CN102749843A - 一种自适应反馈保护动态面控制器结构及设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种自适应反馈保护动态面控制器结构及设计方法，所述的结构由n级子控制器组成，第1级子控制器的输出端α₂与第2级子控制器的输入端相连，依此类推，第i-1级子控制器的输出端α_i与第i级子控制器的输入端相连，直到第n-1级子控制器的输出端α_n与第n级子控制器的输入端相连；所述的第i级子控制器由滤波器单元、比较器单元、线性控制单元、逼近器单元、反馈保护单元和求和器单元构成。本发明由于在动态面控制的基础上增加了反馈保护单元，一方面可以显著地提高控制器的输入暂态性能，使得该设计方法更有利于实际的工程应用；另一方面克服了动态面控制设计方法中不能通过调整滤波器的时间参数以实现调整控制输入信号频带的局限性。

Description

一种自适应反馈保护动态面控制器结构及设计方法

技术领域

本发明涉及自适应控制技术领域，尤其涉及一类下三角不确定非线性系统的自适应反馈保护动态面控制器结构及设计方法。

背景技术

反推法（Backstepping）由于具有设计过程清晰，控制律容易推导等特点在不确定非线性系统的自适应控制器设计方面受到广泛重视与发展。然而，基于反推法设计的控制器存在一种缺陷，即“计算复杂性”问题。由于反推法在每步递推的过程中需要对虚拟控制律进行求导，导致控制器的项数随系统阶数的增长呈爆炸性增长，因而使得控制器结构形式复杂，大大增加了控制算法的计算负荷，不利于实际的工程应用。为了克服以上问题，美国控制学者Swaroop提出了动态面控制（Dynamic Surface Control，DSC）方法，通过引入低通滤波器对虚拟控制律进行估计，解决了不确定非线性系统因反推法设计带来的“计算复杂性”问题。近年来，大连海事大学王丹等将动态面与神经网络自适应控制技术相结合，提出了一种针对含未知非线性严格反馈单输入单输出系统的动态面神经网络自适应控制方法。随后，王丹等将该方法进一步拓展到含未知非线性仿射纯反馈三角形单输入单输出系统的情形。然而，基于反推法和动态面设计的控制器在求导与滤波的过程中容易使得控制信号陷入饱和，表现为在起始阶段容易产生较大的控制输入信号，系统的输入暂态性能较差，因此严重影响和制约了以上两种控制器设计方法的实际工程应用。

发明内容

为解决现有技术存在的上述问题，本发明要设计一种自适应反馈保护动态面控制结构及设计方法，不仅可以显著降低控制器的结构复杂性，而且可以避免产生较大的初始控制输入信号，从而极大地提高控制器的输入暂态性能。

为了实现上述目的，本发明的技术方案如下：一种自适应反馈保护动态面控制器结构，由n级子控制器组成，第1级子控制器的输入端与参考信号r相连，第1级子控制器的输出端α₂与第2级子控制器的输入端相连，依此类推，第i-1级子控制器的输出端α_i与第i级子控制器的输入端相连，直到第n-1级子控制器的输出端α_n与第n级子控制器的输入端相连，第n级子控制器的输出端u与被控系统的输入端相连；

所述的第i级子控制器由滤波器单元、比较器单元、线性控制单元、逼近器单元、反馈保护单元和求和器单元构成，滤波器单元的输入端与反馈保护单元的输出端和第i-1级子控制器的输出端相连；滤波器单元的一个输出端与求和器单元的输入端相连，其另一个输出端与比较器单元的输入端相连；比较器单元的输入端还与被控系统的状态相连、比较器单元的输出端分别与线性控制单元和逼近器单元的输入端相连；线性控制单元的输出端与求和器单元的输入端相连；逼近器单元的输入端还与被控系统的状态相连、逼近器单元的输出端与求和器单元的输入端相连；反馈保护单元的输入端分别与被控系统的状态和求和器单元的输出端相连；

所述的第n级子控制器由滤波器单元、比较器单元、线性控制单元、逼近器单元和求和器单元构成，滤波器单元的输入端与第n-1级子控制器的输出端相连；滤波器单元的一个输出端与求和器单元的输入端相连、其另一个输出端与比较器单元的输入端相连；比较器单元的输入端还与被控系统的状态相连；线性控制单元的输出端与求和器单元的输入端相连；逼近器单元的输入端还与被控系统的状态相连、其输出端与求和器单元的输入端相连；第n级子控制器的输出端u与被控系统的输入端相连；

所述的被控系统可由下列n阶下三角单输入单输出不确定非线性系统形式来描述：

其中x_i∈R为被控系统第i级子系统的状态；u∈R为被控系统的控制输入；为未知的非线性函数，

2≤i≤n；y∈R为被控系统的输出；所述的被控系统包括严格反馈和仿射纯反馈两类不确定非线性系统；所述的被控系统的控制目标是设计一种控制器u使得输出y跟踪一个外部参考信号r；

一种自适应反馈保护动态面控制器结构的设计方法，包括以下步骤：

A、第1级子控制器设计

A1、第1级滤波器单元：将第1级滤波器输入端分别与外部输入信号r和第1级反馈保护单元的输出信号v_h1相连，所述的输出信号v_h1经过下列滤波器

${\stackrel{\·}{x}}_{1r}=\frac{r-x_{1r}}{{\mathrm{\γ}}_1}-v_{h1}---\left(2\right)$

得到第1级滤波器单元的输出信号

和x_1r，其中γ₁>0为常值；

A2、第1级反馈保护单元：第1级反馈保护单元的输入端与被控系统中第2级子系统的状态x₂和第1级子控制器输出端信号α₂相连，所述的状态x₂和信号α₂经过下列变换

v_h1＝-(x₂-α₂)                        (3)

得到第1级反馈保护单元的输出信号v_h1；

A3、第1级比较器单元：第1级滤波器单元的输出信号x_1r和被控系统中第1级子系统的状态x₁与比较器单元的输入端相连，经下列变换得到比较器的输出端信号e₁

e₁=x₁-x_1r                             (4)

A4、第1级线性控制单元：第1级线性控制单元的输入端与比较器单元的输出端e₁相连，经过下列比例控制

α_dc1＝-k₁e₁                           (5)

得到第1级线性控制单元的输出端信号α_dc1，其中k₁>0为常数；

A5、第1级逼近器单元：第1级逼近器单元的一个输入端与被控系统前2级子系统的状态相连，另一个输入端与第1级比较器单元的输出端e₁相连；采用逼近器的主要目的在于对被控系统中的未知非线性

进行在线估计，所述的逼近器是神经网络、模糊系统或小波网络；所述的神经网络、模糊系统或小波网络对

进行在线逼近，则

可以表示为

统一形式，其中W_i∈R^1×s为权值矩阵，

为已知基函数组成的向量，其形式为

于是得到第1级逼近器单元的输出端信号

为权值W₁的估计矩阵并通过下列方程进行在线更新

其中k_w>0和Γ₁>0均为常数；

A6、第1级求和器单元：将第1级线性控制单元的输出端信号α_dc1、第1级逼近器单元的输出端信号α_ad1和第1级滤波器单元的输出端信号

与第1级求和器单元的输入端相连，得到第1级子控制器的输出端信号α₂

${\mathrm{\α}}_2={\mathrm{\α}}_{\mathrm{ad}1}+{\mathrm{\α}}_{\mathrm{dc}1}+{\stackrel{\·}{x}}_{1r}---\left(8\right)$

B、第i级子控制器设计

B1、第i级滤波器单元：第i级滤波器单元的一个输入端与第i-1级子控制器的输出端信号α_i相连，另一个输入端与第i级反馈保护单元的输出端信号v_hi相连，经过下列低通滤波器

${\stackrel{\·}{x}}_{\mathrm{ir}}=\frac{{\mathrm{\α}}_i-x_{\mathrm{ir}}}{{\mathrm{\γ}}_i}-v_{\mathrm{hi}}---\left(9\right)$

得到第i级滤波器单元的输出端信号

与x_ir，其中γ_i>0为常数，1<i＜n；

B2、第i级反馈保护单元：第i级反馈保护单元的一个输入端与被控系统中第i+1级子系统的状态x_i+1相连，另一个输入端与第i级子控制器的输出端信号α_i+1相连，所述的信号α_i+1与状态x_i+1经过下列变换

v_hi＝-(x_i+1-α_i+1)                        (10)

得到第i级反馈保护单元的输出端信号v_hi；

B3、第i级比较器单元：第i级滤波器单元的输出端信号x_1r和被控系统中第1级子系统的状态x₁与比较器单元的输入端相连，经下列变换

e_i＝x_i-x_ir                                (11)

得到第i级比较器单元的输出端信号e₁;

B4、第i级线性控制单元：第i级线性控制单元的输入端与比较器单元的输出端e_i相连，经过下列比例控制

α_dci＝-k_ie_i                              (12)

得到第i级线性控制单元的输出端信号α_dci，其中k_i>0为常数；

B5、第i级逼近器单元：与第一步D类似，第i级逼近器控制的一个输入端与被控系统前i+1级子系统的状态

相连，另一个输入端与第i级比较器单元的输出端信号e_i相连，经过下列逼近器

得到第i级逼近器单元的输出端信号α_adi，其中为Γ_i>0和k_w>0常数；

B6、第i级求和器单元：将第i级线性控制单元输出α_dci、第i级逼近器单元的输出α_adi和第i级滤波器单元的输出

与第i级求和器单元的输入端相连，经过下列变换

${\mathrm{\&alpha;}}_{i+1}={\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{adi}}+{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{dci}}+{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{\mathrm{ir}}---\left(15\right)$

得到第i级子控制器的输出端信号α_i+1；

重复步骤B1-B6递推设计得到第2到第n-1级子控制器结构；

C、第n级子控制器的设计

C1、第n级滤波器单元：将第n-1级子控制器的虚拟控制的输出信号α_n与第n级滤波器单元的输入端相连，经过下列低通滤波器

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{\mathrm{nr}}=\frac{{\mathrm{\&alpha;}}_n-x_{\mathrm{nr}}}{{\mathrm{\&gamma;}}_n}---\left(16\right)$

得到第n级滤波器的输出信号

与x_nr，其中γ_n>0为常数；

C2、第n级比较器单元：第n级比较器单元的一个输入端与第n级滤波器单元的输出端信号x_nr相连，另一个输入端与被控系统中第n级子系统的状态x_n，所述的信号x_nr和状态x_n经下列变换

e_n=x_n-x_nr                                (17)

得到第i级比较器单元的输出端信号e_n;

C3、第n级线性控制单元：第n级比较器单元的输出端信号e_n与第n级线性控制单元的输入端相连，所述的信号e_n经下列比例控制

α_dcn＝-k_ne_n                              (18)

得到第n级线性控制单元的输出信号α_dcn，其中k_n>0为常数；

C4、第n级逼近器单元：第n级逼近器单元的一个输入端与被控系统前n级子系统状态

相连，另一个输入端与第n级比较器单元的输出端信号e_n相连，所述的状态

和信号e_n经过下列逼近器

得到第n级逼近器单元的输出端信号α_adn，其中Γ_n>0为常数。

C5、第n级求和器单元：将第n级线性控制单元的输出信号α_dcn，第n-1级逼近器单元的输出信号α_adn和第n级滤波器单元的输出信号

与第n级求和器单元的输入端相连，所述的信号α_dcn，信号α_adn和信号

经过下列变换

$u={\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{adn}}+{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{dcn}}+{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{\mathrm{nr}}---\left(21\right)$

得到被控系统总的控制输入u。

本发明的有益效果是：

第一，本发明与基于反推法的控制器设计方法相比，由于避免了对虚拟控制律进行求导，因此显著降低了控制器的计算复杂性，减小控制算法的计算负荷，使得控制器有利于实际微处理器系统如单片机或数字信号处理器的实时计算。

第二，本发明与基于动态面的控制器设计方法相比，由于在动态面控制的基础上增加了反馈保护单元，一方面可以显著地提高控制器的输入暂态性能，使得该设计方法更有利于实际的工程应用；另一方面克服了动态面控制设计方法中不能通过调整滤波器的时间参数以实现调整控制输入信号频带的局限性。

第三，由于本发明结合了反馈保护技术与动态面控制技术，使得可以通过设计滤波器的时间常数对n-1级虚拟控制信号进行滤波，不仅可以使得控制信号具有良好的过渡过程，即控制输入信号不易陷入饱和，而且可以去除n-1级虚拟控制信号的抖颤。因此，通过调整n级滤波器的时间常数，可以避免产生较大的初始控制输入信号，最终保证第n级的控制输入信号在被控系统的执行频带内，减小驱动器因控制输入信号抖颤的带来的机械损坏。

第四，由于本发明将反馈保护滤波技术与逼近器技术相结合，使得允许选取较大的逼近器自适应控制参数而不会带来输入控制信号的高频振荡，因此可以实现对被控系统中不确定未知项的快速估计，在不牺牲控制器鲁棒性的同时保证所提控制器的跟踪性能。

附图说明

本发明共有附图5张，其中：

图1是自适应反馈保护动态面控制器结构示意图。

图2是自适应反馈保护动态面与自适应动态面输出响应的比较。

图3是自适应反馈保护动态面与自适应动态面输入信号的比较。

图4是去除反馈保护单元时的输出响应。

图5是去除反馈保护单元时控制输入信号u的历时曲线。

具体实施方式

下面以二阶不确定非线性系统为例对本发明进行进一步说明。

考虑下列二阶不确定非线性系统

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=f\left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)+x_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=f\left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\right)+u\\ y=x_1\end{array}\right.---\left(20\right)$

为仿真需要，设置与

为

$\left\{\begin{array}{c}f\left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)=x_1\sin x_1+{x_1}^2\cos x_1\\ f\left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\right)=x_2{x}_1+x_1\cos x_2+x_2^2\end{array}\right.---\left(21\right)$

在此例中，系统控制的目的是为了跟踪一个单位阶跃信号r。

针对该系统，根据图1可以设计如下控制器：

自适应反馈保护动态面控制器为

选择如下控制器的参数：

k₁=20,k₂=20,γ₁=2.5,γ₂=0.25,Γ₁=5000,Γ₂=5000,k_w=0.5

如采用动态面控制设计方法，控制器结构如下：

自适应动态面控制器为

在本发明中，引入低通滤波器

得到光滑的参考信号x_1r。为了得到与自适应反馈保护动态面控制器近乎相同的输出响应γ₁参数选择为γ₁＝1.25，自适应动态面控制器(23)中的其它参数选择如下：

k₁＝20，k₂＝20，γ₂＝0.005，Γ₁＝10，Γ₂＝10，k_w＝0.5

系统的输出响应如图2所示。从图中可观测到，在5秒时间内，自适应反馈保护动态控制器与自适应动态面控制器均达到对参考信号r的跟踪，响应过程无任何超调现象。但是，由图3中可以看出，与自适应动态面控制器相比，自适应反馈保护动态面控制器的输入控制信号动态过度过程更加平滑，并且起始阶段需要的控制能量更小，避免了控制信号陷入饱和的可能。因此，本发明提出的控制器结构的控制性能明显优于现有的控制算法。图4和图5分别对应去除自适应反馈保护动态面控制器中反馈保护单元后的输出响应和控制输入的历时曲线。由图中可看出，去除反馈保护滤波单元后系统的输出响应明显变差，并且控制输入信号出现了高频与大幅度的振荡。反过来可以得出结论，反馈保护技术可以明显提高系统的跟踪与暂态控制性能。此外，为了达到系统的跟踪性能，自适应动态面控制器中滤波器往往需要选择较小的滤波时间常数，因此不具有调节控制信号频带的能力；相反，反馈保护技术可以通过选取较大的时间常数，实现对控制信号的低通滤波，减小了控制器的控制输入抖颤，因此使得自适应反馈保护动态面技术更有利于实际的工程实现。

图2是自适应反馈保护动态面与自适应动态面输出响应的比较示意图。图中的实线代表跟踪信号r；图中的点线代表采用自适应反馈保护动态面控制器被控系统的输出y；图中的点虚线代表采用自适应动态面控制器时被控系统的输出y。

图3是自适应反馈保护动态面与自适应动态面输入信号的比较示意图。图中的实线表示采用自适应反馈保护动态面控制器时控制输入u的历时曲线；所述图中的点线表示采用自适应动态面控制器时控制输入u的历时曲线。

图4是去除反馈保护单元时的输出响应示意图。图中的点线代表跟踪信号r；图中的实线代表被控系统的输出y。

图5是去除反馈保护单元时控制输入信号u的历时曲线示意图。

Claims (2)

1.一种自适应反馈保护动态面控制器结构，由n级子控制器组成，第1级子控制器的输入端与参考信号r相连，第1级子控制器的输出端α₂与第2级子控制器的输入端相连，依此类推，第i-1级子控制器的输出端α_i与第i级子控制器的输入端相连，直到第n-1级子控制器的输出端α_n与第n级子控制器的输入端相连，第n级子控制器的输出端u与被控系统的输入端相连；

其特征在于：所述的第i级子控制器由滤波器单元、比较器单元、线性控制单元、逼近器单元、反馈保护单元和求和器单元构成，滤波器单元的输入端与反馈保护单元的输出端和第i-1级子控制器的输出端相连；滤波器单元的一个输出端与求和器单元的输入端相连，其另一个输出端与比较器单元的输入端相连；比较器单元的输入端还与被控系统的状态相连、比较器单元的输出端分别与线性控制单元和逼近器单元的输入端相连；线性控制单元的输出端与求和器单元的输入端相连；逼近器单元的输入端还与被控系统的状态相连、逼近器单元的输出端与求和器单元的输入端相连；反馈保护单元的输入端分别与被控系统的状态和求和器单元的输出端相连；

所述的第n级子控制器由滤波器单元、比较器单元、线性控制单元、逼近器单元和求和器单元构成，滤波器单元的输入端与第n-1级子控制器的输出端相连；滤波器单元的一个输出端与求和器单元的输入端相连、其另一个输出端与比较器单元的输入端相连；比较器单元的输入端还与被控系统的状态相连；线性控制单元的输出端与求和器单元的输入端相连；逼近器单元的输入端还与被控系统的状态相连、其输出端与求和器单元的输入端相连；第n级子控制器的输出端u与被控系统的输入端相连；

所述的被控系统可由下列n阶下三角单输入单输出不确定非线性系统形式来描述： 

其中x_i∈R为被控系统第i级子系统的状态；u∈R为被控系统的控制输入； 为未知的非线性函数， 

2≤i≤n；y∈R为被控系统的输出；所述的被控系统包括严格反馈和仿射纯反馈两类不确定非线性系统；所述的被控系统的控制目标是设计一种控制器u使得输出y跟踪一个外部参考信号r。

2.一种自适应反馈保护动态面控制器结构的设计方法，其特征在于：包括以下步骤：

A、第1级子控制器设计

A1、第1级滤波器单元：将第1级滤波器输入端分别与外部输入信号r和第1级反馈保护单元的输出信号v_h1相连，所述的输出信号v_h1经过下列滤波器

得到第1级滤波器单元的输出信号 

和x_1r，其中γ₁>0为常值；

A2、第1级反馈保护单元：第1级反馈保护单元的输入端与被控系统中第2级子系统的状态x₂和第1级子控制器输出端信号α₂相连，所述的状态x₂和信号α₂经过下列变换

v_h1＝-(x₂-α₂)            (3)

得到第1级反馈保护单元的输出信号v_h1；

A3、第1级比较器单元：第1级滤波器单元的输出信号x_1r和被控系统中第1级子系统的状态x₁与比较器单元的输入端相连，经下列变换得到比较器的输出端信号e₁

e₁＝x₁-x_1r                (4)

A4、第1级线性控制单元：第1级线性控制单元的输入端与比较器单元的输出端e₁相连，经过下列比例控制 

α_dc1＝-k₁e₁                (5)

得到第1级线性控制单元的输出端信号α_dc1，其中k₁>0为常数；

A5、第1级逼近器单元：第1级逼近器单元的一个输入端与被控系统前2级子系统的状态 

相连，另一个输入端与第1级比较器单元的输出端e₁相连；采用逼近器的主要目的在于对被控系统中的未知非线性 

进行在线估计，所述的逼近器是神经网络、模糊系统或小波网络；所述的神经网络、模糊系统或小波网络对 

进行在线逼近，则 

可以表示为 

统一形式，其中W_i∈R^1×s为权值矩阵， 为已知基函数组成的向量，其形式为 

于是得到第1级逼近器单元的输出端信号

为权值W₁的估计矩阵并通过下列方程进行在线更新

其中k_w>0和Γ₁>0均为常数；

A6、第1级求和器单元：将第1级线性控制单元的输出端信号α_dc1、第1级逼近器单元的输出端信号α_ad1和第1级滤波器单元的输出端信号 

与第1级求和器单元的输入端相连，得到第1级子控制器的输出端信号α₂

B、第i级子控制器设计

B1、第i级滤波器单元：第i级滤波器单元的一个输入端与第i-1级子控制器的输出端信号α_i相连，另一个输入端与第i级反馈保护单元的输出端信号v_hi相连，经过下列低通滤波器

得到第i级滤波器单元的输出端信号 

与x_ir，其中γ_i>0为常数，1<i＜n；

B2、第i级反馈保护单元：第i级反馈保护单元的一个输入端与被控系统中第i+1级子系统的状态x_i+1相连，另一个输入端与第i级子控制器的输出端信号α_i+1相连，所述的信号α_i+1与状态x_i+1经过下列变换

v_hi＝-(x_i+1-α_i+1)                    (10) 

得到第i级反馈保护单元的输出端信号v_hi；

B3、第i级比较器单元：第i级滤波器单元的输出端信号x_1r和被控系统中第1级子系统的状态x₁与比较器单元的输入端相连，经下列变换

e_i＝x_i-x_ir                        (11)

得到第i级比较器单元的输出端信号e₁;

B4、第i级线性控制单元：第i级线性控制单元的输入端与比较器单元的输出端e_i相连，经过下列比例控制

α_dci＝-k_ie_i                      (12)

得到第i级线性控制单元的输出端信号α_dci，其中k_i>0为常数；

B5、第i级逼近器单元：与第一步D类似，第i级逼近器控制的一个输入端与被控系统前i+1级子系统的状态 

相连，另一个输入端与第i级比较器单元的输出端信号e_i相连，经过下列逼近器

得到第i级逼近器单元的输出端信号α_adi，其中为Γ_i>0和k_w>0常数；

B6、第i级求和器单元：将第i级线性控制单元输出α_dci、第i级逼近器单元的输出α_adi和第i级滤波器单元的输出 与第i级求和器单元的输入端相连，经过下列变换

得到第i级子控制器的输出端信号α_i+1；

重复步骤B1-B6递推设计得到第2到第n-1级子控制器结构；

C、第n级子控制器的设计

C1、第n级滤波器单元：将第n-1级子控制器的虚拟控制的输出信号α_n与第n级滤波器单元的输入端相连，经过下列低通滤波器

得到第n级滤波器的输出信号 

与x_nr，其中γ_n>0为常数；

C2、第n级比较器单元：第n级比较器单元的一个输入端与第n级滤波器单 元的输出端信号x_nr相连，另一个输入端与被控系统中第n级子系统的状态x_n，所述的信号x_nr和状态x_n经下列变换

e_n=x_n-x_nr                        (17)

得到第i级比较器单元的输出端信号e_n;

C3、第n级线性控制单元：第n级比较器单元的输出端信号e_n与第n级线性控制单元的输入端相连，所述的信号e_n经下列比例控制

α_dcn＝-k_ne_n                     (18)

得到第n级线性控制单元的输出信号α_dcn，其中k_n>0为常数；

C4、第n级逼近器单元：第n级逼近器单元的一个输入端与被控系统前n级子系统状态 

相连，另一个输入端与第n级比较器单元的输出端信号e_n相连，所述的状态 

和信号e_n经过下列逼近器

得到第n级逼近器单元的输出端信号α_adn，其中Γ_n>0为常数。

C5、第n级求和器单元：将第n级线性控制单元的输出信号α_dcn，第n-1级逼近器单元的输出信号α_adn和第n级滤波器单元的输出信号 

与第n级求和器单元的输入端相连，所述的信号α_dcn，信号α_adn和信号 

经过下列变换

得到被控系统总的控制输入u。 

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