CN104407515B - 一种基于不确定模型的LMIs状态反馈系统控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于不确定模型的LMIs状态反馈系统控制方法，首先通过建立包含不确定参数的被控对象模型，然后引入系统状态反馈控制器，通过对闭环系统构造函数，在满足Lyapunov定理的基础上设计非线性系统控制律。该控制方法考虑了具一定程度不确定性系统所面临的控制问题，包括因建模误差、模型参数变动以及系统噪声等问题造成的影响，所涉及的控制方法对系统的不确定因素有着良好的适应能力，本发明方法与一般的常规方法相比响应速度更快，稳定性和鲁棒性也得到了较大的提高。

Description

一种基于不确定模型的LMIs状态反馈系统控制方法

技术领域

本发明涉及系统控制的技术领域，尤其是指一种基于不确定模型的LMIs状态反馈系统控制方法。

背景技术

状态反馈控制是将系统的每一状态变量乘以相应的反馈系数，反馈到输入端，与参考输入相加，其和作为被控系统的控制信号。在传统的现代控制理论中H_∞鲁棒控制与PID控制相结合对于某些对象体现了较好的控制性能，但其控制系统设计中仍有待完善的方面：基于精确模型的机组控制策略不能应对系统由于建模误差或是系统参数变化引发的不确定性。另有学者在保证系统稳定性的前提下，借助线性矩阵不等式群实现了对控制对象的跟踪控制。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种基于不确定模型的LMIs状态反馈系统控制方法，解决因为不确定性的存在，而不能保证闭环系统的渐近稳定性及鲁棒性问题。

为实现上述目的，本发明所提供的技术方案为：一种基于不确定模型的LMIs状态反馈系统控制方法，该控制方法是针对控制对象的不确定性，借助线性矩阵不等式群LMIs设计状态反馈控制器，以使闭环系统渐近稳定，其包括以下步骤：

1)建立包含参数不确定性的被控对象模型

其中，x(t)＝[x₁(t) x₂(t) ... x_n(t)]^T为n维状态变量，q_e(t)为控制输入，q_v(t)为扰动量，y(t)为控制对象，z(t)为控制输出，w为扰动输入，A、B₁、B₂、C₁、C₂、D₁、D₂为系统矩阵；

同时，系统的不确定参数形式为：

ΔA(t)＝H₁F(t)E₁

ΔB₁(t)＝H₂F(t)E₂

其中，F(t)∈R^α×β是一个未知函数矩阵，称为不确定参数矩阵，满足F^T(t)F(t)≤I，H₁、H₂、E₁、E₂是具有所需维数的常数矩阵；

2)引入控制系统状态反馈控制器

u(t)＝K_fx(t) (2)

3)引入定理

对闭环系统，存在一个形如u(t)＝K_fx(t)的状态反馈H_∞控制器使得闭环控制系统渐近稳定的充要条件是，存在正定对称矩阵X和矩阵Y，标量ε₁>0，ε₂>0，以及H_∞性能指标γ，使得矩阵不等式：

成立，若不等式存在可行解正定矩阵X和矩阵Y，则状态反馈H∞控制器增益为：

K_f＝YX^-1

如果满足该定理，则所设计的状态反馈控制器可为：

u(t)＝YX^-1x(t)

4)引入引理

对于所需维数的常数矩阵H和E及对称矩阵S，如果对于所有的F(t)满足F^T(t)F(t)≤I，矩阵不等式S+HFE+E^TF^TH^T<0成立的条件为：当且仅当存在一个标量ε>0，满足S+εHH^T+ε^{- 1}E^TE<0；

5)对闭环系统构造Lyapunov函数

V(x(t))＝x^T(t)Px(t)

其中，P为正定对称矩阵，则V(x(t))是正定的，沿闭环系统的轨迹对t求导，化简后得到：

上式两边加上γ²w^T(t)w(t)-z^T(t)z(t)，转化后得到：

其中，γ为正实数；

6)定义对称矩阵X＝P^-1以及矩阵Y＝K_fX，同时应用schur补引理可得：

同时由系统不确定参数的定义，结合schur补引理和引理，上式(3)可以化成：

故若存在正定对称矩阵X和矩阵Y，标量ε₁>0，ε₂>0，使得以下矩阵不等式：

成立，则闭环控制系统渐近稳定，由式(3)可以得到：

∫₀ ^tz^T(t)z(t)dt≤γ²∫₀ ^tw^T(t)w(t)dt

同时由Y的定义，可得控制器增益K_f＝YX^-1；

至此，对包含参数不确定性的被控对象模型(1)，利用线性矩阵不等式群LMIs方法，设计状态反馈控制器如式(2)，使得闭环系统渐近稳定。

本发明与现有技术相比，具有如下优点与有益效果：

1、本发明是借助线性矩阵不等式群LMIs设计状态反馈控制器来实现系统闭环稳定的一种系统控制方法，该控制方法考虑了不确定系统所包含的一定的不确定性，包括因建模误差、模型参数变动以及系统噪声等问题造成的影响，基于此方法设计的控制器具有更好的鲁棒性，稳定性较高，同时反应速度更快，利用本方法对系统进行控制时，同比条件下，响应速度更快，稳定性和鲁棒性也得到了较大的提高；

2、对于控制系统中所存在的不确定因素具有良好抑制扰动噪声鲁棒能力，当控制对象为非线性、大时滞的复杂对象，其不确定性由小至大可分别体现于建模误差，设备老化更换导致参数变化，噪声影响等，采用本发明方法可保证闭环控制系统全局渐近稳定性及鲁棒性，提高控制响应速度，经仿真实验证明，本控制方法应用于液位控制中，取得了较为理想的控制效果。

具体实施方式

下面结合具体实施例对本发明作进一步说明。

本实施例所述的基于不确定模型的LMIs状态反馈系统控制方法，是针对控制对象的不确定性，借助线性矩阵不等式群LMIs设计状态反馈控制器，以使闭环系统渐近稳定，进而解决因为不确定性的存在，而不能保证闭环系统的渐近稳定性及鲁棒性问题。首先通过建立包含不确定参数的被控对象模型，然后引入系统状态反馈控制器，通过对闭环系统构造函数，在满足Lyapunov定理的基础上设计非线性系统控制律。该控制方法考虑了具一定程度不确定性系统所面临的控制问题，包括因建模误差、模型参数变动以及系统噪声等问题造成的影响，所涉及的控制方法对系统的不确定因素有着良好的适应能力，本发明方法与一般的常规方法相比响应速度更快，稳定性和鲁棒性也得到了较大的提高。其包括以下具体步骤：

1)建立包含参数不确定性的被控对象模型

其中，x(t)＝[x₁(t)x₂(t)...x_n(t)]^T为n维状态变量，q_e(t)为控制输入，q_v(t)为扰动量，y(t)为控制对象，z(t)为控制输出，w为扰动输入，A、B₁、B₂、C₁、C₂、D₁、D₂为系统矩阵；

同时，系统的不确定参数形式为：

ΔA(t)＝H₁F(t)E₁

ΔB₁(t)＝H₂F(t)E₂

其中，F(t)∈R^α×β是一个未知函数矩阵，称为不确定参数矩阵，满足F^T(t)F(t)≤I，H₁、H₂、E₁、E₂是具有所需维数的常数矩阵；

2)引入控制系统状态反馈控制器

u(t)＝K_fx(t) (2)

3)引入定理

对闭环系统，存在一个形如u(t)＝K_fx(t)的状态反馈H_∞控制器使得闭环控制系统渐近稳定的充要条件是，存在正定对称矩阵X和矩阵Y，标量ε₁>0，ε₂>0，以及H_∞性能指标γ，使得矩阵不等式：

成立，若不等式存在可行解正定矩阵X和矩阵Y，则状态反馈H∞控制器增益为：

K_f＝YX^-1

如果满足该定理，则所设计的状态反馈控制器可为：

u(t)＝YX^-1x(t)

4)引入引理

对于所需维数的常数矩阵H和E及对称矩阵S，如果对于所有的F(t)满足F^T(t)F(t)≤I，矩阵不等式S+HFE+E^TF^TH^T<0成立的条件为：当且仅当存在一个标量ε>0，满足S+εHH^T+ε^{- 1}E^TE<0；

5)对闭环系统构造Lyapunov函数

V(x(t))＝x^T(t)Px(t)

其中，P为正定对称矩阵，则V(x(t))是正定的，沿闭环系统的轨迹对t求导，化简后得到：

上式两边加上γ²w^T(t)w(t)-z^T(t)z(t)，转化后得到：

其中，γ为正实数；

6)定义对称矩阵X＝P^-1以及矩阵Y＝K_fX，同时应用schur补引理可得：

同时由系统不确定参数的定义，结合schur补引理和引理，上式(3)可以化成：

故若存在正定对称矩阵X和矩阵Y，标量ε₁>0，ε₂>0，使得以下矩阵不等式：

成立，则闭环控制系统渐近稳定，由式(3)可以得到：

∫₀ ^tz^T(t)z(t)dt≤γ²∫₀ ^tw^T(t)w(t)dt

同时由Y的定义，可得控制器增益K_f＝YX^-1；

至此，对包含参数不确定性的被控对象模型(1)，利用线性矩阵不等式群LMIs方法，设计状态反馈控制器如式(2)，即可使得闭环系统渐近稳定。

以上所述之实施例子只为本发明之较佳实施例，并非以此限制本发明的实施范围，故凡依本发明之形状、原理所作的变化，均应涵盖在本发明的保护范围内。

Claims (1)

1.一种基于不确定模型的LMIs状态反馈系统控制方法，其特征在于：该控制方法是针对控制对象的不确定性，借助线性矩阵不等式群LMIs设计状态反馈控制器，以使闭环系统渐近稳定，其包括以下步骤：

1)建立包含参数不确定性的被控对象模型

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=(A+\mathrm{\&Delta;}A)x\left(t\right)+(B_1+{\mathrm{\&Delta;B}}_1)q_e\left(t\right)+B_2{q}_v\left(t\right)\\ z\left(t\right)=C_{1}x\left(t\right)+D_{1}w\left(t\right)+D_{2}u\left(t\right)\\ y\left(t\right)=C_{2}x\left(t\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，x(t)＝[x₁(t) x₂(t) ... x_n(t)]^T为n维状态变量，q_e(t)为控制输入，q_v(t)为扰动量，y(t)为控制对象，z(t)为控制输出，w为扰动输入，A、B₁、B₂、C₁、C₂、D₁、D₂为系统矩阵；

同时，系统的不确定参数形式为：

ΔA(t)＝H₁F(t)E₁

ΔB₁(t)＝H₂F(t)E₂

其中，F(t)∈R^α×β是一个未知函数矩阵，称为不确定参数矩阵，满足F^T(t)F(t)≤I，H₁、H₂、E₁、E₂是具有所需维数的常数矩阵；

2)引入控制系统状态反馈控制器

u(t)＝K_fx(t) (2)

3)引入定理

对闭环系统，存在一个形如u(t)＝K_fx(t)的状态反馈H_∞控制器使得闭环控制系统渐近稳定的充要条件是，存在正定对称矩阵X和矩阵Y，标量ε₁>0，ε₂>0，以及H_∞性能指标γ，使得矩阵不等式：

成立，若不等式存在可行解正定矩阵X和矩阵Y，则状态反馈H∞控制器增益为：

K_f＝YX^-1

如果满足该定理，则所设计的状态反馈控制器可为：

u(t)＝YX^-1x(t)

4)引入引理

对于所需维数的常数矩阵H和E及对称矩阵S，如果对于所有的F(t)满足F^T(t)F(t)≤I，矩阵不等式S+HFE+E^TF^TH^T<0成立的条件为：当且仅当存在一个标量ε>0，满足S+εHH^T+ε^-1E^TE<0；

5)对闭环系统构造Lyapunov函数

V(x(t))＝x^T(t)Px(t)

其中，P为正定对称矩阵，则V(x(t))是正定的，沿闭环系统的轨迹对t求导，化简后得到：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(x\left(t\right)\right)=x^T\left(t\right)\left(A^{T}P+{\mathrm{\&Delta;A}}^{T}P+{K_f}^T{B_1}^{T}P+{K_f}^T{{\mathrm{\&Delta;B}}_1}^{T}P+PA+P\mathrm{\&Delta;}A+{\mathrm{PB}}_1{K}_f+{\mathrm{P\&Delta;B}}_1{K}_f\right)x\left(t\right)\\ +w^T\left(t\right){B_2}^{T}Px\left(t\right)+x^T\left(t\right){\mathrm{PB}}_{2}w\left(t\right)\end{array}$

上式两边加上γ²w^T(t)w(t)-z^T(t)z(t)，转化后得到：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(x\left(t\right)\right)=\left[\begin{array}{cc}{x}^T\left(t\right)& w^T\left(t\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}{A}^{T}P+{\mathrm{\&Delta;A}}^{T}P+{K_f}^T{B_1}^{T}P+{K_f}^T{{\mathrm{\&Delta;B}}_1}^{T}P\\ +PA+P\mathrm{\&Delta;}A+{\mathrm{PB}}_1{K}_f+{\mathrm{P\&Delta;B}}_1{K}_f\\ +{\left(C_1+D_1{K}_f\right)}^T\left(C_1+D_1{K}_f\right)\end{array}& {\mathrm{PB}}_2\\ {B_2}^{T}P& -{\mathrm{\&gamma;}}^{2}I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\left(t\right)\\ w\left(t\right)\end{array}\right]\\ +{\mathrm{\&gamma;}}^2{w}^T\left(t\right)w\left(t\right)-z^T\left(t\right)z\left(t\right)\end{array}$

其中，γ为正实数；

6)定义对称矩阵X＝P^-1以及矩阵Y＝K_fX，同时应用schur补引理可得：

$\begin{array}{c}{P}^{-1}\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}{A}^{T}P+{\mathrm{\&Delta;A}}^{T}P+{K_f}^T{B_1}^{T}P+{K_f}^T{{\mathrm{\&Delta;B}}_1}^{T}P\\ +PA+P\mathrm{\&Delta;}A+{\mathrm{PB}}_1{K}_f+{\mathrm{P\&Delta;B}}_1{K}_f\\ +{(C_1+D_1{K}_f)}^T(C_1+D_1{K}_f)\end{array}& {\mathrm{PB}}_2\\ {B_2}^{T}P& -{\mathrm{\&gamma;}}^{2}I\end{array}\right]P^{-1}\\ =\left[\begin{array}{ccc}\begin{array}{c}{\mathrm{XA}}^T+{\mathrm{X\&Delta;A}}^T+Y^T{B_1}^T+Y^T{{\mathrm{\&Delta;B}}_1}^T\\ +AX+\mathrm{\&Delta;}AX+B_{1}Y+{\mathrm{\&Delta;B}}_{1}Y\end{array}& B_{2}X& {{\mathrm{XC}}_1}^T+Y^T{D_2}^T\\ *& -{\mathrm{\&gamma;}}^{2}I& {D_1}^T\\ *& *& -I\end{array}\right]\end{array}---\left(3\right)$

同时由系统不确定参数的定义，结合schur补引理和引理，上式(3)可以化成：

$\left[\begin{array}{ccccc}\begin{array}{c}AX+{\mathrm{XA}}^T+B_{1}Y+Y^T{B_1}^T\\ +{\mathrm{\&epsiv;}}_1{H}_1{H_1}^T+{\mathrm{\&epsiv;}}_2{H}_2{H_2}^T\end{array}& B_{2}X& {{\mathrm{XC}}_1}^T+Y^T{D_2}^T& X^T{H_1}^T& Y^T{H_2}^T\\ *& -{\mathrm{\&gamma;}}^{2}I& {D_1}^T& 0& 0\\ *& *& -I& 0& 0\\ *& *& *& -{\mathrm{\&epsiv;}}_1& 0\\ *& *& *& *& -{\mathrm{\&epsiv;}}_2\end{array}\right]$

故若存在正定对称矩阵X和矩阵Y，标量ε₁>0，ε₂>0，使得以下矩阵不等式：

$\left[\begin{array}{ccccc}\begin{array}{c}AX+{\mathrm{XA}}^T+B_{1}Y+Y^T{B_1}^T\\ +{\mathrm{\&epsiv;}}_1{H}_1{H_1}^T+{\mathrm{\&epsiv;}}_2{H}_2{H_2}^T\end{array}& B_{2}X& {{\mathrm{XC}}_1}^T+Y^T{D_2}^T& X^T{H_1}^T& Y^T{H_2}^T\\ *& -{\mathrm{\&gamma;}}^{2}I& {D_1}^T& 0& 0\\ *& *& -I& 0& 0\\ *& *& *& -{\mathrm{\&epsiv;}}_1& 0\\ *& *& *& *& -{\mathrm{\&epsiv;}}_2\end{array}\right]<0$

成立，则闭环控制系统渐近稳定，由式(3)可以得到：

∫₀ ^tz^T(t)z(t)dt≤γ²∫₀ ^tw^T(t)w(t)dt

同时由Y的定义，可得控制器增益K_f＝YX^-1；

至此，对包含参数不确定性的被控对象模型(1)，利用线性矩阵不等式群LMIs方法，设计状态反馈控制器如式(2)，使得闭环系统渐近稳定。