CN110109349B - 一种饱和约束下三阶严反馈混沌轨迹跟踪方法 - Google Patents

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Abstract

本发明属于自动控制技术领域，尤其涉及一种饱和状态下三阶严反馈混沌轨迹跟踪方法，包括如下步骤：S1、根据带有建模不确定和外部干扰信号的三阶严反馈混沌系统方程和期望轨迹，建立轨迹跟踪误差系统方程；S2、采用改进的全局滑模面方程和组合趋近律方程建立全局滑模控制器方程，并采用饱和约束下的全局滑模控制器方程对轨迹跟踪误差系统方程进行平衡控制；其中，组合趋近律方程为采用双幂次趋近律方程和等速趋近律方程建立的组合方程。本发明提供的混沌轨迹跟踪方法，采用改进的全局滑模面和组合趋近律建立全局滑模控制器，最后采用饱和约束下的全局滑模控制器对轨迹跟踪误差系统进行平衡控制，实现三阶严反馈混沌系统的轨迹跟踪控制。

Description

一种饱和约束下三阶严反馈混沌轨迹跟踪方法
技术领域
本发明属于自动控制技术领域，尤其涉及一种基饱和约束下三阶严反馈混沌轨迹跟踪方法。
背景技术
混沌是连接确定性运动和随机性运动的纽带，广泛存在于自然界和人类社会中。混沌系统对于初始值非常敏感，是非线性动力系统的固有特性。三阶严反馈混沌只需要单一的控制输入就能实现轨迹跟踪控制，具有广泛的应用前景。滑模控制对于建模不确定和外部干扰信号具有很强的鲁棒性，并具有响应速度快和容易实现等优点，广泛用于非线性系统的控制。采用全局滑模面的全局滑模控制器在趋近模态和滑动模态都具有鲁棒性，具有比普通滑模控制器更好的鲁棒性。三阶严反馈混沌系统进行轨迹跟踪控制时，如果初始状态的偏差较大，全局滑模控制器的初始值比较大，使得执行器处于饱和状态，甚至破坏执行器，难以实现轨迹跟踪控制。
发明内容
(一)要解决的技术问题
针对现有存在的技术问题，本发明提供一种饱和约束下三阶严反馈混沌轨迹跟踪方法，采用改进的全局滑模面和组合趋近律建立全局滑模控制器方程，最后采用饱和约束下的全局滑模控制器方程对轨迹跟踪误差系统方程进行平衡控制，实现三阶严反馈混沌系统方程的轨迹跟踪控制。
(二)技术方案
为了达到上述目的，本发明采用的主要技术方案包括：
一种饱和状态下三阶严反馈混沌轨迹跟踪方法，包括如下步骤：
S1、根据带有建模不确定和外部干扰信号的三阶严反馈混沌系统方程和期望轨迹，建立轨迹跟踪误差系统方程；
S2、采用改进的全局滑模面方程和组合趋近律方程建立全局滑模控制器方程，并采用饱和约束下的全局滑模控制器方程对轨迹跟踪误差系统方程进行平衡控制；
其中，组合趋近律方程为采用双幂次趋近律方程和等速趋近律方程建立的组合方程。
优选地，所述步骤S1还包括如下子步骤：
S101、根据带有建模不确定和外部干扰信号的三阶严反馈混沌系统方程和期望轨迹建立三阶严反馈混沌系统方程和期望轨迹的轨迹跟踪误差方程；
S102、对三阶严反馈混沌系统方程和期望轨迹的轨迹跟踪误差方程进行求导，建立轨迹跟踪误差系统方程。
优选地，所述步骤S2还包括如下子步骤：
S201、建立改进的全局滑模面方程和组合趋近律方程；
S202、采用改进的全局滑模面方程和组合趋近律方程建立全局滑模控制器方程；
S203、将在饱和约束下的全局滑模控制器方程代入轨迹跟踪误差系统方程，获得带有控制输入的三阶严反馈混沌系统的轨迹跟踪控制方程。
优选地，所述步骤S1中带有建模不确定和外部干扰信号的三阶严反馈混沌系统方程为：
Figure BDA0002062425110000021
其中，x1，x2和x3为系统的状态变量，x＝[x1,x2,x3]T，f1(x)为连续函数，Δf1(x)为建模不确定，d(t)为外部干扰信号，t为时间；
建模不确定Δf1(x)和外部干扰信号d(t)均有界，表示为：
|Δf1(x)|+|d(t)|≤d1
其中，d1为常数，且d1＞0。
优选地，所述步骤S101中还包括：
三阶严反馈混沌系统方程中，状态变量x1的期望轨迹为xd，状态变量x2的期望轨迹为
Figure BDA0002062425110000037
状态变量x3的期望轨迹为
Figure BDA0002062425110000036
期望轨迹xd有三阶导数；
三阶严反馈混沌系统方程和期望轨迹的轨迹跟踪误差方程为：
Figure BDA0002062425110000031
其中，e1，e2和e3为轨迹跟踪误差。
优选地，所述步骤S102还包括：
对轨迹跟踪误差方程进行求导，建立轨迹跟踪误差系统方程为：
Figure BDA0002062425110000032
优选地，所述步骤S201中改进的全局滑模面方程为：
Figure BDA0002062425110000033
其中，k1为常数，且k1＞0，p(t)为实现全局滑模控制建立的函数；
其中，函数p(t)为：
Figure BDA0002062425110000034
其中，n为偶数，t0为常数，且t0＞0，t为时间。
优选地，所述步骤S201中还包括：
双幂次趋近律方程为：
Figure BDA0002062425110000035
其中，k2和k3为常数，且k2＞0，k3＞0，α和β为常数，且0＜α＜1，β＞1；
等速趋近律方程为：
Figure BDA0002062425110000041
其中，k4为常数，且k4≥d1，δ为非常小的正数，且δ＞0；
将双幂次趋近律方程和等速趋近律方程相结合，得到组合趋近律方程为：
Figure BDA0002062425110000042
优选地，所述步骤202中的全局滑模控制器方程为：
Figure BDA0002062425110000043
优选地，带有控制输入的三阶严反馈混沌系统的轨迹跟踪控制方程为：
Figure BDA0002062425110000044
全局滑模控制器方程受到的饱和约束条件为：
Figure BDA0002062425110000045
其中，umax为最大控制输入值，且umax＞0，umin为最小控制输入值，且umin＜0，u为饱和约束下的全局滑模控制器；
采用双曲正切函数对饱和约束进行近似表示，饱和约束下的全局滑模控制器方程最终为：
Figure BDA0002062425110000046
(三)有益效果
本发明的有益效果是：本发明提供的一种饱和约束下三阶严反馈轨迹跟踪方法，通过带有建模不确定和外部干扰信号的三阶严反馈混沌系统方程和期望轨迹，建立轨迹跟踪误差系统方程，并采用改进的全局滑模面方程和组合趋近律方程建立全局滑模控制器方程，最后采用饱和约束下的全局滑模控制器方程对轨迹跟踪误差系统方程进行平衡控制，实现三阶严反馈混沌系统方程的轨迹跟踪控制，对建模不确定和外部干扰信号具有鲁棒性。
附图说明
图1为本发明提供的一种饱和约束下三阶严反馈轨迹跟踪方法的总体原理图；
图2为本发明提供的一种饱和约束下三阶严反馈轨迹跟踪方法的具体实施例1中饱和约束下全局滑模控制器的响应曲线示意图；
图3为本发明提供的一种饱和约束下三阶严反馈轨迹跟踪方法的具体实施例1中轨迹跟踪误差的响应曲线示意图；
图4为本发明提供的一种饱和约束下三阶严反馈轨迹跟踪方法的具体实施例2中饱和约束下全局滑模控制器的响应曲线示意图；
图5为本发明提供的一种饱和约束下三阶严反馈轨迹跟踪方法的具体实施例2中轨迹跟踪误差的响应曲线示意图；
具体实施方式
为了更好的解释本发明，以便于理解，下面结合附图，通过具体实施方式，对本发明作详细描述。
本实施例公开了一种饱和状态下三阶严反馈混沌轨迹跟踪方法，包括如下步骤：
S1、根据带有建模不确定和外部干扰信号的三阶严反馈混沌系统方程和期望轨迹，建立轨迹跟踪误差系统方程；
S2、采用改进的全局滑模面方程和组合趋近律方程建立全局滑模控制器方程，并采用饱和约束下的全局滑模控制器方程对轨迹跟踪误差系统方程进行平衡控制；
其中，组合趋近律方程为采用双幂次趋近律方程和等速趋近律方程建立的组合方程。
其次，应说明的是：本实施例中所述步骤S1还包括如下子步骤：
S101、根据带有建模不确定和外部干扰信号的三阶严反馈混沌系统方程和期望轨迹建立三阶严反馈混沌系统方程和期望轨迹的轨迹跟踪误差方程；
S102、对三阶严反馈混沌系统方程和期望轨迹的轨迹跟踪误差方程进行求导，建立轨迹跟踪误差系统方程。
本实施例中所述步骤S2还包括如下子步骤：
S201、建立改进的全局滑模面方程和组合趋近律方程；
S202、采用改进的全局滑模面方程和组合趋近律方程建立全局滑模控制器方程；
S203、将在饱和约束下的全局滑模控制器方程代入轨迹跟踪误差系统方程，获得带有控制输入的三阶严反馈混沌系统的轨迹跟踪控制方程。
详细地，本实施例中所述步骤S1中带有建模不确定和外部干扰信号的三阶严反馈混沌系统方程为：
Figure BDA0002062425110000061
其中，x1，x2和x3为系统的状态变量，x＝[x1,x2,x3]T，f1(x)为连续函数，Δf1(x)为建模不确定，d(t)为外部干扰信号，t为时间；
建模不确定Δf1(x)和外部干扰信号d(t)均有界，表示为：
|Δf1(x)|+|d(t)|≤d1
其中，d1为常数，且d1＞0。
本实施例中所述步骤S101中还包括：
三阶严反馈混沌系统方程中，状态变量x1的期望轨迹为xd，状态变量x2的期望轨迹为
Figure BDA0002062425110000071
状态变量x3的期望轨迹为
Figure BDA0002062425110000072
期望轨迹xd有三阶导数；
三阶严反馈混沌系统方程和期望轨迹的轨迹跟踪误差方程为：
Figure BDA0002062425110000073
其中，e1，e2和e3为轨迹跟踪误差。
应说明的是：这里所述的步骤S102还包括：
对轨迹跟踪误差方程进行求导，建立轨迹跟踪误差系统方程为：
Figure BDA0002062425110000074
相应地，这里所述的步骤S201中改进的全局滑模面方程为：
Figure BDA0002062425110000075
其中，k1为常数，且k1＞0，p(t)为实现全局滑模控制建立的函数；
其中，函数p(t)为：
Figure BDA0002062425110000076
其中，n为偶数，t0为常数，且t0＞0，t为时间。
本实施例中所述步骤S201中还包括：
双幂次趋近律方程为：
Figure BDA0002062425110000077
其中，k2和k3为常数，且k2＞0，k3＞0，α和β为常数，且0＜α＜1，β＞1；
等速趋近律方程为：
Figure BDA0002062425110000078
其中，k4为常数，且k4≥d1，δ为非常小的正数，且δ＞0；
将双幂次趋近律方程和等速趋近律方程相结合，得到组合趋近律方程为：
Figure BDA0002062425110000081
本实施例中所述步骤202中的全局滑模控制器方程为：
Figure BDA0002062425110000082
最后，应说明的是：这里带有控制输入的三阶严反馈混沌系统的轨迹跟踪控制方程为：
Figure BDA0002062425110000083
全局滑模控制器方程受到的饱和约束条件为：
Figure BDA0002062425110000084
其中，umax为最大控制输入值，且umax＞0，umin为最小控制输入值，且umin＜0，u为饱和约束下的全局滑模控制器；
采用双曲正切函数对饱和约束进行近似表示，饱和约束下的全局滑模控制器方程最终为：
Figure BDA0002062425110000085
如图1所示，带有建模不确定和外部干扰信号的三阶严反馈混沌系统和方程期望轨迹，建立轨迹跟踪误差系统方程，采用改进的全局滑模面方程和组合趋近律方程建立全局滑模控制器方程，最后采用饱和约束下的全局滑模控制器方程对轨迹跟踪误差系统方程进行平衡控制，形成闭环系统，能够实现三阶严反馈混沌系统方程的轨迹跟踪控制，对建模不确定和外部干扰信号具有很好的鲁棒性。为了更加直观的显示本发明提出的一种饱和约束下三阶严反馈混沌轨迹跟踪方法的有效性，采用MATLAB/Simulink软件对本控制方案进行计算机仿真实验。在仿真实验中，采用ode45算法，ode45算法即四阶-五阶Runge-Kutta算法，是一种自适应步长的常微分方程数值解法，最大步长为0.0001s，仿真时间为4s。
具体实施例1
三阶严反馈混沌系统为Genesio-Tesi混沌系统。带有建模不确定和外部干扰信号的Genesio-Tesi混沌系统，状态方程为：
Figure BDA0002062425110000091
其中，x1，x2和x3为系统的状态变量，x＝[x1,x2,x3]T，Δf1(x)为建模不确定，d(t)为外部干扰信号，t为时间。
建模不确定设定为Δf1(x)＝0.7cos(x1)sin(x2+x3)，外部干扰信号设定为d(t)＝0.3cos(6t)。由于|f1(x)|+|d(t)|≤d1，则d1＝1。
Genesio-Tesi混沌系统中，状态变量x1的期望轨迹为xd＝sin(t)+cos(t)，状态变量x2的期望轨迹为
Figure BDA0002062425110000092
状态变量x3的期望轨迹为
Figure BDA0002062425110000093
Genesio-Tesi混沌系统方程和期望轨迹的轨迹跟踪误差采用公式(3)
Figure BDA0002062425110000094
其中，e1，e2和e3为轨迹跟踪误差。
对轨迹跟踪误差方程进行求导，轨迹跟踪误差系统方程采用公式(4)
Figure BDA0002062425110000101
其中，
Figure BDA0002062425110000102
带有控制输入的轨迹跟踪误差系统方程采用公式(5)
Figure BDA0002062425110000103
其中，u为控制输入。通过控制输入u对轨迹跟踪误差系统方程进行平衡控制，轨迹跟踪误差渐进收敛到零，从而实现三阶严反馈混沌系统方程的轨迹跟踪控制。
改进的全局滑模面方程采用公式(6)
Figure BDA0002062425110000104
其中，参数设定为k1＝5。
函数p(t)采用公式(7)
Figure BDA0002062425110000105
其中，参数设定为t0＝0.9，n＝4。
将双幂次趋近律和等速趋近律相结合，组合趋近律方程采用公式(11)
Figure BDA0002062425110000106
其中，参数设定为k2＝1，k3＝1，α＝0.6，β＝1.4，k4＝1.2，且k4≥d1，δ＝0.001。
采用改进的全局滑模面方程和组合趋近律方程建立全局滑模控制器方程，全局滑模控制器方程采用公式(12)
Figure BDA0002062425110000107
采用双曲正切函数对饱和约束进行近似表示，饱和约束下的全局滑模控制器方程采用公式(14)
Figure BDA0002062425110000111
其中，参数设定为umax＝40，umin＝-20。
Genesio-Tesi混沌系统的初始状态设定为x1(0)＝2，x2(0)＝-2，x3(0)＝1.2。期望轨迹的初始状态为xd(0)＝1，
Figure BDA0002062425110000112
控制参数如前所设，进行系统的仿真。图2是饱和约束下全局滑模控制器方程的响应曲线。图3是轨迹跟踪误差方程的响应曲线，轨迹跟踪误差在1.4s时基本收敛到零，轨迹跟踪的速度非常快，对建模不确定和外部干扰信号具有很好的鲁棒性。
采用饱和约束下的全局滑模控制器进行不同初始状态Genesio-Tesi混沌系统的轨迹跟踪控制，形成闭环控制系统，轨迹跟踪误差渐进收敛到零，轨迹跟踪的速度非常快，具有很好的鲁棒性和很高的可靠性。
具体实施例2
三阶严反馈混沌系统为Arneodo混沌系统。带有建模不确定和外部干扰信号的Arneodo混沌系统，状态方程为：
Figure BDA0002062425110000113
其中，x1，x2和x3为系统的状态变量，x＝[x1,x2,x3]T，Δf1(x)为建模不确定，d(t)为外部干扰信号，t为时间。建模不确定设定为Δf1(x)＝0.5sin(x1x2)cos(x3)，外部干扰信号设定为d(t)＝0.5sin(5t)。由于|f1(x)|+|d(t)|≤d1，则d1＝1。
Arneodo混沌系统中，状态变量x1的期望轨迹为xd＝sin(t)，状态变量x2的期望轨迹为
Figure BDA0002062425110000121
状态变量x3的期望轨迹为
Figure BDA0002062425110000122
Arneodo混沌系统和期望轨迹的轨迹跟踪误差方程采用公式(3)
Figure BDA0002062425110000123
其中，e1，e2和e3为轨迹跟踪误差。
对轨迹跟踪误差方程进行求导，轨迹跟踪误差系统方程采用公式(4)
Figure BDA0002062425110000124
其中，
Figure BDA0002062425110000125
带有控制输入的轨迹跟踪误差系统方程采用公式(5)
Figure BDA0002062425110000126
其中，u为控制输入。通过控制输入u对轨迹跟踪误差系统方程进行平衡控制，轨迹跟踪误差渐进收敛到零，从而实现三阶严反馈混沌系统方程的轨迹跟踪控制。
改进的全局滑模面方程采用公式(6)
Figure BDA0002062425110000127
其中，参数设定为k1＝5。
函数p(t)采用公式(7)
Figure BDA0002062425110000128
其中，参数设定为t0＝0.9，n＝4。
将双幂次趋近律方程和等速趋近律方程相结合，组合趋近律方程采用公式(11)
Figure BDA0002062425110000131
其中，参数设定为k2＝1，k3＝1，α＝0.6，β＝1.4，k4＝1.3，且k4≥d1，δ＝0.001。
采用改进的全局滑模面方程和组合趋近律方程建立全局滑模控制器方程，全局滑模控制器方程采用公式(12)
Figure BDA0002062425110000132
采用双曲正切函数对饱和约束进行近似表示，饱和约束下的全局滑模控制器方程采用公式(14)
Figure BDA0002062425110000133
其中，参数设定为umax＝30，umin＝-20。
Arneodo混沌系统的初始状态设定为x1(0)＝-1.3，x2(0)＝2.2，x3(0)＝1。期望轨迹的初始状态为xd(0)＝0，
Figure BDA0002062425110000134
控制参数如前所设，进行系统的仿真。图4是饱和约束下全局滑模控制器的响应曲线。图5是Arneodo混沌系统轨迹跟踪误差的响应曲线，轨迹跟踪误差在2.3s时基本收敛到零，轨迹跟踪的速度非常快，对建模不确定和外部干扰信号具有很好的鲁棒性。
采用饱和约束下的全局滑模控制器方程进行不同初始状态Arneodo混沌系统方程的轨迹跟踪控制，形成闭环控制系统，轨迹跟踪误差渐进收敛到零，轨迹跟踪的速度非常快，具有很好的鲁棒性和很高的可靠性。
以上结合具体实施例描述了本发明的技术原理，这些描述只是为了解释本发明的原理，不能以任何方式解释为对本发明保护范围的限制。基于此处解释，本领域的技术人员不需要付出创造性的劳动即可联想到本发明的其它具体实施方式，这些方式都将落入本发明的保护范围之内。

Claims (3)

1.一种饱和状态下三阶严反馈混沌轨迹跟踪方法，其特征在于，包括如下步骤：
S1、根据带有建模不确定和外部干扰信号的三阶严反馈混沌系统方程和期望轨迹，建立轨迹跟踪误差系统方程；
S2、采用改进的全局滑模面方程和组合趋近律方程建立全局滑模控制器方程，并采用饱和约束下的全局滑模控制器方程对轨迹跟踪误差系统方程进行平衡控制；
其中，组合趋近律方程为采用双幂次趋近律方程和等速趋近律方程建立的组合方程；
所述步骤S1还包括如下子步骤：
S101、根据带有建模不确定和外部干扰信号的三阶严反馈混沌系统方程和期望轨迹建立三阶严反馈混沌系统方程和期望轨迹的轨迹跟踪误差方程；
S102、对三阶严反馈混沌系统方程和期望轨迹的轨迹跟踪误差方程进行求导，建立轨迹跟踪误差系统方程；
所述步骤S2还包括如下子步骤：
S201、建立改进的全局滑模面方程和组合趋近律方程；
S202、采用改进的全局滑模面方程和组合趋近律方程建立全局滑模控制器方程；
S203、将在饱和约束下的全局滑模控制器方程代入轨迹跟踪误差系统方程，获得带有控制输入的三阶严反馈混沌系统的轨迹跟踪控制方程；
所述步骤S1中带有建模不确定和外部干扰信号的三阶严反馈混沌系统方程为：
Figure FDA0002634447490000011
其中，x1，x2和x3为系统的状态变量，x＝[x1,x2,x3]T，f1(x)为连续函数，Δf1(x)为建模不确定，d(t)为外部干扰信号，t为时间；
建模不确定Δf1(x)和外部干扰信号d(t)均有界，表示为：|Δf1(x)|+|d(t)|≤d1
其中，d1为常数，且d1＞0；
所述步骤S201中改进的全局滑模面方程为：
Figure FDA0002634447490000021
其中，k1为常数，且k1＞0，p(t)为实现全局滑模控制建立的函数；
其中，函数p(t)为：
Figure FDA0002634447490000022
其中，n为偶数，t0为常数，且t0＞0，t为时间；
所述步骤S201中还包括：
双幂次趋近律方程为：
Figure FDA0002634447490000023
其中，k2和k3为常数，且k2＞0，k3＞0，α和β为常数，且0＜α＜1，β＞1；
等速趋近律方程为：
Figure FDA0002634447490000024
其中，k4为常数，且k4≥d1，δ为非常小的正数，且δ＞0；
将双幂次趋近律方程和等速趋近律方程相结合，得到组合趋近律方程为：
Figure FDA0002634447490000025
所述步骤202中的全局滑模控制器方程为：
Figure FDA0002634447490000026
带有控制输入的三阶严反馈混沌系统的轨迹跟踪控制方程为：
Figure FDA0002634447490000031
全局滑模控制器方程受到的饱和约束条件为：
Figure FDA0002634447490000032
其中，umax为最大控制输入值，且umax＞0，umin为最小控制输入值，且umin＜0，u为饱和约束下的全局滑模控制器；
采用双曲正切函数对饱和约束进行近似表示，饱和约束下的全局滑模控制器方程最终为：
Figure FDA0002634447490000033
2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述步骤S101中还包括：
三阶严反馈混沌系统方程中，状态变量x1的期望轨迹为xd，状态变量x2的期望轨迹为
Figure FDA0002634447490000034
状态变量x3的期望轨迹为
Figure FDA0002634447490000035
期望轨迹xd有三阶导数；
三阶严反馈混沌系统方程和期望轨迹的轨迹跟踪误差方程为：
Figure FDA0002634447490000036
其中，e1，e2和e3为轨迹跟踪误差。
3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，所述步骤S102还包括：对轨迹跟踪误差方程进行求导，建立轨迹跟踪误差系统方程为：
Figure FDA0002634447490000037
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