CN107688725A - 一种基于混合Lie算子辛算法的不变流形计算方法 - Google Patents
一种基于混合Lie算子辛算法的不变流形计算方法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明公开了一种基于混合Lie算子辛算法的不变流形计算方法，包括以下步骤：1)能够分解为动能T(p)与势能V(q)的Hamilton系统为：H(p,q)＝T(p)‑V(q)，其中，动能T(p)为关于动量p的正定二次函数，势能V(q)为关于坐标q的函数；2)构造圆型限制性三体问题的Hamilton函数中动能T(p)的Lie算子及势能V(q)的Lie算子B；3)通过动能T(p)的Lie算子及势能V(q)的Lie算子B构建复杂的算子D，再通过复杂的算子D、动能T(p)的Lie算子及势能V(q)的Lie算子构建高阶算法MTGS，然后计算高阶算法MTGS的差分格式，再根据高阶算法MTGS的差分格式计算不变流形的值，该方法能够应用于圆型限制性三体问题中，同时能够通过辛算子求解不变流形。
Description
技术领域
本发明涉及一种不变流形计算方法，具体涉及一种基于混合Lie算子辛算法的不变流形计算方法。
背景技术
平动点是限制性三体问题中的动平衡点，在随两个天体一起旋转的参考系中处于静止状态，它们是几何意义上的点，其本身的应用价值十分有限。真正引人关注的是其周围大量存在的周期轨道，以及与之相联的管状不变流形(包括稳定流形和不稳定流形)。周期轨道是实现某些特殊任务的理想场所，而不变流形则提供了往返于主天体和周期轨道之间的低能耗转移途径。太阳系中不同三体系统平动点周期轨道的不变流形还存在相交的情形，从而拓展了系统间的深空转移轨道设计范围，因此寻找航天器从地球停泊轨道到平动点附近周期轨道的转移轨道显得尤为重要。
因而90年代，Gomez等人引入非线性动力系统理论，利用稳定流形将航天器送到了平动点附近，是转移轨道设计的重大突破。这一发现不但节省了能量也为星际超级公路(IPS)理论的诞生奠定了基础。但是不论日-地系统还是地-月系统，不变流形距离地球都比较远，需要在推力作用下将航天器从地球停泊轨道转移到稳定流形上。由于在优化拼接点时需要计算很多次不变流形如何选取带推力轨道与稳定流形的拼接点是进行低能轨道转移设计的关键。已经有学者对不变流形的计算进行研究，Zhang利用三次回旋插值法计算圆型限制性三体问题不稳定平动点周期轨道的不变流形，Lei利用Lindstedt-Poincaré方法求解了限制性三体和四体平动点周期轨道不变流形的高阶近似解析解，Dellnitz提出了方向集数值计算方法，Howell利用胞映射法描述和存储不变流形的数据，这些计算方法提高了不变流形的计算速度，但是却没有关注不变流形的能量变化。由于圆型限制性三体问题是一个非线性自治哈密顿系统，它没有严格的解析解，而且由于自身的强非线性使得对初值误差十分敏感，有可能一点微小的计算误差将导致微分方程的解大大偏离实际情况。因此需要一个精度高并且保能量的不变流形计算方法。
普通数值解法具有人为耗散性，长时间计算会导致系统总能量的耗散随时间的平方增长。在研究三体问题的过程中，对辛结构的破坏无疑会对动力学特性造成很大影响，使得系统的长期演化不能真实的反映客观事实。辛积分方法由于具有保辛结构和能量守恒两个重要特性，近年来得到了快速发展。而显式辛算法具有比隐式辛算法计算效率高的优势，但其要求Hamilton系统必须可以分成两个可积的部分，旋转坐标系下的圆型限制性三体问题由于Coriolis力的影响，不能像惯性系下的系统一样成为可分系统，因此从形式上看显式差分格式对其不适用。刘林通过将圆型限制性三体问题的Hamilton函数分成动能与势能的和以及由于坐标旋转产生的非惯性力两部分，然后利用算法合成构造差分结构，计算复杂。Wu分析了带有三阶导数项的力梯度辛算法(TGS)在保能量上的优势，但是没有将TGS算法应用在旋转坐标系下的圆型限制性三体问题中，也没有考虑将辛算法用在不变流形的求解上，因此需要设计出一种方法通过辛算法求解不变流形，同时能够应用于圆型限制性三体问题中。
发明内容
本发明的目的在于克服上述现有技术的缺点，提供了一种基于混合Lie算子辛算法的不变流形计算方法，该方法能够通过辛算子求解圆型限制性三体问题，同时能够应用于计算不变流形。
为达到上述目的，本发明所述的基于混合Lie算子辛算法的不变流形计算方法包括以下步骤：
1)能够分解为动能T(p)与势能V(q)的Hamilton系统为：
H(p,q)＝T(p)-V(q)
其中，动能T(p)为关于动量p的正定二次函数，势能V(q)为关于坐标q的函数；
2)构造圆型限制性三体问题的Hamilton函数中动能T(p)的Lie算子及势能V(q)的Lie算子B，其中，
3)通过动能T(p)的Lie算子及势能V(q)的Lie算子构建复杂的算子D，其中，
再通过复杂的算子D、动能T(p)的Lie算子及势能V(q)的Lie算子构建高阶算法MTGS，然后计算高阶算法MTGS的差分格式，再根据高阶算法MTGS的差分格式计算不变流形的值。
高阶算法MTGS的表达式为：
其中，h为积分步长，a＝0.07031087134179426,b＝0.22567322037345600,d＝0.42968912865820600，e＝0.5486535592530870，f＝8.24738475808650700，g＝0.00000616436517893。
高阶算法MTGS的差分格式为：
本发明具有以下有益效果：
本发明所述的基于混合Lie算子辛算法的不变流形计算方法在具体操作时，通过构造圆型限制性三体问题的Hamilton函数中动能T(p)的Lie算子及势能V(q)的Lie算子再根据动能T(p)的Lie算子及势能V(q)的Lie算子构建复杂的算子D，然后再根据复杂的算子D、动能T(p)的Lie算子及势能V(q)的Lie算子构建高阶算法MTGS，从而使高阶算法MTGS含有一阶导数项、二阶导数项和三阶导数项，进而可以解决旋转坐标系下的圆型限制性三体问题，最后再根据高阶算法MTGS求解不变流形。相比于传统的RK45算法，本发明在精度及能量误差两个方面都具有较好的优势，同时能够准确的计算地月圆型限制性三体问题周期轨道的不变流形。
附图说明
图1a为本发明积分一个周期得到的晕轨道在XZ平面内的投影；
图1b为本发明积分一个周期得到的晕轨道在XY平面内的投影；
图1c为RK45算法分一个周期得到的晕轨道在XZ平面内的投影；
图1d为RK45算法积分一个周期得到的晕轨道在XY平面内的投影；
图2a为本发明积分两个周期得到的轨道图；
图2b为RK45算法积分两个周期得到的轨道图；
图3a为本发明给定步长积分40000步的能量误差图；
图3b为RK45算法给定步长积分40000步的能量误差图；
图4a为利用本发明得到的稳定流形图；
图4b为利用本发明得到的不稳定流形图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明做进一步详细描述：
本发明所述的基于混合Lie算子辛算法的不变流形计算方法的具体操作过程为：
步骤1)建立空间圆型限制性三体问题动力学模型
圆型限制性三体问题描述的是：质量为m3的航天器P3在两个绕着他们的质心做匀速圆周运动的质量分别为m1,m2的主天体P1,P2的引力场下运动，且m3＜＜m2＜＜m1，以P1,P2的质心为原点，P1指向P2的方向为x轴，y轴在两个主引力体旋转平面上，z轴垂直于x-y平面，满足右手法则，构建xyz坐标系，设P3在oxy平面运动，为简化模型，对单位进行无量纲化处理，即令引力常量G、P1与P2之间的距离、旋转角速度ω及质量和均为1，因此，P1的质量为1-μ＝m1/(m1+m2)，位置坐标为(-μ,0,0)，P2的质量为μ＝m2/(m1+m2)，位置坐标为(1-μ,0,0)，在此旋转坐标系下航天器的运动方程及Largrange函数分别为：
其中，Ω(x,y,z)为系统的势函数，Ω(x,y,z)的表达式为：
Ω(x,y,z)＝-(1-μ)/r1-μ/r2
其中，r1,r2分别表示航天器到P1,P2之间的距，且
对式(2)进行Legendre变换得
其中，qi,pi(i＝1,2,3)分别为航天器的坐标q＝(x,y,z)及动量p＝(px,py,pz)，则圆型限制性三体问题的Hamilton函数为：
该系统具有Jacobi能量积分：
由哈密顿函数(3)可推导出圆型限制性三体问题的正则方程为：
根据圆型限制性三体问题的正则方程求解周期轨道上的不动点
步骤2)不变流形状的计算方法。
不变流形是与平动点周期轨道光滑连接的一簇空间轨道，航天器在不变流形上可以无动力飞行，因此不变流形可以作为低能轨道转移的通道，在深空探测轨道转移设计中有着重大的应用价值；
将动力学方程(1)在周期轨道上任意一点处进行线性化，则有
其中，A(t)为系统(1)的Jacobi矩阵，为相对于不动点状态的偏移量；
由不动点出发，将积分一个周期后的状态所对应的状态转移矩阵Φ(0,T)称为单值矩阵；周期轨道上不同的不动点对应不同的单值矩阵，每个单值矩阵有一个不稳定的特征根λs(λs>1)及一个稳定的特征根λu＝1/λs(λu>1)，λs(λs>1)及λu＝1/λs(λu>1)分别对应特征向量及它们包含了稳定流形及不稳定流形的方向信息；在不动点上沿特征向量方向增加一个微小状态扰动，可以得到不变流形的积分初值，则不变流形的值为：
其中，为周期轨道上的不动点，ε为微小标量，ε代表扰动的大小，ε取值非常关键，取值过小，流形的计算速度太慢，过大则无法保证其精度，一般取10-6，为特征向量，代表着不变流形的方向。
步骤3)建立改进的基于混合Lie算子的TGS算法。
可以分解为动能T(p)和势能V(q)的Hamilton系统为：
H(p,q)＝T(p)-V(q)
动能T(p)仅为关于动量p的正定二次函数即T(p)＝p2/2，势能V(q)为关于坐标q的函数，且T(p)的Lie算子A及V(q)的Lie算子B分别为：
由于圆型限制性三体问题Hamilton函数分解中类动能T(p)不是动量p的标准二次型，所以具有形式(4)的Lie算子不再适用，将类动能T(p)的Lie算子变为位置与动量的混合型算子则有
将混合型算子作用于式(3)第一个方程的位置坐标及动量，得到微分方程组
该微分方程组的分析解为：
x＝x0cost+y0sint+t(px0cost+py0sint),
y＝y0cost-x0sint+t(py0cost-px0sint),
z＝pz0t,
px＝px0cost+py0sint,
py＝py0cost-px0sint,
pz＝pz0
其中，(x0,y0,z0,px0,py0,pz0)为初始状态，t为积分时间，因此混合算子为可积分的，即上述混合Lie算子是合理的。
利用混合Lie算子和B构造复杂的算子D，其中，
算子D为含有一阶导、二阶导及三阶导数项的算子，算子D可以与混合Lie算子和Lie算子B一起构造高阶算法MTGS；
其中，h为积分步长，a＝0.07031087134179426,b＝0.22567322037345600,d＝0.42968912865820600，e＝0.5486535592530870，f＝8.24738475808650700，g＝0.00000616436517893；
其中，高阶算法MTGS的差分格式为：
q*＝qn-1+ahpn-1
p*＝pn-1+bhf(qn-1)
qn＝q◇+ahpn
再根据高阶算法MTGS的差分格式计算不变流形的值。
由于
因此
表明算子D为两主天体的引力梯度，而不是旋转坐标系所产生的非惯性力与主天体引力的混合梯度。
因此，通过引入混合Lie算子，分解成式(1)的圆型限制性三体问题可以用改进的显式辛算法MTGS进行求解。
实施例一
本发明以地月圆型限制性三体问题为例，验证提出的改进混合Lie算子辛算法，系统的运动学/动力学参数如表1所示，参考图1a、图1b、图1c及图1d，两种算法积分一个周期得到晕轨道，由于积分时间比较短，轨道位置偏移量小，两种算法得到的周期轨道基本重合。图2(a)表明本发明得到的轨道仍然能够闭合，而RK45算法计算得到的轨道图开始偏离周期轨道，本发明与RK45算法的计算结果差异很大；虽然Halo轨道产生偏移的快慢程度与其自身的稳定性也有一定关系，但是，在同样的时间内，以同样的步长计算，不同算法发生偏移的快慢反映了算法的精确度。
参考图3a及图3b，可以看出，当步长取固定值0.001，积分40000步时，本发明的能量误差很小，量级为10-10，虽然RK45算法的初始能量误差比较小，但随着时间的推移能量误差变得越来大，总体上呈现出不断累加增长的趋势。与之相比，本发明的能量误差始终保持在一定范围内。
利用本发明计算由表1所示初始参数得到Halo轨道的不变流形，综合考虑积分时间和积分精度，积分步长取0.0001，积分100000步时，得到的不变流形如图4a及图4b所示。从上面的分析可知利用本发明计算得到的不变流形可以保证在长时间的积分过程中能量误差在很小的范围内，因此在低能轨道转移过程中小推力段和不变流形拼接时拼接点可以实现很精准的能量匹配。
表1
Claims (3)
1.一种基于混合Lie算子辛算法的不变流形计算方法，其特征在于，包括以下步骤：
1)能够分解为动能T(p)与势能V(q)的Hamilton系统为：
H(p,q)＝T(p)-V(q)
其中，动能T(p)为关于动量p的正定二次函数，势能V(q)为关于坐标q的函数；
2)构造圆型限制性三体问题的Hamilton函数中动能T(p)的Lie算子及势能V(q)的Lie算子B，其中，
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3)通过动能T(p)的Lie算子及势能V(q)的Lie算子构建复杂的算子D，其中，
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</mtable>
</mfenced>
再通过复杂的算子D、动能T(p)的Lie算子及势能V(q)的Lie算子构建高阶算法MTGS，然后计算高阶算法MTGS的差分格式，再根据高阶算法MTGS的差分格式计算不变流形的值。
2.根据权利要求1所述的基于混合Lie算子辛算法的不变流形计算方法，其特征在于，高阶算法MTGS的表达式为：
<mfenced open = "" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msup>
<mi>e</mi>
<mrow>
<mi>h</mi>
<mi>W</mi>
</mrow>
</msup>
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<mi>e</mi>
<mrow>
<mi>a</mi>
<mi>h</mi>
<mover>
<mi>A</mi>
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</mover>
</mrow>
</msup>
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<msup>
<mi>e</mi>
<mrow>
<mi>b</mi>
<mi>h</mi>
<mi>B</mi>
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</msup>
<mo>&CircleTimes;</mo>
<msup>
<mi>e</mi>
<mrow>
<mi>d</mi>
<mi>h</mi>
<mover>
<mi>A</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
</mrow>
</msup>
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<mi>e</mi>
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<mi>e</mi>
<mi>h</mi>
<mi>B</mi>
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<mo>+</mo>
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</msup>
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<mtr>
<mtd>
<mrow>
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<mi>e</mi>
<mrow>
<mi>d</mi>
<mi>h</mi>
<mover>
<mi>A</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
</mrow>
</msup>
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<msup>
<mi>e</mi>
<mrow>
<mi>b</mi>
<mi>h</mi>
<mi>B</mi>
</mrow>
</msup>
<mo>&CircleTimes;</mo>
<msup>
<mi>e</mi>
<mrow>
<mi>a</mi>
<mi>h</mi>
<mover>
<mi>A</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
</mrow>
</msup>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
其中，h为积分步长，a＝0.07031087134179426,b＝0.22567322037345600,d＝0.42968912865820600，e＝0.5486535592530870，f＝8.24738475808650700，g＝0.00000616436517893。
3.根据权利要求2所述的基于混合Lie算子辛算法的不变流形计算方法，其特征在于，高阶算法MTGS的差分格式为：
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| CN115130283A (zh) * | 2022-06-13 | 2022-09-30 | 北京工业大学 | 一种在全太阳系星历模型中构建平动点轨道的数值方法 |
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