CN106202640B - 日‑地三体引力场中的晕轨道航天器偏置轨道设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种日‑地三体引力场中的晕轨道航天器偏置轨道设计方法。针对在日地三体引力场中，采用小推力将处于晕轨道中的航天器推离到日心坟墓轨道的任务需求，本发明提出了一种半解析解的轨道设计方法，该方法能够在保证轨道精度的同时，极大的减少计算量。另外本发明提出了采用变反射率太阳帆和电推进混合的连续小推力系统，来实现轨道机动的方法。混合推力实现轨道机动方法可以大大的减小燃料的消耗。通过优化设计太阳帆的姿态角，实现最小燃料消耗的轨道机动目的。与传统的脉冲偏置轨道设计方法相比，本发明提出的方法在保证求解精度的前提下，能够很大程度上减少计算时间。

Description

日-地三体引力场中的晕轨道航天器偏置轨道设计方法

技术领域

本发明涉及航空航天领域，具体涉及日-地三体引力场中的晕轨道航天器偏置轨道设计方法。

背景技术

随着航天技术的发展，深空探测已经成为我国航天领域“十三五”计划的重点项目。晕轨道是深空探测中一种重要的任务轨道。由于晕轨道是日-地三体引力场中的自然稳定周期轨道，因此类似于地球引力场中的静止轨道，具有很高的科学工程利用价值。例如：在晕轨道上布置航天器，可用于空间探测或中继通信等。然而晕轨道资源是有限的，当处于晕轨道的航天器任务结束后，需要将其推离该任务轨道，推至日心引力场的坟场轨道，否则该航天器会变成轨道垃圾影响将来的轨道任务。因此提出日-地三体引力场中晕轨道上的任务航天器的偏移轨道设计问题。偏移轨道设计问题要求设计出机动轨道，使航天器在100年内不被地球引力场捕获，即在100年内，航天器和地球的最短距离大于地球捕获距离。

传统方法采用脉冲推进将航天器推离任务轨道，这种方法所需要的燃料比较大，本专利提出的方法是采用连续小推力来实现轨道推离机动，由于小推力的比冲比较大，因此需要的燃料质量比较小。

发明内容

本发明的目的在于提供日-地三体引力场中的晕轨道航天器偏置轨道设计方法，以克服上述现有技术存在的缺陷，本发明能够在保证轨道精度的同时，极大的减少计算量。

为达到上述目的，本发明采用如下技术方案：

日-地三体引力场中的晕轨道航天器偏置轨道设计方法，包括以下步骤：

步骤一：建立虚拟引力场模型，得到虚拟引力场参数与实现该虚拟引力场所需要的推力加速度的关系；

步骤二：建立虚拟引力场下的周向力和径向力作用下的动力学模型，得到在虚拟引力场下周向力和径向力作用下航天器轨道参数变化的关系；

步骤三：建立太阳帆/电推进混合推力动力学模型，求解实现给定推力加速度与最优太阳帆姿态角的关系；

步骤四：建立第三体引力摄动模型，推导由于第三体引力场摄动而产生的航天器轨道要素的变化；

步骤五：通过步骤一至步骤四所建模型优化设计太阳帆的姿态角，实现最小燃料消耗的轨道机动。

进一步地，步骤一中建立虚拟引力场模型具体为：

设定日心引力场引力常数为μ，航天器在地心惯性坐标系下位置矢量为速度矢量为假定在航天器上施加推力加速度为则有：

假设地心惯性坐标系为OXYZ，虚拟中心引力场坐标系为O′X′Y′Z′，虚拟引力场和日心引力场中心的位置偏差矢量为虚拟引力场的引力常数为μ_vg航天器在虚拟引力场中的位置矢量为速度矢量为则有：

由式(2)、式(3)可知，在虚拟中心引力场坐标系下，航天器的运动轨迹为开普勒轨道，其动力学方程表示为如下形式：

由式(1)、式(2)可知，实现虚拟中心引力场所需推力由下式得到：

将式(3)带入式(5)，得到虚拟引力场模型：

进一步地，步骤二中建立虚拟引力场下的周向力和径向力作用下的动力学模型具体为：

当航天器在径向推力A_R和周向推力A_θ作用下，二维平面轨道要素的变化为：

其中，μ为日心引力场常数，a,e,w为轨道的半长轴、偏心率以及近地点俯角，E为偏近点角，式(7)简化为式(8)：

其中：

E_i,E_f分别为初始时刻的偏近点角和终点时刻的偏近点角；

假定航天器在虚拟引力场中的矢径和其在实际引力场中的矢径的夹角为η；虚拟引力场的常数为μ_vg，航天器在虚拟引力场中的矢径为R_{vg_1}；日心引力场常数为μ，航天器在虚拟引力场中的矢径为R₁，则实现虚拟引力场所需要的推力以及虚拟引力场中的径向力和周向力的合力在惯性坐标系下径向和周向的投影为：

进一步地，步骤三中建立太阳帆/电推进混合推力动力学模型具体为：

采用太阳帆/电推进混合推力实现轨道机动，设定a_HLTP为混合推力加速度，其由径向分量和周向分量组成a_HLTP＝[a_HLTPr,a_HLTPθ]，混合推力的径向分量和周向分量均由两部分组成，第一部分为太阳帆产生的推进(a_ssr,a_ssθ)，第二部分为电推进产生的推进(a_SEPr,a_SEPθ)，如下所示：

太阳帆推进系统采用变反射率太阳帆模型，其产生的径向推力和切向推力为：

其中，α为太阳帆的姿态角，μ为日心引力场常数，β为太阳光照因子，η_s为太阳光反射率，u为RCD太阳帆处于两种模态的面积比值，假设全反射光照模态面积为A₁，半反射光照模态面积为A₂，则u是待定设计的自由变量，在此u是轨道转移角x的二阶多项式函数，如下所示：

u＝cos²(x²/l₁+x/l₂+l₀) (12)

其中，l₀，l₁，l₂为太阳帆姿态角函数的系数；

实现轨道机动的整体推力是由太阳帆和电推进提供，为实现轨道机动所需要的推力，而为太阳帆产生的推力，为电推进产生的推力，则

假设P为电推进的输入功率，则电推进系统的动力学模型如下：

其中，f₂，f₁，f₀以及g₂，g₁，g₀均为数值拟合求出的常值参数，T_SEP，分别为电推进产生的推力和工质的秒流量，为推力的单位矢量，τ为秒流量的单位矢量。

进一步地，步骤四中建立第三体引力摄动模型具体为：

在日-地限制性三体动力学中，假定航天器s/c的矢量参数为(x,y,z)，太阳质量为m₁,地球的质量为m₂,日心引力场常数为μ，无量纲化质量参数为则航天器的动力学方程为：

其中r₁＝[x,y,z]为航天器在日心引力场的位置参数，r₂为航天器离地心的距离参数，则航天器在三体引力场中运动中，其哈密尔顿方程为：

Η＝K+U+Ο(μ²) (16)

其中：K为开普勒项，U为第三体的摄动项，Ο(μ²)为高阶小量；

其中P_x ²,P_y ²,P_z ²为航天器的广义动量，θ为航天器与日心和地心连线的夹角；

假定摄动函数为：

假定航天器的轨道六要素，半长轴，偏心率，轨道倾角，升交点赤经，近地点俯角，平近点角分别为：a,e,i,Ω,ω,M，分别为摄动函数对偏近点角，近地点俯角，升交点赤经以及轨道倾角的偏导数，在此假定日心引力场常数为μ，轨道平均转速率则在第三体的摄动作用下，从时刻t₁到时刻t₂，航天器轨道要素的变化为：

进一步地，通过步骤一至步骤四所建模型优化设计太阳帆的姿态角，实现最小燃料消耗的轨道机动：

该优化问题的轨道边界值约束是航天器与地球的最短距离约束：

D_min＞D_constant (21)

其中D_min为航天器与地球最短距离；D_constant＝6R_E，R_E为地球的半径；

通过步骤一至步骤四得到轨道参数之后，式(21)中航天器与地球的最短距离的计算方法如下所示，

其中，D_min为航天器与地球的最短距离，x₀为航天器在地球轨道平面的内的矢径，a,e,i分别为轨道半长轴，偏心率和轨道倾角，则虚拟引力场参数以及切向力参数的参数范围为：

μ_vg∈[μ_vgL,μ_vgU],r_vg∈[r_vgL,r_vgU]，l₀∈[l_ol,l_ou],l₁∈[l_1l,l_1u],l₂∈[l_2l,l_2u]

其中，[μ_vgL，μ_vgU]，[r_vgL，r_vgU]，[l_ol，l_ou]，l[l_1l，l_1u]，[l_2l，l_2u]为六个自变量参数的上下限，为已知常数，由太阳帆和电推进能够产生的最大推力确定，在此设定，μ_vg∈[0.8,1.2]·μ,r_vg∈[-0.2,0.2]AU,l0∈[0,2π],l1∈[0,1],l2∈[0,1]，此处AU为地心到日心的距离；

电推进所需要提供的推力加速度表示为：

其中μ_vg,r_vg为虚拟引力场参数，l₀,l₁,l₂为太阳帆姿态角参数；由此可见，轨道优化问题即转化为参数优化问题，该优化问题采用Matlab软件中的Fmincon函数来求解，其中优化的目标函数为转移轨道消耗燃料质量：

J＝min(mass_fuel)＝max(mass_f) (24)

其中，mass_fuel为消耗的燃料质量，mass_f为任务结束时航天器的质量。

与现有技术相比，本发明具有以下有益的技术效果：

本发明提供一种处于日地三体引力场L2拉格朗日点航天器偏置轨道优化设计方法。针对在日地三体引力场中，采用小推力将处于晕轨道中的航天器推离到日心坟墓轨道的任务需求，本发明提出了一种半解析解的轨道设计方法，该方法能够在保证轨道精度的同时，极大的减少计算量。另外。本发明提出了采用变反射率太阳帆和电推进混合的连续小推力系统，来实现轨道机动的方法。混合推力实现轨道机动方法可以大大的减小燃料的消耗。通过优化设计太阳帆的姿态角，实现最小燃料消耗的轨道机动目的。现有推进技术中，电推进、太阳帆推进系统能够提供的推力较小，难以适用需要较大推力的任务轨道，而该发明提出的方法可以扩大太阳帆和电推进的应用范围。与传统的脉冲偏置轨道设计方法相比，本发明提出的方法在保证求解精度的前提下，能够很大程度上减少计算时间。

附图说明

图1是虚拟引力场示意图；

图2是实现虚拟引力场的推力大小计算示意图；

图3是地球与航天器的相对位置示意图；

图4是地球对航天器的引力摄动示意图；

图5是地球在不同位置对轨道半长轴的影响示意图；

图6是地球在不同位置处轨道偏心率的影响示意图；

图7是地球在不同位置对轨道倾角的影响示意图；

图8是地球在不同位置对近地点俯角的影响示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步详细描述：

本发明结合三体引力场半解析解及虚拟引力场方法，能够得到一种偏移轨道的半解析解。主要包括以下步骤：

a、虚拟引力场的建模：提出一种虚拟引力场的模型，用于求解小推力作用下的轨道的解析解；并推导了实现虚拟引力场所需要的推力大小；

b、太阳帆/电推进连续小推力建模，设计了一种太阳帆/电推进混合推力系统；在该系统中，太阳帆产生径向推力，电推进产生切向推力。通过优化太阳帆的姿态角，优化电推进的推力，最终达到节省燃料的目的。由步骤a可以给出实现的虚拟引力所需要的推力大小。由太阳帆/电推进的模型可以求解出产生相应的推力实现虚拟引力场所消耗的最小的能量。

c、三体引力场建模：分析日地三体引力场，将地球视为第三体摄动，采用摄动理论分析在地球摄动对于航天器轨道要素的影响。航天器在三体中的小推力轨道可以分为两部分，第一部分是求解二体引力场作用下的轨道要素的变化，第二部分是求解三体引力场的摄动影响。有步骤c和步骤a即可得到航天器在小推力作用下，在三体引力场中的轨道要素变化情况。

d、基于太阳帆/电推进混合推力的三体引力场的最优偏置轨道机动设计。

偏置轨道设计的约束：当向置于晕轨道的航天器施加推力推导坟场轨道后，需要保证其不被地球的引力场捕获，即航天器与地球的最短距离大于一定的约束D_MOID；而且这种状态需要保持100年。传统的方法是在航天器上施加脉冲推进，通过改变航天器的切向速度来改变轨道要素。本专利所设计的方法，是采用小推力将该航天器推离原来轨道，并保证在100年之内，不会受到地球引力场的影响而返回地球。针对航天器在三体中的轨道设计问题，本专利采用采用虚拟引力场方法和第三体摄动方法，求解出航天器轨道要素的变化，并判断轨道要素变化是否满足最短距离约束。之后，计算实现航天器轨道机动所需要的推力加速度。进一步，通过设计太阳帆的姿态角，求解电推进所需要的推力大小和变化。最后，通过虚拟引力场参数以及太阳帆的姿态角，求解满足任务约束的最小燃料消耗机动轨道。

具体步骤：

1)虚拟引力场建模：该步骤的目的是将连续小推力非开普勒轨道通过虚拟引力场的方法，解析的表达为开普勒轨道，并推导了实现虚拟引力场所需要的推力。

设定日心引力场引力常数为μ，航天器在地心惯性坐标系下位置矢量为速度矢量为假定在航天器上施加推力加速度为则有：

如图1所示假设地心惯性坐标系为OXYZ，虚拟中心引力场坐标系为O′X′Y′Z′。虚拟引力场和日心引力场中心的位置偏差矢量为虚拟引力场的引力常数为μ_vg，航天器在虚拟引力场中的位置矢量为速度矢量为则在虚拟中心引力场坐标系下有：

假定虚拟引力场和实际引力场中心的位置偏差矢量为航天器在虚拟引力场中的位置和速度矢量为航天器在虚拟引力场坐标系中和地心惯性坐标系中，位置变换关系为在特定虚拟中心引力场中，为定值。地心惯性坐标系下航天器位置和速度与虚拟中心引力场坐标系下位置和速度转化关系为：

由式(2)，式(3)可知，在虚拟中心引力场坐标系下，航天器的运动轨迹为开普勒轨道，其动力学方程可表示为如下形式：

由公式(1)公式(2)可知，实现虚拟中心引力场所需推力可由下式得到，

将式(3)带入式(5)，可得

由上述分析可知，通过调整推力，可形成一种虚拟中心引力场。在该虚拟中心引力场中，航天器运动轨迹为虚拟圆锥曲线。若该虚拟圆锥曲线轨道满足轨道转移约束，则可实现轨道机动。由此即可实现，将在惯性坐标系下的连续小推力的非开普勒轨道转化为虚拟引力场中的开普勒轨道。而通过选择合适的虚拟引力场参数，即可求解出满足轨道边界值约束的转移轨道、转移轨道的解析解以及实现轨道机动所需要的推力。

2)周向力和径向力作用下的动力学建模：该模型的目的是求解航天器在周向力和径向力作用下，航天器轨道参数的变化。在轨道机动过程中，虚拟引力场仅仅能够满足一些轨道拦截条件下的轨道设计；但对于轨道交会等任务，就需要施加周向力和径向力来完成。因此需要对周向力和径向力作用下的轨道参数的变化进行建模。

当航天器在径向推力A_R和周向推力A_θ作用下，二维平面轨道要素的变化为：

μ为日心引力场常数，a,e,w为轨道的半长轴、偏心率以及近地点俯角，E为偏近点角，对上式子积分，可以得到上述轨道要素的增量。上式可以简化为：

其中：

其中E_i,E_f分别为初始时刻的偏近点角和终点时刻的偏近点角。

有上式可知，在已知的周向力和径向力作用下，航天器的轨道要素的变化。如图2所示，结合公式(5)可知，假定航天器在虚拟引力场中的矢径和其在实际引力场中的矢径的夹角为η；虚拟引力场的常数为μ_vg，航天器在虚拟引力场中的矢径为R_{vg_1}；日心引力场常数为μ，航天器在虚拟引力场中的矢径为R₁，则实现虚拟引力场所需要的推力以及虚拟引力场中的径向力和周向力的合力在惯性坐标系下径向和周向的投影为：

3)太阳帆/电推进混合推力动力学建模：该部分建模的目的是，在已知轨道转移所需要的推力大小的情况下，如何设计太阳帆的姿态角以及电推进的推力大小。

采用太阳帆/电推进混合推力实现轨道机动，设定a_HLTP为混合推力加速度，其由径向分量和周向分量组成a_HLTP＝[a_HLTPr,a_HLTPθ]，混合推力的径向分量和周向分量均由两部分组成，第一部分为太阳帆产生的推进(a_ssr,a_ssθ)，第二部分为电推进产生的推进(a_SEPr,a_SEPθ)，如下所示：

太阳帆推进系统采用变反射率太阳帆(RCD)模型，其产生的径向推力和切向推力为：

其中，α为太阳帆的姿态角，μ为日心引力场常数，β为太阳光照因子，η_s为太阳光反射率，u为RCD太阳帆处于两种模态的面积比值，假设全反射光照模态面积为A₁，半反射光照模态面积为A₂，则u是待定设计的自由变量，在公式(11)中，在已知径向推力和周向推力的条件下，需要已知参数u，才能求解姿态角α。在此u是轨道转移角x的二阶多项式函数，如下所示，

u＝cos²(x²/l₁+x/l₂+l₀) (12)

其中，l₀，l₁，l₂为太阳帆姿态角函数的系数。

实现轨道机动的整体推力是由太阳帆和电推进提供，为实现轨道机动所需要的推力，而为太阳帆产生的推力，为电推进产生的推力，则

假设P为电推进的输入功率，则电推进系统的动力学模型如下：

其中，f₂，f₁，f₀以及g₂，g₁，g₀均为数值拟合求出的常值参数，T_SEP，分别为电推进产生的推力和工质的秒流量。为推力的单位矢量，τ为秒流量的单位矢量。

4)第三体引力摄动分析：航天器在三体中受到连续小推力推进运动，其轨道参数的变化可以分为两部分，第一部分，采用虚拟引力场方法求解小推力对轨道参数的变化情况；第二步分是分析第三体引力摄动对航天器轨道参数的变化。步骤4即解决第二部分的问题：推导第三体引力摄动与轨道要素变化之间的关系。

在日-地限制性三体动力学中，假定航天器s/c的矢量参数为(x,y,z)，太阳质量为m₁,地球的质量为m₂,日心引力场常数为μ，无量纲化质量参数为则航天器s/c的动力学方程为：

其中r₁＝[x,y,z]为航天器在日心引力场的位置参数，r₂为航天器离地心的距离参数，则航天器在三体引力场中运动中，其哈密尔顿方程为：

Η＝K+U+Ο(μ²) (16)

其中：K为开普勒项，U为第三体的摄动项，Ο(μ²)为高阶小量；

其中P_x ²,P_y ²,P_z ²为航天器的广义动量，θ为航天器与日心和地心连线的夹角；

假定摄动函数为：

假定航天器的轨道六要素，半长轴，偏心率，轨道倾角，升交点赤经，近地点俯角，平近点角分别为：a,e,i,Ω,ω,M，分别为摄动函数对偏近点角，近地点俯角，升交点赤经以及轨道倾角的偏导数，在此假定日心引力场常数为μ，轨道平均转速率则在第三体的摄动作用下，从时刻t₁到时刻t₂，航天器轨道要素的变化为：

其中摄动函数项对轨道要素偏导数可以用解析解的形式表示出来。第三体的引力摄动对航天器轨道的影响的大小和第三体相对位置有很大的关系。以太阳地球航天器三体系统为例，如图3和图4所示，图3为地球与航天器相对相位角示意图；图4为地球与航天器相对运动相位角的示意图。

5)基于太阳帆/电推进混合推力的三体引力场的最优偏置轨道机动设计轨道边界值约束是航天器与地球的最短距离约束：

D_min＞D_constant (21)

其中D_min为航天器与地球最短距离；D_constant＝6R_E，R_E为地球的半径；

其中航天器和地球的最短距离的计算需要已知轨道参数。而三体引力场中小推力作用下航天器轨道参数的变化可以由步骤1-4得到。在已知轨道参数之后，公式(21)中最短距离的计算方法如下所示，

其中D_min为航天器与地球的最短距离，x₀为航天器在地球轨道平面的内的矢径，a,e,i分别为轨道半长轴，偏心率和轨道倾角，则虚拟引力场参数以及切向力参数的参数范围为：

μ_vg∈[μ_vgL,μ_vgU],r_vg∈[r_vgL,r_vgU]，l₀∈[l_ol,l_ou],l₁∈[l_1l,l_1u],l₂∈[l_2l,l_2u]

其中[μ_vgL,μ_vgU],[r_vgL,r_vgU]，[l_ol,l_ou],l[l_1l,l_1u],[l_2l,l_2u]为六个自变量参数的上下限，为已知常数，由太阳帆和电推进能够产生的最大推力确定。在此设定，μ_vg∈[0.8,1.2]·μ，r_vg∈[-0.2，0.2]AU，l₀∈[0，2π]，l₁∈[0，1]，l₂∈[0，1]，此处AU为地心到日心的距离。

有步骤1)可知，通过优化虚拟引力场参数，可求出大量的满足边界约束的转移轨道，如图3所示。当给定虚拟引力场后，可以求解出实现该虚拟引力场所需要的推力。如公式(9)所示。当给定需要推力之后，需要求解太阳帆和电推进的参数，如公式(11)所示。

如公式(12)所示，通过对多项式的参数进行优化，可以最大限度地增大太阳帆的使用效率，这样就减小了电推进的燃料消耗，进而减小了混合推力的燃料消耗。因此在整个任务中，电推进所需要提供的推力加速度可以表示为：

其中μ_vg,r_vg为虚拟引力场参数，l₀,l₁,l₂为太阳帆姿态角参数；由此可见，轨道优化问题即转化为参数优化问题，该优化问题采用Matlab软件中的Fmincon函数来求解，其中优化的目标函数为转移轨道消耗燃料质量：

J＝min(mass_fuel)＝max(mass_f) (24)

其中，mass_fuel为消耗的燃料质量，mass_f为任务结束时航天器的质量。

Claims (1)

1.日-地三体引力场中的晕轨道航天器偏置轨道设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一：建立虚拟引力场模型，得到虚拟引力场参数与实现该虚拟引力场所需要的推力加速度的关系；

建立虚拟引力场模型具体为：

设定日心引力场引力常数为μ，航天器在地心惯性坐标系下位置矢量为速度矢量为假定在航天器上施加推力加速度为则有：

假设地心惯性坐标系为OXYZ，虚拟中心引力场坐标系为O′X′Y′Z′，虚拟引力场和日心引力场中心的位置偏差矢量为虚拟引力场的引力常数为μ_vg，航天器在虚拟引力场中的位置矢量为速度矢量为则有：

由式(2)、式(3)可知，在虚拟中心引力场坐标系下，航天器的运动轨迹为开普勒轨道，其动力学方程表示为如下形式：

由式(1)、式(2)可知，实现虚拟中心引力场所需推力由下式得到：

将式(3)带入式(5)，得到虚拟引力场模型：

步骤二：建立虚拟引力场下的周向力和径向力作用下的动力学模型，得到在虚拟引力场下周向力和径向力作用下航天器轨道参数变化的关系；

建立虚拟引力场下的周向力和径向力作用下的动力学模型具体为：

当航天器在径向推力A_R和周向推力A_θ作用下，二维平面轨道要素的变化为：

其中，μ为日心引力场常数，a,e,w为轨道的半长轴、偏心率以及近地点俯角，E为偏近点角，式(7)简化为式(8)：

其中：

E_i,E_f分别为初始时刻的偏近点角和终点时刻的偏近点角；

假定航天器在虚拟引力场中的矢径和其在实际引力场中的矢径的夹角为η；虚拟引力场的常数为μ_vg，航天器在虚拟引力场中的矢径为R_{vg_1}；日心引力场常数为μ，航天器在虚拟引力场中的矢径为R₁，则实现虚拟引力场所需要的推力以及虚拟引力场中的径向力和周向力的合力在惯性坐标系下径向和周向的投影为：

步骤三：建立太阳帆/电推进混合推力动力学模型，求解实现给定推力加速度与最优太阳帆姿态角的关系；

具体为：采用太阳帆/电推进混合推力实现轨道机动，设定a_HLTP为混合推力加速度，其由径向分量和周向分量组成a_HLTP＝[a_HLTPr,a_HLTPθ]，混合推力的径向分量和周向分量均由两部分组成，第一部分为太阳帆产生的推进(a_ssr,a_ssθ)，第二部分为电推进产生的推进(a_SEPr,a_SEPθ)，如下所示：

太阳帆推进系统采用变反射率太阳帆模型，其产生的径向推力和切向推力为：

其中，α为太阳帆的姿态角，μ为日心引力场常数，β为太阳光照因子，η_s为太阳光反射率，u为RCD太阳帆处于两种模态的面积比值，假设全反射光照模态面积为A₁，半反射光照模态面积为A₂，则u是待定设计的自由变量，在此u是轨道转移角x的二阶多项式函数，如下所示：

u＝cos²(x²/l₁+x/l₂+l₀) (12)

其中，l₀，l₁，l₂为太阳帆姿态角函数的系数；

实现轨道机动的整体推力是由太阳帆和电推进提供，为实现轨道机动所需要的推力，而为太阳帆产生的推力，为电推进产生的推力，则

假设P为电推进的输入功率，则电推进系统的动力学模型如下：

其中，f₂，f₁，f₀以及g₂，g₁，g₀均为数值拟合求出的常值参数，T_SEP，分别为电推进产生的推力和工质的秒流量，为推力的单位矢量，τ为秒流量的单位矢量；

步骤四：建立第三体引力摄动模型，推导由于第三体引力场摄动而产生的航天器轨道要素的变化；

建立第三体引力摄动模型具体为：

在日-地限制性三体动力学中，假定航天器的矢量参数为(x,y,z)，太阳质量为m₁,地球的质量为m₂,日心引力场常数为μ，无量纲化质量参数为则航天器的动力学方程为：

其中r₁＝[x,y,z]为航天器在日心引力场的位置参数，r₂为航天器离地心的距离参数，则航天器在三体引力场中运动中，其哈密尔顿方程为：

Η＝K+U+Ο(μ²) (16)

其中：K为开普勒项，U为第三体的摄动项，Ο(μ²)为高阶小量；

其中为航天器的广义动量，θ为航天器与日心和地心连线的夹角；

假定摄动函数为：

假定航天器的轨道六要素，半长轴，偏心率，轨道倾角，升交点赤经，近地点俯角，平近点角分别为：a,e,i,Ω,ω,M，分别为摄动函数对偏近点角，近地点俯角，升交点赤经以及轨道倾角的偏导数，在此假定日心引力场常数为μ，轨道平均转速率则在第三体的摄动作用下，从时刻t₁到时刻t₂，航天器轨道要素的变化为：

步骤五：通过步骤一至步骤四所建模型优化设计太阳帆的姿态角，实现最小燃料消耗的轨道机动；

具体如下：该优化问题的轨道边界值约束是航天器与地球的最短距离约束：

D_min＞D_constant (21)

其中D_min为航天器与地球最短距离；D_constant＝6R_E，R_E为地球的半径；

通过步骤一至步骤四得到轨道参数之后，式(21)中航天器与地球的最短距离的计算方法如下所示，

其中，D_min为航天器与地球的最短距离，x₀为航天器在地球轨道平面的内的矢径，a,e,i分别为轨道半长轴，偏心率和轨道倾角，则虚拟引力场参数以及切向力参数的参数范围为：

μ_vg∈[μ_vgL,μ_vgU],r_vg∈[r_vgL,r_vgU]，l₀∈[l_ol,l_ou],l₁∈[l_1l,l_1u],l₂∈[l_2l,l_2u]

其中，[μ_vgL,μ_vgU],[r_vgL,r_vgU]，[l_ol,l_ou],[l_1l,l_1u],[l_2l,l_2u]为六个自变量参数的上下限，为已知常数，由太阳帆和电推进能够产生的最大推力确定，在此设定，μ_vg∈[0.8,1.2]·μ,r_vg∈[-0.2,0.2]AU,l₀∈[0,2π],l₁∈[0,1],l₂∈[0,1]，此处AU为地心到日心的距离；

电推进所需要提供的推力加速度表示为：

其中μ_vg,r_vg为虚拟引力场参数，l₀,l₁,l₂为太阳帆姿态角参数；由此可见，轨道优化问题即转化为参数优化问题，该优化问题采用Matlab软件中的Fmincon函数来求解，其中优化的目标函数为转移轨道消耗燃料质量：

J＝min(mass_fuel)＝max(mass_f) (24)

其中，mass_fuel为消耗的燃料质量，mass_f为任务结束时航天器的质量。