CN108388134A - 一种控制受限轴对称航天器的线性反馈姿态控制方法 - Google Patents

Abstract

一种控制受限轴对称航天器的线性反馈姿态控制方法，本发明涉及控制受限轴对称航天器的线性反馈姿态控制方法。本发明为了解决现有控制器设计复杂，不易于工程实现以及执行器饱和的问题。本发明包括：步骤一：建立控制受限轴对称航天器姿态控制的姿态运动学与姿态动力学方程，根据建立的控制受限轴对称航天器姿态控制的姿态运动学与姿态动力学方程得到线性化姿态方程，其中滚转‑偏航通道与俯仰通道解耦；步骤二：在滚转‑偏航通道，建立滚转‑偏航通道状态空间方程，把滚转‑偏航通道状态空间方程转化为归一化方程，设计有界线性反馈全局镇定控制器；步骤三：在俯仰通道，设计有界线性反馈全局镇定控制器。本发明用于航天器控制领域。

Description

一种控制受限轴对称航天器的线性反馈姿态控制方法

技术领域

本发明涉及控制受限轴对称航天器的线性反馈姿态控制方法。

背景技术

饱和非线性存在于每一个实际控制系统之中，最终使系统具有本质的非线性，就航天器姿态控制系统而言，典型的执行器比如磁力矩器，飞轮或是控制力矩陀螺由于物理限制和能量假设的原因都要受饱和约束的。因此，传统的姿态控制方法可能导致控制信号超过饱和水平，这可能导致输入信号与实际控制之间产生严重差异，从而降低实际控制系统的控制品质，甚至导致闭环系统的不稳定性。因此，航天器姿态控制系统中执行器的受限问题必须予以考虑。

由于稀缺的星载资源和复杂的工作环境，尤其是对微纳小卫星来说，要求设计姿态镇定控制器必须尽可能的简单。那么线性反馈是最好的选择。注意到，如果开环系统是中立稳定的，则存在线性全局镇定控制器，但在实际中这个条件并不总是满足。就轴对称航天器而言，相应的开环系统不是中立稳定的，从而设计线性全局镇定控制器是一个挑战。

发明内容

本发明的目的是为了解决现有控制器设计复杂，不易于工程实现以及执行器饱和的问题，而提出一种控制受限轴对称航天器的线性反馈姿态控制方法。

一种控制受限轴对称航天器的线性反馈姿态控制方法包括以下步骤：

步骤一：建立控制受限轴对称航天器姿态控制的姿态运动学与姿态动力学方程，根据建立的控制受限轴对称航天器姿态控制的姿态运动学与姿态动力学方程得到线性化姿态方程，其中滚转-偏航通道与俯仰通道解耦；

步骤二：在滚转-偏航通道，建立滚转-偏航通道状态空间方程，把滚转-偏航通道状态空间方程转化为归一化方程，设计有界线性反馈全局镇定控制器；其中控制增益满足显式条件，并且控制增益的选取独立于轨道角速度，通过构造合适的二次型加积分型的Lyapunov函数，保证闭环子系统的全局渐近稳定性；

步骤三：在俯仰通道，设计有界线性反馈全局镇定控制器。其中控制增益可以任意调节，通过构造显式的Lyapunov函数，保证闭环子系统的全局渐近稳定性。

本发明的有益效果为：

本发明为了实现控制受限情形下轴对称航天器姿态控制系统的全局稳定，针对控制受限情形下的轴对称航天器的三轴姿态控制系统，设计者将姿态控制系统转换成归一化系统，通过设计一类归一化系统的线性反馈全局镇定控制器，从而获得姿态控制系统的线性全局镇定控制器，其中控制增益满足显式的条件，并且控制增益独立于轨道角速度，易于工程实现，通过构造显式的Lyapunov函数，保证控制受限轴对称航天器的三轴姿态控制系统的全局渐近稳定性。

通过联合步骤二和步骤三，得到控制受限情形下的线性反馈全局镇定控制器，并且控制器效果说明：仿真结果中，可以看出闭环系统在0.2个轨道周期内成功地收敛到平衡点；由于在仿真中所用的是真实非线性模型并考虑了惯性矩阵的不确定性，所以仿真结果还说明了利用本方法所设计的控制方案具有较好的鲁棒性，且本发明控制器设计易于工程实现。

附图说明

图1是地心惯性坐标系和卫星参考坐标系示意图；

图2是为q₁在初始误差10-deg和0.01deg/s时的变化曲线图；

图3为q₂在初始误差10-deg和0.01deg/s时的变化曲线图；

图4为q₃在初始误差10-deg和0.01deg/s时的变化曲线图；

图5为转速在X轴上的分量ω_x在初始误差10-deg和0.01deg/s时的变化曲线图；

图6为转速在Y轴上的分量ω_y在初始误差10-deg和0.01deg/s时的变化曲线图；

图7为转速在Z轴上的分量ω_z在初始误差10-deg和0.01deg/s时的变化曲线图；

图8是控制力矩在X轴上的分量T_cx在初始误差10-deg和0.01deg/s时的变化曲线；

图9是控制力矩在Y轴上的分量T_cy在初始误差10-deg和0.01deg/s时的变化曲线；

图10是控制力矩在X轴上的分量T_cz在初始误差10-deg和0.01deg/s时的变化曲线。

具体实施方式

具体实施方式一：一种控制受限轴对称航天器的线性反馈姿态控制方法包括以下步骤：

步骤一：建立控制受限轴对称航天器姿态控制的姿态运动学与姿态动力学方程，根据建立的控制受限轴对称航天器姿态控制的姿态运动学与姿态动力学方程得到线性化姿态方程，其中滚转-偏航通道与俯仰通道解耦；

步骤二：在滚转-偏航通道，建立滚转-偏航通道状态空间方程，把滚转-偏航通道状态空间方程转化为归一化方程，设计有界线性反馈全局镇定控制器；其中控制增益满足显式条件，并且控制增益的选取独立于轨道角速度，通过构造合适的二次型加积分型的Lyapunov函数，保证闭环子系统的全局渐近稳定性；

步骤三：在俯仰通道，设计有界线性反馈全局镇定控制器。其中控制增益可以任意调节，通过构造显式的Lyapunov函数，保证闭环子系统的全局渐近稳定性。

具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是：所述步骤一中建立控制受限轴对称卫星姿态控制的姿态运动学与姿态动力学方程的具体过程为：

(1)坐标系定义如图1所示：

引入地心赤道惯性坐标系F_i，其中X轴指向春分点方向，X-Y面为地球赤道面，Z轴沿地轴指向北极；

F_o为轨道坐标系，其坐标原点位于卫星的质心，x_o沿着轨道方向，y_o垂直于轨道面，z_o是最低点方向；

F_b记为卫星本体坐标系，其坐标原点位于卫星的质心；

在轨道坐标系F_o下描述卫星的姿态，如果卫星姿态达到期望位置，则卫星本体坐标x_b-y_b-z_b和轨道坐标x_o-y_o-z_o完成重合；

(2)建立轴对称航天器姿态控制系统的姿态运动学与姿态动力学模型：

四元数姿态矩阵：

姿态运动学方程：

姿态动力学方程：

其中，所述q是四元数q＝[q₁,q₂,q₃,q₄]^T，

e＝[e_x,e_y,e_z]^T是欧拉轴，四元数向量部分q_v＝[q₁,q₂,q₃]^T，I₃表示3阶单位矩阵，e_x，e_y和e_z分别表示欧拉轴e在参考坐标系下的三个方向余弦，Φ是欧拉转角，是相应的叉积运算，表示为：

设卫星本体坐标系F_b相对于轨道坐标系F_o在X轴，Y轴和Z轴上的相对位置分量分别是x,y,z，c_x,c_y和c_z分别表示姿态矩阵C在三个坐标轴方向分量；表示卫星绕地球旋转的角速度，μ＝3.986×10¹⁴m³/s²是地球引力常数，r是卫星环绕轨道的半长轴，ω_r＝[ω_rx,ω_ry,ω_rz]^T是卫星本体坐标系F_b相对于轨道坐标系F_o的相对角速度，ω_rx，ω_ry和ω_rz分别表示角速度ω_r在三个坐标轴方向的分量；J＝diag{J_x,J_y,J_z}是航天器的转动惯量，J_x,J_y和J_z是转动惯量在X轴，Y轴和Z轴方向的分量，ω＝[ω_x,ω_y,ω_z]^T是卫星本体坐标系F_b相对地心赤道惯性坐标系F_i的角速度，ω_x，ω_y和ω_z分别表示角速度ω在三个坐标轴方向的分量，向量ω_r和ω满足：

ω_r＝ω+ω₀c_y

T_c＝[T_cx,T_cy,T_cz]^T是控制力矩，T_cx，T_cy和T_cz分别表示控制力矩在三个坐标轴方向的分量；向量T_g是重力梯度力矩：

其中T_gx，T_gy和T_gz分别表示重力梯度力矩在三个坐标轴方向的分量，×表示叉积；

所述轴对称航天器运行在圆形轨道上，其惯性矩阵是对称的，对称轴是最小惯性主轴，即：

J_x＝J_y＞J_z (3)

所述航天器为控制受限航天器，主要表现在：

其中表示控制输入在地心赤道惯性坐标系中的k轴上能产生的控制力矩分量，T_ck为航天器控制输入分量；

其它步骤及参数与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是：所述步骤一中根据建立的控制受限轴对称航天器姿态控制的姿态运动学与姿态动力学方程得到线性化姿态方程的具体过程为：

由控制受限轴对称航天器姿态控制系统的姿态运动学与姿态动力学方程得到其线性化姿态方程：

在平衡点q^*＝[0,0,0,1]^T和ω^*＝[0,-ω₀,0]^T处线性化姿态运动学方程(1)与姿态动力学方程(2)可得：

即：

其中，所述惯量比 是向量值饱和函数，其饱和度向量表示为

即：

其中sat(T_cx)，表示饱和输入向量在三个坐标轴方向的分量，

sign(T_ck)是符号函数；

通过定义单位饱和函数sat(a)＝sat₁(a)，可得其中a为任一向量，δ为任意饱和度向量；从公式(3)中可知σ₁∈(0,1)，从姿态控制系统(4)中可知俯仰方程与滚转-偏航方程解耦；航天器滚转角φ，俯仰角θ，偏航角ψ与四元数q之间的关系为

其它步骤及参数与具体实施方式一或二相同。

具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一至三之一不同的是：所述步骤二中在滚转-偏航通道，建立滚转-偏航通道状态空间方程，把滚转-偏航通道状态空间方程转化为归一化方程的具体过程为：

建立滚转-偏航通道状态空间方程：

选取状态向量控制向量由方程(4)可得滚转-偏航通道状态空间方程：

其中A为方程(4)的系统矩阵，B是方程(4)的输入矩阵，分别有如下形式：

其中b₁，b₂表示矩阵B的列向量；

把滚转-偏航方程(5)转化成归一化方程：

首先给出如下矩阵：

由

可知矩阵T是非奇异的；

引入非奇异的状态变换ε＝Tχ使滚转-偏航通道状态空间方程(5)转换为如下归一化方程：

其中独立于ω₀，A₀表示方程(5)的系统矩阵，B₀表示方程(5)的输入矩阵，A₀,B₀具有如下形式：

参数

其它步骤及参数与具体实施方式一至三之一相同。

具体实施方式五：本实施方式与具体实施方式一至四之一不同的是：所述步骤二中设计有界线性反馈全局镇定控制器的具体过程为：

设计归一化系统(6)的线性反馈全局镇定控制器具有如下形式：

其中参数f_ij,i∈{1,2},j∈{1,2,3,4}待定，使得归一化系统(6)全局渐近镇定；为此，考虑如下Lyapunov函数：

其中ε^T是ε的转置，P₀是半正定矩阵，满足如下Lyapunov矩阵方程：

为A₀的转置，参数ρ₁≥0，ρ₂＞0待定；矩阵P₀具有如下形式：

其中参数α_i,i＝1,2,是任意正常数；

Lyapunov函数(9)沿归一化系统(6)和控制器(8)组成的闭环系统轨迹求导：

其中所述矩阵D₀，R₀，S₀具有如下形式

D₀＝diag{ρ₁,ρ₂}

利用不等式：

2sat^T(u)T₀(u-sat(u))≥0

其中T₀是任意半正定对角矩阵；验证存在P₀满足条件：R₀＝0和S₀＞0,则不等式(10)可写成：

选取T₀＝diag{1,0},则：

其中参数γ₁₃具有如下形式

因此，R₀＝0成立当且仅当如下5个方程成立：

选取f₂₁＝k₃,f₂₃＝-k₅,则：

α₁＝(1-σ₁)k₅ρ₂

α₂＝4σ₁k₃ρ₂

其中k₁＞0,k₂≥0,k₃＞0,k₅＞0是任意常数；

选取f₂₂＝-k₄,k₄为任意常数，则有：

成立，因此矩阵S₀正定当且仅当：

成立；如果k₁＞0,k₂≥0,k₃＞0和k₅＞0是任意常数，且k₄满足条件(13)，则存在P₀满足条件R₀＝0和S₀＞0,因此控制器(8)中增益矩阵F₀具有如下形式：

设计滚转-偏航系统(5)的有界线性全局镇定控制器：

其中k₁＞0,k₂≥0,k₃＞0，k₅＞0是任意常数且k₄满足公式(13)；验证(5)和(15)组成的闭环系统的全局渐近稳定性；

首先验证Lyapunov函数(9)的正定性，V(ε)是半正定的，且V(ε)＝0，当

矩阵

其顺序主子式具有如下形式：

推出由ρ₁＞0和ρ₂＞0确定，满足(16)的唯一向量ε是0，即V(ε)正定；当k₂＝0验证V(ε)正定，由于是正定的，其中的顺序主子式具有如下形式：

通过LaSalle不变性原理，由公式(11)确定，归一化系统状态最终收敛到集合Σ＝{ε|F₀ε＝0}中；在集合Σ中闭环系统变成由于：

即，对于μ≥0，任何矩阵对(A₀,F₀)可测，则在集合Σ中只有唯一的零元素，保证了归一化闭环系统是全局渐近稳定的，F＝F₀T，因此(5)和(15)组成的闭环系统是全局渐近稳定的。

其它步骤及参数与具体实施方式一至四之一相同。

具体实施方式六：本实施方式与具体实施方式一至五之一不同的是：所述步骤三中在俯仰通道，设计有界线性反馈全局镇定控制器的具体过程为：

选取状态变量和控制变量从系统(4)中得到俯仰方程：

其中系统矩阵Φ和输入矩阵Ψ具有如下具体形式：

对于俯仰方程(17)设计如下线性全局镇定控制器：

其中h₁≥0和h₂＞0是任意常数；

通过状态变换λ＝ΠΛ，非奇异变换矩阵Π具有如下形式

系统(17)表示为如下归一化系统：

其中独立于ω₀，Φ₀,Ψ₀具有如下形式：

验证线性控制器v＝H₀λ使得归一化系统(19)全局镇定，其中增益矩阵H₀＝[-3σ₁h₁,-h₂],h₁≥0，h₂＞0是任意常数；

选取如下Lyapunov函数：

其中参数正定矩阵Q₀具有如下形式：

验证如下等式成立：

Θ＝2+2h₁＞0

其中Π₀＝1，沿归一化系统(19)和控制器v＝H₀λ组成的闭环系统的轨迹，估计Lyapunov函数W(λ)的导数得到：

由于如下矩阵是正定矩阵：

其中参数W(λ)正定；对于任何h₁≥0，h₂＞0，矩阵对(Φ₀,H₀)是可测的，从公式(20)和LaSalle不变性原理确定，归一化闭环系统是全局渐近稳定的，(17)和(18)组成的闭环系统是全局渐近稳定的；

注俯仰方程(17)和线性全局镇定控制器(18)组成的闭环系统的特征集有如下形式：

选取h_i,i＝1,2，集合ρ(Φ₀+Ψ₀H₀)中元素实部任意取负。

实施例一：

直接针对原始非线性方程(1)和(2)进行仿真。UYS-1型微纳卫星在圆形轨道运行，轨道高度700km，倾斜角是98deg，其惯性矩阵具有如下形式：

J＝diag{0.1521,0.1521,0.0375}kg·m²

其中考虑如下的惯性参数不确定性

其中|ΔJ_ii|≤0.1J_i，|ΔJ_ij|≤0.05max{J_i,J_j}，i∈{x,y,z}；选取ΔJ_xx＝0.1J_x,ΔJ_yy＝0.1J_y,ΔJ_zz＝0.1J_z，ΔJ_xy＝0.02J_x,ΔJ_yz＝-0.02J_x，ΔJ_xz＝-0.05J_x，假定控制信号的最大幅值是T_cimax＝2mN·m,i∈{x,y,z}.则有μ＝0.7535.为了仿真需要，选取初始条件为φ(t₀)＝θ(t₀)＝ψ(t₀)＝10°和

针对俯仰通道，利用全局线性控制器(18)，其中h₁＝70,h₂＝25，有λ(Φ₀+Ψ₀H₀)＝{-12.5000±2.0580i}，针对滚转-偏航通道，利用全局线性控制器(15)；

针对控制器(15)，为了满足控制性能，在如下区间中，寻求最优解：

(k₁,k₂,k₃,k₄,k₅)∈((0,100]×(0,100]×(0,100]×(p(k),p(k)+100]×(0,100])

其中：

通过线性搜索技术，找到如下局部最优解：

(k₁,k₂,k₃,k₄,k₅)＝(60,75,95,29.2,95)

使得：

λ(A₀+B₀F₀)＝{-22.1797±7.9490i,-22.4409±3.1010i} (21)

选取控制器(15)中参数k_i,i∈{1,2,3,4,5},为式(21)中的值，图2-7记录了状态响应曲线，由此可见，系统在0.2轨道周期内成功收敛到平衡点；图8-10记录了控制信号变化曲线。

出于比较的目的，图中也给出PD型控制方法：实际如下的PD型控制律：

其中 和是正常数，和K_d是3阶正定矩阵；

选取合适参数：

η＝0.02

其状态响应记录在图2-7中，控制信号变化记录在图8-10中。

本发明还可有其它多种实施例，在不背离本发明精神及其实质的情况下，本领域技术人员当可根据本发明作出各种相应的改变和变形，但这些相应的改变和变形都应属于本发明所附的权利要求的保护范围。

Claims (6)

1.一种控制受限轴对称航天器的线性反馈姿态控制方法，其特征在于：所述控制受限轴对称航天器的线性反馈姿态控制方法包括以下步骤：

步骤一：建立控制受限轴对称航天器姿态控制的姿态运动学与姿态动力学方程，根据建立的控制受限轴对称航天器姿态控制的姿态运动学与姿态动力学方程得到线性化姿态方程，其中滚转-偏航通道与俯仰通道解耦；

步骤二：在滚转-偏航通道，建立滚转-偏航通道状态空间方程，把滚转-偏航通道状态空间方程转化为归一化方程，设计有界线性反馈全局镇定控制器；

步骤三：在俯仰通道，设计有界线性反馈全局镇定控制器。

2.根据权利要求1所述的一种控制受限轴对称航天器的线性反馈姿态控制方法，其特征在于：所述步骤一中建立控制受限轴对称卫星姿态控制的姿态运动学与姿态动力学方程的具体过程为：

(1)坐标系定义：

定义地心赤道惯性坐标系F_i，其中X轴指向春分点方向，X-Y面为地球赤道面，Z轴沿地轴指向北极；

F_o为轨道坐标系，坐标原点位于卫星的质心，x_o沿着轨道方向，y_o垂直于轨道面，z_o是最低点方向；

F_b记为卫星本体坐标系，其坐标原点位于卫星的质心；

在轨道坐标系F_o下描述卫星的姿态，若卫星姿态达到期望位置，则卫星本体坐标x_b-y_b-z_b和轨道坐标x_o-y_o-z_o完成重合；

(2)建立轴对称航天器姿态控制系统的姿态运动学与姿态动力学模型；

四元数姿态矩阵C表示为：

设卫星本体坐标系F_b相对于轨道坐标系F_o在X轴，Y轴和Z轴上的相对位置分量分别是x,y,z，c_x,c_y和c_z分别表示姿态矩阵C在X轴，Y轴和Z轴方向分量；四元数q＝[q₁,q₂,q₃,q₄]^T，四元数向量部分q_v＝[q₁,q₂,q₃]^T，I₃表示3阶单位矩阵，表示q_v的转置，是q_v的叉积运算；

姿态运动学方程：

卫星本体坐标系F_b相对于轨道坐标系F_o的相对角速度ω_r＝[ω_rx,ω_ry,ω_rz]^T；ω_rx，ω_ry和ω_rz分别表示角速度ω_r在X轴，Y轴和Z轴方向的分量，是q的一阶导数；

姿态动力学方程：

其中ω＝[ω_x,ω_y,ω_z]^T是卫星本体坐标系F_b相对地心赤道惯性坐标系F_i的角速度，ω_x，ω_y和ω_z分别表示角速度ω在X轴，Y轴和Z轴方向的分量，为ω的一阶导数，J＝diag{J_x,J_y,J_z}是航天器的转动惯量，J_x,J_y和J_z是转动惯量在X轴，Y轴和Z轴方向的分量，T_g是重力梯度力矩，T_c＝[T_cx,T_cy,T_cz]^T是控制力矩，T_cx，T_cy和T_cz分别表示控制力矩在X轴，Y轴和Z轴方向的分量；

所述轴对称航天器运行在圆形轨道上，其惯性矩阵是对称的，对称轴是最小惯性主轴，即：

J_x＝J_y＞J_z (3)

所述航天器为控制受限航天器，表现在：

其中表示控制输入在地心赤道惯性坐标系中的k轴上能产生的控制力矩分量，T_ck为航天器控制输入分量。

3.根据权利要求1或2所述的一种控制受限轴对称航天器的线性反馈姿态控制方法，其特征在于：所述步骤一中根据建立的控制受限轴对称航天器姿态控制的姿态运动学与姿态动力学方程得到线性化姿态方程的具体过程为：

在平衡点q^*＝[0,0,0,1]^T和ω^*＝[0,-ω₀,0]^T处对姿态运动学方程(1)与姿态动力学方程(2)进行线性化处理得到：

即：

其中，为q₁的一阶导数，为q₂的一阶导数，为q₃的一阶导数，ω₀表示卫星绕地球旋转的角速度，为ω_x的一阶导数，为ω_y的一阶导数，为ω_z的一阶导数，为q₁的二阶导数，为q₂的二阶导数，为q₃的二阶导数，惯量比 是向量值饱和函数，其饱和度向量表示为 表示饱和度向量在X轴，Y轴和Z轴方向的分量；

即饱和输入向量：

其中表示饱和输入向量；sat(T_cx)，表示饱和输入向量在X轴，Y轴和Z轴方向的分量，分量sign(T_ck)是符号函数；

通过定义单位饱和函数sat(a)＝sat₁(a)，可得其中a为任一向量，δ为饱和度向量；从公式(3)中得到σ₁∈(0,1)，从姿态控制系统(4)中得到俯仰方程与滚转-偏航方程解耦；航天器滚转角φ，俯仰角θ，偏航角ψ与四元数q之间的关系为：

4.根据权利要求3所述的一种控制受限轴对称航天器的线性反馈姿态控制方法，其特征在于：所述步骤二中在滚转-偏航通道，建立滚转-偏航通道状态空间方程，把滚转-偏航通道状态空间方程转化为归一化方程的具体过程为：

建立滚转-偏航通道状态空间方程：

选取状态向量和控制向量由方程(4)得到滚转-偏航通道状态空间方程：

其中是χ的一阶导数，A为方程(4)的系统矩阵，B是方程(4)的输入矩阵，分别有如下形式：

其中b₁，b₂表示矩阵B的列向量；

把滚转-偏航通道状态空间方程转化成归一化方程：

给出如下矩阵T：

引入非奇异的状态变换ε＝Tχ使滚转-偏航通道状态空间方程(5)转换为如下归一化方程：

其中为ε的一阶导数，独立于ω₀，A₀表示方程(5)的系统矩阵，B₀表示方程(5)的输入矩阵，A₀,B₀具有如下形式：

参数

5.根据权利要求4所述的一种控制受限轴对称航天器的线性反馈姿态控制方法，其特征在于：所述步骤二中设计有界线性反馈全局镇定控制器的具体过程为：

设计归一化方程(6)的线性反馈全局镇定控制器具有如下形式：

其中F₀表示系统(6)的控制增益矩阵，f₁、f₂是矩阵F₀的两个行向量，矩阵F₀的元素为f_ij,i∈{1,2},j∈{1,2,3,4}，使归一化系统(6)全局渐近镇定；Lyapunov函数如下：

其中V(ε)是系统(6)的Lyapunov函数，sat(s)是单位饱和函数，s是积分变量，ε^T是ε的转置，P₀是半正定矩阵，满足如下Lyapunov矩阵方程：

为A₀的转置，ρ₁≥0，ρ₂＞0；矩阵P₀具有如下形式

其中参数α_i,i＝1,2,是正常数；

Lyapunov函数(9)沿归一化方程(6)和控制器(8)组成的闭环系统轨迹求导：

其中中间变量D₀，R₀，S₀具有如下形式：

D₀＝diag{ρ₁,ρ₂}

利用不等式：

2sat^T(u)T₀(u-sat(u))≥0

其中u是控制输入向量，T₀是任意半正定对角矩阵；验证存在P₀满足条件：R₀＝0和S₀＞0,则不等式(10)写成：

选取T₀＝diag{1,0}，则矩阵R₀具有如下形式

其中参数γ₁₃具有如下形式

R₀＝0成立当如下5个方程成立：

选取f₂₁＝k₃,f₂₃＝-k₅，则：

α₁＝(1-σ₁)k₅ρ₂

α₂＝4σ₁k₃ρ₂

其中k₁＞0,k₂≥0,k₃＞0,k₅＞0是常数；

选取f₂₂＝-k₄,k₄为常数，则有

矩阵S₀正定，当：

若k₁＞0,k₂≥0,k₃＞0和k₅＞0是常数，且k₄满足条件(13)，则存在P₀满足条件R₀＝0和S₀＞0，因此控制器(8)中增益矩阵F₀具有如下形式：

设计滚转-偏航系统(5)的有界线性全局镇定控制器：

其中F是系统(5)的控制增益矩阵，k₁＞0,k₂≥0,k₃＞0，k₅＞0是常数且k₄满足公式(13)；验证(5)和(15)组成的闭环系统的全局渐近稳定性；

首先验证Lyapunov函数(9)的正定性，V(ε)是半正定的，且V(ε)＝0，当：

矩阵

其中是f₂的转置，f₁ ^T是f₁的转置；

其顺序主子式具有如下形式：

推出 是F₀的转置，由ρ₁＞0和ρ₂＞0确定，满足(16)的唯一向量ε是0，即V(ε)正定；当k₂＝0验证V(ε)正定，由于是正定的，其中的顺序主子式具有如下形式：

通过LaSalle不变性原理，由公式(11)确定，归一化系统状态最终收敛到集合Σ＝{ε|F₀ε＝0}中；在集合Σ中闭环系统变成由于：

即，对于μ≥0，任何矩阵对(A₀,F₀)可测，则在集合Σ中只有唯一的零元素，保证了归一化闭环系统是全局渐近稳定的，F＝F₀T，因此(5)和(15)组成的闭环系统是全局渐近稳定的。

6.根据权利要求5所述的一种控制受限轴对称航天器的线性反馈姿态控制方法，其特征在于：所述步骤三中在俯仰通道，设计有界线性反馈全局镇定控制器的具体过程为：

选取状态变量和控制变量从系统(4)中得到俯仰方程：

其中是Λ的一阶导数；

系统矩阵Φ和输入矩阵Ψ具有如下具体形式：

对于俯仰方程(17)设计如下线性全局镇定控制器：

其中h₁≥0和h₂＞0是常数，H为增益矩阵；

通过状态变换λ＝ΠΛ，非奇异变换矩阵Π具有如下形式

系统(17)表示为如下归一化系统：

其中独立于ω₀，中间变量Φ₀,Ψ₀具有如下形式：

验证线性控制器v＝H₀λ使得归一化系统(19)全局镇定，其中增益矩阵H₀＝[-3σ₁h₁,-h₂],h₁≥0，h₂＞0是常数；

选取如下Lyapunov函数：

其中W(λ)是系统(19)的Lyapunov函数，λ是系统(19)的状态变量，中间变量正定矩阵Q₀具有如下形式：

验证如下等式成立：

Θ＝2+2h₁＞0

其中Π₀、Θ是中间变量，Π₀＝1，沿归一化系统(19)和控制器v＝H₀λ组成的闭环系统的轨迹，估计Lyapunov函数W(λ)的导数得到：

由于如下矩阵是正定矩阵：

其中中间变量W(λ)正定；对于任何h₁≥0，h₂＞0，矩阵对(Φ₀,H₀)是可测的，从公式(20)和LaSalle不变性原理确定，归一化闭环系统是全局渐近稳定的，(17)和(18)组成的闭环系统是全局渐近稳定的；

注俯仰方程(17)和线性全局镇定控制器(18)组成的闭环系统的特征集有如下形式：

选取h_i,i＝1,2，集合ρ(Φ₀+Ψ₀H₀)中元素实部取负。