CN109946969B - 一种控制输入受限的二阶混沌轨迹跟踪方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种控制输入受限的二阶混沌轨迹跟踪方法，包括：带有建模不确定和外部干扰信号的二阶混沌系统和期望轨迹，建立轨迹跟踪误差系统；设计全局滑模面和自适应指数趋近律；根据带有控制输入的轨迹跟踪误差系统，全局滑模面和自适应指数趋近律，设计全局滑模控制器；采用正弦型饱和函数代替符号函数，改进全局滑膜控制器；采用饱和约束下的改进后全局滑模控制器对轨迹跟踪误差系统进行平衡控制，实现二阶混沌系统的轨迹跟踪控制。实验证明，本发明在饱和约束下全局滑模控制器实现了二阶混沌系统的轨迹跟踪控制，轨迹跟踪的速度非常快，对建模不确定和外部干扰信号具有很好的鲁棒性和很高的可靠性。

Description

一种控制输入受限的二阶混沌轨迹跟踪方法

技术领域

本发明属于自动控制技术领域，具体涉及一种控制输入受限的二阶混沌轨迹跟踪方法。

背景技术

混沌是连接确定性运动和随机性运动的纽带，广泛存在于自然界和人类社会中。自从Pecora和Carroll通过电子线路实现混沌同步以来，由于混沌同步在保密通信和控制领域等方面具有巨大的潜在应用前景，使其得到了广泛的关注和深入的研究。二阶混沌系统只需要单一控制输入就能实现轨迹跟踪控制，在保密通信方面具有广泛的应用前景。

滑模控制对于建模不确定和外部干扰信号具有很强的鲁棒性，并具有响应速度快和容易实现等优点，广泛用于非线性系统的控制。普通滑模控制分为趋近模态和滑动模态，并且只在滑动模态具有鲁棒性。全局滑模控制是通过设计动态非线性滑模面来实现的，在趋近模态和滑动模态都具有鲁棒性。采用全局滑模控制器进行二阶混沌系统的轨迹跟踪控制时，控制输入的大小要有一定的限制，过大的控制输入不仅会使系统的控制难以实现，甚至可能会损坏执行器，研究控制输入受限的二阶混沌轨迹跟踪控制方法非常必要。

发明内容

基于以上的技术问题，本发明提供一种控制输入受限的二阶混沌轨迹跟踪方法，根据带有建模不确定和外部干扰信号的二阶混沌系统和期望轨迹，建立轨迹跟踪误差系统，采用全局滑模面和自适应指数趋近律设计全局滑模控制器，并采用饱和约束下的全局滑模控制器对轨迹跟踪误差系统进行平衡控制，实现二阶混沌系统的轨迹跟踪控制，对建模不确定和外部干扰信号具有鲁棒性。

所述一种控制输入受限的二阶混沌轨迹跟踪方法，包括以下步骤：

步骤1：带有建模不确定和外部干扰信号的二阶混沌系统和期望轨迹，建立轨迹跟踪误差系统；

带有建模不确定和外部干扰信号的二阶混沌系统，其状态方程为：

其中，x₁和x₂为系统的状态变量，x＝[x₁,x₂]^T，f₁(x,t)为连续函数，t为时间，△f₁(x)为建模不确定，d(t)为外部干扰信号。建模不确定△f₁(x)和外部干扰信号d(t)均有界：

|△f₁(x)|+|d(t)|≤d₁ (2)

其中，d₁为建模不确定和外部干扰信号的上界，且d₁>0。

对于二阶混沌系统，状态变量x₁的期望轨迹为x_d，状态变量x₂的期望轨迹为

期望轨迹x_d有二阶导数。二阶混沌系统和期望轨迹的轨迹跟踪误差为：

对公式(3)进行求导，可以得到轨迹跟踪误差系统为：

其中，e₁和e₂为轨迹跟踪误差系统的状态变量。

带有控制输入的轨迹跟踪误差系统为：

其中，u₁为控制输入。通过控制输入u₁进行轨迹跟踪误差系统的平衡控制，即

从而实现二阶混沌系统的轨迹跟踪控制。

步骤2：设计全局滑模面和自适应指数趋近律；

在全局滑模控制器的设计中，采用的全局滑模面为：

s＝e₂+ce₁-p(t) (6)

其中，c>0，p(t)是为了实现全局滑模控制设计的函数。当t＝0时，s(0)＝0。当t→∞时，s→0。函数p(t)需要满足下面的三个条件：

(1)p(0)＝e₂(0)+ce₁(0)；

(2)当t→∞时，p(t)→0；

(3)p(t)具有一阶导数。

根据以上三个条件，将函数p(t)设计为：

p(t)＝p(0)e^-βt (7)

其中，β为常数，且β>0。对函数p(t)进行求导，得到：

在全局滑模控制器的设计中，采用的自适应指数趋近律为：

其中，k₁，k₂和k₃为常数，且k₁>0，k₂>0，k₃≥d₁。

步骤3：根据带有控制输入的轨迹跟踪误差系统公式(5)，全局滑模面公式(6)和自适应指数趋近律公式(9)，设计全局滑模控制器为：

利用Lyapunov稳定性理论对系统的稳定性进行证明。Lyapunov函数为：

其中，s为公式(6)中定义的全局滑模面。

对公式(11)进行求导，然后将公式(5)和公式(10)带入后，得到：

由于V≥0，

根据Lyapunov稳定性原理，全局滑模控制器能够实现轨迹跟踪误差系统的平衡控制，即

从而实现二阶混沌系统的轨迹跟踪控制，对建模不确定和外部干扰信号具有鲁棒性。

步骤4：采用正弦型饱和函数sat(s)代替符号函数sgn(s)，改进全局滑膜控制器，具体如下：

在全局滑模控制器中存在符号函数sgn(s)，会使控制输入不连续，出现抖振现象，采所述符号函数sgn(s)的表达式为：

为了削弱抖振的影响，采用正弦型饱和函数sat(s)代替符号函数sgn(s)，所述正弦型饱和函数sat(s)的表达式为：

其中，δ为常数，且δ>0。

改进后的全局滑模控制器为：

步骤5：全局滑模控制器控制输入受到的饱和约束为：

其中，u_max为最大控制输入值，且u_max>0，u₁为全局滑模控制器，u为饱和约束下的全局滑模控制器。

步骤6：采用饱和约束下的改进后全局滑模控制器对轨迹跟踪误差系统进行平衡控制，实现二阶混沌系统的轨迹跟踪控制，对建模不确定和外部干扰信号具有鲁棒性。

有益技术效果：

提出采用全局滑模面和自适应指数趋近律设计全局滑模控制器，并采用饱和约束下的全局滑模控制器对轨迹跟踪误差系统进行平衡控制。为了削弱抖振现象，在全局滑模控制器中，采用正弦型饱和函数代替符号函数。在控制输入受限情况下能够实现二阶混沌系统的轨迹跟踪控制，轨迹跟踪的速度非常快，对建模不确定和外部干扰信号具有很好的鲁棒性和很高的可靠性。

附图说明

图1是本发明的总体原理图；

图2是具体实施例1中采用符号函数时饱和约束下全局滑模控制器的响应曲线；

图3是具体实施例1中采用正弦型饱和函数时饱和约束下全局滑模控制器的响应曲线；

图4是具体实施例1中轨迹跟踪误差的响应曲线；

图5是具体实施例2中采用符号函数时饱和约束下全局滑模控制器的响应曲线；

图6是具体实施例2中采用正弦型饱和函数时饱和约束下全局滑模控制器的响应曲线；

图7是具体实施例2中轨迹跟踪误差的响应曲线。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明做进一步的详细说明。

如图1所示，根据带有建模不确定和外部干扰信号的二阶混沌系统和期望轨迹，建立轨迹跟踪误差系统，采用全局滑模面和自适应指数趋近律设计全局滑模控制器，并采用饱和约束下的全局滑模控制器对轨迹跟踪误差系统进行平衡控制，从而实现二阶混沌系统的轨迹跟踪控制。

为了更加直观的显示本发明提出的一种控制输入受限的二阶混沌轨迹跟踪方法的有效性，采用MATLAB/Simulink软件对本控制方案进行计算机仿真实验。在仿真实验中，采用ode45算法，ode45算法即四阶-五阶Runge-Kutta算法，是一种自适应步长的常微分方程数值解法，最大步长为0.0001s，仿真时间为3s。在正弦型饱和函数sat(s)中参数设定为δ＝0.001。

具体实施例1：

步骤1：带有建模不确定和外部干扰信号的二阶混沌系统和期望轨迹，建立轨迹跟踪误差系统；

二阶混沌为Duffing混沌系统。带有建模不确定和外部干扰信号的Duffing混沌系统，状态方程为：

其中，x＝[x₁,x₂]^T，

t为时间。Duffing混沌系统的初始状态设定为x₁(0)＝-0.8，x₂(0)＝1.6。建模不确定△f₁(x)设定为△f₁(x)＝0.3cos(x₁x₂)，外部干扰信号d(t)设定为d(t)＝0.4sin(4t)+0.2。建模不确定△f₁(x)和外部干扰信号d(t)均有界，|△f₁(x)|+|d(t)|≤d₁，则d₁＝0.9。

Duffing混沌系统中状态变量x₁的期望轨迹为x_d，状态变量x₂的期望轨迹为

期望轨迹x_d有二阶导数，设定为：

步骤2：设计全局滑模面和自适应指数趋近律；

在全局滑模控制器的设计中，采用的全局滑模面采用公式(6)：

s＝e₂+ce₁-p(t) (6)

其中，参数设定为c＝6。

在全局滑模面中，函数p(t)采用公式(7)：

p(t)＝p(0)e^-βt (7)

其中，参数设定为β＝5。

在全局滑模控制器的设计中，自适应指数趋近律采用公式(9)：

其中，参数设定为k₁＝3，k₂＝0.2，k₃＝1.2，且k₃≥d₁。

步骤3：根据带有控制输入的轨迹跟踪误差系统公式(18)，全局滑模面公式(6)和自适应指数趋近律公式(9)，设计全局滑模控制器为：

步骤4：采用正弦型饱和函数sat(s)代替符号函数sgn(s)，改进全局滑膜控制器，具体如下：

在全局滑模控制器中存在符号函数sgn(s)，会使控制输入不连续，出现抖振现象，采所述符号函数sgn(s)的表达式为：

为了削弱抖振的影响，采用正弦型饱和函数sat(s)代替符号函数sgn(s)，所述正弦型饱和函数sat(s)的表达式为：

其中，δ为常数，且δ>0；

改进后的全局滑模控制器为：

步骤5：全局滑模控制器控制输入受到的饱和约束采用公式(16)：

其中，参数设定为u_max＝10。

步骤6：采用饱和约束下的改进后全局滑模控制器对轨迹跟踪误差系统进行平衡控制，实现二阶混沌系统的轨迹跟踪控制，对建模不确定和外部干扰信号具有鲁棒性。

控制参数如前所设，进行系统的仿真。图2是采用符号函数时饱和约束下全局滑模控制器的响应曲线。图3是采用正弦型饱和函数时饱和约束下全局滑模控制器的响应曲线。在图2中，控制输入出现了明显的抖振现象。在图3中，控制输入没有出现抖振现象。在图2和图3中，全局滑模控制器出现了饱和约束，最大值为u_max＝10，最小值为-u_max＝-10。图4是轨迹跟踪误差的响应曲线。从仿真曲线可以直观的观察到轨迹跟踪误差在2s时基本收敛到零，轨迹跟踪的速度非常快。饱和约束下全局滑模控制器实现了二阶混沌系统的轨迹跟踪控制，轨迹跟踪的速度非常快，对建模不确定和外部干扰信号具有很好的鲁棒性和很高的可靠性。

具体实施例2：

步骤1：带有建模不确定和外部干扰信号的二阶混沌系统和期望轨迹，建立轨迹跟踪误差系统；

二阶混沌为van der Pol混沌系统。带有建模不确定和外部干扰信号的van derPol混沌系统，状态方程为：

其中，x＝[x₁,x₂]^T，

t为时间。van der Pol混沌系统的初始状态设定为x₁(0)＝-1，x₂(0)＝0.8。建模不确定△f₁(x)设定为△f₁(x)＝0.4cos(x₁x₂)，外部干扰信号d(t)设定为d(t)＝0.2cos(πt)+0.2。建模不确定△f₁(x)和外部干扰信号d(t)均有界，|△f₁(x)|+|d(t)|≤d₁，则d₁＝0.8。

van der Pol混沌系统中状态变量x₁的期望轨迹为x_d，状态变量x₂的期望轨迹为

期望轨迹x_d有二阶导数，设定为：

步骤2：设计全局滑模面和自适应指数趋近律；

在全局滑模控制器的设计中，采用的全局滑模面采用公式(6)：

s＝e₂+ce₁-p(t) (6)

其中，参数设定为c＝6。

在全局滑模面中，函数p(t)采用公式(7)：

p(t)＝p(0)e^-βt (7)

其中，参数设定为β＝5。

在全局滑模控制器的设计中，自适应指数趋近律采用公式(9)：

其中，参数设定为k₁＝3，k₂＝0.4，k₃＝1，且k₃≥d₁。

步骤3：根据带有控制输入的轨迹跟踪误差系统公式(20)，全局滑模面公式(6)和自适应指数趋近律公式(9)，设计全局滑模控制器为：

步骤4：采用正弦型饱和函数sat(s)代替符号函数sgn(s)，改进全局滑膜控制器，具体如下：

在全局滑模控制器中存在符号函数sgn(s)，会使控制输入不连续，出现抖振现象，采所述符号函数sgn(s)的表达式为：

为了削弱抖振的影响，采用正弦型饱和函数sat(s)代替符号函数sgn(s)，所述正弦型饱和函数sat(s)的表达式为：

其中，δ为常数，且δ>0；

改进后的全局滑模控制器为：

步骤5：全局滑模控制器控制输入受到的饱和约束采用公式(16)：

其中，参数设定为u_max＝20。

步骤6：采用饱和约束下的改进后全局滑模控制器对轨迹跟踪误差系统进行平衡控制，实现二阶混沌系统的轨迹跟踪控制，对建模不确定和外部干扰信号具有鲁棒性。

控制参数如前所设，进行系统的仿真。图5是采用符号函数时饱和约束下全局滑模控制器的响应曲线。图6是采用正弦型饱和函数时饱和约束下全局滑模控制器的响应曲线。在图5中，控制输入出现了明显的抖振现象。在图6中，控制输入没有出现抖振现象。在图5和图6中，全局滑模控制器出现了饱和约束，最大值为u_max＝20，最小值为-u_max＝-20。图7是轨迹跟踪误差的响应曲线。从仿真曲线可以直观的观察到轨迹跟踪误差在2s时基本收敛到零，轨迹跟踪的速度非常快。饱和约束下全局滑模控制器实现了二阶混沌系统的轨迹跟踪控制，轨迹跟踪的速度非常快，对建模不确定和外部干扰信号具有很好的鲁棒性和很高的可靠性。

Claims (1)

1.一种控制输入受限的二阶混沌轨迹跟踪方法，其特征在于，具体步骤如下：

步骤1：带有建模不确定和外部干扰信号的二阶混沌系统和期望轨迹，建立轨迹跟踪误差系统；

带有建模不确定和外部干扰信号的二阶混沌系统，其状态方程为：

其中，x₁和x₂为系统的状态变量，x＝[x₁,x₂]^T，f₁(x,t)为连续函数，t为时间，Δf₁(x)为建模不确定，d(t)为外部干扰信号，建模不确定Δf₁(x)和外部干扰信号d(t)均有界：

|Δf₁(x)|+|d(t)|≤d₁ (2)

其中，d₁为建模不确定和外部干扰信号的上界，且d₁＞0；

对于二阶混沌系统，状态变量x₁的期望轨迹为x_d，状态变量x₂的期望轨迹为

期望轨迹x_d有二阶导数，二阶混沌系统和期望轨迹的轨迹跟踪误差为：

对公式(3)进行求导，得到轨迹跟踪误差系统为：

其中，e₁和e₂为轨迹跟踪误差系统的状态变量；

带有控制输入的轨迹跟踪误差系统为：

其中，u₁为控制输入，通过控制输入u₁进行轨迹跟踪误差系统的平衡控制，即

从而实现二阶混沌系统的轨迹跟踪控制；

步骤2：设计全局滑模面和自适应指数趋近律；

在全局滑模控制器的设计中，采用的全局滑模面为：

s＝e₂+ce₁-p(t) (6)

其中，c＞0，p(t)是为了实现全局滑模控制设计的函数，当t＝0时，s(0)＝0；当t→∞时，s→0；函数p(t)需要满足下面的三个条件：

(1)p(0)＝e₂(0)+ce₁(0)；

(2)当t→∞时，p(t)→0；

(3)p(t)具有一阶导数；

根据以上三个条件，将函数p(t)设计为：

p(t)＝p(0)e^-βt (7)

其中，β为常数，且β＞0，对函数p(t)进行求导，得到：

在全局滑模控制器的设计中，采用的自适应指数趋近律为：

其中，k₁，k₂和k₃为常数，且k₁＞0，k₂＞0，k₃≥d₁；

步骤3：根据带有控制输入的轨迹跟踪误差系统公式(5)，全局滑模面公式(6)和自适应指数趋近律公式(9)，设计全局滑模控制器为：

步骤4：采用正弦型饱和函数sat(s)代替符号函数sgn(s)，改进全局滑膜控制器，具体如下：

在全局滑模控制器中存在符号函数sgn(s)，会使控制输入不连续，出现抖振现象，采所述符号函数sgn(s)的表达式为：

为了削弱抖振的影响，采用正弦型饱和函数sat(s)代替符号函数sgn(s)，所述正弦型饱和函数sat(s)的表达式为：

其中，δ为常数，且δ＞0；

改进后的全局滑模控制器为：

步骤5：全局滑模控制器控制输入受到的饱和约束为：

其中，u_max为最大控制输入值，且u_max＞0，u₁为全局滑模控制器，u为饱和约束下的全局滑模控制器；

步骤6：采用饱和约束下的改进后全局滑模控制器对轨迹跟踪误差系统进行平衡控制，实现二阶混沌系统的轨迹跟踪控制；

利用Lyapunov稳定性理论对系统的稳定性进行证明，Lyapunov函数为：

其中，s为公式(6)中定义的全局滑模面。

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