CN109901399A - 一种不同维数混沌的有限时间全状态混合投影同步方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种不同维数混沌的有限时间全状态混合投影同步方法，本发明属于自动控制技术领域，具体包括：步骤1：以n维混沌系统作为驱动系统，以m维混沌系统作为响应系统，根据驱动系统和响应系统，建立全状态混合投影同步误差系统；步骤2：设计主动控制器，进行全状态混合投影同步误差系统的平衡控制；通过Lyapunov稳定性理论证明全状态混合投影同步误差能够收敛到零，能够实现不同维数混沌的有限时间全状态混合投影同步控制。该发明控制方法简单，全状态混合投影同步的时间可以通过参数进行设定。

Description

一种不同维数混沌的有限时间全状态混合投影同步方法

技术领域

本发明属于自动控制技术领域，具体涉及一种不同维数混沌的有限时间全状态混合投影同步方法。

背景技术

混沌揭示了自然界和人类社会中普遍存在的复杂性，混沌同步受到了各个领域学者的广泛关注，并提出了各种不同类型的同步现象。混沌同步应用于保密通信和图像加密等，具有重大的研究价值和诱人的应用前景。1999年Mainieri和Rehacek提出投影同步的概念，统一了不同类型的混沌同步现象。

目前的研究大多集中在相同维数混沌系统之间的投影同步。常见的2维混沌系统有Duffing混沌和van der Pol混沌等，常见的3维混沌系统有Lorenz混沌、Liu混沌、Chen混沌和混沌等，常见的4维混沌系统有超混沌Chen系统、超混沌Lorenz系统和超混沌系统等。研究不同维数混沌系统之间的全状态混合投影同步非常必要。目前混沌系统的投影同步方法，不能在设定的有限时间实现投影同步控制。本发明根据有限时间稳定性理论和主动控制方法，设计主动控制器，进行不同维数混沌的有限时间全状态混合投影同步控制。

发明内容

基于以上的技术问题，本发明提供一种不同维数混沌的有限时间全状态混合投影同步方法，根据n维驱动系统和m维响应系统建立全状态混合投影同步误差系统，基于有限时间稳定性理论和主动控制方法，设计主动控制器，进行全状态混合投影同步误差系统的平衡控制，实现不同维数混沌的有限时间全状态混合投影同步控制。

所述一种不同维数混沌的有限时间全状态混合投影同步方法，包括以下步骤：

步骤1：以n维混沌系统作为驱动系统，以m维混沌系统作为响应系统，根据驱动系统和响应系统，建立全状态混合投影同步误差系统：

所述驱动系统为n维混沌系统，状态方程为：

其中，X＝[x₁,x₂,…,x_n]^T，x_i为混沌系统的状态变量，i＝1,2,…,n，n为驱动系统的维数，t为时间，F(X,t)＝[f₁(X,t),f₂(X,t),…,f_n(X,t)]^T为连续函数；

所述响应系统为m维混沌系统，状态方程为：

其中，Y＝[y₁,y₂,…,y_m]^T，y_i为混沌系统的状态变量，i＝1,2,…,m，m为响应系统的维数，t为时间，G(Y,t)＝[g₁(Y,t),g₂(Y,t),…,g_m(Y,t)]^T为连续函数；

驱动系统和响应系统的全状态混合投影同步误差设定为：

E＝Y-KX (3)

其中，K为m×n的常数矩阵，且rank(K)＝min(n,m)，即常数矩阵K的秩为n和m中较小值，当n＝m时驱动系统和响应系统为同维混沌系统，当n≠m时驱动系统和响应系统为不同维数的混沌系统；

对公式(3)进行求导，得到全状态混合投影同步误差系统为：

其中，E＝[e₁,e₂,…,e_m]^T，e_i为全状态混合投影同步误差，i＝1,2,…,m，m为响应系统的维数；

步骤2：基于有限时间稳定性理论和主动控制方法，设计主动控制器，进行全状态混合投影同步误差系统的平衡控制：

对于公式(4)，带有控制输入的全状态混合投影同步误差系统为：

其中，U＝[u₁,u₂,…,u_m]^T，m为响应系统的维数。通过控制输入U使得对任意的初始状态X(0)和Y(0)，均有t>t_s时，||E||＝||Y-KX||＝0成立，实现驱动系统和响应系统的全状态混合投影同步控制。其中，||·||为向量的欧几里得范数，即

根据有限时间稳定性理论和主动控制方法，主动控制器设计为：

U＝-G(Y,t)+KF(X,t)-PE-Qsgn(E)|E|^r (6)

其中，P＝diag([p₁,p₂,…,p_m])，Q＝diag([q₁,q₂,…,q_m])，且p_i>0，q_i>0，i＝1,2,…,m，m为响应系统的维数，|E|^r＝[|e₁|^r|e₂|^r,…,|e_m|^r]^T，且0<r<1，sgn(E)＝diag([sgn(e₁),sgn(e₂),…,sgn(e_m)])；

将公式(6)的主动控制器带入到公式(5)中，得到：

将公式(7)改写成下面的形式：

其中，i＝1,2,…,m，m为响应系统的维数。

将公式(8)写成下面的形式：

令z_i＝|e_i|^1-r，对z_i进行求导后，并将公式(9)带入后得到：

对公式(10)的一阶微分方程进行求解，得到：

其中，e为常数，且e＝2.7183，当e_i(t_si)＝0时，z_i(t_si)＝0，此时t＝t_si，t_si为全状态混合投影同步误差e_i＝0的时间，将z_i(t_si)＝0带入到公式(11)，得到：

由于z_i(0)＝|e_i(0)|^1-r，通过公式(12)，求出t_si为：

通过驱动系统的初始状态X(0)、响应系统的初始状态Y(0)和常数矩阵K，可以计算全状态混合投影同步误差的初始状态E(0)＝Y(0)-KX(0)；通过p_i、q_i、e_i(0)和r，根据公式(13)得到e_i＝0的时间t_si。

根据有限时间稳定性理论，当t_s＝max(t_s1,t_s2,…,t_sm)时，驱动系统和响应系统的全状态混合投影同步误差为零，即||E||＝||Y-KX||＝0，实现不同维数驱动系统和响应系统的全状态混合投影同步控制。主动控制方法，从理论上来讲，只有当时间趋向无穷大时才可以实现全状态混合投影同步，不能在有限时间内实现全状态混合投影同步，本发明将有限时间稳定性理论和主动控制方法相结合，提出了主动控制器的设计方法，可以通过公式(13)计算出e_i收敛到零的时间t_si，实现在有限时间内全状态混合投影同步误差收敛到零，并且根据需要可以调整收敛的时间；本发明将有限时间稳定性理论和主动控制方法相结合，设计了主动控制器，能够进行不同维数混沌的有限时间全状态混沌投影同步控制，给出了全状态混合投影同步时间的计算方法。

通过Lyapunov稳定性理论对闭环系统的稳定性进行证明，其中，Lyapunov函数为

其中，E是公式(3)中定义的驱动系统和响应系统的全状态混合投影同步误差。对公式(14)进行求导，然后将公式(5)和公式(6)带入得到：

由于V≥0，通过Lyapunov稳定性理论证明了由公式(5)和公式(6)组成的闭环系统是稳定的，全状态混合投影同步误差能够收敛到零，即且能够实现不同维数驱动系统和响应系统的有限时间全状态混合投影同步控制。

有益技术效果：

本发明以n维混沌系统作为驱动系统，以m维混沌系统作为响应系统，根据驱动系统和响应系统建立全状态混合投影同步误差系统，根据有限时间稳定性理论和主动控制方法，设计主动控制器进行全状态混合投影同步误差系统的平衡控制，实现不同维数混沌的有限时间全状态混合投影同步控制。通过Lyapunov稳定性理论证明全状态混合投影同步误差能够收敛到零，能够实现不同维数混沌的有限时间全状态混合投影同步控制。该发明控制方法简单，全状态混合投影同步的时间可以通过参数进行设定。

附图说明

图1是本发明的总体原理图。

图2是具体实施例1中全状态混沌投影同步误差的响应曲线；

图3是具体实施例1中控制输入的响应曲线；

图4是具体实施例2中全状态混合投影同步误差的响应曲线；

图5是具体实施例2中控制输入的响应曲线；

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明做进一步的详细说明。

如图1所示，以n维混沌系统作为驱动系统，以m维混沌系统作为响应系统，根据驱动系统和响应系统建立全状态混合投影同步误差系统，基于有限时间稳定性定理和主动控制方法，设计主动控制器，进行全状态混合投影同步误差系统的平衡控制，实现不同维数混沌的有限时间全状态混合投影同步控制。

为了更加直观的显示本发明提出的一种不同维数混沌的有限时间全状态混合投影同步方法的有效性，采用MATLAB/Simulink软件对本控制方案进行计算机仿真实验。在仿真实验中，采用ode45算法，即四阶-五阶Runge-Kutta算法，最大步长为0.0001s,仿真时间设定为2.5s。

具体实施例1：

步骤1：以n维混沌系统作为驱动系统，以m维混沌系统作为响应系统，根据驱动系统和响应系统，建立全状态混合投影同步误差系统；

驱动系统为2维Duffing混沌系统，即n＝2，响应系统为3维Chen混沌系统，即m＝3。驱动系统和响应系统的维数不同，即n<m。Duffing混沌系统的状态方程为

其中,X＝[x₁,x₂]^T，x_i为系统的状态变量，i＝1,2。公式(16)为驱动系统，初始状态设定为x₁(0)＝0.2，x₂(0)＝0.3。

Chen混沌系统的状态方程为：

其中,Y＝[y₁,y₂,y₃]^T，y_i为系统的状态变量，i＝1,2,3。公式(17)为响应系统，初始状态设定为y₁(0)＝1，y₂(0)＝-1，y₃(0)＝5。

驱动系统和响应系统的全状态混合投影同步误差采用公式(3)：

E＝Y-KX (3)

其中，K为3×2的常数矩阵，常数矩阵K设定为：

其中，常数矩阵K的秩为2。驱动系统和响应系统的全状态混合投影同步误差E的初始值为：

步骤2：基于有限时间稳定性理论和主动控制方法，设计主动控制器，进行全状态混合投影同步误差系统的平衡控制：

根据有限时间稳定性理论和主动控制方法，主动控制器采用公式(6)：

U＝-G(Y,t)+KF(X,t)-PE-Qsgn(E)|E|^r (6)

其中，参数设定为P＝diag([3.33,2.79,3.86])，Q＝diag([2,2,4])，r＝0.4。全状态混合投影同步误差e_i＝0的时间t_si采用公式(13)：

根据公式(13)可以得到t_s1＝t_s2＝t_s3＝0.5，则t_s＝max(t_s1,t_s2,t_s3)＝0.5，即在0.5s实现2维Duffing混沌和3维Chen混沌的全状态混合投影同步控制。

控制参数如前所述，进行系统仿真。图2是全状态混沌投影同步误差的响应曲线。在图2中，e₁，e₂和e₃在0.5s收敛到零，即Duffing混沌和Chen混沌在0.5s实现了全状态混合投影同步控制。图3是主动控制器的控制输入曲线，比较平滑。从仿真曲线可以直观的观察到本发明提供的方法能够实现不同维数驱动系统和响应系统的有限时间全状态混合投影同步控制，全状态混合投影同步的时间可以通过参数进行设定。

具体实施例2：

步骤1：以n维混沌系统作为驱动系统，以m维混沌系统作为响应系统，根据驱动系统和响应系统，建立全状态混合投影同步误差系统：

驱动系统为4维超混沌Chen系统，即n＝4，响应系统为3维Lorenz混沌系统，即m＝3。驱动系统和响应系统的维数不同，即n>m。超混沌Chen系统的状态方程为

其中,X＝[x₁,x₂,x₃,x₄]^T，x_i为系统的状态变量，i＝1,2,3,4。公式(20)为驱动系统，初始状态设定为x₁(0)＝3，x₂(0)＝3，x₂(0)＝8，x₂(0)＝-2。

Lorenz混沌系统的状态方程为：

其中,Y＝[y₁,y₂,y₃]^T，y_i为系统的状态变量，i＝1,2,3。公式(21)为响应系统，初始状态设定为y₁(0)＝3，y₂(0)＝3，y₃(0)＝5。

驱动系统和响应系统的全状态混合投影同步误差采用公式(3)：

E＝Y-KX (3)

其中，K为3×4的常数矩阵，常数矩阵K设定为：

其中，常数矩阵K的秩为3。驱动系统和响应系统的全状态混合投影同步误差E的初始值为：

步骤2：基于有限时间稳定性理论和主动控制方法，设计主动控制器，进行全状态混合投影同步误差系统的平衡控制：

根据有限时间稳定性理论和主动控制方法，主动控制器采用公式(6)：

U＝-G(Y,t)+KF(X,t)-PE-Qsgn(E)|E|^r (6)

其中，参数设定为P＝diag([2.45,2.2,3.23])，Q＝diag([3,3,4])，r＝0.5。全状态混合投影同步误差e_i＝0的时间t_si采用公式(13)：

根据公式(13)可以得到t_s1＝0.4，t_s2＝0.5，t_s3＝0.6，则t_s＝max(t_s1,t_s2,t_s3)＝0.6，即在0.6s实现4维超混沌Chen系统和3维Lorenz混沌的全状态混合投影同步控制。

控制参数如前所述，进行系统仿真。图4是全状态混沌投影同步误差的响应曲线。在图4中，e₁在0.4s收敛到零，e₂在0.5s收敛到零，e₃在0.6s收敛到零，超混沌Chen系统和Lorenz混沌在0.6s实现了全状态混合投影同步控制。图5是主动控制器的控制输入曲线，比较平滑。从仿真曲线可以直观的观察到本发明提供的方法能够实现不同维数驱动系统和响应系统的有限时间全状态混合投影同步控制，全状态混合投影同步的时间可以通过参数进行设定。

Claims (2)

1.一种不同维数混沌的有限时间全状态混合投影同步方法，其特征在于，具体步骤如下：

步骤1：以n维混沌系统作为驱动系统，以m维混沌系统作为响应系统，根据驱动系统和响应系统，建立全状态混合投影同步误差系统：

所述驱动系统为n维混沌系统，状态方程为：

其中，X＝[x₁,x₂,…,x_n]^T，x_i为混沌系统的状态变量，i＝1,2,…,n，n为驱动系统的维数，t为时间，F(X,t)＝[f₁(X,t),f₂(X,t),…,f_n(X,t)]^T为连续函数；

所述响应系统为m维混沌系统，状态方程为：

其中，Y＝[y₁,y₂,…,y_m]^T，y_i为混沌系统的状态变量，i＝1,2,…,m，m为响应系统的维数，t为时间，G(Y,t)＝[g₁(Y,t),g₂(Y,t),…,g_m(Y,t)]^T为连续函数；

驱动系统和响应系统的全状态混合投影同步误差设定为：

E＝Y-KX (3)

其中，K为m×n的常数矩阵，且rank(K)＝min(n,m)，即常数矩阵K的秩为n和m中较小值，当n＝m时驱动系统和响应系统为同维混沌系统，当n≠m时驱动系统和响应系统为不同维数的混沌系统；

对公式(3)进行求导，得到全状态混合投影同步误差系统为：

其中，E＝[e₁,e₂,…,e_m]^T，e_i为全状态混合投影同步误差，i＝1,2,…,m，m为响应系统的维数；

步骤2：设计主动控制器，进行全状态混合投影同步误差系统的平衡控制：

对于公式(4)，带有控制输入的全状态混合投影同步误差系统为：

其中，U＝[u₁,u₂,…,u_m]^T，m为响应系统的维数，通过控制输入U使得对任意的初始状态X(0)和Y(0)，均有t>t_s时，||E||＝||Y-KX||＝0成立；其中，||·||为向量的欧几里得范数，即

根据有限时间稳定性理论和主动控制方法，主动控制器设计为：

U＝-G(Y,t)+KF(X,t)-PE-Qsgn(E)|E|^r (6)

其中，P＝diag([p₁,p₂,…,p_m])，Q＝diag([q₁,q₂,…,q_m])，且p_i>0，q_i>0，i＝1,2,…,m，m为响应系统的维数，|E|^r＝[|e₁|^r,|e₂|^r,…,|e_m|^r]^T，且0<r<1，sgn(E)＝diag([sgn(e₁),sgn(e₂),…,sgn(e_m)])；

将公式(6)的主动控制器带入到公式(5)中，得到：

将公式(7)改写成下面的形式：

其中，i＝1,2,…,m，m为响应系统的维数；

将公式(8)写成下面的形式：

令z_i＝|e_i|^1-r，对z_i进行求导后，并将公式(9)带入后得到：

对公式(10)的一阶微分方程进行求解，得到：

其中，e为常数，且e＝2.7183，当e_i(t_si)＝0时，z_i(t_si)＝0，此时t＝t_si，t_si为全状态混合投影同步误差e_i＝0的时间，将z_i(t_si)＝0带入到公式(11)，得到：

由于z_i(0)＝|e_i(0)|^1-r，通过公式(12)，求出t_si为：

通过驱动系统的初始状态X(0)、响应系统的初始状态Y(0)和常数矩阵K，可以计算全状态混合投影同步误差的初始状态E(0)＝Y(0)-KX(0)；通过p_i、q_i、e_i(0)和r，根据公式(13)得到e_i＝0的时间t_si；

当t_s＝max(t_s1,t_s2,…,t_sm)时，驱动系统和响应系统的全状态混合投影同步误差为零，即||E||＝||Y-KX||＝0，实现不同维数驱动系统和响应系统的全状态混合投影同步控制。

2.根据权利要求1所述一种不同维数混沌的有限时间全状态混合投影同步方法，其特征在于，通过Lyapunov稳定性理论对闭环系统的稳定性进行证明，其中，Lyapunov函数为

通过Lyapunov稳定性理论证明且