CN107577144A - 一种基于增强型指数趋近律的飞行器有限时间自适应姿态控制方法 - Google Patents

Abstract

一种基于增强型指数趋近律的飞行器有限时间自适应姿态控制方法，针对具有集中不确定性的飞行器姿态稳定问题，利用基于增强型指数趋近律的滑模控制方法，再结合自适应控制，设计一种基于增强型指数趋近律的飞行器有限时间自适应姿态控制方法。终端滑模面的设计是为了保证系统的有限时间收敛，并且通过增强型指数趋近律在实际的控制系统中减少抖振问题。另外，自适应控制是用来根据环境变化智能调节自身特性的反馈控制系统以使系统能按照一些设定的标准工作在最优状态。本发明提供一种能够减少滑模面和控制力矩的抖振问题，并且在系统存在不确定性和干扰的情况下，实现系统的有限时间一致最终有界的控制方法。

Description

一种基于增强型指数趋近律的飞行器有限时间自适应姿态控 制方法

技术领域

本发明涉及一种基于增强型指数趋近律的飞行器有限时间自适应姿态控制方法，特别是存在外界干扰和转动惯性矩阵不确定性的飞行器姿态控制方法。

背景技术

飞行控制系统是无人机的核心，无人机要完成自主飞行，需要控制系统对内回路(姿态回路)和外回路(水平位置和高度回路)都具有良好的控制特性。无人机的飞行控制律设计决定了它的飞行性能。这些性能包括各种飞行性能，例如：起飞着陆性能、作业飞行性能、飞行安全可靠性、飞行可监控性、系统的自动化性、可维护性等。而无人机飞行控制系统的性能要求越来越复杂，经典控制方法难以处理、协调系统的多变量输入输出特性。随着现代控制理论的发展，滑模变结构控制作为一种典型的非线性控制方法能够有效改善飞行器的稳定性和操纵性，从而提高执行任务的能力。因此，研究无人机姿态系统的滑模变结构控制方法具有十分重要的意义。

滑模控制在解决系统不确定性和外部扰动方面被认为是一个有效的鲁棒控制方法。滑模控制方法具有算法简单、响应速度快、对外界噪声干扰和参数摄动鲁棒性强等优点。因此，滑模控制方法被广泛应用于各个领域。对比传统线性滑模控制,终端滑模控制的优越性在于他的有限时间收敛。然而，终端滑模控制在本质上的不连续开关特性将会引起系统的抖振，成为了终端滑模控制在实际系统中应用的障碍。为了解决这一问题，许多改进的方法相继被提出，例如高阶滑模控制方法，观测器控制方法。最近，一种增强型指数趋近律被提出，这种方法在系统的响应中很好的减少了抖振问题并且使系统输入信号更加平滑。

然而，在上述提出的大部分方法中，飞行器姿态系统的运动学和动力学模型参数都必须提前已知。因此，当系统存在不确定因素时，上述提出的方法不能直接应用于对飞行器的姿态控制。众所周知，由于自适应控制能根据环境变化智能调节自身特性的反馈控制系统以使系统能按照一些设定的标准工作在最优状态，因此它已被广泛应用于具有不确定性系统控制问题。基于上述原因，许多自适应控制方法被用来控制空间飞行器系统。

发明内容

为了克服现有的飞行器姿态控制系统存在的未知非线性问题以及滑模控制抖振问题的不足，本发明提供一种基于增强型指数趋近律的飞行器有限时间自适应姿态控制方法，并且在系统存在不确定性和干扰的情况下，实现系统的有限时间一致最终有界的控制方法。

为了解决上述技术问题提出的技术方案如下：

一种基于增强型指数趋近律的飞行器有限时间自适应姿态控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立飞行器姿态控制系统的运动学和动力学模型，初始化系统状态以及控制参数，过程如下：

1.1飞行器姿态控制系统的动力学模型表达形式为：

其中，分别是飞行器的角速度和角加速度；×是运算符号，将运算符号×应用于a＝[a₁,a₂,a₃]^T可得a^×＝[0,-a₃,a₂；a₃,0,-a₁；-a₂,a₁,0]；J∈R^3×3是飞行器的转动惯性矩阵；u∈R³和d(t)∈R³是控制力矩和外部扰动；

1.2飞行器姿态控制系统的运动学模型表达形式为：

其中，单位四元数描述飞行器的姿态且满足 分别是q₀和q_v的导数；I∈R^3×3是3×3单位矩阵；

1.3假设转动惯性矩阵J＝J₀+ΔJ，其中J₀和ΔJ分别表示J的标称部分和不确定部分，则式(1)重新写成：

1.4为了更加方便地描述飞行器的姿态动力学控制器设计，令代入式(2),得到：

其中，

对式(5)进行微分，得到：

其中，分别为P和q_v的一阶导数和二阶微分；

将式(5)、式(6)代入式(4)后，在等式两边同时左乘P^T得到：

其中，J^*＝P^TJ₀P且由于转动惯性矩阵J^*是斜对称正定矩阵，则矩阵满足以下斜对称关系：

同时J^*满足以下不等式：

其中，J_min和J_max是正常数，表示J^*的下界和上界； 是干扰和不确定性的集合，满足||T_d||≤γ₀Φ，Φ＝1+||ω||+||ω||²且γ₀是正常数；

步骤2，在存在转动惯量不确定和外部扰动的情况下，基于飞行器的姿态控制系统，设计所需的滑模面，过程如下：

2.1选择滑模面s∈R³为：

其中，α和β为正常数；r₁和r₂是正奇数且0<r₁<r₂；函数sig(q_v)^r定义为sig(q_v)^r＝[|q_v1|^rsign(q_v1),|q_v2|^rsign(q_v2),|q_v3|^rsign(q_v3)]^T；

对式(10)求导，得到：

其中，为s的一阶导数；|q_v|为q_v的绝对值；diag(|q_v|^r-1)＝diag([|q_v1|^r-1,|q_v2|^r-1,|q_v3|^r-1])∈R^3×3；

如果q_vj＝0，j＝1,2,3且其中q_vj，j＝1,2,3为q_v向量中的第j个元素；由于负分数幂r-1的存在会产生奇异性，为避免奇异性的产生，s的一阶导数改变为：

其中，q_vr∈R³定义为：

其中，∈是很小的常数；|∈|是∈的绝对值；是q_vj的一阶导数；

然后，由式(7)，式(10)和式(12)得到：

其中，

步骤3，设计增强型指数趋近律，过程如下：

3.1定义增强型指数趋近律为：

其中，Λ＞0；0＜θ＜1；K＞0；0＜μ＜1；sign(s)为s符号函数；s_j，j＝1,2,3为s向量中的第j个元素；|s_j|为s_j，j＝1,2,3的绝对值；||s||为s的范数；

步骤4，设计有限时间自适应滑模控制器，过程如下：

4.1考虑有限时间自适应滑模控制器被设计为：

其中，||P||为P的范数；||F‖为F的范数；||Ps‖为Ps的范数；||s||为s的范数；为γ₀的估计；

4.2设计自适应参数的更新律：

其中，c₀和ε₀是正常数；为的一阶导数；

4.3设计李雅普诺夫函数：

其中，s^T是s的转置；

对式(21)进行求导，令且根据式(8)得：

如果将式(22)写成的形式，则判定系统是有限时间一致最终有界；其中，

因此，滑模面s的收敛域Δs表示为：

姿态四元数q_vj的有限时间收敛域为：

角速度ω_j的有限时间收敛域为：

其中，ω_j，j＝1,2,3为ω向量的第j个元素；

基于以上分析，滑模面s、飞行器的姿态四元数q_vj和角速度ω_j是局部有限时间一致最终有界。

本发明在转动惯性矩阵不确定性和外界干扰的因素，基于增强型指数趋近律的飞行器有限时间自适应姿态控制方法，实现系统稳定控制，减少滑模控制的抖振，保证系统实现有限时间一致最终有界。

本发明的技术构思为：针对含有转动惯性矩阵不确定性和外界干扰的飞行器控制系统，基于增强型指数趋近律的滑模控制方法，再结合自适应控制，设计一种基于增强型指数趋近律的飞行器有限时间自适应姿态控制方法。基于增强型指数趋近律的滑模面设计是为了保证系统能在有限时间稳定收敛于原点的邻域，并且通过增强型指数趋近律来减少抖振。另外，自适应控制能根据环境变化智能调节自身特性的反馈控制系统以使系统能按照一些设定的标准工作在最优状态。本发明提供一种能够减少滑模面的抖振问题，并且在系统存在不确定性和干扰的情况下，实现系统的有限时间一致最终有界。

本发明的优点为：减少抖振，在系统存在不确定性和干扰的情况下，实现系统的有限时间一致最终有界。

附图说明

图1为本发明基于不同趋近律的滑模面示意图，其中，(a)表示方法一，(b)表示方法二，(c)表示方法三。

图2为本发明基于不同趋近律的控制力矩示意图，其中，(a)表示方法一，(b)表示方法二，(c)表示方法三。

图3为本发明基于不同趋近律的飞行器姿态四元数示意图，其中，(a)表示方法一，(b)表示方法二，(c)表示方法三。

图4为本发明基于不同趋近律的角速度示意图，其中，(a)表示方法一，(b)表示方法二，(c)表示方法三。

图5为本发明基于不同趋近律的参数估计示意图，其中，(a)表示方法一，(b)表示方法二，(c)表示方法三。

图6为本发明的控制流程示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步说明。

参照图1-图6，一种基于增强型指数趋近律的飞行器有限时间自适应姿态控制方法：

步骤1，建立飞行器姿态控制系统的运动学和动力学模型，初始化系统状态以及控制参数，过程如下：

1.1飞行器姿态控制系统的动力学模型表达形式为：

其中，分别是飞行器的角速度和角加速度；×是运算符号，将运算符号^×应用于a＝[a₁,a₂,a₃]^T可得a^×＝[0,-a₃,a₂；a₃,0,-a₁；-a₂,a₁,0]；J∈R^3×3是飞行器的转动惯性矩阵；u∈R³和d(t)∈R³是控制力矩和外部扰动；

1.2飞行器姿态控制系统的运动学模型表达形式为：

其中，单位四元数描述飞行器的姿态且满足 分别是q₀和q_v的导数；I∈R^3×3是3×3单位矩阵；

1.3假设转动惯性矩阵J＝J₀+ΔJ，其中J₀和ΔJ分别表示J的标称部分和不确定部分，则式(1)重新写成：

1.4为了更加方便地描述飞行器的姿态动力学控制器设计，令代入式(2),得到：

其中，

对式(5)进行微分，得到：

其中，分别为P和q_v的一阶导数和二阶微分；

将式(5)、式(6)代入式(4)后，在等式两边同时左乘P^T得到：

其中，J^*＝P^TJ₀P且由于转动惯性矩阵J^*是斜对称正定矩阵，则矩阵满足以下斜对称关系：

同时J^*满足以下不等式：

其中，J_min和J_max是正常数，表示J^*的下界和上界； 是干扰和不确定性的集合，满足||T_d||≤γ₀Φ，Φ＝1+||ω||+||ω||²且γ₀是正常数；

步骤2，在存在转动惯量不确定和外部扰动的情况下，基于飞行器的姿态控制系统，设计所需的滑模面，过程如下：

2.1选择滑模面s∈R³为：

其中，α和β为正常数；r₁和r₂是正奇数且0<r₁<r₂；函数sig(q_v)^r定义为sig(q_v)^r＝[|q_v1|^rsign(q_v1),|q_v2|^rsign(q_v2),|q_v3|^rsign(q_v3)]^T；

对式(10)求导，得到：

其中，为s的一阶导数；|q_v|为q_v的绝对值；diag(|q_v|^r-1)＝diag([|q_v1|^r-1,|q_v2|^r-1,|q_v3|^r-1])∈R^3×3；

如果q_vj＝0，j＝1,2,3且其中q_vj，j＝1,2,3为q_v向量中的第j个元素；由于负分数幂r-1的存在会产生奇异性，为避免奇异性的产生，s的一阶导数改变为：

其中，q_vr∈R³定义为：

其中，∈是很小的常数；|∈|是∈的绝对值；是q_vj的一阶导数；

然后，由式(7)，式(10)和式(12)得到：

其中，

步骤3，设计增强型指数趋近律，过程如下：

3.1定义增强型指数趋近律为：

其中，Λ＞0；0＜θ＜1；K＞0；0＜μ＜1；sign(s)为s符号函数；s_j，j＝1,2,3为s向量中的第j个元素；|s_j|为s_j，j＝1,2,3的绝对值；||s||为s的范数；

步骤4，设计有限时间自适应滑模控制器，过程如下：

4.1考虑有限时间自适应滑模控制器被设计为：

其中，||P||为P的范数；||F||为F的范数；||Ps||为Ps的范数；||s||为s的范数；为γ₀的估计；

4.2设计自适应参数的更新律：

其中，c₀和ε₀是正常数；为的一阶导数；

4.3设计李雅普诺夫函数：

其中，s^T是s的转置；

对式(21)进行求导，令且根据式(8)得：

如果将式(22)写成的形式，则判定系统是有限时间一致最终有界；其中，

因此，滑模面s的收敛域Δs表示为：

姿态四元数q_vj的有限时间收敛域为：

角速度ω_j的有限时间收敛域为：

其中，ω_j，j＝1,2,3为ω向量的第j个元素；

基于以上分析，滑模面s、飞行器的姿态四元数q_vj和角速度ω_j是局部有限时间一致最终有界。

为验证所提方法的有效性，本发明给出了三种不同的方法进行仿真对比,如下：

方法一：基于增强型指数趋近律的有限时间自适应姿态控制方法，其趋近律表达式即式(15)和式(16)；

方法二：基于指数趋近律的有限时间自适应姿态控制方法，其趋近律表达式为：

方法三：基于传统趋近律的有限时间自适应姿态控制方法，其趋近律表达式为：

为了更有效的进行对比，系统所有参数都是一致的，即式(14)和式(15)的参数与式(26)和式(27)是相同的，其中Λ＝10,K＝0.5，μ＝0.01，θ＝0.1，并且给定系统外界扰动为：d(t)＝0.005×[sin(0.8t),cos(0.5t),cos(0.3t)]^TN·m；滑模面参数为：α＝0.1，β＝0.1，r₁＝3，r₂＝5；自适应更新律的参数为：ε₀＝0.01，飞行器姿态系统实际参数为：J₀＝diag([140,120,130])kg·m²，ΔJ＝diag[sin(0.1t),2sin(0.2t),3sin(0.3t)]kg·m²，ω(0)＝[0,0,0]^Trad/s，q_v(0)＝[0.3,-0.3,0.2]^T，q₀(0)＝0.8832；式(24)中的参数为：J_max＝560，δ₀＝1；为了避免式(18)和式(19)的不连续项和造成的抖振问题，在仿真中应用连续项和替换，其中ξ是正常数，ξ＝0.0002。

图1和图2分别基于不同的趋近律下滑模面和控制力矩响应示意图。如果||s||越大，D(s)趋向于0.01时，式(15)和式(26)中的为50，比式(27)的K＝0.5大；相反，当||s||越少，趋向于0.5。这种现象使得控制器增益将在50到0.5的范围内变动。如图1和图2所示，基于方法一的滑模面收敛时间约为0.75秒，方法二的滑模面收敛时间约为1.2秒，而基于方法三的滑模面收敛时间约为4.2秒。显然，方法一优于方法二和方法三，能使飞行器姿态系统具有更高的稳定性能和更短的收敛时间。另外，由于式(15)中的|s_j|^θ的存在，使得方法一与方法二、三相比能有效减少抖振问题。

基于不同趋近律的飞行器姿态四元数和角速度响应示意图分别如图3和图4所示。结果表明，三种方法均可实现有限时间一致最终有界。基于方法一的飞行器姿态四元数的收敛时间约为11秒，基于方法二的飞行器姿态四元数的收敛时间约为10秒，基于方法二的飞行器姿态四元数的收敛时间约为13秒。此外，基于方法一的角速度收敛时间约为12秒，方法二的角速度收敛时间约为11.5秒，方法三的角速度收敛时间约为14秒。通过以上的分析，基于方法一和方法二的姿态四元数和角速度的收敛速度比基于方法三姿态四元数和角速度的收敛速度更快。基于不同趋近律的参数估计响应示意图如图5所示。参照图1-图5，本发明所提出的方法一实现比其他两种方法更好的控制性能。

综上所述，对比方法二和方法三，方法一能实现良好的控制性能，并且在滑模面以及控制力矩上拥有更好的减少抖振的能力。

以上阐述的是本发明给出的一个实施例表现出的优良优化效果，显然本发明不只是限于上述实施例，在不偏离本发明基本精神及不超出本发明实质内容所涉及范围的前提下对其可作种种变形加以实施。

Claims (1)

1.一种基于改进增强型指数趋近律的飞行器有限时间自适应姿态控制方法，其特征在于：所述控制方法包括以下步骤：

步骤1，建立飞行器姿态控制系统的运动学和动力学模型，初始化系统状态以及控制参数，过程如下：

1.1飞行器姿态控制系统的动力学模型表达形式为：

<mrow> <mi>J</mi> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;times;</mo> </msup> <mi>J</mi> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>+</mo> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，分别是飞行器的角速度和角加速度；×是运算符号，将运算符号×应用于a＝[a₁,a₂,a₃]^T可得a^×＝[0,-a₃,a₂；a₃,0,-a₁；-a₂,a₁,0]；J∈R^3×3是飞行器的转动惯性矩阵；u∈R³和d(t)∈R³是控制输入和外部扰动；

1.2飞行器姿态控制系统的运动学模型表达形式为：

<mrow> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>v</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>q</mi> <mi>v</mi> <mo>&amp;times;</mo> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mi>I</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

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其中，单位四元数描述飞行器的姿态且满足 分别是q₀和q_v的导数；I∈R^3×3是3×3单位矩阵；

1.3假设转动惯性矩阵J＝J₀+ΔJ，其中J₀和ΔJ分别表示J的标称部分和不确定部分，则式(1)重新写成：

<mrow> <msub> <mi>J</mi> <mn>0</mn> </msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;times;</mo> </msup> <msub> <mi>J</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>+</mo> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>J</mi> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;times;</mo> </msup> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>J</mi> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

1.4为了更加方便地描述飞行器的姿态动力学控制器设计，令代入式(2),得到：

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其中，

对式(5)进行微分，得到：

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其中，分别为P和q_v的一阶导数和二阶微分；

将式(5)、式(6)代入式(4)后，在等式两边同时左乘P^T得到：

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其中，J^*＝P^TJ₀P且由于转动惯性矩阵J*是斜对称正定矩阵，则矩阵满足以下斜对称关系：

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同时J*满足以下不等式：

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其中，J_min和J_max是正常数，表示J*的下界和上界； 是干扰和不确定性的集合，满足||T_d||≤γ₀Φ，Φ＝1+||ω||+||ω||²且γ₀是正常数；

步骤2，在存在转动惯量不确定和外部扰动的情况下，基于飞行器的姿态控制系统，设计所需的滑模面，过程如下：

2.1选择滑模面s∈R³为：

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其中，α和β为正常数；r₁和r₂是正奇数且0<r₁<r₂；函数sig(q_v)^r定义为sig(q_v)^r＝[|q_v1|^rsign(q_v1),|q_v2|^rsign(q_v2),|q_v3|^rsign(q_v3)]^T；

对式(10)求导，得到：

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其中，为s的一阶导数；|q_v|为q_v的绝对值；diag(|q_v|^r-1)＝diag([|q_v1|^r-1,|q_v2|^r-1,|q_v3|^r-1])∈R^3×3；

如果q_vj＝0，j＝1,2,3且其中q_vj，j＝1,2,3为q_v向量中的第j个元素；由于负分数幂r-1的存在会产生奇异性，为避免奇异性的产生，s的一阶导数改变为：

<mrow> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>v</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>v</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;q</mi> <mrow> <mi>v</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，q_vr∈R³定义为：

<mrow> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>v</mi> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>r</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>v</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msup> <mo>|</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>v</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mi>f</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>v</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mi>d</mi> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>v</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>r</mi> <mo>|</mo> <mo>&amp;Element;</mo> <msup> <mo>|</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>v</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mi>f</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>v</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <mo>&lt;</mo> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mi>d</mi> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>v</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>v</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，∈是很小的常数；|∈|是∈的绝对值；是q_vj的一阶导数；

然后，由式(7)，式(10)和式(12)得到：

<mrow> <msup> <mi>J</mi> <mo>*</mo> </msup> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;Xi;</mi> <mi>s</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>P</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mi>F</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，

步骤3，设计增强型指数趋近律，过程如下：

3.1定义增强型指数趋近律为：

<mrow> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>S</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;Lambda;</mi> <mi>s</mi> <mo>-</mo> <mi>K</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>s</mi> <mi>j</mi> </msub> <msup> <mo>|</mo> <mi>&amp;theta;</mi> </msup> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，Λ＞0；0＜θ＜1；K＞0；0＜μ＜1；sign(s)为s符号函数；s_j，j＝1,2,3为s向量中的第j个元素；|s_j|为s_j，j＝1,2,3的绝对值；||s||为s的范数；

步骤4，设计有限时间自适应滑模控制器，过程如下：

4.1考虑有限时间自适应滑模控制器被设计为：

<mrow> <mi>u</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>P</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mi>o</mi> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>&amp;Lambda;</mi> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>P</mi> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>K</mi> <mrow> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>P</mi> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>|</mo> <msub> <mi>s</mi> <mi>j</mi> </msub> <msup> <mo>|</mo> <mi>&amp;theta;</mi> </msup> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>P</mi> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mi>o</mi> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>F</mi> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mo>)</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>s</mi> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>P</mi> <mi>s</mi> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>s</mi> <mrow> <mn>4</mn> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>s</mi> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>c</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> <msub> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，||P||为P的范数；||F||为F的范数；||Ps||为Ps的范数；||s||为s的范数；为γ₀的估计；

4.2设计自适应参数的更新律：

<mrow> <msub> <mover> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;Phi;</mi> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>s</mi> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，c₀和ε₀是正常数；为的一阶导数；

4.3设计李雅普诺夫函数：

<mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mi>s</mi> <mi>T</mi> </msup> <msup> <mi>J</mi> <mo>*</mo> </msup> <mi>s</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>c</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>0</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，s^T是s的转置；

对式(21)进行求导，令且根据式(8)得：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mi>s</mi> <mi>T</mi> </msup> <msup> <mover> <mi>J</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>*</mo> </msup> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msup> <mi>s</mi> <mi>T</mi> </msup> <msup> <mi>J</mi> <mo>*</mo> </msup> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>c</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> <msub> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mover> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mi>s</mi> <mi>T</mi> </msup> <msup> <mover> <mi>J</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>*</mo> </msup> <mi>s</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>s</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;Xi;</mi> <mi>s</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>P</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mi>F</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>c</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> <msub> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mover> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>&amp;Lambda;</mi> <mrow> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>K</mi> <mrow> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <mo>|</mo> <mi>s</mi> <msup> <mo>|</mo> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>s</mi> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>s</mi> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>&amp;Lambda;</mi> <mrow> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>K</mi> <mrow> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <mo>|</mo> <mi>s</mi> <msup> <mo>|</mo> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>s</mi> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

如果将式(22)写成的形式，则判定系统是有限时间一致最终有界；其中，

因此，滑模面s的收敛域Δs表示为：

<mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>s</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>|</mo> <mo>&amp;le;</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>s</mi> <mo>:</mo> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msqrt> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mi>&amp;Lambda;</mi> </mfrac> </msqrt> <mo>,</mo> <msqrt> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mi>K</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> </msqrt> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

姿态四元数q_vj的有限时间收敛域为：

<mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>v</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <mo>&amp;le;</mo> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mo>{</mo> <mfrac> <mrow> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>s</mi> </mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> </mfrac> <mo>,</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>s</mi> </mrow> <mi>&amp;beta;</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>r</mi> </mfrac> </msup> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>24</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

角速度ω_j的有限时间收敛域为：

<mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>|</mo> <mo>&amp;le;</mo> <mn>6</mn> <msqrt> <mn>3</mn> </msqrt> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>s</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>25</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，ω_j，j＝1,2,3为ω向量的第j个元素；

基于以上分析，滑模面s、飞行器的姿态四元数q_vj和角速度ω_j是局部有限时间一致最终有界。