CN102923323A - 基于不变流形的行星际固定轨道间低能量转移设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于不变流形的行星际固定轨道间低能量转移设计方法，特别适用于流形接近的相邻行星轨道间的转移，属于航天器轨道机动技术领域。本发明首先给出一种脉冲消耗评估方法，为选择合适的不变流形给出了判断标准；然后通过计算不变流形在固定圆轨道上的庞加莱映射，确定借用不变流形转移轨道的范围并利用等高线图法得到速度增量最小的transit轨道；完成逃逸transit轨道与捕获transit轨道的设计后，在日心二体模型下拼接两端的transit轨道，最终完成基于不变流形的行星际固定轨道间低能量转移轨道设计；具有算法简单、计算效率高等优点，适用于不同行星固定环绕轨道利用不变流形的低能量转移轨道初始设计。

Description

基于不变流形的行星际固定轨道间低能量转移设计方法

技术领域

本发明涉及一种基于不变流形的行星际固定轨道间低能量转移设计方法，特别适用于流形接近的相邻行星轨道间的转移，属于航天器轨道机动技术领域。

背景技术

传统转移方式的高燃料消耗严重制约着深空探测的快速发展，因此利用动力学技术进行转移的技术受到了越来越多的关注，特别是借用不变流形进行转移可以有效降低能量的消耗。借用不变流形的原理为合理的利用三体模型中主天体的长期摄动作用，从而有效的改变了轨道的能量。然而不变流形是一系列自然发生轨道的集合，至今无法给出简易的描述方法，如何利用不变流形进行转移从而降低能量消耗是当前流形应用中的一大难题。目前这方面的研究多针对同一系统下的转移或大质量比系统之间的转移，利用不变流行进行行星轨道之间转移的研究很少。行星间借用不变流形进行转移涉及到多个天体，而不变流形的描述通常只能在三体系统下进行，故需要同时考虑多个系统以及系统间的转换，无法简单套用前人方法完成轨道的设计。因此如何快速有效解算出基于不变流形的行星际固定轨道间低能量转移轨道关键设计参数，提高设计效率是当前科技人员关注的热点问题之一。

在已发展的借用不变流形的异行星轨道间转移设计方法中，在先技术[1]（Topputo F,Vasile M,Bernelli-Zazzera F.Low energyinterplanetary transfers exploiting invariant manifolds of therestricted three-body problem[J].Journal of the AstronauticalSciences,2005,53:353-372.），针对低能量行星际转移轨道设计问题，结合庞加莱映射给出了表征出发不变流形与目标不变流形连接难易程度的函数，从而简化了转移机会的寻找问题；随后，利用全局搜索算法和局部优化算法对初始结果进行了进一步的优化。由于搜索过程为首先得到连接点后逆推到行星附近，并在近拱点施加脉冲转变为圆轨道，事先无法得知最终优化结果中环绕轨道的半径，故该方法无法应用于固定轨道间的转移。

在先技术[2]（Mingotti G,Topputo F,Bernelli-Zazzera F.Earth-Mars transfers with ballistic escape and low-thrust capture[J].Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy,2011,110:169-188.），针对结合多体动力学以及高比冲小推进系统的地火转移问题，首先考虑由地球逃逸的脉冲仅为切向，利用庞加莱映射给出了脉冲逃逸轨道的确定方法，该方法也适用于火星捕获轨道的确定；然后，利用直接法将小推力转移轨道的优化转换为一个多参数优化问题，并引入多重打靶法对该问题进行求解。该方法能够应用于借用不变流形的行星际固定轨道间转移设计问题，但由于逃逸的脉冲为切向的，人为的缩小了脉冲的设计范围，且没有考虑不变流形的优化，很难确定出最优的逃逸轨道。

发明内容

本发明针对现有设计方法无法选择最优的不变流形及全局最优的轨道转移机会，结合庞加莱映射及等高线图法，提出了一种基于不变流形的行星际固定轨道间低能量转移设计方法。

本发明方法首先给出一种脉冲消耗评估方法，为选择合适的不变流形给出了判断标准；然后通过计算不变流形在固定圆轨道上的庞加莱映射，确定借用不变流形转移轨道的范围并利用等高线图法得到了速度增量最小的transit轨道；完成逃逸transit轨道与捕获transit轨道的设计后，在日心二体模型下拼接两端的transit轨道，最终完成基于不变流形的行星际固定轨道间低能量转移轨道设计。

基于不变流形的行星际固定轨道间低能量转移轨道设计方法，具体包括如下步骤：

步骤1，设计逃逸transit轨道。

步骤1.1，逃逸transit轨道的目标函数取为

$f_1(C,\mathrm{\α},\stackrel{\·}{r})={\mathrm{\Δv}}_1+{\mathrm{\Δv}}_2+{\mathrm{\Δv}}_3-{\mathrm{\Δv}}_3^{*}\→\min$

其中：C为借助不变流形对应的雅克比积分，α为圆轨道的逃离相角，

为施加速度增量Δv₁后航天器相对于行星的半径变化率，

为霍曼转移中到目标星轨道的制动脉冲；Δv₁表示进入逃逸transit轨道的脉冲，Δv₂为向目标星的逃逸脉冲，Δv₃表示在目标星轨道处的制动脉冲。脉冲Δv₂在改变轨道能力最强的近日点施加,由此得到逃逸transit轨道的经历时间t为从初始行星逃逸点到轨道近日点的时间。

步骤1.2，计算不同C取值的情况下，所有由初始轨道通过不变流形逃逸轨道的f₁最小值估计值，选取估计值的极小值对应的C作为逃逸transit轨道取值。该最小值的估计值利用不变流形的性质得到。具体方法为：

Δv₁在旋转坐标系下的取值需要保证能量达到不变流形，故Δv₁最小值为：

${\mathrm{\Δv}}_1^{\min }=\sqrt{{2\mathrm{\Φ}}_{\max }-C_2}-\sqrt{{2\mathrm{\Φ}}_{\max }-C_1}$

其中：C₁表示圆轨道上雅克比积分的最小值，C₂表示不变流形的雅克比积分。Φ为航天器在三体模型中的势能，计算方程如下

$\mathrm{\Φ}(x,y)=\frac{x^2+y^2}{2}+\frac{1-\mathrm{\μ}}{R_1}+\frac{\mathrm{\μ}}{R_2}+\frac{\mathrm{\μ}(1-\mathrm{\μ})}{2}$

其中：μ为太阳-行星三体模型中的质量比。Φ在区间[0,2π)内存在两个极大值点0和π，比较极大值点处的Φ取值，得到最大值Φ_max。

所述旋转坐标系的原点位于太阳和行星的共同质心,x轴由太阳指向行星,y轴指向行星速度方向。

Δv₂和Δv₃的最小值为：

${\mathrm{\Δv}}_2^{\min }=\sqrt{\frac{{\mathrm{\μ}}_S}{{r_1}^{\max }}}\sqrt{\frac{{2r}_2}{{r_1}^{\max }+r_2}}-\sqrt{\frac{{2\mathrm{\μ}}_S}{{r_1}^{\max }}+{2E}_S^{\max }}$

${\mathrm{\Δv}}_3^{\min }=\sqrt{\frac{{\mathrm{\μ}}_S}{r_2}}(1-\sqrt{\frac{{{2r}_1}^{\max }}{{r_1}^{\max }+r_2}})$

其中r₁表示进入深空后轨道的近日点距离，r₂表示目标星轨道的半径，

用周期轨道上最大二体能量近似得到，不变流形上轨道的近日点距离用零速度曲线与太阳的平均距离进行估计。

从而得到f₁的最小估计值为

$f_1^{\′}\left(C\right)={\mathrm{\Δv}}_1^{\min }+{\mathrm{\Δv}}_2^{\min }+{\mathrm{\Δv}}_3^{\min }-{\mathrm{\Δv}}_3^{*}$

利用上述方程，改变C的大小得到相应的估计值

绘制

随C的变化曲线，取曲线最低点对应的雅克比积分为C的最优值。

步骤1.3，得到C最优值之后，计算圆轨道进入该不变流行并逃逸的范围，并从中选取最好的逃逸轨道。具体过程为：

令C_E表示C的最优值，设置庞加莱截面为

$\mathrm{\Ψ}=\left\{(x,y,\stackrel{\·}{x},\stackrel{\·}{y})\right|C(x,y,\stackrel{\·}{x},\stackrel{\·}{y})=C_E,g(x,y,\stackrel{\·}{x},\stackrel{\·}{y})=0\}$

其约束为

$g(x,y,\stackrel{\·}{x},\stackrel{\·}{y})=\sqrt{{(x-1+\mathrm{\μ})}^2+y^2}-r_P=0$

其中：r_P为初始轨道的轨道半径。

由于Δv₁受到不变流形递推时间及轨道相角的影响不大，为保证航天器快速借助流形进入深空，结合不变流形的空间特征选择相角的范围如下

α_max＝asin(y^*/(x^*-1+μ))，α_min＝-π

其中(x^*，y^*)为Lyapunov轨道的最低点坐标。

令∏(t)表示逃逸所通过的稳定流形，得到transit轨道的边界线：

$\mathrm{\Γ}=\{A=(x,y,\stackrel{\·}{x},\stackrel{\·}{y})|A\∈\mathrm{\Ψ},A\∈\mathrm{\Π}\left(t\right)\}$

在transit轨道的边界线内绘制目标函数f₁的等高线图，选取出最小值对应的α，

进一步根据到达日心近拱点的时间得到航天器在不变流形上运行的时间及最优的逃逸transit轨道。

步骤2，取目标圆轨道作为目标轨道，出发星轨道作为估计的出发轨道，根据步骤1给出的逃逸transit轨道的设计方法，进行捕获transit轨道的设计。其中，Δv₁表示进入目标轨道的脉冲，Δv₂为由深空进入捕获transit轨道的脉冲，Δv₃表示在出发星轨道处施加的逃逸脉冲。选择脉冲Δv₂在远日点施加。

步骤3，确定两端的transit轨道后，进行日心二体模型下的拼接，得到星际转移段轨道。

采用网格法选取多个不同的离开出发星不变流形与进入目标星不变流形位置矢量的夹角θ与星际段飞行时间t_i，θ的取值范围为[0,2π)，t_i的取值范围为(0,t_max]，其中t_max为任务设计中星际转移段的最大转移时间。针对每一个网格点的θ、t_i，计算星际转移段轨道的两个端点在日心惯性系下的相对位置；在此基础上求解lambert问题，得到完成转移的总速度增量。

所述星际转移段轨道的两个端点为逃逸transit轨道和捕获transit轨道的终端状态。

选取星际转移所需总速度增量f₂作为目标函数：

f₂=|V_i|+|C_t|

其中V_i表示连接逃逸transit轨道和星际转移段轨道的脉冲，V_t表示连接捕获transit轨道和星际转移段轨道的脉冲。

绘制总速度增量的等高线图，其对应的能量最低点位置为最好发射机会。将等高线图法得到的能量最低点，利用牛顿迭代法进行局部优化，得到最优θ、t_i，从而得到连接逃逸transit轨道和捕获transit轨道的星际转移段轨道，完成基于不变流形的行星际固定轨道间低能量转移设计。

有益效果

本发明所给出的基于不变流形的行星际固定轨道间低能量转移设计方法，具有算法简单、计算效率高等优点，尤其是通过简单的评估方法得到最优不变流形，适用于不同行星固定环绕轨道利用不变流形的低能量转移轨道初始设计。

该方法以向目标星轨道转移对异行星间固定圆轨道间的低能量转移进行了合理的近似，并给出了借用不变流形最小脉冲的评估方法，从而为选取最优不变流形提供了标准；然后利用庞加莱映射得到了固定圆轨道上不变流形的投影，确定了transit轨道的选取范围；在此基础上通过绘制脉冲和在transit轨道上的等高线图得到了最优的transit轨道，简化了算法复杂度；最后，结合等高线图法和牛顿迭代法在二体模型下设计了星际转移段轨道。该方法根据轨道受到星体影响的大小将轨道进行了合理的分段，有效提高了计算效率，能够为基于不变流形的行星际固定轨道间低能量转移的精确设计提供合理可行的初值猜测。

附图说明

图1为本发明的流程图；

图2为具体实施方式中基于不变流形的行星际固定轨道间低能量转移轨道示意图；

标号说明：1-初始轨道，2-逃逸transit轨道，3-Lyapunov轨道A，4-星际转移轨道，5-Lyapunov轨道B，6-捕获transit轨道，7-目标轨道。

具体实施方式

为了更好的说明本发明的目的和优点，下面结合附图和实施例对本发明内容作进一步说明。

借用不变流形的行星际固定轨道间低能量转移轨道如图2所示：航天器在环绕出发星的圆轨道上施加脉冲V_e进入流形中，之后经由流形内部的transit轨道进入远离行星的深空并施加脉冲V_i向目标星进行转移，在进入目标星流形的合适位置时施加脉冲V_t成为transit轨道，最后在目标圆轨道上施加脉冲V_c完成交会。该类型转移轨道共存在三个漂移段，可以根据距离天体的距离在不同的模型下进行描述，从而简化设计过程。两个transit轨道段在限制型三体模型下进行设计，而中间的星际转移段则在日心二体模型下进行拼接。本发明考虑行星运行于同一平面内，且行星的轨道为圆轨道。

本发明所述方法的核心思想为：基于行星-太阳系统的质量比较小，不变流形距离行星很近这一特点，以向目标星轨道转移所需的速度增量代替向目标星不变流形转移的速度增量进行评估。这样做可以有效的分离转移轨道各段的参数设计，并提供了不变流形和转移轨道选择的标准。由于transit轨道进入距离地球较远的深空后，轨道相对于日心的二体能量基本保持不变，轨道可考虑为椭圆轨道，将近日点作为转移施加脉冲的点可以有效的减少燃料消耗。之后仅考虑相角与时间，在二体下拼接两端的transit轨道，有效的降低了轨道设计的难度，提高了计算效率。

该基于不变流形的行星际固定轨道间低能量转移设计方法分为最优不变流形选择，transit轨道参数计算，星际轨道段参数确定三个部分。

1）最优不变流形选择

分别针对逃逸和捕获，改变不变流形的雅克比积分，分别计算其对应的最小估计值

$f_{\min }={\mathrm{\Δv}}_1^{\min }+{\mathrm{\Δv}}_2^{\min }+{\mathrm{\Δv}}_3^{\min }-{\mathrm{\Δv}}_3^{*}$

_fmin的最小值对应的不变流形即为最优不变流形。

2）transit轨道参数计算

将不变流形投影在固定轨道上，得到transit轨道的选取范围，边界线如下

$\mathrm{\Γ}=\{A=(x,y,\stackrel{\·}{x},\stackrel{\·}{y})|A\∈\mathrm{\Φ},A\∈\mathrm{\Π}\left(t\right)\}$

_在transit轨道的选取范围内绘制参数f₁的等高线图，选取出最小值对应的α，进一步根据到达日心近拱点的时间得到航天器在不变流形上运行的时间。

3）星际轨道段参数确定

由于二体拼接的两个端点相对于出发星与目标星的位置已知，设计参数仅包括：星际段飞行时间t_i，离开出发星不变流形与进入目标星不变流形位置矢量的夹角θ。

根据transit轨道确定出行星际轨道两端点在相应三体系统下的坐标，绘制脉冲和的等高线图，目标函数为

f₂=|V_i|+|V_t|

由等高线图得到全局最优解，利用牛顿迭代法进一步修正θ和t_i使f₂最小，并得到脉冲的大小和方向，从而完成基于变流形的行星际固定轨道间低能量转移设计。

为验证本发明方法，对于金星到地球的转移进行设计，设计参数如下：金星绕行圆轨道距离金星表面高度为4.0x10⁵km，地球绕行圆轨道距离地球表面高度为4.5x10⁵km。设计结果如表1和图3所示，其中，下标E、M分别表示该参数属于逃逸transit轨道和捕获transit轨道。

从表中可以看出，通过借用流形总速度增量得到了较为明显的减少。

表1金地转移轨道初始设计结果

Claims (4)

1.基于不变流形的行星际固定轨道间低能量转移设计方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1，设计逃逸transit轨道；

步骤1.1，逃逸transit轨道的目标函数取为

$f_1(C,\mathrm{\α},\stackrel{\·}{r})={\mathrm{\Δv}}_1+{\mathrm{\Δv}}_2+{\mathrm{\Δv}}_3-{\mathrm{\Δv}}_3^{*}\→\min$

其中：C为借助不变流形对应的雅克比积分，α为圆轨道的逃离相角，为施加速度增量Δv₁后航天器相对于行星的半径变化率，

为霍曼转移中到目标星轨道的制动脉冲；Δv₁表示进入逃逸transit轨道的脉冲，Δv₂为向目标星的逃逸脉冲，Δv₃表示在目标星轨道处的制动脉冲；脉冲Δv₂在近日点施加；

步骤1.2，计算不同C取值的情况下，所有由初始轨道通过不变流形逃逸轨道的f₁最小值估计值，选取估计值的极小值对应的C作为逃逸transit轨道的最优值；

步骤1.3，计算圆轨道进入不变流行并逃逸的范围，从中选取最好的逃逸轨道；具体过程为：

令C_E表示C的最优值，设置庞加莱截面为

$\mathrm{\Ψ}=\left\{(x,y,\stackrel{\·}{x},\stackrel{\·}{y})\right|C(x,y,\stackrel{\·}{x},\stackrel{\·}{y})=C_E,g(x,y,\stackrel{\·}{x},\stackrel{\·}{y})=0\}$ 其约束为 $g(x,y,\stackrel{\·}{x},\stackrel{\·}{y})=\sqrt{{(x-1+\mathrm{\μ})}^2+y^2}-r_P=0$

其中，r_P为初始轨道的轨道半径；

选择相角的范围为：

α_max=asin(y^*/(x^*-1+μ)),α_min=-π

其中，(x^*,y^*)为Lyapunov轨道的最低点坐标；

令∏(t)表示逃逸所通过的稳定流形，得到transit轨道的边界线：

$\mathrm{\Γ}=\{A=(x,y,\stackrel{\·}{x},\stackrel{\·}{y})|A\∈\mathrm{\Ψ},A\∈\mathrm{\Π}\left(t\right)\}$

在transit轨道的边界线内绘制目标函数f¹的等高线图，选取最小值对应的α，

根据到达日心近拱点的时间得到航天器在不变流形上运行的时间及最优的逃逸transit轨道；

步骤2，取目标圆轨道作为目标轨道，出发星轨道作为估计的出发轨道，根据步骤1给出的逃逸transit轨道的设计方法，进行捕获transit轨道的设计；

其中，Δv₁表示进入目标轨道的脉冲，Δv₂为由深空进入捕获transit轨道的脉冲，Δv₃表示在出发星轨道处施加的逃逸脉冲；选择脉冲Δv₂在远日点施加；

步骤3，确定两端的transit轨道后，进行日心二体模型下的拼接，得到星际转移段轨道；

采用网格法选取多个不同的离开出发星不变流形与进入目标星不变流形位置矢量的夹角θ与星际段飞行时间t_i，θ的取值范围为[0,2π)，t_i的取值范围为(0,t_max]，其中t_max为任务设计中星际转移段的最大转移时间；针对每一个网格点的θ、t_i，计算星际转移段轨道的两个端点在日心惯性系下的相对位置；然后求解lambert问题，得到完成转移的总速度增量f₂：

f₂=|V_i|+|V_t|

其中V_i表示连接逃逸transit轨道和星际转移段轨道的脉冲，V_t表示连接捕获transit轨道和星际转移段轨道的脉冲；

绘制总速度增量的等高线图，其对应的能量最低点位置为最好发射机会；将f₂作为目标函数，利用牛顿迭代法对能量最低点进行局部优化，得到最优θ、t_i，从而得到连接逃逸transit轨道和捕获transit轨道的星际转移段轨道，完成基于不变流形的行星际固定轨道间低能量转移设计。

2.根据权利要求1所述的基于不变流形的行星际固定轨道间低能量转移设计方法，其特征在于：所述步骤1.2中最小值的估计值利用不变流形的性质得到；具体方法为：

Δv₁最小值为： ${\mathrm{\Δv}}_1^{\min }=\sqrt{{2\mathrm{\Φ}}_{\max }-C_2}-\sqrt{{2\mathrm{\Φ}}_{\max }-C_1}$

其中，C₁表示圆轨道上雅克比积分的最小值，C₂表示不变流形的雅克比积分；Φ为航天器在三体模型中的势能：

$\mathrm{\Φ}(x,y)=\frac{x^2+y^2}{2}+\frac{1-\mathrm{\μ}}{R_1}+\frac{\mathrm{\μ}}{R_2}+\frac{\mathrm{\μ}(1-\mathrm{\μ})}{2}$

其中，μ为太阳-行星三体模型中的质量比；Φ在区间[0,2π)内存在两个极大值点0和π，比较极大值点处的Φ取值，得到最大值Φ_max；

Δv₂和Δv₃的最小值为：

${\mathrm{\Δv}}_2^{\min }=\sqrt{\frac{{\mathrm{\μ}}_S}{{r_1}^{\max }}}\sqrt{\frac{{2r}_2}{{r_1}^{\max }+r_2}}-\sqrt{\frac{{2\mathrm{\μ}}_S}{{r_1}^{\max }}+{2E}_S^{\max }}$

${\mathrm{\Δv}}_3^{\min }=\sqrt{\frac{{\mathrm{\μ}}_S}{r_2}}(1-\sqrt{\frac{{{2r}_1}^{\max }}{{r_1}^{\max }+r_2}})$

其中r₁表示进入深空后轨道的近日点距离，r₂表示目标星轨道的半径，

用周期轨道上最大二体能量近似得到；

从而得到f₁的最小估计值

为

$f_1^{\′}\left(C\right)={\mathrm{\Δv}}_1^{\min }+{\mathrm{\Δv}}_2^{\min }+{\mathrm{\Δv}}_3^{\min }-{\mathrm{\Δv}}_3^{*}$

改变C的大小得到相应的估计值

绘制随C的变化曲线，取曲线最低点对应的雅克比积分为C的最优值。

3.根据权利要求1所述的基于不变流形的行星际固定轨道间低能量转移设计方法，其特征在于：所述星际转移段轨道的两个端点为逃逸transit轨道终端状态和捕获transit轨道终端状态。

4.根据权利要求2所述的基于不变流形的行星际固定轨道间低能量转移设计方法，其特征在于：不变流形上轨道的近日点距离用零速度曲线与太阳的平均距离进行估计。

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