CN109319171B - 一种空间碎片横向角速度抑制和自旋方向控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种空间碎片横向角速度抑制和自旋方向控制方法，步骤如下：一、推导动力学方程；二、设计控制器；三、分析控制器的稳定性；四、数值仿真验证；通过以上步骤，将步骤一推导的目标星姿态动力学方程和步骤二所设计的张力切换控制器结合，得到抑制目标星横向角速度控制方法，将步骤二推导的系绳振动动力学方程与步骤三设计的PD控制器结合，得到控制系绳摆振的方法；该方法设计的切换控制器通过两个常值张力的切换控制，能够抑制目标星横向角速度，使用简单的PD控制律能够控制系绳摆振；步骤四进行数值仿真，验证了控制系统的可行性、正确性；本发明所述控制方法能够在抑制目标星横向角速度同时有效地抑制系绳的摆振。

Description

一种空间碎片横向角速度抑制和自旋方向控制方法

【技术领域】

本发明提供一种空间碎片横向角速度抑制和自旋方向控制方法，它是一种使用空间绳网系统的空间碎片横向角速度抑制和自旋方向控制方法，它涉及一种使用空间绳网系统捕获空间碎片后的横向角速度抑制与自旋方向控制的方法，它通过两个常值系绳张力的切换控制来实现对捕获的空间碎片横向角速度的消除和自旋方向的控制。属于航天工程中绳系卫星技术领域。

【背景技术】

随着人造空间飞行器数量的增长，有限的轨道资源被占用。在一个卫星完成了它任务，或者燃料耗尽、出现故障之后，它就失去作用成了太空垃圾。如果不采取相应的措施，这些废弃卫星在一个非常长的时间内不会坠入大气层从而导致太空环境越来越恶劣。捕获碎片一种常用的方法是使用柔性网将其包裹起来，形成空间绳网系统(即TSN系统)。

TSN系统主要有两个问题亟待解决，一个是对系绳的摆振控制，另一个是对捕获的空间碎片姿态控制。

该项技术创新点和难点在于绳网捕获后的废弃卫星没有可以输出力矩的执行机构，只能通过系绳的张力来控制卫星的姿态。由于系绳和绳网的连接点的横向运动与废弃卫星的横向角速率是相关联的，本发明通过对绳结点的作用来对卫星横向角速率进行抑制。本文提出的方法优点在于不需要获知被捕空间碎片的惯量信息和姿态信息。此外，该方法的另一个优势是采用了切换控制的方式，控制系统只需要在两个张力间进行切换并且切换简单易实现。该控制方式的稳定性证明基于对刚体的姿态动力学分析与Barbalat引理(该‘Barbalat引理’是指设x：[0，∞)→R为一阶连续可导，且当t→∞时有极限，则如果

t∈[0,∞)一致连续，那么

并且论证了仅使用系绳的张力来完全消除卫星自旋的可能性。因此本文提出的方法有一定的必要与作用。

【发明内容】

(一)发明的目的

本发明的目的是使用TSN系统并仅通过系绳的张力来实现废弃卫星的姿态控制，设计了通过两个常值系绳张力的切换作用来抑制废弃卫星的横向角速度和自旋方向的控制方法。

(二)本发明的技术方案：

本发明针对绳系空间网系统提出一种只使用系绳张力消除被捕物的横向角速度方法并且设计PD控制器(该‘PD控制器’是指包含比例控制与微分控制的控制器)消除系绳的振动。

本发明一种空间碎片横向角速度抑制和自旋方向控制方法，即一种使用空间绳网系统的空间碎片横向角速度抑制和自旋方向控制方法，其前提假设如下所述。

该TSN系统包括带有推进装置的主动星、绳网捕获的废弃卫星和相对较长的系绳在内的整体，主动星和目标星位于系绳两端；为了描述系绳的摆振做出如下假设：

(1)位于系绳两端的主动星和目标星视为质点；

(2)主动星和目标星的姿态运动对系绳的摆振影响很小，在分析系绳摆振运动时可以忽略；

(3)绳网捕获目标后视为刚性的；

本发明一种空间碎片横向角速度抑制和自旋方向控制方法，即一种使用空间绳网系统的空间碎片横向角速度抑制和自旋方向控制方法，具体步骤如下：

步骤一、推导动力学方程

本发明首先推导了系绳摆振的动力学方程，建模采用空间绳网系统的轨道坐标系与本体坐标系。如图1所示，轨道坐标系ox_oy_oz_o中z_o轴的方向是从地球中心指向空间绳网系统的质心，y_o轴垂直于轨道平面。轨道坐标系采用y-z旋转顺序进行旋转后与系统的本体坐标系ox_by_bz_b重合，其中得到的两个夹角α和β分别为轨道平面内的摆角和垂直于轨道平面的面外摆角；然后使用拉格朗日方程可以推导出系绳摆振运动的动力学方程，方程如下：

其中ω_o为空间绳网系统的轨道角速度，μ为地心引力常数，R地球中心到空间绳网系统质心的距离，T为系绳张力，L为系绳长度。主动星质量为m₁，目标星质量为m₂，系绳的质量为m_t，整个系统的质量为m＝m₁+m₂+m_t。为了使方程简化，引入两个参数分别为

在方程(1)的右边的Q_L，Q_α，Q_β是主动星的相应的广义推力。能够推导出它们的表达式如下：

在公式(2)中P_bx，P_by，P_bz为推力矢量

在系绳空间网系统的本体系上的三个分量。

为了得到目标星的姿态动力学方程，建立目标星本体坐标系如图1所示，x_b2，y_b2，z_b2沿着目标星的惯性主轴，相应的转动惯量分别为A，B，C。目标星沿x_b2对称，网与系绳的结点在x_b2轴上。三个欧拉角ψ，θ，

是通过轨道坐标系经过的z-y-x旋转顺序到目标星的本体坐标系来定义的。用欧拉角描述刚体姿态动力学方程如下：

式中：A，B，C分别为目标星三个惯性主轴x_b2，y_b2，z_b2的转动惯量，ω_b2x，ω_b2y，ω_b2z为目标星相对轨道坐标系角速度沿着目标星本体系三个轴的分量，M_b2x，M_b2y，M_b2z为系绳张力产生的力矩沿着目标星本体系三个轴的分量。

步骤二、设计控制器

为了描述目标星的姿态运动，设定了另一个参考系，如图2所示，它的原点和目标星的质心重合，它的x_s，y_s，z_s的方向与TSN系统本体坐标系的x_b，y_b，z_b轴的方向一致。为了描述该参考系o_sx_sy_sz_s到目标星本体坐标系的相应的姿态，采用x-y-x旋转顺序，相应的欧拉角分别为ψ′，θ′，

在参考系o_sx_sy_sz_s中，系绳的张力始终与x_s轴对齐。如果系绳的张力恒定，那么系绳张力与保守力的作用相同，在参考系中系统张力产生的势能可以与目标星的转动动能相互转化，并且势能与转动动能的能量总和是恒定的。可以得到如下关系：

其中δ是目标星质心到绳结点之间的距离，C是一个常数。基于上面的分析，我们可以设计如下控制律：

其中

和T是两个不同的常值张力，并且满足

为了对系绳的摆振进行控制，本发明设计了一个简单的PD控制器，根据系绳摆振动力学方程，可以设计广义推力Q_L，Q_α，Q_β的表达式如下：

其中K_DL＞0，K_PL＞0，K_Dα＞0，K_Pα＞0，K_Dβ＞0，K_Pβ＞0是PD控制器(该‘PD控制器’是指包含比例控制与微分控制的控制器)的可调系数。

步骤三、分析控制器的稳定性

如等式(4)中所示，对于一个常值张力T，总能量E也是常值，因此可得如下等式

当

张力做负功，转动动能转化为张力的势能。因此当

时，我们施加更大的张力

以便这额外的张力

消耗总能量E。因此可得以下方程：

因此使用所设计的控制律，总能量的导数总是半负定的。从总能量的物理意义我们可以得出总能量是非负的，即存在下界。根据Barbalat引理，我们能够得出

同样，公式(9)对应的是公式(5)中的小张力的情况，即

又因为

所以θ′的下界为0。再一次运用Barbalat引理我们能够得到以下方程

由上述方程可以看出θ′将会趋近于一个常值。

从参考系到目标星本体系的转移矩阵为

在等式(11)中S代表sin，C代表cos。目标星的角速度在目标星本体系上的分量列阵与三个欧拉角角速度的关系为

根据刚体转动的欧拉方程，我们可以得到θ′的二阶导数

角动量在x_s方向上的分量H_xs能够被表示为

因为张力的方向被固定并且总是沿着x_s方向，所以张力不会在x_s上产生力矩。因此在x_s方向上的角动量不变。

目标星转动动能的表达式如下：

根据方程(10)我们能够得到当时间趋近于无穷，θ′将会趋近于一个常数。这意味着张力不在做功，势能与动能之间没有能量交换。因此动能也会趋近于一个常值。因此控制律最后的结果是使E_r＝E_r0＝C₁，H_xs＝H_xs0＝C₂，θ′＝θ′₀＝C₃，

并且

将这些参数代入方程(13)，(14)，(15)。可以得到以下方程：

式中：T为系绳张力，δ为目标星质心到绳结点之间距离，

θ′,ψ′为参考坐标系o_sx_sy_sz_s采用x-y-x旋转顺序到目标星本体坐标系的相应欧拉角，

θ′₀,ψ′₀为最终时刻参考坐标系o_sx_sy_sz_s采用x-y-x旋转顺序到目标星本体坐标系的相应欧拉角，A，B，C分别为目标星三个惯性主轴x_b2，y_b2，z_b2的转动惯量，H_xs0为目标星最终时刻的角动量在参考坐标系x_s上的分量，ω_b2x为目标星相对于参考坐标系的角速度在目标星本体轴x_b2上的分量，E_r0为系绳最终时刻的势能。

为了使上述公式简单，我们令

利用公式(19)和(20)我们可以得到

和ω_b2x的表达式：

式中：A，B，C分别为目标星三个惯性主轴x_b2，y_b2，z_b2的转动惯量，H_xs0为目标星最终时刻的角动量在参考坐标系x_s上的分量，ω_b2x为目标星相对于参考坐标系的角速度在目标星本体轴x_b2上的分量，E_r0为系绳最终时刻的势能。

θ′,ψ′为参考坐标系o_sx_sy_sz_s采用x-y-x旋转顺序到目标星本体坐标系的相应欧拉角，

θ′₀,ψ′₀为最终时刻参考坐标系o_sx_sy_sz_s采用x-y-x旋转顺序到目标星本体坐标系的相应欧拉角。从上面两个方程可以看出要使

和ω_b2x存在，必须满足要求

从

和w_b2x的表达式可以看出

和w_b2x都是有关于

的一元函数。因此可以得到

和

把它们代入方程(16)中可以得到如下方程：

由方程(23)可知，当sinθ′₀＝0时也就是θ′₀＝0时不论T为何值等式(23)都成立。因此θ′₀＝0为控制律的可能的平衡点之一。

对于θ′₀≠0的情况。关于张力T的表达式可写为：

可以看出张力是关于

与

的函数。

当B＝C时，

与

都是常数，不随

的变化而变化。这表明对于特定的H_xs0和E_r0，存在一个常数张力T满足方程(23)。根据刚体转动的欧拉方程，ω_b2x为常数，刚体角动量沿着目标物本体轴x_b2方向上分量为常数。因此只要H_b2x≠H_xs0，那么最终x_b2轴与x_s不重合，因此θ′的值将趋近于一个正数。

当B≠C时，根据公式(19,20,24)可知张力

是关于

的一元函数。所以只要

改变，张力的值也会改变。当

和

时，方程(13)变为以下表达式：

式中：T为系绳张力，δ为目标星质心到绳结点之间距离，

θ′,ψ′为参考坐标系o_sx_sy_sz_s采用x-y-x旋转顺序到目标星本体坐标系的相应欧拉角，A，B，C分别为目标星三个惯性主轴x_b2，y_b2，z_b2的转动惯量。因为张力总大于零并且

假设A是最大惯性常量，那么很容易看出

总是半负定并且只有当θ′＝0时

才成立。所以当θ′≠0，

时，

此时θ′不是常数。因此当

即

一直变化，根据公式(24)张力T不是常值。从上述分析可以得出，θ′＝0是唯一的平衡点。所以θ′最后将会渐近收敛到零。

所以可以得出以下结论：如果A是最大惯性常量且B≠C，那么在上述控制律控制下，欧拉角θ′最后将渐近收敛到零。因此设计的控制律能够抑制目标星的横向角速度。

张力控制律着重于抑制目标星的横向角速度并使目标物的本体轴x_b2与系绳方向重合。主动星推力被用来改变系绳方向和稳定系绳摆振。

步骤四、数值仿真验证

本发明的数值仿真软件的编写平台为矩阵实验室平台(即Matlab平台)，Matlab系列产品在航天工程领域已经得到了非常广泛的应用，在动力学和控制相关问题研制开发过程中，该系列产品是十分可靠的数值仿真软件；

结合上述发明内容，编写动力学模型方法和控制系统方法，为了使模拟中的动力学模型更准确，考虑了目标星姿态运动对系绳的影响。给定参数进行数值仿真，验证设计的控制方法的正确性。

通过以上步骤，将步骤一推导的目标星姿态动力学方程和步骤二所得到的张力切换控制器结合，得到抑制目标星横向角速度控制方法，将步骤一推导的系绳振动动力学方程与步骤二推导的PD控制器结合，得到控制系绳摆振的方法；该方法设计的切换控制器通过两个常值张力的切换控制，能够抑制目标星横向角速度，使用简单的PD控制器能够控制系绳摆振；步骤四进行数值仿真，验证了控制系统的可行性、正确性；该方法设计的TSN系统的张力切换控制能够高效地抑制目标星横向角速度，具有较高的实用性和灵活性；本发明所述控制方法能够在抑制目标星横向角速度同时有效地抑制系绳的摆振。

(三)本发明的优点和功效

本发明所使用的控制方法绳网捕获后的废弃卫星没有可以输出力矩的执行机构只使用系绳张力就能抑制目标星横向角速度，并且只使用PD控制器就能控制系绳摆振。相比于一般的控制方法，该控制方法仅使用两个常值的小张力，对系绳的影响不大，工程应用性高。切换控制律只依赖于横向角是变大还是变小或不变，不需要反馈，很容易实现。目标星的自旋轴跟踪系绳的方向，通过推力控制系绳方向并且运用方法抑制横向角速度能够控制目标星自旋方向。并且随着系绳姿态机动的进行，目标星自旋角速度不断减小，从而实现目标星的自旋完全消除。

【附图说明】

图1系统建模采用的坐标系示意图。

图2参考坐标系o_sx_sy_sz_s坐标示意图。

图3期望的系绳平面内角度α＝0情况下受控TSN系统系绳摆振，推力变化，系绳长度变化示意图。

图4期望的系绳平面内角度α＝0情况下受控TSN系统目标星相对轨道的姿态角速度变化，目标星姿态角变化示意图。

图5期望的系绳平面内角度α每2000秒在0^°和20^°之间变化情况下受控TSN系统系绳振动，推力变化，系绳长度变化示意图。

图6期望的系绳平面内角度α每2000秒在0^°和20^°之间变化情况下目标物相对轨道的姿态角速度变化，目标星姿态角变化示意图。

图7本发明所述方法流程图.

图中标号、符号说明如下：

o为TSN系统质心，x_o为轨道坐标系x_o轴，y_o为轨道坐标系y_o轴，z_o为轨道坐标系z_o轴，x_b为TSN系统本体系的x_b轴，y_b为TSN系统本体系的y_b轴，z_b为TSN系统本体系的z_b轴。

Earth为地球，R为地球中心到TSN系统质心之间的距离。α是系统面内摆角，β是系统面外摆角。

o_b2为目标物质心，x_b2为目标物本体系的x_b2轴，y_b2为目标物本体系的y_b2轴，z_b2为目标物本体系的z_b2轴。

x_s为参考坐标系o_sx_sy_sz_s的x_s轴，y_s为参考系o_sx_sy_sz_s的y_s轴，z_s为参考系o_sx_sy_sz_s的z_s轴，θ′为x_s轴与x_b2轴之间夹角。

Target为目标星，Main Satellite为主动星。

为主动星的推力。L为系绳长度，ω_b2x、ω_b2y、ω_b2z分别为目标星相对轨道的姿态角速度在本体系x_b2，y_b2，z_b2上的分量。ψ，θ，

为目标星本体系相对于参考坐标系o_sx_sy_sz_s的姿态角。time为时间变量。

【具体实施方式】

下面结合附图1、2、3、4、5、6、7对发明内容进一步详述如下：

首先对系统进行必要假设，对系统进行动力学建模。然后推导出系统摆振的动力学方程式与目标星的姿态动力学方程式。再设计两个常值张力切换控制器与PD控制器。进一步分析了切换控制是否可持续进行和系统的稳定性，分析了什么情况下目标星的横向角速度会被抑制。最后将所设计模型与控制器结合，进行数值仿真验证控制方法的正确性。

本发明一种空间碎片横向角速度抑制和自旋方向控制方法，即一种使用空间绳网系统的空间碎片横向角速度抑制和自旋方向控制方法。其所谓的空间绳网系统包括主动星、目标星和弹性连接绳在内的主体，主动星与目标星位于系绳两端，如图1所示；参考坐标系o_sx_sy_sz_s坐标示意图如图2所示。

为了突出重点问题并简化运动方程，做如下假设：(1)位于系绳两端的主卫星和目标物视为质点；(2)主卫星和目标物的姿态运动对系绳的振动影响很小，在分析系绳摆振运动时可以忽略；(3)绳网捕获目标后视为刚性的；

本发明一种空间碎片横向角速度抑制和自旋方向控制方法，即一种使用空间绳网系统的空间碎片横向角速度抑制和自旋方向控制方法，见图7所示，具体步骤如下：

步骤一、推导动力学方程

首先根据假设，利用拉格朗日方程推导了系统摆振的动力学方程，并进一步给出了目标星的姿态动力学方程。

具体方案，如发明内容所述，这里不再赘述。

步骤二、设计控制器

对于目标星的姿态运动，根据欧拉角θ′的变化情况设计了张力切换控制器。对于系统摆振，设计了简单的PD控制器。

具体方案，如发明内容所述，这里不再赘述。

步骤三、分析控制器的稳定性

首先证明了在张力切换控制下，系统的总能量不断变小。应用Barbalat引理，表明系统总能量最后保持不变，并进一步分析了欧拉角θ′最后趋近于一个常数。经过一系列的分析证明了当B＝C时，只要H_b2x≠H_xs0，欧拉角θ′趋近于一个不为零的常数，当B≠C时，欧拉角θ′最后渐近收敛到零。最后得出使用该控制律能够抑制目标星横向角速度的结论。

具体方案，如发明内容所述，这里不再赘述。

步骤四、数值仿真验证

TSN系统的惯性和几何参数如表1所示，系统初始状态如表2所示。

表1 TSN系统惯性和几何参数

表2初始状态

在第一次仿真中，较大的张力

较小的张力T＝20N。期望的系绳长度为100m期望的面内角与面外摆角都为零，为使推力不太大PD控制器的参数都为0.005，仿真时长为3000秒。仿真结果如图3与图4所示。

由图3可以看出，系绳长度与摆振角度大约在2000秒内被很好地稳定。推力在空间绳网系统本体坐标系上的三个分量全都限制在150N以下。这是因为目标星的姿态运动对系绳的运动的影响确实很小并且PD控制器具有固有的抗干扰能力。图3显示目标星横向角速度抑制方法的影响，目标星横向角速度ω_b2y和ω_b2z也在2000秒内被很好地抑制，欧拉角θ和ψ都变为零，表明目标物本体轴x_b2最后和系绳方向x_b一致。

第二个仿真是测试控制方法中完全消除目标星自旋的能力。TSN系统的参数和初始状态与第一个仿真相同。绳子的期望长度依旧为100m，绳子面外期望角度为0度，而绳子面内期望角度每2000秒在0度与2000度之间变化去消除目标星的角动量在x_b2上的分量。仿真时长被选为10000秒。仿真结果如图5和图6所示。

图5显示PD控制器在频繁的姿态机动中发挥了很好的控制作用。结合图5与图6，能够很好地看出在整个仿真过程中目标星的自旋轴跟踪系绳的方向。因此为了实现对目标物自旋方向的控制，我们仅仅需要操纵系绳方向并且应用横向角速度抑制的方法。此外，随着系绳姿态机动的进行，旋转速度ω_b2x逐渐下降，完全消除目标星自旋能够实现通过频繁的姿态机动。

以上所述仅是本发明的具体实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明方法的前提下，还可以做出若干改进，或者对其中部分技术特征进行等同替换，这些改进和替换也应视为本发明的保护范围。

Claims (1)

1.一种空间碎片横向角速度抑制和自旋方向控制方法，前提假设如下所述；

空间绳网系统即TSN系统包括带有推进装置的主动星、绳网捕获的废弃卫星和相对较长的系绳在内的整体，主动星和目标星位于系绳两端；为了描述系绳的摆振做出如下假设：

(1)位于系绳两端的主动星和目标星视为质点；

(2)主动星和目标星的姿态运动对系绳的摆振影响很小，在分析系绳摆振运动时能忽略；

(3)绳网捕获目标后视为刚性的；

其特征在于：具体实施步骤如下：

步骤一、推导动力学方程

首先推导了系绳摆振的动力学方程，建模采用空间绳网系统的轨道坐标系与本体坐标系；该轨道坐标系ox_oy_oz_o中z_o轴的方向是从地球中心指向空间绳网系统的质心，y_o轴垂直于轨道平面；轨道坐标系采用y-z旋转顺序进行旋转后与系统的本体坐标系ox_by_bz_b重合，其中得到的两个夹角α和β分别为轨道平面内的摆角和垂直于轨道平面的面外摆角；然后使用拉格朗日方程能推导出系绳摆振运动的动力学方程，方程如下：

其中，ω_o为空间绳网系统的轨道角速度，μ为地心引力常数，R地球中心到空间绳网系统质心的距离，T为系绳张力，L为系绳长度；主动星质量为m₁，目标星质量为m₂，系绳的质量为m_t，整个系统的质量为m＝m₁+m₂+m_t；为了使方程简化，引入两个参数分别为

在方程(1)的右边的Q_L，Q_α，Q_β是主动星的相应的广义推力；能够推导出它们的表达式如下：

在公式(2)中P_bx，P_by，P_bz为推力矢量

在系绳空间网系统的本体系上的三个分量；

为了得到目标星的姿态动力学方程，建立目标星本体坐标系，x_b2，y_b2，z_b2沿着目标星的惯性主轴，相应的转动惯量分别为A，B，C；目标星沿x_b2对称，网与系绳的结点在x_b2轴上；三个欧拉角ψ，θ，

是通过轨道坐标系经过的z-y-x旋转顺序到目标星的本体坐标系来定义的；用欧拉角描述刚体姿态动力学方程如下：

式中：A，B，C分别为目标星三个惯性主轴x_b2，y_b2，z_b2的转动惯量，ω_b2x，ω_b2y，ω_b2z为目标星相对轨道坐标系角速度沿着目标星本体系三个轴的分量，M_b2x，M_b2y，M_b2z为系绳张力产生的力矩沿着目标星本体系三个轴的分量；

步骤二、设计控制器

为了描述目标星的姿态运动，设定了另一个参考系，它的原点和目标星的质心重合，它的x_s，y_s，z_s的方向与TSN系统本体坐标系的x_b，y_b，z_b轴的方向一致；为了描述该参考系o_sx_sy_sz_s到目标星本体坐标系的相应的姿态，采用x-y-x旋转顺序，相应的欧拉角分别为ψ′，θ′，

在参考系o_sx_sy_sz_s中，系绳的张力始终与x_s轴对齐；如果系绳的张力恒定，那么系绳张力与保守力的作用相同，在参考系中系统张力产生的势能能与目标星的转动动能相互转化，并且势能与转动动能的能量总和是恒定的；能得到如下关系：

其中δ是目标星质心到绳结点之间的距离，C是一个常数；基于上面的分析，设计如下控制律：

其中

和T是两个不同的常值张力，并且满足

为了对系绳的摆振进行控制设计了一个简单的PD控制器，根据系绳摆振动力学方程，能设计广义推力Q_L，Q_α，Q_β的表达式如下：

其中K_DL＞0，K_PL＞0，K_Dα＞0，K_Pα＞0，K_Dβ＞0，K_Pβ＞0是PD控制器的可调系数；

步骤三、分析控制器的稳定性

如等式(4)中所示，对于一个常值张力T，总能量E也是常值，因此能得如下等式

当

张力做负功，转动动能转化为张力的势能；因此当

时，施加更大的张力

以便这额外的张力

消耗总能量E；因此能得以下方程：

因此使用所设计的控制律，总能量的导数总是半负定的；从总能量的物理意义能得出总能量是非负的，即存在下界；根据Barbalat引理，能够得出

同样，公式(9)对应的是公式(5)中的小张力的情况，即

又因为

所以θ′的下界为0；再一次运用Barbalat引理能够得到以下方程

由上述方程能看出θ′将会趋近于一个常值；

从参考系到目标星本体系的转移矩阵为

在等式(11)中S代表sin，C代表cos；目标星的角速度在目标星本体系上的分量列阵与三个欧拉角角速度的关系为

根据刚体转动的欧拉方程，能得到θ′的二阶导数

角动量在x_s方向上的分量H_xs能够被表示为

因为张力的方向被固定并且总是沿着x_s方向，所以张力不会在x_s上产生力矩；

因此在x_s方向上的角动量不变；

目标星转动动能的表达式如下：

根据方程(10)能够得到当时间趋近于无穷，θ′将会趋近于一个常数；这意味着张力不在做功，势能与动能之间没有能量交换；因此动能也会趋近于一个常值；因此控制律最后的结果是使E_r＝E_r0＝C₁，H_xs＝H_xs0＝C₂，θ′＝θ′₀＝C₃，

并且

将这些参数代入方程(13)，(14)，(15)；能得到以下方程：

式中：T为系绳张力，δ为目标星质心到绳结点之间距离，

θ′,ψ′为参考坐标系o_sx_sy_sz_s采用x-y-x旋转顺序到目标星本体坐标系的相应欧拉角，

θ′₀,ψ′₀为最终时刻参考坐标系o_sx_sy_sz_s采用x-y-x旋转顺序到目标星本体坐标系的相应欧拉角，A，B，C分别为目标星三个惯性主轴x_b2，y_b2，z_b2的转动惯量，H_xs0为目标星最终时刻的角动量在参考坐标系x_s上的分量，ω_b2x为目标星相对于参考坐标系的角速度在目标星本体轴x_b2上的分量，E_r0为系绳最终时刻的势能；

为了使上述公式简单，令

利用公式(19)和(20)能得到

和ω_b2x的表达式：

式中：A，B，C分别为目标星三个惯性主轴x_b2，y_b2，z_b2的转动惯量，H_xs0为目标星最终时刻的角动量在参考坐标系x_s上的分量，ω_b2x为目标星相对于参考坐标系的角速度在目标星本体轴x_b2上的分量，E_r0为系绳最终时刻的势能；

θ′,ψ′为参考坐标系o_sx_sy_sz_s采用x-y-x旋转顺序到目标星本体坐标系的相应欧拉角，

θ′₀,ψ′₀为最终时刻参考坐标系o_sx_sy_sz_s采用x-y-x旋转顺序到目标星本体坐标系的相应欧拉角；

从上面两个方程能看出要使

和ω_b2x存在，必须满足要求

从

和w_b2x的表达式能看出

和w_b2x都是有关于

的一元函数；因此能得到

和

把它们代入方程(16)中能得到如下方程：

由方程(23)能知，当sinθ′₀＝0时也就是θ′₀＝0时不论T为何值等式(23)都成立；因此θ′₀＝0为控制律的平衡点之一；

对于θ′₀≠0的情况；关于张力T的表达式写为：

能看出张力是关于

与

的函数；

当B＝C时，

与

都是常数，不随

的变化而变化；这表明对于特定的H_xs0和E_r0，存在一个常数张力T满足方程(23)；根据刚体转动的欧拉方程，ω_b2x为常数，刚体角动量沿着目标物本体轴x_b2方向上分量为常数；因此只要H_b2x≠H_xs0，那么最终x_b2轴与x_s不重合，因此θ′的值将趋近于一个正数；

当B≠C时，根据公式(19,20,24)能知张力

是关于

的一元函数；所以只要

改变，张力的值也会改变；当

和

时，方程(13)变为以下表达式：

式中：T为系绳张力，δ为目标星质心到绳结点之间距离，

θ′,ψ′为参考坐标系o_sx_sy_sz_s采用x-y-x旋转顺序到目标星本体坐标系的相应欧拉角，A，B，C分别为目标星三个惯性主轴x_b2，y_b2，z_b2的转动惯量；

因为张力总大于零并且

假设A是最大惯性常量，那么很容易看出

总是半负定并且只有当θ′＝0时

才成立；所以当θ′≠0，

时，

此时θ′不是常数；因此当

即

一直变化，根据公式(24)张力T不是常值；从上述分析能得出，θ′＝0是唯一的平衡点；所以θ′最后将会渐近收敛到零；

所以能得出以下结论：如果A是最大惯性常量且B≠C，那么在上述控制律控制下，欧拉角θ′最后将渐近收敛到零；因此设计的控制律能够抑制目标星的横向角速度；

张力控制律着重于抑制目标星的横向角速度并使目标物的本体轴x_b2与系绳方向重合；主动星推力被用来改变系绳方向和稳定系绳摆振；

步骤四、数值仿真验证

数值仿真软件的编写平台为矩阵实验室Matlab平台。

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