CN107908203A - 一种空间柔性电帆自旋调速控制方法 - Google Patents

一种空间柔性电帆自旋调速控制方法 Download PDF

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Abstract

一种空间柔性电帆自旋调速控制方法，属于电动帆领域，具体涉及一种柔性电帆自旋调速控制方法。本发明包括以下：步骤一、基于绝对节点坐标方法建立柔索的大变形动力学模型，确定单元节点，推导常数质量矩阵及参考构型下的广义弹性力；步骤二、建立中心刚体动力学模型、对中心转动约束副建立1自由度约束代数方程、对柔索与中心刚体的连接球铰建立3自由度约束代数方程；步骤三、对柔索进行受力分析，并计算动平衡状态下的柔索转动角加速度；步骤四、选取控制变量，依据受力分析设计调速控制率并计算得到中心刚体需要输出的调速控制力矩。本发明解决了柔性电帆的柔索自旋多体系统无法调速控制的问题，可运用于电动帆控制系统。

Description

一种空间柔性电帆自旋调速控制方法
技术领域
本发明属于电动帆领域，具体涉及一种柔性电帆自旋调速控制方法。
背景技术
现代空间技术的发展使得航天器结构的设计逐渐趋于小型化、灵巧化，不仅要保证体积小、质量轻、在发射阶段收拢性好，待航天器入轨后，还应能够在足够大的空间范围内展开，航天器机动过程中能保持结构稳定，大柔性结构在这些方面具有一定优势。同时，为了打破长期飞行任务对星上能源的限制，利用空间场力进行推进的方式也逐渐被采纳。
由数十或数百根带电导线组成的虚拟太阳风电动帆就是一种典型的空间系绳，其质量超轻、收拢性好、展开后覆盖范围极广的优良性能使其成为颇具前景的无工质推进方式。电动帆主要依靠作用在通电导线上的太阳风动压提供动力。发射阶段导线缠绕在一圆柱轮毂上，入轨后中心轮毂(中心刚体)开始转动，导线末端带有一质量块，依靠质量块产生的离心力拉动导线从中心轮轴逐渐伸出，完成展开后的导线束形成虚拟帆面。通电导线是极细长的绳索，这种结构固然具有一定优势，却也给帆面保持、导线运动状态预测以及姿态控制等造成困难。电帆自旋过程中如无能量耗散则系统动量守恒，绳索质量很小但长度很长，系统质量惯量主要集中在位于绳末端的质量块上。离心力作用下的绳索与末端质量动量交换过程中，绳上各点的位置、速度极易受到影响而发生改变，进而影响虚拟帆面形状；电帆柔索于空间中展开后呈放射状分布，远端难以施加测量、控制，无法实现柔索自旋多体系统调速控制。
发明内容
本发明为解决现有技术无法实现柔性电帆的柔索自旋多体系统调速控制的问题，提供了一种空间柔性电帆自旋调速控制方法。
本发明所述一种空间柔性电帆自旋调速控制方法，通过以下技术方案实现：
步骤一：基于绝对节点坐标方法建立柔索的大变形动力学模型，确定单元节点，以单元节点位置及位置梯度作为广义变量，推导常数质量矩阵及参考构型下的广义弹性力；
步骤二：选取中心刚体的位置及四元数为广义坐标建立中心刚体动力学模型、对中心转动约束副建立1自由度约束代数方程、对柔索与中心刚体的连接球铰建立3自由度约束代数方程；
步骤三：对柔索进行受力分析，并计算动平衡状态下的柔索转动角加速度；
步骤四：选取控制变量，依据受力分析设计调速控制率并计算得到中心刚体需要输出的调速控制力矩。
本发明与现有技术相比较，最为突出的特点和显著的有益效果是：本发明所采用的绝对节点坐标方法主要用于解决大变形柔性体动力学问题。该方法能够较为真实的进行电帆多柔体系统的动力学建模，反映绳索大变形等复杂动力学特性，以及在环境力干扰或微流星撞击下帆面形状保持达到动态平衡状态；此外，由于绳索的运动及变形统一在绝对坐标系下描述，因此能够方便地与其他多体系统进行耦合建模，适合于实际的工程应用。
基于此，针对电帆柔索的转速调整进行了控制器的设计以及动力学仿真验证，初始角速度为ω2＝-1rad/s，目标角速度ωd＝-1.5rad/s，自旋状态下，通过中心轮毂上的反向作用力矩以及滞回力矩，在0-1s时间内，角速度基本调整至-1.5rad/s，之后线缆角速度在-1.5rad/s附近周期振荡，实现了空间大范围放射状分布的电帆柔索调速控制。
附图说明
图1是变形梁单元位移场示意图；其中，“S”指的是梁单元弧线；
图2是电帆柔索结构示意图；
图3是电帆中心刚体与线缆系统坐标系定义示意图；
图4是电帆中心刚体相位滞后调速作用力/力矩关系示意图；
图5是电帆中心刚体相位超前调速作用力/力矩关系示意图；
图6是等效线缆系统相位滞后调速示意图；
图7是等效线缆系统相位超前调速示意图；
图8是柔索转速控制量示意图；
图9是中心刚体角速度曲线；
图10是柔索角速度曲线。
具体实施方式
具体实施方式一：本实施方式给出的一种空间柔性电帆自旋调速控制方法，具体包括以下步骤：
步骤一：首先建立空间绝对参考坐标系，如图1所示，基于绝对节点坐标方法建立柔索的大变形动力学模型，确定单元节点，采用六自由度节点坐标分别描述位置、转动、形变，梁单元上任意一点的位置根据形函数由广义坐标(绝对节点坐标)表示，以单元节点位置及位置梯度作为广义变量，推导常数质量矩阵及参考构型下的广义弹性力；
步骤二：选取中心刚体的位置及四元数为广义坐标，基于第二类Lagrange(拉格朗日)方法建立中心刚体动力学模型、对中心转动约束副建立1自由度约束代数方程、对柔索与中心刚体的连接球铰建立3自由度约束代数方程；
步骤三：如图2，为使电帆柔索保持在目标转速下的动平衡状态，对柔索进行受力分析，分析中心轮毂控制力矩输入下，球铰连接处作用力对柔索的等效作用力，以及不同相位差模式下的作用力效率，并计算动平衡状态下的柔索转动角加速度；通过受力分析说明该控制策略的可行性及其作用效能；
步骤四：选取控制变量，依据受力分析设计调速控制率并计算得到中心刚体需要输出的调速控制力矩。
具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是：步骤一具体为，如图1所示，建立空间绝对参考坐标系OXYZ，在空间绝对参考坐标系OXYZ下对柔索进行物理离散，将梁单元自由度表示在两端节点，采用六自由度节点坐标分别描述单元节点j的各自由度：
式(1)中，qj为单元节点j的广义坐标，x为描述在参考构型下的单元物质坐标，为位置梯度，k＝1,2,3，r1 j、是r的分量；
梁单元上任意一点的位置根据形函数由广义坐标表示：
r＝S(x)q (2)
对长度为L的单元，形函数S(x)＝[S1I S2I S3I S4I]中的各项系数分别为：
S1＝1-3ξ2+2ξ3,S2＝L(ξ-2ξ2+ξ3),S3＝3ξ2-2ξ3,S4＝L(-ξ2+ξ3) (3)
q是广义坐标，r是梁单元上任意一点的位置，ξ＝x/L，I是3阶的单位矩阵；
对梁单元内所有物质点的动能在体积上积分得到梁单元动能，沿梁单元轴线上物质坐标的积分为：
Te为梁单元动能，是q的一阶导数，ρl是梁单元密度，Al是梁单元截面积；
轴向力作用下的一维梁单元主轴应变为：
轴向弯曲引起的应变可由曲率表示：
rx是r对参考构型下的单元物质坐标x的一阶导数，rxx为r对x的二阶导数，rx T表示rx的转置，κ是曲率；
轴向广义弹性力Qel与弯曲广义弹性力Qet分别表示为：
E是弹性模量，Il是梁单元截面惯性矩；
综上所述，最终得到绝对节点坐标系下的柔索动力学模型：
Ml是柔索广义质量矩阵，是q的二阶导数，Qe是广义弹性力，Qa是其他广义力。
其它步骤及参数与具体实施方式一相同。
具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式二不同的是：步骤二中，建立中心刚体动力学模型的过程具体为：
设刚体广义坐标为：
qc＝[qr,Θ]＝[qx qy qz θ0 θ1 θ2 θ3] (9)
其中，qr为刚体位移坐标，Θ为姿态四元数，Θ由θ0、θ1、θ2、θ3四元构成，qx、qy、qz分别表示刚体的X轴、Y轴、Z轴位移坐标；
计算刚体动能Th：
式(10)中为姿态四元数矩阵，mc是中心刚体的质量，Vc是中心刚体的速度矢量，J是中心刚体的转动惯量矩阵，ω是中心刚体的转动角速度矢量，是qr的一阶导数，是Θ的一阶导数，是qc的一阶导数；
由拉格朗日(Lagrange)方法，推导得到中心刚体动力学方程组：
由式(11)得：
其中，t表示时间，是qc的二阶导数。
其它步骤及参数与具体实施方式二相同。
具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式三不同的是：步骤三具体为：
如图2所示，电帆在轨运行过程中，作为一大跨度、大柔性多体动力系统，可于星上中心线轮处施加控制力矩进行加、减速度调控，使电帆柔索的旋转角速度保持在目标角速度ωd附近，即达到动平衡状态，动平衡状态下，中心刚体与柔索之间的相互作用力仅存在轴向分量Ft，方向指向旋转中心。
当中心刚体与柔索之间存在相位差时会在根部出现变形，连接点处的作用力产生垂直于柔索轴向的径向分量Fn，见图4、图5；不加控制时，Fn对柔索产生一个增加相位差的转动力矩T2。
另一方面，施加调速控制力矩Tc的目的在于使得柔索的转动角速度ω2达到目标角速度ωd，因此当ω2<ωd时，调速控制力矩Tc应当控制线轮反向转动使之给柔索施加一增加转速的力矩。临界角度为反向力矩施加的判定界限，当相位差超过临界角度时反向力矩的加速效果不甚理想，需改变调速控制力矩方向。
如图3、图6、图7所示，动平衡状态下，将柔索等效为一细杆进行受控状态下的力学分析，作用于柔索球铰端的径向力Fn等效至柔索上其他任意一点处为一作用力Fl以及作用力矩Tl，Fl和Tl分别产生绕中心刚体转动中心的角加速度
ml表示细杆的质量，是细杆的质心加速度，Rc是中心刚体的半径，Rl是细杆的长度；
将式(12)表示为径向力Fn的形式：
考虑转动方向，经合成后得到柔索转动角加速度：
因此，作用力矩Tl能够使柔索产生惯性系下的转动运动。
具体实施方式五：
调速控制力矩Tc主要用于消除转动角速度误差影响，但为使柔索运动最终达到动平衡状态，还需引入如图8所示的角度差控制量，包括柔索与线轮中心至柔索安装点矢量的相位差柔索轴线的位移角以及柔索轴线的预期位移角
所述步骤四具体为：设计电帆柔索的调速控制率为：
其中，表示的一阶导数，表示的一阶导数，Kp1、Kp3为比例环节控制率系数，Kd2、Kd1表示微分环节系数。
虽然一定程度上会增加柔索的绝对转动角速度，但这一作用会引起持续增大，增大至一定程度后柔索的转动角速度会减小，此时应改变Tc方向，即施加滞回力矩消除同时引入相位差变化率控制力矩滞回速度。
其它步骤及参数与具体实施方式四相同。
实施例
采用以下实施例验证本发明的有益效果：
由于控制力矩施加在中心刚体(中心轮毂)上，所以为了实现整体调速的目的，需按图8所示，提供一个刚体反向的角速度，在柔索根部产生一个控制力，提供柔索转速改变所需的控制力矩。以柔索角速度和柔索相对平衡位置的角度误差为控制量，设计PD控制器，实现电帆调速控制。
仿真时长20s，输出一根线缆的运动变化曲线以及中心轮毂所受的控制力矩仿真数值结果。根据中心刚体角速度曲线，如图9所示，一开始中心刚体正转产生相位差，提供柔索所需控制力矩，当调速过程结束后，在通过反向速度修正中心刚体与线缆的相位差，实现以目标转速稳定运动。
初始角速度为ω2＝-1rad/s，为将转速调至-1.5rad/s，初始线轮反转力矩使得柔索加速，然后正转力矩使柔索消除相位差，角速度呈现高频波动变化趋势。
柔索上角速度为实际控制变量，角速度滤波后曲线可以清晰的描述出实际调速控制效果，具体曲线如图10所示。柔索角速度在1s内达到目标角速度后，并在其附近周期性振荡，主要原因为线缆柔性较大，中心刚体附近柔索变形较大，使得误差无法完全消除。
在0-1s时间内，角速度基本调整至-1.5rad/s，之后线缆角速度在-1.5rad/s附近周期振荡。从图10的柔索距平衡位置的角度偏差中可以清晰的看出，在转速调整过程中相位差始终未正值，用以提供柔索调速所需控制力矩。1s后柔索角度偏差在0附近周期震荡。
本发明还可有其它多种实施例，在不背离本发明精神及其实质的情况下，本领域技术人员当可根据本发明作出各种相应的改变和变形，但这些相应的改变和变形都应属于本发明所附的权利要求的保护范围。

Claims (5)

1.一种空间柔性电帆自旋调速控制方法，其特征在于，所述调速控制方法具体包括以下步骤：
步骤一：基于绝对节点坐标方法建立柔索的大变形动力学模型，确定单元节点，以单元节点位置及位置梯度作为广义变量，推导常数质量矩阵及参考构型下的广义弹性力；
步骤二：选取中心刚体的位置及四元数为广义坐标建立中心刚体动力学模型、对中心转动约束副建立1自由度约束代数方程、对柔索与中心刚体的连接球铰建立3自由度约束代数方程；
步骤三：对柔索进行受力分析，并计算动平衡状态下的柔索转动角加速度；
步骤四：选取控制变量，依据受力分析设计调速控制率并计算得到中心刚体需要输出的调速控制力矩。
2.根据权利要求1所述的一种空间柔性电帆自旋调速控制方法，其特征在于：所述步骤一具体为：
建立空间绝对参考坐标系OXYZ，在空间绝对参考坐标系OXYZ下对柔索进行物理离散，将梁单元自由度表示在两端节点，采用六自由度节点坐标分别描述单元节点j的各自由度：
<mrow> <msup> <mi>q</mi> <mi>j</mi> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>r</mi> <mn>1</mn> <mi>j</mi> </msubsup> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> <mi>j</mi> </msubsup> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>r</mi> <mn>3</mn> <mi>j</mi> </msubsup> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>r</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> <mi>j</mi> </msubsup> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>r</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> <mi>j</mi> </msubsup> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>r</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mi>x</mi> </mrow> <mi>j</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mi>T</mi> </msup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>r</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mi>j</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>r</mi> <mi>k</mi> <mi>j</mi> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <msub> <mo>|</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式(1)中，qj为单元节点j的广义坐标，x为描述在参考构型下的单元物质坐标，为位置梯度，k＝1,2,3，r1 j、是r的分量；
梁单元上任意一点的位置根据形函数由广义坐标表示：
r＝S(x)q (2)
对长度为L的单元，形函数S(x)＝[S1I S2I S3I S4I]中的各项系数分别为：
S1＝1-3ξ2+2ξ3,S2＝L(ξ-2ξ2+ξ3),S3＝3ξ2-2ξ3,S4＝L(-ξ2+ξ3) (3)
q是广义坐标，r是梁单元上任意一点的位置，ξ＝x/L，I是3阶的单位矩阵；
对梁单元内所有物质点的动能在体积上积分得到梁单元动能，沿梁单元轴线上物质坐标的积分为：
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Te为梁单元动能，是q的一阶导数，ρl是梁单元密度，Al是梁单元截面积；
轴向力作用下的一维梁单元主轴应变为：
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轴向弯曲引起的应变可由曲率表示：
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rx是r对参考构型下的单元物质坐标x的一阶导数，rxx为r对x的二阶导数，rx T表示rx的转置，κ是曲率；
轴向广义弹性力Qel与弯曲广义弹性力Qet分别表示为：
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最终得到绝对节点坐标系下的柔索动力学模型：
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Ml是柔索广义质量矩阵，是q的二阶导数，Qe是广义弹性力，Qa是其他广义力。
3.根据权利要求2所述的一种空间柔性电帆自旋调速控制方法，其特征在于：所述步骤二中建立中心刚体动力学模型的过程具体为：
设刚体广义坐标为：
qc＝[qr,Θ]＝[qx qy qz θ0 θ1 θ2 θ3] (9)
其中，qr为刚体位移坐标，Θ为姿态四元数，Θ由θ0、θ1、θ2、θ3四元构成，qx、qy、qz分别表示刚体的X轴、Y轴、Z轴位移坐标；
计算刚体动能Th：
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式(10)中为姿态四元数矩阵，mc是中心刚体的质量，J是中心刚体的转动惯量矩阵，是qc的一阶导数；
由拉格朗日方法，推导得到中心刚体动力学模型：
<mrow> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>h</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>c</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>h</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>q</mi> <mi>c</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>m</mi> <mi>c</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>c</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>c</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>c</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>q</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>c</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
由式(11)得：
其中，t表示时间，是qc的二阶导数。
4.根据权利要求3所述的一种空间柔性电帆自旋调速控制方法，其特征在于：所述步骤三中动平衡状态下的柔索转动角加速度具体计算步骤具体为：
动平衡状态下，将柔索等效为一细杆进行受控状态下的力学分析，作用于柔索球铰端的径向力Fn等效至柔索上其他任意一点处为一作用力Fl以及作用力矩Tl，Fl和Tl分别产生绕中心刚体转动中心的角加速度
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mi>l</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>l</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>f</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>l</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>f</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>R</mi> <mi>l</mi> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>T</mi> <mi>l</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>n</mi> </msub> <mfrac> <msub> <mi>R</mi> <mi>l</mi> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>12</mn> </mfrac> <msub> <mi>m</mi> <mi>l</mi> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>R</mi> <mi>l</mi> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>t</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
ml表示细杆的质量，是细杆的质心加速度，Rc是中心刚体的半径，Rl是细杆的长度；
将式(12)表示为径向力Fn的形式：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>f</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>F</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <msub> <mi>m</mi> <mi>l</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>R</mi> <mi>l</mi> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>t</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>24</mn> <msub> <mi>F</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>m</mi> <mi>l</mi> </msub> <msub> <mi>R</mi> <mi>l</mi> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
考虑转动方向，经合成后得到柔索转动角加速度：
<mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>o</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>t</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>f</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>24</mn> <msub> <mi>F</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>m</mi> <mi>l</mi> </msub> <msub> <mi>R</mi> <mi>l</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>F</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <msub> <mi>m</mi> <mi>l</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>R</mi> <mi>l</mi> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow>
5.根据权利要求4所述的一种空间柔性电帆自旋调速控制方法，其特征在于：所述步骤四具体为：
设计电帆柔索的调速控制率为：
<mrow> <msub> <mi>T</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，Tc为调速控制力矩，为柔索与线轮中心至柔索安装点矢量的相位差，为柔索轴线的位移角，为柔索轴线的预期位移角，表示的一阶导数，表示的一阶导数，Kp1、Kp3为比例环节控制率系数，Kd2、Kd1表示微分环节系数。
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