CN104749952A - 一种自适应动态面控制器结构及设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种自适应动态面控制器结构及设计方法，本发明在自适应动态面控制的基础上增加了误差反馈单元，虚拟给定信号能够根据反馈的跟踪误差信息进行调整，尤其当跟踪误差较大时，虚拟给定信号能够快速调整以减小跟踪误差，克服了由跟踪误差引起的控制系统暂态性能差的问题。误差反馈单元的引入，能够有效地避免执行器陷入饱和，并减小因控制输入信号抖颤给执行器带来的机械损坏；能够使得神经网络快速地光滑地逼近被控系统中的不确定性，在不牺牲控制器鲁棒性的同时保证控制系统的跟踪性能；误差反馈单元只在暂态过渡过程中发挥作用，所提出控制器设计方法在提高控制系统暂态性能的同时保证系统稳态性能。

Description

一种自适应动态面控制器结构及设计方法

技术领域

本发明涉及非线性系统控制领域，尤其涉及一种自适应动态面控制器结构及设计方法。

背景技术

针对非线性系统的控制问题，美国学者Swaroop等人提出了动态面控制(Dynamic Surface Control，DSC)方法，该方法能够适用于一大类非线性系统，且具有设计过程清晰，控制器结构简单等优点，因而得到了广泛的研究与应用。

中国学者王丹等人提出一种神经网络自适应动态面控制方法，解决了一类含高度不确定性的单输入单输出非线性系统控制问题；美国学者Song等人提出一种基于观测器的动态面自适应控制方法，实现了观测器与控制器的独立设计，适用于被控系统状态不完全可测的情形下；韩国学者Yoo等人将自适应动态面技术拓展到一类含有状态时滞的非线性系统中；中国学者佟绍成等人将动态面与模糊控制技术相结合，提出一种针对一类多输入多输出非线性系统的模糊自适应动态面控制方法；中国学者陈为胜等人提出一种基于逼近技术的动态面控制方法，能够解决一类含有周期性时变干扰的非线性系统控制问题。此外，动态面控制技术被广泛地用于各类实际系统中，如船舶系统、电力系统、机器人系统和飞行器系统等等。

然而，当被控系统中存在较大的不确定性时，现有的自适应动态面技术方案往往需要通过选取较大的自适应控制参数以减小跟踪误差。但在暂态过渡过程中，尤其是当跟踪误差较大时，自适应控制参数过大会引起控制信号的超调和高频振荡，严重时会导致执行器饱和或激发未建模动态，进而影响控制系统的稳定性。上述无法保证控制系统暂态性能的缺陷，严重制约了自适应动态面控制方法的发展与应用。

发明内容

为解决现有技术存在的上述问题，本发明要设计一种自适应动态面控制器结构及设计方法，可以实现对被控系统不确定性的快速自适应，避免产生较大的初始控制输入信号，在保证控制系统稳态性能的同时能够保证控制系统的暂态性能。

为了实现上述目的，本发明的技术方案如下：一种自适应动态面控制器结构，由n级子控制器组成，第1级子控制器的输入端与外部参考信号y_r相连，并与测量机构的输出端相连，第1级子控制器的输出端α₂与第2级子控制器的输入端相连；依此类推，第i级子控制器的输入端与第i-1级子控制器的输入端α_i相连，并与测量机构的输出端相连，第i级子控制器的输出端α_i与第i+1级子控制器的输入端相连；最后，第n级子控制器的输入端与第n-1级子控制器的输出端α_n相连，并与测量机构的输出端相连，第n级子控制器的输出端u与被控系统的输入端相连；

所述的第1级子控制器由滤波器单元、比较器单元、误差反馈单元、线性控制单元、逼近器单元和求和器单元构成；滤波器单元的输入端与外部参考信号y_r相连，还与误差反馈单元的输出端相连；滤波器单元的一个输出端与求和器单元的输入端相连，另一输出端与比较器单元的输入端相连；比较器单元的另一输入端与测量机构的输出端相连，比较器单元的输出端分别与线性控制单元、误差反馈单元和逼近器单元的输入端相连；线性控制单元的输出端与求和器单元的输入端相连；逼近器单元的输入端还与被控系统中测量机构的输出端相连，逼近器单元的输出端与求和器单元的输入端相连，求和器单元的输出端为第1级子控制器的输出端；

所述的第i级子控制器由滤波器单元、比较器单元、误差反馈单元、线性控制单元、逼近器单元和求和器单元构成，滤波器单元的输入端与第i-1级子控制器的输出信号相连，还与误差反馈单元的输出端相连；滤波器单元的一个输出端与求和器单元的输入端相连，另一输出端与比较器单元的输入端相连；比较器单元的另一输入端与测量机构的输出端相连，比较器单元的输出端分别与线性控制单元、误差反馈单元和逼近器单元的输入端相连；线性控制单元的输出端与求和器单元的输入端相连；逼近器单元的输入端还与测量机构的输出端相连，逼近器单元的输出端与求和器单元的输入端相连，求和器单元的输出端为第i级子控制器的输出端；

所述的第n级子控制器由滤波器单元、误差反馈单元、比较器单元、线性控制单元、逼近器单元和求和器单元构成，滤波器单元的输入端与第n-1级子控制器的输出信号相连，还与误差反馈单元的输出端相连；滤波器单元的一个输出端与求和器单元的输入端相连，另一输出端与比较器单元的输入端相连；比较器单元的另一输入端与测量机构的输出端相连，比较器单元的输出端分别与线性控制单元、误差反馈单元和逼近器单元的输入端相连；线性控制单元的输出端与求和器单元的输入端相连；逼近器单元的输入端还与测量机构的输出端相连，逼近器单元的输出端与求和器单元的输入端相连，求和器单元的输出端为第n级子控制器的输出端，与被控系统的输入端相连；

所述的被控系统由下列n阶不确定非线性系统形式来描述：

如果用R表示实数集合，那么式中x_i∈R表示被控系统第i级子系统的状态；u∈R为被控系统的控制输入；为未知的非线性函数，y∈R为被控系统的输出。

一种自适应动态面控制器结构的设计方法，包括以下步骤：

A、第1级子控制器设计

A1、第1级滤波器单元：第1级跟踪微分器接收外部参考信号y_r和第1级误差反馈单元的输出信号ν₁，接收到的信号经过下列变换：

${\stackrel{\·}{x}}_{1r}=\frac{y_r-x_{1r}}{{\mathrm{\γ}}_1}-v_1---\left(2\right)$

得到第1级滤波器单元的输出信号为估计变量x_1r及其导数其中γ₁＞0为常数；

A2、第1级比较器单元：第1级比较器单元分别接收由测量机构输出的被控系统中第1级子系统的状态信号x₁和第1级滤波器单元的输出信号估计变量x_1r，接收到的信号经过下列变换得到比较器单元的输出信号e₁：

e₁＝x₁-x_1r   (3)

A3、第1级误差反馈单元：第1级误差反馈单元接收第1级比较器单元的输出信号e₁，经过下列变换：

ν₁＝-κ₁e₁   (4)

得到第1级误差反馈单元的输出信号ν₁，其中κ₁＞0为常数；

A4、第1级线性控制单元：第1级线性控制单元接收比较器单元的输出信号e₁，经过下列比例控制：

α_dc1＝-k₁e₁   (5)

得到第1级线性控制单元的输出信号α_dc1，其中k₁＞0为常数；

A5、第1级逼近器单元：第1级逼近器单元分别接收由测量机构输出的被控系统前2级子系统的状态信号x₂和第1级比较器单元的输出信号e₁；

第1级逼近器单元的作用是对被控系统中第1级子系统中的未知非线性进行在线估计，所述的逼近器单元采用神经网络逼近算法，将表示为其中W₁∈R^1×s为权值矩阵，为已知基函数组成的向量；定义是W₁的估计，设计的更新率为：

其中Γ_W1＞0和k_W1＞0均为常数；

最后得到第1级逼近器单元的输出端信号如下：

A6、第1级求和器单元：第1级求和器单元分别接收第1级线性控制单元的输出信号α_dc1、第1级逼近器单元的输出信号α_ad1和第1级滤波器单元的输出信号估计变量的导数接收到的信号经过下列变换

${\mathrm{\α}}_2={\mathrm{\α}}_{\mathrm{dc}1}+{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ad}1}+{\stackrel{\·}{x}}_{1r}---\left(8\right)$

得到第1级子控制器的输出端信号α₂；

B、第i级子控制器设计

B1、第i级滤波器单元：第i级滤波器单元分别接收第i-1级子控制器的输出信号α_i和第i级误差反馈单元的输出信号ν_i，所述的输出信号ν_i经过下列变换：

${\stackrel{\·}{x}}_{\mathrm{ir}}=\frac{{\mathrm{\α}}_i-x_{\mathrm{ir}}}{{\mathrm{\γ}}_i}-v_i---\left(9\right)$

得到第i级滤波器单元的输出信号为估计变量x_ir及其导数其中γ_i＞0为常数；

B2、第i级比较器单元：第i级比较器单元分别接收由测量机构输出的被控系统中第i级子系统的状态信号x_i和第i级滤波器单元的输出信号估计变量x_ir，接收到的信号经下列变换得到比较器单元的输出端信号e_i：

e_i＝x_i-x_ir   (10)

B3、第i级误差反馈单元：第i级误差反馈单元接收第i级比较器单元的输出信号e_i相连，经过下列变换

ν_i＝-κ_ie_i   (11)

得到第i级误差反馈单元的输出信号ν_i，其中κ_i＞0为常数；

B4、第i级线性控制单元：第i级线性控制单元接收比较器单元的输出信号e_i，经过下列比例控制：

α_dci＝-k_ie_i   (12)

得到第i级线性控制单元的输出端信号α_dci，其中k_i＞0为常数；

B5、第i级逼近器单元：第i级逼近器单元分别接收由测量机构输出的被控系统前i+1级子系统的状态信号和第i级比较器单元的输出信号e_i；

第i级逼近器单元的作用是对被控系统中第i级子系统中的未知非线性进行在线估计，所述的逼近器单元采用神经网络逼近算法，将表示为其中W_i∈R^1×s为权值矩阵，为已知基函数组成的向量；定义是W_i的估计，设计的更新率为：

其中Γ_Wi＞0和k_Wi＞0均为常数；

最后得到第i级逼近器单元的输出信号如下：

B6、第i级求和器单元：第i级求和器单元分别接收第i级线性控制单元的输出信号α_dci、第i级逼近器单元的输出信号α_adi和第i级滤波器单元的输出信号估计变量的导数接收到的信号经过下列变换

${\mathrm{\α}}_{i+1}={\mathrm{\α}}_{\mathrm{dci}}+{\mathrm{\α}}_{\mathrm{adi}}+{\stackrel{\·}{x}}_{\mathrm{ir}}---\left(15\right)$

得到第i级子控制器的输出信号α_i+1；

重复步骤B1-B6递推设计得到第2级到第n-1级子控制器结构；

C、第n级子控制器设计

C1、第n级滤波器单元：第n级滤波器单元分别接收第n-1级子控制器的输出信号α_n和第n级误差反馈单元的输出信号ν_n，所述的输出信号ν_n经过下列变换：

${\stackrel{\·}{x}}_{\mathrm{nr}}=\frac{{\mathrm{\α}}_n-x_{\mathrm{nr}}}{{\mathrm{\γ}}_n}-v_n---\left(16\right)$

得到第n级滤波器单元的输出信号为估计变量x_nr及其导数其中γ_n＞0为常数；

C2、第n级比较器单元：第n级比较器单元分别接收由测量机构输出的被控系统中第n级子系统的状态信号x_n和第n级滤波器单元的输出信号估计变量x_nr，接收到的信号经下列变换得到比较器单元的输出端信号e_n：

e_n＝x_n-x_nr   (17)

C3、第n级误差反馈单元：第n级误差反馈单元接收第n级比较器单元的输出信号e_n相连，经过下列变换

ν_n＝-κ_ne_n   (18)

得到第n级误差反馈单元的输出信号ν_n，其中κ_n＞0为常数；

C4、第n级线性控制单元：第n级线性控制单元接收比较器单元的输出信号e_n，经过下列比例控制：

α_dcn＝-k_ne_n   (19)

得到第n级线性控制单元的输出端信号α_dcn，其中k_n＞0为常数；

C5、第n级逼近器单元：第n级逼近器单元分别接收由测量机构输出的被控系统前n级子系统的状态信号和第n级比较器单元的输出信号e_n；

与步骤B5类似，接收到的信号经过下列逼近器：

得到第n级逼近器的输出信号α_adn；

C6、第n级求和器单元：第n级求和器单元接收第n级线性控制单元的输出信号α_dcn、第n级逼近器单元的输出信号α_adn和第n级滤波器单元的输出信号估计变量的导数接收到的信号经过下列变换：

$u={\mathrm{\α}}_{\mathrm{dcn}}+{\mathrm{\α}}_{\mathrm{adn}}+{\stackrel{\·}{x}}_{\mathrm{nr}}---\left(22\right)$

得到被控系统总的控制输入u；选择合适参数，控制输入u能够使得被控系统的输出y跟踪给定的外部参考信号y_r。

与现有技术相比，本发明的有益效果是：

第一，由于本发明在自适应动态面控制的基础上增加了误差反馈单元，虚拟给定信号能够根据反馈的跟踪误差信息进行调整，尤其当跟踪误差较大时，虚拟给定信号能够快速调整以减小跟踪误差，从而克服了由跟踪误差引起的控制系统暂态性能差的问题。

第二，本发明由于误差反馈单元的引入，消除了自适应控制参数较大引起的输入信号高频振荡问题，有效地避免了执行器陷入饱和，提高了控制系统稳定性，同时保证控制输入信号在执行器的频带范围内，从而减小因控制输入信号抖颤给执行器带来的机械损坏。

第三，本发明由于误差反馈单元的引入，克服了当被控系统中存在大的不确定性时，传统自适应控制方法不能实现快速自适应的缺陷，使得神经网络能够快速地光滑地逼近被控系统中的不确定性，在不牺牲控制器鲁棒性的同时保证控制系统的跟踪性能。

第四，本发明的误差反馈单元只在暂态过渡过程中发挥作用，当控制系统稳定后，误差反馈值约等于零，即当控制系统稳定时被控系统状态跟踪理想虚拟给定信号，因此本发明提出控制器设计方法在保证控制系统暂态性能的同时保证系统稳态性能。

附图说明

本发明共有附图5张，其中：

图1是本发明的自适应动态面控制器结构示意图。

图2是本发明的自适应动态面(DSC-CF)控制器与传统自适应动态面(DSC)控制器的输出响应的比较。

图3是本发明的自适应动态面控制器与传统自适应动态面控制器的神经网络逼近效果的比较。

图4是本发明的自适应动态面控制器与传统自适应动态面控制器的神经网络逼近效果的比较。

图5是本发明的自适应动态面控制器与传统自适应动态面控制器的控制输入信号的比较。

具体实施方式

下面以二阶不确定非线性系统为例对本发明进行进一步说明。

考虑下列二阶不确定非线性系统

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=f_1\left({\stackrel{\‾}{x}}_2\right)+x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=f_2\left({\stackrel{\‾}{x}}_2\right)+u\\ y=x_1\end{array}\right.---\left(23\right)$

为仿真需要，设置与为

$\left\{\begin{array}{c}{f}_1\left({\stackrel{\‾}{x}}_2\right)=x_1^3+x_2^2\sin \left(x_1\right)\\ f_2\left({\stackrel{\‾}{x}}_2\right)=2x_1^2+x_1{x}_2+x_2\cos \left(x_1\right)\end{array}\right.---\left(24\right)$

在此例中，外部参考信号y_r是一个正弦信号，被控系统状态初始值设为x₁₀＝1。

针对该系统，根据图1可以设计如下控制器：

第1级子控制器：

第2级子控制器：

选择如下控制器的参数：

γ₁＝0.005,γ₂＝0.005,κ₁＝1,κ₂＝1,k₁＝5,k₂＝5,Γ_W1＝50,Γ_W2＝50,k_W1＝0.001,k_W2＝0.001；

如采用传统自适应动态面控制设计方法，控制器结构如下：

第1级子控制器：

第2级子控制器：

控制器参数的选择与本发明的自适应动态面控制器中一致。

仿真结果如图2-5所示。图2所示的是本发明的自适应动态面(DSC-CF)控制器与传统自适应动态面(DSC)控制器的输出响应的比较，可以看出本发明的自适应动态面控制器输出响应更加平滑。图3和图4所示的是本发明的自适应动态面(DSC-CF)控制器与传统自适应动态面(DSC)控制器的神经网络逼近效果的比较，可以明显看出，传统自适应动态面控制器在暂态过渡阶段出现了高频振荡的现象，且振幅较大，而本发明的自适应动态面控制器则能够快速准确的跟踪被控系统不确定性，显著改善了神经网络暂态学习效果，另外在稳态阶段两种控制方法效果相同。图5是本发明的自适应动态面(DSC-CF)控制器与传统自适应动态面(DSC)控制器的控制输入u的比较，图中能够明显看出，相比于传统自适应动态面控制器，本发明的自适应动态面控制器的控制输入信号动态过度过程平滑，起始阶段需要的控制能量小，避免了控制信号陷入饱和的可能，同时有效消除了控制输入抖颤问题。综上所述，本发明提出的自适应动态面控制算法的控制性能明显优于现有的传统自适应动态面控制算法。

Claims (2)

1.一种自适应动态面控制器结构，由n级子控制器组成，其特征在于：第1级子控制器的输入端与外部参考信号y_r相连，并与测量机构的输出端相连，第1级子控制器的输出端α₂与第2级子控制器的输入端相连；依此类推，第i级子控制器的输入端与第i-1级子控制器的输入端α_i相连，并与测量机构的输出端相连，第i级子控制器的输出端α_i与第i+1级子控制器的输入端相连；最后，第n级子控制器的输入端与第n-1级子控制器的输出端α_n相连，并与测量机构的输出端相连，第n级子控制器的输出端u与被控系统的输入端相连；

所述的第1级子控制器由滤波器单元、比较器单元、误差反馈单元、线性控制单元、逼近器单元和求和器单元构成；滤波器单元的输入端与外部参考信号y_r相连，还与误差反馈单元的输出端相连；滤波器单元的一个输出端与求和器单元的输入端相连，另一输出端与比较器单元的输入端相连；比较器单元的另一输入端与测量机构的输出端相连，比较器单元的输出端分别与线性控制单元、误差反馈单元和逼近器单元的输入端相连；线性控制单元的输出端与求和器单元的输入端相连；逼近器单元的输入端还与被控系统中测量机构的输出端相连，逼近器单元的输出端与求和器单元的输入端相连，求和器单元的输出端为第1级子控制器的输出端；

所述的第i级子控制器由滤波器单元、比较器单元、误差反馈单元、线性控制单元、逼近器单元和求和器单元构成，滤波器单元的输入端与第i-1级子控制器的输出信号相连，还与误差反馈单元的输出端相连；滤波器单元的一个输出端与求和器单元的输入端相连，另一输出端与比较器单元的输入端相连；比较器单元的另一输入端与测量机构的输出端相连，比较器单元的输出端分别与线性控制单元、误差反馈单元和逼近器单元的输入端相连；线性控制单元的输出端与求和器单元的输入端相连；逼近器单元的输入端还与测量机构的输出端相连，逼近器单元的输出端与求和器单元的输入端相连，求和器单元的输出端为第i级子控制器的输出端；

所述的第n级子控制器由滤波器单元、误差反馈单元、比较器单元、线性控制单元、逼近器单元和求和器单元构成，滤波器单元的输入端与第n-1级子控制器的输出信号相连，还与误差反馈单元的输出端相连；滤波器单元的一个输出端与求和器单元的输入端相连，另一输出端与比较器单元的输入端相连；比较器单元的另一输入端与测量机构的输出端相连，比较器单元的输出端分别与线性控制单元、误差反馈单元和逼近器单元的输入端相连；线性控制单元的输出端与求和器单元的输入端相连；逼近器单元的输入端还与测量机构的输出端相连，逼近器单元的输出端与求和器单元的输入端相连，求和器单元的输出端为第n级子控制器的输出端，与被控系统的输入端相连；

所述的被控系统由下列n阶不确定非线性系统形式来描述：

如果用R表示实数集合，那么式中x_i∈R表示被控系统第i级子系统的状态；u∈R为被控系统的控制输入；为未知的非线性函数，y∈R为被控系统的输出。

2.一种自适应动态面控制器结构的设计方法，其特征在于：包括以下步骤：

A、第1级子控制器设计：

A1、第1级滤波器单元：第1级跟踪微分器接收外部参考信号y_r和第1级误差反馈单元的输出信号ν₁，接收到的信号经过下列变换：

${\stackrel{\·}{x}}_{1r}=\frac{y_r-x_{1r}}{{\mathrm{\γ}}_1}-v_1---\left(2\right)$ 得到第1级滤波器单元的输出信号为估计变量x_1r及其导数其中γ₁＞0为常数；

A2、第1级比较器单元：第1级比较器单元分别接收由测量机构输出的被控系统中第1级子系统的状态信号x₁和第1级滤波器单元的输出信号估计变量x_1r，接收到的信号经过下列变换得到比较器单元的输出信号e₁：

e₁＝x₁-x_1r                  (3)

A3、第1级误差反馈单元：第1级误差反馈单元接收第1级比较器单元的输出信号e₁，经过下列变换：

ν₁＝-κ₁e₁               (4)得到第1级误差反馈单元的输出信号ν₁，其中κ₁＞0为常数；

A4、第1级线性控制单元：第1级线性控制单元接收比较器单元的输出信号e₁，经过下列比例控制：

α_dc1＝-k₁e₁              (5)得到第1级线性控制单元的输出信号α_dc1，其中k₁＞0为常数；

A5、第1级逼近器单元：第1级逼近器单元分别接收由测量机构输出的被控系统前2级子系统的状态信号和第1级比较器单元的输出信号e₁；

第1级逼近器单元的作用是对被控系统中第1级子系统中的未知非线性进行在线估计，所述的逼近器单元采用神经网络逼近算法，将表示为其中W₁∈R^1×s为权值矩阵，为已知基函数组成的向量；定义是W₁的估计，设计的更新率为：

其中和k_W1＞0均为常数；

最后得到第1级逼近器单元的输出端信号如下：

A6、第1级求和器单元：第1级求和器单元分别接收第1级线性控制单元的输出信号α_dc1、第1级逼近器单元的输出信号α_ad1和第1级滤波器单元的输出信号估计变量的导数接收到的信号经过下列变换

${\mathrm{\α}}_2={\mathrm{\α}}_{\mathrm{dc}1}+{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ad}1}+{\stackrel{\·}{x}}_{1r}---\left(8\right)$ 得到第1级子控制器的输出端信号α₂；

B、第i级子控制器设计：

B1、第i级滤波器单元：第i级滤波器单元分别接收第i-1级子控制器的输出信号α_i和第i级误差反馈单元的输出信号ν_i，所述的输出信号ν_i经过下列变换：

${\stackrel{\·}{x}}_{\mathrm{ir}}=\frac{{\mathrm{\α}}_i-x_{\mathrm{ir}}}{{\mathrm{\γ}}_i}-v_i---\left(9\right)$ 得到第i级滤波器单元的输出信号为估计变量x_ir及其导数其中γ_i＞0为常数；

B2、第i级比较器单元：第i级比较器单元分别接收由测量机构输出的被控系统中第i级子系统的状态信号x_i和第i级滤波器单元的输出信号估计变量x_ir，接收到的信号经下列变换得到比较器单元的输出端信号e_i：

e_i＝x_i-x_ir                   (10)

B3、第i级误差反馈单元：第i级误差反馈单元接收第i级比较器单元的输出信号e_i相连，经过下列变换

ν_i＝-κ_ie_i                  (11)得到第i级误差反馈单元的输出信号ν_i，其中κ_i＞0为常数；

B4、第i级线性控制单元：第i级线性控制单元接收比较器单元的输出信号e_i，经过下列比例控制：

α_dci＝-k_ie_i                    (12)得到第i级线性控制单元的输出端信号α_dci，其中k_i＞0为常数；

B5、第i级逼近器单元：第i级逼近器单元分别接收由测量机构输出的被控系统前i+1级子系统的状态信号和第i级比较器单元的输出信号e_i；

第i级逼近器单元的作用是对被控系统中第i级子系统中的未知非线性进行在线估计，所述的逼近器单元采用神经网络逼近算法，将表示为其中W_i∈R^1×s为权值矩阵，为已知基函数组成的向量；定义是W_i的估计，设计的更新率为：

其中和k_Wi＞0均为常数；

最后得到第i级逼近器单元的输出信号如下：

B6、第i级求和器单元：第i级求和器单元分别接收第i级线性控制单元的输出信号α_dci、第i级逼近器单元的输出信号α_adi和第i级滤波器单元的输出信号估计变量的导数接收到的信号经过下列变换

${\mathrm{\α}}_{i+1}={\mathrm{\α}}_{\mathrm{dci}}+{\mathrm{\α}}_{\mathrm{adi}}+{\stackrel{\·}{x}}_{\mathrm{ir}}---\left(15\right)$ 得到第i级子控制器的输出信号α_i+1；

重复步骤B1-B6递推设计得到第2级到第n-1级子控制器结构；

C、第n级子控制器设计：

C1、第n级滤波器单元：第n级滤波器单元分别接收第n-1级子控制器的输出信号α_n和第n级误差反馈单元的输出信号ν_n，所述的输出信号ν_n经过下列变换：

${\stackrel{\·}{x}}_{\mathrm{nr}}=\frac{{\mathrm{\α}}_n-x_{\mathrm{nr}}}{{\mathrm{\γ}}_n}-v_n---\left(16\right)$ 得到第n级滤波器单元的输出信号为估计变量x_nr及其导数其中γ_n＞0为常数；

C2、第n级比较器单元：第n级比较器单元分别接收由测量机构输出的被控系统中第n级子系统的状态信号x_n和第n级滤波器单元的输出信号估计变量x_nr，接收到的信号经下列变换得到比较器单元的输出端信号e_n：

e_n＝x_n-x_nr                       (17)

C3、第n级误差反馈单元：第n级误差反馈单元接收第n级比较器单元的输出信号e_n相连，经过下列变换

ν_n＝-κ_ne_n                     (18)得到第n级误差反馈单元的输出信号ν_n，其中κ_n＞0为常数；

C4、第n级线性控制单元：第n级线性控制单元接收比较器单元的输出信号e_n，经过下列比例控制：

α_dcn＝-k_ne_n                  (19)得到第n级线性控制单元的输出端信号α_dcn，其中k_n＞0为常数；

C5、第n级逼近器单元：第n级逼近器单元分别接收由测量机构输出的被控系统前n级子系统的状态信号和第n级比较器单元的输出信号e_n；

与步骤B5类似，接收到的信号经过下列逼近器：

得到第n级逼近器的输出信号α_adn；

C6、第n级求和器单元：第n级求和器单元接收第n级线性控制单元的输出信号α_dcn、第n级逼近器单元的输出信号α_adn和第n级滤波器单元的输出信号估计变量的导数接收到的信号经过下列变换：

$u={\mathrm{\α}}_{\mathrm{dcn}}+{\mathrm{\α}}_{\mathrm{adn}}+{\stackrel{\·}{x}}_{\mathrm{nr}}---\left(22\right)$ 得到被控系统总的控制输入u；选择合适参数，控制输入u能够使得被控系统的输出y跟踪给定的外部参考信号y_r。