CN109613822B - 基于非线性模型预测控制的空间系绳系统展开控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种在近地椭圆轨道运行的三维空间系绳系统在初始阶段展开的稳定控制方法，仅通过调节有限的系绳张力，不依赖其它推进器，将系绳释放至期望长度并抑制系绳的摆动。该方法包含以下步骤：S1、建立考虑系绳质量的二体空间系绳系统动力学模型；S2、在考虑干扰等不确定性、欠驱动、系绳摆动角与系绳张力存在约束的条件下，基于非线性模型预测控制(NMPC)算法，利用伪光谱算法将原非线性模型离散化，将预测控制中的开环最优问题转化为非线性规划问题进行求解。S3、根据非线性规划问题的求解确定下一控制周期的控制量以构成闭环控制。最终实现在近地椭圆轨道运行的三维空间系绳系统在初始阶段稳定释放展开。

Description

基于非线性模型预测控制的空间系绳系统展开控制方法

技术领域

本发明涉及空间系绳系统展开控制方法，属于空间系绳系统应用技术领域。

背景技术

空间系绳系统指一个用系绳连在一起共同完成在轨飞行的人造空间物体组合体，最具 代表性的是将一颗卫星(子星)通过几米到几十千米甚至更长的系绳连接到另一颗质量较 大的飞行器(主星)上，构成主星-系绳-子星空间组合体。主星可以是卫星、飞船、航天飞机、空间站等多种空间飞行器，甚至可以是废弃的末级运载火箭等；子星为小卫星、返 回舱、微型探测器等。

复杂空间系绳系统由多个空间物体组成，用系绳把它们连接成闭环、树形或多面体等。 空间系绳系统是人们在空间建造的一种新型结构，能够完成现有航天器不可能完成、不适 于完成、不能低成本完成的任务。在大气测量、空间电动力学试验、微重力环境试验、合 成孔径雷达以及有效载荷的再入轨等诸多方面具有其独特的优势，成为了近年来国内外研 究的热点。在任意空间系绳系统任务中，都需要在发射至预定轨道后首先将系绳释放到预 定长度。

由于空间系绳展开控制系统受到空间摄动影响，极易产生复杂的系绳振动问题，同时 系统不仅是非线性的、典型的欠驱动系统，还受到一些物理限制，比如拉力始终是正的且 有上限，这些给控制器的设计带来了困难。因此，需要对空间系绳系统展开释放稳定控制 问题提出具有工程意义的控制方法。

发明内容

本发明的目的在于针对上述现有技术中的问题，提供一种三维空间系绳系统展开释放 稳定控制方法，针对近地轨道空间系绳系统展开控制问题，基于非线性模型预测控制(NMPC)方法，设计了一种仅通过调节系绳张力的非线性欠驱动空间系绳展开控制律。

为了实现上述目的，本发明的技术解决方式是：一种基于非线性模型预测控制的空间 系绳系统展开控制方法，步骤如下：

(1)确定近地椭圆轨道运行的三维空间系绳系统的轨道参数、系绳总长度L_dt、系绳总质量m_T、主星质量m₁、子星质量m₂，所述的轨道参数为平均角速度为Ω，近地点幅角 ω，真近点角v，为轨道倾角i，升交点赤经

系统的运动在轨道坐标系O-xyz下描述， Ox轴指向地球与系统连线方向，Oy轴沿着系统轨道运行方向，Oz轴垂直于轨道平面，与 Ox、Oz组成右手坐标系。

(2)确定近地椭圆轨道运行的三维空间系绳系统模型，并为了方便计算，进行时间和绳长的无量纲化处理，确定无量纲的摆动角与绳长变化动力学方程；

(3)确定释放过程中非线性预测控制优化函数，根据系绳能够提供的拉力上限、敏感器的测量范围和任务要求，确定系绳张力约束和系绳摆动角的约束；

(4)系绳被释放后，利用敏感器测得系绳释放状态变量，包括系绳面内角及角速度α(t),

系绳面外角及角速度β(t),

系绳长度及速度L_d(t),

然后根据步骤(2)中确定的动力学模型及步骤(3)中确定的释放过程中非线性预测控制优化函数，系绳张 力约束和系绳摆动角的约束，采用基于优化算法的非线性预测控制方法，在每个采样时刻 n，根据系统当前的状态对系统将来的有限时间域的采样时刻k＝0,...,N-1(N≥2)的状态进行优化，并将得到的最优控制序列的第一个控制量作为下一次采样周期的反馈控制量。在下一次采样时刻，时间序列向前推进一个采样周期，应用新的系统状态测量值进行新的最优问题的求解，直至系绳释放至全长为止，最终得到三维空间系绳系统在初始阶段展开的稳定控制律。

所述步骤(2)中，不失一般性，作如下假设：

系绳为质量分布均匀的无弹性变形的刚性绳；系绳张力沿着绳的方向,没有法线方向 的能量耗散；系绳两端卫星视为质点，不考虑卫星本体的姿态。

空间系绳系统的姿态由面内角α、面外角β来描述。采用欧拉-拉格朗日方法对系统建 模，

式中，q＝[α,β,L_d]^T为系统广义坐标，

为广义力，T_a为系绳张力，L为拉格朗 日函数，由系统的动能和势能组成。

应用拉格朗日第二定理求得系统的动力学方程为

式中：

为系统等效质量，I_s为系统转动惯量。()′为对时间t的导数。进一步，为了方便 计算，将方程进行无维化，定义新的导数为对无维化时间τ_a的导数，d()/dt＝Ωd()/dτ_a， ε＝L_d/l_c，l_c为参考长度，设等于系绳总长度L_dt。得到如下动力学方程

所述步骤(3)中，释放过程中非线性预测控制优化函数J_N为

其中

矩阵Q和R分别为输出与输入权重矩阵，定义T_amax为系绳最大拉力，α_max,β_max分别为面 内角和面外角的最大值，约束条件可以写为

0＜T_a≤T_amax (8)

-α_max≤α≤α_max,-β_max≤β≤β_max (9)

所述步骤(4)中具体步骤为

第一步，空间系绳系统子星初始阶段被弹射分离后，利用敏感器测得系绳释放过程的 状态变量，包括系绳面内角及角速度α(t),

系绳面外角及角速度β(t),

系绳长度 及速度L_d(t),

并确定展开过程的预测控制的控制周期T；

第二步，采用勒让德伪光谱算法将步骤(2)中确定的无维化后动力学模型进行离散 化，将所有变量，包括系统的微分方程、代数方程、输入和输出进行离散化，形成一个非线性规划问题。这种离散化是基于正交分配方法，即在正交多项式零点处，对状态近似值的导数进行分配，使其逼近真实的导数。之后系统离散为代数方程组，这样就可以用非线性规划方法来求取离散系统的最优值。

连续状态和控制变量的近似离散化过程如下所示：

空间系绳系统模型动力学模型可表示为如下一般非线性系统的形式

其中，状态变量

其对应的离散系统为

x(k+1)＝f(x(k),T_a(k)) (11)

其中，P_j(τ)是N_C阶的拉格朗日插值多项式，通过勒让德多项式的根计算得到。在对空间 系绳系统模型离散化后，预测控制中有约束的最优化问题可以表示为一个如下的非线性规 划问题：

寻找状态与控制向量x^*(τ_j),T_a ^*(τ_j)，使得下面性能指标最小

其中，

x(τ_j)∈X,T_a(τ_j)∈U (16)

满足

x(τ₀)＝x₀ (18)

-α_max≤α(τ_j)≤α_max,-β_max≤β(τ_j)≤β_max,0＜T_a(τ_j)≤T_amax (19)

式中：X和U为状态与控制的紧集，f(·)为在X×U上的Lipschitz的连续函数。w_j是第j 个正交点上的权重函数，h_i＝τ_i+1-τ_i(i＝0,1,...,N_C-1)为时间长度，J(x(τ_j),T_a(τ_j))是问题 的目标函数，x₀是状态变量的初始值。这样，非线性规划问题的目标与约束函数都是至少 二阶连续可微的。

第三步，采用基于MATLAB的SNOPT工具进行非线性规划最优化问题的求解。在求解非线性规划问题是，规划初始值的选取对于优化计算时间与最终收敛结果有一定影响，因此，本发明采用移位法对规划初值进行选取，假设当前规划的结果位于前次规划结果的附近，设上一次规划的结果为

在选择下一控制周期的规划初值时，将p^*中的

和

移除，并在后面补充 新的初值

新的初值可简单的选为p^*中的前一项，即

通过上述方法所得到的新的规划初始值p₀为

第四步，在预测周期[n,n+N-1]内得到的最优控制序列表示为

将得到的最优 控制序列的第一段T_a ^T(0)结合零阶保持器作为下一周期控制输入，构成闭环控制。在下一 次采样时刻，时间序列向前推进一个采样周期，应用新的系统状态测量值进行新的最优问 题的求解，直至系绳释放至全长为止，最终得到三维空间系绳系统在初始阶段展开的稳定 控制律。

与现有技术相比，本发明具有如下的有益效果：

(1)本发明建立了考虑系绳质量的二体空间系绳系统动力学模型，考虑了展开过程中系 统质心与等效质量随展开系绳长度的变化，减小了数学模型与实际系统的建模误差。

(2)本发明提出的控制算法，在考虑空间环境干扰下，仅通过调节系绳张力，不依赖其 它推进器，将系绳释放至期望长度并保持系统稳定，减少了燃料消耗，提高了系统的可靠 性和适应性。

(3)本发明考虑系绳张力与系绳面内外角存在约束的条件下，提出了一种基于优化理论 的非线性模型预测控制律，能够满足提出的指标的最优化，实现了对欠驱动系统的闭环稳 定控制。系绳长度可释放至目标长度，同时，系绳姿态面内外角分别保持在小幅度摆动， 设计的姿态控制器具有鲁棒性，能够对释放过程中存在的系统不确定性及空间干扰形成有 效抑制，保证了系统的稳定性，达到了控制要求，具有潜在的应用前景。

附图说明

图1为本发明实施例的空间系绳系统示意图；

图2为本发明实施例的控制系统框图。

具体实施方式

本发明可用于三维空间系绳系统，空间系绳系统指一个用系绳连在一起共同完成在轨 飞行的人造空间物体组合体，最具代表性的是将一颗卫星(子星)通过几米到几十千米甚 至更长的系绳连接到另一颗质量较大的飞行器(主星)上，构成主星-系绳-子星空间组合 体。主星可以使卫星、飞船、航天飞机、空间站等多种空间飞行器，甚至可以是废弃的末 级运载火箭等；子星为小卫星、返回舱、微型探测器等。在任意空间系绳系统任务中，都需要在发射至预定轨道后首先将系绳释放到预定长度。本发明主要解决其发射至预定轨道后在初始阶段将系绳稳定释放到预定长度的控制问题。

下面结合附图对本发明做进一步的详细说明。

(1)空间系绳系统释放展开过程动力学模型

考虑图1所示的空间系绳系统，主星S₁与子星S₂通过一根长度可变的系绳连接，为了便 于动力学分析与控制器设计，假设系绳为刚性绳，且忽略卫星姿态。两颗星质量分别为m₁和m₂，系绳总质量为m_T，可变绳长为L_d，系统质心O在近地轨道运行，平均角速度为Ω，图中ω为近地点幅角，v为真近点角，i为轨道倾角，

为升交点赤经，系统的运动在轨道 坐标系O-xyz下描述，Ox轴指向地球与系统连线方向，Oy轴沿着系统轨道运行方向，Oz轴 垂直于轨道平面，与Ox、Oz组成右手坐标系。空间系绳系统的姿态由如图1所示的面内角α、 面外角β来描述。

考虑图1所示的空间系绳系统，为简化分析过程，作如下假设：系绳为质量分布均匀的 无弹性变形的刚性绳；系绳张力沿着绳的方向，没有法线方向的能量耗散；系绳两端卫星 视为质点，不考虑卫星本体的姿态。

采用欧拉-拉格朗日方法对系统建模，根据欧拉-拉格朗日方程

式中，q＝[α,β,L_d]^T，

为广义力，T_a为绳系的拉力。L为拉格朗日函数，由系 统的动能和势能组成。系统的动能可以写为

其中，R为系统的轨道半径，系统总质量m＝m₁+m₂+m_T，系统等效质量

φ∈[0,π/2]由L₁＝L_d sin²φ和L₂＝L_d cos²φ定义，L₁和L₂分别为系统质心与两颗卫星的距 离，φ的变化可以通过如下关系求得

定义m_d为释放出的系绳质量，Λ_T＝m_T/m,Λ_d＝m_d/m，经过推导系统转动惯量可以计算为

因系绳释放过程中，系统的转动惯量随着绳长发生变化，经过计算，转动惯量随时间 变化可以表示为

由于地球轨道半径R远大于系绳长度，且μ_eR^-1＝Ω²R²，μ_e为地球引力常数，则系统势能可以近似为

综上所述，空间系绳系统的拉格朗日函数为

应用拉格朗日第二定理求得系统的动力学方程为

真近点角与地心半径的关系可以写为

ν′＝(μ_e/p³)^0.5(1+e cosν)² (33)

式中：e为轨道偏心率。

为了方便计算，将方程进行无维化，得到如下动力学方程

式中：各导数为对无维化时间τ_a的导数，d()/dt＝Ωd()/dτ_a，ε＝L_d/l_c，l_c为参考长度， 设为系绳总长度。

(2)非线性模型预测控制方法

非线性预测控制(NMPC)是一种基于优化算法的控制方法，根据过去和现在的控制量确 定影响系统将来响应的控制量。主要目标是通过最小化所选择的系统性能指标设计控制序 列。在每个采样时刻n，根据系统当前的状态对系统将来的有限时间域的采样时刻k＝0,..., N-1(N≥2)的状态进行优化，并将得到的最优控制序列的第一个控制量作为下一次采样周期 的反馈控制量。在下一次采样时刻，时间序列向前推进一个采样周期，应用新的系统状态 测量值进行新的最优问题的求解。为简化分析，本发明将考虑控制时域与预测时域相同， 且采样周期为定值的情况，此外控制量以零阶保持器的形式作用于被控系统，即在整个采 样周期内为定值。

首先确定释放过程中非线性预测控制优化函数J_N为

其中

矩阵Q和R分别为输出与输入权重矩阵，定义T_amax为系绳最大拉力，α_max,β_max分别为面 内角和面外角的最大值，约束条件可以写为

0＜T≤T_amax (39)

-α_max≤α≤α_max,-β_max≤β≤β_max (40)

算法可调整的参数为目标函数中的权重矩阵(Q,R)、预测的步长与控制采样周期。由于 在每个采样周期的最优化问题的全部解是需要计算的，为了防止计算的延迟和控制性能的 退化，非线性最优化问题的求解时间必须小于系统的采样周期。因此，需要寻找一种合适 的离散化与优化算法来解决这个问题，同时也要考虑动力学系统的状态与控制的各种约 束。

空间系绳系统模型动力学模型可表示为如下一般非线性系统的形式

其中，状态变量

其对应的离散系统为

x(k+1)＝f(x(k),T_a(k)) (42)

与一般解决最优控制问题的梯度等数值方法不同，本发明采用勒让德(Legendre)伪光谱 算法(LPM)进行优化问题的求解。首先将所有变量，包括系统的微分方程，代数方程，输 入和输出进行离散化，形成一个非线性规划问题。这种离散化是基于正交分配方法，即在 正交多项式零点处，对状态近似值的导数进行分配，使其逼近真实的导数。之后系统离散 为代数方程组，这样就可以用非线性规划方法来求取离散系统的最优值。

在预测控制中，整个释放过程时间在N_C个正交点上进行离散化。通过这个过程，微分 方程转化为一系列代数方程。正交点是由正交多项式的根决定的，维数等同于每一段正交 点的个数。在LPM中，采用的正交点是LGL点，将每一等时间段转化为τ_j∈[-1,1]区间内，对应于N_C阶勒让德正交多项式P_N(τ_j)的导数的根。那么，连续状态和控制变量的近似离 散化过程如下所示

其中，P_j(τ)是N_C阶的拉格朗日插值多项式，通过勒让德多项式的根计算得到。在对空间 系绳系统模型离散化后，预测控制中有约束的最优化问题可以表示为一个如下的非线性规 划问题：

寻找状态与控制向量x^*(τ_j),T_a ^*(τ_j)，使得下面性能指标最小

其中，

x(τ_j)∈X,T_a(τ_j)∈U (47)

满足

x(τ₀)＝x₀ (49)

-α_min＜α(τ_j)＜α_max,-β_min＜β(τ_j)＜β_max,0≤T_a(τ_j)≤T_amax (50)

式中：X和U为状态与控制的紧集，f(·)为在X×U上的Lipschitz的连续函数。w_j是第j 个正交点上的权重函数，h_i＝τ_i+1-τ_i(i＝0,1,...,N_C-1)为时间长度，J(x(τ_j),T_a(τ_j))是优化 目标函数，x₀是状态变量的初始值。

采用基于MATLAB的SNOPT工具进行非线性规划最优化问题的求解。在求解非线性规划问题时，规划初始值的选取对于优化计算时间与最终收敛结果有一定影响，因此，本发明采用移位法对规划初值进行选取，假设当前规划的结果位于前次规划结果的附近，设上一次规划的结果为

在选择下一控制周期的规划初值时，将p^*中的

和T_a ^*T(n)移除，并在后面补充 新的初值

新的初值可简单的选为p^*中的前一项，即

通过上述方法所得到的新的规划初始值p₀为

在预测周期[n,n+N-1]内得到的最优控制序列表示为

将得到的最优控制序列的 第一段T_a ^T(0)结合零阶保持器作为下一周期控制输入，构成闭环控制。在下一次采样时刻， 时间序列向前推进一个采样周期，应用新的系统状态测量值进行新的最优问题的求解，直 至系绳释放至全长为止，最终得到三维空间系绳系统在初始阶段展开的稳定控制律。

Claims (1)

1.一种基于非线性模型预测控制的空间系绳系统展开控制方法，其特征在于，包含如下的步骤：

(1)确定近地椭圆轨道运行的三维空间系绳系统的轨道参数、系绳总长度L_dt、系绳总质量m_T、主星质量m₁、子星质量m₂，所述的轨道参数为平均角速度Ω，近地点幅角ω，真近点角_v，为轨道倾角i，升交点赤经

系统的运动在轨道坐标系O-xyz下描述，Ox轴指向地球与系统连线方向，Oy轴沿着系统轨道运行方向，Oz轴垂直于轨道平面，与Ox、Oz组成右手坐标系；

(2)确定近地椭圆轨道运行的三维空间系绳系统模型，并为了方便计算，进行时间和绳长的无量纲化处理，确定无量纲的系绳摆动角与绳长变化动力学方程；

(3)确定释放过程中非线性预测控制优化函数，根据系绳能够提供的拉力上限、敏感器的测量范围和任务要求，确定系绳张力约束和系绳摆动角的约束；

(4)系绳被释放后，利用敏感器测得系绳状态变量，包括系绳面内角及角速度α(t),

系绳面外角及角速度β(t),

系绳长度及速度L_d(t),

根据步骤(2)中确定的动力学模型及步骤(3)中确定的释放过程中非线性预测控制优化函数，无量纲的系绳等效张力约束和系绳摆动角的约束，采用基于优化算法的非线性预测控制方法，在每个采样时刻n，根据系统当前的状态对系统将来的有限时间域的采样时刻k＝0,...,N-1，N≥2，的状态进行优化，并将得到的最优控制序列的第一个控制量作为下一次采样周期的反馈控制量；在下一次采样时刻，时间序列向前推进一个采样周期，应用新的系统状态测量值进行新的最优问题的求解，直至系绳释放至全长为止，最终得到三维空间系绳系统在初始阶段展开的稳定控制律；

所述步骤(2)中，不失一般性，作如下假设：

系绳为质量分布均匀的无弹性变形的刚性绳；系绳张力沿着绳的方向,没有法线方向的能量耗散；系绳两端卫星视为质点，不考虑卫星本体的姿态；

空间系绳系统的摆动角由面内角α、面外角β来描述；采用欧拉-拉格朗日方法对系统建模：

式中：q＝[α,β,L_d]^T为系统广义坐标，

为广义力，T_a为系绳张力，L为拉格朗日函数，由系统的动能和势能组成；

应用拉格朗日第二定理求得系统的动力学方程为

式中：

为系统等效质量，I_s为系统转动惯量；()′为对时间t的导数；进一步，为了方便计算，将方程进行无维化，定义新的导数为对无维化时间τ_a的导数，d()/dt＝Ωd()/dτ_a，ε＝L_d/l_c，l_c为参考长度，设等于系绳总长度L_dt；得到如下动力学方程

所述步骤(3)中，释放过程中非线性预测控制优化函数J_N为

其中

矩阵Q和R分别为输出与输入权重矩阵，定义T_max为系绳最大拉力，α_max,β_max分别为面内角和面外角的最大值，约束条件写为

0＜T_a≤T_max (8)

-α_max≤α≤α_max,-β_max≤β≤β_max (9)；

所述步骤(4)中具体步骤为：

第一步，空间系绳系统子星初始阶段被弹射分离后，利用敏感器测得系绳状态变量，包括系绳面内角及角速度α(t),

系绳面外角及角速度β(t),

系绳长度及速度L_d(t),

并确定展开过程的预测控制的控制周期T；

第二步，采用勒让德伪光谱算法将步骤(2)中确定的无维化后动力学模型进行离散化，将所有变量，包括系统的微分方程、代数方程、输入和输出进行离散化，形成一个非线性规划问题；这种离散化是基于正交分配方法，即在正交多项式零点处，对状态近似值的导数进行分配，使其逼近真实的导数；之后系统离散为代数方程组，这样就能用非线性规划方法来求取离散系统的最优值；

连续状态和控制变量的近似离散化过程如下所示：

空间系绳系统模型动力学模型表示为如下一般非线性系统的形式

其中，状态变量

其对应的离散系统为

x(k+1)＝f(x(k),T_a(k)) (11)

其中，P_j(τ)是N_C阶的拉格朗日插值多项式，通过勒让德多项式的根计算得到；在对空间系绳模型离散化后，预测控制中有约束的最优化问题表示为一个如下的非线性规划问题：

寻找状态与控制向量x^*(τ_j),T_a ^*(τ_j)，使得下面性能指标最小

其中，

x(τ_j)∈X,T_a(τ_j)∈U (16)

满足

x(τ₀)＝x₀ (18)

-α_min＜α(τ_j)＜α_max,-β_min＜β(τ_j)＜β_max,0≤T_a(τ_j)≤T_amax (19)

式中：X和U为状态与控制的紧集，f(·)为在X×U上的Lipschitz的连续函数；w_j是第j个正交点上的权重函数，h_i＝τ_i+1-τ_i(i＝0,1,...,N_C-1)为时间长度，J(x(τ_j),T_a(τ_j))是优化目标函数，x₀是状态变量的初始值；

第三步，采用基于MATLAB的SNOPT工具进行非线性规划最优化问题的求解；在求解非线性规划问题是，规划初始值的选取对于优化计算时间与最终收敛结果有一定影响，因此，采用移位法对规划初值进行选取，假设当前规划的结果位于前次规划结果的附近，设上一次规划的结果为

在选择下一控制周期的规划初值时，将p^*中的

和T_a ^*T(n)移除，并在后面补充新的初值

新的初值简单的选为p^*中的前一项，即

通过上述方法所得到的新的规划初始值p₀为

第四步，在预测周期[n,n+N-1]内得到的最优控制序列表示为

将得到的最优控制序列的第一段T_a ^T(0)结合零阶保持器作为下一周期控制输入，构成闭环控制；在下一次采样时刻，时间序列向前推进一个采样周期，应用新的系统状态测量值进行新的最优问题的求解，直至系绳释放至全长为止，最终得到三维空间系绳系统在初始阶段展开的稳定控制律。

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