CN104238563B - 可变面倾角的控制力矩陀螺群设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种可变面倾角的控制力矩陀螺群设计方法，用于航天领域的姿态控制执行机构。本发明在控制力矩陀螺群(CMGs)使用时，根据需要调节每个陀螺的框架轴在本体坐标系的方向，也就是改变面倾角，从而获取面倾角变化带来的力矩控制量。相对传统的控制力矩陀螺群是通过改变框架角而产生力矩，本发明还可以通过调节面倾角的大小产生力矩，从而获得一个额外的调节变量，同时陀螺群的奇异性得到很大的改善。

Description

可变面倾角的控制力矩陀螺群设计方法

技术领域

本发明涉及一种应用于航天领域的姿态控制执行机构控制力矩陀螺群的新方案设计。

背景技术

角动量交换装置是航天器姿态控制的一类重要的执行机构。根据工作原理不同，这类执行机构又可分为两种，一种是通过改变动量轮的转速，即飞轮；另一种是通过改变动量轮的角动量的方向，即控制力矩陀螺群(CMGs)。

近几十年来，控制力矩陀螺群已经被应用于大型航天器，包括太空实验室(Skylab)和国际空间站(ISS)。控制力矩陀螺群相比于飞轮具有更低的功耗，同时具有更大的力矩输出能力。

控制力矩陀螺群通常是由3只以上按照特定方向安装的控制力矩陀螺组成，以具备三维的力矩输出能力。每一只控制力矩陀螺由一个高速旋转的转子和一个或多个框架组成，当只有一个框架时称为单框架控制力矩陀螺(SGCMG)，有两个框架时称为双框架控制力矩陀螺(DGCMGs)。

根据安装的方向和陀螺数量的不同，控制力矩陀螺群又可以分为不同构型。典型的几种构型包括：双平行构型、三平行构型、四面体构型、金字塔构型、四棱锥构型、五棱锥构型等。其中，金字塔构型设置四个力矩陀螺，其框架轴分别垂直于金字塔的四个侧面，为保证本体坐标系三个坐标轴的角动量相等，可得到金字塔面的倾角为β＝53.1°。

为评价不同构型的控制力矩陀螺群的性能，通常采用构型效益、失效效益、可控效益和奇点损失率等几项指标。

构型效益也被称为角动量效益，即系统在某一构型下角动量包络上的最小角动量与陀螺群角动量的代数和之比，表示为

$\mathrm{\γ}=\underset{\mathrm{\ζ}}{\min }\underset{\mathrm{\δ}}{\max }\left(\right|h_c\left(\mathrm{\δ}\right)\left|{|}_{\mathrm{\ζ}}\right)/{\mathrm{nh}}_0$

其中，γ为角动量效益，ζ为由角动量体中心指向包络的方向，n为陀螺群中SGCMG的个数，h_c(δ)为总角动量矢量，它是SGCMGs框架角列向量δ的函数，h₀为单个SGCMG的标称角动量。

构型效益表征了在可控范围内对单框架控制力矩陀螺群SGCMGs数量的衡量指标。γ值越大，说明单个SGCMG发挥的效益越大。根据该指标，如果要达到最大构型效益，SGCMGs系统应由无穷多个陀螺组成，框架轴沿球面分布，此时最大构型效益可达γ_max＝π/4≈0.785。但随着陀螺数量的增加，系统成本及复杂度也会随之加大。

就研究本身而言，以金字塔构型的SGCMGs作为分析对象，具有深远的意义。因为这种 构型具有一定的代表性，此构型的构型效益和可控效益差值最大为0.4516，表明在角动量内部深处也存在了显奇异点，奇异问题很严重。对此种构型的奇异分析和操纵律研究，将有助于为更多数SGCMG系统的奇异分析和操纵律设计提供指导。

发明内容

目前对于控制力矩陀螺群的研究都是基于一个特定安装构型而进行的，如金字塔构型，其面倾角就是特定的一个角度，如53.1°。本发明的目的是针对现有的控制力矩陀螺群构型，提出一种可变面倾角的金字塔构型方案，以获得更好的性能。

本发明提供了一种可变面倾角的控制力矩陀螺群设计方法，控制力矩陀螺群(CMGs)在使用时，根据需要调节每个陀螺的框架轴在本体坐标系的方向，也就是改变面倾角。通过下面过程获得CMGs作用于星体的力矩以及面倾角变化带来的力矩控制量。

设CMGs由N个陀螺构成，对于每个陀螺i(i＝1,2,…,N)有如下参数定义：

陀螺i的框架坐标系为原点位于陀螺质心，为陀螺i的框架轴向在星体坐标中的方向，为陀螺i的转子轴向在星体坐标中的方向，c_gi,c_si和c_ti分别为单位矢量和的列阵表示式；δ_i为陀螺i的框架角；Ω_ri为陀螺i的转子相对框架的转速；I_ri为陀螺i的转子相对陀螺质心的惯量矩阵，I_ri＝diag(I_rgi I_rsi I_rti)。

(1)首先，获得CMGs的总角动量h_b为：h_b＝A_sI_rsΩ_r；

其中，A_s＝[c_s1 c_s2 ... c_sN]，为CMGs的转子转速方向矩阵；

I_rs＝[I_rs1 I_rs2 … I_rsN]，是CMGs中转子相对陀螺质心的惯量矩阵在转子轴向分量的矩阵；

Ω_r＝[Ω_r1 Ω_r2 ... Ω_rN]^T，为CMGs的转子转速向量。

(2)然后，获得CMGs作用于星体的力矩T_cmg为：其中，ω＝[ω_x ω_yω_z]^T为航天器相对惯性坐标系的角速度，在星体坐标系中描述；为ω对应的反对称矩阵；

${\stackrel{.}{h}}_b={\stackrel{.}{A}}_s{I}_{\mathrm{rs}}{\mathrm{\Ω}}_r,$ 其中中的元素为： ${\stackrel{.}{c}}_{\mathrm{si}}=c_{\mathrm{ti}}{\stackrel{.}{\mathrm{\δ}}}_i+{\stackrel{.}{c}}_{\mathrm{si}0}\cos {\mathrm{\δ}}_i+{\stackrel{.}{c}}_{\mathrm{ti}0}\sin {\mathrm{\δ}}_i;$

其中，是由于面倾角变化带来的力矩控制量；

c_ti＝c_ti0cosδ_i-c_si0sinδ_i，c_si＝c_si0cosδ_i+c_ti0sinδ_i；c_si0和c_ti0分别为c_si和c_ti的初始值。

对于金字塔构型的控制力矩陀螺群，设面倾角为θ，则：

CMGs的可控力矩 $T_c=-h_r{A}_t\stackrel{.}{\mathrm{\δ}}-h_r\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}{A}_g\sin \mathrm{\δ};$

其中，A_t为CMGs的横向方向矩阵，A_t＝[c_t1 c_t2 c_t3 c_t4]；A_g为CMGs的框架角速度方向矩阵，A_g＝[c_g1 c_g2 c_g3 c_g4]；δ为CMGs的框架角向量，δ＝[δ₁ δ₂ ... δ₄]^T；

h_r＝I_rsiΩ_ri为转子角动量，i＝1,2,3,4；为由于面倾角变化引入的调节量。

相对于传统的控制力矩陀螺在本体系的框架轴安装方向是固定的，本发明的控制力矩陀螺群设计方法把它设计为可变的。本发明通过增加控制力矩陀螺框架轴方向的可变性，使得 它作为执行机构获得了一个额外的调节变量，同时陀螺群的奇异性得到很大的改善，为操纵律设计和奇异回避问题的研究开辟了新的途径。

附图说明

图1为单个控制力矩陀螺的力矩产生原理示意图；

图2为控制力矩陀螺的结构示意图；

图3为某一陀螺中框架坐标系中的矢量关系示意图；

图4为传统金字塔构型单框架控制力矩陀螺群构型示意图；

图5为本发明可变面倾角的金字塔构型单框架控制力矩陀螺群构型示意图。

具体实施方式

下面结合附图，详细说明本发明的技术方案及其优势。

首先，通过图1了解单个控制力矩陀螺的力矩产生原理。

图1中，转子以恒定的角速度Ω绕转轴旋转，当框架角δ发生改变时，就产生了沿着方向的力矩。通常框架在航天器本体中的方向是固定不变的。图中，表示框架轴的安装方向， 表示转轴的方向。

本发明提供了一种可变面倾角的控制力矩陀螺群设计方法，控制力矩陀螺群(CMGs)在使用时，根据需要调节每个陀螺的框架轴在本体坐标系的方向，也就是改变面倾角。

下面对本发明的可变面倾角的控制力矩陀螺群设计方法中，由于面倾角可变时，对带来的额外控制量进行说明，并获取CMGs作用于星体的力矩。

如图2所示，CMG由框架和转子两部分构成。框架轴向方向在星体内部固定不变，框架绕框架轴旋转时，改变转子角动量的方向，从而输出控制力矩。为建立其数学模型，首先推导CMG角动量表达式。

记单位矢量分别为陀螺i的框架轴向和转子轴向在星体坐标中的方向，两者相互垂直，单位矢量以单位矢量和为坐标轴，定义框架坐标系其原点位于陀螺i的质心。这里假定，陀螺绕框架轴旋转时其质心位置不变。CMG角动量由框架的角动量和转子角动量两部分构成。

(1)首先推导转子的角动量。

定义I_ri为陀螺i的转子相对陀螺质心的惯量矩阵，且假设I_ri具有如下的对角形式

I_ri＝diag(I_rgi I_rsi I_rti) (1)

I_rgi、I_rsi和I_rti分别为I_ri在框架坐标系F_Ci三个坐标轴方向上的分量。

记陀螺i的转子相对惯性坐标系的角速度为ω_ri，在框架坐标系F_Ci中，ω_ri为：

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ri}}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{rgi}}\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{rsi}}\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{rti}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{.}{\mathrm{\δ}}}_i+c_{\mathrm{gi}}^T\mathrm{\ω}\\ {\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{ti}}+c_{\mathrm{si}}^T\mathrm{\ω}\\ c_{\mathrm{ti}}^T\mathrm{\ω}\end{array}\right]---\left(2\right)$

其中，ω_rgi、ω_rsi和ω_rti分别为ω_ri在框架坐标系F_Ci三个坐标轴方向上的分量；Ω_ri为陀螺i的转子相对框架的转速；δ_i为陀螺i的框架角；ω＝[ω_x ω_y ω_z]^T为航天器相对惯性坐标系的角速度，在星体坐标系中描述。c_gi,c_si和c_ti分别为单位矢量和的列阵表示式，实际上就是陀螺i的框架角速度方向、转子转速方向以及与上述两向量正交的方向(称为横向方向)在星体坐标系中的方向余弦列阵。其中c_gi取决于陀螺i的框架轴在星体坐标中的安装方位，即与面倾角有关；c_si和c_ti为变量，由图3可得到如下关系：

c_si＝c_si0cosδ_i+c_ti0sinδ_i (3)

c_ti＝c_ti0cosδ_i-c_si0sinδ_i (4)

其中c_si0和c_ti0分别为c_si和c_ti的初始值。

由(1)和(2)可知，陀螺i的转子相对惯性坐标系的角动量，在框架坐标系中表示为h_ri：

$h_{\mathrm{ri}}=I_{\mathrm{ri}}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ri}}=\left[\begin{array}{c}{I}_{\mathrm{rgi}}({\stackrel{.}{\mathrm{\δ}}}_i+c_{\mathrm{gi}}^T\mathrm{\ω})\\ I_{\mathrm{rsi}}({\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{ri}}+c_{\mathrm{si}}^T\mathrm{\ω})\\ I_{\mathrm{rti}}{c}_{\mathrm{ti}}^T\mathrm{\ω}\end{array}\right]---\left(5\right)$

(2)推导框架的角动量。

定义I_gi为陀螺i的框架相对陀螺质心的惯量矩阵，且假设I_gi具有如下的对角形式

I_gi＝diag(I_ggi I_gsi I_gti) (6)

I_ggi、I_gsi和I_gti分别为I_gi在框架坐标系F_Ci三个坐标轴方向上的分量。

记框架相对惯性坐标系的角速度为ω_gi，在框架坐标系中，ω_gi为

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{gi}}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ggi}}\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{gsi}}\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{gti}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{.}{\mathrm{\δ}}}_i+c_{\mathrm{gi}}^T\mathrm{\ω}\\ c_{\mathrm{si}}^T\mathrm{\ω}\\ c_{\mathrm{ti}}^T\mathrm{\ω}\end{array}\right]---\left(7\right)$

其中，ω_ggi、ω_gsi和ω_gti分别为ω_gi在框架坐标系F_Ci三个坐标轴方向上的分量。

因此框架相对陀螺质心的绝对角动量，在框架坐标系中为h_gi：

$h_{\mathrm{gi}}=I_{\mathrm{gi}}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{gi}}=\left[\begin{array}{c}{I}_{\mathrm{ggi}}({\stackrel{.}{\mathrm{\δ}}}_i+c_{\mathrm{gi}}^T\mathrm{\ω})\\ I_{\mathrm{gsi}}{c}_{\mathrm{si}}^T\mathrm{\ω}\\ I_{\mathrm{gti}}{c}_{\mathrm{ti}}^T\mathrm{\ω}\end{array}\right]---\left(8\right)$

(3)确定陀螺总角动量。

陀螺角动量即为转子和框架角动量之和，由于两者均在框架坐标系中描述，因此陀螺i的角动量h_ci为：

$h_{\mathrm{ci}}=h_{\mathrm{ri}}+h_{\mathrm{gi}}=\left[\begin{array}{c}{I}_{\mathrm{cgi}}({\stackrel{.}{\mathrm{\δ}}}_i+c_{\mathrm{gi}}^T\mathrm{\ω})\\ I_{\mathrm{csi}}{c}_{\mathrm{si}}^T\mathrm{\ω}+I_{\mathrm{rsi}}{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{ri}}\\ I_{\mathrm{cti}}{c}_{\mathrm{ti}}^T\mathrm{\ω}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{h}_{\mathrm{cgi}}\\ h_{\mathrm{csi}}\\ h_{\mathrm{cti}}\end{array}\right]---\left(9\right)$

其中，I_cgi、I_csi和I_cti分别为惯量矩阵I_ci＝I_gi+I_ri＝diag[I_cgi I_csi I_cti]中的相应分量，也就是整个陀螺i(包括框架和转子)绕框架坐标系F_Ci三轴的转动惯量。h_cgi、h_csi和h_cti分别为h_ci在框架坐标系F_Ci三个坐标轴方向上的分量。

上述陀螺角动量h_ci是在框架坐标系中描述的，将其转换到星体坐标系中为h_bi：

$\begin{array}{c}{h}_{\mathrm{bi}}=c_{\mathrm{gi}}{h}_{\mathrm{cgi}}+c_{\mathrm{si}}{h}_{\mathrm{csi}}+c_{\mathrm{ti}}{h}_{\mathrm{cti}}\\ =c_{\mathrm{gi}}{I}_{\mathrm{cgi}}(c_{\mathrm{gi}}^T\mathrm{\ω}+{\stackrel{.}{\mathrm{\δ}}}_i)+c_{\mathrm{si}}{I}_{\mathrm{csi}}{c}_{\mathrm{si}}^T\mathrm{\ω}+c_{\mathrm{si}}{I}_{\mathrm{rsi}}{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{ri}}+c_{\mathrm{ti}}{I}_{\mathrm{cti}}{c}_{\mathrm{ti}}^T\mathrm{\ω}\end{array}---\left(10\right)$

(4)确定陀螺群的总角动量。

整个陀螺群由N个陀螺构成，则陀螺群的总角动量h_b为：

$h_b=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{h}_{\mathrm{bi}}=A_g{I}_{\mathrm{cg}}{A}_g^T\mathrm{\ω}+A_s{I}_{\mathrm{cs}}{A}_s^T\mathrm{\ω}+A_t{I}_{\mathrm{ct}}{A}_t^T\mathrm{\ω}+A_g{I}_{\mathrm{cg}}\stackrel{.}{\mathrm{\δ}}+A_s{I}_{\mathrm{rs}}{\mathrm{\Ω}}_r---\left(11\right)$

式中：

A_g＝[c_g1 c_g2 ... c_gN]，为CMGs的框架角速度方向矩阵；

A_s＝[c_s1 c_s2 ... c_sN]，为CMGs的转子转速方向矩阵；

A_t＝[c_t1 c_t2 ... c_tN]，为CMGs的横向方向矩阵；

$\stackrel{.}{\mathrm{\δ}}={\left[\begin{array}{cccc}{\stackrel{.}{\mathrm{\δ}}}_1& {\stackrel{.}{\mathrm{\δ}}}_2& ...& {\stackrel{.}{\mathrm{\δ}}}_N\end{array}\right]}^T,$ 为CMGs的框架角速度向量；

Ω_r＝[Ω_r1 Ω_r2 ... Ω_rN]^T，为CMGs的转子转速向量；

CMGs中陀螺i绕自身框架坐标系F_Ci三轴的转动惯量I_ci＝[I_cgi I_csi I_cti]；I_cg＝[I_cg1 I_cg2 … I_cgN]，I_cs＝[I_cs1 I_cs2 … I_csN]，I_ct＝[I_ct1 I_ct2 … I_ctN]，I_cg、I_cs和I_ct分别为CMGs中陀螺绕自身框架坐标系三轴的转动惯量矩阵；

I_rs＝[I_rs1 I_rs2 … I_rsN]，是CMGs中转子相对陀螺质心的惯量矩阵在转子轴向分量的矩阵。

(5)确定CMGs作用于星体的力矩，以及面倾角变换带来的额外控制量。

由角动量定理可知，CMGs作用于星体的力矩T_cmg为

$T_{\mathrm{cmg}}=\widetilde{-\mathrm{\ω}}{h}_b-{\stackrel{.}{h}}_b---\left(12\right)$

表示ω对应的反对称矩阵。

设 $\mathrm{\ω}=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_x\\ {\mathrm{\ω}}_y\\ {\mathrm{\ω}}_z\end{array}\right),$ 定义其反对称矩阵为 $\widetilde{\mathrm{\ω}}=\left(\begin{array}{ccc}0& {-\mathrm{\ω}}_z& {\mathrm{\ω}}_y\\ {\mathrm{\ω}}_z& 0& {-\mathrm{\ω}}_x\\ {-\mathrm{\ω}}_y& {\mathrm{\ω}}_x& 0\end{array}\right).$

下面重点求的表达式。由式(11)得到：

$h_b=I_{\mathrm{cmg}}\mathrm{\ω}+A_g{I}_{\mathrm{cg}}\stackrel{.}{\mathrm{\δ}}+A_s{I}_{\mathrm{rs}}{\mathrm{\Ω}}_r---\left(13\right)$

其中

$I_{\mathrm{cmg}}=A_g{I}_{\mathrm{cg}}{A}_g^T+A_s{I}_{\mathrm{cs}}{A}_s^T+A_t{I}_{\mathrm{ct}}{A}_t^T---\left(14\right)$

为CMGs惯量在星体坐标系中的表达式。

由于实际情况下有||ω||＜＜Ω_r，因而式(13)可以简化为

h_b＝A_sI_rsΩ_r (15)

有

${\stackrel{.}{h}}_b={\stackrel{.}{A}}_s{I}_{\mathrm{rs}}{\mathrm{\Ω}}_r---\left(16\right)$

下面研究的表达式。

对式(3)求导可得

$\begin{array}{c}{\stackrel{.}{c}}_{\mathrm{si}}=(-c_{\mathrm{si}0}\sin {\mathrm{\δ}}_i+c_{\mathrm{ti}0}\cos {\mathrm{\δ}}_i){\stackrel{.}{\mathrm{\δ}}}_i+{\stackrel{.}{c}}_{\mathrm{si}0}\cos {\mathrm{\δ}}_i+{\stackrel{.}{c}}_{\mathrm{ti}0}\sin {\mathrm{\δ}}_i\\ =c_{\mathrm{ti}}{\stackrel{.}{\mathrm{\δ}}}_i+{\stackrel{.}{c}}_{\mathrm{si}0}\cos {\mathrm{\δ}}_i+{\stackrel{.}{c}}_{\mathrm{ti}0}\sin {\mathrm{\δ}}_i\end{array}---\left(17\right)$

其中，后两项是由于面倾角可变引入的，正是这一点的改变，使得可变面倾角构型带来了额外的力矩控制量。

图4是传统的金字塔构型单框架控制力矩陀螺群构型示意图。在该图中，每个框架轴方向上都安装有图1中所示的控制力矩陀螺，框架轴在本体系中的安装方向为4)，分别垂直于金字塔的四个侧面。图2中，F_b(O_b-X_bY_bZ_b)为建立的本体坐标系，坐标系原点O_b为金字塔底面的中心，轴为从原点指向金字塔的顶点。在该方案中，金字塔面的倾角θ为常值，即53.13°，即每个陀螺的框架轴在本体坐标系的方向是不变的。在输出指令力矩时，可调节的量是每个陀螺的框架角速度

图5是本发明可变面倾角的金字塔构型单框架控制力矩陀螺群构型示意图。在实际的使用中，金字塔四个侧面为可变倾角，框架轴仍保持与侧面垂直，即每个陀螺的框架轴 在本体坐标系的方向可根据需要进行调节。在输出指令力矩时，可调节的量除了每个陀螺的框架角速度以外，还有面倾角的变化率

下面以金字塔构型的控制力矩陀螺群为例，说明面倾角改变时的力矩以及带来的额外控制量。式(18)给出了金字塔构型中四个陀螺在星体坐标系的方向，N＝4，i＝1,2,3,4。

$c_{g10}=\left(\begin{array}{c}\sin \mathrm{\θ}\\ 0\\ \cos \mathrm{\θ}\end{array}\right),c_{g20}=\left(\begin{array}{c}0\\ \sin \mathrm{\θ}\\ \cos \mathrm{\θ}\end{array}\right),c_{g30}=\left(\begin{array}{c}-\sin \mathrm{\θ}\\ 0\\ \cos \mathrm{\θ}\end{array}\right),c_{g40}=\left(\begin{array}{c}0\\ -\sin \mathrm{\θ}\\ \cos \mathrm{\θ}\end{array}\right)$

$c_{s10}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right),c_{s20}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\end{array}\right),c_{s30}=\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 0\end{array}\right),c_{s40}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)---\left(18\right)$

$c_{t10}=\left(\begin{array}{c}-\cos \mathrm{\θ}\\ 0\\ \sin \mathrm{\θ}\end{array}\right),c_{t20}=\left(\begin{array}{c}0\\ -\cos \mathrm{\θ}\\ \sin \mathrm{\θ}\end{array}\right),c_{t30}=\left(\begin{array}{c}\cos \mathrm{\θ}\\ 0\\ \sin \mathrm{\θ}\end{array}\right),c_{t40}=\left(\begin{array}{c}0\\ \cos \mathrm{\θ}\\ \sin \mathrm{\θ}\end{array}\right)$

其中，θ表示面倾角；可见

${\stackrel{.}{c}}_{\mathrm{si}0}\cos {\mathrm{\δ}}_i+{\stackrel{.}{c}}_{\mathrm{ti}0}\sin {\mathrm{\δ}}_i=\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}{c}_{\mathrm{gi}0}\sin {\mathrm{\δ}}_i---\left(19\right)$

由此可得

${\stackrel{.}{A}}_s=A_{t}d\left[\stackrel{.}{\mathrm{\δ}}\right]+\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}{A}_{g}d\left[\sin \mathrm{\δ}\right]---\left(20\right)$

A_s＝[c_s1 c_s2 ... c_s4]，为CMGs的转子转速方向矩阵。A_t为CMGs的横向方向矩阵，A_t＝[c_t1 c_t2 c_t3 c_t4]。δ为CMGs的框架角向量，δ＝[δ₁ δ₂ δ₃ δ₄]^T，为CMGs的框架角速度的向量。A_g为CMGs的框架角速度方向矩阵，A_g＝[c_g1 c_g2 c_g3 c_g4]。

值得注意的是，表达式中第二项是由面倾角改变引入的项。

对任意x＝[x₁ x₂ ... x_n]^T，算子d[x]定义为如下对角阵

d[x]＝diag(x₁ x₂ ... x_n) (21)

将式(20)代入(16)有

${\stackrel{.}{h}}_b=A_{t}d\left[\stackrel{.}{\mathrm{\δ}}\right]I_{\mathrm{ws}}\mathrm{\Ω}+\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}{A}_{g}d\left[\sin \mathrm{\δ}\right]I_{\mathrm{ws}}\mathrm{\Ω}---\left(22\right)$

由于每个CMG的转子惯量和转速一般都相等，即有

$\left\{\begin{array}{c}{I}_{\mathrm{rs}1}=I_{\mathrm{rs}2}=...=I_{\mathrm{rs}4}\\ {\mathrm{\Ω}}_{r1}={\mathrm{\Ω}}_{r2}=...={\mathrm{\Ω}}_{r4}\end{array}\right.$

因而，式(22)可以表示为：

${\stackrel{.}{h}}_b=h_r{A}_t\stackrel{.}{\mathrm{\δ}}{+h}_r\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}{A}_g\sin \mathrm{\δ}---\left(23\right)$

式中h_r＝I_rsiΩ_ri为转子角动量，是常值，i＝1,2,3,4。

由式(12)，得到：

$T_{\mathrm{cmg}}=-\widetilde{\mathrm{\ω}}{h}_b+T_c---\left(24\right)$

结合式(23)有

$T_c=-h_r{A}_t\stackrel{.}{\mathrm{\δ}}-h_r\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}{A}_g\sin \mathrm{\δ}---\left(25\right)$

T_c即为CMGs的可控力矩。其中A_t与框架角δ以及面倾角θ有关，是变量。通常情况是通过合理设计框架角速度即可使CMGs输出指令控制力矩T_c，这里由于面倾角θ可变化，引入了额外的调节量

下面以金字塔构型的控制力矩陀螺群为例，说明面倾角可变对奇异性回避带来的好处。

将公式(25)进行整理，得到

$\begin{array}{c}{T}_c=-h_r{A}_t\stackrel{.}{\mathrm{\δ}}-h_r\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}{A}_g\sin \mathrm{\δ}\\ =-h_r\left(\begin{array}{ccc}{A}_t& A_g& \sin \mathrm{\δ}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\stackrel{.}{\mathrm{\δ}}\\ \stackrel{.}{\mathrm{\θ}}\end{array}\right)\end{array}---\left(26\right)$

在面倾角不可变时，力矩方程为

$T_c=-h_r{A}_t\stackrel{.}{\mathrm{\δ}}---\left(27\right)$

操纵律为

$\stackrel{.}{\mathrm{\δ}}=-A_t^T{\left(A_t{A}_t^T\right)}^{-1}{T}_c/h_r---\left(28\right)$

在A_t不满秩时，上述的操纵律失效。这里选取的最小奇异值来衡量奇异性，当A_t不满秩时该值为零。

从公式(26)可得到面倾角可变时的最小奇异值为

${\mathrm{\λ}}_{\min }\left(\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{ccc}{A}_t& A_g& \sin \mathrm{\δ}\end{array}\right)& \left(\begin{array}{c}{A}_t^T\\ {\left(\begin{array}{cc}{A}_t& \end{array}\sin \mathrm{\δ}\right)}^T\end{array}\right)\end{array}\right)---\left(29\right)$

从公式(27)可得到面倾角不变时的最小奇异值为

${\mathrm{\λ}}_{\min }\left(A_t{A}_t^T\right)---\left(30\right)$

下面采用蒙特卡洛法分别分析有面倾角改变和无面倾角改变的情况下奇异度量小于0.01(认为进入了奇异状态)的概率。

假设框架角和面倾角在空间 $\left(\mathrm{0,2}\mathrm{\π}\right)\×\left(\mathrm{0,2}\mathrm{\π}\right)\×\left(\mathrm{0,2}\mathrm{\π}\right)\×\left(\mathrm{0,2}\mathrm{\π}\right)\×(\frac{\mathrm{\π}}{6},\frac{5\mathrm{\π}}{6})$ 上服从均匀分布。每个框架角在定义域(0,2π)上等间距选取2n个点，面倾角在定义域上等间距选取n个点。通过遍历前述的所有可能的组合，统计所有组合中最小奇异值小于0.01时的组合个数，除以总的组合数，得到一个概率值。

对比上面的概率值，可以得出结论，在增加了面倾角这一可变维度后，陀螺群的奇异性得到很大的改善。

Claims (3)

1.一种可变面倾角的控制力矩陀螺群设计方法，其特征在于，控制力矩陀螺群CMGs在使用时，设置每个陀螺的框架轴在本体坐标系的方向能够调节，并通过下面过程获得CMGs作用于星体的力矩；

设CMGs由N个陀螺构成，对于每个陀螺i(i＝1,2,…,N)有如下参数定义：

陀螺i的框架坐标系为原点位于陀螺质心，为陀螺i的框架轴向在星体坐标中的方向，为陀螺i的转子轴向在星体坐标中的方向，c_gi,c_si和c_ti分别为单位矢量和的列阵表示式；δ_i为陀螺i的框架角；Ω_ri为陀螺i的转子相对框架的转速；I_ri为陀螺i的转子相对陀螺质心的惯量矩阵，I_ri＝diag(I_rgi I_rsi I_rti)；

(1)首先，获得CMGs的总角动量h_b为：h_b＝A_sI_rsΩ_r；

其中，A_s＝[c_s1 c_s2 ... c_sN]，为CMGs的陀螺的转子轴向在星体坐标中的方向矩阵；

I_rs＝[I_rs1 I_rs2 … I_rsN]，是CMGs中转子相对陀螺质心的惯量矩阵在转子轴向分量的矩阵；

Ω_r＝[Ω_r1 Ω_r2 ... Ω_rN]^T，为CMGs的转子转速向量；

(2)然后，获得CMGs作用于星体的力矩T_cmg为：

其中，ω＝[ω_x ω_y ω_z]^T为航天器相对惯性坐标系的角速度，在星体坐标系中描述；为ω对应的反对称矩阵；

其中中的元素为：

是由于面倾角变化带来的力矩控制量；

c_ti＝c_ti0cosδ_i-c_si0sinδ_i，c_si＝c_si0cosδ_i+c_ti0sinδ_i；c_si0和c_ti0分别为c_si和c_ti的初始值；和分别为c_si0和c_ti0随时间的变化率。

2.根据权利要求1所述的一种可变面倾角的控制力矩陀螺群设计方法，其特征在于，所述的CMGs的总角动量h_b的获得方法为：

(1.1)首先，获得陀螺i的转子的角动量h_ri，在框架坐标系中描述；

$h_{ri}=I_{ri}{\mathrm{\ω}}_{ri}=\left[\begin{array}{c}{I}_{rgi}({\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_i+c_{gi}^T\mathrm{\ω})\\ I_{rsi}({\mathrm{\Ω}}_{ri}+c_{si}^T\mathrm{\ω})\\ I_{rti}{c}_{ti}^T\mathrm{\ω}\end{array}\right];$

其中，ω_ri为陀螺i的转子相对惯性坐标系的角速度；

(1.2)其次，获得陀螺i的框架的角动量h_gi，在框架坐标系中描述；

$h_{gi}=I_{gi}{\mathrm{\ω}}_{gi}=\left[\begin{array}{c}{I}_{ggi}({\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_i+c_{gi}^T\mathrm{\ω})\\ I_{gsi}{c}_{si}^T\mathrm{\ω}\\ I_{gti}{c}_{ti}^T\mathrm{\ω}\end{array}\right];$

其中，I_gi为陀螺i的框架相对陀螺质心的惯量矩阵，I_ggi、I_gsi和I_gti分别为I_gi在框架坐标系F_Ci三个坐标轴方向上的分量；ω_gi为陀螺i的框架相对惯性坐标系的角速度；

(1.3)然后，获得陀螺i的总角动量h_ci，在框架坐标系中描述为：

$h_{ci}=h_{ri}+h_{gi}=\left[\begin{array}{c}{I}_{cgi}({\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_i+c_{gi}^T\mathrm{\ω})\\ I_{csi}{c}_{si}^T\mathrm{\ω}+I_{rsi}{\mathrm{\Ω}}_{ri}\\ I_{cti}{c}_{ti}^T\mathrm{\ω}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{h}_{cgi}\\ h_{csi}\\ h_{cti}\end{array}\right];$

I_cgi、I_csi和I_cti分别为惯量矩阵I_ci＝I_gi+I_ri＝diag[I_cgi I_csi I_cti]中的相应分量，为整个陀螺i绕框架坐标系F_Ci三轴的转动惯量；h_cgi、h_csi和h_cti分别为h_ci在框架坐标系F_Ci三个坐标轴方向上的分量；

(1.4)在框架坐标系中描述的陀螺角动量h_ci，转换到星体坐标系中为h_bi：

$\begin{array}{c}{h}_{bi}=c_{gi}{h}_{cgi}+c_{si}{h}_{csi}+c_{ti}{h}_{cti}\\ =c_{gi}{I}_{cgi}(c_{gi}^T\mathrm{\ω}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_i)+c_{si}{I}_{csi}{c}_{si}^T\mathrm{\ω}+c_{si}{I}_{rsi}{\mathrm{\Ω}}_{ri}+c_{ti}{I}_{cti}{c}_{ti}^T\mathrm{\ω}\end{array}$

(1.5)确定陀螺群的总角动量h_b为：

$h_b=\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{h}_{bi}=A_g{I}_{cg}{A}_g^T\mathrm{\ω}+A_s{I}_{cs}{A}_s^T\mathrm{\ω}+A_t{I}_{ct}{A}_t^T\mathrm{\ω}+A_g{I}_{cg}\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}+A_s{I}_{rs}{\mathrm{\Ω}}_r$

其中，A_g＝[c_g1 c_g2 ... c_gN]，为CMGs的框架角速度方向矩阵；

A_t＝[c_t1 c_t2 ... c_tN]，为CMGs的横向方向矩阵；

为CMGs的框架角速度向量；

I_cg＝[I_cg1 I_cg2 … I_cgN]，I_cs＝[I_cs1 I_cs2 … I_csN]，I_ct＝[I_ct1 I_ct2 … I_ctN]；

设CMGs惯量在星体坐标系中的表达式

则

由于实际情况下有||ω||＜＜Ω_r，因而h_b简化为h_b＝A_sI_rsΩ_r。

3.根据权利要求1所述的一种可变面倾角的控制力矩陀螺群设计方法，其特征在于，所述的CMGs为金字塔构型的CMGs时，设面倾角为θ，则：

CMGs的可控力矩

其中，A_t为CMGs的横向方向矩阵，A_t＝[c_t1 c_t2 c_t3 c_t4]；A_g为CMGs的框架角速度方向矩阵，A_g＝[c_g1 c_g2 c_g3 c_g4]；h_r＝I_rsiΩ_ri为转子角动量，i＝1,2,3,4；sinδ为由于面倾角变化引入了的调节量，δ为CMGs的框架角向量，δ＝[δ₁ δ₂ δ₃ δ₄]^T，为面倾角θ随时间的变化率。