CN108490765B - 一种带有抗积分补偿的自抗扰控制器的设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种带有抗积分补偿的自抗扰控制器的设计方法：建立非线性系统模型；对于非线性系统模型设计带有抗积分补偿的线性自抗扰控制器，线性自抗扰控制器由扩张状态观测器以及线性反馈构成；通过求解线性矩阵不等式确定抗积分补偿自抗扰控制器的参数。本发明将抗积分补偿应用到自抗扰控制器的设计中，能够恢复执行器饱和对控制系统造成的性能下降，同时保证采用自抗扰控制的闭环系统的稳定性。

Description

一种带有抗积分补偿的自抗扰控制器的设计方法

技术领域

本发明属于控制器设计领域，更具体的说，是涉及一种带有抗积分补偿的自抗扰控制器的设计方法。

背景技术

虽然人们陆续提出了许多先进的控制方法并应用于一些具体的实践中，PID控制仍然在工业应用中发挥着关键作用。依赖于精确模型的控制算法无法得到广泛应用的最大原因是难以或者需要付出高昂的代价来获得准确的模型。不确定性是控制面临的挑战性问题之一，为了解决这个问题，韩京清教授提出了自抗扰控制，其核心思想是将系统的内部不确定性和外界扰动当作总扰动，使用扩张状态观测器进行实时的估计，再通过反馈控制律对其进行补偿动态地抑制不确定性与扰动。为了使控制器更容易调节，高志强提出了线性自抗扰控制，这里状态观测器和状态反馈都是线性的。

饱和现象在实际控制系统中普遍存在，其最常见的形式是执行器饱和。执行器饱和限制了从控制器到控制对象的控制信号，从而导致动态性能变差，甚至会使闭环系统不稳定。目前，有几种关于饱和非线性的处理方法，如扇区条件和凸组合。抗积分补偿是处理执行器饱和的常用方法，通常以线性矩阵不等式的形式给出。为了获得较小的估计误差，线性自抗扰控制器的参数通常选取的非常大，因此会产生执行器饱和现象。结合抗积分补偿所设计的线性自抗扰控制器，可以抵消执行器饱和的不利影响，保证闭环系统的良好性能。在此之前尚未将抗积分补偿应用于自抗扰控制器设计进行深入研究，因此本发明提出的带有抗积分补偿的自抗扰控制器的设计方法具有明确的理论意义和重要的现实意义。

发明内容

本发明的目的是为了克服现有技术中的不足，提供了一种带有抗积分补偿的自抗扰控制器的设计方法，是一种基于带有抗积分补偿的扩张状态观测器，并结合状态反馈设计自抗扰控制器的一般性方法，能够恢复执行器饱和对控制系统造成的性能下降，同时保证采用自抗扰控制的闭环系统的稳定性。

本发明的目的是通过以下技术方案实现的。

一种带有抗积分补偿的自抗扰控制器的设计方法，包括以下步骤：

步骤一，建立如下所示的一般单输入单输出非线性系统模型：

y⁽ⁿ⁾＝f(y^(n-1),...,y,ω,t)+b₀u

其中，y为系统输出，u为控制输入，t表示时间，b₀为控制输入u的增益，f(y^{(n -1)},...,y,ω,t)为自抗扰控制结构中的‘总扰动’，其包括内部的不确定性和外部扰动ω，简写为f(y,ω,t)，f(y,ω,t)应满足|f(y,ω,t)|≤p和

令

表示f(y,ω,t)的一阶导数，p,δ＞0为常值，即扰动及扰动变化速率有界，y⁽ⁿ⁾表示输出y的n阶导数；

选择扩张状态x_n+1＝f(y,ω,t)，上述系统可以写成如下状态空间表达式：

其中，系统的状态向量

h为f(y,ω,t)的一阶导数；

在实际系统中必须考虑执行器饱和的限制，即

其中

为执行器受限的幅值；

因此，系统状态空间表达式变为：

其中

sign为符号函数；则此系统为被控系统；

步骤二，对于上述饱和非线性系统模型设计带有抗积分补偿的线性自抗扰控制器：

线性自抗扰控制器由扩张状态观测器以及线性反馈构成，首先对被控系统

设计以下n+1阶扩张状态观测器：

其中

为观测器的状态，

为观测器增益，

为抗积分补偿增益，z_n+1跟踪系统的总扰动f(y,ω,t)；

设计线性反馈控制律：

u＝-Kz

其中

为线性反馈增益；

将变化后的系统状态空间表达式、n+1阶扩张状态观测器、线性反馈控制律相结合，闭环系统写成以下形式：

其中A_c＝A_e-B_eK-L₀C_e；

此时定义一个扩张向量

上述闭环系统变为：

其中

R＝[0 -I]^T

步骤三，通过求解线性矩阵不等式确定抗积分补偿自抗扰控制器的参数：

选择补偿器参数使之满足以下条件：

当存在一个正定矩阵

一个矩阵

一个矩阵

三个正常量τ、τ₁和τ₂满足以下条件：

-τ₁+τ₂δ＜0

则当P＝W^-1时，起始于椭球

的初始状态，最终不会离开椭球ε(P)，E_c＝ZT即为抗积分补偿器的参数。

在系统的执行器未饱和的情况下，补偿器不起作用，当控制信号过大触发执行器限制时，补偿器使系统仍然能够实现稳定。

自抗扰控制器和补偿器分别设计，先设计好观测器和线性反馈增益的参数再设计抗积分补偿器，补偿器参数由线性矩阵不等式确定。

与现有技术相比，本发明的技术方案所带来的有益效果是：

传统的自抗扰控制器本身并没有将控制约束考虑在设计内，在执行器发生饱和的情况下，由于扩张状态观测器无法准确地估计系统的总扰动、控制信号也无法及时的进行补偿，从而产生不好的动态性能。与传统的自抗扰控制器相比，抗积分补偿自抗扰控制器能够在保证性能的同时抵消执行器饱和带来的不良影响。选择合适的补偿增益，可以使系统在输入受限时保持稳定，从而得到良好的动态性能。

本发明所提出的抗积分补偿方法当控制器输出即控制信号没有达到触发执行器饱和的界时，带抗积分补偿的自抗扰控制器与传统线性自抗扰控制器没有区别，当控制信号过大时，补偿器开始起作用。设计时可以先针对系统设计传统的自抗扰控制器，再加入补偿器来使参数的选取更加简单。

需要注意的是，运用本发明所提出的带有抗积分补偿的自抗扰控制器，由于扰动的存在闭环系统最终只能保证稳定到一个稳定区域，但在实际系统中只要我们选择合适的参数，通常可以使系统状态稳定在一个可接受的区域内，即系统的不变集，当执行器脱离饱和后通过原来的控制器使系统实现渐近稳定。另外，带有抗积分补偿的自抗扰控制器在不增加控制器阶数的情况下，能够使受限系统能够保持很好的性能。

附图说明

图1是带有抗积分补偿的自抗扰控制器的结构图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步的描述。

本发明所采用的控制器设计方案是利用抗积分补偿来改善闭环系统在执行器饱和情况下的动态性能。具体实现方式为：首先建立非线性系统模型，该模型为积分链形式，并将其转化为状态空间模型，然后设计相应的带有抗积分补偿的扩张状态观测器，在此基础上设计线性状态反馈控制律，从而完成系统的控制任务。为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚，以下从带有抗积分补偿的自抗扰控制器的建立、设计原理、求解方法等几个方面来对本发明作进一步说明。

本发明的带有抗积分补偿的自抗扰控制器的设计方法，包括以下步骤：

步骤一，建立如下所示的一般单输入单输出非线性系统模型：

y⁽ⁿ⁾＝f(y^(n-1),...,y,ω,t)+b₀u (1)

其中，y为系统输出，u为控制输入，t表示时间，b₀为控制输入u的增益，f(y^{(n -1)},...,y,ω,t)为自抗扰控制结构中的‘总扰动’，其包括内部的不确定性和外部扰动ω，简写为f(y,ω,t)。f(y,ω,t)应满足|f(y,ω,t)|≤p和

令

表示f(y,ω,t)的一阶导数，p,δ＞0为常值，即扰动及扰动变化速率有界，y⁽ⁿ⁾表示输出y的n阶导数。

选择扩张状态x_n+1＝f(y,ω,t)，上述系统可以写成如下状态空间表达式：

其中，系统的状态向量

h为f(y,ω,t)的一阶导数；

在实际系统中我们必须考虑执行器饱和的限制，即

其中

为执行器受限的幅值。

因此，系统状态空间表达式(2)变为：

其中

sign为符号函数，则此系统为被控系统。

步骤二，对于上述饱和非线性系统模型设计带有抗积分补偿的线性自抗扰控制器。

线性自抗扰控制器由扩张状态观测器以及线性反馈构成，首先对被控系统

设计以下n+1阶扩张状态观测器：

其中

为观测器的状态，

为观测器增益，

为抗积分补偿增益，z_n+1跟踪系统的总扰动f(y,ω,t)。

设计线性反馈控制律：

u＝-Kz (6)

其中

为线性反馈增益。

将变化后的系统状态空间表达式(4)、n+1阶扩张状态观测器(5)、线性反馈控制律(6)相结合，闭环系统写成以下形式：

其中A_c＝A_e-B_eK-L₀C_e。

此时定义一个扩张向量

上述闭环系统(7)变为：

其中

R＝[0 -I]^T

步骤三，通过求解线性矩阵不等式确定抗积分补偿自抗扰控制器的参数。

选择补偿器参数使之满足以下条件：

当存在一个正定矩阵

一个矩阵

一个矩阵

三个正常量τ、τ₁和τ₂满足以下条件：

则当P＝W^-1时，起始于椭球

的初始状态，最终不会离开椭球ε(P)，E_c＝ZT即为抗积分补偿器的参数。

带有抗积分补偿的自抗扰控制器结合了已有自抗扰控制器的优势，创新性地加入了抗积分补偿环节，使被控对象在执行器饱和的情况下仍然能够达到稳定，其结构如图1所示，其中r为参考输入，u为控制信号，sat(u)为饱和控制信号，f为总扰动，_y为系统输出，z为观测器状态，E_c为补偿器增益。

此时我们选取一个Lyapunov函数

由文献“Da Silva J M G,Tarbouriech S.Antiwindup design with guaranteedregions of stability:an LMI-based approach[J].IEEE Transactions on AutomaticControl,2005,50(1):106-111.”可以得到，令P＝W^-1，

当公式(12)成立且G＝YP时集合

包含在集合

中。易得对于任意正常量T，

成立。选取如(11)所示的Lyapunov函数，求其导数为：

考虑初始时刻在椭球ε(P)外的状态，即{ξ|ξ^TPξ＞1}，以及扰动的有界性|h|²≤δ，使用S过程可得：

其中τ₁,τ₂＞0。要证明公式(13)成立，仅需证明-τ₁+τ₂δ＜0.以及

成立，对后者使用扇区条件得到：

不等式的左边可以写作：

其中

易得当M＜0时，公式(15)成立。令W＝P^-1、Z＝E_cT^-1、τ＝T^-1、Y＝GW^-1，对矩阵(17)分别左乘和右乘以下矩阵

可知M＜0成立的充要条件是

则控制器设计满足条件(12)、(19)以及-τ₁+τ₂δ＜0时，椭球ε(P)为系统的不变集，经过以上分析，我们得到以下定理。

定理1：当存在一个正定矩阵

一个矩阵

一个矩阵

三个正常量τ、τ₁和τ₂满足：

则当P＝W^-1时，起始于椭球

的初始状态，最终不会离开椭球ε(P)。

对于全局情况需要系统为内稳定，考虑矩阵

易得

即矩阵A_p与

相似，配置矩阵A_e-B_eK与A_e-L₀C_e的特征值为负，则A_p为Hurwitz。此时令

则满足全局扇区条件，即

恒成立，当关系(24)第一和第三项满足时，系统状态最终会收敛到椭球ε(P)内。

通过选取满足以上条件的带有抗积分补偿的自抗扰控制器参数，可以使系统状态在执行器饱和的情况下仍能收敛在一定范围内，保证闭环系统良好的动态性能。

在系统的执行器未饱和的情况下，补偿器不起作用，当控制信号过大触发执行器限制时，补偿器使系统仍然能够实现稳定。

自抗扰控制器和补偿器可以分别设计，可以先设计好观测器和线性反馈增益的参数再设计抗积分补偿器，补偿器参数可由线性矩阵不等式确定。

尽管上面结合附图对本发明进行了描述，但本发明并不局限于上述，上述的具体实施方式仅仅是示意性的，在本发明的启示下，在不脱离本发明宗旨和权利要求所保护的范围情况下，还可做出很多形式，这些均属于本发明的保护之内。

Claims (3)

1.一种带有抗积分补偿的自抗扰控制器的设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一，建立如下所示的一般单输入单输出非线性系统模型：

y⁽ⁿ⁾＝f(y^(n-1),...,y,ω,t)+b₀u

其中，y为系统输出，u为控制输入，t表示时间，b₀为控制输入u的增益，f(y^(n-1),...,y,ω,t)为自抗扰控制结构中的‘总扰动’，其包括内部的不确定性和外部扰动ω，简写为f(y,ω,t)，f(y,ω,t)应满足|f(y,ω,t)|≤p和

令

表示f(y,ω,t)的一阶导数，p,δ＞0为常值，即扰动及扰动变化速率有界，y⁽ⁿ⁾表示输出y的n阶导数；

选择扩张状态x_n+1＝f(y,ω,t)，上述系统可以写成如下状态空间表达式：

其中，系统的状态向量

h为f(y,ω,t)的一阶导数；

在实际系统中必须考虑执行器饱和的限制，即

其中

为执行器受限的幅值；

因此，系统状态空间表达式变为：

其中

sign为符号函数；则此系统为被控系统；

步骤二，对于上述饱和非线性系统模型设计带有抗积分补偿的线性自抗扰控制器：

线性自抗扰控制器由扩张状态观测器以及线性反馈构成，首先对被控系统

设计以下n+1阶扩张状态观测器：

其中

为观测器的状态，

为观测器增益，

为抗积分补偿增益，z_n+1跟踪系统的总扰动f(y,ω,t)；

设计线性反馈控制律：

u＝-Kz

其中

为线性反馈增益；

将变化后的系统状态空间表达式、n+1阶扩张状态观测器、线性反馈控制律相结合，闭环系统写成以下形式：

其中A_c＝A_e-B_eK-L₀C_e；

此时定义一个扩张向量

上述闭环系统变为：

其中

R＝[0 -I]^T

步骤三，通过求解线性矩阵不等式确定抗积分补偿自抗扰控制器的参数：

选择补偿器参数使之满足以下条件：

当存在一个正定矩阵

一个矩阵

一个矩阵

三个正常量τ、τ₁和τ₂满足以下条件：

-τ₁+τ₂δ＜0

则当P＝W^-1时，起始于椭球

的初始状态，最终不会离开椭球ε(P)，E_c＝ZT即为抗积分补偿器的参数。

2.根据权利要求1所述的带有抗积分补偿的自抗扰控制器的设计方法，其特征在于，在系统的执行器未饱和的情况下，补偿器不起作用，当控制信号过大触发执行器限制时，补偿器使系统仍然能够实现稳定。

3.根据权利要求1所述的带有抗积分补偿的自抗扰控制器的设计方法，其特征在于，自抗扰控制器和补偿器分别设计，先设计好观测器和线性反馈增益的参数再设计抗积分补偿器，补偿器参数由线性矩阵不等式确定。

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