋展开控制力变化曲线图。

具体实施方式

为了更好地说明本发明的目的和优点，下面结合附图对本发明的具体实施方式作进一步详细的说明。

实施例1：

一种辐射开环绳系卫星编队匀速自旋展开动力学与控制方法，目的在于针对在地球中心引力场中运行于圆形Kepler轨道上的辐射开环绳系卫星编队，忽略主星和子星的轨道面外运动及各种摄动因素；将主星视为具有转动半径的刚性轮毂，绳系与主星连接点位于主星边缘且呈对称分布；将连接主星与子星的绳系视为质量均匀分布的线弹性体，忽略横向刚度和扭转刚度，认为自旋展开过程始终保持张紧状态；考虑多体系统运动特点和重力梯度力矩作用，建立系统自旋展开动力学并在此基础上设计针对重力梯度力矩进行补偿的主星匀速自旋展开控制策略，最终实现对辐射开环绳系卫星编队匀速自旋展开过程的稳定而有效的控制。

展开后的期望自旋角速度和期望绳长为

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}\left(t_f\right)=19\mathrm{\Ω}\\ l_i\left(t_f\right)=500m\end{array}\right.$

其中Ω为轨道角速度。对如图2中所示参数表达的绳系卫星编队系统，设计主星匀速自旋展开成辐射开环构型的针对重力梯度进行补偿的控制律，具体步骤如下：

步骤一：建立系统的自旋展开动力学。

建立地心惯性坐标系、轨道坐标系和编队本体固连坐标系，如图1所示，得到编队系统主星、各子星以及绳系的动能表达为：

$\left\{\begin{array}{c}{T}_1=\frac{1}{4}\[M+\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\mathrm{\ρ}(l_i^{*}-l_i)\]r^2{({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω})}^2+\frac{1}{2}\[M+\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\mathrm{\ρ}(l_i^{*}-l_i)\]v_c^2\\ T_{m_i}=\frac{1}{2}{m}_i\{v_c^2+{\stackrel{\·}{l}}_i^2+r^2{({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω})}^2+l_i^2{({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_i)}^2-\\ 2{\stackrel{\·}{l}}_{i}r({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω}){\mathrm{sin\α}}_i+2{\mathrm{rl}}_i({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω})({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_i){\mathrm{cos\α}}_i+\\ 2v_c\[{\stackrel{\·}{l}}_i\sin ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\α}}_i)+{\mathrm{rcos\θ}}_i\·({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω})+\\ l_i\cos ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\α}}_i)\·({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_i)\]\}\\ T_{l_i}=\frac{1}{2}\mathrm{\ρ}\{{\stackrel{\·}{l}}_i^2+r^2{l}_i{({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω})}^2+\frac{1}{3}{l}_i^3{({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_i)}^2-\\ 2l_i{\stackrel{\·}{l}}_{i}r({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω}){\mathrm{sin\α}}_i+{\mathrm{rl}}_i^2({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω})({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_i){\mathrm{cos\α}}_i+\\ 2v_c\[{\stackrel{\·}{l}}_i{l}_i\sin ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\α}}_i)+{\mathrm{rl}}_i{\mathrm{cos\θ}}_i\·({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω})+\\ \frac{1}{2}{l}_i^2\cos ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\α}}_i)\·({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_i)\]\}\end{array}\right.---\left(11\right)$

其中，θ_i为主星自旋角，α_i为绳系相对于主星的俯仰角，r为主星轮毂半径，M、m_i为主星和子星i的质量，n为子星个数，ρ为绳系的线密度，、l_i为与子星i连接绳系的总长度和展开长度，v_c为系统质心的速度，Ω为轨道角速度。

编队系统主星、子星i及绳系的重力势能表示为：

$V_g=-\mathrm{\μ}\frac{M}{\left|R_c\right|}-\mathrm{\μ}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{m_i}{|R_c+w\left(l_i\right)|}-\mathrm{\μ}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{\∫}_0^{l_i}\frac{\mathrm{\ρ}}{|R_c+w\left(\mathrm{\ξ}\right)|}d\mathrm{\ξ}---\left(12\right)$

其中，μ为地球万有引力常数,R_c为地心到编队质心矢量。对上式的分母部分进行泰勒展开并忽略高阶项，则系统的重力势能为：

$\begin{array}{c}{V}_g\≈-\frac{\mathrm{\μ}}{R_c}(M+\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{m}_i+\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{\mathrm{\ρl}}_i)+\frac{\mathrm{\μ}}{2R_c^3}\{\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{m}_i\[r^2{\sin }^2{\mathrm{\θ}}_i+\\ l^2{\sin }^2({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\α}}_i)+2{\mathrm{rl}}_i{\mathrm{sin\θ}}_i\sin ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\α}}_i)-2r^2{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_i-\\ 2l_i^2{\cos }^2({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\α}}_i)-4{\mathrm{rl}}_i{\mathrm{cos\θ}}_i\cos ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\α}}_i)\]+\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\mathrm{\ρ}\[r^2{l}_i\·\\ {\sin }^2{\mathrm{\θ}}_i+\frac{1}{3}{l}_i^3{\sin }^2({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\α}}_i)+2{\mathrm{rl}}_i^2{\mathrm{sin\θ}}_i\sin ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\α}}_i)-2r^2\·\\ l_i{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_i-\frac{2}{3}{l}_i^3{\cos }^2({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\α}}_i)-2{\mathrm{rl}}_i^2{\mathrm{cos\θ}}_i\cos ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\α}}_i)\]\}\end{array}---\left(13\right)$

系统的拉格朗日函数可表示为L＝T-V，根据拉格朗日定理对拉格朗日函数中的广义坐标求导，得到：

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\∂T}{\∂{\stackrel{\·}{q}}_j}\right)-\frac{\∂T}{\∂q_j}+\frac{\∂V}{\∂q_j}=Q_j---\left(14\right)$

其中，Q_j表示广义外力，在工程实际中，由于绳系质量远远小于系统其他部分质量，认为ρ＝0，将系统的动能和势能代入上式则可导出系统展开的动力学方程：

$\begin{array}{c}\{\frac{1}{2}{\mathrm{Mr}}^2+\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{m}_i\[(2r^2+2l_i^2+4{\mathrm{rl}}_i{\mathrm{cos\α}}_i)\]\}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_i-\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{m}_i\{\[(2l_i^2+2{\mathrm{rl}}_i{\mathrm{cos\α}}_i){\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}}_i\]+{\mathrm{rsin\α}}_i{\stackrel{\·\·}{l}}_i\\ -4l_i{\stackrel{\·}{l}}_i({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_i)-4r{\stackrel{\·}{l}}_i({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_i){\mathrm{cos\α}}_i+2{\mathrm{rl}}_i{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_i(2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+2\mathrm{\Ω}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_i){\mathrm{sin\α}}_i\}=u_{{\mathrm{\θ}}_i}+f_{{\mathrm{dg}}_{\mathrm{\θ}}}\end{array}---\left(15\right)$

${\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}}_i-(1+\frac{r}{l_i}{\mathrm{cos\α}}_i){\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_i+2\frac{{\stackrel{\·}{l}}_i}{l_i}({\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_i-{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i-\mathrm{\Ω})+\frac{r}{l_i}{({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω})}^2{\mathrm{sin\α}}_i=u_{{\mathrm{\α}}_i}+f_{{\mathrm{dg}}_{\mathrm{\α}}}---\left(16\right)$

$\frac{1}{2}{m}_i\[2{\stackrel{\·\·}{l}}_i-2r{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_i{\mathrm{sin\α}}_i-2l_i{({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_i)}^2-2r{({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω})}^2{\mathrm{cos\α}}_i\]=u_{l_i}+f_{{\mathrm{dg}}_l}---\left(17\right)$

其中，表示相应广义坐标方向上的广义控制力；f_dg表示重力梯度引起的广义摄动力，可按下式计算得到：

$\begin{array}{c}{f}_{{\mathrm{dg}}_{\mathrm{\θ}}}=-3{\mathrm{\Ω}}^2\underset{i=1}{\overset{4}{\Σ}}{m}_i\[r^2{\mathrm{cos\θ}}_i{\mathrm{sin\θ}}_i+l_i^2\cos ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\α}}_i)\·\\ \sin (\mathrm{\θ}-{\mathrm{\α}}_i)+l_{i}r\sin (2{\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\α}}_i)\]\end{array}---\left(18\right)$

$\begin{array}{c}{f}_{{\mathrm{dg}}_{\mathrm{\α}}}={\mathrm{\Ω}}^2\[\frac{r}{l_i}{\mathrm{sin\α}}_i+3\frac{r}{l_i}{\mathrm{cos\θ}}_i\sin ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\α}}_i)+\\ 3\cos ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\α}}_i)\sin ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\α}}_i)\]\end{array}---\left(19\right)$

$\begin{array}{c}{f}_{{\mathrm{dl}}_l}=-\frac{1}{2}{m}_i{\mathrm{\Ω}}^2\[2l_i+2{\mathrm{rcos\α}}_i-6l_i{\cos }^2({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\α}}_i)-\\ 6{\mathrm{rcos\θ}}_i\cos ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\α}}_i)\]\end{array}---\left(20\right)$

步骤二：对步骤一得到的动力学方程进行无量纲处理。

由步骤一的动力学方程确定辐射开环绳系卫星编队自旋展开过程的控制变量为主星自旋角θ_i、主星与子星连接绳系已展开长度l_i和绳系相对主星的俯仰角α_i。绳系拉力通过主星对绳长展开速度进行控制，子星相对于主星的俯仰角α_i控制由θ_i和l_i的规划实现，所以在设计展开控制律时主要考虑方程(6)。

为了减小因量级的巨大差异引起星载控制计算机的计算失真，提高控制的精度，对动力学方程(6)进行归一化处理，令为无量纲长度，升交角距ν为无量纲时间，引入无量纲变化

$\begin{array}{ccc}{l}_i={\tilde{l}}_i{l}^{*}& r=\tilde{r}{l}^{*}& d\left(\right)/dt=\mathrm{\Ω}d\left(\right)/dv\end{array}---\left(21\right)$

得到所需的无量纲形式的动力学方程：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}}_i-(1+\frac{\tilde{r}}{{\tilde{l}}_i}{\mathrm{cos\α}}_i){\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_i+2\frac{{\stackrel{\·}{l}}_i}{{\tilde{l}}_i}({\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_i-{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i-1)+\frac{\tilde{r}}{{\tilde{l}}_i}{({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+1)}^2{\mathrm{sin\α}}_i=\\ {\tilde{u}}_{{\mathrm{\α}}_i}+\frac{\tilde{r}}{{\tilde{l}}_i}{\mathrm{sin\α}}_i+3\frac{\tilde{r}}{{\tilde{l}}_i}{\mathrm{cos\θ}}_i\sin ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\α}}_i)+\\ 3\cos ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\α}}_i)\sin ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\α}}_i)\end{array}---\left(22\right)$

其中点号表示相对于无量纲时间ν的导数，为α_i相对应的广义力。

步骤三：由步骤一和步骤二的动力学方程，对于具体的系统目标状态，设计针对重力梯度力矩进行补偿的主星匀速自旋展开控制律。

对子星重力梯度进行补偿，由式(6)得到广义的补偿控制力子星重力梯度补偿所需的控制由子星推力器输出得到，并且推力器输出连续推力，则展开过程推力器对子星的控制力矩T表示为

$\begin{array}{c}T\left(t\right)=u_{{\mathrm{\α}}_i}{m}_i{l}_i^2=-m_i{l}_i{\mathrm{\Ω}}^2\[{\mathrm{rsin\α}}_i+3{\mathrm{rcos\θ}}_i\sin ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\α}}_i)+\\ 3l_i\cos ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\α}}_i)\sin ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\α}}_i)\end{array}---\left(23\right)$

结合(13)和将(6)简化为

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}}_i-(1+\frac{r}{l_i}{\mathrm{cos\α}}_i){\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\frac{{\stackrel{\·}{l}}_i}{l_i}({\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_i-{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i-\mathrm{\Ω})+\\ \frac{r}{l_i}{({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω})}^2{\mathrm{sin\α}}_i=0\end{array}---\left(24\right)$

主星匀速自旋展开满足从而(14)化为

$\[{\stackrel{\·}{l}}_i-\frac{r}{2}({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω}){\mathrm{sin\α}}_i\]({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω})=0---\left(25\right)$

导出绳系展开方程为：

${\stackrel{\·}{l}}_i\left(t\right)=\frac{r}{2}({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω}){\mathrm{sin\α}}_i---\left(26\right)$

从而绳长方程为：

$l_i\left(t\right)=l_0+{\∫}_0^t\frac{r}{2}({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω}){\mathrm{sin\α}}_{i}dt=l_0+\[\frac{r}{2}({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω}){\mathrm{sin\α}}_i\]t---\left(27\right)$

其中，l₀表示初始绳长。绳系匀速展开，并且展开速度与绳系相对于主星的俯仰角的正弦值成正比(满足0°＜α_i≤90°)。从而绳系张力和主星力矩的广义控制的表达为

$\left\{\begin{array}{c}{u}_{l_i}=-m_i{({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω})}^2\[l_i+{\mathrm{rcos\α}}_i\]-f_{{\mathrm{dg}}_l}\\ u_{{\mathrm{\θ}}_i}=2\underset{i=1}{\overset{4}{\Σ}}{m}_i{l}_i{\stackrel{\·}{l}}_i({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_i)-f_{{\mathrm{dg}}_{\mathrm{\θ}}}\end{array}\right.---\left(28\right)$

此种无阻尼情况下的控制效果如图3、图4、图5、图6中所示。可以看出，本发明的对重力梯度力矩进行补偿的控制律能够有效控制绳系卫星编队的自旋展开。

编队展开完成后，系统的状态为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i\left(t_f\right)={\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_e\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_i\left(t_f\right)=0\\ l_i\left(t_f\right)=l_e\end{array}\right.---\left(29\right)$

其中，t_f为展开终端时刻；为主星期望自旋角速度；l_e为期望绳长。从而绳系相对主星的俯仰角运动满足

${\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}}_i+\frac{r}{l_e}({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+\mathrm{\Ω}){\mathrm{sin\α}}_i=0---\left(30\right)$

即初始摆角α_i0≠0则α_i会出现周期性震荡而可能导致子星碰撞，为避免这种情况的发生，进一步完善控制律，将绳系按分段展开。采用闭环控制，在俯仰角运动中引入二阶阻尼项，得到展开规律为

$\stackrel{\&CenterDot;}{l}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{r}{2}({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_i+\mathrm{\&Omega;})\&CenterDot;{\mathrm{sin\&alpha;}}_i& 0<t<t_s\\ \frac{{\mathrm{kl}}_i}{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_i-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_i-\mathrm{\&Omega;}}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_i& t_s\&le;t\&le;t_f\end{array}\right.---\left(31\right)$

其中，t_s是匀速展开时间，k是与俯仰角阻尼运动相关的系数，结合式(6)得到新的俯仰角运动方程

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_i+2k{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_i+\frac{r}{l_i}({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_i+\mathrm{\&Omega;}){\mathrm{sin\&alpha;}}_i=0---\left(32\right)$

当α_i为小量时可将其线性化并表示为

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_i+2k{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_i+\frac{r}{l_i}({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_i+\mathrm{\&Omega;}){\mathrm{\&alpha;}}_i=0---\left(33\right)$

其特征值为

${\mathrm{\&lambda;}}_{1,2}=-k\&PlusMinus;\sqrt{k^2-\frac{r}{l_i}({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_i+\mathrm{\&Omega;})}---\left(34\right)$

确定参数α₀＝90°，k＝0.0002，得到欠阻尼系统，使绳系相对于主星的俯仰角最终收敛到0°。即完成整个控制，一种辐射开环绳系卫星编队自旋展开动力学与控制方法。此种小阻尼条件下全过程的控制效果如图7、图8、图9、图10中所示。可以看出，在末段引入阻尼控制后，编队系统最终能够达到期望状态并实现稳定，全过程的系统状态变化和需要控制输出等控制性能指标综合较优。

综上所述，以上仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种辐射开环绳系卫星编队匀速自旋展开控制方法，其特征在于：具体实现步骤如下：

步骤一：建立系统的自旋展开动力学；

建立地心惯性坐标系、轨道坐标系和编队本体固连坐标系，得到编队系统主星、各子星以及绳系的动能和重力势能的表达，再代入拉格朗日方程得到系统展开的动力学方程(1)、(2)和(3)；

步骤二：对步骤一得到的动力学方程进行无量纲处理；

确定辐射开环绳系卫星编队自旋展开过程的控制变量为主星自旋角θ_i、主星与子星连接绳系已展开长度l_i和绳系相对主星的俯仰角α_i；θ_i和l_i的控制通过主星实现，α_i的控制通过子星消耗能量实现；但考虑到系统实际应用中所处的工程条件，主星的角速度和角加速度能够为任意，因此绳系拉力通过主星对绳长展开速度进行控制，子星相对于主星的俯仰角α_i控制由θ_i和l_i的规划实现，所以在设计展开控制律时主要考虑方程(2)；

为了减小因量级的巨大差异引起星载控制计算机的计算失真，提高控制的精度，对动力学方程(2)进行归一化处理，令为无量纲长度，升交角距ν为无量纲时间，引入无量纲变化(4)，得到所需的无量纲形式的动力学方程(5)，l*为主星与子星连接绳系总长度；

步骤三：由步骤一和步骤二的动力学方程，对于具体的系统目标状态，设计针对重力梯度力矩进行补偿的主星匀速自旋展开控制律；

对子星重力梯度进行补偿，广义的补偿控制力为f_dg表示重力梯度引起的广义摄动力；子星重力梯度补偿所需的控制由子星推力器输出得到，并且推力器输出连续推力，展开过程推力器对子星的控制力矩T的表达为(6)；主星匀速自旋展开满足绳系匀速展开的速度与绳系相对于主星的俯仰角的正弦值成正比(满足0°＜α_i≤90°)，从而得到绳系张力和主星力矩的广义控制的表达(7)；

编队展开完成后，系统的状态为(8)；绳系相对主星的俯仰角运动满足方程(9)，即初始摆角α_i0≠0则α_i会出现周期性震荡而可能导致子星碰撞，为避免这种情况的发生，进一步完善控制律，将绳系按分段展开；采用闭环控制，在俯仰角运动中引入二阶阻尼项，得到新的俯仰角运动方程(10)，通过调整与俯仰角阻尼运动相关的系数k的取值可以得到过阻尼、欠阻尼等系统，使绳系相对于主星的俯仰角最终收敛到0°，即完成整个控制；

步骤一中所述系统展开的动力学方程为

$\begin{array}{c}\left\{\frac{1}{2}{\mathrm{Mr}}^2+\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{m}_i\&lsqb;\left(2r^2+2l_i^2+4{\mathrm{rl}}_i{\mathrm{cos\&alpha;}}_i\right)\&rsqb;\right\}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_i-\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{m}_i\{\&lsqb;\left(2l_i^2+2{\mathrm{rl}}_i{\mathrm{cos\&alpha;}}_i\right){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_i\&rsqb;+r{\mathrm{sin\&alpha;}}_i{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{l}}_i\\ -4l_i{\stackrel{\&CenterDot;}{l}}_i\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_i+\mathrm{\&Omega;}-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_i\right)-4r{\stackrel{\&CenterDot;}{l}}_i\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_i+\mathrm{\&Omega;}-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_i\right){\mathrm{cos\&alpha;}}_i+2{\mathrm{rl}}_i{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_i\left(2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_i+2\mathrm{\&Omega;}-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_i\right){\mathrm{sin\&alpha;}}_i\}=u_{{\mathrm{\&theta;}}_i}+f_{{\mathrm{dg}}_{\mathrm{\&theta;}}}\end{array}---\left(1\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_i-\left(1+\frac{r}{l_i}{\mathrm{cos\&alpha;}}_i\right){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_i+2\frac{{\stackrel{\&CenterDot;}{l}}_i}{l_i}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_i-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_i-\mathrm{\&Omega;}\right)+\frac{r}{l_i}{\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_i+\mathrm{\&Omega;}\right)}^2{\mathrm{sin\&alpha;}}_i=u_{{\mathrm{\&alpha;}}_i}+f_{{\mathrm{dg}}_{\mathrm{\&alpha;}}}---\left(2\right)$

$\frac{1}{2}{m}_i\&lsqb;2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{l}}_i-2r{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_i{\mathrm{sin\&alpha;}}_i-2l_i{({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_i+\mathrm{\&Omega;}-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_i)}^2-2r{({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_i+\mathrm{\&Omega;})}^2{\mathrm{cos\&alpha;}}_i\&rsqb;=u_{l_i}+f_{{\mathrm{dg}}_l}---\left(3\right)$

其中，θ_i为主星自旋角，α_i为绳系相对于主星的俯仰角，r为主星轮毂半径，M、m_i为主星和子星i的质量，n为子星个数，ρ为绳系的线密度，l_i为与子星i连接绳系的总长度和展开长度，v_c为系统质心的速度，Ω为轨道角速度； 表示相应广义坐标方向上的广义控制力；f_dg表示重力梯度引起的广义摄动力；

步骤二中所述无量纲变化为

$\begin{array}{ccc}{l}_i={\tilde{l}}_i{l}^{*}& r=\tilde{r}{l}^{*}& d\left(\right)/dt=\mathrm{\&Omega;}d\left(\right)/d\mathrm{\&nu;}\end{array}---\left(4\right)$

得到的无量纲形式动力学方程为

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_i-\left(1+\frac{\tilde{r}}{{\tilde{l}}_i}{\mathrm{cos\&alpha;}}_i\right){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_i+2\frac{{\stackrel{\&CenterDot;}{l}}_i}{{\tilde{l}}_i}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_i-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_i-1\right)+\frac{\tilde{r}}{{\tilde{l}}_i}{\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_i+1\right)}^2{\mathrm{sin\&alpha;}}_i=\\ {\tilde{u}}_{{\mathrm{\&alpha;}}_i}+\frac{\tilde{r}}{{\tilde{l}}_i}{\mathrm{sin\&alpha;}}_i+3\frac{\tilde{r}}{{\tilde{l}}_i}{\mathrm{cos\&theta;}}_i\sin \left({\mathrm{\&theta;}}_i-{\mathrm{\&alpha;}}_i\right)+\\ 3\cos \left({\mathrm{\&theta;}}_i-{\mathrm{\&alpha;}}_i\right)\sin \left({\mathrm{\&theta;}}_i-{\mathrm{\&alpha;}}_i\right)\end{array}---\left(5\right)$

其中点号表示相对于无量纲时间ν的导数，为α_i相对应的广义力；

步骤三中所述展开过程推力器对子星的控制力矩为

$\begin{array}{c}T\left(t\right)=u_{{\mathrm{\&alpha;}}_i}{m}_i{l}_i^2=-m_i{l}_i{\mathrm{\&Omega;}}^2\&lsqb;r{\mathrm{sin\&alpha;}}_i+3r{\mathrm{cos\&theta;}}_i\sin \left({\mathrm{\&theta;}}_i-{\mathrm{\&alpha;}}_i\right)+\\ 3l_i\cos \left({\mathrm{\&theta;}}_i-{\mathrm{\&alpha;}}_i\right)\sin \left({\mathrm{\&theta;}}_i-{\mathrm{\&alpha;}}_i\right)\end{array}---\left(6\right)$

绳系张力和主星力矩的广义控制为

$\left\{\begin{array}{c}{u}_{l_i}=-m_i{\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_i+\mathrm{\&Omega;}\right)}^2\&lsqb;l_i+r{\mathrm{cos\&alpha;}}_i\&rsqb;-f_{{\mathrm{dg}}_l}\\ u_{{\mathrm{\&theta;}}_i}=2\underset{i=1}{\overset{4}{\&Sigma;}}{m}_i{l}_i{\stackrel{\&CenterDot;}{l}}_i\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_i+\mathrm{\&Omega;}-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_i\right)-f_{{\mathrm{dg}}_{\mathrm{\&theta;}}}\end{array}\right.---\left(7\right)$

编队展开完成后，系统的状态为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_i\left(t_f\right)={\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_e\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_i\left(t_f\right)=0\\ l_i\left(t_f\right)=l_e\end{array}\right.---\left(8\right)$

展开过程绳系相对主星的俯仰角运动方程为

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_i+\frac{r}{l_e}({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_i+\mathrm{\&Omega;}){\mathrm{sin\&alpha;}}_i=0---\left(9\right)$

引入二阶阻尼项后新的俯仰角运动方程为

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_i+2k{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_i+\frac{r}{l_i}({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_i+\mathrm{\&Omega;}){\mathrm{\&alpha;}}_i=0---\left(10\right)$