CN105329464A - 一种基于平衡点周期轨道的行星低能量捕获轨道方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开的一种基于平衡点周期轨道的行星低能量转移轨道方法，涉及一种捕获轨道方法，属于航空航天技术领域。本发明利用太阳-行星-探测器三体系统下的平衡点、周期轨道及不变流形特征实现探测器被行星捕获。首先在相对行星较低的近心点高度下施加一次机动进入三体系统下的稳定流形，并沿流形无动力滑行至周期轨道作为停泊轨道。然后利用周期轨道的不稳定流形到达行星附近，选择一条近心点高度与目标轨道相同的不稳定流形，在到达近心点时施加第二次机动实现最终行星捕获。本发明所需速度增量小，灵活性高，适用于不同行星的轨道捕获，同时可利用周期轨道的特性在捕获过程中对行星实现观测，增加了探测任务对行星观测的数据。

Description

一种基于平衡点周期轨道的行星低能量捕获轨道方法

技术领域

本发明涉及一种行星捕获轨道方法，涉及一种探测器行星际轨道到达目标行星附近被行星捕获进入任务轨道时的捕获轨道方法，属于航空航天技术领域。

背景技术

行星探测是深空探测的重要领域之一。对行星的环绕探测是行星探测的重要手段和主要途径，需要探测器经过星际航行后到达目标天体附近，并被行星捕获形成环绕轨道。其中能否成功被目标行星俘获将决定探测任务的成败和探测质量。

目前对于行星转移轨道设计的主要包括近心点直接制动转移方法,以及利用大气阻力的转移方法，在先技术[1](参见HowardD.Curtis.OrbitalMechanicsforEngineeringStudents[M].Butterworth-Heinemann,Boston,2005)给出基于近心点直接捕获的轨道设计方法，当探测器沿相对目标行星的双曲线轨道到达近心点时施加机动实现行星捕获形成环绕轨道，通常选择双曲线轨道的近心点为环绕轨道的近心点。该捕获轨道方法所需的时间很短且操作简单，但所需的速度增量需求较大，且针对近心点较高的任务轨道捕获效率低。

在先技术[2](参见DavidM.C.,JamesO.A.TechnologiesofAerobraking[R].NASATechnicalMemorandum102854,1991March.)给出采用气动力实现行星际转移的轨道设计方法。通过行星的大气阻力降低代替发动机制动，通常选择探测器的双曲线轨道的近心点位于行星大气层内，通过一次或多次穿越大气层，实现探测器近心点速度的降低，从而降低轨道的远心点。当轨道的远心点与任务轨道相同时，施加一次机动抬高近心点，实现探测器向任务轨道的转移。采用气动捕获可大幅减少燃料的消耗，但所需的时间较长。采用气动转移，对探测器的热防护性能要求高，同时要求较高精度的导航制导能力。且转移轨道设计受大气层密度的影响较大，需要较精确的大气数据，目前应用较少。

发明内容

本发明公开的一种基于平衡点周期轨道的行星低能量转移轨道方法要解决的技术问题是，提供一种所需速度增量小、灵活性高、适用于不同行星的捕获轨道方法。

本发明公开的一种基于平衡点周期轨道的行星低能量转移轨道方法，利用太阳-行星-探测器三体系统下的平衡点、周期轨道及不变流形特征实现探测器被行星捕获的过程。探测器首先在相对行星较低的近心点高度下施加一次机动进入太阳-行星-探测器三体系统下的稳定流形，并沿流形无动力滑行至周期轨道作为停泊轨道。然后利用周期轨道的不稳定流形到达行星附近，选择一条近心点高度与目标轨道相同的不稳定流形，在探测器到达近心点时施加第二次机动实现最终行星捕获。

本发明利用了太阳-行星-探测器三体系统独有的周期轨道和不变流形的性质，属于低能量捕获轨道，具有所需速度增量小，灵活性高，适用于不同行星的轨道捕获的特点，同时可利用周期轨道的特点在捕获过程中对行星实现观测，增加了探测任务对行星观测的数据。

本发明的目的是通过下述技术方案实现的：

本发明公开的一种基于平衡点周期轨道的行星低能量转移轨道方法，包括如下步骤：

步骤一：在太阳-行星质心旋转系下建立探测器运动方程，确定行星-太阳-探测器三体系统平衡点位置。

选择太阳-行星系统的质心作为原点建立坐标系，选择X轴为太阳与行星连线方向，由太阳指向行星，Z轴为系统旋转的角速度方向，Y轴与X，Z轴垂直构成右手坐标系。

探测器在该系统下的运动方程表示为，

$\{\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{x}-2\stackrel{\·}{y}=x-\frac{(1-\mathrm{\μ})(x+\mathrm{\μ})}{r_1^3}-\frac{\mathrm{\μ}(x-1+\mathrm{\μ})}{r_2^3}\\ \stackrel{\·\·}{y}+2\stackrel{\·}{x}=y-\frac{(1-\mathrm{\μ})y}{r_1^3}-\frac{\mathrm{\μ}y}{r_2^3}\\ \stackrel{\·\·}{z}=-\frac{(1-\mathrm{\μ})z}{r_1^3}-\frac{\mathrm{\μ}z}{r_2^3}\end{array}---\left(1\right)$

其中μ＝m₂/(m₁+m₂)表示系统的质量系数，m₁为太阳的质量，m₂为行星的质量， $r_1=\sqrt{{(x+\mathrm{\μ})}^2+y^2+z^2}$ 为探测器与太阳的距离， $r_2=\sqrt{{(x-1+\mathrm{\μ})}^2+y^2+z^2}$ 为探测器与行星的距离。

在行星-太阳-探测器三体系统与日-地系统一样存在五个动力学平衡点(探测器相对行星位置保持不变的点)，所述的五个动力学平衡点分别为L1、L2、L3、L4、L5，即三个共线的动平衡点L1、L2、L3和两个三角动平衡点L4、L5。在质心旋转系下三个共线平衡点的位置分别为，

L1平衡点：

L2平衡点：

L3平衡点：

两个三角平衡点的位置分别为：

L4平衡点：

L5平衡点：

由于步骤一建立的探测器的运动方程是建立在太阳-行星系统下的，捕获轨道同时考虑太阳和行星的引力作用，相比仅利用行星引力作用的近心点捕获所需速度增量小，进而节省燃料。

步骤二：确定行星-太阳-探测器三体系统下的周期轨道和不变流形。

共线平衡点L1，L2，L3点为不稳定平衡点，不稳定平衡点附近的存在多族周期轨道，所述的多族周期轨道均可作为停泊轨道。

平衡点附近的线性化运动方程描述为：

$\{\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ξ}}-2\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}-(1+2c_2)\mathrm{\ξ}=\frac{\∂}{\∂\mathrm{\ξ}}\underset{n\≥3}{\Σ}{c}_n\left(\mathrm{\μ}\right){\mathrm{\ρ}}^n{P}_n\left(\frac{\mathrm{\ξ}}{\mathrm{\ρ}}\right)\\ \stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}+2\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}+(c_2-1)\mathrm{\η}=\frac{\∂}{\∂\mathrm{\η}}\underset{n\≥3}{\Σ}{c}_n\left(\mathrm{\μ}\right){\mathrm{\ρ}}^n{P}_n\left(\frac{\mathrm{\ξ}}{\mathrm{\ρ}}\right)\\ \stackrel{\·\·}{\mathrm{\ζ}}+c_2\mathrm{\ζ}=\frac{\∂}{\∂\mathrm{\ζ}}\underset{n\≥3}{\Σ}{c}_n\left(\mathrm{\μ}\right){\mathrm{\ρ}}^n{P}_n\left(\frac{\mathrm{\ξ}}{\mathrm{\ρ}}\right)\end{array}---\left(2\right)$

其中，ρ²＝x²+y²+z²，c₂(μ)、c_n(μ)为仅与系统的质量系数的常数，表示为： $c_2^{.}=\frac{1}{{\mathrm{\γ}}^3}\[\mathrm{\μ}+(1-\mathrm{\μ})\frac{{\mathrm{\γ}}^3}{{(1+\mathrm{\γ})}^3}\],c_n\left(\mathrm{\μ}\right)=\frac{1}{{\mathrm{\γ}}^3}\[{(-1)}^n\mathrm{\μ}+{(-1)}^n(1-\mathrm{\μ}){\left(\frac{\mathrm{\γ}}{1+\mathrm{\γ}}\right)}^{n+1}\],n\≥3;$ γ为平衡点与行星的距离；p_n为n阶Legendre多项式。平衡点附近运动的线性项表示为，

$\{\begin{array}{c}\mathrm{\ξ}\left(t\right)=\mathrm{\α}cos({\mathrm{\ω}}_{p}t+{\mathrm{\φ}}_1)\\ \mathrm{\η}\left(t\right)=\mathrm{\κ}\mathrm{\α}sin({\mathrm{\ω}}_{p}t+{\mathrm{\φ}}_1)\\ \mathrm{\ζ}\left(t\right)=\mathrm{\β}\cos ({\mathrm{\ω}}_{v}t+{\mathrm{\φ}}_2)\end{array}---\left(3\right)$

其中,ω_p、ω_v分别为平面和垂直运动的频率，κ为常数；α、β分别为周期轨道平面内和垂直平面的振幅；φ₁、φ₂为相位。根据公式(3)能够得到周期轨道的初值ξ_、η_、ζ_、 通过微分修正算法能够获得周期轨道的精确值。选择不同的α、β取值能够得到不同振幅的周期轨道。

利用周期轨道相对行星的位置基本保持不变的性质进行行星的定点探测。同时周期轨道存在稳定流形和不稳定流形，探测器沿稳定流形方向无动力运动进入周期轨道，而沿不稳定流形方向施加扰动后探测器会逐渐远离周期轨道。稳定和不稳定流形的初始状态能够由公式(4)确定。

X^u±＝X±εη^u

X^s±＝X±εη^s(4)

其中η^u为不稳定特征向量，η^s为稳定特征向量，X为周期轨道上任意点，选取所述周期轨道上的任意点为初始点，初始点X与平衡点的连线在XY平面的投影与X轴的夹角为辐角θ。周期轨道的稳定流形和不稳定流形各存在两支，选择靠近行星的一支稳定流形和不稳定流形的初始状态进行积分。

步骤三：根据目标任务轨道确定不稳定流形的近心点高度，选定周期轨道的振幅α_、β和不稳定流形初始点X^u±对应的辐角θ_u。

对不稳定流形初始状态积分，定义令q为不稳定流形相对行星的位置矢量，为不稳定流形相对行星的速度矢量，则不稳定流形相对行星的径向速度为径向加速度为根据近心点的定义，需满足条件公式(5)，

$\{\begin{array}{c}q{\stackrel{\·}{q}}^T=0\\ {\stackrel{\·}{q}}^2+q{\stackrel{\·\·}{q}}^T>0\end{array}---\left(5\right)$

根据公式(5)计算不稳定流形的近心点位置以及近心点高度r_pu。

根据目标任务轨道的轨道近心点高度r_t，确定合适的周期轨道振幅α、β和不稳定流形初始点对应的辐角θ_u，使得到的一条不稳定流形的近心点高度r_pu与目标轨道近心点高度r_t相同，得到不稳定流形的周期轨道为捕获过程中的中间停泊轨道。由于行星-太阳-探测器三体系统的非线性特点，同一目标轨道约束下能够找到多组符合条件的周期轨道振幅α、β和初始点辐角θ_u，因此可以获得多条捕获轨道，灵活性高。不稳定流形在近心点的速度为v_pu。

步骤四：确定稳定流形初始点X^s±对应的辐角θ_s。

对步骤三确定振幅α、β的停泊轨道不同辐角计算稳定流形，并逆时间积分至行星近心点，确定近心点高度，选择近心点高度最低的一条稳定流形作为捕获过程中的转移轨道，近心点高度为r_ps，近心点速度为v_ps，对应的稳定流形初始点辐角为θ_r。

步骤五：探测器在近心点施加第一次机动，由双曲线轨道进入稳定流形，并到达停泊轨道。

当探测器以双曲线轨道接近行星时，选择双曲线轨道的近心点高度为r_ps。探测器在轨道的近心点施加第一次机动，进入稳定流形，并沿稳定流形无动力滑行至周期轨道作为停泊轨道。探测器第一次施加的脉冲大小为，

${\mathrm{\Δv}}_1=\sqrt{v_{\mathrm{\∞}}^2+\frac{2{\mathrm{\μ}}_m}{r_0}}-v_{ps}---\left(6\right)$

其中v_∞为探测器接近行星时的双曲线剩余速度，μ_m＝GM为行星的引力系数，能够由行星的质量M和万有引力常数G得到。

步骤六：探测器在停泊轨道运行至辐角θ_s时施加小扰动，进入不稳定流形。施加的小扰动相对于第一机动，第二次机动的大小可以忽略不计。

步骤七：探测器沿不稳定流形到达相对行星的近心点时施加第二次机动，进入目标任务轨道，最终实现轨道捕获。施加第二次机动的大小为，

${\mathrm{\Δv}}_2=v_{pu}-\sqrt{\frac{(1+e_t){\mathrm{\μ}}_m}{r_t}}---\left(7\right)$

其中r_t为任务轨道的近心点高度，e_t为任务轨道的偏心率，v_ps为不稳定流形的近心点速度。

有益效果：

1、本发明公开的一种基于平衡点周期轨道的行星低能量捕获轨道方法，由于该方法建立的行星-太阳-探测器三体系统中，利用了行星-太阳-探测器三体系统独有的周期轨道和不变流形的性质，捕获过程同时考虑太阳和行星的引力作用，相比仅利用行星引力作用的近心点捕获速度增量小，进而节省燃料。

2、本发明公开的一种基于平衡点周期轨道的行星低能量捕获轨道方法，根据不同的任务轨道要求可以找到多组符合条件的周期轨道振幅α、β和初始点辐角θ_u，因此可以获得多条捕获轨道，灵活性高。

3、本发明公开的一种基于平衡点周期轨道的行星低能量捕获轨道方法，捕获过程选择平衡点附近周期轨道作为停泊轨道。周期轨道相对行星的位置基本保持不变，可以用于行星的探测，增加探测任务对行星观测的数据。

附图说明

图1是本发明的一种基于平衡点周期轨道的行星低能量捕获轨道方法的示意图；

图2是本发明的一种基于平衡点周期轨道的行星低能量捕获轨道方法的流程图；

图3是本发明实例步骤一太阳-火星系统的平衡点示意图；

图4是本发明实例步骤二周期轨道稳定、不稳定流形示意图；

图5是本发明实例步骤二稳定/不稳定流形初始点定义图；

图6是本发明实例步骤四选择的停泊轨道轨道图。

具体实施方式

为了更好的说明本发明的目的和优点，下面结合附图和实例对发明内容做进一步说明。

为了验证方法的可行性，选择火星作为捕获天体，考虑探测器被火星捕获的捕获轨道。假设探测器接近火星的双曲线剩余速度v_∞＝2.5km/s，目标轨道的轨道高度选择为目标轨道高度偏心率e_t＝0的圆轨道。

如图2所示，本发明公开的一种基于平衡点周期轨道的行星低能量捕获轨道方法，包括如下步骤：

本发明公开的一种基于平衡点周期轨道的行星低能量转移轨道方法，包括如下步骤：

步骤一：在太阳-火星质心旋转系下建立探测器运动方程，确定太阳-火星-探测器三体系统平衡点位置。

选择太阳-火星系统的质心作为原点建立坐标系，选择X轴为太阳与火星连线方向，由太阳指向火星，Z轴为系统旋转的角速度方向，Y轴与X，Z轴垂直构成右手坐标系。

探测器在该系统下的运动方程表示为，

$\{\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{x}-2\stackrel{\·}{y}=x-\frac{(1-\mathrm{\μ})(x+\mathrm{\μ})}{r_1^3}-\frac{\mathrm{\μ}(x-1+\mathrm{\μ})}{r_2^3}\\ \stackrel{\·\·}{y}+2\stackrel{\·}{x}=y-\frac{(1-\mathrm{\μ})y}{r_1^3}-\frac{\mathrm{\μ}y}{r_2^3}\\ \stackrel{\·\·}{z}=-\frac{(1-\mathrm{\μ})z}{r_1^3}-\frac{\mathrm{\μ}z}{r_2^3}\end{array}---\left(1\right)$

其中μ＝m₂/(m₁+m₂)＝3.226835×10^-7表示系统的质量系数，m₁为太阳的质量，m₂为火星的质量，为探测器与太阳的距离， $r_2=\sqrt{{(x-1+\mathrm{\μ})}^2+y^2+z^2}$ 为探测器与火星的距离。

在太阳-火星-探测器三体系统中存在五个动力学平衡点(探测器相对火星位置保持不变的点)，所述的五个动力学平衡点分别为L1、L2、L3、L4、L5，即三个共线的动平衡点L1、L2、L3和两个三角动平衡点L4、L5。在质心旋转系下三个共线平衡点的位置分别为：

L1平衡点： $\left(\begin{array}{cc}\left(1-\sqrt[3]{\frac{\mathrm{\μ}}{3}}\right),& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0.995251,& 0\end{array}\right)$

L2平衡点： $\left(\begin{array}{cc}\left(1+\sqrt[3]{\frac{\mathrm{\μ}}{3}}\right),& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1.004763& 0\end{array}\right)$

L3平衡点： $\left(\begin{array}{cc}-\left(1+\frac{5\mathrm{\μ}}{12}\right),& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1,& 0\end{array}\right)$

两个三角平衡点的位置分别为：

L4平衡点： $\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}-\mathrm{\μ},& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0.499999& 0.866025\end{array}\right)$

L5平衡点： $\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}-\mathrm{\μ},& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0.499999& -0.866025\end{array}\right)$

太阳-火星系统的平衡点位置如图3所示。

由于步骤一建立的探测器的运动方程是建立在太阳-火星系统下的，捕获轨道同时考虑太阳和火星的引力作用，相比仅利用火星引力作用的近心点捕获所需速度增量小，进而节省燃料。

步骤二：确定太阳-火星-探测器三体系统下的周期轨道和不变流形。

共线平衡点L1，L2，L3点为不稳定平衡点，不稳定平衡点附近的存在多族周期轨道，所述的多族周期轨道均可作为备选停泊轨道。

平衡点附近的线性化运动方程描述为，

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ξ}}-2\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}-(1+2c_2)\mathrm{\ξ}=\frac{\∂}{\∂\mathrm{\ξ}}\underset{n\≥3}{\Σ}{c}_n\left(\mathrm{\μ}\right){\mathrm{\ρ}}^n{P}_n\left(\frac{\mathrm{\ξ}}{\mathrm{\ρ}}\right)\\ \stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}+2\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}+(c_2-1)\mathrm{\η}=\frac{\∂}{\∂\mathrm{\η}}\underset{n\≥3}{\Σ}{c}_n\left(\mathrm{\μ}\right){\mathrm{\ρ}}^n{P}_n\left(\frac{\mathrm{\ξ}}{\mathrm{\ρ}}\right)\\ \stackrel{\·\·}{\mathrm{\ζ}}+c_2\mathrm{\ζ}=\frac{\∂}{\∂\mathrm{\ζ}}\underset{n\≥3}{\Σ}{c}_n\left(\mathrm{\μ}\right){\mathrm{\ρ}}^n{P}_n\left(\frac{\mathrm{\ξ}}{\mathrm{\ρ}}\right)\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，ρ²＝x²+y²+z²，c₂(μ)、c_n(μ)为仅与系统的质量系数的常数，表示为： $c_2=\frac{1}{{\mathrm{\γ}}^3}\[\mathrm{\μ}+(1-\mathrm{\μ})\frac{{\mathrm{\γ}}^3}{{(1+\mathrm{\γ})}^3}\],c_n\left(\mathrm{\μ}\right)=\frac{1}{{\mathrm{\γ}}^3}\[{(-1)}^n\mathrm{\μ}+{(-1)}^n(1-\mathrm{\μ}){\left(\frac{\mathrm{\γ}}{1+\mathrm{\γ}}\right)}^{n+1}\],n\≥3;$ γ为平0点与行星的距离；p_n为n阶Legendre多项式。平衡点附近运动的线性项表示为，

$\{\begin{array}{c}\mathrm{\ξ}\left(t\right)=\mathrm{\α}cos({\mathrm{\ω}}_{p}t+{\mathrm{\φ}}_1)\\ \mathrm{\η}\left(t\right)=\mathrm{\κ}\mathrm{\α}sin({\mathrm{\ω}}_{p}t+{\mathrm{\φ}}_1)\\ \mathrm{\ζ}\left(t\right)=\mathrm{\β}\cos ({\mathrm{\ω}}_{v}t+{\mathrm{\φ}}_2)\end{array}---\left(3\right)$

其中,ω_p、ω_v分别为平面和垂直运动的频率，κ为常数；α、β分别为周期轨道平面内和垂直平面的振幅；φ₁、φ₂为相位。根据公式(3)能够得到周期轨道的初值ξ_、η_、ζ_、 通过微分修正算法能够获得周期轨道的精确值。选择不同的α、β取值能够得到不同振幅的周期轨道。

利用周期轨道相对火星的位置基本保持不变的性质进行火星的定点探测。同时周期轨道存在稳定流形和不稳定流形，探测器沿稳定流形方向无动力运动进入周期轨道，而沿不稳定流形方向施加扰动后探测器会逐渐远离周期轨道。稳定和不稳定流形的初始状态能够由公式(4)确定。

X^u±＝X±εη^u

X^s±＝X±εη^s(4)其中η^u为不稳定特征向量，η^s为稳定特征向量，X为周期轨道上任意点，选取所述周期轨道上的任意点为初始点，初始点X与平衡点的连线在XY平面的投影与X轴的夹角为辐角θ，如图5所示。周期轨道的稳定流形和不稳定流形各存在两支，选择靠近火星的一支稳定流形和不稳定流形的初始状态进行积分。

步骤三：确定不稳定流形的近心点高度，根据目标任务轨道选定周期轨道的振幅α_、β和不稳定流形初始点X^u±对应的辐角θ_u。

选择日火L2点附近的周期轨道作为停泊轨道。对周期轨道不稳定流形初始状态积分，定义令q为不稳定流形相对行星的位置矢量，为不稳定流形相对行星的速度矢量，则不稳定流形相对行星的径向速度为径向加速度为根据近心点的定义，需满足条件公式(5)，

$\{\begin{array}{c}q{\stackrel{\·}{q}}^T=0\\ {\stackrel{\·}{q}}^2+q{\stackrel{\·\·}{q}}^T>0\end{array}---\left(5\right)$

根据公式(5)计算不稳定流形的近心点位置以及近心点高度r_pu。

选择目标轨道为轨道半径偏心率e_t＝0的圆轨道，根据目标任务轨道的轨道近心点高度r_t，确定合适的周期轨道振幅α、β和不稳定流形初始点对应的辐角θ_u，使得到的一条不稳定流形的近心点高度r_pu与目标轨道近心点高度r_t相同，得到不稳定流形的周期轨道为捕获过程中的中间停泊轨道。由于行星-太阳-探测器三体系统的非线性特点，同一目标轨道约束下能够找到多组符合条件的周期轨道振幅α_、β和初始点辐角θ_u。选择振幅α＝388000km,β＝0km的周期轨道作为停泊轨道，停泊规定如图5所示。对应的不稳定流形初始点辐角为θ_u＝-137.6°。不稳定流形在近心点的速度为v_pu＝2.049km/s。

步骤四：确定稳定流形初始点X^s±对应的辐角θ_s。

对步骤三确定的停泊轨道不同辐角计算稳定流形，并逆时间积分至火星近心点，确定近心点高度，选择近心点高度最低的一条稳定流形作为捕获过程中的转移轨道。得到的稳定流形的最低近火点高度为3522km，对应的稳定流形初始辐角为θ_s＝120.3°，近心点速度为v_ps＝4.922km/s。

步骤五：探测器在近心点施加第一次机动，由双曲线轨道进入稳定流形，并到达停泊轨道。

当探测器以双曲线轨道接近行星时，选择双曲线轨道的近心点高度为r_ps＝3522km。探测器在轨道的近心点施加第一次机动，进入稳定流形，并沿稳定流形无动力滑行至周期轨道作为停泊轨道。探测器第一次施加的脉冲大小为，

${\mathrm{\Δv}}_1=\sqrt{v_{\mathrm{\∞}}^2+\frac{2{\mathrm{\μ}}_m}{r_0}}-v_{ps}---\left(6\right)$

其中v_∞为探测器接近行星时的双曲线剩余速度，μ_m＝GM为行星的引力系数，代入相关参数得到Δv₁＝0.606km/s。

步骤六：探测器在停泊轨道运行至辐角θ_u＝-137.6°时施加小扰动，进入不稳定流形。施加的小扰动相对于第一机动，第二次机动的大小可以忽略不计。

步骤七：探测器沿不稳定流形到达相对行星的近心点时施加第二次机动，进入目标任务轨道，最终实现轨道捕获。施加第二次机动的大小为，

${\mathrm{\Δv}}_2=v_{pu}-\sqrt{\frac{(1+e_t){\mathrm{\μ}}_m}{r_t}}---\left(7\right)$

其中r_t为任务轨道的近心点高度，e_t为任务轨道的偏心率，v_ps为不稳定流形的近心点速度，代入相关参数得Δv₂＝0.586km/s。

捕获过程总速度增量为Δv＝Δv₁+Δv₂＝1.192km/s，捕获过程的轨道图如图1所示。采用近心点捕获至相同目标轨道所需的速度增量为Δv₁＝1.782km/s。与近心点捕获相比，采用平衡点周期轨道的捕获轨道所需的总速度增量减小Δv_s＝0.590km/s，采用平衡点周期轨道的捕获方式可以节省燃料消耗。

以上所述的具体描述，对发明的目的、技术方案和有益效果进行进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施例而已，并不用于限定本发明的保护范围，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种基于平衡点周期轨道的行星低能量转移轨道方法，其特征在于：利用太阳-行星-探测器三体系统下的平衡点、周期轨道及不变流形特征实现探测器被行星捕获的过程；探测器首先在相对行星较低的近心点高度下施加一次机动进入太阳-行星-探测器三体系统下的稳定流形，并沿流形无动力滑行至周期轨道作为停泊轨道；然后利用周期轨道的不稳定流形到达行星附近，选择一条近心点高度与目标轨道相同的不稳定流形，在探测器到达近心点时施加第二次机动实现最终行星捕获。

2.根据权利要求1所述的一种基于平衡点周期轨道的行星低能量转移轨道方法，其特征在于：具体实现方法包括如下步骤，

步骤一：在太阳-行星质心旋转系下建立探测器运动方程，确定行星-太阳-探测器三体系统平衡点位置；

选择太阳-行星系统的质心作为原点建立坐标系，选择X轴为太阳与行星连线方向，由太阳指向行星，Z轴为系统旋转的角速度方向，Y轴与X，Z轴垂直构成右手坐标系；

探测器在该系统下的运动方程表示为，

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{x}-2\stackrel{\·}{y}=x-\frac{(1-\mathrm{\μ})(x+\mathrm{\μ})}{r_1^3}-\frac{\mathrm{\μ}(x-1+\mathrm{\μ})}{r_2^3}\\ \stackrel{\·\·}{y}+2\stackrel{\·}{x}=y-\frac{(1-\mathrm{\μ})y}{r_1^3}-\frac{\mathrm{\μ}y}{r_2^3}\\ \stackrel{\·\·}{z}=-\frac{(1-\mathrm{\μ})z}{r_1^3}-\frac{\mathrm{\μ}z}{r_2^3}\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中μ＝m₂/(m₁+m₂)表示系统的质量系数，m₁为太阳的质量，m₂为行星的质量， $r_1=\sqrt{{(x+\mathrm{\μ})}^2+y^2+z^2}$ 为探测器与太阳的距离， $r_2=\sqrt{{(x-1+\mathrm{\μ})}^2+y^2+z^2}$ 为探测器与行星的距离；

在行星-太阳-探测器三体系统存在五个动力学平衡点，所述的五个动力学平衡点分别为L1、L2、L3、L4、L5，即三个共线的动平衡点L1、L2、L3和两个三角动平衡点L4、L5；在质心旋转系下三个共线平衡点的位置分别为，

L1平衡点： $\left(\begin{array}{cc}(1-\sqrt[3]{\frac{\mathrm{\μ}}{3}}),& 0\end{array}\right)$

L2平衡点： $\left(\begin{array}{cc}(1+\sqrt[3]{\frac{\mathrm{\μ}}{3}}),& 0\end{array}\right)$

L3平衡点： $\left(\begin{array}{cc}-(1+\frac{5\mathrm{\μ}}{12}),& 0\end{array}\right)$

两个三角平衡点的位置分别为：

L4平衡点： $\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}-\mathrm{\μ},& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right)$

L5平衡点： $\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}-\mathrm{\μ},& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right)$

步骤二：确定行星-太阳-探测器三体系统下的周期轨道和不变流形；

共线平衡点L1，L2，L3点为不稳定平衡点，不稳定平衡点附近的存在多族周期轨道，所述的多族周期轨道均可作为停泊轨道；

平衡点附近的线性化运动方程描述为，

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ξ}}-2\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}-(1+2c_2)\mathrm{\ξ}=\frac{\∂}{\∂\mathrm{\ξ}}\underset{n\≥3}{\Σ}{c}_n\left(\mathrm{\μ}\right){\mathrm{\ρ}}^n{P}_n\left(\frac{\mathrm{\ξ}}{\mathrm{\ρ}}\right)\\ \stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}+2\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}+(c_2-1)\mathrm{\η}=\frac{\∂}{\∂\mathrm{\η}}\underset{n\≥3}{\Σ}{c}_n\left(\mathrm{\μ}\right){\mathrm{\ρ}}^n{P}_n\left(\frac{\mathrm{\ξ}}{\mathrm{\ρ}}\right)\\ \stackrel{\·\·}{\mathrm{\ζ}}+c_2\mathrm{\ζ}=\frac{\∂}{\∂\mathrm{\ζ}}\underset{n\≥3}{\Σ}{c}_n\left(\mathrm{\μ}\right){\mathrm{\ρ}}^n{P}_n\left(\frac{\mathrm{\ξ}}{\mathrm{\ρ}}\right)\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，ρ²＝x²+y²+z²，c₂(μ)、c_n(μ)为仅与系统的质量系数的常数，表示为： $c_2=\frac{1}{{\mathrm{\γ}}^3}\[\mathrm{\μ}+(1-\mathrm{\μ})\frac{{\mathrm{\γ}}^3}{{(1+\mathrm{\γ})}^3}\],c_n\left(\mathrm{\μ}\right)=\frac{1}{{\mathrm{\γ}}^3}\[{(-1)}^n\mathrm{\μ}+{(-1)}^n(1-\mathrm{\μ}){\left(\frac{\mathrm{\γ}}{1+\mathrm{\γ}}\right)}^{n+1}\],n\≥3;$ γ为平衡点与行星的距离；p_n为n阶Legendre多项式；平衡点附近运动的线性项表示为，

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\ξ}\left(t\right)=\mathrm{\α}cos({\mathrm{\ω}}_{p}t+{\mathrm{\φ}}_1)\\ \mathrm{\η}\left(t\right)=\mathrm{\κ}\mathrm{\α}sin({\mathrm{\ω}}_{p}t+{\mathrm{\φ}}_1)\\ \mathrm{\ζ}\left(t\right)=\mathrm{\β}\cos ({\mathrm{\ω}}_{v}t+{\mathrm{\φ}}_2)\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中,ω_p、ω_v分别为平面和垂直运动的频率，κ为常数；α、β分别为周期轨道平面内和垂直平面的振幅；φ₁、φ₂为相位；根据公式(3)能够得到周期轨道的初值ξ、η、ζ、通过微分修正算法能够获得周期轨道的精确值；

利用周期轨道相对行星的位置基本保持不变的性质进行行星的定点探测；同时周期轨道存在稳定流形和不稳定流形，探测器沿稳定流形方向无动力运动进入周期轨道，而沿不稳定流形方向施加扰动后探测器会逐渐远离周期轨道；稳定和不稳定流形的初始状态能够由公式(4)确定，

X^u±＝X±εη^u

X^s±＝X±εη^s(4)

其中η^u为不稳定特征向量，η^s为稳定特征向量，X为周期轨道上任意点，选取所述周期轨道上的任意点为初始点，初始点X与平衡点的连线在XY平面的投影与X轴的夹角为辐角θ；周期轨道的稳定流形和不稳定流形各存在两支，选择靠近行星的一支稳定流形和不稳定流形的初始状态进行积分；

步骤三：根据目标任务轨道确定不稳定流形的近心点高度，选定周期轨道的振幅α、β和不稳定流形初始点X^u±对应的辐角θ_u；

对不稳定流形初始状态积分，定义令q为不稳定流形相对行星的位置矢量，为不稳定流形相对行星的速度矢量，则不稳定流形相对行星的径向速度为径向加速度为根据近心点的定义，需满足条件公式(5)，

$\left\{\begin{array}{c}q{\stackrel{\·}{q}}^T=0\\ {\stackrel{\·}{q}}^2+q{\stackrel{\·\·}{q}}^T>0\end{array}\right.---\left(5\right)$

根据公式(5)计算不稳定流形的近心点位置以及近心点高度r_pu；

根据目标任务轨道的轨道近心点高度r_t，确定合适的周期轨道振幅α、β和不稳定流形初始点对应的辐角θ_u，使得到的一条不稳定流形的近心点高度r_pu与目标轨道近心点高度r_t相同，得到不稳定流形的周期轨道为捕获过程中的中间停泊轨道；

步骤四：确定稳定流形初始点X^s±对应的辐角q_s；

对步骤三确定振幅α、β的停泊轨道不同辐角计算稳定流形，并逆时间积分至行星近心点，确定近心点高度，选择近心点高度最低的一条稳定流形作为捕获过程中的转移轨道，近心点高度为r_ps，近心点速度为v_ps，对应的稳定流形初始点辐角为θ_r；

步骤五：探测器在近心点施加第一次机动，由双曲线轨道进入稳定流形，并到达停泊轨道；

当探测器以双曲线轨道接近行星时，选择双曲线轨道的近心点高度为r_ps；探测器在轨道的近心点施加第一次机动，进入稳定流形，并沿稳定流形无动力滑行至周期轨道作为停泊轨道；探测器第一次施加的脉冲大小为，

${\mathrm{\Δv}}_1=\sqrt{v_{\mathrm{\∞}}^2+\frac{2{\mathrm{\μ}}_m}{r_0}}-v_{ps}---\left(6\right)$

其中v_∞为探测器接近行星时的双曲线剩余速度，μ_m＝GM为行星的引力系数，能够由行星的质量M和万有引力常数G得到；

步骤六：探测器在停泊轨道运行至辐角θ_s时施加小扰动，进入不稳定流形；施加的小扰动相对于第一机动，第二次机动的大小忽略不计；

步骤七：探测器沿不稳定流形到达相对行星的近心点时施加第二次机动，进入目标任务轨道，最终实现轨道捕获；施加第二次机动的大小为，

${\mathrm{\Δv}}_2=v_{pu}-\sqrt{\frac{(1+e_t){\mathrm{\μ}}_m}{r_t}}---\left(7\right)$

其中r_t为任务轨道的近心点高度，e_t为任务轨道的偏心率，v_ps为不稳定流形的近心点速度。

3.根据权利要求1或2所述的一种基于平衡点周期轨道的行星低能量转移轨道方法，其特征在于：由于行星-太阳-探测器三体系统的非线性特点，同一目标轨道约束下能够找到多组符合条件的周期轨道振幅α、β和初始点辐角θ_u，因此能够获得多条捕获轨道，灵活性高。

4.根据权利要求3所述的一种基于平衡点周期轨道的行星低能量转移轨道方法，其特征在于：由于步骤一建立的探测器的运动方程是建立在太阳-行星系统下的，捕获轨道同时考虑太阳和行星的引力作用，相比仅利用行星引力作用的近心点捕获所需速度增量小，进而节省燃料。

5.根据权利要求3所述的一种基于平衡点周期轨道的行星低能量转移轨道方法，其特征在于：周期轨道相对行星的位置基本保持不变，能够用于行星的探测，增加探测任务对行星观测的数据。