CN104443432B - 一种卫星有限推力共面圆轨道自主轨道转移制导方法 - Google Patents

Abstract

一种卫星有限推力共面圆轨道自主轨道转移制导方法，本发明涉及一种卫星有限推力共面圆轨道自主轨道转移制导方法。本发明的目的是为了解决卫星在实际轨道转移过程中，存在发动机的推力幅值有限问题和轨道转移过程缺乏自主性及现有轨道转移数值方法计算量大的问题。步骤一：建立卫星轨道动力学模型；步骤二：卫星进入设计的椭圆滑行轨道；步骤三：根据得到的当前位置信息，判断卫星在椭圆滑行轨道中的位置是否满足开机约束条件，当达到开机约束条件后，在开机指令的控制作用下，发动机再次开机，进入第二次推力作用段；步骤四：卫星进入目标轨道。本发明应用于卫星轨道转移制导与控制领域。

Description

一种卫星有限推力共面圆轨道自主轨道转移制导方法

技术领域

本发明涉及一种卫星有限推力共面圆轨道自主轨道转移制导方法，属于卫星轨道转移制导与控制领域。

背景技术

轨道转移是卫星在轨运行中的关键部分，也是卫星在轨执行任务的前提之一。轨道转移方法是实现轨道转移的核心技术，传统的轨道转移方法大都基于霍曼轨道转移理论，霍曼变轨属于大推力脉冲式的变轨，即假设需要的速度脉冲是在瞬间完成的，但是实际的轨道转移过程中，发动机的推力幅值是一定的而且冲量是无法瞬间产生的，所以这种假设直接影响着这轨道转移的精度；随着航天器技术的发展，同步卫星入轨、深空探测及探月等相关任务的开展，卫星在轨任务逐渐变得多样化和复杂化，有限推力特别是小推重比发动机因其具有高比冲、有限载荷质量百分比大等特点越来越受到人们的重视。

轨道转移方法直接影响着卫星星载计算机任务量大的大小、轨道机动的自主性及进入目标轨道的精度，目前大多数轨道转移多采用数值方法，这种方法虽然精度相对较高，但是计算量大，这无疑增加了星载计算机的任务需求，然而如果提前将数据信息处理注入星载计算机，由于空间环境的复杂性，这又必然导致轨道转移执行任务的自主性丧失，因此，在保证任务精度的条件下，设计一种计算工作量小，自主性强的轨道转移方法具有重要意义。

发明内容

本发明的目的是为了解决卫星在实际轨道转移过程中，存在发动机的推力幅值有限问题和轨道转移过程缺乏自主性及现有轨道转移数值方法计算量大的问题，并针对存在的问题提供了一种卫星有限推力共面圆轨道自主轨道转移制导方法。

本发明基于速度增益制导，采用“推-滑-推”三段式的设计模式，实现卫星在轨共面圆轨道转移，它包括以下步骤：

一种卫星有限推力共面圆轨道自主轨道转移制导方法它按以下步骤实现：

步骤一：建立卫星轨道动力学模型；

步骤二：根据初始轨道参数、目标轨道参数和发射窗口初始条件，利用速度增益制导，在发动机有限推力的作用下，进入第一次推力作用段使卫星进入设计的椭圆滑行轨道，然后关闭发动机，并使发动机关机时刻卫星的速度等于椭圆滑行轨道极点的速度；

步骤三：在卫星进入椭圆滑行轨道后，利用步骤一中的卫星轨道动力学模型向前积分的时间步长dt，得到新的状态，根据得到的当前位置信息，判断卫星在椭圆滑行轨道中的位置是否满足开机约束条件，当达到开机约束条件后，在开机指令的控制作用下，发动机再次开机，进入第二次推力作用段；

步骤四：利用速度增益制导，在发动机有限推力的控制作用中下，使卫星当前速度逐渐趋于需要速度，直至使卫星进入目标轨道，增益速度趋近于零并满足目标轨道条件，发动关机，轨道转移结束。

本发明的优点是：

本发明基于实际工程背景，设计了“推—滑—推”三段式的同平面圆轨道自主轨道转移方法，设计在将实际发动机推力视为有限推力，相比于传统的霍曼轨道转移方法，本发明在实际工程中符合实际工程背景；并且应用了速度增益制导的方法，弥补了现有的数值方法的计算工作量大、在轨轨道转移缺乏自主性等缺点，与现有的数值方法相比，本发明计算量小，在已知目标轨道参数时，卫星可以在离开地面站控制的情况下进行自主轨道转移，在工程上具有较强的实际应用价值。

附图说明

图1是本发明方法的流程图；

图2是本发明的制导方法原理图；

图3是建立轨道动力学方程采用的极坐标说明图；

图4表示速度增益制导原理图；

图5是第一次推力段轨道轨迹示意图；

图6是滑行段轨道轨迹示意图；

图7是第二次推力段轨道轨迹示意图；

图8是示例仿真流程图；

图9是仿真中轨道转移轨迹图；

图10是仿真中轨道转移高度变化图；

图11是仿真中卫星径向速度变化图；

图12是仿真中卫星切向速度变化图；

图13是仿真中推力方向角变化图；

图14是仿真中径向、切向加速度变化图；

图15是仿真中卫星质量变化图。

具体实施方式

具体实施方式一：本实施方式的一种卫星有限推力共面圆轨道自主轨道转移制导方法，方法的原理如图1、2所示，它的具体过程如下：一种卫星有限推力共面圆轨道自主轨道转移制导方法它按以下步骤实现：

步骤一：建立卫星轨道动力学模型；

步骤二：根据初始轨道参数、目标轨道参数和发射窗口初始条件，利用速度增益制导，在发动机有限推力的作用下，进入第一次推力作用段使卫星进入设计的椭圆滑行轨道，然后关闭发动机，并使发动机关机时刻卫星的速度等于椭圆滑行轨道极点的速度；

步骤三：在卫星进入椭圆滑行轨道后，利用步骤一中的卫星轨道动力学模型向前积分的时间步长dt，得到新的状态，根据得到的当前位置信息，判断卫星在椭圆滑行轨道中的位置是否满足开机约束条件，当达到开机约束条件后，在开机指令的控制作用下，发动机再次开机，进入第二次推力作用段；

步骤四：利用速度增益制导，在发动机有限推力的控制作用中下，使卫星当前速度逐渐趋于需要速度，直至使卫星进入目标轨道，增益速度趋近于零并满足目标轨道条件，发动关机，轨道转移结束。

本发明的优点是：

本发明基于实际工程背景，设计了“推—滑—推”三段式的同平面圆轨道自主轨道转移方法，设计在将实际发动机推力视为有限推力，相比于传统的霍曼轨道转移方法，本发明在实际工程中符合实际工程背景；并且应用了速度增益制导的方法，弥补了现有的数值方法的计算工作量大、在轨轨道转移缺乏自主性等缺点，与现有的数值方法相比，本发明计算量小，在已知目标轨道参数时，卫星可以在离开地面站控制的情况下进行自主轨道转移，在工程上具有较强的实际应用价值。

具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是：本实施方式是对具体实施方式一中的步骤一具体说明，所述步骤一中的卫星轨道动力学模型是在极坐标系下表达的，轨道动力学模型采用的极坐标系如图3所示，它的具体形式为：以卫星轨道面为极坐标面，取地心为坐标极点，在轨道面内卫星与地心的距离r为极径，以地心指向卫星方向矢量为极轴，以当前极径与初始机动时刻极径的夹角θ为极角，逆时针方向为正。通过极坐标系可以把速度分解为径向速度v_r和切向速度v_θ；

所述步骤一中的卫星轨道动力学模型为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{r}=v_r\\ \stackrel{.}{\mathrm{\θ}}=\frac{v_{\mathrm{\θ}}}{r}\\ {\stackrel{.}{v}}_r=-\frac{\mathrm{\μ}}{r^2}+\frac{v_{\mathrm{\θ}}^2}{r}+a\sin \mathrm{\α}\\ {\stackrel{.}{v}}_{\mathrm{\θ}}=-\frac{v_r{v}_{\mathrm{\θ}}}{r}+a\cos \mathrm{\α}\\ a=\frac{F}{m}\\ \stackrel{\·}{m}=-\frac{F}{I_g\·g_0}\end{array}\right.$

式中r为当前时刻卫星与地心之间的距离；θ为卫星的飞行方位角；v_r为极坐标系下的径向速度；v_θ为极坐标系下的切向速度；F为发动机有限推力幅值；a表示加速度幅值；m为卫星的当前质量；I_g为发动机的比冲，单位为s；g₀为海平面标准重力加速度，α为推力方向角，即推力矢量与切向速度的夹角，顺时针为正，取值范围为[-π，π]，μ为地心引力常数。其它步骤及参数与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是：本实施方式是对步骤二的具体说明，即轨道转移过程中的第一次推力段的具体说明，本实施方式的具体过程为：如图4所示，所述步骤二具体为：

一、速度增益制导的数学模型：

如图4所示，定义在t时刻卫星的当前速度为v，到达设定的椭圆滑行轨道需要速度为v_R，卫星需要增益的速度为v_g，得速度增益制导的数学模型为：

v_g＝v_R-v

式中v＝[v_rv_θ]^T，其中v_r和v_θ分别代表卫星极坐标系下的径向速度和切向速度，上标T代表矩阵的转置；

由于在第一次推力段，如图5所示，卫星进入椭圆滑行轨道的目标点为卫星当前位置距椭圆滑行轨道最近的一个极点，在椭圆滑行轨道极点的位置处卫星的径向速度为零，只有切向速度，所以需要速度v_R可根据如下公式计算：

v_R＝[0,v_Rθ]^T

$v_{\mathrm{R\θ}}=\sqrt{\mathrm{\μ}(\frac{2}{r}-\frac{2}{r+r_f})}$

式中v_Rθ表示需要速度的切向分量，其大小仅与卫星的当前位置有关，其中μ为地心引力常数，r代表当前时刻卫星与地心之间的距离，r_f为轨道转移任务的最终目标轨道半径，上标T代表矩阵的转置；

二、推力方向的确定：

在速度增益制导的过程中，直接取推力的方向与增益速度v_g的方向一致，得推力方向角α的计算公式为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\α}=a\tan \left(\frac{v_{\mathrm{gr}}}{v_{\mathrm{g\θ}}}\right)\\ v_g={\left[\begin{array}{cc}{v}_{\mathrm{gr}}& v_{\mathrm{g\θ}}\end{array}\right]}^T\end{array}\right.$

式中v_g代表增益速度，v_gr和v_gθ分别表示增益速度在极坐标系下的径向和切向分量，符号atan(·)为反正切函数，返回数值表达式的反正切值，上标T代表矩阵的转置；

三、推力大小的选择：

由于发动机属于有限推力，所述发动机有限推力幅值F取值按如下方式：

$F=\left\{\begin{array}{cc}{F}_{\max }& \left|v_g\right|\&GreaterEqual;F_{\max }\&CenterDot;\mathrm{dt}\\ \left|v_g\right|/\mathrm{dt}& F_{\min }\&CenterDot;\mathrm{dt}<\left|v_g\right|<F_{\max }\&CenterDot;\mathrm{dt}\\ F_{\min }& \left|v_g\right|\&le;F_{\min }\&CenterDot;\mathrm{dt}\end{array}\right.$

式中F_max、F_min分别代表发动机的最大有限推力和最小有限推力幅值，dt为向前积分的时间步长；

四、发动机关闭指令的判断：

发动机关闭指令选用γ制导的方式，根据制导原理，发动机关闭方程可取为：

v_g＝|v_g|≤ε→0

式中ε表示可容忍误差，其大小取决于发动机的比冲和制导周期，ε的值越小制导精度越高；

所述滑行椭圆轨道轨道是需要增益的速度最小的轨道，对应于关机时刻极点速度大小可根据如下轨道速度公式计算：其中，所述极点是由低轨向高轨转移为最低点或由高轨向低轨转移为最高点，

$v=\sqrt{\mathrm{\&mu;}(\frac{2}{r}-\frac{2}{r+r_f})}$

式中r为当前时刻卫星与地心之间的距离，r_f为轨道转移任务的最终目标轨道半径；

其中发动机关机时刻的地心距即为滑行椭圆轨道的最高或最低心距，发动机关机时刻卫星进入的轨道，即为设计的椭圆轨道。

其它相关参数与具体实施方式一或二相同。

具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一至三之一不同的是：本实施方式是对步骤三的进一步说明，即轨道转移过程中滑行段的具体说明，本实施方式的具体过程为：所述步骤三具体为：

一、如图6所示，卫星在椭圆滑行轨道滑行过程中，发动机处于关机状态，即加速度幅值a为零，向前积分的时间步长dt取决于制导周期的大小，考虑到卫星上所带计算机的计算延迟，计算步长dt的值必须大于或等于制导周期，实现准确的判断，dt的取值范围取：

τ≤dt≤2τ

其中式中τ为制导周期；

二、所述步骤三中发动机再次开机的时间判断依据是：轨道转移过程中计算是连续的，当计算第一次轨道高度达到预设的阀值△h时，发动机开机，阀值根据如下公式计算：

|r-r_f|＝△h

式中r为当前时刻地心距，r_f为轨道转移任务的最终目标轨道半径，一般取△h<10公里，△h的大小取决于星敏感器的测量误差以及推重比的大小，其大小直接影响着最终轨道与目标轨道的偏差以及入轨时间和燃料消耗量。

其它步骤及参数与具体实施方式一至三之一相同。

具体实施方式五：本实施方式与具体实施方式一至四之一不同的是：本实施方式是对步骤四的进一步说明，即轨道转移过程中第二次推力段的具体说明，如图7所示，本实施方式的具体过程为：

所述步骤四具体为：

一、制导方式采用与步骤二中相同的制导方式，即速度增益制导，制导公式为：

v_g＝v_R-v

式中v_g代表增益速度，v_R表示需要速度，v表示当前时刻卫星的速度；

在第二次开机时刻，卫星的位置已接近任务最终需要满足的目标轨道高度，再次引入速度增益的制导的目的是使卫星准确的进入目标轨道，并停留在目标轨道上运行，由于目标轨道是圆轨道，因此制导的最终目标是使卫星的径向速度为零，切向速度满足在目标轨道停留约束条件，在该阶段当前需要速度v_R按如下公式计算：

$v_R={[0,\sqrt{\mathrm{\&mu;}/r_f}]}^T$

式中μ为地心引力常数，r_f为轨道转移任务的最终目标轨道半径，上标T代表矩阵的转置；

二、推力方向的确定：

由于第二次推力段，如图7所示，在制导的过程中，直接取推力的方向与增益速度v_g的方向一致，得推力方向角α的计算公式为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&alpha;}=a\tan \left(\frac{v_{\mathrm{gr}}}{v_{\mathrm{g\&theta;}}}\right)\\ v_g={\left[\begin{array}{cc}{v}_{\mathrm{gr}}& v_{\mathrm{g\&theta;}}\end{array}\right]}^T\end{array}\right.$

式中v_g代表增益速度，v_gr和v_gθ分别表示增益速度在极坐标系下的径向和切向分量，上标T代表矩阵的转置，符号atan(·)为反正切函数，返回数值表达式的反正切值；

三、推力大小的选择：

在制导过程中选取发动机的推力方向与增益速度v_g的方向一致，推力大小仍按如下方式选择：

$F=\left\{\begin{array}{cc}{F}_{\max }& \left|v_g\right|\&GreaterEqual;F_{\max }\&CenterDot;\mathrm{dt}\\ \left|v_g\right|/\mathrm{dt}& F_{\min }\&CenterDot;\mathrm{dt}<\left|v_g\right|<F_{\max }\&CenterDot;\mathrm{dt}\\ F_{\min }& \left|v_g\right|\&le;F_{\min }\&CenterDot;\mathrm{dt}\end{array}\right.$

式中F_max、F_min分别代表发动机的最大推力和最小推力幅值，dt为计算时间步长；

四、关机指令的判断：

在制导过程中选取发动机的推力方向与增益速度v_g的方向一致，关机指令选用γ制导的方式，关机方程取为：

v_g＝|v_g|≤ε′→0

式中ε′表示最大可接受的误差值，其大小与制导周期和发动机比冲有关，理想情况下能达到ε′＝0，即轨道转移任务的最终轨道与目标轨道完全吻合，但在实际制导过程中由于存在计算模型误差、时间延迟以及测量设备的测量误差等，ε′＝0很难实现，因此只能选择在达到v_g≤ε′时生成关机指令，ε′的值越小最终轨道与目标轨道的偏差越小。

其它步骤及参数与具体实施方式一至四之一相同。

发动机关机之后，轨道转移任务结束。

具体实例：结合图8～图15说明本具体实例。

下面以同平面圆轨道卫星轨道转移为例，说明本方法的合理性，具体过程为：

卫星发动机推力为1000N，发动机比冲为312.04s，在轨道高度为800公里的圆轨道上运行。

目标轨道为圆轨道，轨道高度为1000公里，初始轨道转移时刻t＝0，初始燃料1000kg，卫星初始时刻总质量5000kg，初始方位角θ₀＝0。

计算仿真流程图如图8所示，选用计算步长为0.01s，第二次开机时刻位置选为距离目标轨道2km位置，仿真结果如图9～图15所示，计算得到最终轨道的高度值为999.25公里，切向速度为7352.7m/s，径向速度为-0.3320m/s，燃料消耗质量为172.9kg。

Claims (5)

1.一种卫星有限推力共面圆轨道自主轨道转移制导方法，其特征在于它按以下步骤实现：

步骤一：建立卫星轨道动力学模型；

步骤二：根据初始轨道参数、目标轨道参数和发射窗口初始条件，利用速度增益制导，在发动机有限推力的作用下，进入第一次推力作用段使卫星进入设计的椭圆滑行轨道，然后关闭发动机，并使发动机关机时刻卫星的速度等于椭圆滑行轨道极点的速度；

步骤三：在卫星进入椭圆滑行轨道后，利用步骤一中的卫星轨道动力学模型向前积分的时间步长dt，得到新的状态，根据得到的当前位置信息，判断卫星在椭圆滑行轨道中的位置是否满足开机约束条件，当达到开机约束条件后，在开机指令的控制作用下，发动机再次开机，进入第二次推力作用段；

步骤四：利用速度增益制导，在发动机有限推力的控制作用中下，使卫星当前速度逐渐趋于需要速度，直至使卫星进入目标轨道，增益速度趋近于零并满足目标轨道条件，发动关机，轨道转移结束。

2.根据权利要求1所述的一种卫星有限推力共面圆轨道自主轨道转移制导方法，其特征在于所述步骤一中的卫星轨道动力学模型为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{r}=v_r\\ \stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}=\frac{v_{\mathrm{\&theta;}}}{r}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_r=-\frac{\mathrm{\&mu;}}{r^2}+\frac{v_{\mathrm{\&theta;}}^2}{r}+asin\mathrm{\&alpha;}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_{\mathrm{\&theta;}}=-\frac{v_r{v}_{\mathrm{\&theta;}}}{r}+acos\mathrm{\&alpha;}\\ a=\frac{F}{m}\\ m=-\frac{F}{I_g\&CenterDot;g_0}\end{array}\right.$

式中r为当前时刻卫星与地心之间的距离；θ为卫星的飞行方位角；v_r为极坐标系下的径向速度；v_θ为极坐标系下的切向速度；F为发动机有限推力幅值；a表示加速度幅值；m为卫星的当前质量；I_g为发动机的比冲，单位为s；g₀为海平面标准重力加速度，α为推力方向角，即推力矢量与切向速度的夹角，顺时针为正，取值范围为[-π，π]，μ为地心引力常数。

3.根据权利要求1或2所述的一种卫星有限推力共面圆轨道自主轨道转移制导方法，其特征在于所述步骤二具体为：

一、速度增益制导的数学模型：

定义在t时刻卫星的当前速度为v，到达设定的椭圆滑行轨道需要速度为v_R，卫星需要增益的速度为v_g，得速度增益制导的数学模型为：

v_g＝v_R-v

式中v＝[v_rv_θ]^T，其中v_r和v_θ分别代表卫星极坐标系下的径向速度和切向速度，上标T代表矩阵的转置；

在第一次推力段，卫星进入椭圆滑行轨道的目标点为卫星当前位置距椭圆滑行轨道最近的一个极点，在椭圆滑行轨道极点的位置处卫星的径向速度为零，只有切向速度，所以需要速度v_R可根据如下公式计算：

v_R＝[0,v_Rθ]^T

$v_{R\mathrm{\&theta;}}=\sqrt{\mathrm{\&mu;}(\frac{2}{r}-\frac{2}{r+r_f})}$

式中v_Rθ表示需要速度的切向分量，其大小仅与卫星的当前位置有关，其中μ为地心引力常数，r代表当前时刻卫星与地心之间的距离，r_f为轨道转移任务的最终目标轨道半径，上标T代表矩阵的转置；

二、推力方向的确定：

在速度增益制导的过程中，直接取推力的方向与增益速度v_g的方向一致，得推力方向角α的计算公式为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&alpha;}=atan\left(\frac{v_{gr}}{v_{g\mathrm{\&theta;}}}\right)\\ v_g={\left[\begin{array}{cc}{v}_{gr}& v_{g\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right]}^T\end{array}\right.$

式中v_g代表增益速度，v_gr和v_gθ分别表示增益速度在极坐标系下的径向和切向分量，符号atan(·)为反正切函数，返回数值表达式的反正切值，上标T代表矩阵的转置；

三、推力大小的选择：

由于发动机属于有限推力，所述发动机有限推力幅值F取值按如下方式：

$F=\left\{\begin{array}{cc}{F}_{\max }& \left|v_g\right|\&GreaterEqual;F_{\max }\&CenterDot;dt\\ \left|v_g\right|/dt& F_{\min }\&CenterDot;dt<\left|v_g\right|<F_{\max }\&CenterDot;dt\\ F_{\min }& \left|v_g\right|\&le;F_{\min }\&CenterDot;dt\end{array}\right.$

式中F_max、F_min分别代表发动机的最大有限推力和最小有限推力幅值，dt表示向前积分的时间步长；

四、发动机关闭指令的判断：

发动机关闭指令选用γ制导的方式，根据制导原理，发动机关闭方程可取为：

v_g＝|v_g|≤ε→0

式中ε表示可容忍误差，其大小取决于发动机的比冲和制导周期，ε的值越小制导精度越高；

所述滑行椭圆轨道轨道是需要增益的速度最小的轨道，对应于关机时刻极点速度大小可根据如下轨道速度公式计算：其中，所述极点是由低轨向高轨转移为最低点或由高轨向低轨转移为最高点，

$v=\sqrt{\mathrm{\&mu;}(\frac{2}{r}-\frac{2}{r+r_f})}$

式中r为当前时刻卫星与地心之间的距离，r_f为轨道转移任务的最终目标轨道半径；

其中发动机关机时刻的地心距即为滑行椭圆轨道的最高或最低心距，发动机关机时刻卫星进入的轨道，即为设计的椭圆轨道。

4.根据权利要求3所述的一种卫星有限推力共面圆轨道自主轨道转移制导方法，其特征在于所述步骤三具体为：

一、卫星在椭圆滑行轨道滑行过程中，发动机处于关机状态，即加速度幅值a为零，向前积分的时间步长dt取决于制导周期的大小，考虑到卫星上所带计算机的计算延迟，计算步长dt的值必须大于或等于制导周期，实现准确的判断，dt的取值范围取：

τ≤dt≤2τ

其中式中τ为制导周期；

二、所述步骤三中发动机再次开机的时间判断依据是：轨道转移过程中计算是连续的，当计算第一次轨道高度达到预设的阀值△h时，发动机开机，阀值根据如下公式计算：

|r-r_f|＝△h

式中r为当前时刻地心距，r_f为轨道转移任务的最终目标轨道半径，取△h<10公里，△h的大小取决于星敏感器的测量误差以及推重比的大小，其大小直接影响着最终轨道与目标轨道的偏差以及入轨时间和燃料消耗量。

5.根据权利要求1或4所述的一种卫星有限推力共面圆轨道自主轨道转移制导方法，其特征在于所述步骤四具体为：

一、制导方式采用与步骤二中相同的制导方式，即速度增益制导，制导公式为：

v_g＝v_R-v

式中v_g代表增益速度，v_R表示需要速度，v表示当前时刻卫星的速度；

在第二次开机时刻，卫星的位置已接近任务最终需要满足的目标轨道高度，再次引入速度增益的制导的目的是使卫星准确的进入目标轨道，并停留在目标轨道上运行，由于目标轨道是圆轨道，因此制导的最终目标是使卫星的径向速度为零，切向速度满足在目标轨道停留约束条件，在第二次开机时刻阶段当前需要速度v_R按如下公式计算：

$v_R={\&lsqb;0,\sqrt{\mathrm{\&mu;}/r_f}\&rsqb;}^T$

式中μ为地心引力常数，r_f为轨道转移任务的最终目标轨道半径，上标T代表矩阵的转置；

二、推力方向的确定：

由于第二次推力段，在制导的过程中，直接取推力的方向与增益速度v_g的方向一致，得推力方向角α的计算公式为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&alpha;}=atan\left(\frac{v_{gr}}{v_{g\mathrm{\&theta;}}}\right)\\ v_g={\left[\begin{array}{cc}{v}_{gr}& v_{g\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right]}^T\end{array}\right.$

式中v_g代表增益速度，v_gr和v_gθ分别表示增益速度在极坐标系下的径向和切向分量，上标T代表矩阵的转置，符号atan(·)为反正切函数，返回数值表达式的反正切值；

三、推力大小的选择：

在制导过程中选取发动机的推力方向与增益速度v_g的方向一致，推力大小仍按如下方式选择：

$F=\left\{\begin{array}{cc}{F}_{\max }& \left|v_g\right|\&GreaterEqual;F_{\max }\&CenterDot;dt\\ \left|v_g\right|/dt& F_{\min }\&CenterDot;dt<\left|v_g\right|<F_{\max }\&CenterDot;dt\\ F_{\min }& \left|v_g\right|\&le;F_{\min }\&CenterDot;dt\end{array}\right.$

式中F_max、F_min分别代表发动机的最大推力和最小推力幅值，dt为计算时间步长；

四、关机指令的判断：

在制导过程中选取发动机的推力方向与增益速度v_g的方向一致，关机指令选用γ制导的方式，关机方程取为：

v_g＝|v_g|≤ε′→0

式中ε′表示最大可接受的误差值，其大小与制导周期和发动机比冲有关，理想情况下能达到ε′＝0，即轨道转移任务的最终轨道与目标轨道完全吻合，但在实际制导过程中由于存在计算模型误差、时间延迟以及测量设备的测量误差等，ε′＝0很难实现，因此只能选择在达到v_g≤ε′时生成关机指令，ε′的值越小最终轨道与目标轨道的偏差越小；

发动机关机之后，轨道转移任务结束。