CN108646570A - 一种改进极点配置的混沌轨迹跟踪方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种改进极点配置的混沌轨迹跟踪方法，属于自动控制技术领域。具体包括：根据混沌系统的状态方程和期望轨迹，建立轨迹跟踪误差系统；将极点配置方法和自适应滑模控制器相结合设计控制器，并设计自适应率对建模不确定和外部干扰信号的上界进行估计，所述控制器对轨迹跟踪误差系统进行控制。通过自适应率对建模不确定和外部干扰信号的上界进行估计，设计控制器对不同初始状态混沌进行轨迹跟踪控制，既发挥极点配置方法的优点，又克服建模不确定和外部干扰信号的影响，具有很好的鲁棒性和很高的可靠性。通过Lyapunov稳定性理论证明轨迹跟踪误差渐进收敛到零，能实现混沌系统轨迹跟踪。本发明中对于所有的混沌系统都适用，轨迹跟踪的速度非常快。

Description

一种改进极点配置的混沌轨迹跟踪方法

技术领域

本发明属于自动控制技术领域，具体涉及一种改进极点配置的混沌轨迹跟踪方法。

背景技术

混沌是非线性动力系统的固有特性，对初始条件具有极端的敏感性，是非线性系统普遍存在的现象，广泛存在于自然界和人类社会中。混沌理论研究的关键就在于混沌系统的控制和利用。对于混沌的控制，美国马里兰州立大学的Ott、Grebogi和Yorke提出了著名的OGY方法。混沌理论在众多的领域被广泛的研究和应用，具有重大的研究价值和诱人的应用前景，是目前研究的热点。极点配置方法在进行混沌轨迹跟踪控制时具有设计简单和收敛速度快的优点。极点配置方法只适用于精确数学模型的混沌系统，当系统存在不确定和外部干扰信号时，不能保证系统稳定，轨迹跟踪误差不能收敛到零。在实际应用中，系统的建模不确定和外部干扰信号对系统的影响不能忽略。

滑模控制对于建模不确定和外部干扰信号具有很强的鲁棒性，广泛用于非线性系统的控制。本发明将极点配置方法和自适应滑模控制器相结合，通过自适应率对建模不确定和外部干扰信号的上界进行估计，设计控制器对不同初始状态混沌进行轨迹跟踪控制，既能发挥极点配置方法的优点，又能克服建模不确定和外部干扰信号的影响，具有很好的鲁棒性和很高的可靠性。

发明内容

基于以上的技术问题，本发明提出一种改进极点配置的混沌轨迹跟踪方法，将极点配置方法和自适应滑模控制器相结合，采用自适应率对建模不确定和外部干扰信号的上界进行估计，在建模不确定和外部干扰信号的情况下确保不同初始状态混沌的轨迹跟踪控制。

所述一种改进极点配置的混沌轨迹跟踪方法，包括以下步骤1～步骤2：

步骤1：根据混沌系统的状态方程和期望轨迹，建立轨迹跟踪误差系统：

步骤1.1：所述混沌系统的状态方程为：

其中，i＝1,2,…,n，n为混沌系统的维数，x_i为混沌系统的状态变量，x＝[x₁,x₂,…,x_n]^T，t为时间，f_i(x,t)为连续函数；

对于式(1)的混沌系统，带有建模不确定和外部干扰信号的受控系统表示为

其中，△f_i(x,t)为建模不确定，m_i(t)为外部干扰信号，u_i为控制输入；

在式(2)中，建模不确定△f_i(x,t)和外部干扰信号m_i(t)均有界，即

|△f_i(x,t)|+|m_i(t)|≤μ_i (3)

其中，μ_i为常数，且μ_i≥0。μ_i为混沌系统中建模不确定和外部干扰信号的上界，为未知参数，需要通过自适应率进行估计。

步骤1.2：所述期望轨迹指混沌系统状态变量x_i的期望轨迹x_di，且期望轨迹x_di具有一阶导数，期望轨迹x_di的导数为：

其中，i＝1,2,…,n，n为混沌系统的维数，x_di为混沌系统中状态变量x_i的期望轨迹，x＝[x₁,x₂,…,x_n]^T，g_i(x,t)为连续函数，t为时间；

步骤1.3：建立轨迹跟踪误差系统：式(2)混沌系统和期望轨迹x_di的轨迹跟踪误差为e_i＝x_i-x_di，其中，i＝1,2,…,n，n为混沌系统的维数。根据混沌系统(2)和期望轨迹的导数(4)，建立轨迹跟踪误差系统为

其中，e_i为轨迹跟踪误差系统的状态变量。

步骤2：将极点配置方法和自适应滑模控制器相结合设计控制器，并设计自适应率对建模不确定和外部干扰信号的上界进行估计，用所述控制器对轨迹跟踪误差系统进行控制，包括步骤2.1～步骤2.5：

步骤2.1：对轨迹跟踪误差系统，设计滑模面为：

s_i＝e_i (6)

其中，i＝1,2,…,n，n为混沌系统的维数。

步骤2.2：将极点配置方法和自适应滑模控制器相结合，设计控制器为：

其中，λ_i>0，sgn(s_i)为符号函数，λ_i为配置的极点位置，为未知参数μ_i的估计值，λ_i的值越大，轨迹跟踪的速度越快；

步骤2.3：设计自适应率为：

其中，p_i为常数，且p_i>0。μ_i0为的初始值，且μ_i0>0。自适应率对建模不确定和外部干扰信号的上界μ_i进行估计；

步骤2.4：用所述控制器对轨迹跟踪误差系统进行控制：对于轨迹跟踪误差系统式(5)，通过控制器输入u_i使得轨迹跟踪误差渐进收敛到零，实现混沌系统的轨迹跟踪，即其中，e＝[e₁,e₂,…,e_n]^T，||·||为向量的欧几里得范数，

步骤2.5：改进控制器设计：在式(7)的控制器中存在符号函数sgn(s_i)，会使控制器不连续，出现抖振现象。为了削弱抖振的影响，采用饱和函数sat(s_i)代替符号函数sgn(s_i)。最终的控制器设计为：

其中，饱和函数sat(s_i)的表达式为其中，δ为常数，且δ>0；

一种改进极点配置的混沌轨迹跟踪方法，将极点配置方法和自适应滑模控制器相结合，通过自适应率对建模不确定和外部干扰信号的上界进行估计，能够实现不同初始状态混沌系统的轨迹跟踪，同时对建模不确定和外部干扰信号具有很好的鲁棒性。

通过Lyapunov稳定性理论对闭环系统的稳定性进行证明，其中，Lyapunov函数为：

其中，s_i是式(6)中定义的滑模面，p_i为常数，且p_i>0，为未知参数μ_i的估计值。

对式(10)进行求导，然后将式(6)和式(5)带入可以得到公式(11)：

然后将式(7)和式(8)带入公式(11)，化简后可以得到公式(12)：

通过Lyapunov稳定性理论证明了由式(5)、式(7)和式(8)组成的闭环系统是稳定的，轨迹跟踪误差渐进收敛到零，能够实现混沌系统的轨迹跟踪。本发明中混沌系统的维数为n，因此对于所有的混沌系统都适用，同时具有响应速度快、可靠性高和鲁棒性好等优点。

有益技术效果：

本发明将极点配置方法和自适应滑模控制器相结合，通过自适应率对建模不确定和外部干扰信号的上界进行估计，设计控制器对不同初始状态混沌进行轨迹跟踪控制，既能发挥极点配置方法的优点，又能克服建模不确定和外部干扰信号的影响，具有很好的鲁棒性和很高的可靠性。通过Lyapunov稳定性理论证明轨迹跟踪误差渐进收敛到零，能够实现混沌系统的轨迹跟踪。本发明中混沌系统的维数为n，因此对于所有的混沌系统都适用，同时具有响应速度快、具有很好的鲁棒性和很高的可靠性。在建模不确定和外部干扰信号下，实现了不同初始状态混沌系统的轨迹跟踪控制。同时控制器中存在符号函数，会使控制器不连续，出现抖振现象，为了削弱抖振的影响，改进了控制器，采用饱和函数代替符号函数，消除了抖振现象。

附图说明

图1是本发明的总体原理图；

图2是具体实施例1中采用改进极点配置方法和符号函数时控制输入的响应曲线；

图3是具体实施例1中采用改进极点配置方法和饱和函数时控制输入的响应曲线；

图4是具体实施例1中采用改进极点配置方法时轨迹跟踪误差的响应曲线；

图5是具体实施例1中只采用极点配置方法时轨迹跟踪误差的响应曲线；

图6是具体实施例1中只采用自适应滑模控制器时轨迹跟踪误差的响应曲线；

图7是具体实施例2中采用改进极点配置方法和符号函数时控制输入的响应曲线；

图8是图7的局部放大图；

图9是具体实施例2中采用改进极点配置方法和饱和函数时控制输入的响应曲线；

图10是具体实施例2中采用改进极点配置方法时轨迹跟踪误差的响应曲线；

图11是具体实施例2中只采用极点配置方法时轨迹跟踪误差的响应曲线；

图12是具体实施例2中只采用自适应滑模控制器时轨迹跟踪误差的响应曲线。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明做进一步的详细说明。

如图1所示，根据混沌系统的状态方程和期望轨迹，建立轨迹跟踪误差系统，设计自适应率对建模不确定和外部干扰信号的上界进行估计，将极点配置方法和自适应滑模控制器相结合，设计控制器对轨迹跟踪误差系统进行控制，形成闭环系统，该闭环系统实现混沌系统的轨迹跟踪。

为了更加直观的显示本发明提出的一种改进极点配置的混沌轨迹跟踪方法的有效性，采用MATLAB/Simulink软件对本控制方案进行计算机仿真实验。在仿真实验中，采用ode45算法，ode45算法即四阶-五阶Runge-Kutta算法，最大步长为0.0001s，仿真时间为4s。文中用改进极点配置的混沌轨迹跟踪方法与另两种方法相对比，这两种方法指只采用极点配置方法和只采用自适应滑模控制器方法，实验结果显示：在建模不确定和外部干扰信号下，只采用极点配置方法时，轨迹跟踪误差不能收敛到零；在建模不确定和外部干扰信号下，改进极点配置方法和只采用自适应滑模控制器都能实现混沌系统的轨迹跟踪，但是改进极点配置方法的收敛速度更快，并且可以通过调整极点配置来调整收敛的速度，并具有很好的鲁棒性和很高的可靠性。

实施例1：

以3维Lorenz混沌系统为例，进行轨迹跟踪控制。

步骤1：根据混沌系统的状态方程和期望轨迹，建立轨迹跟踪误差系统，包括步骤1.1～步骤1.3：

步骤1.1：所述混沌系统的状态方程为：混沌系统为Lorenz混沌系统，即3维混沌系统。Lorenz混沌系统的状态方程为：

其中，参数x_i为系统的状态变量，i＝1,2,3，x＝[x₁,x₂,x₃]^T。当a＝10，b＝28，c＝8/3时，Lorenz混沌系统进入混沌状态。

带有建模不确定△f_i(x,t)和外部干扰信号m_i(t)的Lorenz混沌系统表示为

以式(14)为混沌系统。混沌系统的初始状态设定为x₁(0)＝-2.5，x₂(0)＝-1.4，x₃(0)＝5。在式(14)中，建模不确定△f_i(x,t)设定为：

在式(14)中，外部干扰信号m_i(t)设定为：

步骤1.2：所述期望轨迹指混沌系统状态变量x_i的期望轨迹x_di，Lorenz混沌系统状态变量x_i的期望轨迹为x_di设定为：

期望轨迹x_di的导数为：

步骤1.3：建立轨迹跟踪误差系统：Lorenz混沌系统和期望轨迹的轨迹跟踪误差为e_i＝x_i-x_di，其中i＝1,2,3。根据混沌系统(14)和期望轨迹的导数(18)，建立轨迹跟踪误差系统为：

其中，e_i为轨迹跟踪误差系统的状态变量，其中i＝1,2,3。

步骤2：将极点配置方法和自适应滑模控制器相结合设计控制器，并设计自适应率对建模不确定和外部干扰信号的上界进行估计，用所述控制器对轨迹跟踪误差系统进行控制，包括步骤2.1～步骤2.5：

步骤2.1：对轨迹跟踪误差系统，设计滑模面为：

s_i＝e_i (6)

其中，i＝1,2,3。

步骤2.2：将极点配置方法和自适应滑模控制器相结合，设计控制器为：

参数设定为λ₁＝3，λ₂＝4，λ₃＝5。

步骤2.3：设计自适应率为：

参数设定为p₁＝5，p₂＝5，p₃＝5，μ₁₀＝2，μ₂₀＝2，μ₃₀＝2。

步骤2.4：用所述控制器对轨迹跟踪误差系统进行控制：对于轨迹跟踪误差系统式(19)，通过控制器输入u_i使得轨迹跟踪误差渐进收敛到零，实现混沌系统的轨迹跟踪，即其中，e＝[e₁,e₂,…,e_n]^T，||·||为向量的欧几里得范数，图2是改进极点配置方法中采用符号函数时控制输入的响应曲线，在图2中，控制输入出现了抖振现象。

步骤2.5：改进控制器设计：采用饱和函数sat(s_i)代替符号函数sgn(s_i)，其中i＝1,2,3，所述控制器表示为：

只采用极点配置方法进行混沌系统的轨迹跟踪控制时，控制器表示为：

只采用自适应滑模控制器进行混沌系统的轨迹跟踪控制时，控制器表示为：

在饱和函数中，参数设定为δ＝0.002。控制参数如前所述，进行系统仿真。图2是改进极点配置方法中采用符号函数时控制输入的响应曲线。图3是改进极点配置方法中采用饱和函数时控制输入的响应曲线。在图2中，控制输入出现了抖振现象。在图3中，控制输入没有出现抖振现象，比较平滑。图4是采用改进极点配置方法时轨迹跟踪误差的响应曲线，轨迹跟踪误差在0.38s时基本收敛到零。图5是只采用极点配置方法时轨迹跟踪误差的响应曲线，轨迹跟踪误差不能收敛到零。图6是只采用自适应滑模控制器时轨迹跟踪误差的响应曲线，轨迹跟踪误差在0.63s时基本收敛到零。从仿真曲线可以直观的观察到，在建模不确定和外部干扰信号下，改进极点配置方法和只采用自适应滑模控制器都能实现混沌系统的轨迹跟踪，但是改进极点配置方法的收敛速度更快，并可以通过调整极点配置调整收敛的速度，并具有很好的鲁棒性和很高的可靠性。

实施例2：

以4维超混沌Chen系统为例，进行轨迹跟踪控制。

步骤1：根据混沌系统的状态方程和期望轨迹，建立轨迹跟踪误差系统，包括步骤1.1～步骤1.3：

步骤1.1：超混沌Chen系统的状态方程为：

其中，参数x_i为系统的状态变量，i＝1,2,3,4，x＝[x₁,x₂,x₃,x₄]^T。当a₁＝35，b₁＝3，c₁＝12，d₁＝7，r₁＝0.16时，超混沌Chen系统表现为超混沌状态。

带有建模不确定△f_i(x,t)和外部干扰信号m_i(t)的超混沌Chen系统表示为：

以式(26)为超混沌系统。超混沌系统的初始状态设定为x₁(0)＝2，x₂(0)＝-1，x₃(0)＝3，x₄(0)＝1。在式(26)中，建模不确定△f_i(x,t)设定为：

在式(26)中，外部干扰信号m_i(t)设定为：

步骤1.2：所述期望轨迹指混沌系统状态变量x_i的期望轨迹x_di，超混沌Chen系统状态变量x_i的期望轨迹x_di设定为：

期望轨迹x_di具有一阶导数，期望轨迹x_di的导数为：

步骤1.3：建立轨迹跟踪误差系统：超混沌Chen系统和期望轨迹的轨迹跟踪误差为e_i＝x_i-x_di，其中i＝1,2,3,4。根据超混沌系统(26)和期望轨迹的导数(30)，建立轨迹跟踪误差系统为：

其中，e_i为轨迹跟踪误差系统的状态变量，其中i＝1,2,3,4。

步骤2：将极点配置方法和自适应滑模控制器相结合设计控制器，并设计自适应率对建模不确定和外部干扰信号的上界进行估计，用所述控制器对轨迹跟踪误差系统进行控制，包括步骤2.1～步骤2.5：

步骤2.1：对轨迹跟踪误差系统，设计滑模面为：

s_i＝e_i (6)

其中，i＝1,2,3,4。

步骤2.2：将极点配置方法和自适应滑模控制器相结合，设计控制器为：

参数设定为λ₁＝4，λ₂＝4，λ₃＝4，λ₄＝4。

步骤2.3：设计自适应率为：

参数设定为p₁＝5，p₂＝5，p₃＝5，p₄＝5，μ₁₀＝2，μ₂₀＝2，μ₃₀＝2，μ₄₀＝2。

步骤2.4：用所述控制器对轨迹跟踪误差系统进行控制：对于轨迹跟踪误差系统式(29)，通过控制器输入u_i使得轨迹跟踪误差渐进收敛到零，实现混沌系统的轨迹跟踪，即其中，e＝[e₁,e₂,…,e_n]^T，||·||为向量的欧几里得范数，图7是改进极点配置方法中采用符号函数时控制输入的响应曲线。图8是图7的局部放大图，只显示0.3s到0.8s。在图7和图8中，控制输入出现了抖振现象。

步骤2.5：改进控制器设计：采用饱和函数sat(s_i)代替符号函数sgn(s_i)，其中i＝1,2,3,4，所述控制器表示为：

只采用极点配置方法进行混沌系统的轨迹跟踪控制时，控制器表示为：

只采用自适应滑模控制器进行混沌系统的轨迹跟踪控制时，控制器表示为：

在饱和函数中，参数设定为δ＝0.001。控制参数如前所述，进行系统仿真。图7是改进极点配置方法中采用符号函数时控制输入的响应曲线，图8是图7的局部放大图，只显示0.3s到0.8s。图9是改进极点配置方法中采用饱和函数时控制输入的响应曲线。在图7和图8中，控制输入出现了抖振现象。在图9中，控制输入没有出现抖振现象，比较平滑。图10是改进极点配置方法中轨迹跟踪误差的响应曲线，轨迹跟踪误差在0.39s时基本收敛到零。图11是只采用极点配置方法时轨迹跟踪误差的响应曲线，轨迹跟踪误差不能收敛到零。图12是只采用自适应滑模控制器时轨迹跟踪误差的响应曲线，轨迹跟踪误差在0.58s时基本收敛到零。从仿真曲线可以直观的观察到，在建模不确定和外部干扰信号下，改进极点配置方法和只采用自适应滑模控制器都能实现混沌系统的轨迹跟踪，但是改进极点配置方法的收敛速度更快，并可以通过调整极点配置调整收敛的速度，具有很好的鲁棒性和很高的可靠性。

Claims (2)

1.一种改进极点配置的混沌轨迹跟踪方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：根据混沌系统的状态方程和期望轨迹，建立轨迹跟踪误差系统，包括步骤1.1～步骤1.3：

步骤1.1：所述混沌系统的状态方程为：

其中，i＝1,2,…,n，n为混沌系统的维数，x_i为混沌系统的状态变量，x＝[x₁,x₂,…,x_n]^T，t为时间，f_i(x,t)为连续函数；

对于式(1)的混沌系统，带有建模不确定和外部干扰信号的受控系统表示为：

其中，△f_i(x,t)为建模不确定，m_i(t)为外部干扰信号，u_i为控制输入；

在式(2)中，建模不确定△f_i(x,t)和外部干扰信号m_i(t)均有界，即

|△f_i(x,t)|+|m_i(t)|≤μ_i (3)

其中，μ_i为常数，且μ_i≥0，μ_i为混沌系统中建模不确定和外部干扰信号的上界，为未知参数，需要通过自适应率进行估计；

步骤1.2：所述期望轨迹指混沌系统状态变量x_i的期望轨迹x_di，且期望轨迹x_di具有一阶导数，期望轨迹x_di的导数为：

其中，i＝1,2,…,n，n为混沌系统的维数，x_di为混沌系统中状态变量x_i的期望轨迹，x＝[x₁,x₂,…,x_n]^T，g_i(x,t)为连续函数，t为时间；

步骤1.3：建立轨迹跟踪误差系统：式(2)混沌系统和期望轨迹x_di的轨迹跟踪误差为e_i＝x_i-x_di，其中，i＝1,2,…,n，n为混沌系统的维数，根据混沌系统(2)和期望轨迹的导数(4)，建立轨迹跟踪误差系统为：

其中，e_i为轨迹跟踪误差系统的状态变量；

步骤2：将极点配置方法和自适应滑模控制器相结合设计控制器，并设计自适应率对建模不确定和外部干扰信号的上界进行估计，用所述控制器对轨迹跟踪误差系统进行控制，包括步骤2.1～步骤2.5：

步骤2.1：对轨迹跟踪误差系统，设计滑模面为：

s_i＝e_i (6)

其中，i＝1,2,…,n，n为混沌系统的维数；

步骤2.2：将极点配置方法和自适应滑模控制器相结合，设计控制器为：

其中，λ_i>0，sgn(s_i)为符号函数，λ_i为配置的极点位置，为未知参数μ_i的估计值；

步骤2.3：设计自适应率为：

其中，p_i为常数，且p_i>0，μ_i0为的初始值，且μ_i0>0，自适应率对建模不确定和外部干扰信号的上界μ_i进行估计；

步骤2.4：用所述控制器对轨迹跟踪误差系统进行控制：对于轨迹跟踪误差系统式(5)，通过控制器输入u_i使得轨迹跟踪误差渐进收敛到零，实现混沌系统的轨迹跟踪，即其中，e＝[e₁,e₂,…,e_n]^T，||·||为向量的欧几里得范数，

步骤2.5：改进控制器设计：在式(7)的控制器中存在符号函数sgn(s_i)，会使控制器不连续，出现抖振现象，为了削弱抖振的影响，采用饱和函数sat(s_i)代替符号函数sgn(s_i)，最终的控制器设计为：

其中，饱和函数sat(s_i)的表达式为其中，δ为常数，且δ>0。

2.根据权利要求1所述的一种改进极点配置的混沌轨迹跟踪方法，其特征在于，通过Lyapunov稳定性理论对闭环系统的稳定性进行证明，其中，Lyapunov函数为：

其中，s_i是式(6)中定义的滑模面，p_i为常数，且p_i>0，为未知参数μ_i的估计值。