CN112046794B - 基于混合高斯模型的固定时间约束的航天器集群控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于混合高斯模型的固定时间约束的航天器集群控制方法。该方法用于实现航天器集群的飞行控制，包括步骤：建立坐标系，建立相对动力学方程，建立混合高斯模型，建立人工势能函数，确定固定时间控制器的滑膜面，确定固定时间控制器的控制律。本发明的基于混合高斯模型的固定时间约束的航天器集群控制方法通过利用混合高斯模型解析描述目标航天器的外包络，并基于混合高斯模型建立目标航天器外形影响的人工势能函数，从而基于混合高斯模型和人工势能函数控制跟踪航天器跟踪参考轨迹，能够在考虑航天器复杂外形的影响的同时保证航天器系统在固定的时间内稳定，且不受航天器系统初始状态的影响，具有更高的控制精度和更好的适应性。

Description

基于混合高斯模型的固定时间约束的航天器集群控制方法

技术领域

本发明涉及航天器运动控制技术领域，具体涉及一种基于混合高斯模型的固定时间约束的航天器集群控制方法。

背景技术

近年来，航天器在轨失效事件日渐增多，为了降低在轨失效事件发生的概率，延长航天器工作年限，提高工作性能，越来越多的在轨服务被应用于航天器，而航天器近距离操作作为一项支撑在轨服务的基本技术，航天器近距离操作需满足严格的安全性要求。

随着空间开发与应用能力不断提高，各国相继研制并发射了大量面向各种任务需求的航天器，其结构和组成日趋复杂，技术水平不断提高；例如由多个近距离相伴飞行的航天器构成的用以完成某种共同任务的航天器集群，由于具备较高的灵活性、时间和空间覆盖性、高可靠性和生存性等优势，具有更广的使用范围。

由于航天器集群包括多个相对运动的航天器，在航天器集群执行任务的过程中，要求每个航天器均具有较高的控制精度；目前，针对航天器集群的飞行控制方法，主要有有限时间控制方法和固定时间控制方法；其中，有限时间控制方法可以参见文献“Dual-quaternion based fault-tolerant control for spacecraft formation flying withfinite-time convergence”，Hong-yang Dong et al.，《IEEE Transactions on ControlSystems Technology》，第25卷第4期，第1231-1242页，2016年；固定时间控制方法可以参见文献“Fixed-time attitude control for rigid spacecraft with actuatorsaturation and faults”，Bo-yan Jiang et al.，《IEEE Transactions on ControlSystems Technology》，第24卷第5期，第1892-1898页，2016年；有限时间控制方法能够提高航天器系统状态在接近平衡点位置时的收敛速度，实现航天器系统状态在有限时间内稳定；固定时间是一类特殊的有限时间概念，相比于有限时间控制方法，固定时间控制方法不依赖于航天器系统初值，即不管航天器系统初始状态是在接近平衡点处还是远离平衡点处，都能保证航天器系统在固定时间内稳定；

同时，为了保证航天器的安全，在航天器集群飞行过程中，还需要考虑航天器形状对航天器集群飞行的影响，在目前的航天器集群飞行控制过程中，航天器的几何外形通常被简化为球形或椭球形，但是在工程实践中，大多数航天器的几何外形并不是简单的球形或椭球形，在近距离操作中，航天器的不同几何外形对安全控制具有不同的影响，例如含有大型太阳帆板的追踪航天器，其在完成翻滚空间目标近距离操作任务时，需要严格考虑航天器的外形对航天器自主规避的影响，导致现有的航天器集群飞行控制方法在工程实际应用中具有一定的局限性。

发明内容

为解决上述现有技术中存在的技术问题，本发明提供一种基于混合高斯模型的固定时间约束的航天器集群控制方法。

为此，本发明公开了一种基于混合高斯模型的固定时间约束的航天器集群控制方法，述方法用于实现航天器集群中目标航天器和跟踪航天器的飞行控制，所述方法包括如下内容：

建立坐标系：建立历元J2000地球惯性坐标系，并在地球惯性坐标系的基础上建立目标航天器的轨道坐标系；

建立相对动力学方程：在轨道坐标系下，建立跟踪航天器和目标航天器的相对运动方程，确定跟踪航天器的状态矢量，获取用于描述航天器集群飞行的相对动力学方程；

建立混合高斯模型：获取目标航天器表面的若干个特征点的位置信息，基于若干个特征点的位置信息建立目标航天器外包络表面的混合高斯模型；

建立人工势能函数：基于混合高斯模型和跟踪航天器的期望相对位置，建立人工势能函数；

确定固定时间控制器的滑膜面：确定跟踪航天器的固定时间控制器的控制参数，基于控制参数和人工势能函数，确定固定时间控制器的滑膜面；

确定固定时间控制器的控制律：根据固定时间控制器的滑膜面，计算确定跟踪航天器的固定时间控制器的控制律。

进一步地，在上述基于混合高斯模型的固定时间约束的航天器集群控制方法中，建立坐标系包括：

采用O-X_IY_IZ_I表示历元J2000地球惯性坐标系，地球地心为坐标原点，X_I轴指向历元J2000春分点，地球赤道平面为基本面，Z_I轴指向地球北极，Y_I轴与X_I轴、Z_I轴构成右手直角坐标系；

采用o-xyz表示目标航天器的轨道坐标系，目标航天器的质心为坐标原点，x轴由地球地心指向目标航天器的质心，y轴在目标航天器的轨道平面内与x轴垂直，并指向目标航天器的速度方向，z轴垂直于目标航天器的轨道平面，z轴与x轴、y轴构成右手直角坐标系。

进一步地，在上述基于混合高斯模型的固定时间约束的航天器集群控制方法中，跟踪航天器与目标航天器的的相对运动方程为：

其中，r＝[x,y， z]^T和

表示跟踪航天器在目标航天器的轨道坐标系下的相对位置和相对速度，x、y和z分别表示跟踪航天器在轨道坐标系的x方向、y方向和z方向上的坐标，

和

分别表示跟踪航天器在轨道坐标系的x方向、y方向和z方向上的相对速度，u＝[u_x,u_y，u_z]^T表示跟踪航天器的控制加速度，u_x、u_y和u_z分别表示跟踪航天器在轨道坐标系的x方向、y方向和z方向上的控制加速度，μ为地球引力常数，

a和n为目标航天器的轨道半长轴和平均角速度。

进一步地，在上述基于混合高斯模型的固定时间约束的航天器集群控制方法中，跟踪航天器的状态矢量表示为：

用于描述航天器集群飞行的相对动力学方程为：

其中，A为状态转移矩阵，B为控制矩阵，

r_m表示目标航天器与跟踪航天器间的相对距离，μ为地球引力常数，

和

分别表示目标航天器的角速度和角加速度。

进一步地，在上述基于混合高斯模型的固定时间约束的航天器集群控制方法中，假设目标航天器表面的若干个特征点所描述的目标航天器的外包络由包含K₁个高斯分量的混合高斯模型拟合，目标航天器外包络表面的混合高斯模型的概率密度分布函数表示为：

其中，p(Z|Θ)表示混合高斯模型的概率密度分布函数，Θ表示混合高斯模型所包含的参数变量集合，

表示混合高斯模型的第k个高斯函数分量，z_i表示第i个特征点，z_i＝[x_i,y_i,z_i]^T，x_i、y_i和z_i分别表示第i个特征点在轨道坐标系的x方向、y方向和z方向上的坐标信息，

表示混合高斯模型中的第k个高斯函数分量的期望值，

表示混合高斯模型中的第k个高斯函数分量的协方差矩阵，r＝[x,y,z]^T表示跟踪航天器在目标航天器的轨道坐标系下的相对位置，π_k表示混合高斯模型的第k个高斯函数分量，π为圆周率，e为自然对数，

表示3x3矩阵。

进一步地，在上述基于混合高斯模型的固定时间约束的航天器集群控制方法中，基于混合高斯模型的人工势能函数表示为：

其中，

表示人工势能函数，r＝[x,y,z]^T表示跟踪航天器在目标航天器的轨道坐标系下的相对位置，r_f＝[x_f,y_f,z_f]^T表示跟踪航天器在目标航天器的轨道坐标系下的期望相对位置，x_f、y_f和z_f分别表示跟踪航天器在轨道坐标系的x方向、y方向和z方向上的期望坐标，π为圆周率，e为自然对数，π_j表示混合高斯模型的第j个高斯函数分量，Σ_j表示混合高斯模型中的第j个高斯函数分量的协方差矩阵，μ_j表示混合高斯模型中的第j个高斯函数分量的期望值，P表示半正定矩阵，M表示半正定矩阵。

进一步地，在上述基于混合高斯模型的固定时间约束的航天器集群控制方法中，跟踪航天器的固定时间控制器的滑膜面由式24确定；

其中，y₁＝[x-x_f y-y_f z-z_f]^T，

s_GMM-FTC表示基于混合高斯模型的固定时间控制的滑膜变量，s_GMM-FTC-i为滑膜变量分量，

k_s表示半正定矩阵，

表示梯度函数，

表示基于混合高斯模型的人工势能函数

对跟踪航天器的相对位置r求梯度，α₁＝1.1，

p₂(q)＝3+q，ε和

为跟踪航天器的固定时间控制器的控制参数。

进一步地，在上述基于混合高斯模型的固定时间约束的航天器集群控制方法中，跟踪航天器的固定时间控制器的控制律通过式33确定；

其中，u_GMM-FTC表示基于混合高斯模型的固定时间控制的实际控制量，u_f表示基于混合高斯模型的固定时间控制的辅助控制器，

和

均为正定矩阵，f(S_GMM-FTC-2,α_i)表示辅助函数，

y₁(1)、y₁(2)和y₁(3)为向量y₁的三个参数。

本发明技术方案的主要优点如下：

本发明的基于混合高斯模型的固定时间约束的航天器集群控制方法通过利用混合高斯模型解析描述目标航天器的外包络，并基于混合高斯模型建立目标航天器外形影响的人工势能函数，从而基于混合高斯模型和人工势能函数控制跟踪航天器跟踪参考轨迹，能够在考虑航天器复杂外形的影响的同时保证航天器系统在固定的时间内稳定，且不受航天器系统初始状态的影响，具有更高的控制精度和更好的适应性，能有效地节省燃料和避免奇异问题。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明一实施例的基于混合高斯模型的固定时间约束的航天器集群控制方法的流程图；

图2为本发明一实施例的坐标系的示意图。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明具体实施例及相应的附图对本发明技术方案进行清楚、完整地描述。显然，所描述的实施例仅是本发明的一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

以下结合附图，详细说明本发明实施例提供的技术方案。

如附图1所示，本发明一实施例提供了一种基于混合高斯模型的固定时间约束的航天器集群控制方法，该方法用于实现航天器集群中目标航天器和跟踪航天器的飞行控制，该方法包括如下内容：

建立坐标系：建立历元J2000地球惯性坐标系，并在地球惯性坐标系的基础上建立目标航天器的轨道坐标系；

建立相对动力学方程：在轨道坐标系下，建立跟踪航天器和目标航天器的相对运动方程，确定跟踪航天器的状态矢量，获取用于描述航天器集群飞行的相对动力学方程；

建立混合高斯模型：获取目标航天器表面的若干个特征点的位置信息，基于若干个特征点的位置信息建立目标航天器外包络表面的混合高斯模型；

建立人工势能函数：基于混合高斯模型和跟踪航天器的期望相对位置，建立人工势能函数；

确定固定时间控制器的滑膜面：确定跟踪航天器的固定时间控制器的控制参数，基于控制参数和人工势能函数，确定固定时间控制器的滑膜面；

确定固定时间控制器的控制律：根据固定时间控制器的滑膜面，计算确定跟踪航天器的固定时间控制器的控制律。

具体地，以下对本发明一实施例提供的基于混合高斯模型的固定时间约束的航天器集群控制方法中的各个步骤进行具体阐述。

(1)建立坐标系

在本发明一实施例提供的基于混合高斯模型的固定时间约束的航天器集群控制方法中，如附图2所示，建立坐标系包括：

采用O-X_IY_IZ_I表示历元J2000地球惯性坐标系，地球地心为坐标原点，X_I轴指向历元J2000春分点，地球赤道平面为基本面，Z_I轴指向地球北极，Y_I轴与X_I轴、Z_I轴构成右手直角坐标系；

采用o-xyz表示目标航天器的轨道坐标系，目标航天器的质心为坐标原点，x轴由地球地心指向目标航天器的质心，y轴在目标航天器的轨道平面内与x轴垂直，并指向目标航天器的速度方向，z轴垂直于目标航天器的轨道平面，z轴与x轴、y轴构成右手直角坐标系。

(2)建立相对动力学方程

设定目标航天器参考轨道为圆轨道，由于轨道面内的运动能与垂直轨道面的运动分离，因此采用对同轨道面内的相对运动进行研究的方式对相对运动模型进行分析计算；由此，跟踪航天器与目标航天器的相对运动方程可表示为：

式中，r＝[x,y，z]^T和

表示跟踪航天器在目标航天器的轨道坐标系(Local Vertical Local Horizontal,LVLH)下的相对位置和相对速度，x、y和z分别表示跟踪航天器在轨道坐标系的x方向、y方向和z方向上的坐标，

和

分别表示跟踪航天器在轨道坐标系的x方向、y方向和z方向上的相对速度，u＝[u_x,u_y，u_z]^T表示跟踪航天器的控制加速度，即跟踪航天器的控制器的控制律，u_x、u_y和u_z分别表示跟踪航天器在轨道坐标系的x方向、y方向和z方向上的控制加速度，μ为地球引力常数，

a和n为目标航天器的轨道半长轴和平均角速度。

进一步地，跟踪航天器的状态矢量X可表示为：

同时，定义矩阵A为状态转移矩阵，矩阵B为控制矩阵，矩阵B表示三个相互独立的控制量，根据式1，状态转移矩阵A和控制矩阵B表示为：

结合跟踪航天器的状态矢量X，可得用于描述航天器集群飞行的相对动力学方程为：

在式2中，r_m表示目标航天器与跟踪航天器间的相对距离，

和

分别表示目标航天器的角速度和角加速度，且

和

可以根据下式计算；

式中，f表示目标航天器的真近地点角，E表示目标航天器的轨道偏心率。

(3)建立混合高斯模型

利用传感器获取目标航天器表面的若干个特征点的位置信息，基于所获取的目标航天器表面的若干个特征点的位置信息建立目标航天器外包络表面的混合高斯模型；

假设目标航天器外包络表面的一系列特征点样本集为Z，Z表示为：

式中，z_i表示第i个特征点，x_i、y_i和z_i分别表示第i个特征点在轨道坐标系的x方向、y方向和z方向上的坐标信息，N表示特征点的数量；

同时，假设该特征点样本集Z所描述的目标航天器的外包络可以由包含K₁个高斯分量的混合高斯模型拟合，则该混合高斯模型的概率密度分布函数p(Z|Θ)可表示为：

式中，Θ表示该混合高斯模型所包含的参数变量集合，

表示该混合高斯模型的第k个高斯函数分量，

表示目标航天器表面特征点对应混合高斯模型中的第k个高斯函数分量的期望值，

表示目标航天器表面特征点对应混合高斯模型中的第k个高斯函数分量的协方差矩阵，r＝[x,y,z]^T表示跟踪航天器在目标航天器的轨道坐标系下的相对位置，x、y和z分别表示跟踪航天器在轨道坐标系的x方向、y方向和z方向上的坐标，π_k表示该混合高斯模型的第k个高斯函数分量，π为圆周率，e为自然对数，

表示3x3矩阵。

其中，

π_k满足约束

Θ_k表示目标航天器表面特征点对应混合高斯模型中的第k个高斯函数分量所包含的参数变量集合，M_k表示目标航天器表面特征点对应混合高斯模型中的第k个高斯函数分量的协方差矩阵。

(4)建立人工势能函数

假设跟踪航天器在目标航天器的轨道坐标系下的期望相对位置为r_f＝[x_f,y_f,z_f]^T，则基于混合高斯模型的人工势能函数

可表示为：

式中，r＝[x,y,z]^T表示跟踪航天器在目标航天器的轨道坐标系下的相对位置，r_f＝[x_f,y_f,z_f]^T表示跟踪航天器在目标航天器的轨道坐标系下的期望相对位置，x_f、y_f和z_f分别表示跟踪航天器在轨道坐标系的x方向、y方向和z方向上的期望坐标，π为圆周率，e为自然对数，π_j表示该混合高斯模型中的第j个高斯函数分量，Σ_j表示混合高斯模型中的第j个高斯函数分量的协方差矩阵，μ_j表示混合高斯模型中的第j个高斯函数分量的期望值，P表示半正定矩阵，M表示半正定矩阵。

(5)确定固定时间控制器的滑膜面

定义跟踪航天器的期望状态矢量为X_f，X_f＝[x_f y_f z_f 0 0 0]^T，跟踪航天器的状态矢量偏差为e，e＝X-X_f；

根据式2-式6，可得：

其中，

在上述式中，r_f＝[x_f,y_f,z_f]^T表示跟踪航天器在目标航天器的轨道坐标系下的期望相对位置，x_f、y_f和z_f分别表示跟踪航天器在轨道坐标系的x方向、y方向和z方向上的期望坐标。

基于上述确定的参数关系，只需求解出

和u_f，即可确定跟踪航天器的控制器的实际控制律u。

进一步地，设定：y₁由e中前三个分量组成，y₂由e中后三个分量组成，即：

y₁＝[x-x_f y-y_f z-z_f]^T (15)

则式4可改写为：

式中：

进一步地，设定跟踪航天器的固定时间控制器的控制参数为ε、

和γ，且满足下列条件：

p₁(q)＝1 (18)

p₂(q)＝3+q (19)

α₁＝1.1 (21)

α₂＝0.1+γp₂(q)/ε (22)

式中，p₁(q)、p₂(q)、q、α₁、α₂、β₁和β₂为基于实际工程经验设定的工程参数，e表示自然对数。

基于上述设定，对式5进行非线性变换可得基于混合高斯模型的固定时间控制器的滑膜面，具体可表示为：

其中，

式中，

s_GMM-FTC表示基于混合高斯模型的固定时间控制的滑膜变量，s_GMM-FTC-i为滑膜变量分量，k_s表示半正定矩阵，

表示梯度函数，

表示基于混合高斯模型的人工势能函数

对跟踪航天器的相对位置r求梯度，

可表示为：

(6)确定固定时间控制器的控制律

基于式24和25，式17可改写为：

其中，

在上述式中，

表示跟踪航天器在目标航天器的轨道坐标系下的期望相对速度，

和

分别表示跟踪航天器在轨道坐标系的x方向、y方向和z方向上的期望相对速度，y₁(1)、y₁(2)和y₁(3)为向量y₁的三个参数，

和

可分别表示为：

式中，P表示半正定矩阵，M表示半正定矩阵。

进一步地，可将基于混合高斯模型的固定时间控制器的滑膜面的渐进律设计为：

式中，

和

均为正定矩阵，λ₁₁、λ₁₂、λ₁₃、λ₂₁、λ₂₂和λ₂₃为正定矩阵参数，f(S_GMM-FTC-2,α_i)为辅助函数，f(S_GMM-FTC-2,α_i)可表示为：

式中，S_GMM-FTC-2(j),j＝1,2,3表示矢量S_GMM-FTC-2的第j个元素。

在上述计算分析的基础上，本发明一实施例中，基于混合高斯模型的固定时间控制器的控制律可以通过下述式33计算获得；

式中，u_GMM-FTC表示基于混合高斯模型的固定时间控制的实际控制量，u_f表示基于混合高斯模型的固定时间控制的辅助控制器。

同时，可以得到固定时间控制器的收敛时间上界T_GMM-FTC为：

其中，λ_i-min＝min(λ_ij)(j＝1,2,3)。

可见，本发明一实施例提供的基于混合高斯模型的固定时间约束的航天器集群控制方法通过利用混合高斯模型解析描述目标航天器的外包络，并基于混合高斯模型建立目标航天器外形影响的人工势能函数，从而基于混合高斯模型和人工势能函数控制跟踪航天器跟踪参考轨迹，能够在考虑航天器复杂外形的影响的同时保证航天器系统在固定的时间内稳定，且不受航天器系统初始状态的影响，具有更高的控制精度和更好的适应性，能有效地节省燃料和避免奇异问题。

需要说明的是，在本文中，诸如“第一”和“第二”等之类的关系术语仅仅用来将一个实体或者操作与另一个实体或操作区分开来，而不一定要求或者暗示这些实体或操作之间存在任何这种实际的关系或者顺序。而且，术语“包括”、“包含”或者其任何其他变体意在涵盖非排他性的包含，从而使得包括一系列要素的过程、方法、物品或者设备不仅包括那些要素，而且还包括没有明确列出的其他要素，或者是还包括为这种过程、方法、物品或者设备所固有的要素。此外，本文中“前”、“后”、“左”、“右”、“上”、“下”均以附图中表示的放置状态为参照。

最后应说明的是：以上实施例仅用于说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的精神和范围。

Claims (8)

1.一种基于混合高斯模型的固定时间约束的航天器集群控制方法，其特征在于，所述方法用于实现航天器集群中目标航天器和跟踪航天器的飞行控制，所述方法包括如下内容：

建立坐标系：建立历元J2000地球惯性坐标系，并在地球惯性坐标系的基础上建立目标航天器的轨道坐标系；

建立相对动力学方程：在轨道坐标系下，建立跟踪航天器和目标航天器的相对运动方程，确定跟踪航天器的状态矢量，获取用于描述航天器集群飞行的相对动力学方程；

建立混合高斯模型：获取目标航天器表面的若干个特征点的位置信息，基于若干个特征点的位置信息建立目标航天器外包络表面的混合高斯模型；

建立人工势能函数：基于混合高斯模型和跟踪航天器的期望相对位置，建立人工势能函数；

确定固定时间控制器的滑膜面：确定跟踪航天器的固定时间控制器的控制参数，基于控制参数和人工势能函数，确定固定时间控制器的滑膜面；

确定固定时间控制器的控制律：根据固定时间控制器的滑膜面，计算确定跟踪航天器的固定时间控制器的控制律。

2.根据权利要求1所述的基于混合高斯模型的固定时间约束的航天器集群控制方法，其特征在于，建立坐标系包括：

采用O-X_IY_IZ_I表示历元J2000地球惯性坐标系，地球地心为坐标原点，X_I轴指向历元J2000春分点，地球赤道平面为基本面，Z_I轴指向地球北极，Y_I轴与X_I轴、Z_I轴构成右手直角坐标系；

采用o-xyz表示目标航天器的轨道坐标系，目标航天器的质心为坐标原点，x轴由地球地心指向目标航天器的质心，y轴在目标航天器的轨道平面内与x轴垂直，并指向目标航天器的速度方向，z轴垂直于目标航天器的轨道平面，z轴与x轴、y轴构成右手直角坐标系。

3.根据权利要求2所述的基于混合高斯模型的固定时间约束的航天器集群控制方法，其特征在于，跟踪航天器与目标航天器的相对运动方程为：

其中，r＝[x,y，z]^T和

表示跟踪航天器在目标航天器的轨道坐标系下的相对位置和相对速度，x、y和z分别表示跟踪航天器在轨道坐标系的x方向、y方向和z方向上的坐标，

和

分别表示跟踪航天器在轨道坐标系的x方向、y方向和z方向上的相对速度，u＝[u_x,u_y，u_z]^T表示跟踪航天器的控制加速度，u_x、u_y和u_z分别表示跟踪航天器在轨道坐标系的x方向、y方向和z方向上的控制加速度，μ为地球引力常数，

a和n为目标航天器的轨道半长轴和平均角速度。

4.根据权利要求3所述的基于混合高斯模型的固定时间约束的航天器集群控制方法，其特征在于，跟踪航天器的状态矢量表示为：

用于描述航天器集群飞行的相对动力学方程为：

其中，A为状态转移矩阵，B为控制矩阵，

r_m表示目标航天器与跟踪航天器间的相对距离，μ为地球引力常数，

和

分别表示目标航天器的角速度和角加速度。

5.根据权利要求4所述的基于混合高斯模型的固定时间约束的航天器集群控制方法，其特征在于，假设目标航天器表面的若干个特征点所描述的目标航天器的外包络由包含K₁个高斯分量的混合高斯模型拟合，目标航天器外包络表面的混合高斯模型的概率密度分布函数表示为：

其中，p(Z|Θ)表示混合高斯模型的概率密度分布函数，Θ表示混合高斯模型所包含的参数变量集合，

表示混合高斯模型的第k个高斯函数分量，z_i表示第i个特征点，z_i＝[x_i,y_i,z_i]^T，x_i、y_i和z_i分别表示第i个特征点在轨道坐标系的x方向、y方向和z方向上的坐标信息，

表示混合高斯模型中的第k个高斯函数分量的期望值，

表示混合高斯模型中的第k个高斯函数分量的协方差矩阵，r＝[x,y,z]^T表示跟踪航天器在目标航天器的轨道坐标系下的相对位置，π_k表示混合高斯模型的第k个高斯函数分量，π为圆周率，e为自然对数，

表示3x3矩阵。

6.根据权利要求5所述的基于混合高斯模型的固定时间约束的航天器集群控制方法，其特征在于，基于混合高斯模型的人工势能函数表示为：

其中，

表示人工势能函数，r＝[x,y,z]^T表示跟踪航天器在目标航天器的轨道坐标系下的相对位置，r_f＝[x_f,y_f,z_f]^T表示跟踪航天器在目标航天器的轨道坐标系下的期望相对位置，x_f、y_f和z_f分别表示跟踪航天器在轨道坐标系的x方向、y方向和z方向上的期望坐标，π为圆周率，e为自然对数，π_j表示混合高斯模型的第j个高斯函数分量，Σ_j表示混合高斯模型中的第j个高斯函数分量的协方差矩阵，μ_j表示混合高斯模型中的第j个高斯函数分量的期望值，P表示半正定矩阵，M表示半正定矩阵。

7.根据权利要求6所述的基于混合高斯模型的固定时间约束的航天器集群控制方法，其特征在于，跟踪航天器的固定时间控制器的滑膜面由式24确定；

其中，y₁＝[x-x_f y-y_f z-z_f]^T，

s_GMM-FTC表示滑膜变量，s_GMM-FTC-i为滑膜变量分量，

k_s表示半正定矩阵，

表示梯度函数，

表示基于混合高斯模型的人工势能函数

对跟踪航天器的相对位置r求梯度，α₁＝1.1，

p₂(q)＝3+q，ε和

为跟踪航天器的固定时间控制器的控制参数。

8.根据权利要求7所述的基于混合高斯模型的固定时间约束的航天器集群控制方法，其特征在于，跟踪航天器的固定时间控制器的控制律通过式33确定；

其中，u_GMM-FTC表示基于混合高斯模型的固定时间控制的实际控制量，u_f表示基于混合高斯模型的固定时间控制的辅助控制器，

和

均为正定矩阵，f(S_GMM-FTC-2,α_i)表示辅助函数，

y₁(1)、y₁(2)和y₁(3)为向量y₁的三个参数。

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