CN107122515A - 基于绝对节点坐标法的绳系运输系统的动力学分析方法 - Google Patents

基于绝对节点坐标法的绳系运输系统的动力学分析方法 Download PDF

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Abstract

基于绝对节点坐标法的绳系运输系统的动力学分析方法，步骤如下：一、系统假设如下：(1)地球的重力场是均匀的；(2)位于系绳两端的卫星可以被认为是质点；(3)忽略系绳的截面形变将系绳当作一维的梁；(4)所有运动发生在轨道平面；二、基于绝对节点坐标法进行系统动力学建模；三、用拉格朗日即Lagrange乘子方法推导系统动力学方程；四、动力学解算；通过以上步骤，结合仿真结果对本发明所设计的基于绝对节点坐标法的绳系运输系统的动力学分析方法效果进行分析，验证了本方法的计算精确的效果，得到了绳系运输系统的真实动力学响应。

Description

基于绝对节点坐标法的绳系运输系统的动力学分析方法
【技术领域】
本发明提供基于绝对节点坐标法的绳系运输系统的动力学分析方法，它涉及一种包含广义弹性力、广义重力和运输舱约束的绳系运输系统的动力学过程的分析方法，属于航天工程中绳系卫星技术领域。
【背景技术】
绳系系统在空间技术应用方面有很大的潜力。有许多学者针对各种绳系系统的动力学和控制问题做了大量的研究。同时已有空间绳系实验验证了太空中应用柔性系绳的可行性，包括电动力绳和非电动力绳。
太空电梯的概念首先由齐奥尔科夫斯基(Tsiolkovsky)在19世纪末期提出，并有许多学者做了大量的理论工作。虽然现在依然离实现尚远，但是大量的研究工作使用了不同的模型方法揭示了太空电梯的运动本质。为了解决物质上的障碍，所以近年来涌现出了大批关于模拟太空电梯及类似物的研究。这些研究成果为未来的实际应用打下坚实的基础。然而这些方法都是采用离散的方法并且建立在将系绳视为刚体的基础上的。有的方法甚至把系绳当作分段无质量的刚性杆。但是由此建立的动力学公式依然冗长、不直观。为了研究实际系绳的运动，需要在模型中应用一些连续介质学上的理论使运动公式更加直观。
绝对节点坐标法(ANCF)是一种用于求解柔性体大变形并适用于任意旋转和平移运动的一种有效方法，由谢巴纳(Shabana)于1996年提出。绝对节点坐标法使用节点处的绝对斜率和位移作为节点坐标。对于可视作易弯细长梁的柔性绳，使用传统忽视梁截面变形的建模方法建立运动公式是可行的。在绳系系统的运动过程中必须包括节点坐标中系绳的广义引力计算。在广义弹性力的计算中，求解系绳弹性势能的有关形函数的体积分可以在解算动力学方程前计算一次即可，而系绳的广义引力的表达式决定了无法采用类似的方法进行处理。所以在动力学解算中的每一步都必须重新计算体积积分的广义引力，这将消耗大量的运算时间。所以需要设计一个合理的估算方法来加速模拟计算。
【发明内容】
(一)发明的目的
本发明的目的针对现有方法的不足，提出一种使用绝对节点坐标法分析包含广义弹性力、广义重力和运输舱约束的绳系运输系统的动力学过程方法。
(二)本发明的技术方案：
本发明设计了一种基于绝对节点坐标法的绳系运输系统的动力学分析方法，具体步骤如下：
步骤一、系统假设
所谓的绳系运输系统包括两颗卫星位于系绳两端和一个在系绳上运动的运输舱；需要认为系绳细而轻，这样系绳才能在受力的时候产生较大的形变；为了简化处理，仅考虑轨道平面内的运动，忽略系绳的面外运动和其他的轨道平面外的运动；
为了突出重点问题并简化运动方程，做如下假设：(1)地球的重力场是均匀的；(2)位于系绳两端的卫星可以被认为是质点；(3)忽略系绳的截面形变将系绳当作一维的梁；(4)所有运动发生在轨道平面；
步骤二、基于绝对节点坐标法进行系统动力学建模
首先定义绝对斜率和绝对位移作为绝对节点坐标法中的节点坐标，并设计包含整体刚体模态的全局形状函数；变形体中的任一点的位置向量可以描述为
r＝Se (1)
其中S是基于点初始位形的x轴坐标的全局形状函数；如果分解到相应的轴的位移场被假定为一个三次多项式，则平面梁的单元节点坐标矢量e可以选择为
其相应的形函数为
S＝[S1I S2I S3I S4I] (3)
其中I是一个2×2的单位矩阵，Sj(j＝1,2,3,4)可以被表示为
S1＝1-3ξ2+2ξ3,S2＝l(ξ-2ξ2+ξ3),S3＝3ξ2-2ξ3,S4＝l(ξ3-ξ2) (4)
其中ξ是被选取点的无量纲坐标，定义为
ξ＝x/l (5)
式中l为单元长度；
相比于轨道的半径，系绳的长度是很短的；因此，需要选取合理的坐标系统来减少数值误差；地心惯性系的选择如下：原点位于地球中心，其中II坐标轴指向卫星1的初始位置而坐标轴I在轨道平面内指向运动的方向；用于采用绝对节点坐标法进行分析的轨道坐标系各轴总是平行于惯性系，其中Y坐标轴方向向上而X轴指向运动的前进方向；它的坐标原点位于相对于惯性系位置向量为Ra的卫星1的中心，并以轨道角速度ω0的恒定角速度运动；
使用上述形函数，可以将系绳的质量矩阵表示为
Mt＝∫VρSTSdV (6)
因为卫星1和2都在系绳上，所以没有必要将它们的质量从系绳的质量矩阵分开并加上卫星位置的约束；来源于卫星1和2的质量矩阵的增量可以表示为
M1＝m1S(0)TS(0) (7)
M2＝m2S(l)TS(l) (8)
所以相对于绝对节点坐标包含卫星1和2和系绳的整个系统的质量矩阵表示为
Ma＝Mt+M1+M2 (9)
运动质量块mm的瞬时位置总是在系绳上，所以其位矢rm可以表示为
rm＝S(xm)e (10)
式中：xm为运输舱在系绳上的坐标，S是基于点初始位形的x轴坐标的全局形状函数，e是平面梁的单元节点坐标矢量；
运输舱在系绳上的坐标xm用于与系绳上相应固定点进行区分，因为xm是一个随时间变化的量；所以运动质量的速度矢量为
由此，动能T可以表示为
式中：为形函数S对xm的偏导数；
相对于位置坐标[eT xm]T的运输舱的质量矩阵Mm可以写作
式中：xm为运输舱在系绳上的坐标，S是基于点初始位形的x轴坐标的全局形状函数，e是平面梁的单元节点坐标矢量，为形函数S对xm的偏导数；
同时得到相对于广义坐标q＝[eT xm]T的全系统质量矩阵M
为了计算广义弹性力，对单元采用线性弹性假设，得到应变能U的表达式为
其中E是弹性模量，a是横截面积，I是面积二次矩；ul为单元纵向变形，ut为单元横向变形；
因此，以弹性势梯度表示的弹性力可以表示为
对于广义重力的计算，可以通过虚功原理得到；在轨道坐标系内重力对系绳上每一点所做的虚元功δWgt为
式中：Ra为主星位置矢量，μ为地球引力常数，ρ为系绳密度，dV为系绳微元的体积；
由此得到整个系绳相对于绝对节点坐标的单元广义重力Qgt表达式
式中：S是基于点初始位形的x轴坐标的全局形状函数，e是平面梁的单元节点坐标矢量，μ为地球引力常数，ρ为系绳密度，dV为系绳微元的体积；
很明显，系绳的广义重力与当前的系绳构形相关，它指出了动力学解算过程中需要逐步求解线性积分；需要注意的是，在动力学方程的解算中加入数值积分的运算将非常耗时；加速计算的一个可行的方法是将系绳分成有限多段，并假设每段所受的广义重力等同于与系绳段相同质量的质点的广义重力；代表每段系绳的质点的位置位于各段中心，然后将每段系绳所受的广义重力求和作为系绳的广义重力代入动力学方程，即
其中n是总段数，Qgti是第i段的广义重力；n的值越大，广义重力的计算就越精确；为了得到Qgti，首先应当计算简化后的质点的质量和位置，通过公式mti＝ρal/n前者可以很容易得到，而后者可以表示为
由此，Qgti可以表示为
式中：Ra为主星位置矢量，S是基于点初始位形的x轴坐标的全局形状函数，μ为地球引力常数；
经过这样的简化，上式中的定积分可以在进行解算前只计算一次以节省时间；虽然这种做法是实际物理过程的近似，但仍然包含了重力梯度等主要的重力影响因素；
对于卫星1或2，用e表示的广义重力Qgj为
式中：Ra为主星位置矢量，mj代表所对应卫星的质量；
对于运输舱，重力所做的虚功δWgm为
式中：xm为运输舱在系绳上的坐标，S是基于点初始位形的x轴坐标的全局形状函数，e是平面梁的单元节点坐标矢量，μ为地球引力常数；
所以相对于q＝[eT xm]T的运输舱的广义重力Qgm为
式中：Ra为主星位置矢量，S是基于点初始位形的x轴坐标的全局形状函数，e是平面梁的单元节点坐标矢量，μ为地球引力常数；
所以基于所选择的广义坐标q的系统的总的广义重力Qg为
式中：Qgm为相对于q＝[eT xm]T的运输舱的广义重力；
根据选取轨道坐标系的方法，导致系统所受惯性力Qi为
其中
式中：Qit，Qij，Qim分别为系绳、两端卫星和运输舱所受惯性力；
运动的运输舱和系绳之间的非完整约束由相对速度vr表示；相对速度vr的方向沿着当前位置系绳的切线；运输舱的绝对速度可以使用位置向量的时间导数与相对运动关系两种方式得到
式中：S是基于点初始位形的x轴坐标的全局形状函数，e是平面梁的单元节点坐标矢量，vr是运动的运输舱和系绳之间的非完整约束由相对速度；
所以可以求得运输舱在系绳上当前位置的时间导数为
得到xm的二阶导数
式中：S是基于点初始位形的x轴坐标的全局形状函数，e是平面梁的单元节点坐标矢量，vr是运动的运输舱和系绳之间的非完整约束由相对速度，为形函数S对xm的偏导数；
将等式(32)重新表示为
其中Cq＝[0 1]，Qc是等式(32)的余项；
综上所述，本步骤二所述的“绝对节点坐标法进行系统动力学建模”，规纳总结如下：
先对所采用的坐标系进行定义，对系统采用绝对节点坐标法进行建模，得到其对应于广义坐标的质量阵。然后求出重力、弹性力和惯性力等的广义力表达式。最后建立约束方程；
步骤三、用拉格朗日(Lagrange)乘子方法推导系统动力学方程
在建立动力学方程时，可以使用Lagrange乘子方法推导由一个系绳、2个视作质点的卫星和一个运输舱组成的整个系统的动力学方程；Lagrange乘子方法既适用于完整系统，也适用于非完整系统；
其中Qe＝Qg+Qk+Qi
对于一个绳系运输系统，系绳长度可能很长并且卫星的质量会很大；因此在动力学方程中有必要对位置和质量进行归一化；选择如下无量纲单元形函数
式中：I是单位矩阵，l为单元长度；
由此无量纲绝对节点坐标可以表示为
式中：r1和r2为卫星1和2的位置矢量，l为单元长度；
同样运输舱在系绳上当前位置xm应该除以系绳长度；
ξm＝xm/l (37)
式中：ξm是被选取点的无量纲坐标，l为单元长度。；
同样的方法也适用于质量维度，从而最终得到的运动方程
式中：M*，Q* e分别为无量纲质量阵，无量纲广义坐标和无量纲广义力；为无量纲约束方程中的相关项；
步骤四、动力学解算
本发明数值仿真软件的编写平台为矩阵实验室(Matlab)平台，Matlab系列产品在航天工程领域已经得到了非常广泛的应用，被证明是在动力学和控制相关问题研制开发过程中十分可靠的数值仿真软件；
对于可能的运动过程，主要分为子星在上和子星在下的两种情况；设定系绳全长L；相对较重的主星位置矢量Ra，质量为m1；系绳另一端的子星的质量设为m2，而系绳上的运输舱的质量为mm；给出系绳的材料和几何属性,包括长度、横截面积、密度、杨氏模量；并且在情况1和2中，系绳在开始时都处于非变形状态；给出运输舱的运动方式，主要是相对于系绳的速度变化；如系绳速度达到设定值后保持不变，直到在释放运动中的运输舱和子卫星之间的系绳的长度或者在回收运动中的运输舱和母船之间的系绳的长度小于所设定值如100米；
再在Matlab平台上，根据步骤三所得的动力学方程编写此动力学方程的微分方程函数，即将动力学方程编为Matlab程序文件；得到此动力学方程的Matlab文件后，将上述所需参数的具体值代入，并选择合适的解微分方程的Matlab数值解程序，求解得到系统的动力学响应过程；
本步骤四所述的“动力学解算”，归纳作法如下：
选择合适的系统参数，如绳长，横截面积，弹性模量，轨道高度等，然后给定运输舱的运动方式；根据系统动力学方程编写微分方程函数；将上述参数代入动力学方程并选择合适的求微分方程数值解的函数进行解算，如使用四阶、五阶龙格-库塔单步算法的数值解函数。
通过以上步骤，结合仿真结果对本发明所设计的基于绝对节点坐标法的绳系运输系统的动力学分析方法效果进行分析，验证了本方法的计算精确的效果，得到了绳系运输系统的真实动力学响应。
(三)本发明的优点和功效
本发明所述方法能够对绳系运输系统的动力学采用绝对节点坐标法进行建模。相比于传统的刚体动力学模型，该方法能更加精确地反映系统的真实动力学响应。数值仿真的结果验证了该方法的有效性。
【附图说明】
图1本发明所述系统示意图。
图2假定系绳为变形梁示意图。
图3惯性坐标系和轨道坐标系示意图。
图4情况1下运输舱回收运动轨迹图。
图5情况1下运输舱释放运动轨迹图。
图6情况1下不同单元数系绳回收运动形态变化示意图。
图7情况1下不同单元数系绳释放运动形态变化示意图。
图8情况2下运输舱回收运动轨迹图。
图9情况2下运输舱释放运动轨迹图。
图10情况2下不同单元数系绳回收运动形态变化示意图。
图11情况2下不同单元数系绳释放运动形态变化示意图。
图12本发明所述方法流程图。
图中标号说明如下：
图中m1为主星质量，m2为子星质量，mm为运输舱质量，Ra为主星位置矢量。
【具体实施方式】
下面结合附图1～12对发明内容进一步详述如下：
首先对系统进行必要假设，然后采用绝对节点坐标法建模，对系统动力过程进行分析，再使用Lagrange乘子方法推导系统的动力学方程，最后对所发明的方法进行动力学解算仿真。
本发明一种基于绝对节点坐标法的绳系运输系统的动力学分析方法，见图12所示，其具体步骤如下：
步骤一、系统假设
所谓的绳系运输系统包括两颗卫星位于系绳两端和一个在系绳上运动的运输舱，如图1所示。需要认为系绳细而轻，这样系绳才能在受力的时候产生较大的形变，如图2所示。为了简化处理，仅考虑轨道平面上的运动，忽略系绳的面外运动和其他的轨道平面外的运动。
为了突出重点问题并简化运动方程，做如下假设：(1)地球的重力场是均匀的；(2)位于系绳两端的卫星可以被认为是质点；(3)忽略系绳的截面形变将系绳当作一维的梁；(4)所有运动发生在轨道平面。
步骤二、基于绝对节点坐标法进行系统动力学建模
首先定义绝对斜率和绝对位移作为绝对节点坐标法中的节点坐标，并设计包含整体刚体模态的全局形状函数。以此得到相对于绝对节点坐标的全系绳单元广义重力表达式等相关参数。
把运动方程中的体积积分包括在内进行计算会非常耗时。加速计算过程的一个可行的方法是将绳分成几段，并假设每个截面广义重力等同于与系绳段相同质量的质点的广义重力。
坐标系如图3所示，具体方案，如发明内容所述，这里不再赘述。
步骤三、用拉格朗日(Lagrange)乘子方法推导系统动力学方程
通过以上步骤得到系统相关参数后，可以使用Lagrange乘子方法推导由一个系绳、2个视作质点的卫星和一个运输舱组成的整个系统的动力学方程。对于完整和非完整系统都可以应用Lagrange乘子方法。
具体方案，如发明内容所述，这里不再赘述。
步骤四、动力学解算
本发明数值仿真软件的编写平台为Matlab的仿真(Simulink)平台，Matlab系列产品在航天工程领域已经得到了非常广泛的应用，被证明是在动力学和控制相关问题研制开发过程中十分可靠的数值仿真软件。
采用不同的绳系运输系统布置实验来观察系统在各个可能应用参数下的动力学表现。对于可能的运动过程，主要分为子星在上和子星在下的两种情况。系绳全长L设为1000千米。处于半径为Ra＝42164km的地球同步轨道上的相对较重的主星质量为m1＝105kg。系绳另一端的子星的质量设为m2＝103kg，而系绳上的运输舱的质量为mm＝100kg。系绳的材料和几何属性由表1给出。并且在情况1和2中，系绳在开始时都处于非变形状态。运输舱相对于系绳的速度vr从0开始用100秒的时间恒定加速到100米每秒。之后保持不变，直到在释放运动中的运输舱和子卫星之间的系绳的长度或者在回收运动中的运输舱和母船之间的系绳的长度小于100米。
属性 数值
长度(km) 1000
横截面积(mm2) 2
密度(kg/m3) 1440
杨氏模量(GPa) 131
表1系绳的材料和几何属性
情况1
在情况1中，子星初始位于主星的上方，模拟运输舱从主星开始的释放和回收运动。在此情形下的系统开始的轨道周期在回收运动时为23.955小时而在释放运动时为23.95小时。周期可以使用在动力学建模部分中呈现的用于重力计算的相应方法来获得。对分成不同数量单元的系绳实验来得到分段数对模拟精度的影响。简言之，所有的结果都显示在以与轨道坐标系的原点重合的相同轨道周期旋转的坐标系中。图4和图5显示了运输舱向下移动到主星并从主星向上移动到子卫星的轨迹。而图6和图7显示了当运输舱达到系绳的2/5、4/5时系绳的形状以及系绳被分为1、5、60和100个系绳单元时运输舱的最终位置。
对于回收运动，由于科里奥利效应运输舱的轨迹显示出相对轨道运动方向的弯曲。此外，在整个过程期间的轨迹振荡运动。绳系系统的形态不严格地与当地重力方向对准，因为初始系绳张力设置为零。因此，主星的轨道角速率大于子卫星并导致系统倾斜。实验中发现运输舱的轨道速度在运动过程中增加，这可以由图4中x轴坐标的增量所证实。这是由哑铃状系统和运输舱之间的能量转换引起的，当运输舱向下运动时，系统的重力势能转化为动能。轨迹的振荡则反映了由张力变化和非线性耦合激发的系绳的振动。
对于情况1中的释放运动，几乎可以采用完全相同的解释。但相反，由于运输舱的上升运动，系统的动能转化为重力势能，这导致与回收运动相比系绳弯曲的呈现相反趋势。尽管由科里奥利力加速，但回收和释放过程之间的另一个显着差异是释放运动中运输舱的轨道速度从不超过主星轨道速度，这就导致运输舱的轨迹前期具有比回收运动更小的曲率。并且与子星不同，考虑到主星的巨大质量，主星的轨道运动没有明显受到运输舱的影响。
单元的数量影响动力学响应的准确性和模态。可以合理的假设，在本发明中，系绳采用更多的分段将使模拟具有更高的精度。在图4和图5中，代表1单元系绳模型结果的曲线与代表具有更多单元的系绳的曲线相比具有更大的曲率。其中，在运输舱的轨迹的前8千米运动中代表大于5个单元的系绳模型的曲线是一样的。然而，当系绳被分成更多单元时，曲线出现较高频率的振动。在图6和图7的系绳曲线中可以观察到类似的现象。在高阶模型中，由星形符号代表的运输舱越接近终点，系绳的横向振荡越明显。系绳的纵向振动受到运输舱运动扰动，而横向振动由耦合效应激发。其中耦合效应不能被低阶模型掩盖。并且由于质量较小，子星附近的系绳更容易激发振动。同时可以看到在图中，由于y轴方向的变化与横向变形相比非常小，所以具有模拟中自由边界的系绳显示出为分别具有在y轴上0和106m处的两个固定点。因此调整图像的范围以聚焦于系绳形变。
情况2
在这种情况下，子星位于主星之下，由1000公里的绳子固定。而主星位于与情况1相同的轨道半径处。在此情形下的系统开始的轨道周期在回收运动时为23.913小时而在释放运动时为23.914小时。图8和图9显示了选择不同单元数目系绳下的运输舱的轨迹，而图10和图11显示了系绳形状的变化。
可以如情况1中那样进行类似的讨论，因此在该部分中不再重复相同的过程。关键是，与前一种情况相比，回收和释放运动的结果是相反的，而响应的模态几乎相同。它表明两个卫星的相对位置对运动的影响与运输舱行进的方向所造成的影响相比不太重要。
综上所述，本发明设计并得到了一种使用绝对节点坐标法分析包含广义弹性力、广义重力和运输舱约束的绳系运输系统的动力学过程方法。该方法能有效地计算运动过程中地广义重力，并有效地节省了计算时间，提高了计算效率。而且提供了一种标准化运动方程以避免此系统计算过程中质量矩阵过于简化，提高了计算精度。并且分析表明此发明地的方法适用于不同地系统配置。
以上所述仅是本发明的具体实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明方法的前提下，还可以做出若干改进，或者对其中部分技术特征进行等同替换，这些改进和替换也应视为本发明的保护范围。

Claims (1)

1.基于绝对节点坐标法的绳系运输系统的动力学分析方法，其特征在于：具体步骤如下：
步骤一、系统假设
所谓的绳系运输系统包括两颗卫星位于系绳两端和一个在系绳上运动的运输舱；需要认为系绳细而轻，这样系绳才能在受力的时候产生较大的形变；为了简化处理，仅考虑轨道平面内的运动，忽略系绳的面外运动和其他的轨道平面外的运动；
为了突出重点问题并简化运动方程，做如下假设：(1)地球的重力场是均匀的；(2)位于系绳两端的卫星被认为是质点；(3)忽略系绳的截面形变将系绳当作一维的梁；(4)所有运动发生在轨道平面；
步骤二、基于绝对节点坐标法进行系统动力学建模
首先定义绝对斜率和绝对位移作为绝对节点坐标法中的节点坐标，并设计包含整体刚体模态的全局形状函数；变形体中的任一点的位置向量描述为
r＝Se (1)
其中S是基于点初始位形的x轴坐标的全局形状函数；如果分解到相应的轴的位移场被假定为一个三次多项式，则平面梁的单元节点坐标矢量e选择为
<mrow> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>r</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>r</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>/</mo> <mo>&amp;part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>/</mo> <mo>&amp;part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mi>T</mi> </msup> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其相应的形函数为
S＝[S1I S2I S3I S4I] (2)
其中I是一个2×2的单位矩阵，Sj(j＝1,2,3,4)被表示为
S1＝1-3ξ2+2ξ3,S2＝l(ξ-2ξ2+ξ3),S3＝3ξ2-2ξ3,S4＝l(ξ3-ξ2) (3)
其中ξ是被选取点的无量纲坐标，定义为
ξ＝x/l (4)
式中l为单元长度；
相比于轨道的半径，系绳的长度是很短的；因此，需要选取合理的坐标系统来减少数值误差；地心惯性系的选择如下：原点位于地球中心，其中II坐标轴指向卫星1的初始位置而坐标轴I在轨道平面内指向运动的方向；用于采用绝对节点坐标法进行分析的轨道坐标系各轴总是平行于惯性系，其中Y坐标轴方向向上而X轴指向运动的前进方向；它的坐标原点位于相对于惯性系位置向量为Ra的卫星1的中心，并以轨道角速度ω0的恒定角速度运动；
使用上述形函数，将系绳的质量矩阵表示为
Mt＝∫VρSTSdV (5)
因为卫星1和2都在系绳上，所以没有必要将它们的质量从系绳的质量矩阵分开并加上卫星位置的约束；来源于卫星1和2的质量矩阵的增量表示为
M1＝m1S(0)TS(0) (6)
M2＝m2S(l)TS(l) (7)
所以相对于绝对节点坐标包含卫星1和2和系绳的整个系统的质量矩阵表示为
Ma＝Mt+M1+M2 (8)
运动质量块mm的瞬时位置总是在系绳上，所以其位矢rm表示为
rm＝S(xm)e (9)
式中：xm为运输舱在系绳上的坐标，S是基于点初始位形的x轴坐标的全局形状函数，e是平面梁的单元节点坐标矢量；
运输舱在系绳上的坐标xm用于与系绳上相应固定点进行区分，因为xm是一个随时间变化的量；所以运动质量的速度矢量为
<mrow> <msub> <mover> <mi>r</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>m</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>S</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>m</mi> </msub> <mi>e</mi> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>S</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mi>e</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>m</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
由此，动能T表示为
<mrow> <mi>T</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>m</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mi>T</mi> </msup> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>S</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mi>e</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>m</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>S</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mi>e</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>m</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：为形函数S对xm的偏导数；
相对于位置坐标[eT xm]T的运输舱的质量矩阵Mm写作
<mrow> <msub> <mi>M</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>m</mi> </msub> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>S</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mi>e</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mi>T</mi> </msup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>S</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mi>e</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：xm为运输舱在系绳上的坐标，S是基于点初始位形的x轴坐标的全局形状函数，e是平面梁的单元节点坐标矢量，为形函数S对xm的偏导数；
同时得到相对于广义坐标q＝[eT xm]T的全系统质量矩阵M
<mrow> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>M</mi> <mi>a</mi> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <msub> <mi>M</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
为了计算广义弹性力，对单元采用线性弹性假设，得到应变能U的表达式为
<mrow> <mi>U</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <mn>0</mn> <mn>1</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>E</mi> <mi>a</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>l</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mi>E</mi> <mi>I</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>u</mi> <mi>t</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中E是弹性模量，a是横截面积，I是面积二次矩；ul为单元纵向变形，ut为单元横向变形；
因此，以弹性势梯度表示的弹性力表示为
<mrow> <msub> <mi>Q</mi> <mi>K</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>U</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>e</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
对于广义重力的计算，通过虚功原理得到；在轨道坐标系内重力对系绳上每一点所做的虚元功δWgt为
<mrow> <msub> <mi>&amp;delta;W</mi> <mrow> <mi>g</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>&amp;rho;</mi> <mi>d</mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>S</mi> <mi>e</mi> <msup> <mo>|</mo> <mn>3</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>S</mi> <mi>e</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mi>S</mi> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>e</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：Ra为主星位置矢量，μ为地球引力常数，ρ为系绳密度，dV为系绳微元的体积；
由此得到整个系绳相对于绝对节点坐标的单元广义重力Qgt表达式
<mrow> <msub> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>g</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mo>&amp;Integral;</mo> <mi>V</mi> </msub> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>&amp;mu;&amp;rho;S</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>S</mi> <mi>e</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>S</mi> <mi>e</mi> <msup> <mo>|</mo> <mn>3</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mi>d</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <mn>0</mn> <mi>l</mi> </msubsup> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>&amp;mu;&amp;rho;aS</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>S</mi> <mi>e</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>S</mi> <mi>e</mi> <msup> <mo>|</mo> <mn>3</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：S是基于点初始位形的x轴坐标的全局形状函数，e是平面梁的单元节点坐标矢量，μ为地球引力常数，ρ为系绳密度，dV为系绳微元的体积；
很明显，系绳的广义重力与当前的系绳构形相关，它指出了动力学解算过程中需要逐步求解线性积分；需要注意的是，在动力学方程的解算中加入数值积分的运算将非常耗时；加速计算的一个可行的方法是将系绳分成有限多段，并假设每段所受的广义重力等同于与系绳段相同质量的质点的广义重力；代表每段系绳的质点的位置位于各段中心，然后将每段系绳所受的广义重力求和作为系绳的广义重力代入动力学方程，即
<mrow> <msub> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>g</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;ap;</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <msub> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>g</mi> <mi>t</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中n是总段数，Qgti是第i段的广义重力；n的值越大，广义重力的计算就越精确；为了得到Qgti，首先应当计算简化后的质点的质量和位置，通过公式mti＝ρal/n前者很容易得到，而后者表示为
<mrow> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </mfrac> <mi>l</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>e</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
由此，Qgti表示为
<mrow> <msub> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>g</mi> <mi>t</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;mu;m</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <munderover> <mo>&amp;Integral;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mi>l</mi> <mo>/</mo> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> <mi>l</mi> <mo>/</mo> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msup> <mi>S</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msup> <mo>|</mo> <mn>3</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：Ra为主星位置矢量，S是基于点初始位形的x轴坐标的全局形状函数，μ为地球引力常数；
经过这样的简化，上式中的定积分在进行解算前只计算一次以节省时间；虽然这种做法是实际物理过程的近似，但仍然包含了重力梯度的重力影响因素；
对于卫星1或2，用e表示的广义重力Qgj为
<mrow> <msub> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>g</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;mu;m</mi> <mi>j</mi> </msub> <msup> <msub> <mi>S</mi> <mi>j</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>S</mi> <mi>j</mi> </msub> <mi>e</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>S</mi> <mi>j</mi> </msub> <mi>e</mi> <msup> <mo>|</mo> <mn>3</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：Ra为主星位置矢量，mj代表所对应卫星的质量；
对于运输舱，重力所做的虚功δWgm为
<mrow> <msub> <mi>&amp;delta;W</mi> <mrow> <mi>g</mi> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;mu;m</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>S</mi> <mi>m</mi> </msub> <mi>e</mi> <msup> <mo>|</mo> <mn>3</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>S</mi> <mi>m</mi> </msub> <mi>e</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>S</mi> <mi>m</mi> </msub> </mtd> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>S</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mi>e</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>e</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&amp;delta;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>m</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：xm为运输舱在系绳上的坐标，S是基于点初始位形的x轴坐标的全局形状函数，e是平面梁的单元节点坐标矢量，μ为地球引力常数；
所以相对于q＝[eT xm]T的运输舱的广义重力Qgm为
<mrow> <msub> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>g</mi> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;mu;m</mi> <mi>m</mi> </msub> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>S</mi> <mi>m</mi> </msub> </mtd> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>S</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mi>e</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mi>T</mi> </msup> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>S</mi> <mi>m</mi> </msub> <mi>e</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>S</mi> <mi>m</mi> </msub> <mi>e</mi> <msup> <mo>|</mo> <mn>3</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：Ra为主星位置矢量，S是基于点初始位形的x轴坐标的全局形状函数，e是平面梁的单元节点坐标矢量，μ为地球引力常数；
所以基于所选择的广义坐标q的系统的总的广义重力Qg为
<mrow> <msub> <mi>Q</mi> <mi>g</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>g</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>&amp;Sigma;</mi> <msub> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>g</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <msub> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>g</mi> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>24</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：Qgm为相对于q＝[eT xm]T的运输舱的广义重力；
根据选取轨道坐标系的方法，导致系统所受惯性力Qi为
<mrow> <msub> <mi>Q</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>&amp;Sigma;</mi> <msub> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <msub> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>25</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中
<mrow> <msub> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mo>&amp;Integral;</mo> <mi>V</mi> </msub> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>&amp;mu;&amp;rho;S</mi> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>R</mi> <mi>a</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>a</mi> </msub> <msup> <mo>|</mo> <mn>3</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mi>d</mi> <mi>V</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>26</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;mu;m</mi> <mi>j</mi> </msub> <msup> <mi>S</mi> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>R</mi> <mi>a</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>a</mi> </msub> <msup> <mo>|</mo> <mn>3</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>27</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;mu;m</mi> <mi>m</mi> </msub> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>S</mi> <mi>m</mi> </msub> </mtd> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>S</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mi>e</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mi>T</mi> </msup> <mfrac> <msub> <mi>R</mi> <mi>a</mi> </msub> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>a</mi> </msub> <msup> <mo>|</mo> <mn>3</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>28</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：Qit，Qij，Qim分别为系绳、两端卫星和运输舱所受惯性力；
运动的运输舱和系绳之间的非完整约束由相对速度vr表示；相对速度vr的方向沿着当前位置系绳的切线；运输舱的绝对速度使用位置向量的时间导数与相对运动关系两种方式得到
<mrow> <msub> <mover> <mi>r</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>m</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>S</mi> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>S</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>m</mi> </msub> <mi>e</mi> <mo>=</mo> <mi>S</mi> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>S</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>S</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mi>e</mi> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>v</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>29</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：S是基于点初始位形的x轴坐标的全局形状函数，e是平面梁的单元节点坐标矢量，vr是运动的运输舱和系绳之间的非完整约束由相对速度；
所以求得运输舱在系绳上当前位置的时间导数为
<mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>m</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>v</mi> <mi>r</mi> </msub> <mrow> <mo>|</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>S</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mi>e</mi> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>30</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
得到xm的二阶导数
<mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>m</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>v</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>|</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>S</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mi>e</mi> <msup> <mo>|</mo> <mrow> <mo>-</mo> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>S</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mi>e</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>S</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <mi>S</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>x</mi> <mi>m</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>m</mi> </msub> <mi>e</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>r</mi> </msub> <mo>|</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>S</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mi>e</mi> <msup> <mo>|</mo> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>31</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：S是基于点初始位形的x轴坐标的全局形状函数，e是平面梁的单元节点坐标矢量，vr是运动的运输舱和系绳之间的非完整约束由相对速度，为形函数S对xm的偏导数；
将等式(32)重新表示为
<mrow> <msub> <mi>C</mi> <mi>q</mi> </msub> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>m</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <msub> <mi>Q</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>32</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> 4
其中Cq＝[0 1]，Qc是等式(32)的余项；
综上所述，本步骤二所述的“绝对节点坐标法进行系统动力学建模”，规纳总结如下：
先对所采用的坐标系进行定义，对系统采用绝对节点坐标法进行建模，得到其对应于广义坐标的质量阵；然后求出重力、弹性力和惯性力的广义力表达式；最后建立约束方程；
步骤三、用拉格朗日即Lagrange乘子方法推导系统动力学方程
在建立动力学方程时，使用Lagrange乘子方法推导由一个系绳、2个视作质点的卫星和一个运输舱组成的整个系统的动力学方程；Lagrange乘子方法既适用于完整系统，也适用于非完整系统；
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>M</mi> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>q</mi> <mi>T</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>C</mi> <mi>q</mi> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&amp;lambda;</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>Q</mi> <mi>e</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>Q</mi> <mi>c</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>33</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中Qe＝Qg+Qk+Qi
对于一个绳系运输系统，系绳长度可能很长并且卫星的质量会很大；因此在动力
学方程中有必要对位置和质量进行归一化；选择如下无量纲单元形函数
<mrow> <mover> <mi>S</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>I</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>I</mi> <mo>/</mo> <mi>l</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>I</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>4</mn> </msub> <mi>I</mi> <mo>/</mo> <mi>l</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>34</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：I是单位矩阵，l为单元长度；
由此无量纲绝对节点坐标表示为
<mrow> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>r</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>/</mo> <mi>l</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>/</mo> <mi>l</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>r</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>/</mo> <mo>&amp;part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>/</mo> <mo>&amp;part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mi>T</mi> </msup> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>35</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：r1和r2为卫星1和2的位置矢量，l为单元长度；
同样运输舱在系绳上当前位置xm应该除以系绳长度；
ξm＝xm/l (36)
式中：ξm是被选取点的无量纲坐标，l为单元长度；
同样的方法也适用于质量维度，从而最终得到的运动方程
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msup> <mi>M</mi> <mo>*</mo> </msup> </mtd> <mtd> <msubsup> <mover> <mi>C</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>q</mi> <mi>T</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>C</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>q</mi> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mover> <mover> <mi>q</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>^</mo> </mover> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <msup> <mi>Q</mi> <mo>*</mo> </msup> <mi>e</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>Q</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>c</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>37</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：M*，Q* e分别为无量纲质量阵，无量纲广义坐标和无量纲广义力； 为无量纲约束方程中的相关项；
步骤四、动力学解算
本发明数值仿真软件的编写平台为矩阵实验室即Matlab平台，Matlab系列产品在航天工程领域已经得到了非常广泛的应用，被证明是在动力学和控制相关问题研制开发过程中十分可靠的数值仿真软件；
对于可能的运动过程，主要分为子星在上和子星在下的两种情况；设定系绳全长L；相对较重的主星位置矢量Ra，质量为m1；系绳另一端的子星的质量设为m2，而系绳上的运输舱的质量为mm；给出系绳的材料和几何属性,包括长度、横截面积、密度、杨氏模量；并且在情况1和2中，系绳在开始时都处于非变形状态；给出运输舱的运动方式，主要是相对于系绳的速度变化；如系绳速度达到设定值后保持不变，直到在释放运动中的运输舱和子卫星之间的系绳的长度及在回收运动中的运输舱和母船之间的系绳的长度小于所设定值如100米；
再在Matlab平台上，根据步骤三所得的动力学方程编写此动力学方程的微分方程函数，即将动力学方程编为Matlab程序文件；得到此动力学方程的Matlab文件后，将上述所需参数的具体值代入，并选择合适的解微分方程的Matlab数值解程序，求解得到系统的动力学响应过程；
本步骤四所述的“动力学解算”，归纳作法如下：
选择合适的系统参数，如绳长、横截面积、弹性模量和轨道高度，然后给定运输舱的运动方式；根据系统动力学方程编写微分方程函数；将上述参数代入动力学方程并选择求微分方程数值解的函数进行解算，如使用四阶、五阶龙格-库塔单步算法的数值解函数；
通过以上步骤，结合仿真结果对本发明所设计的基于绝对节点坐标法的绳系运输系统的动力学分析方法效果进行分析，验证了本方法的计算精确的效果，得到了绳系运输系统的真实动力学响应。
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