CN103217901A - 一种混沌系统跟踪控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明针对一类参数已知的混沌系统，用非线性反馈控制混沌Lorenz系统的方法，给出了反馈控制函数的表达式和混沌控制的期望结果，不同的控制函数可使系统稳定在不同的目标点，同时对于参数未知的不确定混沌系统。设计了自适应追踪控制器和未知参数的更新规则，实现了参数未知混沌系统的追踪控制与未知参数的辨识，并对给定参考信号的追踪控制和未知系统参数的辨识进行了仿真，实现了同构体、异构体混沌同步，数值仿真表明此方法的有效性。

Description

一种混沌系统跟踪控制方法

技术领域

本发明涉及一种混沌系统跟踪控制方法，属于非线性控制领域。 

背景技术

混沌控制与同步是混沌研究的重要领域，已取得了大量的研究成果。在混沌控制研究中，追踪控制能够使受控混沌系统的输出信号追踪任意给定的参考信号，如果该参考信号来自其他混沌系统的输出信号，即实现所谓的混沌异结构同步.近年来，相继报道了许多有关混沌系统追踪控制的研究成果。然而，上述方法，其控制器设计仅针对具体的混沌系统，不具有普适性. 

本发明针对一类参数已知的混沌系统，以LORENZ混沌系统为例，用非线性反馈控制混沌Lorenz系统的方法，给出了反馈控制函数的表达式和混沌控制的期望结果，不同的控制函数可使系统稳定在不同的目标点；同时对于参数未知的混沌系统，设计了自适应追踪控制器和未知参数的更新规则，实现了参数未知混沌系统的追踪控制与未知参数的辨识。以统一混沌系统为例，数值模拟了该系统对给定参考信号的追踪控制和未知系统参数的辨识，当参考信号为

系统的混沌信号时，实现了

系统与参数未知的统一混沌系统之间的异结构混沌同步. 

发明内容

本发明所要解决的技术问题是提供一类混沌系统跟踪控制方法。 

为了解决上述技术问题，本发明首先根据Lorenz方程 

${\stackrel{\·}{x}}_1=a(x_2-x_1)$

${\stackrel{\·}{x}}_2=b{x}_1-x_2-x_1{x}_3---\left(1\right)$

${\stackrel{\·}{x}}_3=x_1{x}_2-c{x}_3$

当a＝10，c＝8/3，∞＞b≥28时，Lorenz系统处于混沌状态，在(1)式右边各加一个控制输入u₁，u₂；受控的Lorenz系统： 

${\stackrel{\·}{x}}_1=a(x_2-x_1)+u_1$

${\stackrel{\·}{x}}_2=b{x}_1-x_2-x_1{x}_3+u_2---\left(2\right)$

${\stackrel{\·}{x}}_3=x_1{x}_2-c{x}_3$

1).控制到P(e，x₂，x₃)点 

根据混沌轨道的遍历性，Lorenz系统在某时刻会到达x₁＝e的点上，但不能稳定在该点上，为了稳定在该点上，所取的控制输入必须满足稳定性条件：

此时可取控制输入 

u₁＝ad 

u₂＝0                             (3) 

将u₁，u₂代入(2)式得 

d＝e-ecb/(e²+c) 

x₂＝ecb/(e²+c)                       (4) 

x₃＝be²/(e²+c) 

为了使系统快速稳定在P(e，x₂，x₃)点上，在x≠e时刻，控制输入为 

u₁＝-|ad|(x(1)-e-sign(ad)) 

u₂＝0                              (5) 

所以在负反馈作用下Lorenz系统会很快达到目标P点. 

2).控制到P(e₁，e₂，x₃)点 

为了控制系统达到x₁＝e₁，x₂＝e₂这一点上，可取控制输入为 

u₁＝-|ad₁|(x₁-e₁-sign(ad₁)) 

u₂＝-|d₂|(x₂-e₂-sign(d₂))               (6) 

系统在控制输入作用下，系统将很快到达目标点P(e₁，e₂，e₁e₂/c). 

3).自适应参数辨识 

考虑如下形式的混沌系统： 

${\stackrel{\·}{x}}_i=f_i(x,{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}})=h_i\left(x\right)+\underset{j=1}{\overset{m_i}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}{g}_{\mathrm{ij}}\left(x\right)---\left(7\right)$

其中i＝1，2，...，n，α_ij为系统未知的定常参数，m_i为第i个方程中参数的个数，h_i(·)和g_ij(·)是光滑函数. 

假设函数f_i(·)满足Lipchitz条件，即存在一个正数L，使 

|f_i(x₁，α_ij)-f_i(x₂，α_ij)|≤L|x₁-x₂|    (8) 

成立.在(1)式中加入控制器后得到受控系统： 

${\stackrel{\·}{x}}_i=h_i\left(x\right)+\underset{j=1}{\overset{m_i}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}{g}_{\mathrm{ij}}\left(x\right)+u_i\left(t\right)---\left(9\right)$

本发明的目的是当系统(8)的参数α_ij为未知时，如何设计控制器u(t)＝[u₁，u₂，...，u_n]^T，使系统(9) 追踪任意给定的信号r(t)＝[r1，r2，....rn]T，即满足： 

$\underset{i\→\∞}{\lim }\left|\right|x-r\left|\right|=0---\left(10\right)$

定义受控系统(2)与任意给定参考信号r(t)的追踪同步误差为 

e(t)＝[x₁-r₁，x₂-r₂，…，x_n-r_n]^T＝[e₁(t)，e₂(t)，…，e_n(t)]^T                   (11) 

参数误差ε_ij＝α_ij-

.其中

为α_ij的估计值，参考信号ri(t)连续可微.本发明设计的控制器为 

$u_i=-h_i\left(r\right)-\underset{j=1}{\overset{m_i}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}^{\′}{g}_{\mathrm{ij}}\left(r\right)+{\stackrel{\·}{r}}_i\left(t\right)-k(x_i-r_i)$ (12) 

$=-f_i(r,{\mathrm{\α}}^{\′})+{\stackrel{\·}{r}}_i\left(t\right)-k(x_i-r_i)$

k＞0为反馈系数.由(7)式和(8)式，可得误差系统如下： 

${\stackrel{\·}{e}}_i=h_i\left(x\right)+\underset{j=1}{\overset{m_i}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}{g}_{\mathrm{ij}}\left(x\right)-h_i\left(r\right)-\underset{j=1}{\overset{m_i}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}^{\′}{g}_{\mathrm{ij}}\left(r\right)-k(x_i-r_i)$

$=h_i\left(x\right)-h_i\left(r\right)+\underset{j=1}{\overset{m_i}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}{g}_{\mathrm{ij}}\left(x\right)-\underset{j=1}{\overset{m_i}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}{g}_{\mathrm{ij}}\left(r\right)+\underset{j=1}{\overset{m_i}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}{g}_{\mathrm{ij}}\left(r\right)-\underset{j=1}{\overset{m_i}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}^{\′}{g}_{\mathrm{ij}}\left(r\right)-{\mathrm{ke}}_i---\left(13\right)$

$=f_i(x,{\mathrm{\α}}_i)-f_i(r,{\mathrm{\α}}_i)-{\mathrm{ke}}_i+\underset{j=1}{\overset{m_i}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ij}}{g}_{\mathrm{ij}}\left(r\right)$

选择Lyapunov函数： 

$V\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{2}{e}_i^2+\frac{1}{2\mathrm{\μ}}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\left(\underset{j=1}{\overset{m_i}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ij}}^2\right)\≥0---\left(14\right)$

有 

$\stackrel{\·}{V}\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{e}_i[f_i(x,{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}})-f_i(r,{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}})-{\mathrm{ke}}_i]$ (15) 

$=e^T[f\left(x\right)-f\left(r\right)]-e^T\mathrm{Ke}$

其中K＝kI，I为单位矩阵.根据范数不等式，有： 

函数f(·)满足Lipchitz条件，有 

$\stackrel{\·}{V}\left(t\right)\≤(L-k){\left|\right|e\left|\right|}^2---\left(16\right)$

当||e||＝0，有

若选择合适的k，使k＞L，则有根据Lyapunov稳定性理论，误差系统(12)在原点渐近稳定，即在满足上述条件的情况下，系统可以追踪任意给定的参考信号. 

由于

可得系统未知参数的更新规则为： 

(i＝1，2，....，n；j＝1，2，...，m_i)                    (17) 

本发明的效果及作用 

本发明提出的非线性控制方法，可以有效的控制混沌系统，与其他控制方法比较，本方法具有下列优点：1)控制过程简单、有效。2)控制范围宽，对于不同的系统参数，既可以使系统长期稳定在不同周期轨道上，特别是高周期轨道上，也可以稳定在任意一点上。3)从起点到达目标点或周期轨道所需的时间很短.更有意义的是：选择不同的控制输入。4)可以快速实现同构体及异构体跟踪控制，这一点无疑具有重要的实用价值。 

附图说明

为了使本发明的内容更容易被清楚的理解，下面根据的具体实施例并结合附图，对本发明作进一步详细的说明，其中 

图1为混沌系统控制到目标点P(30，x₂，x₃)。 

图2为混沌系统控制到目标点P(20，30，x₃)。 

图3为混沌系统跟踪参考信号r＝(sint，cost，2sint)。 

图4为混沌系统同构体同步误差。 

图5为混沌系统异构体同步误差。 

具体实施方式

实施例1：混沌系统控制到目标点P(e₁，x₂，x₃)，x0＝[2.5；-1.8；0.5]，采用(3)式的控制输入，取e₁＝30时，其跟踪结果如图1所示。 

实施例2：混沌系统控制到目标点P(e₁，e₂，x₃)，x0＝[2.5；-1.8；0.5]，采用(3)式的控制输入，取e₁＝20，e₂＝30时，其跟踪结果如图2所示。 

实施例3：混沌系统控制到周期轨道，假定给定参考信号r＝(sint，cost，2sint)；x0＝[-1；1；1]，采用上述控制方法，其跟踪结果如图3所示。 

实施例4：混沌系统同构体控制，考虑系统(1)为驱动系统，响应系统状态方程为： 

${\stackrel{\·}{y}}_1=a(y_2-y_1)+u_1$

${\stackrel{\·}{y}}_2=b{y}_1-y_2-y_1{y}_3+u_2$

${\stackrel{\·}{y}}_3=y_1{y}_2-c{y}_3+u_3$

误差e₁＝x₁+y₁，e₂＝x₂+y₂；e₃＝x₃+y₃其同步误差结果如图4所示。 

实施例5：混沌系统异构体控制，考虑系统(1)为驱动系统，Duffing系统为响应系统，受控Duffinig系统的状态方程为： 

${\stackrel{\·}{y}}_1=y_2+u_1$

${\stackrel{\·}{y}}_2=-c_1{y}_1-c_2{y}_2-c_3{y}_1^3+c_4\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)+u_2$

定义误差定义误差e₁＝y₁-x，e₂＝y₂-y其同步误差结果如图5所示。 

从实施例1～实施例5，可以看出，采用上述方法，可以对混沌系统进行跟踪控制。 

上述实施例仅仅是为清楚地说明本发明所作的举例，而并非是对本发明的实施方式的限定，对于所属领域的普通技术人员来说，在上述说明的基础上还可以做出其它不同形式的变化或变动。 

Claims (4)

1.一类混沌系统跟踪控制方法，其特征包括：用非线性反馈控制混沌Lorenz系统的方法，给出了反馈控制函数的表达式和混沌控制的期望结果，不同的控制函数可使系统稳定在不同的目标点，同时对于参数未知的不确定混沌系统，设计了自适应追踪控制器和未知参数的更新规则，实现了参数未知混沌系统的追踪控制与未知参数的辨识。 

2.根据权利要求1所述的一类混沌系统跟踪控制方法，其特征在于，根据混沌轨道的遍历性，Lorenz系统在某时刻会到达x₁＝e的点上，但不能稳定在该点上，为了使系统快速稳定在P(e，x₂，x₃)点上，在x≠e时刻，控制输入为 

u₁＝-|ad|(x(l)-e-sign(ad)) 

u₂＝0                                  (1) 

所以在负反馈作用下Lorenz系统会很快达到目标P点。 

3.根据权利要求1所述的一类混沌系统跟踪控制方法，其特征在于，根据混沌轨道的遍历性，为了控制系统达到x₁＝e₁，x₂＝e₂这一点上，可取控制输入为 

u₁＝-|ad₁|(x₁-e₁-sign(ad₁)) 

u₂＝-|d₂|(x₂-e₂-sign(d₂))               (2) 

Lorenz系统在控制输入作用下，系统将很快到达目标点P(e₁，e₂，e₁e₂/c)。 

4.根据权利要求1所述的一类混沌系统跟踪控制方法，其特征在于，受控系统与任意给定参考信号r(t)的追踪同步误差为 

e(t)＝[x₁-r₁，x₂-r₂，…，x_n-r_n]^T＝[e₁(t)，e₂(t)，…，e_n(t)]^T          (3) 

参数误差ε_ij＝α_ij-α′_ij.其中α′_ij为α_ij的估计值，控制器为 

系统未知参数的更新规则为： 

(i＝1，2，....，n；j＝1，2，...，m_i)                  (5)。 

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