CN107643689B - 一种空间碎片的绳系拖曳稳定控制方法 - Google Patents

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Abstract

本发明涉及一种空间碎片的绳系拖曳稳定控制方法，尤其涉及航天器相对运动和柔性绳系控制方法，属于航天器姿态动力学与控制领域。本发明通过选取适当的广义坐标，利用拉格朗日方法建立绳系拖车系统的三维轨道姿态耦合动力学精确模型，其中，将碎片和拖车均视为刚体，系绳看作无质量的弹簧阻尼；提出了在系绳对碎片进行消旋前，估计系绳对特定碎片消旋能力的方法；针对初始旋转的空间碎片，设计采用系绳原长和连接点偏移量作为控制输入的偏移控制策略，实现碎片的消旋，并稳定系统的抖动，从而为空间碎片的绳系拖曳清除提供可靠的保障。

Description

一种空间碎片的绳系拖曳稳定控制方法
技术领域
本发明涉及一种空间碎片的绳系拖曳稳定控制方法，尤其涉及航天器相对运动和柔性绳系控制方法，属于航天器姿态动力学与控制领域。
背景技术
绳系拖车系统中，采用单绳对碎片进行消旋处理的有效策略是偏移控制方法。文献(Kumar,K.D.,and Tan,B."Nonlinear optimal control of tethered satellitesystems using tether offset in the presence of tether failure."ActaAstronautica 66.9(2010):1434-1448)利用系绳连接点和系绳原长两个控制量，使用非线性逆最优控制方法，抑制系统的振荡。在该方法中，将系绳连接点看作变量，通过求取动力学方程的三阶导数分离控制变量，从而设计控制律，完成碎片的消旋。方法理论研究无误，但由于实际生活中的动力学系统多为二阶，求取其三阶导之后，函数极易出现不连续，大部分时间为零等问题，导致计算过程中出现很大误差，甚至发生奇异。因此在实际工程中，该文献中的方法不能顺利完成对空间碎片的消旋。为解决这一问题，必须使用新的方法来合理设计系绳连接点及系绳原长的控制律，从而有效地对碎片进行消旋，保证碎片清除任务的顺利进行。此外，在大部分已发表的相关文献中，碎片的初始旋转方向位于轨道面内，系统仅存在平面内的运动的情况，对于碎片在轨道面外的旋转消旋问题则鲜少提出并研究。因此采用单绳拖拽空间碎片并以绳长，系绳与碎片连接点为控制量，合理设计控制器，使碎片在俯仰轴和偏航轴消旋稳定是十分有意义的。
本发明旨在提出一种空间碎片的绳系拖曳稳定控制方法。在绳系拖车系统精确建模的基础之上，利用系绳与碎片的连接点偏移量和系绳原长对空间碎片进行消旋处理，抑制绳系拖车系统的振荡，为空间碎片清除过程提供稳定控制，从而保证碎片清除任务安全可靠地进行。
发明内容
本发明的目的是为了解决单根系绳拖曳空间碎片过程中碎片旋转引起系统振荡甚至失稳的问题，提供一种空间碎片的绳系拖曳稳定控制方法。该方法对绳系拖车系统进行了精确的三维姿轨耦合动力学建模，并在此基础之上，仅依靠改变系绳连接点的位置和绳长，模拟双绳交替长紧松弛的效果，实现对碎片的消旋处理。此方法以其动力学建模精确，方法实现简便等优点，为空间碎片的平稳移除提供可靠的保障。
本发明的目的通过以下技术方案实现。
一种空间碎片的绳系拖曳稳定控制方法，通过选取适当的广义坐标，利用拉格朗日方程建立绳系拖车系统的三维姿轨耦合动力学精确模型，其中将碎片和拖车视为刚体，系绳看作无质量的弹簧阻尼；提出了在系绳对碎片进行消旋前，估计系绳对特定碎片消旋能力的方法；针对初始旋转的空间碎片，设计采用系绳原长和连接点偏移量作为控制输入的偏移控制策略，实现碎片的消旋，并稳定系统的抖动，从而为空间碎片的绳系拖曳清除提供可靠的保障。
一种空间碎片的绳系拖曳稳定控制方法，包括如下步骤：
步骤一：通过拉格朗日方法建立系统的三维姿轨耦合动力学精确模型；
在动力学建模中，将碎片和拖车均视为刚体，系绳看作无质量的弹簧阻尼模型。定义系统的轨道坐标系So，原点位于绳系拖车系统的质心，zo轴由绳系拖车系统的质心指向地心，xo轴在轨道平面内垂直于zo轴并指向绳系拖车系统的运动方向，yo轴遵循右手定则。拖车的本体系Sb1，固定在拖车本体上，原点位于拖车的质心，三个坐标轴分别沿拖车的惯性轴方向；碎片的本体系Sb2，固定在碎片本体上，原点位于碎片的质心，三个坐标轴分别沿碎片的惯性轴方向。拖车和碎片的质量分别记为m1和m2；拖车的主惯性距在拖车本体系Sb1三轴的分量表示为Jx1，Jy1和Jz1；碎片的主惯性距在碎片本体系Sb2三轴的分量表示为Jx2，Jy2和Jz2；系绳与拖车的连接点A在拖车本体系中的位置矢量表示为ρA＝[xA,yA,zA]T；系绳与碎片的连接点B在碎片本体系中的位置矢量表示为ρB＝[xB,yB,zB]T；拖车和碎片的本体系到轨道系So的转换矩阵分别为Ao,b1和Ao,b2；拖车的推力Ft在系统轨道系So中的三个分量分别记为Ftx，Fty和Ftz；绳系拖车系统的质心所在轨道的半径记为R，轨道角速度记为ω0；地球引力常数记为μ；kAB＝ES/lAB0是绳的弹性系数，其中E表示杨氏模量，S表示系绳的横截面积，lAB0表示系绳原长；系绳拉伸后的长度用lAB表示，系绳长度的变化率用
Figure RE-GDA0001493025470000021
表示；cAB＝DS/lAB0是黏性阻尼系数，D表示黏性系数。在欧拉转动中，按照3-1-2转序定义拖车本体系相对于轨道系的姿态角，用三个欧拉角
Figure RE-GDA0001493025470000022
θ1和ψ1表示，同理可得碎片本体系相对于轨道系的姿态角，用欧拉角
Figure RE-GDA0001493025470000031
θ2和ψ2表示；拖车和碎片的质心距离用l表示，拖车和碎片质心的连线与轨道面的夹角为β，称为面外角，在轨道面内的投影与系统的轨道系xo轴的夹角为α，称为面内角。
选取姿态角
Figure RE-GDA0001493025470000032
θ1、ψ1、
Figure RE-GDA00014930254700000316
θ2、ψ2、长度l、面内角α和面外角β作为系统的广义坐标、采用拉格朗日方法建立系统的三维动力学模型：
Figure RE-GDA0001493025470000033
其中
Figure RE-GDA0001493025470000034
等于
Figure RE-GDA0001493025470000035
Λ是系统的质量矩阵，如式(2) 所示；Π表示外力项，如式(3)所示；Γ代表剩余非线性项，如式(4)-(6)所示。
Figure RE-GDA0001493025470000037
Γ＝Γ1+Γ2 (4)
Figure RE-GDA0001493025470000038
Figure RE-GDA0001493025470000039
其中，Λb1，Λb2和Λtether的具体形式如式(7)-(9)所示；Πb1，Πb2和Πtether的具体形式如式(10)-(12)所示；
Figure RE-GDA00014930254700000310
和
Figure RE-GDA00014930254700000311
的具体形式如式(13)-(15)所示；
Figure RE-GDA00014930254700000312
Figure RE-GDA00014930254700000313
和
Figure RE-GDA00014930254700000314
的具体形式如式(16)-(18)所示。
Figure RE-GDA0001493025470000041
Figure RE-GDA0001493025470000042
Figure RE-GDA0001493025470000043
Figure RE-GDA0001493025470000044
Figure RE-GDA0001493025470000045
Figure RE-GDA0001493025470000046
Figure RE-GDA0001493025470000047
Figure RE-GDA0001493025470000048
Figure RE-GDA0001493025470000051
Figure RE-GDA0001493025470000052
式(7)-(18)中涉及的变量具体形式如式(19)-(35)所示，其中式(33)中H(·)表示Heaviside阶跃函数。
Figure RE-GDA0001493025470000054
Figure RE-GDA0001493025470000055
Figure RE-GDA0001493025470000056
Figure RE-GDA0001493025470000061
Figure RE-GDA0001493025470000062
Figure RE-GDA0001493025470000063
Figure RE-GDA0001493025470000064
Figure RE-GDA0001493025470000065
Figure RE-GDA0001493025470000067
Figure RE-GDA0001493025470000069
Figure RE-GDA00014930254700000610
L＝[lcosβcosα lsinβ lcosβsinα]T (32)
Figure RE-GDA00014930254700000611
Figure RE-GDA00014930254700000612
Figure RE-GDA00014930254700000613
步骤二：估计系绳的控制能力；
在系绳对碎片进行消旋处理前，有必要对系绳消旋所能提供的最大角加速度进行估计，通过对步骤一中的三维动力学模型中相关项的简化，得到系绳所能达到的碎片最大角加速度值如下：
Figure RE-GDA0001493025470000071
Figure RE-GDA0001493025470000072
其中，xBmax，yBmax和zBmax分别代表碎片在其本体系中沿x，y和z方向尺寸的最大值。
Figure RE-GDA0001493025470000073
和
Figure RE-GDA0001493025470000074
代表了系绳在碎片俯仰和偏航方向所能提供的最大力矩。从式(36)和(37)中可以发现，最大的和
Figure RE-GDA0001493025470000076
不仅由碎片的尺寸决定，同时还受碎片惯性积，系统的轨道半径和系绳的物理特性的影响。当绳系消旋时所需的最大角加速度在俯仰和偏航方向分别小于等于式(36)和(37)求得的
Figure RE-GDA0001493025470000077
和
Figure RE-GDA0001493025470000078
则系绳可以实现对该碎片的消旋控制，反之则无法对该碎片消旋。
步骤三：在单绳系统中，设计偏移控制方法对碎片进行消旋；
在单绳系统中，采用偏移控制策略来模拟双绳交替长紧松弛的效果，是实现碎片消旋的有效方法。具体的是通过设计控制律来改变系绳和碎片连接点的偏移量和系绳原长，从而完成对碎片的消旋。
为设计控制律，步骤一中的三维系统动力学方程被左乘Λ-1，如式(38)所示：
此时，动力学方程中关于广义坐标的各子方程相互解耦，其中关于θ2，ψ2和l 的方程形式如下
Figure RE-GDA00014930254700000710
Figure RE-GDA00014930254700000711
Figure RE-GDA00014930254700000712
其中，
Figure RE-GDA0001493025470000081
式(39)-(41)改写为
Figure RE-GDA0001493025470000082
Figure RE-GDA0001493025470000084
其中，涉及的各个变量的具体表示形式在式(45)-(55)中。
Figure RE-GDA0001493025470000085
Figure RE-GDA0001493025470000086
Figure RE-GDA0001493025470000087
Figure RE-GDA0001493025470000088
Figure RE-GDA0001493025470000089
Figure RE-GDA0001493025470000091
Figure RE-GDA0001493025470000092
Figure RE-GDA0001493025470000093
Figure RE-GDA0001493025470000094
Figure RE-GDA0001493025470000095
系统的虚拟输入为
uθ2＝(ΘθyyB+ΘθzzB+γθ)(ΘllAB0+γ) (56)
uψ2＝(ΘψyyB+ΘψzzB+γψ)(ΘllAB0+γ) (57)
ul＝(ΘlyyB+ΘlzzB+Υl)(ΘllAB0+γ) (58)
控制输入用PD控制律进行设计，如下
Figure RE-GDA0001493025470000097
Figure RE-GDA0001493025470000098
Figure RE-GDA0001493025470000099
其中，k1，k2，k3，k4，k5和k6是由用户设定的正数。通过联立式(56)-(61)中的对应方程，计算得到控制变量yB，zB和lAB0的控制律：
Figure RE-GDA00014930254700000910
Figure RE-GDA0001493025470000101
以上控制律的求解都是在系绳时刻长紧的情况下进行的。然而在实际工程中，若释放不当，系绳会发生松弛，从而失去对碎片的控制力。因此在控制律的设计中，需要对系绳的释放进行约束，采用式(64)以维持系绳时刻长紧，从而保证所设计的控制律对碎片的有效控制。
lAB0＝lAB-0.001,if lAB-lAB0＜0.001m (64)
步骤四：采用PD控制方法对拖车姿态进行控制；
针对拖车的姿态控制，由于拖车属于正常工作的航天器，能够用自身的姿态控制系统产生力矩对其本身的姿态实现控制。在式(38)中，对应拖车欧拉角θ1和ψ1的动力学方程简化为如下形式：
Figure RE-GDA0001493025470000103
Figure RE-GDA0001493025470000104
其中，
Figure RE-GDA0001493025470000106
Gθ1和Gψ1是方程中除和
Figure RE-GDA0001493025470000108
以外的项。采用PD控制律，设计的拖车姿态控制力矩如下
Figure RE-GDA0001493025470000109
Figure RE-GDA00014930254700001010
Figure RE-GDA00014930254700001011
其中，k7，k8，k9，k10，k11和k12是由用户设定的正数。将该力矩施加于拖车上，以完成对拖车姿态的稳定控制。
综上，在单绳系统中，通过偏移控制方法，改变系绳与碎片的连接点和系绳原长，实现空间碎片的消旋稳定；通过PD控制方法，产生所需的姿态控制力矩，实现拖车的姿态稳定。系绳对碎片的消旋处理和拖车对自身的姿态控制同时作用于绳系拖车系统，从而完成空间碎片的消旋稳定，抑制系统的振荡，保证空间碎片清除任务的顺利进行。
有益效果
1、本发明公开的一种空间碎片的绳系拖曳稳定控制方法，建立了精确的绳系拖车系统三维姿轨耦合动力学模型。其中，将碎片和拖车视为刚体，系绳看作无质量的弹簧阻尼，同时将系统的轨道运动纳入动力学模型中，考虑了轨道和姿态的耦合作用。
2、本发明公开的一种空间碎片的绳系拖曳稳定控制方法，提出了在系绳对碎片进行消旋前，估计系绳对特定碎片消旋能力的方法。该方法能预估碎片清除任务顺利进行的可能性，并对利用绳系拖车系统进行空间碎片清除中碎片的选择提供指导，此外也对系绳的设计提供理论依据。
3、本发明公开的一种空间碎片的绳系拖曳稳定控制方法，设计了偏移控制策略，通过改变系绳与碎片的连接点和系绳原长，模拟双绳交替长紧松弛的效果，达到了碎片俯仰轴和偏航轴的消旋稳定目的，同时有效抑制了系统的振荡幅度，实现了碎片清除过程的平稳进行。
附图说明
图1为本发明中绳系拖车系统的示意图；
图2为实施例1的开环相对运动情况，其中：图2(a)为拖车姿态角的变化情况、图2(b)为碎片姿态角的变化情况、图2(c)为拖车碎片质心距的变化情况、图2(d)为面内角α和面外角β的变化情况；
图3为实施例1的闭环相对运动情况；
图4为实施例1的控制变量变化情况；
图5为实施例2的闭环相对运动情况；
图6为实施例2的控制变量变化情况。
具体实施方式
为了更好地说明本发明的目的和优点，下面结合附图对本发明的具体实施方式作进一步详细的说明。
本实施例公开的一种空间碎片的绳系拖曳稳定控制方法，为验证该方法，首先，选取高度657公里的运行在近圆轨道上的绳系拖车系统作为主要研究对象。其系统参数如下表所示。
表1绳系拖车系统的初始参数.
Figure RE-GDA0001493025470000121
步骤一：通过拉格朗日方法建立系统的三维姿轨耦合动力学精确模型；
拉格朗日方法如公式(71)所示：
Figure RE-GDA0001493025470000122
其中，T是系统动能，q表示系统的广义坐标，在实施例一和实施例二中，
Figure RE-GDA0001493025470000123
Vg表示系统的重力势能，Ve代表弹性势能。广义坐标q对应的广义力Q的表示如式(72)所示：
其中，FD是广义弹性力，r1是拖车在系统轨道系中的位置矢量。拖车和碎片的重力梯度力矩统一用M表示。系统的动能由线动能和角动能两部分组成，具体形式如式(73)所示：
Figure RE-GDA0001493025470000125
其中，mi和Vi分别代表第i个体的绝对线速度，i＝1表示拖车，i＝2表示碎片。重力势能形式如式(74)所示：
Figure RE-GDA0001493025470000131
系绳的弹性势能表示为式(75)：
Figure RE-GDA0001493025470000132
当lAB≤lAB0时，系绳的弹性势能为零。拖车和刚体的重力梯度力矩表示为式(76) -(78)，其中i＝1表示拖车，i＝2表示碎片：
Figure RE-GDA0001493025470000133
Figure RE-GDA0001493025470000134
Figure RE-GDA0001493025470000135
系绳的广义阻尼力用式(79)表示：
将以上力与能量的表达式带入式(72)中，得到一组表示绳系拖车系统三维动力学的非线性微分方程组，如式(1)所示。
步骤二：估计系绳的控制能力；
经式(36)和(37)验证，系绳所能提供的最大力矩能够对实施例一和实施例二中碎片在俯仰轴和偏航轴的角速度进行消旋处理。
步骤三：在单绳系统中，设计偏移控制方法对碎片进行消旋；
采用式(62)和(63)，计算得到系绳与碎片连接点的偏移量和系绳原长的控制律，用于抑制碎片的旋转；采用式(64)约束系绳长度的释放，从而保证系绳时刻长紧。实施例一中系统各参数设置如下，k1＝0.008，k2＝0.03，k3＝0.001， k4＝0.05，k5＝0.0005，k6＝0.03；实施例二中系统各参数设置如下，k1＝0.008， k2＝0.05，k3＝0.008，k4＝0.05，k5＝0.0005，k6＝0.03。
步骤四：采用PD控制方法对拖车姿态进行控制；
采用式(68)-(70)，设计拖车姿态控制力矩，用于稳定拖车的姿态运动。实施例一中系统各参数设置如下k7＝0.0005，k8＝0.0005，k9＝0.05，k10＝0.08， k11＝0.05，k12＝0.05；实施例二中系统各参数设置如下k7＝0.0005，k8＝0.0005， k9＝0.05，k10＝1，k11＝0.05，k12＝1。
步骤五：绳系拖车系统动力学仿真；
实施例一：
首先针对无控状态下的绳系拖车系统进行动力学仿真，系统的初始相对运动参数为
Figure RE-GDA0001493025470000141
Figure RE-GDA0001493025470000142
系绳原长为99.126m。
采用表一中实施例一的数据进行绳系拖车系统的无控情况下的动力学仿真。图4表示了绳系拖车系统的开环相对运动情况。图中曲线表明拖车和碎片在碎片初始角速度影响下呈现单方向连续翻滚的运动状态。大约30秒以后，系统进入混沌状态，碎片和拖车的角速度剧增，系统的摆动幅度也明显增大。这种运动状态容易引起系绳的断裂和系统的失控，并对正常工作的拖车产生破坏性的影响。因此，为保证系统的稳定和安全，对碎片的旋转进行抑制是十分必要的。
为实现系统的稳定，将步骤三中设计的偏移控制策略加入绳系拖车系统中，并采用步骤四中的姿态控制方法稳定拖车的姿态。在本实施例中，考虑碎片和拖车的目标姿态角均为零，拖车碎片的质心距l期望值为103米，面内角α和面外角β的目标值也为零。
图2表示了系统的闭环控制情况。如图所示，采用PD控制策略设计的输入量，将拖车的姿态角很好地控制在零值附近，同时也有效抑制了碎片在俯仰和偏航方向的角速度。拖车和碎片的质心距l在200秒后趋于稳定，并收敛于目标值。面内角α和面外角β均在很小的范围内稳定摆动，整体呈现稳定状态。绳系拖车系统的广义坐标中，面内角α和面外角β的振动并未在本实施例中进行控制，这主要是由于面内角和面外角的摆动幅度相对于拖车和碎片的姿态角而言较小，且不发散。另外碎片的滚动轴姿态角也并未施加控制，这主要是由于仅采用系绳的扭转对碎片的滚动轴方向施加力矩进行控制是非常困难的。系绳作为一种可拉伸的柔性体，产生沿其轴线方向的扭转力矩需要一定的时间，且大小不易控制，因此在实际应用中，利用系绳扭转力矩进行航天器姿态控制的实例较少。另外在系绳连接点偏移量不为零的情况下，利用系绳向碎片的滚动轴方向提供控制力矩则更为困难，这容易引起其他方向的扰动。在实际中，由于系绳长度较长，短时间内由碎片沿滚动轴方向的运动引起的系绳扭转力矩较小，可以忽略，因此认为此时系统仍处于稳定状态。
图6表示了该实施例中系统控制量在整个仿真过程中的变化情况。从图中可看出，沿碎片本体系Sb2的y轴和z轴方向的偏移控制量的最大值约为1 米和1.7米。控制拖车姿态所需的力矩uθ1和uψ1大小均在0.1N·m以下，力矩在整个仿真中始终为零。
实施例二：
在实施例二中，根据碎片的尺寸，将系绳在碎片上的连接点的偏移量在y 轴和z轴方向均限制在[-2,2]米范围内。图5表示了实施例二中系统的闭环相对运动情况。如图所示，拖车的姿态角在其自身产生的姿态控制力矩的作用下稳定保持在了零值附近，碎片在俯仰和偏航方向的旋转在偏移控制策略的作用下被有效地减缓，并最终收敛于零。同时，拖车碎片的质心距l在400秒以后逐渐收敛于目标值，系统呈现小幅规律摆动。整体上，通过所设计的控制策略，拖车和碎片的姿态振荡得到了有效抑制，系统整体的摆动也明显减弱。
图6表示了实施例二中控制量在仿真过程中的变化情况。系绳在碎片上的偏移量yB和zB在给定的范围内变化，并在400秒后趋于零值。此外，控制拖车姿态的力矩uθ1和uψ1的值与实际情况相符，并在一定时间后趋于稳定。
综上所述，以上仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种空间碎片的绳系拖曳稳定控制方法，其特征在于：包括如下步骤：
步骤一：通过拉格朗日方法建立系统的三维姿轨耦合动力学精确模型；
在动力学建模中，将碎片和拖车均视为刚体，系绳看作无质量的弹簧阻尼模型，定义系统的轨道坐标系So，原点位于绳系拖车系统的质心，zo轴由绳系拖车系统的质心指向地心，xo轴在轨道平面内垂直于zo轴并指向绳系拖车系统的运动方向，yo轴遵循右手定则，拖车的本体系Sb1，固定在拖车本体上，原点位于拖车的质心，三个坐标轴分别沿拖车的惯性轴方向；碎片的本体系Sb2，固定在碎片本体上，原点位于碎片的质心，三个坐标轴分别沿碎片的惯性轴方向，拖车和碎片的质量分别记为m1和m2；拖车的主惯性距在拖车本体系Sb1三轴的分量表示为Jx1，Jy1和Jz1；碎片的主惯性距在碎片本体系Sb2三轴的分量表示为Jx2，Jy2和Jz2；系绳与拖车的连接点A在拖车本体系中的位置矢量表示为ρA＝[xA,yA,zA]T；系绳与碎片的连接点B在碎片本体系中的位置矢量表示为ρB＝[xB,yB,zB]T；拖车和碎片的本体系到轨道系So的转换矩阵分别为Ao,b1和Ao,b2；拖车的推力Ft在系统轨道系So中的三个分量分别记为Ftx，Fty和Ftz；绳系拖车系统的质心所在轨道的半径记为R，轨道角速度记为ω0；地球引力常数记为μ；kAB＝ES/lAB0是绳的弹性系数，其中E表示杨氏模量，S表示系绳的横截面积，lAB0表示系绳原长；系绳拉伸后的长度用lAB表示，系绳长度的变化率用
Figure FDA0002293029590000011
表示；cAB＝DS/lAB0是黏性阻尼系数，D表示黏性系数；在欧拉转动中，按照3-1-2转序定义拖车本体系相对于轨道系的姿态角，用三个欧拉角
Figure FDA0002293029590000012
θ1和ψ1表示，同理可得碎片本体系相对于轨道系的姿态角，用欧拉角θ2和ψ2表示；拖车和碎片的质心距离用l表示，拖车和碎片质心的连线与轨道面的夹角为β，称为面外角，在轨道面内的投影与系统的轨道系xo轴的夹角为α，称为面内角；
选取姿态角
Figure FDA0002293029590000014
θ1、ψ1、
Figure FDA0002293029590000015
θ2、ψ2、长度l、面内角α和面外角β作为系统的广义坐标、采用拉格朗日方法建立系统的三维动力学模型：
Figure FDA0002293029590000016
其中
Figure FDA0002293029590000017
等于
Figure FDA0002293029590000018
Λ是系统的质量矩阵，如式(2)所示；Π表示外力项，如式(3)所示；Γ代表剩余非线性项，如式(4)-(6)所示；
Figure FDA0002293029590000022
Γ＝Γ1+Γ2 (4)
Figure FDA0002293029590000023
Figure FDA0002293029590000024
其中，Λb1，Λb2和Λtether的具体形式如式(7)-(9)所示；Πb1，Πb2和Πtether的具体形式如式(10)-(12)所示；
Figure FDA0002293029590000025
和
Figure FDA0002293029590000026
的具体形式如式(13)-(15)所示；和
Figure FDA0002293029590000028
的具体形式如式(16)-(18)所示：
Figure FDA0002293029590000029
Figure FDA00022930295900000210
Figure FDA0002293029590000031
Figure FDA0002293029590000032
Figure FDA0002293029590000033
Figure FDA0002293029590000034
Figure FDA0002293029590000035
Figure FDA0002293029590000036
Figure FDA0002293029590000041
Figure FDA0002293029590000042
式(7)-(18)中涉及的变量具体形式如式(19)-(35)所示，其中式(33)中H(·)表示Heaviside阶跃函数；
Figure FDA0002293029590000044
Figure FDA0002293029590000046
Figure FDA0002293029590000048
Figure FDA0002293029590000049
Figure FDA0002293029590000052
Figure FDA0002293029590000053
Figure FDA0002293029590000054
Figure FDA0002293029590000055
L＝[lcosβcosα lsinβ lcosβsinα]T (32)
Figure FDA0002293029590000057
Figure FDA0002293029590000058
Figure FDA0002293029590000059
步骤二：估计系绳的控制能力；
在系绳对碎片进行消旋处理前，有必要对系绳消旋所能提供的最大角加速度进行估计，通过对步骤一中的三维动力学模型中相关项的简化，得到系绳所能达到的碎片最大角加速度值如下：
Figure FDA00022930295900000510
Figure FDA00022930295900000511
其中，xBmax，yBmax和zBmax分别代表碎片在其本体系中沿x，y和z方向尺寸的最大值，和
Figure FDA00022930295900000513
代表了系绳在碎片俯仰和偏航方向所能提供的最大力矩；从式(36)和(37)中可以发现，最大的
Figure FDA00022930295900000514
和
Figure FDA00022930295900000515
不仅由碎片的尺寸决定，同时还受碎片惯性积，系统的轨道半径和系绳的物理特性的影响；当绳系消旋时所需的最大角加速度在俯仰和偏航方向分别小于等于式(36)和(37)求得的
Figure FDA0002293029590000061
和
Figure FDA0002293029590000062
则系绳可以实现对该碎片的消旋控制，反之则无法对该碎片消旋；
步骤三：在单绳系统中，设计偏移控制方法对碎片进行消旋；
在单绳系统中，采用偏移控制策略来模拟双绳交替长紧松弛的效果，是实现碎片消旋的有效方法；具体的是通过设计控制律来改变系绳和碎片连接点的偏移量和系绳原长，从而完成对碎片的消旋；
为设计控制律，步骤一中的三维系统动力学方程被左乘Λ-1，如式(38)所示：
Figure FDA0002293029590000063
此时，动力学方程中关于广义坐标的各子方程相互解耦，其中关于θ2，ψ2和l的方程形式如下
Figure FDA0002293029590000064
Figure FDA0002293029590000065
Figure FDA0002293029590000066
其中，式(39)-(41)改写为
Figure FDA0002293029590000069
Figure FDA00022930295900000610
其中，涉及的各个变量的具体表示形式在式(45)-(55)中；
Figure FDA0002293029590000071
Figure FDA0002293029590000072
Figure FDA0002293029590000073
Figure FDA0002293029590000075
Figure FDA0002293029590000081
Figure FDA0002293029590000083
Figure FDA0002293029590000084
Figure FDA0002293029590000085
Figure FDA0002293029590000086
系统的虚拟输入为
uθ2＝(ΘθyyB+ΘθzzB+Υθ)(ΘllAB0+Υ) (56)
uψ2＝(ΘψyyB+ΘψzzB+Υψ)(ΘllAB0+Υ) (57)
ul＝(ΘlyyB+ΘlzzB+Υl)(ΘllAB0+Υ) (58)
控制输入用PD控制律进行设计，如下
Figure FDA0002293029590000087
Figure FDA0002293029590000088
Figure FDA0002293029590000089
其中，k1，k2，k3，k4，k5和k6是由用户设定的正数，通过联立式(56)-(61)中的对应方程，计算得到控制变量yB，zB和lAB0的控制律：
Figure FDA00022930295900000810
Figure FDA0002293029590000091
以上控制律的求解都是在系绳时刻长紧的情况下进行的，然而在实际工程中，若释放不当，系绳会发生松弛，从而失去对碎片的控制力，因此在控制律的设计中，需要对系绳的释放进行约束，采用式(64)以维持系绳时刻长紧，从而保证所设计的控制律对碎片的有效控制；
lAB0＝lAB-0.001,if lAB-lAB0<0.001m (64)
步骤四：采用PD控制方法对拖车姿态进行控制；
针对拖车的姿态控制，由于拖车属于正常工作的航天器，能够用自身的姿态控制系统产生力矩对其本身的姿态实现控制，在式(38)中，对应拖车欧拉角
Figure FDA0002293029590000092
θ1和ψ1的动力学方程简化为如下形式：
Figure FDA0002293029590000093
Figure FDA0002293029590000095
其中，
Figure FDA0002293029590000096
Gθ1和Gψ1是方程中除
Figure FDA0002293029590000097
和
Figure FDA0002293029590000098
以外的项，采用PD控制律，设计的拖车姿态控制力矩如下
Figure FDA0002293029590000099
Figure FDA00022930295900000911
其中，k7，k8，k9，k10，k11和k12是由用户设定的正数，将该力矩施加于拖车上，以完成对拖车姿态的稳定控制；
综上，在单绳系统中，通过偏移控制方法，改变系绳与碎片的连接点和系绳原长，实现空间碎片的消旋稳定；通过PD控制方法，产生所需的姿态控制力矩，实现拖车的姿态稳定；系绳对碎片的消旋处理和拖车对自身的姿态控制同时作用于绳系拖车系统，从而完成空间碎片的消旋稳定，抑制系统的振荡，保证空间碎片清除任务的顺利进行。
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