CN106628257A - 地球摄动引力场中近地航天器相对运动轨道的保持方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种地球摄动引力场中近地航天器相对运动轨道的保持方法，通过对地球扁率摄动影响下近地轨道卫星的相对运动进行建模，并且提出一种基于时间离散法的周期解估计方案，能够简单有效地对周期性相对运动的初始条件进行较为精确的估计，以及定量地研究近地飞行器的相对运动在受地心引力摄动的作用下动力学特性的变化。为飞行器的编队飞行任务及其他任务中飞行器的绕飞阶段的轨道设计提供精确可靠的数学模型和数据参考。并且将一种闭合投影轨道引入相对运动轨道的保持方案，通过与DLQR控制方法结合进而设计了一种高效率、低燃耗的控制策略。

Description

地球摄动引力场中近地航天器相对运动轨道的保持方法

技术领域

本发明属于航空航天技术领域，涉及一种近地航天器相对运动轨道的保持方法，特别涉及地球摄动引力场中近地航天器相对运动轨道的保持方法。

背景技术

近地轨道航天器的相对运动问题在过去的几十年中受到了大量相关研究人员的关注。许多二体问题的动力学和运动学模型被相继提出，最为著名的相对运动数学模型是C-W方程。C-W方程提供了一种求解近圆轨道航天器相对运动周期轨道的方法。然而，C-W方程中采用的一些假设条件(假设圆轨道、忽略地球扁率等)会导致模型的误差在某些情况下严重偏离实际。由于周期性相对轨道在相对轨道保持，以及航天器编队飞行方面具有重要意义，迫切需要更加精确的相对运动模型以及求解相对运动周期轨道的方法。迄今，已经有过许多对C-W方程进行一般化的尝试。通过研究得到了相对运动线性方程组的齐次解，得到了T-H方程的周期轨道初始条件。该结果能用于对参考轨道为椭圆轨道的大型航天器集群飞行进行初始化。然而，当同时考虑重力场的非线性、地球J₂摄动、和大偏心率参考轨道时，初始条件就无法再满足要求了。当考虑非线性项的存在时，非线性动力学模型都没有解析解，因为模型方程不具备线性系统的可加性和齐次性。总的来说，当前还未能针对近地轨道航天器的相对运动提出一种精确、可靠、适应性强的周期轨道初始化方法，也未针对航天器相对运动轨道的保持提供一种普遍有效、节省燃耗的控制策略。

发明内容

本发明的目的在于提供一种任意形状翻滚卫星的非接触式惯量系数辨识方法，以克服上述现有技术存在的缺陷，本发明提出了基于时间离散法的相对运动轨道初值快速解算方法和轨道保持控制方法，计算效率高，并且节省控制燃料，因此具有明显的优势。

为达到上述目的，本发明采用如下技术方案：

地球摄动引力场中近地航天器相对运动轨道的保持方法，包括如下步骤：

1)建立地球引力摄动下主从星的精确相对运动模型；

2)使用时间离散法对主从星相对运动模型进行求解；

3)获取闭合投影轨道；

4)设计闭环控制策略。

进一步地，步骤1)中建立地球引力摄动下主从星的精确相对运动模型具体为：

同时采用地心惯性坐标系和星体坐标系建立从航天器相对于主航天器的椭圆轨道相对运动模型：

其中，x_r，y_r，z_r为从星在主星星体坐标系下的位置坐标，ω_x,ω_z，α_x，α_z分别为主星星体坐标系绕自身x轴、z轴的旋转角速度及相应的旋转角加速度，η由如下关系式给出：

r，i，和θ均为描述主星轨道的周期性时变参数并由如下主星轨道方程给出：

其中，s表示三角函数sin，c表示三角函数cos，r为主星相对于地心的距离，v_r为r相对于时间的导数，h为主星的角动量，θ为主星与升交点之间的夹角，i为轨道平面倾角，Ω为升交点赤经，k_J2为J₂相关项；

F_x，F_y，和F_z是从星的控制力在主星星体坐标系下的分量，η_r和是相对位置坐标x_r，y_r，z_r的函数并由如下关系给出：

其中，

r_rZ＝(r+x_r)s_is_θ+y_rs_ic_θ+z_rc_i，

在上式中，r_r为从星相对于地心的距离，r_rZ为r_r在地心惯性系Z轴上的投影，J₂为地心引力场的摄动项，μ为引力常数，R_e为地球半径；

然后，通过降阶增维的方式，将主从星相对运动方程中的二阶导数消去，从而将其转化为如下的一阶状态空间形式：

其中，X＝(x_r y_r z_r v_x v_y v_z)^T为状态空间向量，G为映射函数。

进一步地，步骤2)中使用时间离散法对主从星相对运动模型进行求解具体为：

将状态空间向量X假设为傅里叶级数的周期解形式，以函数f(t)为例，将其表示为：

其中a₀，a_n，b_n为谐波系数，ω为周期运动的频率，n为谐波的阶数，t表示时间；

根据傅里叶级数本身的特性，这种形式的周期解存在如下所示的变换关系：

其中f(t_j)和分别为时间t_j处函数f(t)及其一阶时间导数的值，矩阵EAE^-1为相应的变换矩阵，ω_f为假设的周期运动频率，假设相对运动的周期为时间T，在该周期内选取K个时间点，即得到如下关于离散点的方程组：

其中，t₁至t_K为在时间周期内选取的配点，根据傅里叶级数形式的周期解所固有的变换关系，将上式的左端项转化为：

其中，ω_xr，ω_yr，和ω_zr分别为x，y，z轴的运动分量的频率，E_xAE_x ^-1，E_yAE_y ^-1和E_zAE_z ^-1分别为x，y，z轴的运动分量的变换矩阵，X_r，Y_r，Z_r和V_x，V_y，V_z分别为对应位置和速度分量在时间配点处的值；

由此，得到该模型对应的时间离散法代数方程组，简写如下

其中，Q＝(X_r,Y_r,Z_r,V_x,V_y,V_z)^T，是对(G(X(t₁)),G(X(t₂)),...G(X(t_K)))^T重新排列后得到的矢量，为对E重新排列后得到的矩阵，通过对上述方程组进行求解即得到周期解的离散点信息，利用该离散点信息即能够得到周期解的估计值。

进一步地，步骤3)中获取闭合投影轨道具体为：

假设闭合投影轨道能够展开为傅里叶级数的形式，通过在慢漂移轨道的某一段上选择均匀分布的M个离散点，得到余量函数其中，矢量为闭合投影轨道的谐波估计系数，为相应的谐波矩阵，Q_c为慢漂移轨道在配点处的位置和速度信息，通过最小二乘法，寻找使R^TR取最小值的闭合投影轨道的频率ω_c ^*和离散信息即求解下式：

其中，R为余量函数，ω_c ^*为最优的闭合投影轨道的频率，为该最优闭合投影轨道在配点处的位置及速度信息，将余量函数代入上式，得到：

该非线性代数方程的解ω_c ^*和即用于构造闭合投影轨道，

上式中，矩阵和T如下所示：

其中，A的具体形式为：

t为配点处的时间t₁至t_K构成的对角阵。

进一步地，步骤4)中设计闭环控制策略具体为：

对相对运动模型进行线性化处理之后得到下式

其中X^d＝X-X_p是真实轨迹X相对投影轨道的漂移量，X_p是投影轨道的状态矢量，矩阵为控制矩阵，如下所示；

令控制矢量u为固定时间间隔的脉冲推力，即：

其中t_k为脉冲推力开始作用的瞬时时间，为脉冲间隔T_s的整数倍：t_k＝kT_s，d为脉冲推力作用的持续时间，u_k为离散控制器给出的控制信号，由此将相对运动模型离散化为：

其中，dτ为对时间τ的微分；

使用DLQR控制策略，使如下的二次型性能指标最小化

其中，X_dk为在时间域内离散化的状态矢量；

通过Ricatti方程得到最优控制律

u_k＝-K(X(t_k)-X_p(t_k))

其中，X(t_k)为真实状态矢量在t_k处的值，X_p(t_k)为闭合投影轨道的状态矢量在t_k处的值，K为增益矩阵。

与现有技术相比，本发明具有以下有益的技术效果：

本发明方法基于时间离散法，通过在时间域内离散获得航天器相对运动的代数方程，避免了一般的非线性系统分析方法中大量的符号运算，同时简化了系统方程，使得求解效率得到较大提高。本发明所提出的时间离散法求解方案扩展性较强，能够应用到考虑其他摄动因素(如太阳光压和大气阻力)的更加精确的相对运动模型的求解中。另外，提出了一种基于闭合投影轨道的闭环控制策略，由于闭合投影轨道与真实的相对运动周期轨道近似程度较高，这使得该控制策略能够有效地降低轨道保持的燃料消耗，同时闭合投影轨道的求解过程简单，不会过多占用星载计算机的计算资源。

附图说明

图1为本发明方法的流程图；

图2为航天器相对运动模型示意图；

图3为时间离散法求解方案得到的相对运动轨道；

图4为为无控条件下航天器的慢漂移轨迹和闭合投影轨道；

图5为DLQR控制策略下的相对运动轨迹。

具体实施方式

下面对本发明作进一步详细描述：

采用时间离散法对主从星相对运动模型进行求解，将相对运动状态矢量的三个分量假设为傅里叶级数的周期解形式。然后通过周期内的时间离散，得到离散后的系统的代数方程组，通过选取合适的不动点迭代计算方法及迭代初值，获得周期解的估计解，即为相对周期运动的精确初值。使用时间离散法对系统模型进行求解后，能够得到精度较高的估计解，但是由于求解过程中存在计算误差，由该初始条件得到的相对运动轨迹并不完全闭合，而是一条漂移速率较慢的近似周期轨道。我们采用最小二乘原理将慢漂移轨道投影到一个周期轨道上，得到闭合投影轨道。基于此闭合投影轨道，通过与DLQR控制方法结合进而设计了一种高效率、低燃耗的控制策略。

具体步骤包括：

1)基于拉格朗日方程，建立地球引力场在J₂摄动下航天器的精确相对运动模型：

同时采用地心惯性坐标系(ECI)和星体坐标系(LVLH)建立从航天器相对于主航天器的椭圆轨道相对运动模型

其中，x_r，y_r，z_r为从星在主星星体坐标系下的位置坐标，ω_x、ω_z，α_x，α_z分别为主星星体坐标系绕自身x轴、z轴的旋转角速度及相应的旋转角加速度，为η由如下关系式给出

r，i，和θ均为描述主星轨道的周期性时变参数并由如下主星轨道方程给出：

其中，s表示三角函数sin，c表示三角函数cos，r为主星相对于地心的距离，v_r为r相对于时间的导数，h为主星的角动量，θ为主星与升交点之间的夹角，i为轨道平面倾角，Ω为升交点赤经，k_J2为J₂相关项；

F_x，F_y，和F_z是从星的控制力在主星星体坐标系下的分量，η_r和是相对位置坐标x_r，y_r，z_r的函数并由如下关系给出：

其中，

r_rZ＝(r+x_r)s_is_θ+y_rs_ic_θ+z_rc_i，

在上式中，r_r为从星相对于地心的距离，r_rZ为r_r在地心惯性系Z轴上的投影，J₂为地心引力场的摄动项，μ为引力常数，R_e为地球半径；

然后，通过降阶增维的方式，将主从星相对运动方程中的二阶导数消去，从而将其转化为如下的一阶状态空间形式：

其中，X＝(x_r y_r z_r v_x v_y v_z)^T为状态空间向量，G为映射函数。

2)建立时间离散法求解方案对航天器相对运动模型进行求解：

将状态空间向量X假设为傅里叶级数的周期解形式，以函数f(t)为例，将其表示为：

其中a₀，a_n，b_n为谐波系数，ω为周期运动的频率，n为谐波的阶数，t表示时间；

根据傅里叶级数本身的特性，这种形式的周期解存在如下所示的变换关系

其中f(t_j)和分别为时间t_j处函数f(t)及其一阶时间导数的值，矩阵EAE^-1为相应的变换矩阵，ω_f为假设的周期运动频率。假设相对运动的周期为时间T，在该周期内选取K个时间点，可以得到如下关于离散点的方程组

其中，t₁至t_K为在时间周期内选取的配点，根据傅里叶级数形式的周期解所固有的变换关系，上式的左端项可以转化为

其中，ω_xr，ω_yr，和ω_zr分别为x，y，z轴的运动分量的频率。E_xAE_x ^-1，E_yAE_y ^-1和E_zAE_z ^-1分别为x，y，z轴的运动分量的变换矩阵，X_r，Y_r，Z_r和V_x，V_y，V_z分别为对应位置和速度分量在时间配点处的值；

由此，能够得到该模型对应的时间离散法代数方程组，简写如下

其中，Q＝(X_r,Y_r,Z_r,V_x,V_y,V_z)^T。是对(G(X(t₁)),G(X(t₂)),...G(X(t_K)))^T重新排列后得到的矢量，为对E重新排列后得到的矩阵。上式为一组非线性代数方程，通过选取合适的不动点迭代计算方法及迭代初值，就能进行求解，所得到的解Q为周期解的离散点信息，利用该信息能够获得周期解的估计解，也能够对相对周期运动进行初始化。

3)获取闭合投影轨道

使用时间离散法对系统模型进行求解后，能够得到精度较高的估计解，同时也能获得周期轨道的初始化条件，但是由于求解过程中存在计算误差，由该初始条件得到的相对运动轨迹并不完全闭合，而是一条漂移速率较慢的近似周期轨道。为了获得相对运动控制所需的参考轨迹，我们将其投影到一个周期性的闭合轨道上，并以该轨道为基础，设计闭环控制策略。

仍然假设闭合投影轨道能够展开为傅里叶级数的形式，通过在慢漂移轨道的某一段上选择均匀分布的M个离散点，得到余量函数其中，矢量为闭合投影轨道的谐波估计系数，为相应的谐波矩阵，Q_c为慢漂移轨道在配点处的位置和速度信息，通过最小二乘法，寻找使R^TR取最小值的闭合投影轨道的频率ω_c ^*和离散信息也就是求解下式

其中，R为余量函数，ω_c ^*为最优的闭合投影轨道的频率，为该最优闭合投影轨道在配点处的位置及速度信息，将余量函数代入上式，可以得到

该非线性代数方程的解ω_c ^*和即用于构造闭合投影轨道。

其中，矩阵和T如下所示：

其中，A的具体形式为：

t为配点处的时间t₁至t_K构成的对角阵。

4)设计闭环控制策略：

对相对运动模型进行线性化处理之后得到下式

其中X_d＝X-X_p是真实轨迹X相对投影轨道的漂移量，X_p是投影轨道的状态矢量，矩阵为控制矩阵，如下所示；

令控制矢量u为固定时间间隔的脉冲推力，即：

其中t_k为脉冲推力开始作用的瞬时时间，为脉冲间隔T_s的整数倍：t_k＝kT_s，d为脉冲推力作用的持续时间，u_k为离散控制器给出的控制信号，由此将相对运动模型离散化为：

其中，dτ为对时间τ的微分。

使用DLQR控制策略，使如下的二次型性能指标最小化

其中，X_dk为在时间域内离散化的状态矢量；

通过Ricatti方程得到最优控制律

u_k＝-K(X(t_k)-X_p(t_k))。

其中，X(t_k)为真实状态矢量在t_k处的值，X_p(t_k)为闭合投影轨道的状态矢量在t_k处的值，K为增益矩阵。

为了更好地说明本发明的目的和优点，下面结合附图和实例对本发明内容做进一步说明：

本发明针对近地轨道近距离交会任务，提出了一种近地轨道航天器相对运动轨道的保持方法，该方法的操作流程如图1所示，其具体实施方式包括如下步骤：

第一步：建立航天器的相对运动模型。该模型中采用了两组笛卡尔坐标系，如图2所示。其中地心惯性坐标系(ECI)由一组单位向量X,Y,Z表示，体坐标系(LVLH)固联在参考航天器S₀上。建模过程中考虑地球引力场的J₂摄动项，建立了一阶标准化动力学方程其中X＝(x_r y_r z_r v_x v_y v_z)^T，也就是相对运动的状态矢量。

第二步：相对运动模型的时间离散法求解方案。取周期轨道的近似解为傅里叶级数的谐波形式，其中傅里叶级数的系数为未知量。将近似解带入动力学方程然后在的一个周期上进行离散，得到代数方程组。使用牛顿迭代法求解代数方程组，得到近似解。这样，得到的估计解X(t)与真实的周期解足够接近，是一个慢漂移的相对运动轨道，如图3。

第三步：获取相对运动的精确闭合投影轨道。

上一步中，使用时间离散法对系统模型进行求解后，能够得到精度较高的估计解，同时也能获得周期轨道的初始化条件，但是由于求解过程中存在计算误差，由该初始条件得到的相对运动轨迹并不完全闭合，而是一条漂移速率较慢的近似周期轨道。为了获得相对运动控制所需的参考轨迹，我们将其投影到一个周期性的闭合轨道上，并以该轨道为基础，设计闭环控制策略。仍然假设闭合投影轨道能够展开为傅里叶级数的形式，通过在慢漂移轨道的某一段上选择均匀分布有限个离散点，带入控制方程得到余量函数通过最小二乘法，寻找使R^TR取最小值的闭合投影轨道的高精度闭合解，如图4。

第四步：设计闭环控制策略。基于获取的相对运动的精确闭合投影轨道，并采用离散化线性二次型最优控制器进行周期轨道控制，在消耗燃料很低的情况下，得到了精确的相对运动周期轨道，如图5所示。

Claims (5)

1.地球摄动引力场中近地航天器相对运动轨道的保持方法，其特征在于，包括如下步骤：

1)建立地球引力摄动下主从星的精确相对运动模型；

2)使用时间离散法对主从星相对运动模型进行求解；

3)获取闭合投影轨道；

4)设计闭环控制策略。

2.根据权利要求1所述的地球摄动引力场中近地航天器相对运动轨道的保持方法，其特征在于，步骤1)中建立地球引力摄动下主从星的精确相对运动模型具体为：

同时采用地心惯性坐标系和星体坐标系建立从航天器相对于主航天器的椭圆轨道相对运动模型：

其中，x_r，y_r，z_r为从星在主星星体坐标系下的位置坐标，ω_x,ω_z，α_x，α_z分别为主星星体坐标系绕自身x轴、z轴的旋转角速度及相应的旋转角加速度，η由如下关系式给出：

r，i，和θ均为描述主星轨道的周期性时变参数并由如下主星轨道方程给出：

$\stackrel{\·}{r}=v_r,$

${\stackrel{\·}{v}}_r=-\frac{\mathrm{\μ}}{r^2}+\frac{h^2}{r^3}-\frac{k_{J2}}{r^4}(1-3s_i^2{s}_{\mathrm{\θ}}^2),$

$\stackrel{\·}{h}=-\frac{k_{J2}{s}_i^2{s}_{\mathrm{\θ}}^2}{r^3},$

$\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}=\frac{h}{r^2}+\frac{2k_{J2}{c}_i^2{s}_{\mathrm{\θ}}^2}{{\mathrm{hr}}^3},$

$\stackrel{\·}{i}=-\frac{k_{J2}{s}_i^2{s}_{\mathrm{\θ}}^2}{2{\mathrm{hr}}^3},$

$\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}=-\frac{2k_{J2}{c}_i{s}_{\mathrm{\θ}}^2}{{\mathrm{hr}}^3},$

其中，s表示三角函数sin，c表示三角函数cos，r为主星相对于地心的距离，v_r为r相对于时间的导数，h为主星的角动量，θ为主星与升交点之间的夹角，i为轨道平面倾角，Ω为升交点赤经，k_J2为J₂相关项；

F_x，F_y，和F_z是从星的控制力在主星星体坐标系下的分量，η_r和是相对位置坐标x_r，y_r，z_r的函数并由如下关系给出：

其中，

$r_r=\sqrt{{(r+x_r)}^2+y_r^2+z_r^2},$

r_rZ＝(r+x_r)s_is_θ+y_rs_ic_θ+z_rc_i，

$k_{J2}=\frac{3J_2{\mathrm{\μR}}_e^2}{2},$

在上式中，r_r为从星相对于地心的距离，r_rZ为r_r在地心惯性系Z轴上的投影，J₂为地心引力场的摄动项，μ为引力常数，R_e为地球半径；

然后，通过降阶增维的方式，将主从星相对运动方程中的二阶导数消去，从而将其转化为如下的一阶状态空间形式：

$\stackrel{\·}{X}=G\left(X\right)$

其中，X＝(x_r y_r z_r v_x v_y v_z)^T为状态空间向量，G为映射函数。

3.根据权利要求2所述的地球摄动引力场中近地航天器相对运动轨道的保持方法，其特征在于，步骤2)中使用时间离散法对主从星相对运动模型进行求解具体为：

将状态空间向量X假设为傅里叶级数的周期解形式，以函数f(t)为例，将其表示为：

其中a₀，a_n，b_n为谐波系数，ω为周期运动的频率，n为谐波的阶数，t表示时间；

根据傅里叶级数本身的特性，这种形式的周期解存在如下所示的变换关系：

$\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·}{f}\left(t_1\right)\\ \stackrel{\·}{f}\left(t_2\right)\\ .\\ .\\ .\\ \stackrel{\·}{f}\left(t_K\right)\end{array}\right]={\mathrm{\ω}}_f{\mathrm{EAE}}^{-1}\left[\begin{array}{c}f\left(t_1\right)\\ f\left(t_2\right)\\ .\\ .\\ .\\ f\left(t_K\right)\end{array}\right]$

其中f(t_j)和分别为时间t_j处函数f(t)及其一阶时间导数的值，矩阵EAE^-1为相应的变换矩阵，ω_f为假设的周期运动频率，假设相对运动的周期为时间T，在该周期内选取K个时间点，即得到如下关于离散点的方程组：

${\left(\stackrel{\·}{X}\right(t_1),\stackrel{\·}{X}(t_2),...\stackrel{\·}{X}(t_K\left)\right)}^T={\left(G\right(X\left(t_1\right)),G(X\left(t_2\right)),...G(X\left(t_K\right)\left)\right)}^T$

其中，t₁至t_K为在时间周期内选取的配点，根据傅里叶级数形式的周期解所固有的变换关系，将上式的左端项转化为：

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{X}}_r\\ {\stackrel{\·}{Y}}_r\\ {\stackrel{\·}{Z}}_r\\ {\stackrel{\·}{V}}_x\\ {\stackrel{\·}{V}}_y\\ {\stackrel{\·}{V}}_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}{\mathrm{\ω}}_{xr}{E}_x{{\mathrm{AE}}_x}^{-1}& & & & & \\ & {\mathrm{\ω}}_{yr}{E}_y{{\mathrm{AE}}_y}^{-1}& & & & \\ & & {\mathrm{\ω}}_{zr}{E}_z{{\mathrm{AE}}_z}^{-1}& & & \\ & & & {\mathrm{\ω}}_{xr}{E}_x{{\mathrm{AE}}_x}^{-1}& & \\ & & & & {\mathrm{\ω}}_{yr}{E}_y{{\mathrm{AE}}_y}^{-1}& \\ & & & & & {\mathrm{\ω}}_{zr}{E}_z{{\mathrm{AE}}_z}^{-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_r\\ Y_r\\ Z_r\\ V_x\\ V_y\\ V_z\end{array}\right]$

其中，ω_xr，ω_yr，和ω_zr分别为x，y，z轴的运动分量的频率，E_xAE_x ^-1，E_yAE_y ^-1和E_zAE_z ^-1分别为x，y，z轴的运动分量的变换矩阵，X_r，Y_r，Z_r和V_x，V_y，V_z分别为对应位置和速度分量在时间配点处的值；

由此，得到该模型对应的时间离散法代数方程组，简写如下

$\tilde{G}\left(Q\right)-\tilde{E}Q=0$

其中，Q＝(X_r,Y_r,Z_r,V_x,V_y,V_z)^T，是对(G(X(t₁)),G(X(t₂)),...G(X(t_K)))^T重新排列后得到的矢量，为对E重新排列后得到的矩阵，通过对上述方程组进行求解即得到周期解的离散点信息，利用该离散点信息即能够得到周期解的估计值。

4.根据权利要求3所述的地球摄动引力场中近地航天器相对运动轨道的保持方法，其特征在于，步骤3)中获取闭合投影轨道具体为：

假设闭合投影轨道能够展开为傅里叶级数的形式，通过在慢漂移轨道的某一段上选择均匀分布的M个离散点，得到余量函数其中，矢量为闭合投影轨道的谐波估计系数，为相应的谐波矩阵，Q_c为慢漂移轨道在配点处的位置和速度信息，通过最小二乘法，寻找使R^TR取最小值的闭合投影轨道的频率ω_c ^*和离散信息即求解下式：

$\frac{\∂\left(R^{T}R\right)}{\∂{{\mathrm{\ω}}_c}^{*}}=0,\frac{\∂\left(R^{T}R\right)}{\∂{\hat{Q}}^{*}}=0$

其中，R为余量函数，ω_c ^*为最优的闭合投影轨道的频率，为该最优闭合投影轨道在配点处的位置及速度信息，将余量函数代入上式，得到：

该非线性代数方程的解ω_c ^*和即用于构造闭合投影轨道，

上式中，矩阵和T如下所示：

其中，A的具体形式为：

t为配点处的时间t₁至t_K构成的对角阵。

5.根据权利要求2所述的地球摄动引力场中近地航天器相对运动轨道的保持方法，其特征在于，步骤4)中设计闭环控制策略具体为：

对相对运动模型进行线性化处理之后得到下式

${\stackrel{\·}{X}}_d=\stackrel{\‾}{A}{X}_d+\stackrel{\‾}{B}u$

其中X^d＝X-X_p是真实轨迹X相对投影轨道的漂移量，X_p是投影轨道的状态矢量，矩阵为控制矩阵，如下所示；

$\stackrel{\‾}{B}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

令控制矢量u为固定时间间隔的脉冲推力，即：

$u\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{u_k}{d},& t_k<t<t_k+d\\ 0,& t_k+d<t<t_k+T_s\end{array}\right.$

其中t_k为脉冲推力开始作用的瞬时时间，为脉冲间隔T_s的整数倍：t_k＝kT_s，d为脉冲推力作用的持续时间，u_k为离散控制器给出的控制信号，由此将相对运动模型离散化为：

$X_{dk+1}=\tilde{A}{X}_{dk}+\tilde{B}{u}_k,$

其中，dτ为对时间τ的微分；

使用DLQR控制策略，使如下的二次型性能指标最小化

$J=\frac{1}{2}\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\&infin;}}{\&Sigma;}}\&lsqb;{X_{dk}}^T{\mathrm{QX}}_{dk}+{u_k}^T{\mathrm{Ru}}_k\&rsqb;$

其中，X_dk为在时间域内离散化的状态矢量；

通过Ricatti方程得到最优控制律

u_k＝-K(X(t_k)-X_p(t_k))

其中，X(t_k)为真实状态矢量在t_k处的值，X_p(t_k)为闭合投影轨道的状态矢量在t_k处的值，K为增益矩阵。