CN112346472B - 航天器交会系统的保成本鲁棒增益调度控制器设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及航天器交会系统的保成本鲁棒增益调度控制器设计方法；本发明将航天器交会分为平面内运动和平面外运动来考虑，建立了具有饱和非线性和参数不确定性的动态模型。针对具有执行器饱和与参数不确定性的航天器圆轨道交会系统，基于低增益反馈、增益调度方法及鲁棒控制理论，设计了一种保成本鲁棒增益调度控制器。本发明所提保成本鲁棒增益调度控制器与现有增益调度控制相比，考虑了系统的动态性能与控制成本之间的相互制约关系，通过引入二次性能指标函数，权衡了系统的动态性能与控制成本。

Description

航天器交会系统的保成本鲁棒增益调度控制器设计方法

技术领域

本发明涉及一种航天器交会系统的控制器设计方法，针对具有执行器饱和与参数不确定性的航天器圆轨道交会系统设计了一种有效的保成本鲁棒增益调度控制器，具体涉及一种航天器交会系统的保成本鲁棒增益调度控制器设计方法。

背景技术

航天器交会是完成当前和未来空间任务的重要技术。成功的交会对接是完成许多航天任务的前提条件，如维修、拦截、对接、救援、大型结构组装和卫星组网等。在过去的几十年里，人们对航天器交会进行了积极的研究，并在控制理论和技术方面取得了许多成果，许多先进的控制理论方法被用来解决航天器交会控制问题。

对于航天器交会任务，控制输入约束是需要考虑的一个重要问题。在实际工程中，由于推力设备的物理限制、有限的燃料质量及发动机提供的推力是有限的等原因，航天器轨道交会系统的控制输入是有限的。在这些约束中，追踪航天器所能提供的有限推力所产生的有限加速度是一个重要的非线性约束。根据所设计的控制器计算出的加速度超出了追踪航天器推力器所能提供的最大加速度，则实际系统将不能够按照所设计控制器的指令工作，这将影响控制系统的控制品质，甚至引起系统不稳定，导致交会任务的失败。

在过去的几十年里，航天器的相对运动问题通常是基于C-W方程进行研究的。该方程可以通过选取状态向量变换成状态方程：

其中x表示相对位置和相对速度，u表示控制输入。虽然在研究航天器交会问题时，这种描述已经被广泛应用，但需要注意的是，由于不确定因素较多，系统矩阵A很难准确确定，这可能对航天器交会的精度、稳定性甚至安全性都有一定影响。

除了不确定性之外，还需要考虑燃料成本和轨道平滑等其他问题。由于推进剂储存仓容量小，因此，最小化推进燃料和降低能源成本是非常必要的。保成本控制是一种有效的控制方法，它可以使系统在控制成本有限的情况下保证闭环系统的稳定性。

发明内容

本发明针对具有执行器饱和与参数不确定性的航天器圆轨道交会系统，基于低增益反馈、增益调度方法和不变椭球集合理论，设计了一种保成本鲁棒增益调度控制器来解决航天器圆轨道交会系统的鲁棒控制问题。

一种航天器交会系统的保成本鲁棒增益调度控制器设计方法，该方法具体包括以

下步骤：

步骤1：建立动态模型，具体过程如下：

步骤1.1：考虑两个相邻的航天器，即目标航天器和追踪航天器，目标航天器的圆轨道半径为R，目标航天器到追踪航天器的相对距离为r；考虑目标航天器轨道坐标系O-XYZ，其原点O固定在目标航天器的质心上，X轴沿圆轨道半径R的方向，Y轴为追踪航天器飞行的方向，Z轴在轨道平面外；用μ＝GM表示引力常数，其中M为中心星体质量，G为万有引力常数，则目标航天器轨道角速度为n＝μ^1/2/R^3/2；

步骤1.2：定义符号函数与饱和函数：

符号函数sign：如果y≥0，sign(y)＝1；如果y＜0，sign(y)＝-1；

饱和函数sat_α(x)：

其中，α＞0表示饱和水平，并将sat₁(x)简写为sat(x)；

步骤1.3：考虑不确定性和输入饱和，建立相对运动方程；

考虑如下航天器相对运动方程：

其中，a_x,a_y,a_z为三个方向上推力产生的加速度；α_X,α_Y,α_Z分别为推力在三个方向上所能产生的最大加速度；x,y,z为两航天器的相对距离；

为两航天器的相对速度；

步骤1.4：平面内运动分析

令D＝diag{α_X,α_Y}，a＝[a_x a_y]^T，得到：

diag()表示对角矩阵，T表示矩阵转置；选取相对运动状态向量

和控制向量u＝D^-1a，得到目标航天器和追踪航天器的平面内相对运动方程：

其中，

考虑矩阵A中存在的参数不确定性，引入不确定矩阵ΔA，则相对运动方程表示为：

设不确定矩阵ΔA为:

ΔA＝MF(t)N (6)

其中M和N是已知的具有适当维数的常数矩阵，F(t)是一个未知的时变矩阵，满足F^T(t)F(t)≤I其中I为适当维数的单位矩阵；

步骤1.5：平面外运动分析

选取相对运动状态向量

和控制向量

令

得到目标航天器和追踪航天器的平面外相对运动方程：

其中

和

是已知的具有适当维数的常数矩阵，

是一个未知的时变矩阵，满足

其中I为具有适当维数的单位矩阵；

步骤2：考虑平面内运动的系统(5)设计保成本鲁棒增益调度控制器，具体过程如下：

步骤2.1：求解如下参数Ri ccat i方程：

其中，γ＞0为低增益参数，∈^*＞0，Q为对称正定矩阵，P(γ(x))为唯一对称正定解；

步骤2.2：令矩阵R＝R^T＞0,Q＝Q^T＞0，∈＞0，S为如下方程的唯一对称正定解；

A^TS+SA+∈SMM^TS-SBR^-1B^TS+∈^-1N^TN+Q＝0 (9)

设计如下控制增益：

K＝-R^-1B^TS (10)

步骤2.3：考虑如下控制成本：

设x(0)＝x₀为初始状态，定义

Ξ＝{∈＞0:存在S(∈)＝S^T(∈)＞0对(9)有解}

并令

步骤2.4：令x(0)为满足E[x(0)x^T(0)]＝I的零均值随机变量，其中E[·]表示期望，I为具有适当维数的单位矩阵；则控制成本的上界为：

选取∈＞0使[S(∈)]最小化，则可使控制成本最小化，引入以下优化问题：

其中Trace[]表示矩阵的迹；令

令Q如(11)中定义，R为I_m，m为矩阵B的维数，则∈^*＞0，S＝S^T＞0由如下方程(13)解出，符号Arg{minf(x)}表示函数f(x)取最小值时x的值；

A^TS+SA+∈^*SMM^TS-SBB^TS+∈^*-1N^TN+Q＝0 (13)

步骤2.5：设计如下控制器：

u＝-B^TPx (14)

令P＝∈^*S，则式(13)可以写成：

A^TP+PA+PMM^TP-∈^*-1PBB^TP+N^TN+∈^*Q＝0 (15)

将方程(15)参数化得到：

A^TP(γ)+P(γ)A+P(γ)MM^TP(γ)-∈^*-1P(γ)BB^TP(γ)+N^TN+γ∈^*Q＝0 (16)

其中，γ＞0；

步骤2.6：定义两个不变椭球集：

ε＝{x∈R⁴:4γ^*x^TP(γ^*)x＝1,γ(x)＝γ^*} (17)

其中，γ(x)是关于x∈R⁴的连续函数，并且在任意点x的邻域内连续可微，使得0＜γ(x)＜γ^*，γ^*为大于零的实数；

设P(γ(x))是(8)中ARE的唯一正定解；设计如下非线性增益调度控制器：

其中，∈^*-1B^TP(γ(x))x函数是全局Lipschitz函数；

γ(x)＝max{γ∈(0,γ^*]:(∈^*-1)²(x^TP(γ)x)Trace(B^TP(γ)B)≤1} (20)。

本发明针对目前通过引入参数设计增益调度控制器来改善闭环系统的动态性能这一方法中存在的控制成本升高问题进行了研究。也就是说，目前的增益调度控制方法中大多是以消耗控制成本为代价来提高动态性能。本发明所提保成本鲁棒增益调度控制器与现有增益调度控制相比，考虑了系统的动态性能与控制成本之间的相互制约关系，通过引入二次性能指标函数，权衡了系统的动态性能与控制成本。

具体实施方式

一种航天器交会系统的保成本鲁棒增益调度控制器设计方法，该方法具体包括以下步骤：

步骤1：建立动态模型，具体过程如下：

步骤1.1：考虑两个相邻的航天器(目标航天器和追踪航天器)，目标航天器的圆轨道半径为R，目标航天器到追踪航天器的相对距离为r。考虑目标航天器轨道坐标系O-XYZ，其原点O固定在目标航天器的质心上，X轴沿圆轨道半径R的方向，Y轴为追踪航天器飞行的方向，Z轴在轨道平面外。用μ＝GM表示引力常数，其中M为中心星体质量，G为万有引力常数，则目标航天器轨道角速度为n＝μ^1/2/R^3/2。

步骤1.2：定义符号函数与饱和函数：

符号函数sign：如果y≥0，sign(y)＝1；如果y＜0，sign(y)＝-1。

饱和函数sat_α(x)：

其中，α＞0表示饱和水平，并将sat₁(x)简写为sat(x)。

步骤1.3：考虑不确定性和输入饱和，建立相对运动方程。

根据牛顿运动理论得到如下目标航天器和追踪航天器的相对运动方程：

其中，

a_x,a_y,a_z为三个方向上推力提供的加速度；α_X,α_Y,α_Z分别为推力在三个方向上所能产生的最大加速度；x,y,z为两航天器的相对距离；

为两航天器的相对速度。

将方程(1)线性化得到方程(2)，它被称为Hill方程或Clohessy-Wiltshire方程。

步骤1.4：平面内运动分析

令D＝diag{α_X,α_Y}，a＝[a_x a_y]^T，可以得到：

diag()表示对角矩阵，T表示矩阵转置。选取相对运动状态向量

和控制向量u＝D^-1a，得到目标航天器和追踪航天器的平面内相对运动方程：

其中，

考虑矩阵A中存在的参数不确定性，引入不确定矩阵ΔA，则相对运动方程可表示为：

设不确定矩阵ΔA为:

ΔA＝MF(t)N (6)

其中M和N是已知的具有适当维数的常数矩阵，F(t)是一个未知的时变矩阵，满足F^T(t)F(t)≤I。

步骤1.5：平面外运动分析

选取相对运动状态向量

和控制向量

令

得到目标航天器和追踪航天器的平面外相对运动方程：

其中

和

是已知的具有适当维数的常数矩阵，

是一个未知的时变矩阵，满足

步骤2：考虑平面内运动的系统(5)设计保成本鲁棒增益调度控制器(平面外运动系统的保成本鲁棒增益调度控制方法与平面内相同)，具体过程如下：

步骤2.1：求解如下参数Riccati方程：

其中，γ＞0为低增益参数，P(γ(x))为唯一对称正定解。

步骤2.2：令矩阵R＝R^T＞0,Q＝Q^T＞0，∈＞0，S为如下方程的唯一对称正定解。

A^TS+SA+∈SMM^TS-SBR^-1B^TS+∈^-1N^TN+Q＝0 (9)

设计如下控制增益：

K＝-R^-1B^TS (10)

步骤2.3：考虑如下控制成本：

设x(0)＝x₀为初始状态，定义

Ξ＝{∈＞0:存在S(∈)＝S^T(∈)＞0对(9)有解}

并令

步骤2.4：令x(0)为满足E[x(0)x^T(0)]＝I的零均值随机变量，其中E[·]表示期望。则控制成本的上界为：

选取∈＞0使[S(∈)]最小化，则可使控制成本最小化，引入以下优化问题：

其中Trace[]表示矩阵的迹。令

令Q如(11)中定义，R为I_m(m为矩阵B的维数)，则∈^*＞0，S＝S^T＞0可以由如下方程(13)解出，符号Arg{minf(x)}表示函数f(x)取最小值时x的值。

A^TS+SA+∈^*SMM^TS-SBB^TS+∈^*-1N^TN+Q＝0 (13)

步骤2.5：设计如下控制器：

u＝-B^TPx (14)

令P＝∈^*S，则式(13)可以写成：

A^TP+PA+PMM^TP-∈^*-1PBB^TP+N^TN+∈^*Q＝0 (15)

将方程(15)参数化得到：

A^TP(γ)+P(γ)A+P(γ)MM^TP(γ)-∈^*-1P(γ)BB^TP(γ)+N^TN+γ∈^*Q＝0 (16)

其中，γ＞0。

步骤2.6：定义两个不变椭球集：

ε＝{x∈R⁴:4γ^*x^TP(γ^*)x＝1,γ(x)＝γ^*} (17)

其中，γ(x)是关于x∈R⁴的连续函数，并且在任意点x的邻域内连续可微，使得0＜γ(x)＜γ^*，γ^*为大于零的实数。

设P(γ(x))是(8)中ARE的唯一正定解。设计如下非线性增益调度控制器：

其中，∈^*-1B^TP(γ(x))x函数是全局Lipschitz函数。

γ(x)＝max{γ∈(0,γ^*]:(∈^*-1)²(x^TP(γ)x)Trace(B^TP(γ)B)≤1} (20)

步骤2.7：闭环系统收敛性分析

当

u(x)＝-∈^*-1B^TP(γ(x))x且其在线性区域工作。考虑系统(5)，可以得到如下闭环系统：

其中F表示F(t)。

选择如下李雅普诺夫函数：

V(x)＝x^TP(γ(x))x (22)

V(x)沿着系统(21)状态轨迹的时间导数：

当x∈ε,u(x)＝-∈^*-1B^TP(γ^*)x。可以得到如下闭环系统：

选择如下李雅普诺夫函数：

V(x)＝x^TP(γ^*)x (25)

计算V(x)在系统(24)的状态轨迹下的时间导数

因此，闭环系统渐进稳定。

Claims (1)

1.航天器交会系统的保成本鲁棒增益调度控制器设计方法，其特征在于它包括下述步骤：

步骤1：建立动态模型，具体过程如下：

步骤1.1：考虑两个相邻的航天器，即目标航天器和追踪航天器，目标航天器的圆轨道半径为R，目标航天器到追踪航天器的相对距离为r；考虑目标航天器轨道坐标系O-XYZ，其原点O固定在目标航天器的质心上，X轴沿圆轨道半径R的方向，Y轴为追踪航天器飞行的方向，Z轴在轨道平面外；用μ＝GM表示引力常数，其中M为中心星体质量，G为万有引力常数，则目标航天器轨道角速度为n＝μ^1/2/R^3/2；

步骤1.2：定义符号函数与饱和函数：

符号函数sign：如果y≥0，sign(y)＝1；如果y＜0，sign(y)＝-1；

饱和函数sat_α(x)：

其中，α＞0表示饱和水平，并将sat₁(x)简写为sat(x)；

步骤1.3：考虑不确定性和输入饱和，建立相对运动方程；

考虑如下航天器相对运动方程：

其中，a_x,a_y,a_z为三个方向上推力产生的加速度；α_X,α_Y,α_Z分别为推力在三个方向上所能产生的最大加速度；x,y,z为两航天器的相对距离；

为两航天器的相对速度；

步骤1.4：平面内运动分析

令D＝diag{α_X,α_Y}，a＝[a_x a_y]^T，得到：

diag()表示对角矩阵，T表示矩阵转置；选取相对运动状态向量

和控制向量u＝D^-1a，得到目标航天器和追踪航天器的平面内相对运动方程：

其中，

考虑矩阵A中存在的参数不确定性，引入不确定矩阵ΔA，则相对运动方程表示为：

设不确定矩阵ΔA为:

ΔA＝MF(t)N (6)

其中M和N是已知的具有适当维数的常数矩阵，F(t)是一个未知的时变矩阵，满足F^T(t)F(t)≤I其中I为适当维数的单位矩阵；

步骤1.5：平面外运动分析

选取相对运动状态向量

和控制向量

令

得到目标航天器和追踪航天器的平面外相对运动方程：

其中

和

是已知的具有适当维数的常数矩阵，

是一个未知的时变矩阵，满足

其中I为具有适当维数的单位矩阵；

步骤2：考虑平面内运动的系统(5)设计保成本鲁棒增益调度控制器，具体过程如下：

步骤2.1：求解如下参数Riccati方程：

其中，γ＞0为低增益参数，∈^*＞0，Q为对称正定矩阵，P(γ(x))为唯一对称正定解，

步骤2.2：令矩阵R＝R^T＞0,Q＝Q^T＞0，∈＞0，S为如下方程的唯一对称正定解；

A^TS+SA+∈SMM^TS-SBR^-1B^TS+∈^-1N^TN+Q＝0 (9)

设计如下控制增益：

K＝-R^-1B^TS (10)

步骤2.3：考虑如下控制成本：

设x(0)＝x₀为初始状态，定义

Ξ＝{∈＞0:存在S(∈)＝S^T(∈)＞0对式(9)有解}

并令

步骤2.4：令x(0)为满足E[x(0)x^T(0)]＝I的零均值随机变量，其中E[·]表示期望，I为具有适当维数的单位矩阵；则控制成本的上界为：

选取∈＞0使[S(∈)]最小化，则可使控制成本最小化，引入以下优化问题：

其中Trace[]表示矩阵的迹；令

令Q如式(11)中定义，R为I_m，m为矩阵B的维数，则∈^*＞0，S＝S^T＞0由如下方程(13)解出，符号Arg{min f(x)}表示函数f(x)取最小值时x的值；

A^TS+SA+∈^*SMM^TS-SBB^TS+∈^*-1N^TN+Q＝0 (13)

步骤2.5：设计如下控制器：

u＝-B^TPx (14)

令P＝∈^*S，则式(13)可以写成：

A^TP+PA+PMM^TP-∈^*-1PBB^TP+N^TN+∈^*Q＝0 (15)

将方程(15)参数化得到：

A^TP(γ)+P(γ)A+P(γ)MM^TP(γ)-∈^*-1P(γ)BB^TP(γ)+N^TN+γ∈^*Q＝0 (16)

其中，γ＞0；

步骤2.6：定义两个不变椭球集：

ε＝{x∈R⁴:4γ^*x^TP(γ^*)x＝1,γ(x)＝γ^*} (17)

其中，γ(x)是关于x∈R⁴的连续函数，并且在任意点x的邻域内连续可微，使得0＜γ(x)＜γ^*，γ^*为大于零的实数；

设P(γ(x))是式(8)中ARE的唯一正定解；设计如下非线性增益调度控制器：

其中，∈^*-1B^TP(γ(x))x函数是全局Lipschitz函数；

γ(x)＝max{γ∈(0,γ^*]:(∈^*-1)²(x^TP(γ)x)Trace(B^TP(γ)B)≤1} (20)。