CN108983608A - 丢包及转移概率部分未知的变采样ncs控制器设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种丢包及转移概率部分未知的变采样NCS控制器设计方法，包括：将时变采样周期分成为定常采样周期和网络诱导时延的和，建立了系统离散模型，将采样周期的不确定性转换成系统参数的不确定性；将存在数据包丢失的网络控制系统被建模成具有4个子系统的Markov跳变系统，并具有部分未知的跳变概率，数据包丢失情况采用Bernoulli序列描述；利用Lyapunov稳定性定理及随机理论的分析方法得到该系统随机稳定的充分条件，并求解线性矩阵不等式，以获得状态反馈控制器。本发明考虑了网络控制系统采样周期不稳定和丢包以及转移概率未知的情况，具有设计思路清晰、稳定性高、造作简单特点，可应用于工程实践当中。

Description

丢包及转移概率部分未知的变采样NCS控制器设计方法

技术领域

本发明涉及一种丢包及转移概率部分未知的变采样NCS控制器设计方法，属于网络控制器的技术领域。

背景技术

网络控制系统(NCS)是指执行器，传感器与控制器之间有网络连接，拥有完整的通信网络、远程式的控制系统的闭环控制系统。与传统的点对点直接控制系统相比，网络控制系统易于安装和维护，有效地提高系统的可靠性，减少系统体积、能耗和布线，因而被广泛应用于设备制造、工业生产、交通通讯、航空航天等控制领域，但同时NCS中也存在网络传输时延、数据包丢失等问题。如何合理地设计网络控制系统，克服时延、数据包丢失所带来的问题，从而确保整个系统的稳定性,这是网络控制系统的重要研究内容之一。

在网络控制系统中，网络作为信息传输的载体，承担着工业控制现场大量的数据和信息的传输，由于网络中信息流的变化是时变不确定的，系统进行动态资源分配时的采样周期通常也是时变不确定的，此时网络控制系统为一个变采样周期系统。另外计算机负载的变化、网络的影响、器件故障以及外部干扰等因素，都会导致系统采样周期发生变化，从而影响系统的稳定性与整体性。

在实际的通信网络中，网络时延和丢包是随机的，Markov链转移概率矩阵中的元素很难全部精确得到，或者需要付出很高的成本,一般情况下只能得到其估计值或部分概率。因此在网络控制系统中，基于Markov链转移概率矩阵中的元素部分未知甚至完全未知时的条件进行系统分析和设计则更具有实际意义。

发明内容

本发明所要解决的技术问题在于克服上述现有技术的不足，提供了一种丢包及转移概率部分未知的变采样NCS控制器设计方法，解决系统具有变采样周期、常时延、丢包及转移概率未知同时存在的问题，设计出具有设计思路清晰、稳定性高的状态反馈控制器。

本发明采用的技术方案如下：

丢包及转移概率部分未知的变采样NCS控制器设计方法，包括以下步骤：

1)构造控制系统的含不确定性的离散化模型；

2)设计状态反馈控制器；

3)构建具有数据包丢失的闭环网络控制系统的数学模型；

4)将所述步骤3)的数学模型建模成Markov跳变模型；

5)确定Markov跳变模型随机稳定的充分条件，并求解，获得状态反馈控制器。

前述的步骤1)中，控制系统的含不确定性的离散化模型构建如下：

11)被控对象采用如下形式描述：

其中，x(t)∈Rⁿ表示被控对象的状态，u(t)∈R^r表示控制输入，y(t)∈R^m表示控制输出，A,B,C是具有相应维数的常矩阵，t表示时间；

12)将时变采样周期分成为定常采样周期和网络诱导时延的和，即：

h_k＝h+τ_k，

其中，h_k为时变采样周期，h为在无时延情形下系统的定常采样周期，τ_k为时延；

13)按照时变采样周期h_k对被控对象进行离散化，得到被控对象的离散状态方程为：

x(k+1)＝Φx(k)+Γ₀(τ_k)u(k)+Γ₁(τ_k)u(k-1) (3)

其中，x(k)表示被控对象的离散状态，u(k)表示离散形式的控制输入，k为离散点，

14)将时变采样周期的不确定性转换成系统矩阵的参数不确定性，即：

Γ₀(τ_k)＝B₀+DF(τ_k)E₀ (4)

Γ₁(τ_k)＝B₁+DF(τ_k)E₁ (5)

其中，B₀，B₁，D，E₀，E₁均为常矩阵，F(τ_k)满足F(τ_k)^TF(τ_k)≤I，令F(τ_k)＝F，

Γ₀(τ_k)＝Γ₀，Γ₁(τ_k)＝Γ₁，

则含不确定性的离散状态方程为：

x(k+1)＝Φx(k)+(B₀+DFE₀)u(k)+(B₁+DFE₁)u(k-1) (6)。

前述的时延τ_k是时变有界的，即：

τ_k∈[τ_min，τ_max]，

且只考虑短时延的情形即τ_k＜h，

其中，τ_min，τ_max分别表示时延的最小值和最大值。

前述的步骤2)中，状态反馈控制器设计如下：

其中，是状态反馈控制器端接受到的信号，表达式为：

是状态反馈控制器输出；

执行器端接收到的信号u(k)为：

α(k)和β(k)是满足Bernoulli随机序列，其值取1或0，概率分别为：

Prob{α(k)＝1}＝E{α(k)}＝α

Prob{α(k)＝0}＝1-E{α(k)}＝1-α

Prob{β(k)＝1}＝E{β(k)}＝β

Prob{β(k)＝0}＝1-E{β(k)}＝1-β

当α(k)＝1或β(k)＝1时，数据包传输成功，即不发生丢包；当α(k)＝0或β(k)＝0时，数据包丢失，α和β都是介于0和1之间的已知实数，

K∈R^m×n是状态反馈控制器增益。

前述的步骤3)中，构建具有数据包丢失的闭环网络控制系统的数学模型如下：

其中，增广矩阵向量ξ(k)＝[x^T(k)u^T(k-1)]^T，

前述的根据α(k),β(k)的取值，所述存在四种情况，如下：

转换成如下形式：

前述的步骤4)中，Markov跳变模型为：

其中，是离散时间齐次马尔科夫链，并在有限时间集l＝{1,2,3,4}中取值，θ(k)＝1，θ(k)＝2，θ(k)＝3及θ(k)＝4分别对应Markov跳变模型的四个子系统；

θ(k)具有转移概率：

π_ij＝Ρ{θ(k+1)＝j|θ(k)＝i} (11)

其中，π_ij≥0，且

状态转移概率矩阵定义如下：

将l表示成已知及未知之和的形式，即：其中

而且，如果其进一步表示为：

其中，表示状态转移概率矩阵π的第i行中的第m个已知的元素，且有

前述的步骤6)中，Markov跳变模型随机稳定的充分条件为：

对于Markov跳变模型式(10)，其数据丢包过程转移概率矩阵为π，如果存在常数矩阵i∈l,标量0＜λ＜1、ε>0,满足以下矩阵不等式,则系统是随机均方稳定的，

其中，*号表示矩阵的对称量，I为单位矩阵，下标解释如下：

前述的采用MATLAB中的LMI工具箱来求解式(16)，即得到状态反馈控制器增益K。

本发明的有益效果为：

本发明考虑了网络控制系统采样周期不稳定和丢包以及转移概率未知的情况，设计状态反馈控制器，可在各种复杂的网络控制系统中实现，考虑更为全面，具有设计思路清晰、稳定性高、造作简单特点，可应用于工程实践当中。

附图说明

图1为本发明具有丢包及转移概率未知的变采样网络控制系统控制器设计方法的原理图。

具体实施方式

下面对本发明作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。

本发明的具有丢包及转移概率部分未知的变采样网络控制系统控制器设计方法，该方法基于的系统如图1所示，包含传感器、控制器、执行器以及传输网络，以此构成一个闭环的控制系统，其中，传感器用以收集被控对象的状态信息，通过传输网络传输给控制器，控制器通过一定的算法策略，根据接收到的状态信息输出控制参数给执行器执行，这是一个可进行远程实时控制的系统，网络在其中作为传输介质。本发明针对网络的部分不稳定性，进行了控制器算法的改进，提出的具有丢包及转移概率部分未知的变采样网络控制系统控制器设计方法具体如下：

1)被控对象是一个线性时不变系统，可以用如下形式描述：

式中：x(t)∈Rⁿ，u(t)∈R^r，y(t)∈R^m分别表示被控对象的状态，控制输入和控制输出，A,B,C是具有相应维数的常矩阵，t表示时间。

2)对控制系统做如下合理假设：

时延τ_k是时变有界的即：

τ_k∈[τ_min，τ_max]，且只考虑短时延的情形即τ_k＜h，

其中，τ_min，τ_max分别表示时延的最小值和最大值；

时变采样周期：

h_k＝h+τ_k，

其中，h表示在无时延情形下系统的定常采样周期，由于τ_k是时变有界的，则网络化控制系统的采样周期也是时变有界的，即：

h_k∈[h+τ_min，h+τ_max]；

系统中传感器为时间驱动，其采样时刻为t_k，其采样周期：

h_k＝t_k+1-t_k，

控制器和执行器采用事件驱动方式。

3)由于执行器端有零阶保持器，控制输入u(t)在一个周期内是分段连续的,可以描述为:

4)按照采样周期h_k对被控对象在s平面进行离散化，得到被控对象的离散状态方程为：

x(k+1)＝Φx(k)+Γ₀(τ_k)u(k)+Γ₁(τ_k)u(k-1) (3)

式中：x(k)表示被控对象的离散状态，u(k)表示离散形式的控制输入，

5)将短随机时延随机特性转换成系统矩阵的参数不确定性，即：

Γ₀(τ_k)＝B₀+DF(τ_k)E₀ (4)

Γ₁(τ_k)＝B₁+DF(τ_k)E₁ (5)

其中，B₀，B₁，D，E₀，E₁均为常矩阵，F(τ_k)满足F(τ_k)^TF(τ_k)≤I。为书写方便，这里令F(τ_k)＝F，Γ₀(τ_k)＝Γ₀,Γ₁(τ_k)＝Γ₁。

则含不确定性的离散化模型表示为：

x(k+1)＝Φx(k)+(B₀+DFE₀)u(k)+(B₁+DFE₁)u(k-1) (6)

6)针对上述建立起来NCS，设计具有如下形式的状态反馈控制器：

其中，是状态反馈控制器端接受到的状态响应；K∈R^m×n是控制器增益，是状态反馈控制器输出。参见图1，控制对象的状态是x(k)，x(k)传输到控制器需要经过网络，经过网络就包含了丢包的可能性，所以经过网络之后控制器端接受到的状态响应为

7)被控对象的输出可通过传感器获得，并通过网络传输到控制器端，控制器接收到测量数据的信号之后，经过一系列操作，转变为控制信号再通过网络传输到执行器端，可以得到控制器接收到的信号和执行器端接收到的信号u(k)分别为：

参见图1，经过网络之后控制器端接受到的状态响应为为控制器的输出，由于控制器与执行器之间也有网络的存在，所以控制器的输出有丢失的可能性，当数据包不丢失，即β＝1时，当数据包丢失，即β＝0时，u(k)＝0。

α(k)和β(k)满足Bernoulli随机序列，其值可取1或0，概率分别为：

Prob{α(k)＝1}＝E{α(k)}＝α

Prob{α(k)＝0}＝1-E{α(k)}＝1-α

Prob{β(k)＝1}＝E{β(k)}＝β

Prob{β(k)＝0}＝1-E{β(k)}＝1-β

当α(k)＝1或β(k)＝1时，数据包传输成功，即不发生丢包；当α(k)＝0或β(k)＝0时，数据包丢失。α和β都是介于0和1之间的已知实数。

8)令增广矩阵向量ξ(k)＝[x^T(k)u^T(k-1)]^T，可得具有数据包丢失的闭环网络控制系统的数学模型：

其中，i∈{1,2,3,4}，α,β∈{0,1}。

9)传感器与控制器之间、控制器与执行器之间具有数据包丢失的闭环网络控制系统，根据α(k),β(k)的取值的四种可能情况构成如下的4个子系统：

为了得到状态反馈控制器增益K的显示表达式，可以表示为：

各子系统表达如下：

10)从上面的分析结果可以看出，随着网络条件的变化，闭环系统在上面的4个子系统之间跳变。在实际的通信系统中,系统当前时刻的丢包通常和前一时刻的数据包是否丢失有关。因此将传感器与控制器之间、控制器与执行器之间是否存在数据包丢失情况的网络控制系统建模成具有4个子系统的马尔科夫跳变系统：

其中，是离散时间齐次马尔科夫链，并在有限时间集l＝{1,2,3,4}中取值。Markov链的状态θ(k)＝1，θ(k)＝2，θ(k)＝3及θ(k)＝4分别对应马尔科夫跳变系统式(10)的四个子系统。Markov链θ(k)具有转移概率：

π_ij＝Ρ{θ(k+1)＝j|θ(k)＝i} (11)

其含义为：系统在k时刻处于状态i的条件下，在时刻k+1系统处于状态j的概率。

其中，π_ij≥0，且同样的状态转移概率矩阵定义如下：

11)考虑跳变系统的状态转移概率矩阵π中元素只有部分可以得到的情况，即π中的许多元素是未知的情况。例如，对具有4个子系统的马尔科夫跳变系统式(11)，状态转移概率矩阵π或许是如下情况：

其中“？”表示状态转移概率矩阵中的未知元素，对将Markov链θ(k)的有限状态集合l表示成已知部分及未知部分之和的形式，即其中

而且，如果其进一步表示为：

其中，表示状态转移概率矩阵π的第i行中的第m个已知的元素，且有

12)给出如下定义：针对离散时间跳变闭环系统模型式(10)，对于所有的有限初始状态ξ₀和系统Markov链的初始模态θ₀，如果存在一个有限的常数满足以下不等式：

则系统是随机均方稳定的。

13)给出如下定理：对于离散时间跳变闭环系统模型式(10)，其数据丢包过程状态转移概率矩阵为π，如果存在常数矩阵i∈l，标量0＜λ＜1，满足以下不等式：

其中，则系统是随机均方稳定的。

14)对上面定理进行证明：对离散时间跳变闭环控制系统模型式(10)中的各子系统，选取系统Lyapunov函数V_k(θ(k))：

V_k(θ(k))＝ξ^T(k)P_θ(k)ξ(k)，

由于0≤π_ij≤1，有：

根据式(14)和(15)，有由于

ξ(k)＝[x^T(k)u^T(k-1)]^T，显然有||x(k)||≤||ξ(k)||。根据Ω_i＜0和P_i>0，对于x(k)≠0，有：

其中，λ_min，λ_max分别是矩阵的最小特征值以及最大特征值，

可得：

因此

0＜η＜1

Ε{V_k+1(θ(k+1)|ξ(k),θ(k))}＜ηλΕ{V_k(θ(k))}又由

Ε{V_k(θ(k))|ξ₀,θ₀}＜η^kλ^kV₀ξ₀

可得

其中，V₀(θ₀)是Lyapunov函数的初始值。

最后可得

令

有

根据12)给出的定义，可得具有部分未知转移概率的无扰动马尔科夫跳变系统式(10)是随机均方稳定的。

14)为了证明系统稳定性，给出以下两个引理：

Schur补引理：假如存在矩阵S₁,S₂和S₃，其中则成立，等价于或

以及以下引理：给定具有相应维数的矩阵W，D和E，其中W为对称阵，对于所有满足F^TF＜I的矩阵F，有W+DFE+E^TF^TD^T＜0,当且仅当存在ε>0，使得W+εDD^T+ε^-1E^TE＜0。

15)给出以下定理：对于离散时间跳变闭环系统模型式(10)，其数据丢包过程转移概率矩阵为π，如果存在常数矩阵i∈l,标量0＜λ＜1、ε>0,满足以下矩阵不等式,则系统是随机均方稳定的。

其中，*号表示矩阵的对称部分，I为单位矩阵，

对于和解释如下：

由13)给出的定理中可知：

则，

因为则

又由于，

j就可由这四个分量分别表示。

16)对上面定理进行证明：

运用Schur补引理，对不等式(14)进行变换，可得

进一步地，对于式(17)左右两边同时乘以diag(X_i,I)，其中X_i＝P_i ^-1，可得：

采用Schur补引理，对不等式(18)进行变换,可得：

其中，表示的逆，

进一步可得：

由于F(τ_k)^TF(τ_k)≤I，根据第二个引理，可得：

根据schur补引理，由式(24)可得不等式(16)。

对于求解矩阵不等式(16)可以采用一维搜索法获取最小的λ，具体过程如下：首先选取一个满足以上不等式有可行解的尽可能大的值λ₀，采用LMI工具求解不等式(16)；然后逐渐减小λ，直到无可行解，这样上一次有可行解时对应的λ值便是其最小值。

最终，求解所述线性矩阵不等式式(16)，以求得最终的状态反馈控制器。

本发明考虑了网络控制系统中具有丢包及转移概率未知的变采样周期不稳定的情况，设计状态反馈控制器，可在各种复杂的网络控制系统中实现，考虑更为全面，且具有设计思路清晰、稳定性高、操作简单、理论基础强、花费少等特点，可应用于工程实践当中。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明技术原理的前提下，还可以做出若干改进和变形，这些改进和变形也应视为本发明的保护范围。

Claims (9)

1.丢包及转移概率部分未知的变采样NCS控制器设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)构造控制系统的含不确定性的离散化模型；

2)设计状态反馈控制器；

3)构建具有数据包丢失的闭环网络控制系统的数学模型；

4)将所述步骤3)的数学模型建模成Markov跳变模型；

5)确定Markov跳变模型随机稳定的充分条件，并求解，获得状态反馈控制器。

2.根据权利要求1所述的丢包及转移概率部分未知的变采样NCS控制器设计方法，其特征在于，所述步骤1)中，控制系统的含不确定性的离散化模型构建如下：

11)被控对象采用如下形式描述：

其中，x(t)∈Rⁿ表示被控对象的状态，u(t)∈R^r表示控制输入，y(t)∈R^m表示控制输出，A,B,C是具有相应维数的常矩阵，t表示时间；

12)将时变采样周期分成为定常采样周期和网络诱导时延的和，即：

h_k＝h+τ_k，

其中，h_k为时变采样周期，h为在无时延情形下系统的定常采样周期，τ_k为时延；

13)按照时变采样周期h_k对被控对象进行离散化，得到被控对象的离散状态方程为：

x(k+1)＝Φx(k)+Γ₀(τ_k)u(k)+Γ₁(τ_k)u(k-1) (3)

其中，x(k)表示被控对象的离散状态，u(k)表示离散形式的控制输入，k为离散点，

14)将时变采样周期的不确定性转换成系统矩阵的参数不确定性，即：

Γ₀(τ_k)＝B₀+DF(τ_k)E₀ (4)

Γ₁(τ_k)＝B₁+DF(τ_k)E₁ (5)

其中，B₀，B₁，D，E₀，E₁均为常矩阵，F(τ_k)满足F(τ_k)^TF(τ_k)≤I，令F(τ_k)＝F，Γ₀(τ_k)＝Γ₀，Γ₁(τ_k)＝Γ₁，

则含不确定性的离散状态方程为：

x(k+1)＝Φx(k)+(B₀+DFE₀)u(k)+(B₁+DFE₁)u(k-1) (6)。

3.根据权利要求2所述的丢包及转移概率部分未知的变采样NCS控制器设计方法，其特征在于，所述时延τ_k是时变有界的，即：

τ_k∈[τ_min，τ_max]，

且只考虑短时延的情形即τ_k＜h，

其中，τ_min，τ_max分别表示时延的最小值和最大值。

4.根据权利要求2所述的丢包及转移概率部分未知的变采样NCS控制器设计方法，其特征在于，所述步骤2)中，状态反馈控制器设计如下：

其中，是状态反馈控制器端接受到的信号，表达式为：

是状态反馈控制器输出；

执行器端接收到的信号u(k)为：

α(k)和β(k)是满足Bernoulli随机序列，其值取1或0，概率分别为：

Prob{α(k)＝1}＝E{α(k)}＝α

Prob{α(k)＝0}＝1-E{α(k)}＝1-α

Prob{β(k)＝1}＝E{β(k)}＝β

Prob{β(k)＝0}＝1-E{β(k)}＝1-β

当α(k)＝1或β(k)＝1时，数据包传输成功，即不发生丢包；当α(k)＝0或β(k)＝0时，数据包丢失，α和β都是介于0和1之间的已知实数，

K∈R^m×n是状态反馈控制器增益。

5.根据权利要求4所述的丢包及转移概率部分未知的变采样NCS控制器设计方法，其特征在于，所述步骤3)中，构建具有数据包丢失的闭环网络控制系统的数学模型如下：

其中，增广矩阵向量

6.根据权利要求5所述的丢包及转移概率部分未知的变采样NCS控制器设计方法，其特征在于，根据α(k),β(k)的取值，所述存在四种情况，如下：

转换成如下形式：

7.根据权利要求6所述的丢包及转移概率部分未知的变采样NCS控制器设计方法，其特征在于，所述步骤4)中，Markov跳变模型为：

其中，是离散时间齐次马尔科夫链，并在有限时间集l＝{1,2,3,4}中取值，θ(k)＝1，θ(k)＝2，θ(k)＝3及θ(k)＝4分别对应Markov跳变模型的四个子系统；

θ(k)具有转移概率：

π_ij＝Ρ{θ(k+1)＝j|θ(k)＝i} (11)

其中，π_ij≥0，且

状态转移概率矩阵定义如下：

将l表示成已知及未知之和的形式，即：其中

而且，如果其进一步表示为：

其中，表示状态转移概率矩阵π的第i行中的第m个已知的元素，且有

8.根据权利要求7所述的丢包及转移概率部分未知的变采样NCS控制器设计方法，其特征在于，所述步骤6)中，Markov跳变模型随机稳定的充分条件为：

对于Markov跳变模型式(10)，其数据丢包过程转移概率矩阵为π，如果存在常数矩阵标量0＜λ＜1、ε>0,满足以下矩阵不等式,则系统是随机均方稳定的，

其中，*号表示矩阵的对称量，I为单位矩阵，下标解释如下：

9.根据权利要求8所述的丢包及转移概率部分未知的变采样NCS控制器设计方法，其特征在于，采用MATLAB中的LMI工具箱来求解式(16)，即得到状态反馈控制器增益K。