CN109190155A - 一种采用电推进/太阳帆推进的混合连续小推力轨道设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种采用电推进/太阳帆推进的混合连续小推力轨道设计方法，首先建立虚拟引力场动力学模型；其次建立在虚拟引力场中的切向推力轨道动力学模型，求解其解析解；然后对所求得的解析解进行精度分析；最后建立轨道优化模型，采用电推进/太阳帆推进的混合连续小推力方法进行轨道优化。本发明在保证精度的条件下，能够大大的减小计算量，能够减小实现轨道转移所需的推力，扩大了小推力轨道应用的范围。

Description

一种采用电推进/太阳帆推进的混合连续小推力轨道设计 方法

技术领域

本发明属于航天技术开发领域，具体涉及一种采用电推进/太阳帆推进的混合连续小推力轨道设计方法。

背景技术

连续小推力轨道设计在空间机动轨道设计方面有广泛的应用。与传统脉冲推力或大推力相比，连续小推力轨道机动容易控制，机动能力强；另外其比冲小，实现轨道机动所需要的燃料很少，因而成为研究热点。Mcinnes首次提出了使用太阳帆来改变引力场的大小，设计了悬浮轨道，并推导了实现悬浮轨道的所需推力的解析解。进一步，Malcolm等采用太阳帆产生切向固定推力，设计了从地球轨道到太阳极轨的转移轨道，并进一步解决了轨道优化问题。然而，由于单独采用电推进或者太阳帆产生的推力较小，轨道转移常常需要很长时间。针对这个问题，Mengali和Quarta提出了太阳帆和太阳帆电推进结合的混合推进方法，并采用间接优化方法进行了轨道优化。其中，太阳帆产生径向推力，用于改变引力场的引力常数，而于此同时电推进产生固定切向推力。在假定太阳帆能够产生50％的中心引力(μ₂＝0.5μ₁)的条件下，混合推力能够减少燃料的消耗并且缩短空间机动任务时间。然而该方法是作为一种间接优化方法，并没有考虑推力约束问题，很难应用于实际空间机动轨道设计中。

发明内容

本发明的目的在于提供一种采用电推进/太阳帆推进的混合连续小推力轨道设计方法，以克服上述现有技术存在的缺陷，本发明在保证精度的条件下，能够大大的减小计算量，能够减小实现轨道转移所需的推力，扩大了小推力轨道应用的范围。

为达到上述目的，本发明采用如下技术方案：

一种采用电推进/太阳帆推进的混合连续小推力轨道设计方法，包括如下步骤：

1)建立虚拟引力场动力学模型；

2)建立在虚拟引力场中的切向推力轨道动力学模型，求解其解析解；

3)对所求得的解析解进行精度分析；

4)采用电推进/太阳帆推进的混合连续小推力方法进行轨道优化。

进一步地，步骤1)具体为：

设定地心引力场引力常数为μ₁，航天器在地心惯性坐标系下位置矢量为假定在航天器上施加推力加速度为则有：

假设地心惯性坐标系为OXYZ，虚拟中心引力场坐标系为O′X′Y′Z′，推力与地心引力场的合力形成的虚拟中心引力场参数为则在虚拟中心引力场坐标系下有：

设在特定虚拟中心引力场中，为定值，则地心惯性坐标系下航天器位置和速度与虚拟中心引力场坐标系下位置和速度转化关系为：

其中，v₁为航天器在实际引力场中的速度，v₂为航天器在虚拟引力场中的速度，由式(2)，式(3)，在虚拟中心引力场坐标系下，航天器运动方程表示为如下形式：

其中μ₂为虚拟引力场常数，实现虚拟中心引力场所需推力由下式得到，

将式(3)带入式(5)，为实际引力场中的引力，而为虚拟引力场中的引力，则需要实现的推力为：

即通过调整推力，你能够形成一种虚拟中心引力场，在该虚拟中心引力场中，航天器运动轨迹为虚拟圆锥曲线，若该虚拟圆锥曲线轨道满足轨道转移约束，则能够实现轨道机动。

进一步地，步骤2)具体为：

在切向推力作用下，平面轨道高斯摄动方程为，

其中，h为轨道角动量，r为轨道高度，f_r为径向推力；a为轨道半长轴，e为偏心率，ω为近地点俯角，θ为真近点角，E为偏近点角，p＝a(1-e²)为半通径，为瞬时时刻的平均轨道角速度，μ为引力场数，假定径向加速度为零，则有：

径向推力f_r以及周向推力f_θ和切向推力f之间的关系为：

而真近点角和偏近点角的关系为：

因此，将式(7)中自变量转换为偏近点角，则轨道半长轴和偏心率的变化为：

其中E为偏近点角，E₀E_f分别为初始时刻和终点时刻的偏近点角，f_t为连续切向推力；

在虚拟引力场中的切向推力轨道近似解析解为：

a_vg Δa_vg μ_vgΔe_vg分别为虚拟引力场轨道半长轴，虚拟引力场轨道半长轴增量，虚拟引力场数，虚拟引力场轨道偏心率增量；当初始点和目标点已知时，上式中的参数E已知，边界约束则转化为：

其中(a_i)_vg为虚拟引力场中的初始轨道半长轴，(a_t)_vg为虚拟引力场中的目标轨道半长轴，(Δa)_vg为虚拟引力场中轨道机动产生的半长轴增量，其中(e_i)_vg为虚拟引力场中的初始轨道偏心率，(e_t)_vg为虚拟引力场中的目标轨道偏心率，(Δa)_vg为虚拟引力场中轨道机动产生的偏心率增量；由此，采用虚拟引力场下的连续推力轨道设计方法，能够将所有满足边界约束的轨道用一组参数x＝(μ_vg,r_vg,f_t)表示，即转移轨道参数化，r_vg为虚拟引力场的引力中心偏移量，这样转移轨道设计与优化问题就转化成为参数设计与优化问题，采用虚拟引力场下的混合连续小推力轨道设计，需要给航天器施加推力，一部分推力用于形成虚拟引力场，另一部分推力用于形成虚拟引力场中的切向力，具体推力分配：利用太阳帆形成虚拟引力场，利用电推进来产生虚拟引力场中的切向推力；当太阳帆和电推进同时作用时，实际的轨道相当于航天器在虚拟引力场中受到固定切向推力作用的机动轨道。

进一步地，步骤3)具体为：

为描述解析解与数值解的误差，在此定义误差因子参数，如式(14)所示：

其中Δθ为轨道转移的转移角，通过对比式(10)及式(12)，解析解的误差因子参数会随着切向推力、轨道半长轴、偏近点角的增大而增大，当e<0.7时，偏心率越大，误差因子参数越大；

在采用虚拟引力场常值切向力解析方法设计转移轨道时，只需要保证误差因子k＜k^*，此处k^*为容许误差因子。

进一步地，步骤4)具体为：

假定混合径向推力加速度为T_r，太阳帆和电推进分别产生的为a_ssr,a_SEPr；切向推力为T_c，太阳帆和电推进分别产生的为a_ssc,a_SEPc，太阳帆推进和电推进的数学模型如下所示：

在此假定太阳帆推进的姿态角α是转移角θ的二阶多项式，假定多项式系数为a_i，i＝0,1,2，如下所示：

α＝a₂·θ²+a₁·θ+a₀

通过对多项式的参数进行优化，能够最大限度地增大太阳帆的使用效率，减小电推进的燃料消耗，进而减小混合推力的燃料消耗，电推进所需要提供的推力加速度函数F_r(·)，F_t(·)表示为：

假定虚拟引力场参数上下限为μ_vgL,μ_vgU，切向力参数上下限为f_sepL,f_sepU，引力场中心位置偏移量的上下限为r_vgL,r_vgU，则有：

μ_vg∈[μ_vgL,μ_vgU],r_vg∈[r_vgL,r_vgU],f_sep∈[f_sepL,f_sepU]

由此可见，轨道优化问题即转化为参数优化问题，优化的目标函数为转移轨道消耗燃料质量：

J＝min(m_fuel)＝max(mass_f) (15)

其中m_fuel为燃料消耗量，mass_f为任务结束时航天器的质量。

与现有技术相比，本发明具有以下有益的技术效果：

本发明方法能够以解析的形式求出大量的满足轨道边界约束的转移轨道，并求解出转移轨道的解析解。同时，在给定目标函数的条件下，可对满足推力约束的转移轨道进行优化。与其它的小推力轨道设计方法相比，该方法有以下的特点：1、该轨道设计方法是一种解析方法，在保证精度的条件下，能够大大的减小计算量，因而该方法可以为数值优化方法(直接法或间接法)提供轨道优化初值；2、与常值切向推力相比，该方法能够减小实现轨道转移所需的推力，扩大了小推力轨道应用的范围；3、与常值切向推力相比，该方法不仅能够减小轨道转移所消耗的能量，而且能够减小轨道转移的飞行时间。

附图说明

图1为虚拟中心引力场示意图；

图2为混合小推力轨道交会示意图；

图3为混合小推力转移轨道优化示意图；

图4为速度误差、位置误差随误差因子的变化。

具体实施方式

下面对本发明作进一步详细描述：

本发明一种采用电推进/太阳帆推进的混合连续小推力轨道设计方法，包含以下步骤：a、该方法结合轨道平均方法和虚拟引力势场方法，将小推力作用下的机动轨道参数化，并能够求解出实现轨道机动的解析解；b、在分析了轨道误差特性的基础上，确定轨道解析解的误差因子，在保证满足误差因子约束的条件下，得到高精度的解析解；基于上述设计方法的优化算法，包含以下步骤：a1、采用形状方法，将太阳帆的姿态角表示为转移角的多项式形式；b1、给定以能量消耗为目标函数，对该多项式的系数进行优化，以减小混合推进推进器的燃料质量。

具体步骤如下：

1、建立虚拟引力场动力学模型，求解动力学解析解；

设定地心引力场引力常数为μ₁，航天器在地心惯性坐标系下位置矢量为假定在航天器上施加推力加速度为则有：

假设地心惯性坐标系为OXYZ，虚拟中心引力场坐标系为O′X′Y′Z′。推力与地心引力场的合力形成的虚拟中心引力场参数为则在虚拟中心引力场坐标系下有：

设在特定虚拟中心引力场中，为定值，则地心惯性坐标系下航天器位置和速度与虚拟中心引力场坐标系下位置和速度转化关系为：

其中，v₁为航天器在实际引力场中的速度，v₂为航天器在虚拟引力场中的速度。由式(2)，式(3)可知，在虚拟中心引力场坐标系下，航天器运动方程可表示为如下形式：

其中μ₂为虚拟引力场常数，实现虚拟中心引力场所需推力可由下式得到，

将式(3)带入式(5),为时机引力场中的引力，而为虚拟引力场中的引力，则可知需要实现的推力为：

由上述分析可知，通过调整推力，可形成一种虚拟中心引力场。在该虚拟中心引力场中，航天器运动轨迹为虚拟圆锥曲线。若该虚拟圆锥曲线轨道满足轨道转移约束，则可实现轨道机动。

2、建立在虚拟引力场中的切向推力轨道动力学模型，求解其解析解；

在切向推力作用下，平面轨道高斯摄动方程为，

其中，h为轨道角动量，r为轨道高度，f_r为径向推力；a为轨道半长轴，e为偏心率，ω为近地点俯角，θ为真近点角，E为偏近点角，p＝a(1-e²)为半通径，为瞬时时刻的平均轨道角速度，μ为引力场数。假定径向加速度为零，则有

径向推力f_r以及周向推力f_θ和切向推力f之间的关系为：

而真近点角和偏近点角的关系为，

因此，将公式(7)中自变量转换为偏近点角，则轨道半长轴和偏心率的变化为，

其中E为偏近点角，E₀E_f分别为初始时刻和终点时刻的偏近点角，f_t为连续切向推力，c为常数；

在给定轨道交会的初始点A和终点B的条件下，采用混合推力方法设计机动轨道就是求解引力场参数(μ₂,r_vg)以及切向推力f_vg。如图2所示，在虚拟引力场下，航天器从A点可以转移到B’点，而若选择合适参数x＝(μ₂,r_vg,f_vg)时，在虚拟引力场中和切向推力的同时作用下，航天器在虚拟引力场可从A点转移到目标点B点，从而满足轨道交会的边界约束。这就是采用基于虚拟引力场方法的混合连续小推力轨道设计的基本思路。

采用虚拟引力场方法的混合连续小推力轨道设计方法来设计轨道，实际上是设计在虚拟引力场中的常值切向推力转移轨道。转移轨道需要满足两点边界值约束(位置约束和速度约束)，以及推力约束。当初始轨道的偏心率很小，推力较小的条件下，在虚拟引力场中的切向推力轨道近似解析解为：

a_vg Δa_vg μ_vgΔe_vg分别为虚拟引力场轨道半长轴，虚拟引力场轨道半长轴增量，虚拟引力场数，虚拟引力场轨道偏心率增量。当初始点和目标点已知时，上式中的参数E已知。边界约束可以转化为，

其中(a_i)_vg为虚拟引力场中的初始轨道半长轴，(a_t)_vg为虚拟引力场中的目标轨道半长轴，(Δa)_vg为虚拟引力场中轨道机动产生的半长轴增量。其中(e_i)_vg为虚拟引力场中的初始轨道偏心率，(e_t)_vg为虚拟引力场中的目标轨道偏心率，(Δa)_vg为虚拟引力场中轨道机动产生的偏心率增量。由此可见，采用虚拟引力场下的连续推力轨道设计方法，可将所有满足边界约束的轨道用一组参数x＝(μ_vg,r_vg,f_t)表示，即转移轨道参数化。(此处r_vg为虚拟引力场的引力中心偏移量)这样转移轨道设计与优化问题就可以转化成为参数设计与优化问题。

由上分析可知，采用虚拟引力场下的混合连续小推力轨道设计方法，需要给航天器施加推力，一部分推力用于形成虚拟引力场，另一部分推力用于形成虚拟引力场中的切向力。具体推力分配：利用太阳帆形成虚拟引力场，利用电推进来产生虚拟引力场中的切向推力。当太阳帆和电推进同时作用时，实际的轨道相当于航天器在虚拟引力场中受到固定切向推力作用的机动轨道。

3、解析解精度分析；

为描述解析解与数值解的误差，在此定义一个误差因子参数，如公式(14)所示，

其中Δθ为轨道转移的转移角，对比公式(10)及(12)可知，解析解的误差因子会随着切向推力、轨道半长轴、轨道转移时间(偏近点角)的增大而增大，当(e<0.7)时，偏心率越大，误差参数越大。

如图4所示，采用解析方法可以得到大量的转移轨道，同时采用四阶隆格库塔数值方法，就可以求解并分析这些解析解的速度误差、位置误差以及误差因子之间的关系。

以地球-火星转移轨道为例，采用解析方法可以得到大量的转移轨道，在其中任意选择n条转移轨道(n＝157)。采用数值积分方法，可以得出这些解析解的速度误差和位置误差与误差因子的关系，如图4所示。由图4可知，速度误差、位置误差和误差因子是同步的，当误差因子很小时，其对应的速度误差和位置误差也很小；相反，当误差因子比较大时，其速度误差和位置误差都很大，可以看出速度误差和位置误差都随着误差因子的增大而增大。当保证误差因子小于0.0025时，速度误差小于0.001，而位置误差小于0.002。由以上分析可知，在采用虚拟引力场常值切向力解析方法设计转移轨道时，只需要保证误差因子k＜k^*，此处k^*为容许误差因子，就可以得到满足相应的精度要求的转移轨道。

4、建立轨道优化模型，采用混合小推力方法进行轨道优化

采用太阳帆/电推进混合推力，其推力由两部分组成，第一部分为太阳帆产生的推进，第二部分为电推进产生，假定混合径向推力加速度为T_r，太阳帆和电推进分别产生的为a_ssr,a_SEPr；切向推力为T_c，太阳帆和电推进分别产生的为a_ssc,a_SEPc；如下所示：

为太阳帆推进和电推进的数学模型。在此假定太阳帆推进的姿态角α是转移角θ的二阶多项式，假定多项式系数为a_i(i＝0,1,2)，如下所示，

α＝a₂·θ²+a₁·θ+a₀

通过对多项式的参数进行优化，可以最大限度地增大太阳帆的使用效率，这样就减小了电推进的燃料消耗，进而减小了混合推力的燃料消耗。因此在整个任务中，电推进所需要提供的推力加速度函数F_r(·)，F_t(·)可以表示为：

采用基于混合连续小推力轨道设计方法，可求出大量的满足边界约束的转移轨道，如图3所示。假定虚拟引力场参数上下限μ_vgL,μ_vgU，切向力参数上下限为f_sepL,f_sepU，引力场中心位置偏移量的上下限位r_vgL,r_vgU，则有：

μ_vg∈[μ_vgL,μ_vgU],r_vg∈[r_vgL,r_vgU],f_sep∈[f_sepL,f_sepU]

由此可见，轨道优化问题即可转化为参数优化问题，优化的目标函数可以为转移轨道消耗燃料质量：

J＝min(m_fuel)＝max(mass_f) (15)

其中m_fuel为燃料消耗量，mass_f为任务结束时航天器的质量。

综上所述，本发明提出一种基于混合连续小推力的轨道设计与优化方法，该方法能够给出连续小推力的解析解，并且求出大量的满足约束条件的轨道。通过对太阳帆姿态角的优化，可以得到最节省燃料的转移轨道。与传统的单独电推进或者单独太阳帆推进相比，混合推进方法能够降低实现轨道机动的推力大小，在节省燃料消耗的同时缩短飞行时间。该方法能够很大程度上扩展小推力方法在轨道设计中的应用范围，为小推力轨道设计提出了另外一种设计思路。最后以地球-火星轨道转移为算例，对比了单纯使用太阳帆或者单独使用电推进的方法，验证了混合推力轨道的可行性，以及在燃料消耗、任务时间上的优越性，对比结果如表1和表2所示。

表1 地球火星轨道转移虚拟引力场方法的优化结果

表2 混合推力与太阳帆推进、电推进的结果比较

由表2所示的推力方法对比可知，无论从飞行时间，还是推力大小，本发明提出的方法均优于常值推力方法。

Claims (5)

1.一种采用电推进/太阳帆推进的混合连续小推力轨道设计方法，其特征在于，包括如下步骤：

1)建立虚拟引力场动力学模型；

2)建立在虚拟引力场中的切向推力轨道动力学模型，求解其解析解；

3)对所求得的解析解进行精度分析；

4)采用电推进/太阳帆推进的混合连续小推力方法进行轨道优化。

2.根据权利要求1所述的一种采用电推进/太阳帆推进的混合连续小推力轨道设计方法，其特征在于，步骤1)具体为：

设定地心引力场引力常数为μ₁，航天器在地心惯性坐标系下位置矢量为假定在航天器上施加推力加速度为则有：

假设地心惯性坐标系为OXYZ，虚拟中心引力场坐标系为O′X′Y′Z′，推力与地心引力场的合力形成的虚拟中心引力场参数为μ₂，则在虚拟中心引力场坐标系下有：

设在特定虚拟中心引力场中，为定值，则地心惯性坐标系下航天器位置和速度与虚拟中心引力场坐标系下位置和速度转化关系为：

其中，v₁为航天器在实际引力场中的速度，v₂为航天器在虚拟引力场中的速度，由式(2)，式(3)，在虚拟中心引力场坐标系下，航天器运动方程表示为如下形式：

其中μ₂为虚拟引力场常数，实现虚拟中心引力场所需推力由下式得到，

将式(3)带入式(5)，为实际引力场中的引力，而为虚拟引力场中的引力，则需要实现的推力为：

即通过调整推力，你能够形成一种虚拟中心引力场，在该虚拟中心引力场中，航天器运动轨迹为虚拟圆锥曲线，若该虚拟圆锥曲线轨道满足轨道转移约束，则能够实现轨道机动。

3.根据权利要求1所述的一种采用电推进/太阳帆推进的混合连续小推力轨道设计方法，其特征在于，步骤2)具体为：

在切向推力作用下，平面轨道高斯摄动方程为，

其中，h为轨道角动量，r为轨道高度，f_r为径向推力；a为轨道半长轴，e为偏心率，ω为近地点俯角，θ为真近点角，E为偏近点角，p＝a(1-e²)为半通径，为瞬时时刻的平均轨道角速度，μ为引力场数，假定径向加速度为零，则有：

径向推力f_r以及周向推力f_θ和切向推力f之间的关系为：

而真近点角和偏近点角的关系为：

因此，将式(7)中自变量转换为偏近点角，则轨道半长轴和偏心率的变化为：

其中E为偏近点角，E₀E_f分别为初始时刻和终点时刻的偏近点角，f_t为连续切向推力；

在虚拟引力场中的切向推力轨道近似解析解为：

a_vgΔa_vgμ_vgΔe_vg分别为虚拟引力场轨道半长轴，虚拟引力场轨道半长轴增量，虚拟引力场数，虚拟引力场轨道偏心率增量；当初始点和目标点已知时，上式中的参数E已知，边界约束则转化为：

其中(a_i)_vg为虚拟引力场中的初始轨道半长轴，(a_t)_vg为虚拟引力场中的目标轨道半长轴，(Δa)_vg为虚拟引力场中轨道机动产生的半长轴增量，其中(e_i)_vg为虚拟引力场中的初始轨道偏心率，(e_t)_vg为虚拟引力场中的目标轨道偏心率，(Δa)_vg为虚拟引力场中轨道机动产生的偏心率增量；由此，采用虚拟引力场下的连续推力轨道设计方法，能够将所有满足边界约束的轨道用一组参数x＝(μ_vg,r_vg,f_t)表示，即转移轨道参数化，r_vg为虚拟引力场的引力中心偏移量，这样转移轨道设计与优化问题就转化成为参数设计与优化问题，采用虚拟引力场下的混合连续小推力轨道设计，需要给航天器施加推力，一部分推力用于形成虚拟引力场，另一部分推力用于形成虚拟引力场中的切向力，具体推力分配：利用太阳帆形成虚拟引力场，利用电推进来产生虚拟引力场中的切向推力；当太阳帆和电推进同时作用时，实际的轨道相当于航天器在虚拟引力场中受到固定切向推力作用的机动轨道。

4.根据权利要求3所述的一种采用电推进/太阳帆推进的混合连续小推力轨道设计方法，其特征在于，步骤3)具体为：

为描述解析解与数值解的误差，在此定义误差因子参数，如式(14)所示：

其中Δθ为轨道转移的转移角，通过对比式(10)及式(12)，解析解的误差因子参数会随着切向推力、轨道半长轴、偏近点角的增大而增大，当e<0.7时，偏心率越大，误差因子参数越大；

在采用虚拟引力场常值切向力解析方法设计转移轨道时，只需要保证误差因子k＜k^*，此处k^*为容许误差因子。

5.根据权利要求3所述的一种采用电推进/太阳帆推进的混合连续小推力轨道设计方法，其特征在于，步骤4)具体为：

假定混合径向推力加速度为T_r，太阳帆和电推进分别产生的为a_ssr,a_SEPr；切向推力为T_c，太阳帆和电推进分别产生的为a_ssc,a_SEPc，太阳帆推进和电推进的数学模型如下所示：

在此假定太阳帆推进的姿态角α是转移角θ的二阶多项式，假定多项式系数为a_i，i＝0,1,2，如下所示：

α＝a₂·θ²+a₁·θ+a₀

通过对多项式的参数进行优化，能够最大限度地增大太阳帆的使用效率，减小电推进的燃料消耗，进而减小混合推力的燃料消耗，电推进所需要提供的推力加速度函数F_r(·)，F_t(·)表示为：

假定虚拟引力场参数上下限为μ_vgL,μ_vgU，切向力参数上下限为f_sepL,f_sepU，引力场中心位置偏移量的上下限为r_vgL,r_vgU，则有：

μ_vg∈[μ_vgL,μ_vgU],r_vg∈[r_vgL,r_vgU],f_sep∈[f_sepL,f_sepU]

由此可见，轨道优化问题即转化为参数优化问题，优化的目标函数为转移轨道消耗燃料质量：

J＝min(m_fuel)＝max(mass_f) (15)

其中m_fuel为燃料消耗量，mass_f为任务结束时航天器的质量。