CN103112600B - 一种星际转移轨道设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种星际转移轨道设计方法，尤其涉及一种从三体系统动平衡点附近周期轨道到小天体的转移轨道设计方法，属于航空航天技术领域。首先基于探测器所在三体系统动平衡点附近的周期轨道，假设初始时刻探测器的状态x₀=[r₀,v₀]；然后沿切向施加速度增量△v使其从动平衡点附近周期轨道出发；基于多体模型建立探测器飞越目标小天体时与目标小天体的距离d_f、飞行时间t_f和切向速度增量△v之间的关系；通过优化算法可得到飞越距离d_f最小时转移轨道的初值。最后，在此初值的基础上采用二级微分修正法，得到满足两点边值的轨道参数。本方法能够实现对从动平衡点附近周期轨道飞向小天体转移轨道的快速设计，计算量小，效率高。

Description

一种星际转移轨道设计方法

技术领域

本发明涉及一种星际转移轨道设计方法，尤其涉及一种从三体系统动平衡点附近周期轨道到小天体的转移轨道设计方法，属于航空航天技术领域。

背景技术

转移轨道设计是星际探测任务设计中的关键技术。在已发展的从地球附近利用地-日或地-月系统动平衡点向小行星转移的轨道设计方法并不多见，仅有在先技术[1](参见R.W.Farquhar,D.W.Dunham et al.Utilization oflibration pointsfor human exploration in the Sun-Earth-Moon system and beyond.ActaAstronautica.2004,55:687-700)提出了基于三体系统动平衡点周期轨道稳定与不稳定流形的转移轨道设计方法，并将该方法应用于飞向小行星的转移轨道设计中。该方法利用动平衡点附近周期轨道的流形管道来搜索和设计飞向小行星的低能量转移轨道。若该流形管与小行星轨道相交，则可搜索到低能量的转移方案；若不相交，则可能出现无解，从而导致漏解的情况。同时，该方法也无法讨论和给出从动平衡点附近周期轨道出发飞向小行星的发射窗口。

发明内容

本发明的目的是为了克服已有设计方法漏解和无法给出发射窗口的缺陷，提出一种从三体系统动平衡点附近周期轨道飞向小天体的转移轨道设计方法。

一种从三体系统动平衡点附近周期轨道飞向小天体的转移轨道设计方法，是通过下述技术方案实现的：首先基于探测器所在三体系统动平衡点附近的周期轨道，假设初始时刻探测器的状态x₀＝[r₀,v₀]；然后沿切向施加速度增量Δv使其从动平衡点附近周期轨道出发；基于多体模型建立探测器飞越目标小天体时与目标小天体的距离d_f、飞行时间t_f和切向速度增量Δv之间的关系；通过优化算法可得到飞越距离d_f最小时转移轨道的初值。最后，在此初值的基础上采用二级微分修正法，得到满足两点边值的轨道参数。

具体步骤为：

步骤一、假设初始时刻探测器的状态。

由圆型限制性三体问题动平衡点附近周期轨道的近似解析解，得到探测器周期轨道的初值，采用微分修正法得到精确的数值解。根据此数值解假设探测器初始时刻的状态x₀＝[r₀,v₀]；其中r₀为探测器在天体P₁和P₂构成的质心旋转坐标系下的位置矢量，v₀为探测器的速度矢量。

所述天体P₁和P₂构成的质心旋转坐标系为：坐标原点为P₁和P₂的质心O，从P₁到P₂的指向为x轴指向，P₁和P₂绕质心旋转的平面为xy平面，y轴在xy平面内，且垂直于x轴，z轴满足右手坐标系。

所述三体系统包括探测器和两个质量不同的主天体P₁和P₂。

所述圆型限制性三体问题中探测器质量相对于两个主天体质量可以忽略，P₁、P₂和探测器的质量分别为M₁、M₂和M₃，且M₁＞M₂＞＞M₃。约束两个主天体的运动为圆运动。

步骤二、建立探测器飞越目标小行星时的函数关系。

基于探测器初始时刻的状态x₀，沿切向施加速度增量Δv使其从动平衡点附近周期轨道出发，建立飞越目标小天体时探测器与小天体的距离d_f、飞行时间t_f和切向速度增量Δv之间的函数关系；选取Δv为变量，d_f为目标函数，采用优化算法调整Δv，使得飞越距离d_f最小，得到转移轨道的初值v₁＝v₀+Δv^*；其中，Δv^*为d_f最小时刻的速度增量。

步骤三、基于二级微分修正得到满足约束的转移轨道参数。

基于多体模型和步骤二中得到的转移轨道初值，积分后得到转移轨道；将转移轨道划分为两段；采用二级微分修正方法，分别对探测器的位置和速度进行修正，直到满足任务精度要求。

步骤四、从动平衡点周期轨道出发飞向小行星的发射窗口与轨道设计。

在步骤一中得到的动平衡点附近周期轨道上，选择不同时刻的探测器状态x_i＝[r_i,v_i]，实施步骤二和步骤三，能得到从动平衡点周期轨道出发飞向小行星的发射窗口。基于此发射窗口，并结合任务约束，选择出从三体系统动平衡点附近周期轨道飞向小天体转移轨道的设计参数。

有益效果

本发明方法通过在动平衡点附近周期轨道切向方向施加速度扰动和优化算法得到转移轨道初值，再通过二级微分修正得到满足约束的轨道设计参数。对比已有技术，能够实现对从动平衡点附近周期轨道飞向小天体转移轨道的快速设计，计算量小，效率高。同时通过假设不同的初始时刻探测器状态，可以得到对应的发射窗口，有利于任务的设计和参数的分析与选择。

附图说明

图1为本发明的一种从三体系统动平衡点附近周期轨道飞向小天体的转移轨道设计方法流程图；

图2为具体实施方式中星历模型下的周期轨道；

图3为具体实施方式中二级微分修正示意图；其中，虚线OF为初始轨道，F为末端位置，O为初端位置，P′为拼接点；

图4为具体实施方式中探测器在2012年5月中下旬从日地L2点周期轨道出发飞越4179小行星的发射窗口。

具体实施方式

下面以从日地L2平衡点周期轨道飞向小行星的转移轨道设计为例，并结合附图对本发明方法的实施方式做详细说明。

一种从三体系统动平衡点附近周期轨道飞向小天体的转移轨道设计方法，其基本流程如图1所示，本实施例的具体步骤包括：

步骤一、基于动平衡点附近周期轨道假设初始时刻探测器的状态

由圆型限制性三体问题动平衡点附近周期轨道的近似解析解得到周期轨道的初值。平衡点附近周期轨道的近似解析解可描述为：

$\left\{\begin{array}{c}x\left(t\right)=A_1{e}^{\mathrm{\λt}}+A_2{e}^{-\mathrm{\λt}}+A_x\cos (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\φ})\\ y\left(t\right)=c{A}_1{e}^{\mathrm{\λt}}-c{A}_2{e}^{-\mathrm{\λt}}+k{A}_x\sin (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\φ})\\ z\left(t\right)=A_z\cos (\mathrm{vt}+\mathrm{\ψ})\end{array}\right.---\left(1\right)$

式(1)中c，k，ω，λ，ν为常数，其可由下式计算得到

$\mathrm{\ω}=\sqrt{\frac{2-c_2+\sqrt{9c_2^2-{8c}_2}}{2}},\mathrm{\λ}=\sqrt{\frac{c_2-2+\sqrt{9c_2^2-{8c}_2}}{2}}$

$v=\sqrt{c_2},c=\frac{{\mathrm{\λ}}^2-1-2c_2}{2\mathrm{\λ}},k=\frac{-({\mathrm{\ω}}^2+1+2c_2)}{2\mathrm{\ω}}$

其中，μ＝M₂/(M₁+M₂)。γ为平衡点到质量较小天体的距离。

A₁和A₂是周期轨道的双曲振幅，A_x和A_z是周期轨道在x和z方向的振幅。A_x和A_z描述了周期轨道的尺寸，φ为x和y方向的初值相位，ψ为z方向的初值相位。

由方程(1)给出的仅为近似解，采用微分修正法后可得到精确的数值解。假设x-z平面内的初值考虑到周期轨道的对称性，即

$\stackrel{\·}{x}\left(\frac{T^{*}}{2}\right)=\stackrel{\·}{z}\left(\frac{T^{*}}{2}\right)=y\left(\frac{T^{*}}{2}\right)=0---\left(2\right)$

由状态转移矩阵得：

${\left(\mathrm{\δX}\right)}^T=\mathrm{\Φ}{\left({\mathrm{\δX}}_0\right)}^T+{\left(\frac{\∂X}{\∂t}\right)}^T\mathrm{\δ}\left(\frac{T^{*}}{2}\right)---\left(3\right)$

其中T^*为平衡点附近轨道的周期，Φ为6×6的矩阵，是半周期对应的状态转移矩阵，可以通过求解矩阵微分方程组得到。

$\frac{\mathrm{d\Φ}(t,0)}{\mathrm{dt}}=A\left(t\right)\mathrm{\Φ}(t,0)---\left(4\right)$

其中：

子阵 $K=\left\{\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ -1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right\},s\left(t\right)=\left[\begin{array}{ccc}{U}_{\mathrm{xx}}& U_{\mathrm{xy}}& U_{\mathrm{xz}}\\ U_{\mathrm{yx}}& U_{\mathrm{yy}}& U_{\mathrm{yz}}\\ U_{\mathrm{zx}}& U_{\mathrm{zy}}& U_{\mathrm{zz}}\end{array}\right],$ Φ(0,0)＝E_6×6。U为圆型限制性三体问题中的伪势函数，

假设初值x₀固定，而δz₀ 可调，并且终点要位于x-z平面之内，则可得到：

$\mathrm{\δ}\left(\frac{T^{*}}{2}\right)=-\frac{1}{\stackrel{\·}{y}}({\mathrm{\Φ}}_{23}{\mathrm{\δz}}_0+{\mathrm{\Φ}}_{25}\mathrm{\δ}\stackrel{\·}{y_0})---\left(5\right)$

将(5)式代入(3)式中得到：

$\left(\begin{array}{c}\mathrm{\δ}{\stackrel{\·}{x}}_1\\ \mathrm{\δ}{\stackrel{\·}{z}}_1\end{array}\right)=\left[\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{\Φ}}_{43}& {\mathrm{\Φ}}_{45}\\ {\mathrm{\Φ}}_{63}& {\mathrm{\Φ}}_{65}\end{array}\right)-\frac{1}{{\stackrel{\·}{y}}_1}\left(\begin{array}{c}{\stackrel{\·\·}{x}}_1\\ {\stackrel{\·\·}{z}}_1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{\Φ}}_{23}& {\mathrm{\Φ}}_{25}\end{array}\right)\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}\mathrm{\δ}{z}_0\\ \mathrm{\δ}{\stackrel{\·}{y}}_0\end{array}\right)---\left(6\right)$

利用目标的偏差，通过微分校正的方法对初始状态进行改进，直到满足精度要求为止。同样道理，若假设z₀固定，δx₀,可调，则可得到：

$\left(\begin{array}{c}\mathrm{\δ}{\stackrel{\·}{x}}_1\\ \mathrm{\δ}{\stackrel{\·}{z}}_1\end{array}\right)=\left[\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{\Φ}}_{41}& {\mathrm{\Φ}}_{45}\\ {\mathrm{\Φ}}_{61}& {\mathrm{\Φ}}_{65}\end{array}\right)-\frac{1}{{\stackrel{\·}{y}}_1}\left(\begin{array}{c}{\stackrel{\·\·}{x}}_1\\ {\stackrel{\·\·}{z}}_1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{\Φ}}_{21}& {\mathrm{\Φ}}_{25}\end{array}\right)\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}\mathrm{\δ}{z}_0\\ \mathrm{\δ}{\stackrel{\·}{y}}_0\end{array}\right)---\left(7\right)$

迭代过程中，当积分到x-z平面时，积分终止，利用微分校正法对初值进行修正。若要在精确动力学模型中数值积分形成完整的周期轨道，微分校正结果至少要满足以下精度要求星历模型下，日地L2点x向幅值为29万km，z向幅值为39万km的周期轨道如图2所示。

得到动平衡点附近周期轨道精确的数值解后，根据此数值解，可假设初始时刻探测器的状态x₀＝[r₀,v₀]。

步骤二、建立探测器飞越目标小天体时的函数关系

基于步骤一得到的初始时刻探测器的状态，沿切向施加速度增量Δv使其从动平衡点附近周期轨道出发。基于包括太阳、地球、月球引力的多体模型，建立探测器飞越目标小天体时与小天体的距离d_f、飞行时间t_f和切向速度增量Δv之间的函数关系，即

d_f＝f(t_f,Δv)        (8)

采用如序列二次规划等优化算法得到飞越距离d_f最小时，转移轨道的初值。

步骤三、采用二级微分修正得到满足约束的轨道参数

基于多体模型和步骤二中得到的转移轨道参数，积分后得到转移轨道初值；积分时间为t_f，本实例将转移轨道从中间划分为两段，中间点的积分时间为采用二级微分修正使得两段轨道连续且满足边界条件。修正过程如图3所示。

图3中虚线OF为初始转移轨道，其末端点F与目标小天体位置F^*还有一定距离d_f。通过P点将初始转移轨道划分为两段，修正PF至PF^*，则OPF^*为新的转移轨道，但P点速度不连续。采用二级微分修正，逐次迭代改变P点位置到P′点，直至P′点位置连续且速度连续。二级微分修正分两步完成：位置修正、速度修正。位置修正方法与普通微分修正一致，速度修正的关系为：

$\mathrm{\δ\Δ}{v}_p=\left[\begin{array}{cc}{M}_P& M_{\mathrm{tP}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\δr}}_P\\ {\mathrm{\δt}}_P\end{array}\right]---\left(9\right)$

其中δΔv_P为拼接点速度差，δr_P与δt_P分别为拼接点P的位置修正量和时间修正量，

$M_P=D_{\mathrm{PF}}{B}_{\mathrm{PF}}^{-1}-D_{\mathrm{PO}}{B}_{\mathrm{PO}}^{-1}---\left(10\right)$

$M_{\mathrm{tP}}=D_{\mathrm{PO}}{B}_{\mathrm{PO}}^{-1}{v}_P^{-}-D_{\mathrm{PF}}{B}_{\mathrm{PF}}^{-1}{v}_P^{+}+a_P^{+}-a_P^{-}---\left(11\right)$

其中D_PF,D_PO,B_PF,B_PO分别为PF，PO转移轨道段对应状态转移矩阵Φ_PF及Φ_PO的子矩阵，分别为PF与PO转移轨道段在P点的加速度矢量。

由此，反复实施位置修正和速度修正，直至拼接点的速度不连续量Δv_P满足精度要求。

步骤四、从动平衡点周期轨道出发飞向小行星的发射窗口与轨道设计

基于以上设计方法，在步骤一中得到的动平衡点附近周期轨道上，选择不同时刻探测器的状态x_i＝[r_i,v_i]，实施步骤二和三，可得到从动平衡点周期轨道出发飞向小行星的发射窗口。

由以上求解过程可得探测器在2012年5月中下旬从日地L2点周期轨道出发飞越4179小行星的发射窗口，如图4所示。

图4中x轴表示从日地L2点周期轨道出发的时间，y轴表示飞越4179小行星的时间。由图4可以分析探测器从周期轨道出发的机会及飞越小行星时的参数。在2012年5月中下旬从周期轨道离轨开展小行星飞越任务时，最佳的飞越时间在2012年12月13日附近，出发时间越接近5月30日所需速度增量越小，5月30日附近直接离轨出发所需速度增量小于110m/s。

至此，完成了从三体系统动平衡点周期轨道飞向小天体转移轨道的设计。

Claims (2)

1.一种星际转移轨道设计方法，其特征在于：具体包括如下步骤：

步骤一、假设初始时刻探测器的状态；

由圆型限制性三体问题动平衡点附近周期轨道的近似解析解，得到探测器周期轨道的初值，采用微分修正法得到精确的数值解；根据此数值解假设探测器初始时刻的状态x₀＝[r₀,v₀]；其中r₀为探测器在第一天体和第二天体构成的质心旋转坐标系下的位置矢量，v₀为探测器的速度矢量；所述第一天体和第二天体构成的质心旋转坐标系为：坐标原点为第一天体和第二天体的质心O，从第一天体到第二天体的指向为x轴指向，第一天体和第二天体绕质心旋转的平面为xy平面，y轴在xy平面内，且垂直于x轴，z轴满足右手坐标系；

步骤二、建立探测器飞越目标小行星时的函数关系；

基于探测器初始时刻的状态x₀，沿切向施加速度增量Δv使其从动平衡点附近周期轨道出发，建立飞越目标小行星时探测器与目标小行星的距离d_f、飞行时间t_f和切向速度增量Δv之间的函数关系；选取Δv为变量，d_f为目标函数，采用优化算法调整Δv，使得飞越距离d_f最小，得到转移轨道的初值v₁＝v₀+Δv^*；其中，Δv^*为d_f最小时刻的速度增量；

步骤三、基于二级微分修正得到满足约束的转移轨道参数；

基于多体模型和步骤二中得到的转移轨道初值，积分后得到转移轨道；将转移轨道划分为两段；采用二级微分修正方法，分别对探测器的位置和速度进行修正，直到满足任务精度要求；

步骤四、从动平衡点周期轨道出发飞向小行星的发射窗口与轨道设计；

在步骤一中得到的动平衡点附近周期轨道上，选择不同时刻的探测器状态x_i＝[r_i,v_i]，实施步骤二和步骤三，能得到从动平衡点周期轨道出发飞向小行星的发射窗口；基于此发射窗口，并结合任务约束，选择出从圆型限制性三体问题动平衡点附近周期轨道飞向目标小行星转移轨道的设计参数。

2.根据权利要求1所述的一种星际转移轨道设计方法，其特征在于：所述圆型限制性三体问题包括探测器和两个质量不同的第一天体、第二天体；相对于第一天体和第二天体质量，探测器质量能够被忽略，第一天体、第二天体和探测器的质量分别为M₁、M₂和M₃，且M₁＞M₂＞＞M₃；约束第一天体和第二天体的运动为圆运动。