CN115229792A - 一种飞行作业机器人动态抓取的终端滑模自适应控制方法 - Google Patents

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CN115229792A CN202210889312.7A CN202210889312A CN115229792A CN 115229792 A CN115229792 A CN 115229792A CN 202210889312 A CN202210889312 A CN 202210889312A CN 115229792 A CN115229792 A CN 115229792A
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Abstract

本发明涉及一种飞行作业机器人动态抓取的终端滑模自适应控制方法，包括以下步骤：步骤S1：考虑重心偏移以及动态抓取过程中受力和力矩，建立四旋翼无人机和二自由度机械臂整体动力学模型；步骤S2：通过对机载机械臂末端与物体瞬时接触力分析，计算出机机载机械臂末端受到的瞬时接触力
Figure 434277DEST_PATH_IMAGE002
；步骤S3：设计终端滑模自适应控制器，得到输出
Figure 23521DEST_PATH_IMAGE004
；步骤S4：通过升力
Figure 472432DEST_PATH_IMAGE006
、翻滚力矩
Figure 805325DEST_PATH_IMAGE008
、俯仰力矩
Figure 416435DEST_PATH_IMAGE010
、偏航力矩
Figure 176580DEST_PATH_IMAGE012
解算出四个旋翼的转速ωi，i=1,2,3,4；步骤S5：通过解算得到的数据
Figure 381297DEST_PATH_IMAGE014
，控制飞行作业机器人
Figure DEST_PATH_IMAGE015
。应用本技术方案可实现加强动态抓取过程中的控制精度，能够有效减弱动态抓取接触对飞行作业机器人系统产生的扰动影响，提高飞行作业机器人系统的飞行安全性。

Description

一种飞行作业机器人动态抓取的终端滑模自适应控制方法
技术领域
本发明涉及无人机技术领域，特别是一种飞行作业机器人动态抓取的终端滑模自适应控制方法。
背景技术
无人机具有机动性强、灵活性高的特点。近年来，无人机受到了广泛的关注和研究，包括机械结构设计、控制方法、路径规划、目标跟踪等。无人机作为一种新型平台，在许多复杂场景和应用中发挥着重要作用，如工业检查、农业监测和救灾救援等。除被动观测外，无人机通过装配主动作业机构可获得与环境物理交互的能力。一般来说装载机械手的飞行作业机器人，可以扩展到各种潜在应用，如科学采样、危险材料运输和湖上漂浮垃圾收集。近年来，研究人员已对飞行作业机器人开展研究，并取得一定的进展。
在飞行作业机器人抓取物体任务过程中，稳定的控制系统和机械手末端的高精度控制通常被视为整个抓取过程中的关键部分。在动态抓取过程中不仅要考虑控制精度问题，通常，机载主动作业机构与物体之间的瞬时接触力对飞行作业机器人动态抓取的安全稳定性会造成极大的挑战。因此，通过对飞行作业机器人动态抓取的受力情况进行分析，可有效提高飞行作业机器人动力学模型的精度，进而确保动态抓取作业稳定性。但相比于飞行作业机器人的运动控制方式，能够用在动力学的接触力建模并不常见。
通常，在动态抓取过程中，由于机载机械臂末端与物体的接触时刻需要快速的瞬态响应和较大的控制力矩，在有限时间的飞行器和机载机械臂的联合控制中可能存在控制器饱和。因此，对控制器性能提出了更高的要求。许多学者对于控制器饱和条件下飞行器的姿态控制或输入饱和条件下机器人的关节控制进行了大量研究。当机载机械臂快速移动时，飞行器机体可能会受到机械臂运动的影响。目前能够将飞行器的快速姿态控制和机载机械臂的关节跟踪控制与控制器饱和、模型不确定性和外部干扰相结合的研究较少。因此，对于复杂的非线性强耦合飞行作业机器人系统，迫切需要探索高效的控制方法，以确保动态抓取的安全性和成功率。
发明内容
有鉴于此，本发明的目的在于提供一种飞行作业机器人动态抓取的终端滑模自适应控制方法，实现加强动态抓取过程中的控制精度，能够有效减弱动态抓取接触对飞行作业机器人系统产生的扰动影响，提高飞行作业机器人系统的飞行安全性。
为实现上述目的，本发明采用如下技术方案：一种飞行作业机器人动态抓取的终端滑模自适应控制方法，包括以下步骤：
步骤S1：考虑重心偏移以及动态抓取过程中受力和力矩，建立四旋翼无人机和二自由度机械臂整体动力学模型；
步骤S2：通过对机载机械臂末端与物体瞬时接触力分析，计算出机载机械臂末端受到的瞬时接触力fm；
步骤S3：基于所构建的动力学和瞬时接触力模型，设计终端滑模自适应控制器，得到输出u；
步骤S4：通过升力f、翻滚力矩u4、俯仰力矩u5、偏航力矩u6解算出四个旋翼的转速ωi，i＝1,2,3,4；
步骤S5：通过解算得到的数据ωi，控制飞行作业机器人。
在一较佳的实施例中，所述步骤S2具体为：
步骤S21:首先建立飞行作业机器人动力学模型，联立四旋翼无人机动力学和二自由度机械臂动力学模型，定义
Figure BDA0003766868920000031
以及它的导数
Figure BDA0003766868920000032
则飞行作业机器人的动力学模型表示为：
Figure BDA0003766868920000033
其中，H(x1)＝diag(muI3×3,JT-1(Φb),Mm(q))表示为飞行作业机器人系统的惯性矩阵，I3×3是单位矩阵；C(x1,x2)表示离心力和科氏力矢量，G(x1)表示重力矢量；d表示抓取时的接触力建模以及动力学建模误差；JE＝[JEu,JEm]T表示机械手末端受力传递到机械臂各个关节以及飞行器的雅可比矩阵；
Figure BDA0003766868920000034
u＝[υ1,υ2,υ3,u4,u5,u6,τ1,τ2]T表示广义输入；其中，υ1,υ2,υ3是虚拟输入量，它表示为:
Figure BDA0003766868920000035
虚拟矢量由位置控制器的输出生成；通过虚拟矢量，飞行平台的总升力和期望翻滚、俯仰角计算如下：
Figure BDA0003766868920000041
步骤S22：采用积分变换可以得到冲量，式(1)的积分表示为：
Figure BDA0003766868920000042
其中，t0表示接触开始时间，Δt表示接触时间
同样，被抓取物体的冲量表示为：
Figure BDA0003766868920000043
其中，ms表示被抓取物体的质量，ξm＝[xm,ym,zm]T为所抓取物体的位移；
步骤S23：由于动态抓取时接触时间较短，假设此时仅有广义速度和广义加速度发生突变；因此等式(4)和(5)写为：
Figure BDA0003766868920000044
其中，pm是Δt时间内的冲量；
步骤S24：由碰撞后机械臂末端执行器与对象接触后的速度相同，借助此等式关系得到瞬时接触力模型；两者的等式关系表达如下：
Figure BDA0003766868920000045
其中，JV是飞行作业机器人的速度矢量传递到机械臂末端执行器速度矢量的雅可比矩阵，通过以下方法计算；
JV＝[I3×3,RBPx,RBPq]\*MERGEFORMAT (8)
其中，
Figure BDA0003766868920000046
将式(7)和(8)代入(6)，冲量pm表示为：
Figure BDA0003766868920000051
因此，瞬时接触力表示为
Figure BDA0003766868920000052
步骤S25:式(1)改写成:
Figure BDA0003766868920000053
其中，
Figure BDA0003766868920000054
在一较佳的实施例中，所述步骤S3具体为：
步骤S31:首先对式(11)进行改写：
Figure BDA0003766868920000055
其中：
Figure BDA0003766868920000056
Gs(x)＝H-1(x1)；
步骤S32：飞行器和机载机械臂的联合控制存在控制器饱和，表示为
u＝sat(uc)\*MERGEFORMAT (13)
其中，uc表示所需的控制输入；饱和函数定义为：
sat(uc)＝sign(u)min{umax,|u|}\*MERGEFORMAT (14)
步骤S33：因此，式(12)改写为如下形式：
Figure BDA0003766868920000057
其中，Γ＝Gs(x)d，Δu＝sat(uc)-uc；
步骤S34：定义如下非奇异终端滑模面：
Figure BDA0003766868920000058
其中，e0＝x1-x1d表示跟踪误差向量，
Figure BDA0003766868920000059
表示误差向量的速率，β是对角正定矩阵，q和p是奇数正整数，它们满足下列条件：
1＜q/p＜2\*MERGEFORMAT (17)；
步骤S35:设计一阶滤波模型如下：
Figure BDA0003766868920000061
其中，Nf＝[φd,θd]
则终端滑模函数改写为
Figure BDA0003766868920000062
其中，L＝N-Nf为滤波误差，e＝e0+L；
步骤S36：对滑模面s求导并使用式(15)得到：
Figure BDA0003766868920000063
步骤S37：设计终端滑模自适应控制器：
uc＝u1+u2\*MERGEFORMAT (21)，其中，
Figure BDA0003766868920000064
Figure BDA0003766868920000065
Figure BDA0003766868920000066
其中，p2和q2是正整数，1＜q2/p2＜2，q3是正奇数整数，p3＜q3，k0和k1是正常数，K2，K3和K4是对角正定矩阵；
步骤S38：设计
Figure BDA0003766868920000067
表示Γ的估计值，自适应律如下
Figure BDA0003766868920000068
其中，K是正常数；
步骤S39：从以下辅助系统获得(23)中的变量ζ以补偿输入饱和
Figure BDA0003766868920000071
其中，
Figure BDA0003766868920000072
其中，b1，b2，b3和ζ0是正常数，p1和q1是正奇整数，1＜q1/p1＜2。
与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：
(1)通过冲量定理分析建立了飞行作业机器人动态抓取瞬时的接触力模型，提升了动态抓取动力学建模精度，一定程度上减轻了控制器设计负担，增强了动态抓取过程稳定性。
(2)设计了终端滑模自适应控制器，加强动态抓取过程中的控制精度。同时，考虑抓取过程中容易出现的输入饱和情况，设计了辅助系统补偿饱和误差，能够有效减弱动态抓取接触对飞行作业机器人系统产生的扰动影响，提高了飞行作业机器人系统的飞行安全性。
附图说明
图1是本发明优选实施例的流程结构示意图。
图2是本发明优选实施例的位置控制器中X轴分量的控制效果示意图。
图3是本发明优选实施例的位置控制器中Y轴分量的控制效果示意图。
图4是本发明优选实施例的位置控制器中Z轴分量的控制效果示意图。
图5是本发明优选实施例的姿态控制器中对翻滚角
Figure BDA0003766868920000073
的控制效果示意图。
图6是本发明优选实施例的姿态控制器中对俯仰角θ的控制效果示意图。
图7是本发明优选实施例的姿态控制器中对翻滚角ψ的控制效果示意图。
图8是本发明优选实施例的机械手控制器中对机械臂1的控制效果示意图。
图9是本发明优选实施例的机械手控制器中对机械臂2的控制效果示意图。
具体实施方式
下面结合附图及实施例对本发明做进一步说明。
应该指出，以下详细说明都是例示性的，旨在对本申请提供进一步的说明。除非另有指明，本文使用的所有技术和科学术语具有与本申请所属技术领域的普通技术人员通常理解的相同含义。
需要注意的是，这里所使用的术语仅是为了描述具体实施方式，而非意图限制根据本申请的示例性实施方式；如在这里所使用的，除非上下文另外明确指出，否则单数形式也意图包括复数形式，此外，还应当理解的是，当在本说明书中使用术语“包含”和/或“包括”时，其指明存在特征、步骤、操作、器件、组件和/或它们的组合。
一种飞行作业机器人动态抓取的终端滑模自适应控制方法，参考图1至9，包括以下步骤：
步骤S1：考虑重心偏移以及动态抓取过程中受力和力矩，建立四旋翼无人机和二自由度机械臂整体动力学模型；
所述构建搭载机械臂的四旋翼无人机系统模型具体为：利用牛顿-欧拉方程法对搭载机械臂的四旋翼无人机系统进行建模，并根据力平衡和力矩平衡得到飞行平台的动力学：
Figure BDA0003766868920000091
式(1)中前两个表示平移动力学，后两个表示姿态动力学。其中，mu表示无人机机体总质量。
Figure BDA0003766868920000092
和M＝[M1,M2,M3]T代表无人机的总推力和力矩。Fd＝[Fx,Fy,Fz]T和Md＝[Mφ,Mθ,Mψ]T是飞行作业机器人进行抓取时对基座产生的力和力矩。A＝[a1,a2,a3]T和D＝[b1+d1,b2+d2,b3+d3]T表示重心偏移量，由如下定义：
Figure BDA0003766868920000093
J＝diag(Ix,Iy,Iz)是一个常数矩阵,代表惯性张量。e3＝[0,0,1]T是一个向量，ωb表示无人机对于机体坐标系的角速度，T(Φd)表示欧拉角对于时间的导数
Figure BDA0003766868920000094
与角速度ωb之间的转换矩阵，其给出如下：
Figure BDA0003766868920000095
其中，假定欧拉角Φb∈(-π/2,π/2)可以确保飞行作业机器人的飞行安全，并且T(Φb)的导数总是存在。利用(2)，姿态动力学可以写成：
Figure BDA0003766868920000101
此外，二自由度机械臂系统动力学方程为：
Figure BDA0003766868920000102
其中，
Figure BDA0003766868920000103
Figure BDA0003766868920000104
Figure BDA0003766868920000105
Figure BDA0003766868920000106
Figure BDA0003766868920000107
Figure BDA0003766868920000108
Figure BDA0003766868920000109
c12＝cos(q1+q2)，s12＝sin(q1+q2)
步骤S2：通过对机载机械臂末端与物体瞬时接触力分析，计算出机机载机械臂末端受到的瞬时接触力；
步骤S21:联立二阶方程(2)和(4)，将其表现形式改写成与式(5)相同。结合(2)、(4)和(5)，定义
Figure BDA00037668689200001010
以及它的导数
Figure BDA00037668689200001011
则飞行作业机器人的动力学模型可以表示为：
Figure BDA0003766868920000111
其中，H(x1)＝diag(muI3×3,JT-1(Φb),Mm(q))，表示为飞行作业机器人系统的惯性矩阵，I3×3是单位矩阵。C(x1,x2)表示离心力和科氏力矢量，G(x1)表示重力矢量。d表示抓取时的接触力建模以及动力学建模误差。JE＝[JEu,JEm]T表示机械手末端受力传递到机械臂各个关节以及飞行器的雅可比矩阵。
Figure BDA0003766868920000112
u＝[υ1,υ2,υ3,u4,u5,u6,τ1,τ2]T表示广义输入。其中，υ1,υ2,υ3是虚拟输入量，它可以表示为:
Figure BDA0003766868920000113
虚拟矢量由位置控制器的输出生成。通过虚拟矢量，飞行平台的总升力和期望翻滚、俯仰角可计算如下：
Figure BDA0003766868920000114
步骤S22：式(6)的积分可以表示为：
Figure BDA0003766868920000115
其中，t0表示接触开始时间，Δt表示接触时间
同样，被抓取物体的冲量可以表示为：
Figure BDA0003766868920000121
其中，ms表示被抓取物体的质量，ξm＝[xm,ym,zm]T为所抓取物体的位移。
步骤S23：由于动态抓取时接触时间较短，可假设此时仅有广义速度和广义加速度发生突变。因此等式(9)和(10)可近似写为：
Figure BDA0003766868920000122
其中，pm是Δt时间内的冲量。
步骤S24：碰撞后机械臂末端执行器与对象接触后的速度相同。：
Figure BDA0003766868920000123
其中，JV是飞行作业机器人的速度矢量传递到机械臂末端执行器速度矢量的雅可比矩阵，可通过以下方法计算。
JV＝[I3×3,RBPx,RBPq]\*MERGEFORMAT (13)
其中，
Figure BDA0003766868920000124
步骤S26：将式(12)和(13)代入(12)，冲量可表示为：
Figure BDA0003766868920000125
步骤S27：因此，瞬时接触力可表示为
Figure BDA0003766868920000126
步骤S28:式(6)可以改写成:
Figure BDA0003766868920000131
其中，
Figure BDA0003766868920000132
步骤S3：基于所构建的动力学和瞬时接触力模型，设计终端滑模自适应控制器，得到输出u；
步骤S31:首先对式(16)进行改写：
Figure BDA0003766868920000133
其中：
Figure BDA0003766868920000134
Gs(x)＝H-1(x1)
步骤S32：飞行器和机载机械臂的联合控制可能存在控制器饱和，可以表示为
u＝sat(uc)\*MERGEFORMAT (18)
其中，uc表示所需的控制输入。饱和函数定义为：
sat(uc)＝sign(u)min{umax,u}\*MERGEFORMAT (19)
步骤S33：因此，式(17)可改写为如下形式：
Figure BDA0003766868920000135
其中，Γ＝Gs(x)d，Δu＝sat(uc)-uc
步骤S34：定义如下非奇异终端滑模面：
Figure BDA0003766868920000136
其中，e0＝x1-x1d表示跟踪误差向量，
Figure BDA0003766868920000137
表示误差向量的速率，β是对角正定矩阵，q和p是奇数正整数，它们满足下列条件：
1＜q/p＜2\*MERGEFORMAT (22)
步骤S35:为减缓系统抖振现象，设计一阶滤波模型如下：
Figure BDA0003766868920000141
其中，Nf＝[φd,θd]
则终端滑模函数改写为
Figure BDA0003766868920000142
其中，L＝N-Nf为滤波误差，e＝e0+L
步骤S36：对滑模面s求导并使用式(20)可以得到：
Figure BDA0003766868920000143
步骤S37：设计终端滑模自适应控制器
uc＝u1+u2\*MERGEFORMAT (26)
其中，
Figure BDA0003766868920000144
Figure BDA0003766868920000145
Figure BDA0003766868920000146
Figure BDA0003766868920000147
其中，p2和q2是正整数，1＜q2/p2＜2，q3是正奇数整数，p3＜q3，k0和k1是正常数，K2，K3和K4是对角正定矩阵。
步骤S38：设计
Figure BDA0003766868920000148
表示Γ的估计值，自适应律如下
Figure BDA0003766868920000149
其中，K是正常数。
步骤S39：从以下辅助系统获得(28)中的变量ζ以补偿输入饱和
Figure BDA0003766868920000151
其中，
Figure BDA0003766868920000152
其中，b1，b2，b3和ζ0是正常数，p1和q1是正奇整数，1＜q1/p1＜2。
步骤S4：设计李雅普诺夫函数证明提出控制算法的稳定性；
步骤S41：根据(27)-(30)，(25)演变成
Figure BDA0003766868920000153
步骤S42：设计李雅普诺夫函数：
Figure BDA0003766868920000154
其中，
Figure BDA0003766868920000155
是Γ的估计误差。
步骤S43：对V求导我们可得到：
Figure BDA0003766868920000156
步骤S44：将(30)和(30)代入(34)得到：
Figure BDA0003766868920000161
步骤S45：将(31)代入(35)得到
Figure BDA0003766868920000162
步骤S46：根据下列不等式：
ξGs(x)Δuc≤||ξGs(x)Δuc||1\*MERGEFORMAT (37)
Figure BDA0003766868920000163
Figure BDA0003766868920000164
Figure BDA0003766868920000165
步骤S47：我们可以得到：
Figure BDA0003766868920000166
选择合适的参数b1，K3，K4使得K3-K4/2和b1I-K4/2-I/2是正定矩阵，式(41)负定。
步骤S5：通过升力f、翻滚力矩u4、俯仰力矩u5、偏航力矩u6解算出四个旋翼的转速ωi，i＝1,2,3,4；
步骤S51：由公式(25)-(28)可以得出系统控制力和控制力矩u，其中f、u4、u5和u6的关系为：
Figure BDA0003766868920000171
步骤S52：解算出四个旋翼的转速ωi，i＝1,2,3,4。
在本实施例中，参考图2-图9，用一个具体的应用实例对本发明的操作进行详细说明，根据本发明控制方法进一步设计的控制器，主要研究在接触力的影响下动态抓取物体时的控制跟踪效果。具体设置如下：
1)设定初始误差为0.5m用来观察控制器跟踪效果，同时考虑了动力学及接触力建模误差对飞行平台产生的影响。
2)设定在摩擦力和接触力存在的条件下抓取0.5kg物体,并且设置接触碰撞时间较短,为0.02s。
3)系统参数如表1所示
表1飞行作业机器人系统参数
Figure BDA0003766868920000172
Figure BDA0003766868920000181
如图2-图9所示，根据本实施例控制方法进一步设计的控制器可以使飞行作业机器人位置和姿态以及机械手转速各分量在较小的波动下追踪到目标轨迹。之后使飞行作业机器人在较小的稳态误差下运动。误差波动小、响应时间的短。认为控制器效果好。图2-图9证明了本发明的有效性和优越性。
以上所述仅为本发明的较佳实施例，凡依本发明申请专利范围所做的均等变化与修饰，皆应属本发明的涵盖范围。

Claims (3)

1.一种飞行作业机器人动态抓取的终端滑模自适应控制方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤S1：考虑重心偏移以及动态抓取过程中受力和力矩，建立四旋翼无人机和二自由度机械臂整体动力学模型；
步骤S2：通过对机载机械臂末端与物体瞬时接触力分析，计算出机载机械臂末端受到的瞬时接触力fm；
步骤S3：基于所构建的动力学和瞬时接触力模型，设计终端滑模自适应控制器，得到输出u；
步骤S4：通过升力f、翻滚力矩u4、俯仰力矩u5、偏航力矩u6解算出四个旋翼的转速ωi，i＝1,2,3,4；
步骤S5：通过解算得到的数据ωi，控制飞行作业机器人。
2.根据权利要求1所述的一种飞行作业机器人动态抓取的终端滑模自适应控制方法，其特征在于，所述步骤S2具体为：
步骤S21:首先建立飞行作业机器人动力学模型，联立四旋翼无人机动力学和二自由度机械臂动力学模型，定义
Figure FDA0003766868910000011
以及它的导数
Figure FDA0003766868910000012
则飞行作业机器人的动力学模型表示为：
Figure FDA0003766868910000013
其中，H(x1)＝diag(muI3×3,JT-1(Φb),Mm(q))表示为飞行作业机器人系统的惯性矩阵，I3×3是单位矩阵；C(x1,x2)表示离心力和科氏力矢量，G(x1)表示重力矢量；d表示抓取时的接触力建模以及动力学建模误差；JE＝[JEu,JEm]T表示机械手末端受力传递到机械臂各个关节以及飞行器的雅可比矩阵；
Figure FDA0003766868910000014
u＝[υ1,υ2,υ3,u4,u5,u6,τ1,τ2]T表示广义输入；其中，υ1,υ2,υ3是虚拟输入量，它表示为:
Figure FDA0003766868910000021
虚拟矢量由位置控制器的输出生成；通过虚拟矢量，飞行平台的总升力和期望翻滚、俯仰角计算如下：
Figure FDA0003766868910000022
步骤S22：采用积分变换可以得到冲量，式(1)的积分表示为：
Figure FDA0003766868910000023
其中，t0表示接触开始时间，Δt表示接触时间
同样，被抓取物体的冲量表示为：
Figure FDA0003766868910000024
其中，ms表示被抓取物体的质量，ξm＝[xm,ym,zm]T为所抓取物体的位移；
步骤S23：由于动态抓取时接触时间较短，假设此时仅有广义速度和广义加速度发生突变；因此等式(4)和(5)写为：
Figure FDA0003766868910000025
其中，pm是Δt时间内的冲量；
步骤S24：由碰撞后机械臂末端执行器与对象接触后的速度相同，借助此等式关系得到瞬时接触力模型；两者的等式关系表达如下：
Figure FDA0003766868910000031
其中，JV是飞行作业机器人的速度矢量传递到机械臂末端执行器速度矢量的雅可比矩阵，通过以下方法计算；
JV＝[I3×3,RBPx,RBPq]\*MERGEFORMAT(8)
其中，
Figure FDA0003766868910000032
将式(7)和(8)代入(6)，冲量pm表示为：
Figure FDA0003766868910000033
因此，瞬时接触力表示为
Figure FDA0003766868910000034
步骤S25:式(1)改写成:
Figure FDA0003766868910000035
其中，
Figure FDA0003766868910000036
3.根据权利要求1所述的一种飞行作业机器人动态抓取的终端滑模自适应控制方法，其特征在于，所述步骤S3具体为：
步骤S31:首先对式(11)进行改写：
Figure FDA0003766868910000037
其中：
Figure FDA0003766868910000038
Gs(x)＝H-1(x1)；
步骤S32：飞行器和机载机械臂的联合控制存在控制器饱和，表示为
u＝sat(uc)\*MERGEFORMAT(13)
其中，uc表示所需的控制输入；饱和函数定义为：
sat(uc)＝sign(u)min{umax,|u|}\*MERGEFORMAT(14)
步骤S33：因此，式(12)改写为如下形式：
Figure FDA0003766868910000041
其中，Γ＝Gs(x)d，Δu＝sat(uc)-uc；
步骤S34：定义如下非奇异终端滑模面：
Figure FDA0003766868910000042
其中，e0＝x1-x1d表示跟踪误差向量，
Figure FDA0003766868910000043
表示误差向量的速率，β是对角正定矩阵，q和p是奇数正整数，它们满足下列条件：
1＜q/p＜2\*MERGEFORMAT(17)；
步骤S35:设计一阶滤波模型如下：
Figure FDA0003766868910000044
其中，Nf＝[φd,θd]
则终端滑模函数改写为
Figure FDA0003766868910000045
其中，L＝N-Nf为滤波误差，e＝e0+L；
步骤S36：对滑模面s求导并使用式(15)得到：
Figure FDA0003766868910000046
步骤S37：设计终端滑模自适应控制器：
uc＝u1+u2\*MERGEFORMAT(21)，其中，
Figure FDA0003766868910000047
Figure FDA0003766868910000051
Figure FDA0003766868910000052
其中，p2和q2是正整数，1＜q2/p2＜2，q3是正奇数整数，p3＜q3，k0和k1是正常数，K2，K3和K4是对角正定矩阵；
步骤S38：设计
Figure FDA0003766868910000053
表示Γ的估计值，自适应律如下
Figure FDA0003766868910000054
其中，K是正常数；
步骤S39：从以下辅助系统获得(23)中的变量ζ以补偿输入饱和
Figure FDA0003766868910000055
其中，
Figure FDA0003766868910000056
其中，b1，b2，b3和ζ0是正常数，p1和q1是正奇整数，1＜q1/p1＜2。
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