CN105786013A - 面向输入饱和的迹向欠驱动航天器编队重构控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种面向输入饱和的迹向欠驱动航天器编队重构控制方法，该方法针对存在输入饱和作用的圆轨道迹向欠驱动航天器编队构型重构控制问题，建立了其动力学模型。基于该动力学模型，分析了缺失迹向控制情况下的系统能控性以及编队重构可行性。以此模型为受控对象，构建了辅助系统以解决输入饱和问题，同时采用反步控制方法构建了迹向欠驱动情况下的闭环控制律。该方法能够完成存在输入饱和的圆轨道迹向欠驱动航天器编队构型重构控制，且闭环系统一致最终有界稳定，对外部摄动及模型误差具有良好的鲁棒性和动态性能。

Description

面向输入饱和的迹向欠驱动航天器编队重构控制方法

技术领域

本发明涉及自动控制技术领域，具体的涉及一种面向输入饱和的迹向欠驱动航天器编队重构控制方法。

背景技术

航天器编队是未来空间任务应用的一项关键技术，航天器编队通过将传统单个航天器的不同功能部件地分布给航天器编队中的其他各小型航天器，从而使得航天器编队之间能实现相互协调统一完成任务。因而，与单个航天器相比，航天器编队具有更高的任务灵活性与可靠性，同时降低了成本与风险。航天器编队的任务灵活性体现在其可通过轨道机动的方式变换成不同的队列构型，实现编队重构，以适应不同空间任务的需要。因而，编队重构是航天器编队中的关键。现有的航天器编队重构控制方法多基于全驱动动力学系统假设(系统的控制输入维数为受控系统的自由度相等)，即假设航天器编队中的主航天器与从航天器的径向、迹向、法向相对轨道运动的控制通道上均存在独立的控制器。若航天器某一方向的控制器发生故障，航天器编队相对轨道动力学系统变为欠驱动系统，则已有的全驱动控制方法则不再适用，导致航天器的重构任务失败。此外，采用更少数量的推力器有助于进一步降低航天器的质量与成本。

因而，有必要构建面向欠驱动航天器的编队重构控制方法以解决上述问题。

虽然目前已有研究工作提出欠驱动航天器编队重构控制方法，但现有这些控制方法均未考虑控制器输入饱和的问题。然而，现实中的控制器实际上均存在输入饱和问题，即控制器可提供的控制加速度存在上限。若在控制器构建过程中不考虑该实际的物理问题，则有可能导致控制系统的不稳定，从而无法完成航天器重构的任务。

发明内容

本发明的目的在于提供一种面向输入饱和的迹向欠驱动航天器编队重构控制方法，该发明解决了现有迹向欠驱动航天器编队重构控制方法中，均未考虑的输入饱和问题。

本发明提供一种面向输入饱和的迹向欠驱动航天器编队重构控制方法，包括以下步骤：

步骤S100：给定待重构的名义构型：根据待重构的名义构型，计算对应的名义相对运动状态X_2d，其中，X_2d的下标2代表缺失迹向控制加速度的欠驱动情况；

步骤S200：误差量计算：对当前构型计算实际相对运动状态X₂，由此计算当前构型与名义相对运动状态之间的误差量e₂，e₂按公式(1)计算：

$e_2=X_2-X_{2d}={\left[\begin{array}{cccccc}{e}_x& e_y& e_z& {\stackrel{\·}{e}}_x& {\stackrel{\·}{e}}_y& {\stackrel{\·}{e}}_z\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{cccccc}x-x_d& y-y_d& z-z_d& \stackrel{\·}{y}-{\stackrel{\·}{y}}_d& \stackrel{\·}{x}-{\stackrel{\·}{x}}_d& \stackrel{\·}{z}-{\stackrel{\·}{z}}_d\end{array}\right]}^T---\left(1\right);$

步骤S300：控制律构建：采用反步控制方法构建迹向欠驱动航天器编队重构控制律，计算实际控制量U₂；

其中，实际相对运动状态X₂，式中x、y和z分别为径向、迹向和法向的实际相对位置，和分别为径向、迹向和法向的实际相对速度；

名义相对运动状态X_2d，式中x_d、y_d和z_d分别为径向、迹向和法向的名义相对位置，和分别为径向、迹向和法向的名义相对速度；

实际控制量U₂＝[U_xU_z]^T，其中U_x和U_z分别为径向和法向控制加速度；

步骤S400：计算得到具体问题的控制量U₂，将所得U₂代入公式(12)中，判断所得各项性能参数是否满足预设的性能指标，如果判断为满足则结束控制；如果判断为不满足则调整U₂中的各控制参数直至判断结果为满足性能指标时停止

其中，步骤S100包括以下步骤：建立迹向欠驱动航天器编队动力学模型：

航天器包括主航天器和从航天器，欠驱动航天器编队动力学模型的坐标系定义：O_EX_IY_IZ_I为地心惯性坐标系，其中O_E为地心，O_Cxyz为相对运动坐标系，其中O_C为主航天器质心，x轴沿主航天器径向，z轴与主航天器轨道面法向重合，y轴与x、z轴构成右手笛卡尔直角坐标系，O_D为从航天器质心，R_C和R_D分别为主航天器与从航天器的地心距矢量，X₂为缺失迹向控制加速度欠驱动情况下的相对运动状态，迹向欠驱动航天器编队动力学模型在相对运动坐标系中的描述为

${\stackrel{\·}{X}}_2=F_2\left(X_2\right)+{\mathrm{BU}}_2---\left(2\right)$

其中：

F₂＝[0_1×3f_yf_xf_z]^T(3)

$\left[\begin{array}{c}{f}_x\\ f_y\\ f_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2{\stackrel{\·}{u}}_C\stackrel{\·}{y}+{\stackrel{\·}{u}}_C^{2}x+{\stackrel{\·\·}{u}}_{C}y+n_C^2{R}_C-n_D^2(R_C+x)\\ -2{\stackrel{\·}{u}}_C\stackrel{\·}{x}+{\stackrel{\·}{u}}_C^{2}y-{\stackrel{\·\·}{u}}_{C}x-n_D^{2}y\\ -n_D^{2}z\end{array}\right]---\left(4\right)$

B＝[0_2×4I_2×2]^T(5)

U₂＝[U_xU_z]^T(6)

其中，u_C为主航天器的纬度幅角，和分别为主航天器轨道角速度和轨道角加速度，且其中，μ＝3.986×10¹⁴m³/s²为地球引力常数，R_C和R_D＝[(R_C+x)²+y²+z²]^1/2分别为主航天器和从航天器的地心距；0_m×n和I_m×n分别表示维数为m×n的零矩阵或单位矩阵，U₂为缺失迹向控制加速度情况下的实际控制量，其中，U_x和U_z分别为径向和法向控制加速度；

步骤S300包括以下步骤：建立误差动力学模型与构建控制律，得到缺失迹向控制加速度时，考虑外部摄动及模型线性化误差的欠驱动编队动力学模型中的可控部分为

$\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{e}}}_{2u}=A_{21}{\stackrel{\‾}{e}}_{2u}+A_{22}{e}_{2a}+d_{2u}\\ {\stackrel{\·}{e}}_{2a}=A_{23}{e}_{2u}+A_{24}{e}_{2a}+sat\left(U_2\right)+d_{2a}\end{array}---\left(17\right)$

其中

$\begin{array}{cc}{A}_{21}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right],& A_{22}=\left[\begin{array}{cc}-2n_C& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]\\ A_{23}=\left[\begin{array}{cccc}3n_C^2& 0& 0& 2n_C\\ 0& 0& -n_C^2& 0\end{array}\right],& A_{24}=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\end{array}---\left(18\right)$

式中，且d_2u＝[d_y00]^T和d_2a＝[d_xd_z]^T为不确定扰动矢量，sat(U₂)的表达式为sat(U₂)＝[sat(U_x)sat(U_z)]^T，其中sat(·)为符号函数，即

$sat\left(U_j\right)=\{\begin{array}{cc}{U}_{jm}\mathrm{sgn}\left(U_j\right),& \left|U_j\right|>U_{jm}\\ U_j,& \left|U_j\right|\≤U_{jm}\end{array},j=x,z---\left(13\right)$

式中，U_jm(j＝x,z)为j方向可提供的最大控制加速度，sgn(·)为符号函数，其定义式为

$\mathrm{sgn}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}1,& x>0\\ 0,& x=0\\ -1,& x<0\end{array}\right.---\left(14\right)$

构建的控制律为

$U_2=-G_2({\stackrel{\&OverBar;}{e}}_{2u},e_{2u},e_{2a})-K_{22}{\mathrm{\&lambda;}}_{22}-W_2{\mathrm{\&eta;}}_{21}-C_2{\mathrm{\&eta;}}_{22}-E_{22}sat({\mathrm{\&eta;}}_{22},{\mathrm{\&delta;}}_{21},{\mathrm{\&delta;}}_{22})---\left(23\right)$

其中

$G_2({\stackrel{\&OverBar;}{e}}_{2u},e_{2u},e_{2a})=(A_{23}{e}_{2u}+A_{24}{e}_{2a})+K_{21}(P_{22}{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_{2u}+e_{2a})+P_{22}(A_{21}{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_{2u}+A_{22}{e}_{2a})---\left(24\right)$

$\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&eta;}}_{21}={\tilde{e}}_{2u}-{\mathrm{\&lambda;}}_{21}\\ {\mathrm{\&eta;}}_{22}=e_{2a}-{\mathrm{\&alpha;}}_2-{\mathrm{\&lambda;}}_{22}\end{array}---\left(22\right)$

${\mathrm{\&alpha;}}_2=-K_{21}{\tilde{e}}_{2u}-P_{22}{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_{2u}-E_{21}\mathrm{sgn}\left({\mathrm{\&eta;}}_{21}\right)---\left(46\right)$

式中，和均为正定对角参数矩阵，的定义式为其中P₂₁为定常参数矩阵，其表达式为

式中，p₂₁<0为控制器参数，P₂₂＝P₂₁A₂₁，E₂₁＝diag(ε₂₁₁,ε₂₁₂)为正定增益矩阵，其中ε₂₁₁＞ξ_21m且ε₂₁₂＞ξ_21m，ξ_21m为矢量ξ₂₁＝P₂₁d_2u的上界，即||ξ₂₁||≤ξ_21m＝||P₂₁||d_m，其中||P₂₁||为矩阵P₂₁的诱导范数，同理，E₂₂＝diag(ε₂₂₁,ε₂₂₂)为正定增益矩阵，其中ε₂₂₁＞ξ_22m且ε₂₂₂＞ξ_22m，ξ_22m为矢量ξ₂₂＝d_2a+(K₂₁P₂₁+P₂₂)d_2u的上界，即ξ_22m＝(1+||K₂₁||||P₂₁||+||P₂₂||)d_m，其中||K₂₁||和||P₂₂||分别为矩阵K₂₁和P₂₂的诱导范数，sat(η₂₂,δ₂₁,δ₂₂)＝[sat(η₂₂₁,δ₂₁)sat(η₂₂₂,δ₂₂)]^T，其中

$sat({\mathrm{\&eta;}}_{22i},{\mathrm{\&delta;}}_{2i})=\{\begin{array}{cc}\mathrm{sgn}\left({\mathrm{\&eta;}}_{22i}\right),& \left|{\mathrm{\&eta;}}_{22i}\right|\&GreaterEqual;{\mathrm{\&delta;}}_{2i}\\ {\mathrm{\&eta;}}_{22i}/{\mathrm{\&delta;}}_{2i},& \left|{\mathrm{\&eta;}}_{22i}\right|<{\mathrm{\&delta;}}_{2i}\end{array},i=1,2---\left(25\right)$

式中，δ₂₁＞0和δ₂₂＞0为边界层的厚度。

λ₂₁和λ₂₂的值由如下辅助系统积分得到，即

$\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_{21}={\mathrm{\&lambda;}}_{22}-K_{21}{\mathrm{\&lambda;}}_{21}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_{22}=-K_{22}{\mathrm{\&lambda;}}_{22}+{\mathrm{\&Delta;U}}_2\end{array}---\left(21\right)$

式中，ΔU₂＝sat(U₂)-U₂。

进一步地，迹向欠驱动编队动力学系统中，可控状态矢量为不可控状态矢量为所处理为圆轨道条件下的航天器编队重构。

本发明的技术效果：

本发明提供面向输入饱和的迹向欠驱动航天器编队重构控制方法，能够在缺失迹向控制加速度的欠驱动情况下，建立任一待重构的圆轨道编队构型，该方法考虑控制器输入饱和作用，符合物理实际，实现了存在输入饱和作用的圆轨道迹向欠驱动航天器编队构型重构。

本发明提供面向输入饱和的迹向欠驱动航天器编队重构控制方法，采用反步控制方法构建闭环控制律，使得闭环控制系统对外部摄动及模型线性化误差具有良好的鲁棒性。该方法在应用过程中可以根据实际编队重构任务要求给定待重构的编队构型，并将由该方法得到的控制量传输至执行机构实现迹向欠驱动编队重构控制功能。

具体请参考根据本发明的面向输入饱和的迹向欠驱动航天器编队重构控制方法提出的各种实施例的如下描述，将使得本发明的上述和其他方面显而易见。

附图说明

图1为本发明优选实施例中迹向欠驱动航天器编队重构控制方法步骤流程示意图；

图2为本发明优选实施例中迹向欠驱动航天器编队动力学模型坐标系定义示意图；

图3为本发明优选实施例中缺失迹向加速度条件下编队重构轨迹示意图；

图4为本发明优选实施例中缺失迹向加速度条件下相对位置误差变化曲线示意图；

图5为本发明优选实施例中缺失迹向加速度条件下相对速度误差变化曲线示意图；

图6为本发明优选实施例中缺失迹向加速度条件下控制量变化曲线示意图；

文中符号说明如下：

O_D为从航天器质心；

O_EX_IY_IZ_I为地心惯性坐标系(O_E为地心)；

O_Cxyz为相对运动坐标系(O_C为主航天器质心)；

R_C为主航天器地心距矢量；

R_D为从航天器地心距矢量；

U_x为径向控制加速度；

U_z为法向控制加速度；

u_C为主航天器纬度幅角；

x为径向；

y为迹向；

z为法向；

ρ为主航天器与从航天器相对位置矢量。

具体实施方式

构成本申请的一部分的附图用来提供对本发明的进一步理解，本发明的示意性实施例及其说明用于解释本发明，并不构成对本发明的不当限定。

本发明提出了一种考虑控制器饱和作用的反步控制方法。该方法针对圆轨道迹向欠驱动航天器编队重构控制问题，建立其动力学模型。基于该动力学模型，分析了缺失迹向控制情况下的系统能控性以及编队重构任务的可行性。以此动力学模型为受控对象，构建了辅助系统以解决在输入饱和情况下的航天器编队重构问题，并采用反步控制法构建了迹向欠驱动情况下的闭环控制律。该欠驱动控制器能够实现缺失迹向控制加速度情况下的圆轨道航天器编队构型重构，且闭环系统对外部摄动及模型误差具有良好的鲁棒性和动态性能，为迹向欠驱动航天器编队构型重构的工程实现提供了有效方案，解决了存在输入饱和作用的迹向欠驱动航天器编队重构控制问题。

本发明提供的面向输入饱和的迹向欠驱动航天器编队重构控制方法，充分考虑了输入饱和情况下的航天器编队重构，首先给定待重构的名义构型，基于此计算对应的名义相对运动状态，然后由当前构型计算实际相对运动状态，并计算实际相对运动状态与名义相对运动状态的误差量，最后采用反步控制方法构建控制律，计算实际控制量。

实际应用中，主航天器与从航天器实时相对运动状态由从航天器星上相对导航系统测量得到，并通过本发明提供的方法计算得到控制量，将该控制量传输至执行机构中即可实现迹向欠驱动航天器编队重构控制。

参见图1，本发明提供的考虑输入饱和的迹向欠驱动航天器编队重构控制方法，其具体步骤如下：

步骤S100：给定待重构的名义构型：根据待重构的名义构型，计算对应的名义相对运动状态X_2d，其中，X_2d的下标2代表缺失迹向控制加速度的欠驱动情况；

步骤S200：误差量计算：对当前构型计算实际相对运动状态X₂，由此计算当前构型与名义相对运动状态之间的误差量e₂，e₂按公式(1)计算：

$e_2=X_2-X_{2d}={\left[\begin{array}{cccccc}{e}_x& e_y& e_z& {\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_y& {\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_x& {\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_z\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{cccccc}x-x_d& y-y_d& z-z_d& \stackrel{\&CenterDot;}{y}-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d& \stackrel{\&CenterDot;}{x}-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d& \stackrel{\&CenterDot;}{z}-{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_d\end{array}\right]}^T---\left(1\right);$

步骤S300：控制律构建：采用反步控制方法构建迹向欠驱动航天器编队重构控制律，计算实际控制量U₂；

其中，实际相对运动状态X₂，式中x、y和z分别为径向、迹向和法向的实际相对位置，和分别为径向、迹向和法向的实际相对速度；

名义相对运动状态X_2d，式中x_d、y_d和z_d分别为径向、迹向和法向的名义相对位置，和分别为径向、迹向和法向的名义相对速度；

实际控制量U₂＝[U_xU_z]^T，其中U_x和U_z分别为径向和法向控制加速度。此处待重构的名义构型就是重构后的构型；此处的当前构型指的是重构前的构型。

步骤S400：计算得到具体问题的控制量U₂，将所得U₂代入公式(12)中，判断所得各项性能参数是否满足预设的性能指标，如果判断为满足则结束控制；如果判断为不满足则调整U₂中的各控制参数直至判断结果为满足性能指标时停止；

其中，步骤S100包括以下步骤：建立迹向欠驱动航天器编队动力学模型：

航天器包括主航天器和从航天器。欠驱动航天器编队动力学模型的坐标系定义：O_EX_IY_IZ_I为地心惯性坐标系，其中O_E为地心，O_Cxyz为相对运动坐标系，其中O_C为主航天器质心，x轴沿主航天器径向，z轴与主航天器轨道面法向重合，y轴与x、z轴构成右手笛卡尔直角坐标系，O_D为从航天器质心。R_C和R_D分别为主航天器与从航天器的地心距矢量，X₂为缺失迹向控制加速度欠驱动情况下的相对运动状态，迹向欠驱动航天器编队动力学模型在相对运动坐标系中的描述为

${\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_2=F_2\left(X_2\right)+{\mathrm{BU}}_2---\left(2\right)$

其中：

F₂＝[0_1×3f_yf_xf_z]^T(3)

$\left[\begin{array}{c}{f}_x\\ f_y\\ f_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2{\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_C\stackrel{\&CenterDot;}{y}+{\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_C^{2}x+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{u}}_{C}y+n_C^2{R}_C-n_D^2(R_C+x)\\ -2{\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_C\stackrel{\&CenterDot;}{x}+{\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_C^{2}y-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{u}}_{C}x-n_D^{2}y\\ -n_D^{2}z\end{array}\right]---\left(4\right)$

B＝[0_2×4I_2×2]^T(5)

U₂＝[U_xU_z]^T(6)

其中，u_C为主航天器的纬度幅角，和分别为主航天器轨道角速度和轨道角加速度，且其中，μ＝3.986×10¹⁴m³/s²为地球引力常数，R_C和R_D＝[(R_C+x)²+y²+z²]^1/2分别为主航天器和从航天器的地心距；0_m×n和I_m×n分别表示维数为m×n的零矩阵或单位矩阵，U₂为缺失迹向控制加速度情况下的实际控制量，其中，U_x和U_z分别为径向和法向控制加速度；

步骤S300包括以下步骤：建立误差动力学模型与构建控制律，得到缺失迹向控制加速度时，考虑外部摄动及模型线性化误差的欠驱动编队动力学模型中的可控部分为

$\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{e}}}_{2u}=A_{21}{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_{2u}+A_{22}{e}_{2a}+d_{2u}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_{2a}=A_{23}{e}_{2u}+A_{24}{e}_{2a}+sat\left(U_2\right)+d_{2a}\end{array}---\left(17\right)$

其中

$\begin{array}{cc}{A}_{21}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right],& A_{22}=\left[\begin{array}{cc}-2n_C& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]\\ A_{23}=\left[\begin{array}{cccc}3n_C^2& 0& 0& 2n_C\\ 0& 0& -n_C^2& 0\end{array}\right],& A_{24}=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\end{array}---\left(18\right)$

式中，d_2u＝[d_y00]^T和d_2a＝[d_xd_z]^T为不确定扰动矢量，sat(U₂)的表达式为sat(U₂)＝[sat(U_x)sat(U_z)]^T，其中sat(·)为符号函数，即

$sat\left(U_j\right)=\{\begin{array}{cc}{U}_{jm}\mathrm{sgn}\left(U_j\right),& \left|U_j\right|>U_{jm}\\ U_j,& \left|U_j\right|\&le;U_{jm}\end{array},j=x,z---\left(13\right)$

式中，U_jm(j＝x,z)为j方向可提供的最大控制加速度，sgn(·)为符号函数，其定义式为

$\mathrm{sgn}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}1,& x>0\\ 0,& x=0\\ -1,& x<0\end{array}\right.---\left(14\right)$

构建的控制律为

$U_2=-G_2({\stackrel{\&OverBar;}{e}}_{2u},e_{2u},e_{2a})-K_{22}{\mathrm{\&lambda;}}_{22}-W_2{\mathrm{\&eta;}}_{21}-C_2{\mathrm{\&eta;}}_{22}-E_{22}sat({\mathrm{\&eta;}}_{22},{\mathrm{\&delta;}}_{21},{\mathrm{\&delta;}}_{22})---\left(23\right)$

其中

$G_2({\stackrel{\&OverBar;}{e}}_{2u},e_{2u},e_{2a})=(A_{23}{e}_{2u}+A_{24}{e}_{2a})+K_{21}(P_{22}{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_{2u}+e_{2a})+P_{22}(A_{21}{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_{2u}+A_{22}{e}_{2a})---\left(24\right)$

$\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&eta;}}_{21}={\tilde{e}}_{2u}-{\mathrm{\&lambda;}}_{21}\\ {\mathrm{\&eta;}}_{22}=e_{2a}-{\mathrm{\&alpha;}}_2-{\mathrm{\&lambda;}}_{22}\end{array}---\left(22\right)$

${\mathrm{\&alpha;}}_2=-K_{21}{\tilde{e}}_{2u}-P_{22}{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_{2u}-E_{21}\mathrm{sgn}\left({\mathrm{\&eta;}}_{21}\right)---\left(46\right)$

式中，和均为正定对角参数矩阵，的定义式为其中P₂₁为定常参数矩阵，其表达式为

$P_{21}=\left[\begin{array}{ccc}-{\left(2n_C\right)}^{-1}& 0& p_{21}\\ 0& 1& 0\end{array}\right]---\left(19\right)$

式中，p₂₁<0为控制器参数，P₂₂＝P₂₁A₂₁，E₂₁＝diag(ε₂₁₁,ε₂₁₂)为正定增益矩阵，其中ε₂₁₁＞ξ_21m且ε₂₁₂＞ξ_21m，ξ_21m为矢量ξ₂₁＝P₂₁d_2u的上界，即||ξ₂₁||≤ξ_21m＝||P₂₁||d_m，其中||P₂₁||为矩阵P₂₁的诱导范数，同理，E₂₂＝diag(ε₂₂₁,ε₂₂₂)为正定增益矩阵，其中ε₂₂₁＞ξ_22m且ε₂₂₂＞ξ_22m，ξ_22m为矢量ξ₂₂＝d_2a+(K₂₁P₂₁+P₂₂)d_2u的上界，即ξ_22m＝(1+||K₂₁||||P₂₁||+||P₂₂||)d_m，其中||K₂₁||和||P₂₂||分别为矩阵K₂₁和P₂₂的诱导范数，sat(η₂₂,δ₂₁,δ₂₂)＝[sat(η₂₂₁,δ₂₁)sat(η₂₂₂,δ₂₂)]^T，其中

$sat({\mathrm{\&eta;}}_{22i},{\mathrm{\&delta;}}_{2i})=\{\begin{array}{cc}\mathrm{sgn}\left({\mathrm{\&eta;}}_{22i}\right),& \left|{\mathrm{\&eta;}}_{22i}\right|\&GreaterEqual;{\mathrm{\&delta;}}_{2i}\\ {\mathrm{\&eta;}}_{22i}/{\mathrm{\&delta;}}_{2i},& \left|{\mathrm{\&eta;}}_{22i}\right|<{\mathrm{\&delta;}}_{2i}\end{array},i=1,2---\left(25\right)$

式中，δ₂₁＞0和δ₂₂＞0为边界层的厚度。

λ₂₁和λ₂₂的值由如下辅助系统积分得到，即

$\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_{21}={\mathrm{\&lambda;}}_{22}-K_{21}{\mathrm{\&lambda;}}_{21}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_{22}=-K_{22}{\mathrm{\&lambda;}}_{22}+{\mathrm{\&Delta;U}}_2\end{array}---\left(21\right)$

式中，ΔU₂＝sat(U₂)-U₂。

按上述方法进行控制，实现了在考虑输入饱和的情况下，对迹向欠驱动航天器重构编队的有效控制。

本发明提供方法的各项证明和分析如下：

1)建立迹向欠驱动航天器编队动力学模型：

称编队构型中的航天器分别为主航天器和从航天器。描述欠驱动航天器编队动力学模型的坐标系定义如下。如图2所示，O_EX_IY_IZ_I为地心惯性坐标系，其中O_E为地心。O_Cxyz为相对运动坐标系，其中O_C为主航天器质心，x轴沿主航天器径向，z轴与主航天器轨道面法向重合，y轴与x、z轴构成右手笛卡尔直角坐标系。O_D为从航天器质心。R_C和R_D分别为主航天器与从航天器的地心距矢量。如前，定义X₂为缺失迹向控制加速度欠驱动情况下的相对运动状态，则迹向欠驱动航天器编队动力学模型在相对运动坐标系中的描述为

${\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_2=F_2\left(X_2\right)+{\mathrm{BU}}_2---\left(2\right)$

其中

F₂＝[0_1×3f_yf_xf_z]^T(3)

$\left[\begin{array}{c}{f}_x\\ f_y\\ f_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2{\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_C\stackrel{\&CenterDot;}{y}+{\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_C^{2}x+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{u}}_{C}y+n_C^2{R}_C-n_D^2(R_C+x)\\ -2{\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_C\stackrel{\&CenterDot;}{x}+{\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_C^{2}y-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{u}}_{C}x-n_D^{2}y\\ -n_D^{2}z\end{array}\right]---\left(4\right)$

B＝[0_2×4I_2×2]^T(5)

U₂＝[U_xU_z]^T(6)

其中，u_C为主航天器纬度幅角，和分别为主航天器轨道角速度与轨道角加速度。且其中，μ＝3.986×10¹⁴m3/s2为地球引力常数，R_C和R_D＝[(R_C+x)²+y²+z²]^1/2分别为主航天器和从航天器的地心距。0_m×n和I_m×n分别表示维数为m×n的零矩阵或单位矩阵。U₂为缺失迹向控制加速度情况下的实际控制量，其中，U_x和U_z分别为径向和法向控制加速度。

2)迹向欠驱动编队动力学系统能控性分析

假设主航天器位于圆轨道(即且)且主从航天器相对距离远小于其地心距，则上述非线性动力学模型可线性化为

${\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_2=A_2{X}_2+{\mathrm{BU}}_2---\left(7\right)$

式中

$A_2=\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& -2n_C& 0\\ 3n_C^2& 0& 0& 2n_C& 0& 0\\ 0& 0& -n_C^2& 0& 0& 0\end{array}\right]---\left(8\right)$

当缺失迹向控制加速度时，线性定常系统(A₂,B)非完全可控，且其可控与不可控子空间可分解为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{X}}}_2=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{X}}}_2^c\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{X}}}_2^u\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{2c}& {\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{22}\\ 0_{1\&times;5}& {\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{2u}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{X}}_2^c\\ {\stackrel{\&OverBar;}{X}}_2^u\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{B}}_{2c}\\ 0_{1\&times;2}\end{array}\right]U_2---\left(9\right)$

其中：

$\begin{array}{cc}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{2c}=\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& -2n_C& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ n_C/2& 0& 0& 0& 0\\ 0& -n_C^2& 0& 0& 0\end{array}\right],& {\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{22}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 3n_C/2\\ 0\end{array}\right]\\ {\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{2u}=0,& {\stackrel{\&OverBar;}{B}}_{2c}={\left[\begin{array}{cc}{0}_{2\&times;3}& I_{2\&times;2}\end{array}\right]}^T\end{array}---\left(10\right)$

式中，可控状态矢量为不可控状态矢量为

3)迹向欠驱动编队重构可行性分析

常用的圆轨道编队构型有投影圆(ProjectCircularOrbit,PCO)编队、空间圆(GeneralCircularOrbit,GCO)编队等。例如，投影圆的方程为

式中，r_p为投影圆半径，t为时间且为初始相位角。

实际上，对于圆轨道编队，无论是投影圆、空间圆或其它构型，主从航天器相对运动状态均满足条件该条件保证了相对运动的周期性。

编队重构是指初始时刻与主航天器构成某一编队构型的从航天器通过轨道机动的方式进行相对轨道转移，从而与主航天器构成另一新的编队构型，即前述待重构的名义构型。对于缺失迹向控制加速度情况，系统非完全可控，其不可控状态将保持其初值不变，即一方面，对于编队重构问题，初始时刻主从航天器构成当前编队构型，因而由前述圆轨道编队构型满足的条件得，其相对运动状态满足条件由于该状态的不可控性，易得另一方面，对于圆轨道的任一编队构型，都应满足条件即对于待重构的名义构型，同样要求该条件成立。考虑到则该条件自然成立。因此，虽然在缺失迹向控制加速度的情况下，系统非完全可控，但对于圆轨道条件下的航天器编队重构仍可实现。换言之，若初始时刻主从航天器构成某一编队构型，即则该不可控状态在整个控制过程中将保持为零，因而自然满足了待重构的名义构型的约束条件，保证了编队重构的可实现性。

4)建立误差动力学模型与构建控制律

实际空间操作时不可避免地存在外部摄动作用，且实际控制执行机构均存在输入饱和这一物理实际问题，即所能提供的控制加速度存在最大值，考虑外部摄动和输入饱和的动力学方程可写为

${\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_2=F_2\left(X_2\right)+Bsat\left(U_2\right)+{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_2---\left(12\right)$

其中，为外部摄动矢量。sat(U₂)为考虑输入饱和作用后由实际控制执行机构输入的控制加速度。由于缺失迹向控制加速度，则sat(U₂)＝[sat(U_x)sat(U_z)]^T，其中sat(·)表示饱和函数，其表达式为

$sat\left(U_j\right)=\{\begin{array}{cc}{U}_{jm}\mathrm{sgn}\left(U_j\right),& \left|U_j\right|>U_{jm}\\ U_j,& \left|U_j\right|\&le;U_{jm}\end{array},j=x,y,z---\left(13\right)$

其中，U_jm(j＝x,y,z)为j方向控制器可提供的最大控制加速度。sgn(·)为符号函数，其定义式为

$\mathrm{sgn}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}1,& x>0\\ 0,& x=0\\ -1,& x<0\end{array}\right.---\left(14\right)$

对于圆轨道编队构型，其名义相对运动状态满足

${\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_{2d}=A_2{X}_{2d}---\left(15\right)$

根据前述误差量e₂定义式e₂＝X₂-X_2d，由式(12)与式(15)作差得到误差动力学模型为

${\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2=A_2{e}_2+Bsat\left(U_2\right)+D_2---\left(16\right)$

式中，为线性化误差和外部摄动构成的总扰动矢量，满足||D₂||≤d_m，其中符号||·||表示向量范数，d_m＞0为矢量D₂的上界。D₂＝[0_1×3d_yd_xd_z]^T。

迹向欠驱动反步控制器构建方法：

按照如式(9)所示的结构分解方法，将缺失迹向控制加速度的误差动力学模型(16)中的可控子空间重写为式(17)：

$\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{e}}}_{2u}=A_{21}{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_{2u}+A_{22}{e}_{2a}+d_{2u}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_{2a}=A_{23}{e}_{2u}+A_{24}{e}_{2a}+sat\left(U_2\right)+d_{2a}\end{array}---\left(17\right)$

其中

$\begin{array}{cc}{A}_{21}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right],& A_{22}=\left[\begin{array}{cc}-2n_C& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]\\ A_{23}=\left[\begin{array}{cccc}3n_C^2& 0& 0& 2n_C\\ 0& 0& -n_C^2& 0\end{array}\right],& A_{24}=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\end{array}---\left(18\right)$

式中，且d_2u＝[d_y00]^T和d_2a＝[d_xd_z]^T为不确定扰动矢量。

同理，对矢量进行线性变换其中为定常参数矩阵，即

$P_{21}=\left[\begin{array}{ccc}-{\left(2n_C\right)}^{-1}& 0& p_{21}\\ 0& 1& 0\end{array}\right]---\left(19\right)$

式中，p₂₁<0为控制器参数。

注意到P₂₁A₂₂＝I_2×2，则的动力学方程为

${\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{e}}}_{2u}=P_{22}{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_{2u}+e_{2a}+{\mathrm{\&xi;}}_{21}---\left(20\right)$

式中，P₂₂＝P₂₁A₂₁。

为了考虑输入饱和，定义辅助系统

$\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_{21}={\mathrm{\&lambda;}}_{22}-K_{21}{\mathrm{\&lambda;}}_{21}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_{22}=-K_{22}{\mathrm{\&lambda;}}_{22}+{\mathrm{\&Delta;U}}_2\end{array}---\left(21\right)$

式中，ΔU₂＝sat(U₂)-U₂。和为正定对角增益矩阵。

定义坐标变换

$\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&eta;}}_{21}={\tilde{e}}_{2u}-{\mathrm{\&lambda;}}_{21}\\ {\mathrm{\&eta;}}_{22}=e_{2a}-{\mathrm{\&alpha;}}_2-{\mathrm{\&lambda;}}_{22}\end{array}---\left(22\right)$

式中，为虚拟控制量。E₂₁＝diag(ε₂₁₁,ε₂₁₂)为正定增益矩阵，其中ε₂₁₁＞ξ_21m且ε₂₁₂＞ξ_21m。ξ_21m为矢量ξ₂₁＝P₂₁d_2u的上界，即||ξ₂₁||≤ξ_21m＝||P₂₁||d_m，其中||P₂₁||为矩阵P₂₁的诱导范数。η₂₁＝[η₂₁₁η₂₁₂]^T且η₂₂＝[η₂₂₁η₂₂₂]^T。

根据上述变量定义，控制律U₂构建为

$U_2=-G_2({\stackrel{\&OverBar;}{e}}_{2u},e_{2u},e_{2a})-K_{22}{\mathrm{\&lambda;}}_{22}-W_2{\mathrm{\&eta;}}_{21}-C_2{\mathrm{\&eta;}}_{22}-E_{22}sat({\mathrm{\&eta;}}_{22},{\mathrm{\&delta;}}_{21},{\mathrm{\&delta;}}_{22})---\left(23\right)$

其中

$G_2({\stackrel{\&OverBar;}{e}}_{2u},e_{2u},e_{2a})=(A_{23}{e}_{2u}+A_{24}{e}_{2a})+K_{21}(P_{22}{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_{2u}+e_{2a})+P_{22}(A_{21}{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_{2u}+A_{22}{e}_{2a})---\left(24\right)$

式中，和为正定对角参数矩阵。E₂₂＝diag(ε₂₂₁,ε₂₂₂)为正定增益矩阵，其中ε₂₂₁＞ξ_22m且ε₂₂₂＞ξ_22m。ξ_22m为矢量ξ₂₂＝d_2a+(K₂₁P₂₁+P₂₂)d_2u的上界，即ξ_22m＝(1+||K₂₁||||P₂₁||+||P₂₂||)d_m，其中||K₂₁||和||P₂₁||分别为矩阵K₂₁和P₂₁的诱导范数。sat(η₂₂,δ₂₁,δ₂₂)＝[sat(η₂₂₁,δ₂₁)sat(η₂₂₂,δ₂₂)]^T为饱和函数，即

$sat({\mathrm{\&eta;}}_{22i},{\mathrm{\&delta;}}_{2i})=\{\begin{array}{cc}\mathrm{sgn}\left({\mathrm{\&eta;}}_{22i}\right),& \left|{\mathrm{\&eta;}}_{22i}\right|\&GreaterEqual;{\mathrm{\&delta;}}_{2i}\\ {\mathrm{\&eta;}}_{22i}/{\mathrm{\&delta;}}_{2i},& \left|{\mathrm{\&eta;}}_{22i}\right|<{\mathrm{\&delta;}}_{2i}\end{array},i=1,2---\left(25\right)$

式中，δ₂₁＞0和δ₂₂＞0为边界层的厚度。

以下给出该欠驱动情况下的闭环系统一致最终有界稳定性证明。通过以下证明，可见在该控制律的作用下，各误差状态均收敛至平衡点附近，且闭环系统一致最终有界稳定。

考虑李亚普诺夫函数或η₂₂≠0。对其求时间导数得：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_2={\mathrm{\&eta;}}_{21}^T{W}_2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{21}+{\mathrm{\&eta;}}_{22}^T{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{22}\\ =-{\mathrm{\&eta;}}_{21}^T{W}_2{K}_{21}{\mathrm{\&eta;}}_{21}+{\mathrm{\&eta;}}_{21}^T{W}_2\&lsqb;{\mathrm{\&xi;}}_{21}-E_{21}\mathrm{sgn}\left({\mathrm{\&eta;}}_{21}\right)\&rsqb;-{\mathrm{\&eta;}}_{22}^T{C}_2{\mathrm{\&eta;}}_{22}+{\mathrm{\&eta;}}_{22}^T\&lsqb;{\mathrm{\&xi;}}_{22}-E_{22}\mathrm{sgn}\left({\mathrm{\&eta;}}_{22}\right)\&rsqb;\\ \&le;-W_2^{\min }{K}_{21}^{\min }{||{\mathrm{\&eta;}}_{21}||}^2-C_2^{\min }{||{\mathrm{\&eta;}}_{21}||}^2+W_2^{\max }\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}\left|{\mathrm{\&eta;}}_{21i}\right|({\mathrm{\&xi;}}_{21m}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{21i})+\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}\left|{\mathrm{\&eta;}}_{22i}\right|({\mathrm{\&xi;}}_{22m}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{22i})\\ \&le;-{\mathrm{\&gamma;}}_2{V}_2\end{array}---\left(26\right)$

式中，其中，和分别为矩阵K₂₁和C₂的最小特征值，和分别为矩阵W₂的最大和最小特征值。

由式(26)得，V₂指数收敛，即当t→∞时，η₂₁→0且η₂₂→0。因此，当t→∞时，其范数也满足||η₂₁||→0且||η₂₂||→0。

考虑另一李亚普诺夫函数对其求时间导数得：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_{\mathrm{\&lambda;}22}={\mathrm{\&lambda;}}_{22}^T{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_{22}={\mathrm{\&lambda;}}_{22}^T(-K_{22}{\mathrm{\&lambda;}}_{22}+{\mathrm{\&Delta;U}}_2)\\ \&le;-K_{22}^{\min }{||{\mathrm{\&lambda;}}_{22}||}^2+||{\mathrm{\&lambda;}}_{22}||||{\mathrm{\&Delta;U}}_2||\\ =-2(K_{22}^{\min }-||{\mathrm{\&Delta;U}}_2||{||{\mathrm{\&lambda;}}_{22}||}^{-1})V_{\mathrm{\&lambda;}22}\end{array}---\left(27\right)$

式中，为矩阵K₂₂的最小特征值。可见，当时，则即V_λ22继续收敛。因此，λ₂₂的收敛域为

$||{\mathrm{\&lambda;}}_{22}||\&le;{\left(K_{22}^{\min }\right)}^{-1}||{\mathrm{\&Delta;U}}_2||---\left(28\right)$

同理，对另一李亚普诺夫函数求时间导数得

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_{\mathrm{\&lambda;}21}={\mathrm{\&lambda;}}_{21}^T{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_{21}={\mathrm{\&lambda;}}_{21}^T(-K_{21}{\mathrm{\&lambda;}}_{21}+{\mathrm{\&lambda;}}_{22})\\ \&le;-2(K_{21}^{\min }-||{\mathrm{\&lambda;}}_{22}||{||{\mathrm{\&lambda;}}_{22}||}^{-1})V_{\mathrm{\&lambda;}21}\end{array}---\left(29\right)$

类似地，可得到λ₂₁的收敛域为：

$||{\mathrm{\&lambda;}}_{21}||\&le;{\left(K_{21}^{\min }\right)}^{-1}||{\mathrm{\&lambda;}}_{21}||\&le;{\left(K_{21}^{\min }{K}_{22}^{\min }\right)}^{-1}||{\mathrm{\&Delta;U}}_2||={\mathrm{\&Lambda;}}_2---\left(30\right)$

注意到且当t→∞时，||η₂₁||→0，则将收敛至

$||{\tilde{e}}_{2u}\left(\mathrm{\&infin;}\right)||\&le;||{\mathrm{\&eta;}}_{21}\left(\mathrm{\&infin;}\right)||+||{\mathrm{\&lambda;}}_{21}\left(\mathrm{\&infin;}\right)||\&le;{\mathrm{\&Lambda;}}_2---\left(31\right)$

由线性变换得

${\tilde{e}}_{2u}=\left[\begin{array}{c}{\tilde{e}}_{2u1}\\ {\tilde{e}}_{2u2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-{\left(2n_C\right)}^{-1}{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_y+p_{21}{e}_y\\ e_z\end{array}\right]---\left(32\right)$

由于则平面外法向相对位置误差的稳态精度为：

$\left|e_z\left(\mathrm{\&infin;}\right)\right|\&le;||{\tilde{e}}_{2u}\left(\mathrm{\&infin;}\right)||\&le;{\mathrm{\&Lambda;}}_2={\mathrm{\&Delta;}}_{2z}---\left(33\right)$

由于则由式(32)得，当t→∞时，的表达式为：

${\tilde{e}}_{2u1}=-{\left({2n}_C\right)}^{-1}{\stackrel{.}{e}}_y+p_{21}{e}_y,\left|{\tilde{e}}_{2u1}\right|\&le;{\mathrm{\&Lambda;}}_2---\left(34\right)$

上式可进一步化简为

${\stackrel{.}{e}}_y+a_{21}{e}_y={\mathrm{\&zeta;}}_2---\left(35\right)$

式中，a₂₁＝-2n_Cp₂₁且因而，ζ₂的上界为|ζ₂|≤ζ_2m＝2n_CΛ₂。

显然，等式(35)左边为一阶线性系统。根据线性系统理论易得，当a₂₁＞0时，系统稳定。求解以上不等式得

p₂₁<0(36)

上式与式(19)中给出的参数条件吻合。

将式(35)重写为

$(1-{\mathrm{\&zeta;}}_2{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_y^{-1}){\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_y+e_y=0---\left(37\right)$

或

${\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_y+(a_{21}-{\mathrm{\&zeta;}}_2{e}_y^{-1})e_y=0---\left(38\right)$

显然，当或时，迹向相对误差继续收敛。因此，e_y和稳态精度为

$\left|e_y\left(\mathrm{\&infin;}\right)\right|\&le;a_{21}^{-1}{\mathrm{\&zeta;}}_{2m}={\mathrm{\&Delta;}}_{2y},\left|{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_y\left(\mathrm{\&infin;}\right)\right|\&le;{\mathrm{\&zeta;}}_{2m}={\mathrm{\&Delta;}}_{2\stackrel{\&CenterDot;}{y}}---\left(39\right)$

此外，迹向误差动力学方程为对等式两边进行积分得

${\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_y\left(t\right)=-2n_C{e}_x\left(t\right)+{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_y\left(0\right)+2n_C{e}_x\left(0\right)+{\mathrm{\&theta;}}_2---\left(40\right)$

式中，且其上界为|θ₂|≤θ_2m。

对于圆轨道编队重构问题，初始时刻主从航天器构成编队，则其初始相对运动状态满足同理，对于待重构的期望构型，满足两式作差得将该式代入式(40)中得

${\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_y\left(t\right)=-2n_C{e}_x\left(t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_2---\left(41\right)$

因此，径向相对位置的稳态误差为

|e_x(∞)|≤(2n_C)^-1(ζ_2m+θ_2m)＝Δ_2x(42)

至此，径向、迹向和法向相对位置的稳态误差分别如式(42)、(39)和(33)所示。可见，ΔU₂影响最终相对位置精度。当t→∞时，若||ΔU₂||→0，即U_x≤U_xm且U_z≤U_zm时，则有式||λ₂₁||→0，||λ₂₂||→0和Λ₂→0成立。证毕。

下面结合附图，对本发明的方法作进一步的说明。

本发明提供的考虑输入饱和的迹向欠驱动航天器编队重构控制方法，其具体步骤如下：

步骤一：给定待重构的名义构型

本实例中假设主航天器位于轨道半径为R_C＝6900km的圆轨道，其初始轨道根数如表1所示。由表1可计算得，

表1初始时刻目标航天器轨道根数

本实例中假设待重构的名义构型为半径为r_p＝1.0km且初始时刻相位角的投影圆编队，则名义相对运动状态为

步骤二：误差量计算

计算实际相对运动状态与名义相对运动状态的误差量e₂，即

$e_2=X_2-X_{2d}={\left[\begin{array}{cccccc}{e}_x& e_y& e_z& {\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_y& {\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_x& {\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_z\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{cccccc}x-x_d& y-y_d& z-z_d& \stackrel{\&CenterDot;}{y}-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d& \stackrel{\&CenterDot;}{x}-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d& \stackrel{\&CenterDot;}{z}-{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_d\end{array}\right]}^T---\left(1\right)$

式中，为实际相对运动状态，为名义相对运动状态，其中，x、y和z分别为径向、迹向和法向相对位置，和分别为径向、迹向和法向相对速度，均为连续变化值。

本实例中假设初始时刻主从航天器构成半径为r₀＝0.5km且初始时刻相位角的投影圆编队，则初始时刻主从航天器的实际相对运动状态为

式中，x₀、y₀和z₀分别为初始时刻主从航天器径向、迹向和法向相对位置，和分别为初始时刻主从航天器径向、迹向和法向相对速度。

将数值r_p＝1.0km、r₀＝0.5km、与rad/s代入式(43)与(44)，得到本实例中初始时刻的误差量，即

e₂(0)＝[-216.5m-250m-433.0m0.477m/s-0.138m/s-0.275m/s]^T(45)

步骤三：控制律构建

缺失迹向控制加速度时，考虑外部摄动及模型线性化误差的欠驱动编队动力学模型中的可控部分为

$\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{e}}}_{2u}=A_{21}{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_{2u}+A_{22}{e}_{2a}+d_{2u}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_{2a}=A_{23}{e}_{2u}+A_{24}{e}_{2a}+sat\left(U_2\right)+d_{2a}\end{array}---\left(17\right)$

其中

$\begin{array}{cc}{A}_{21}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right],& A_{22}=\left[\begin{array}{cc}-2n_C& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]\\ A_{23}=\left[\begin{array}{cccc}3n_C^2& 0& 0& 2n_C\\ 0& 0& -n_C^2& 0\end{array}\right],& A_{24}=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\end{array}---\left(18\right)$

式中，且d_2u＝[d_y00]^T和d_2a＝[d_xd_z]^T为不确定扰动矢量。sat(U₂)的表达式为sat(U₂)＝[sat(U_x)sat(U_z)]^T，其中sat(·)为符号函数，即

$sat\left(U_j\right)=\{\begin{array}{cc}{U}_{jm}\mathrm{sgn}\left(U_j\right),& \left|U_j\right|>U_{jm}\\ U_j,& \left|U_j\right|\&le;U_{jm}\end{array},j=x,z---\left(13\right)$

式中，U_jm(j＝x,z)为j方向可提供的最大控制加速度。sgn(·)为符号函数，其定义式为

$\mathrm{sgn}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}1,& x>0\\ 0,& x=0\\ -1,& x<0\end{array}\right.---\left(14\right)$

构建的控制律为

$U_2=-G_2({\stackrel{\&OverBar;}{e}}_{2u},e_{2u},e_{2a})-K_{22}{\mathrm{\&lambda;}}_{22}-W_2{\mathrm{\&eta;}}_{21}-C_2{\mathrm{\&eta;}}_{22}-E_{22}sat({\mathrm{\&eta;}}_{22},{\mathrm{\&delta;}}_{21},{\mathrm{\&delta;}}_{22})---\left(23\right)$

其中

$G_2({\stackrel{\&OverBar;}{e}}_{2u},e_{2u},e_{2a})=(A_{23}{e}_{2u}+A_{24}{e}_{2a})+K_{21}(P_{22}{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_{2u}+e_{2a})+P_{22}(A_{21}{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_{2u}+A_{22}{e}_{2a})---\left(24\right)$

$\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&eta;}}_{21}={\tilde{e}}_{2u}-{\mathrm{\&lambda;}}_{21}\\ {\mathrm{\&eta;}}_{22}=e_{2a}-{\mathrm{\&alpha;}}_2-{\mathrm{\&lambda;}}_{22}\end{array}---\left(22\right)$

${\mathrm{\&alpha;}}_2=-K_{21}{\tilde{e}}_{2u}-P_{22}{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_{2u}-E_{21}\mathrm{sgn}\left({\mathrm{\&eta;}}_{21}\right)---\left(46\right)$

式中，和均为正定对角参数矩阵。的定义式为其中P₂₁为定常参数矩阵，其表达式为

$P_{21}=\left[\begin{array}{ccc}-{\left(2n_C\right)}^{-1}& 0& p_{21}\\ 0& 1& 0\end{array}\right]---\left(19\right)$

式中，p₂₁<0为控制器参数。P₂₂＝P₂₁A₂₁。E₂₁＝diag(ε₂₁₁,ε₂₁₂)为正定增益矩阵，其中ε₂₁₁＞ξ_21m且ε₂₁₂＞ξ_21m。ξ_21m为矢量ξ₂₁＝P₂₁d_2u的上界，即||ξ₂₁||≤ξ_21m＝||P₂₁||d_m，其中||P₂₁||为矩阵P₂₁的诱导范数。同理，E₂₂＝diag(ε₂₂₁,ε₂₂₂)为正定增益矩阵，其中ε₂₂₁＞ξ_22m且ε₂₂₂＞ξ_22m。ξ_22m为矢量ξ₂₂＝d_2a+(K₂₁P₂₁+P₂₂)d_2u的上界，即ξ_22m＝(1+||K₂₁||||P₂₁||+||P₂₂||)d_m，其中||K₂₁||和||P₂₂||分别为矩阵K₂₁和P₂₂的诱导范数。sat(η₂₂,δ₂₁,δ₂₂)＝[sat(η₂₂₁,δ₂₁)sat(η₂₂₂,δ₂₂)]^T，其中

$sat({\mathrm{\&eta;}}_{22i},{\mathrm{\&delta;}}_{2i})=\{\begin{array}{cc}\mathrm{sgn}\left({\mathrm{\&eta;}}_{22i}\right),& \left|{\mathrm{\&eta;}}_{22i}\right|\&GreaterEqual;{\mathrm{\&delta;}}_{2i}\\ {\mathrm{\&eta;}}_{22i}/{\mathrm{\&delta;}}_{2i},& \left|{\mathrm{\&eta;}}_{22i}\right|<{\mathrm{\&delta;}}_{2i}\end{array},i=1,2---\left(25\right)$

式中，δ₂₁＞0和δ₂₂＞0为边界层的厚度。

λ₂₁和λ₂₂的值由如下辅助系统积分得到，即

$\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_{21}={\mathrm{\&lambda;}}_{22}-K_{21}{\mathrm{\&lambda;}}_{21}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_{22}=-K_{22}{\mathrm{\&lambda;}}_{22}+{\mathrm{\&Delta;U}}_2\end{array}---\left(21\right)$

式中，ΔU₂＝sat(U₂)-U₂。本实例中λ₂₁与λ₂₂的初值分别取为λ₂₁(0)＝0_2×1和λ₂₂(0)＝0_2×1。

本实例中的控制器参数列于表2，将控制器参数代入式(23)即可计算实际控制量。

表2控制器参数(缺失迹向控制加速度情况)

参数	数值	参数	数值
				p21	-1.5	W2	diag(10-5,10-5)
C2	diag(4×10-2,5×10-3)	Uxm	5×10-4
				Uzm	5×10-4	K21	diag(5×10-3,3×10-3)
K22	diag(3×10-3,3×10-3)	E21	diag(10-4,10-5)
				E22	diag(10-6,10-5)	δ21	10-3
δ22	10-3

考虑到J₂摄动是低地球轨道的主要摄动力，引入J₂摄动作为外部摄动力。缺失迹向控制加速度的欠驱动航天器编队构型重构控制结果如图3至图6所示。图3给出了缺失迹向控制加速度条件下完成编队构型重构的相对转移轨道，可见，从航天器从半径较小的投影圆编队出发，到达半径较大的投影圆编队，完成了构型重构，验证了本发明提出的控制方法的有效性与正确性。图4给出了主从航天器相对位置误差变化曲线，可见，初始相对位置误差大约于3/4轨道周期后收敛至零附近，且其稳态误差为10°m数量级，最大相对位置稳态误差约为主从航天器相对距离的0.18％，考虑到由于缺失迹向控制加速度，控制系统为欠驱动控制系统，本发明提出的欠驱动控制方法已具有较高的控制精度。图5给出了主从航天器相对速度误差变化曲线，同理，初始相对速度误差约于3/4轨道周期后收敛至零附近，且其稳态误差约为10^-3m/s数量级。图6给出了完成该重构任务所需的控制轨迹，可见，径向与法向控制加速度均在某段时间内达到饱和，且均限制在其最大值范围以内，验证了本发明提出的考虑输入饱和的欠驱动控制方法的正确性。此外，由于考虑输入饱和，本控制方法更符合控制器物理实际，可在实际欠驱动编队重构任务中实现。

本领域技术人员将清楚本发明的范围不限制于以上讨论的示例，有可能对其进行若干改变和修改，而不脱离所附权利要求书限定的本发明的范围。尽管己经在附图和说明书中详细图示和描述了本发明，但这样的说明和描述仅是说明或示意性的，而非限制性的。本发明并不限于所公开的实施例。

通过对附图，说明书和权利要求书的研究，在实施本发明时本领域技术人员可以理解和实现所公开的实施例的变形。在权利要求书中，术语“包括”不排除其他步骤或元素，而不定冠词“一个”或“一种”不排除多个。在彼此不同的从属权利要求中引用的某些措施的事实不意味着这些措施的组合不能被有利地使用。权利要求书中的任何参考标记不构成对本发明的范围的限制。

Claims (2)

1.一种面向输入饱和的迹向欠驱动航天器编队重构控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤S100：给定待重构的名义构型：根据待重构的名义构型，计算对应的名义相对运动状态X_2d，其中，X_2d的下标2代表缺失迹向控制加速度的欠驱动情况；

步骤S200：误差量计算：对当前构型计算实际相对运动状态X₂，由此计算当前构型与所述名义相对运动状态之间的误差量e₂，e₂按公式(1)计算：

$e_2=X_2-X_{2d}={\left[\begin{array}{cccccc}{e}_x& e_y& e_z& {\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_y& {\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_x& {\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_z\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{cccccc}x-x_d& y-y_d& z-z_d& \stackrel{\&CenterDot;}{y}-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d& \stackrel{\&CenterDot;}{x}-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d& \stackrel{\&CenterDot;}{z}-{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_d\end{array}\right]}^T---\left(1\right);$

步骤S300：控制律构建：采用反步控制方法构建迹向欠驱动航天器编队重构控制律，计算实际控制量U₂；

其中，实际相对运动状态X₂，式中x、y和z分别为径向、迹向和法向的实际相对位置，和分别为径向、迹向和法向的实际相对速度；

名义相对运动状态X_2d，式中x_d、y_d和z_d分别为径向、迹向和法向的名义相对位置，和分别为径向、迹向和法向的名义相对速度；

实际控制量U₂＝[U_xU_z]^T，其中U_x和U_z分别为径向和法向控制加速度；

步骤S400：计算得到具体问题的控制量U₂，将所得U₂代入公式(12)中，判断所得各项性能参数是否满足预设的性能指标，如果判断为满足则结束控制；如果判断为不满足则调整U₂中的各控制参数直至判断结果为满足所述性能指标时停止；

其中，步骤S100包括以下步骤：建立迹向欠驱动航天器编队动力学模型：

所述航天器包括主航天器和从航天器，所述欠驱动航天器编队动力学模型的坐标系定义：O_EX_IY_IZ_I为地心惯性坐标系，其中O_E为地心，O_Cxyz为相对运动坐标系，其中O_C为主航天器质心，x轴沿主航天器径向，z轴与主航天器轨道面法向重合，y轴与x、z轴构成右手笛卡尔直角坐标系，O_D为从航天器质心，R_C和R_D分别为所述主航天器与所述从航天器的地心距矢量，X₂为缺失迹向控制加速度欠驱动情况下的相对运动状态，所述迹向欠驱动航天器编队动力学模型在相对运动坐标系中的描述为

${\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_2=F_2\left(X_2\right)+{\mathrm{BU}}_2---\left(2\right)$

其中：

F₂＝[0_1×3f_yf_xf_z]^T(3)

$\left[\begin{array}{c}{f}_x\\ f_y\\ f_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2{\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_C\stackrel{\&CenterDot;}{y}+{\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_C^{2}x+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{u}}_{C}y+n_C^2{R}_C-n_D^2(R_C+x)\\ -2{\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_C\stackrel{\&CenterDot;}{x}+{\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_C^{2}y-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{u}}_{C}x-n_D^{2}y\\ -n_D^{2}z\end{array}\right]---\left(4\right)$

B＝[0_2×4I_2×2]^T(5)

U₂＝[U_xU_z]^T(6)

其中，u_C为所述主航天器的纬度幅角，和分别为所述主航天器轨道角速度和轨道角加速度，且其中，μ＝3.986×10¹⁴m³/s²为地球引力常数，R_C和R_D＝[(R_C+x)²+y²+z²]^1/2分别为主航天器和从航天器的地心距；0_m×n和I_m×n分别表示维数为m×n的零矩阵或单位矩阵，U₂为缺失迹向控制加速度情况下的实际控制量，其中，U_x和U_z分别为径向和法向控制加速度；

所述步骤S300包括以下步骤：建立误差动力学模型与构建控制律，得到缺失迹向控制加速度时，考虑外部摄动及模型线性化误差的欠驱动编队动力学模型中的可控部分为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{e}}}_{2u}=A_{21}{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_{2u}+A_{22}{e}_{2a}+d_{2u}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_{2a}=A_{23}{e}_{2u}+A_{24}{e}_{2a}+sat\left(U_2\right)+d_{2a}\end{array}\right.---\left(17\right)$

其中

$\begin{array}{cc}{A}_{21}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right],& A_{22}=\left[\begin{array}{cc}-2n_C& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]\\ A_{23}=\left[\begin{array}{cccc}3n_C^2& 0& 0& 2n_C\\ 0& 0& -n_C^2& 0\end{array}\right],& A_{24}=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\end{array}---\left(18\right)$

式中，且d_2u＝[d_y00]^T和d_2a＝[d_xd_z]^T为不确定扰动矢量，sat(U₂)的表达式为sat(U₂)＝[sat(U_x)sat(U_z)]^T，其中sat(·)为符号函数，即

$sat\left(U_j\right)=\left\{\begin{array}{cc}{U}_{jm}\mathrm{sgn}\left(U_j\right),& \left|U_j\right|>U_{jm}\\ U_j,& \left|U_j\right|\&le;U_{jm}\end{array}\right.,j=x,z---\left(13\right)$

式中，U_jm(j＝x,z)为j方向可提供的最大控制加速度，sgn(·)为符号函数，其定义式为

$\mathrm{sgn}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}1,& x>0\\ 0,& x=0\\ -1,& x<0\end{array}\right.---\left(14\right)$

构建的控制律为

$U_2=-G_2({\stackrel{\&OverBar;}{e}}_{2u},e_{2u},e_{2a})-K_{22}{\mathrm{\&lambda;}}_{22}-W_2{\mathrm{\&eta;}}_{21}-C_2{\mathrm{\&eta;}}_{22}-E_{22}sat({\mathrm{\&eta;}}_{22},{\mathrm{\&delta;}}_{21},{\mathrm{\&delta;}}_{22})---\left(23\right)$

其中

$G_2({\stackrel{\&OverBar;}{e}}_{2u},e_{2u},e_{2a})=(A_{23}{e}_{2u}+A_{24}{e}_{2a})+K_{21}(P_{22}{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_{2u}+e_{2a})+P_{22}(A_{21}{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_{2u}+A_{22}{e}_{2a})---\left(24\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&eta;}}_{21}={\tilde{e}}_{2u}-{\mathrm{\&lambda;}}_{21}\\ {\mathrm{\&eta;}}_{22}=e_{2a}-{\mathrm{\&alpha;}}_2-{\mathrm{\&lambda;}}_{22}\end{array}\right.---\left(22\right)$

${\mathrm{\&alpha;}}_2=-K_{21}{\tilde{e}}_{2u}-P_{22}{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_{2u}-E_{21}\mathrm{sgn}\left({\mathrm{\&eta;}}_{21}\right)---\left(46\right)$

式中，和均为正定对角参数矩阵，的定义式为其中P₂₁为定常参数矩阵，其表达式为

$P_{21}=\left[\begin{array}{ccc}-{\left(2n_C\right)}^{-1}& 0& p_{21}\\ 0& 1& 0\end{array}\right]---\left(19\right)$

式中，p₂₁＜0为控制器参数，P₂₂＝P₂₁A₂₁，E₂₁＝diag(ε₂₁₁,ε₂₁₂)为正定增益矩阵，其中ε₂₁₁>ξ_21m且ε₂₁₂>ξ_21m，ξ_21m为矢量ξ₂₁＝P₂₁d_2u的上界，即||ξ₂₁||≤ξ_21m＝||P₂₁||d_m，其中||P₂₁||为矩阵P₂₁的诱导范数，同理，E₂₂＝diag(ε₂₂₁,ε₂₂₂)为正定增益矩阵，其中ε₂₂₁>ξ_22m且ε₂₂₂>ξ_22m，ξ_22m为矢量ξ₂₂＝d_2a+(K₂₁P₂₁+P₂₂)d_2u的上界，即ξ_22m＝(1+||K₂₁||||P₂₁||+||P₂₂||)d_m，其中||K₂₁||和||P₂₂||分别为矩阵K₂₁和P₂₂的诱导范数，sat(η₂₂,δ₂₁,δ₂₂)＝[sat(η₂₂₁,δ₂₁)sat(η₂₂₂,δ₂₂)]^T，其中

$sat({\mathrm{\&eta;}}_{22i},{\mathrm{\&delta;}}_{2i})=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{sgn}\left({\mathrm{\&eta;}}_{22i}\right),& \left|{\mathrm{\&eta;}}_{22i}\right|\&GreaterEqual;{\mathrm{\&delta;}}_{2i}\\ {\mathrm{\&eta;}}_{22i}/{\mathrm{\&delta;}}_{2i},& \left|{\mathrm{\&eta;}}_{22i}\right|<{\mathrm{\&delta;}}_{2i}\end{array}\right.,i=1,2---\left(25\right)$

式中，δ₂₁>0和δ₂₂>0为边界层的厚度。

λ₂₁和λ₂₂的值由如下辅助系统积分得到，即

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_{21}={\mathrm{\&lambda;}}_{22}-K_{21}{\mathrm{\&lambda;}}_{21}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_{22}=-K_{22}{\mathrm{\&lambda;}}_{22}+{\mathrm{\&Delta;U}}_2\end{array}\right.---\left(21\right)$

式中，ΔU₂＝sat(U₂)-U₂。

2.根据权利要求1所述的面向输入饱和的迹向欠驱动航天器编队重构控制方法，其特征在于，

所述迹向欠驱动编队动力学系统中，可控状态矢量为不可控状态矢量为

所处理为圆轨道条件下的航天器编队重构。