CN102923324A - 基于不变流形与引力辅助的低能量行星逃逸轨道设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于不变流形与引力辅助的低能量行星逃逸轨道设计方法，特别适合于利用动平衡点的低能量深空探测任务轨道设计，属于航天器轨道机动技术领域。本方法基于近拱点庞加莱映射的分段匹配，首先通过引入近拱点庞加莱映射得到不变流形在近拱点处的轨道状态集；然后，根据实现行星际转移所需逃逸双曲线超速要求，采用数值迭代方法计算轨道状态集中不变流形每一分支应施加的机动脉冲，通过机动脉冲大小对比可以确定燃料最省逃逸对应的不变流形分支和需要的机动脉冲；具有算法简单、计算效率高等优点，能够为精确设计提供合理可行的初值猜测。

Description

基于不变流形与引力辅助的低能量行星逃逸轨道设计方法

技术领域

本发明涉及一种基于不变流形与引力辅助的低能量行星逃逸轨道设计方法，特别适合于利用动平衡点的低能量深空探测任务轨道设计，属于航天器轨道机动技术领域。

背景技术

三体动力学系统中动平衡点及附近的周期轨道因其特殊的位置和动力学特性在空间探测任务中具有重要的应用价值，截止目前全球已成功实施了多次动平衡点轨道任务，例如ISEE-3、SOHO、Genesis等。近些年一些学者提出可将动平衡点作为深空探测中继站的构想，这为低能量实现深空探测提供了新的转移方式。由出发星附近动平衡点周期轨道向深空逃逸的轨道设计是该类型转移方式应用的一个重要基础，目前对这一问题的研究较少，且多集中于直接转移或利用不变流形直接逃逸出发行星引力场的方式。由于太阳—行星系统的质量比通常较小，单纯借用不变流形对逃逸探测器飞行轨迹进行改变的效果不明显，无法达到有效降低燃料消耗的作用，同时还大大延长了飞行时间。若同时利用不变流形和行星引力辅助则可以大幅度的降低探测器由周期轨道逃逸出发行星的燃料消耗，达到进行行星际转移所应具备的能量。然而，在三体动力学系统下，探测器在行星附近的轨道动力学非线性很强，采用传统的轨道动力学方法对逃逸轨道进行设计异常困难。如何选择合适的不变流形分支，计算机动点的需要施加的速度脉冲，即发展一种可靠有效的从周期轨道实现行星逃逸的轨道设计方法是当前需要解决的热点问题。

在已发展的低能量行星逃逸轨道设计方法中，在先技术[1](Alonso G.P.The design of system-to-system transfer arcs using invariantmanifolds in the multi-body problem[D].Purdue University,Indiana,USA.2006.），针对日地系统Halo轨道至日火系统Halo轨道间的脉冲转移轨道设计问题，给出了一种直接借助不变流形的转移轨道设计方法。在地球逃逸阶段，根据Halo轨道不变流形与火星轨道的接近程度选择合适的流形分支，然后根据日心轨道二体能量的变化选取出在不变流形上的机动位置和需要施加的速度脉冲。该方法只是针对于单纯借助不变流形逃逸地球引力场这一问题研究的，无法适用于结合不变流形与行星引力辅助的低能量逃逸轨道。

在先技术[2]（Nakamiya M.,Yamakawa H.and Scheeres D.J.,Yoshikawa M.Interplanetary Transfers Between Halo Orbits:Connectivity Between Escape and Capture Trajectories [J].Journal ofGuidance,Control and Dynamics,2010,33(3):803-813.）,针对日地Halo轨道向日火Halo轨道转移问题，采用了结合不变流形与行星引力辅助的地球逃逸和火星俘获策略实现转移。该技术中只是对这一类型的转移方式的性质进行了分析，对地球逃逸和火星俘获需要的燃料消耗进行了初步评估，并未给出具体的流形分支选择和速度脉冲计算方法，无法用于实际的低能量行星逃逸轨道的设计问题。

发明内容

本发明针对现有技术无法实现燃料最省、不变流形分支选择和机动脉冲计算等问题，提出了一种基于不变流形与引力辅助的低能量行星逃逸轨道设计方法。

本方法基于近拱点庞加莱映射的分段匹配，适合于基于不变流形与引力辅助的低能量行星逃逸轨道设计问题。首先通过引入近拱点庞加莱映射得到不变流形在近拱点处的轨道状态集；然后，根据实现行星际转移所需逃逸双曲线超速要求，采用数值迭代方法计算轨道状态集中不变流形每一分支应施加的机动脉冲，通过机动脉冲大小对比可以确定燃料最省逃逸对应的不变流形分支和需要的机动脉冲。

本发明方法的技术方案是通过如下步骤实现的：

步骤1，行星周围近拱点计算

由于在行星周围近拱点处改变轨道的能力最强，故逃逸点选在近拱点达到消耗较少的燃料完成逃逸的目的。为完整描述不变流形在行星周围的近拱点，引入近拱点庞加莱映射。

旋转坐标系下，令χ=[x-1+μ,y]表示航天器相对于行星的位置矢量，μ为太阳-行星三体模型中的质量比，则航天器处于近拱点的约束表示为：

$\mathrm{\χ}{\stackrel{\·}{\mathrm{\χ}}}^T=0,\stackrel{\·}{\mathrm{\χ}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\χ}}}^T+\mathrm{\χ}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\χ}}}^T\≥0$

在航天器所处Lyapunov轨道上均匀取点，并计算各点接近地球的不稳定流形所对应的摄动。给定逃逸轨道的最大时间，对施加摄动后各个点的状态进行时间积分，当满足近拱点的约束时记录该点为近拱点。由此得到不变流形在行星周围的多个近拱点。

所述旋转坐标系的原点位于太阳和行星的共同质心上,x轴由太阳指向行星,y轴指向行星速度方向。

步骤2，近拱点逃逸所需速度增量计算

逃逸的目标为对探测器在逃逸位置r₁施加脉冲使探测器速度变为v₁，并最终达到双曲超速v_∞。根据近拱点状态与所需双曲超速，将不变流形近拱点的位置和速度矢量转换至速度坐标系中，建立速度坐标系下的逃逸双曲轨道所满足的非线性方程：

$g=\left|\right|r_1\left|\right|-\frac{{\mathrm{\μ}}_P(e^2-1)}{{\left|\right|v_{\∞}\left|\right|}^2(1+e\cos f)}=0$

其中：μ_P为行星的引力常数，e为双曲线轨道的偏心率，令逃逸双曲线近拱点处的位置矢量和速度矢量分别为r₀和v₀，双曲超速与r₀和r₁的夹角分别为η和α，取值范围均为[0,2π]，f=η-α为r₁在双曲线轨道上对应的真近点角。

所述速度坐标系的原点处于行星质心上，t轴指向双曲超速方向，在轨道面内将t轴顺时针旋转90°得到s轴。

通过牛顿迭代法求得η，迭代过程为

$\mathrm{\η}=\mathrm{\η}-{\left(\frac{\mathrm{dg}}{\mathrm{d\η}}\right)}^{-1}g$

其中:

$\frac{\mathrm{dg}}{\mathrm{d\η}}={\mathrm{\μ}}_P\frac{{\left|\right|v_{\∞}\left|\right|}^2(\cos f\frac{\mathrm{de}}{\mathrm{d\η}}-e\sin f\frac{\mathrm{df}}{\mathrm{d\η}})-2e\frac{\mathrm{de}}{\mathrm{d\η}}}{{\left|\right|v_{\∞}\left|\right|}^4{(1+e\cos f)}^2}$

$\frac{\mathrm{de}}{\mathrm{d\η}}=\frac{\sin \mathrm{\η}}{{\cos }^2\mathrm{\η}},\frac{\mathrm{df}}{\mathrm{d\η}}=1$

由于双曲线偏心率大于1，故η的取值范围为

其中(π/2,π)对应顺行双曲线轨道，而(π,3π/2)对应逆行双曲线轨道。在取值范围内任意选取η的初值，当迭代的结果不在η的取值范围内时更改η的取值，重复迭代过程直至满足任务设计所需的精度条件。

在一些点存在着角动量相反的两条双曲线满足上述方程，即在两个开区间内都存在对应的解。其中与初始点角动量相反的双曲线需要较大的速度增量，故仅需要考虑与初始点角动量相同的双曲线。由此可知，若航天器在近拱点处角动量为正，则η的取值范围为(π,3π/2)，若航天器在近拱点处角动量为负，则η的取值范围为(π/2,π)。

利用牛顿迭代得到η后，求解速度v₁

$v_1=\sqrt{\frac{{\mathrm{\μ}}_P}{a(e^2-1)}}[-\sin f\·p+(\cos f+e)\·q]$

其中a=μ/||v_∞||²，p和q分别为双曲线近拱点处位置和速度方向单位矢量。

令r₁处初始的速度为v_i，则逃逸的速度增量Δv为

Δv=v₁-v_i

再将速度脉冲Δv转换至旋转坐标系中。

步骤3，选取逃逸轨道

采用步骤2的方法计算步骤1得到的所有近拱点处逃逸所需的速度增量，平衡速度增量的大小和到达近拱点的时间t进行逃逸轨道的选取，目标函数为

f=k₁|Δv|+k₂t→min

其中k₁和k₂为参数的权重，根据任务需求确定。若只考虑速度增量最小时，k₁=1，k₂=0。

利用目标函数选取最佳的逃逸近拱点及相应的速度脉冲，完成了基于不变流形与引力辅助的低能量行星逃逸轨道设计。

有益效果

本发明提供了一种计算简单的不变流形分支选择方法和机动脉冲计算方法，具有算法简单、计算效率高等优点，适用于基于不变流形与引力辅助的低能量行星逃逸轨道初始设计。

该方法通过引入近地点庞加莱映射完整的描述了不变流形在行星周围近拱点的分布；采用三体轨道拼接及双曲线逼近逃逸轨道的策略简化了逃逸轨道的设计，并推导得出了任意位置为达到给定双曲超速所需施加脉冲的计算方法，该方法利用简单的Newton迭代求解，有效提高了设计效率；通过比较近拱点所需脉冲的大小，快速的选择出最优的逃逸轨道。该方法提供了借用不变流形与引力辅助进行低能量行星逃逸的全局选择方法，能够为精确设计提供合理可行的初值猜测。

附图说明

图1为本发明方法的流程图；

图2为具体实施方式中基于不变流形与引力辅助的低能量行星逃逸轨道示意图；

图3为具体实施方式中双曲线逃逸轨道示意图；

图4为具体实施方式中实施实例的逃逸轨道示意图；

标号说明：1-Lyapunov轨道，2-逃逸轨道，3-地球，4-不稳定流形，5-逃逸脉冲，6-影响球边界。

具体实施方式

为了更好的说明本发明的目的和优点，下面结合附图和实施例对本发明内容作进一步说明。

平面三体模型下，基于不变流形与引力辅助的低能量行星逃逸轨道如图2所示：探测器首先离开周期轨道沿不稳定流形接近出发星，在合适的位置施加脉冲离开流形，从而在逃逸行星影响球时达到所需要的双曲超速。设计最优逃逸轨道要求寻找所需脉冲最小的流形及逃逸点。

利用不变流形与引力辅助的低能量行星逃逸轨道设计方法分为行星周围近拱点计算、近拱点所需逃逸脉冲计算、逃逸轨道选取三个部分，具体流程如图1所示。

1）行星周围近拱点计算

在周期轨道上取点，并积分各点对应接近行星的不稳定流形，利用近拱点庞加莱映射求得流形上各轨道的近拱点状态。

2）近拱点所需逃逸脉冲计算

不变流形的近拱点分布非常广泛。为选择出合适的逃逸流形分支，下面计算由近拱点达到一定双曲超速所需速度增量。由于逃逸速度增量施加后探测器处于行星附近的时间很短，利用双曲线近似逃逸点到影响球边界的轨道段引入误差不大。双曲线逃逸轨道如图3所示，为使探测器由位置r₁逃逸达到双曲超速v_∞，需要在r₁处施加脉冲使探测器速度变为v₁。

为计算所需施加的脉冲，定义速度坐标系如图3所示：原点处于行星质心上，t轴指向双曲超速方向，在轨道面内将t轴顺时针旋转90°得到s轴。令逃逸双曲线近拱点处的位置矢量和速度矢量分别为r₀和v₀，双曲超速与r₀和r₁的夹角分别为η和α，取值范围均为[0,2π]，则该双曲轨道满足的方程可以表示为

$g=\left|\right|r_1\left|\right|-\frac{{\mathrm{\μ}}_P(e^2-1)}{{\left|\right|v_{\∞}\left|\right|}^2(1+e\cos f)}=0$

采用Newton迭代对方程进行求解，迭代公式为

$\mathrm{\η}=\mathrm{\η}-{\left(\frac{\mathrm{dg}}{\mathrm{d\η}}\right)}^{-1}g$

当满足迭代精度时可得到双曲线的参数，并利用下式求解近拱点在双曲线上的速度

$v_1=\sqrt{\frac{{\mathrm{\μ}}_P}{a(e^2-1)}}[-\sin f\·p+(\cos f+e)\·q]$

得到的速度v₁减去近拱点原有的速度v_i即得到逃逸的速度增量

Δv=v₁-v_i

3）逃逸轨道选取

采用上一步的方法计算所有得到的近拱点处所需的速度增量，平衡速度增量的大小和到达近拱点的时间t进行逃逸轨道的选取，目标函数取为

f=k₁|Δv|+k₂t→min

其中k₁和k₂为参数的权重，考虑速度增量最小时，k₁=1，k₂=0。

利用上述目标函数选取得到最佳的逃逸近拱点及相应的脉冲，即完成了结合不变流形与引力辅助的低能量行星逃逸轨道设计。

为验证本发明方法的有效性，对航天器由地球L₁点Lyapunov轨道向外逃逸轨道进行设计。Lyapunov轨道的横向幅值为a_x=1×10⁵km，逃逸双曲超速的大小为2.9447km/s，方向与地球速度方向相同，设计要求航天器所需速度增量最少。设计结果如表1及图4所示，表中同时给出了借用流形转移的设计结果。由表中可以看出，本发明方法可快速的找寻到合适的逃逸轨道。相比于直接借用流形进行转移，借助了引力辅助的转移轨道可以有效的减少燃料消耗。

表1地-火转移轨道设计结果

Claims (4)

1.基于不变流形与引力辅助的低能量行星逃逸轨道设计方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1，逃逸点选在近拱点，采用庞加莱映射计算得到多个行星周围近拱点：

旋转坐标系下，令χ=[x-1+μ,y]表示航天器相对于行星的位置矢量，μ为太阳-行星三体模型中的质量比，则航天器处于近拱点的约束表示为：

$\mathrm{\χ}{\stackrel{\·}{\mathrm{\χ}}}^T=0,\stackrel{\·}{\mathrm{\χ}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\χ}}}^T+\mathrm{\χ}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\χ}}}^T\≥0$

在航天器所处Lyapunov轨道上均匀取点，计算各点接近地球的不稳定流形所对应的摄动；给定逃逸轨道的最大时间，对施加摄动后各个点的状态进行时间积分，当满足近拱点的约束时记录该点为近拱点；

步骤2，计算近拱点逃逸所需速度增量

根据近拱点状态与所需双曲超速，将不变流形近拱点的位置和速度矢量转换至速度坐标系中，建立速度坐标系下的逃逸双曲轨道所满足的非线性方程：

$g=\left|\right|r_1\left|\right|-\frac{{\mathrm{\μ}}_P(e^2-1)}{{\left|\right|v_{\∞}\left|\right|}^2(1+e\cos f)}=0$

其中：r₁为探测器在逃逸位置，v_∞为最终达到的双曲超速；μ_P为行星的引力常数，e为双曲线轨道的偏心率，令逃逸双曲线近拱点处的位置矢量和速度矢量分别为r₀和v₀，双曲超速与r₀和r₁的夹角分别为η和α，取值范围均为[0,2π]，f=η-α为r₁在双曲线轨道上对应的真近点角；

通过牛顿迭代法求得η，迭代过程为

$\mathrm{\η}=\mathrm{\η}-{\left(\frac{\mathrm{dg}}{\mathrm{d\η}}\right)}^{-1}g$

其中:

$\frac{\mathrm{dg}}{\mathrm{d\η}}={\mathrm{\μ}}_P\frac{{\left|\right|v_{\∞}\left|\right|}^2(\cos f\frac{\mathrm{de}}{\mathrm{d\η}}-e\sin f\frac{\mathrm{df}}{\mathrm{d\η}})-2e\frac{\mathrm{de}}{\mathrm{d\η}}}{{\left|\right|v_{\∞}\left|\right|}^4{(1+e\cos f)}^2}$

$\frac{\mathrm{de}}{\mathrm{d\η}}=\frac{\sin \mathrm{\η}}{{\cos }^2\mathrm{\η}},\frac{\mathrm{df}}{\mathrm{d\η}}=1$

在取值范围

内任意选取η的初值，当迭代的结果不在η的取值范围内时更改η的取值，重复迭代过程直至满足任务设计所需的精度条件；

利用牛顿迭代得到η后，求解探测器速度v₁

$v_1=\sqrt{\frac{{\mathrm{\μ}}_P}{a(e^2-1)}}[-\sin f\·p+(\cos f+e)\·q]$

其中a=μ/||v_∞||²，p和q分别为双曲线近拱点处位置和速度方向单位矢量；

令r₁处初始的速度为v_i，则逃逸的速度增量Δv为

Δv=v₁-v_i

再将速度脉冲Δv转换至旋转坐标系中；

步骤3，选取逃逸轨道

采用步骤2的方法计算步骤1得到的所有近拱点处逃逸所需的速度增量，选取速度增量的大小和到达近拱点的时间t作为逃逸轨道选取的目标函数：

f=k₁|Δv|+k₂t→min

其中k₁和k₂为参数的权重；

利用目标函数选取最佳的逃逸近拱点及相应的速度脉冲，完成基于不变流形与引力辅助的低能量行星逃逸轨道设计。

2.根据权利要求1所述的基于不变流形与引力辅助的低能量行星逃逸轨道设计方法，其特征在于：选取逃逸轨道时只考虑速度增量最小，则k₁=1，k₂=0。

3.根据权利要求1所述的基于不变流形与引力辅助的低能量行星逃逸轨道设计方法，其特征在于：若航天器在近拱点处角动量为正，则η的取值范围为(π,3π/2)，对应逆行双曲线轨道；若航天器在近拱点处角动量为负，则η的取值范围为(π/2,π)，对应顺行双曲线轨道。

4.根据权利要求1所述的基于不变流形与引力辅助的低能量行星逃逸轨道设计方法，其特征在于：所述速度坐标系的原点处于行星质心上，t轴指向双曲超速方向，在轨道面内将t轴顺时针旋转90°得到s轴；所述旋转坐标系的原点位于太阳和行星的共同质心上,x轴由太阳指向行星,y轴指向行星速度方向。

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