CN105306193B - 应用于保密系统的带有未知参数的复混沌系统有限时间同步滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了应用于保密系统的带有未知参数的复混沌系统有限时间同步滑模控制方法。针对同步中的一个复驱动系统和一个复响应系统同步模型，研究了在有限时间内通过滑模控制实现复驱动系统与复响应系统的同步。基于Lyapunov稳定性理论，结合自适应律和有限时间内的滑模控制方法，设计滑模控制器，促使有限时间内到达给定的滑模控制面，使得复系统实现混沌同步。带有未知参数的复混沌系统采用复变量使得变量加倍，密钥空间增大，破译者更加难破译，提高保密通信的安全性。有限时间的控制同步，大大提高控制效率，节省了大量的时间和精力,有一定的优越性。

Description

应用于保密系统的带有未知参数的复混沌系统有限时间同步 滑模控制方法

技术领域

本发明涉及信号处理及保密通信领域，尤其涉及带有未知参数的复混沌系统有限时间同步的滑模控制方法。

背景技术

现有混沌实系统进行同步大多都是为一对一的同步控制，而Haeri等人考虑采用滑模变结构控制实现两个混沌系统同步，这种方法只有在混沌系统到达指定滑模面上才能实现混沌同步,在系统趋近给定滑模面阶段很难实现混沌同步。基于此，Tavazoei等人设计终端滑模控制面,混沌系统直接到达给定的滑模面，确保混沌系统实现同步，这样避免趋近滑模控制面的运动过程，有较强的鲁棒性和较好的稳定性。

随着研究的深入，发现切换的控制向量很容易破坏混沌系统的性能，使系统产生不利的抖振现象。Roopaei等人为解决这个问题，考虑外界的干扰和参数的不确定情况下，结合模糊控制策略，有效地实现混沌系统同步，并顺利避免抖振现象的发生。尤其是带有未知参数的复混沌系统采用使得变量加倍，密钥空间增大，虽然能使得破译者更加难破译,提高保密通信的安全性。但是，在现实中同步耗费的时间越短，越有利于现实工程中的应用，所以如何使带有未知参数的复混沌系统在有限时间内完成同步的是亟待解决的问题。

发明内容

本发明的目的是提供一种带有未知参数的复混沌系统有限时间同步的滑模控制方法，使有限时间内带有未知参数的复混沌系统到达滑模面，确保两个带有未知参数的复混沌系统实现同步。

本发明采用下述技术方案：

带有未知参数的复混沌系统有限时间同步滑模控制方法，其特征在于：包括以下步骤：

A：首先针对两个有未知参数的复混沌系统中其中一个带有未知参数的复混沌系统作为驱动系统，另一个有未知参数的复混沌系统作为响应系统，然后驱动系统和响应系统对应作差，得到误差系统；

B：然后设计合适的终端滑模控制面使误差系统达到期望的滑动模态：参数控制律和选择有限时间内的滑模控制律，满足误差系统在有限时间内到达条件，确保误差系统有限时间内滑模控制的实现；

C：最后将参数控制律和有限时间内的滑模控制律加载在响应系统上，实现带有未知参数的复混沌系统有限时间同步的滑模控制。

步骤A中所述的驱动系统和响应系统分别表示如下：

驱动系统

其中，x(t)＝[x₁,x₂,…,x_n]^T是驱动系统(1)的状态向量，且状态向量x＝x^r+jxⁱ， F(x)是n×n的复矩阵，且矩阵的元素是复变量函数，f＝(f₁,f₂,…,f_n)^T是非线性的复向量函数，A＝(a₁,a₂,…,a_n)^T是系统实向量参数，右上的脚码r和i分别代表复状态向量的实部和虚部；

响应系统

其中，y(t)＝[y₁,y₂,…,y_n]^T是响应系统(2)的状态向量，且状态向量y＝y^r+jyⁱ， G(y)是n×n的复矩阵，且矩阵的元素是复变量函数，g＝(g₁,g₂,…,g_n)^T是非线性的复向量函数，B＝(b₁,b₂,…,b_n)^T是系统实向量参数，所设计的控制器是υ＝υ^r+jυⁱ，υ₁＝v₁+jv₂，υ₂＝v₃+jv₄，...，υ_n＝v_2n-1+jv_2n，其中υ^r＝(v₁,v₃,…,v_2n-1)，υⁱ＝(v₂,v₄,…,v_2n)；

令状态变量x₁＝u₁+ju₂，x₂＝u₃+ju₄，...，x_n＝u_2n-1+ju_2n，则向量 x^r＝(u₁,u₃,…,u_2n-1)，xⁱ＝(u₂,u₄,…,u_2n)^T，驱动系统进一步整理为

令状态变量y₁＝u′₁+ju′₂，y₂＝u′₃+ju′₄，...，y_n＝u′_2n-1+ju′_2n，则向量 y^r＝(u′₁,u′₃,…,u′_2n-1)，yⁱ＝(u′₂,u′₄,…,u′_2n)^T，响应系统为

所述的步骤B具体包括以下步骤：

首先定义驱动系统(1)和响应系统(2)的误差为e(t)，所述的e(t)为e(t)＝x(t)-y(t)，x(t)＝[x₁,x₂,…,x_n]^T是驱动系统(1)的状态向量，y(t)＝[y₁,y₂,…,y_n]^T是响应系统(2)的状态向量；在常数T＝T(e(0))>0时，使得且当t≥T时，||e(t)||≡0，则称驱动系统(1)和响应系统(2)在有限时间T内完成同步；其中||·||表示是矩形范数。

所述的滑模控制器的设计包括两个步骤：

首先，设计合适的终端滑模控制面使它到达期望的滑模动态；具有积分形式的终 端滑模面设计如下：k＝1,2,…, 2n,其中，s_k(t)∈R， p_k>0和0<σ<1是常数，sgn(·)表示符号函数。

其次，选择合适的控制律，

满足有限时间 内到达条件，确保有限时间混沌同步实现。

合适的参数自适应律为

其中，参数λ＝[p₁s₁,p₃s₃,…,p_2n-1s_2n-1,p₂s₂,p₄s₄,…,p_2ns_2n]^T，μ,ξ_A和ξ_B是正常数,和分别是自适应参数和的初始值。

所述的误差系统在有限时间内到达滑模面的到达时间为：

本发明基于Lyapunv稳定性理论，结合自适应律和有限时间内滑模控制方法，设计滑模控制器，促使有限时间内到达滑模面，使得两个混沌复系统实现同步。滑模变结构控制方法对于被控混沌系统的不确定参数和外界扰动具有很强的鲁棒性，因此本发明运用滑模控制的方法，实现有限时间的复系统同步，而且通过仿真结果验证了该方法的正确性和有效性。

附图说明

图1为本发明的流程图；

图2复Lorenz系统和复Chen系统第一个状态变量实部的有限时间同步仿真曲线图；

图3复Lorenz系统和复Chen系统第一个状态变量虚部的有限时间同步仿真曲线图；。

图4复Lorenz系统和复Chen系统第二个状态变量实部的有限时间同步仿真曲线图；

图5复Lorenz系统和复Chen系统第二个状态变量虚部的有限时间同步仿真曲线图；

图6复Lorenz系统和复Chen系统第三个状态变量的有限时间同步同步仿真曲线图；

图7复Lorenz系统未知参数的辨识过程仿真曲线图；

图8复Chen系统未知参数的辨识过程仿真曲线图；

具体实施方式

如图1所示，一种带有未知参数的复混沌系统有限时间同步滑模控制的方法，包括以下步骤：

A：首先针对两个带有未知参数的复混沌系统中其中一个带有未知参数的复混沌系统作为驱动系统，另一个带有未知参数的复混沌系统作为响应系统，然后驱动系统和响应系统对应作差，得到误差系统；

B：然后设计合适的终端滑模控制面使误差系统达到期望的滑动模态：参数控制律和选择有限时间内的滑模控制律，满足误差系统在有限时间内到达条件，确保误差系统有限时间内滑模控制的实现；

C：最后将参数控制律和有限时间内的滑模控制律加载在响应系统上，实现带有未知参数的复混沌系统有限时间同步的滑模控制。

步骤A中所述的驱动系统和响应系统分别表示如下：

驱动系统

其中，x(t)＝[x₁,x₂,…,x_n]^T是驱动系统(1)的状态向量，且状态向量x＝x^r+jxⁱ， F(x)是n×n的复矩阵，且矩阵的元素是复变量函数，f＝(f₁,f₂,…,f_n)^T是非线性的复向量函数，A＝(a₁,a₂,…,a_n)^T是系统实向量参数，右上的脚码r和i分别代表复状态向量的实部和虚部；

响应系统

其中，y(t)＝[y₁,y₂,…,y_n]^T是响应系统(2)的状态向量，且状态向量y＝y^r+jyⁱ， G(y)是n×n的复矩阵，且矩阵的元素是复变量函数，g＝(g₁,g₂,…,g_n)^T是非线性的复向量函数，B＝(b₁,b₂,…,b_n)^T是系统实向量参数，所设计的控制器是υ＝υ^r+jυⁱ，υ₁＝v₁+jv₂，υ₂＝v₃+jv₄，...，υ_n＝v_2n-1+jv_2n，其中υ^r＝(v₁,v₃,…,v_2n-1)，υⁱ＝(v₂,v₄,…,v_2n)；

令状态变量x₁＝u₁+ju₂，x₂＝u₃+ju₄，...，x_n＝u_2n-1+ju_2n，则向量 x^r＝(u₁,u₃,…,u_2n-1)，xⁱ＝(u₂,u₄,…,u_2n)^T，驱动系统进一步整理为

令状态变量y₁＝u′₁+ju′₂，y₂＝u′₃+ju′₄，...，y_n＝u′_2n-1+ju′_2n，则向量 y^r＝(u′₁,u′₃,…,u′_2n-1)，yⁱ＝(u′₂,u′₄,…,u′_2n)^T。响应系统为

所述的步骤C具体包括以下步骤：

首先定义驱动系统(1)和响应系统(2)的误差为e(t)，所述的e(t)为 e(t)＝x(t)-y(t)，x(t)＝[x₁,x₂,…,x_n]^T是驱动系统(1)的状态向量，y(t)＝[y₁,y₂,…,y_n]^T是响应系统(2)的状态向量；在常数T＝T(e(0))>0时，使得且当t≥T时，||e(t)||≡0，则称驱动系统(1)和响应系统(2)在有限时间T内完成同步；其中||·||表示是矩形范数。

所述的滑模控制器的设计包括两个步骤：

首先，设计合适的终端滑模控制面使它到达期望的滑模动态；具有积分形式的终 端滑模面设计如下：k＝1,2,…,2n,其中，s_k (t)∈R，p_k>0和0<σ<1是常数，sgn(·)表示符号函数。

其次，选择合适的控制律，

满足有限时间内到达条件， 确保有限时间混沌同步实现，

合适的参数自适应律为

其中，参数λ＝[p₁s₁,p₃s₃,…,p_2n-1s_2n-1,p₂s₂,p₄s₄,…,p_2ns_2n]^T，μ,ξ_A和ξ_B是正常数,和分别是自适应参数和的初始值。

所述的误差系统在有限时间内到达滑模面的到达时间为：

以下对其能够在有限时间内达到滑模面：选择正定的Lyapunov函数为

其中，和是参数误差(显然，)。

通过对V(t)求导，得到

将代入上式(9)，得

动态系统的误差为

误差进一步整理为

将等式(12)的实部与虚部分开，误差系统写为

将等式(13)、(14)、自适应律(7)和代入到等式(11)，可得

由于

上式(16)整理为

等式(15)整理为

将等式(5)和(6)代入(18)式，可得

由于

(20)式可写为

将等式(21)代入式(19)，可得

根据 可得

依据假设：若未知参数A和B是有界的，即

||A||≤ξ_A，||B||≤ξ_B，

其中，ξ_A和ξ_B是正常数。可得

可推得

根据(25)式可得

根据sgn(s_2k-1)＝|s_2k-1|/s_2k-1和sgn(s_2k)＝|s_2k|/s_2k，可推导出

依据引理，对于实常数a₁,a₂,…,a_n∈R，则不等式恒成立：

可得

因此，误差e_k(t)将在有限时间内 收敛到滑模面s_k(t)＝0。以上证明完毕。

以下以举例例子简要证明：本发明中所述得控制器的设计也可以应用到具有不同 的初值的两个相同带有未知参数的复混沌系统。系统(1)和(2)满足 f_k(·)＝g_k(·)和F_k (·)＝G_k(·),k＝1,2,…,n，具体地说，

其中，控制输入(23)包含s_2k-1/||S₁||²，s_2k/||S₂||²和sgn(s_k)＝|s_k|/s_k(k＝1,2,…,2n)，抖振现象就会发生。为避免这类现象的发生，分别采用s_2k-1/||S₁+ε||²，s_2k/||S₂+ε||²和 sgn(s_k)＝|s_k/|(s_k+ε)(k＝1,2,…,2n)代替s_2k-1/||S₁||²，s_2k/||S₂||²和 sgn(s_k)＝|s_k|/s_k(k＝1,2,…,2n)，其中ε>0是足够小的常数。

以下以具体例子举例说明：复Lorenz系统和复Chen系统作为实例进行验证所设计方案的有效性和正确性。复Lorenz系统是驱动系统，复Chen系统是响应系统。复Lorenz驱动系统

复Chen响应系统

根据等式(1)，(2)，将(29)，(30)式改写为如下形式：

其中，

向量x＝(x₁,x₂,x₃)^T和向量y＝(y₁,y₂,y₃)^T分别是驱动系统(48)和响应系统(49)的状态向量，A＝(a₁,a₂,a₃)^T和B＝(b₁,b₂,b₃)^T是两个未知参数向量，v₁,v₂,v₃,v₄,v₅是五个控制输入。

假设σ＝1/3,p₁＝1,p₂＝2,p₃＝3,p₄＝4,p₅＝5，滑模控制面为

选择ξ_A和ξ_B是100，σ₁＝σ₂＝σ₃＝σ₄＝σ₅＝2是切换增益，则μ＝min{2,4,6,8,10}＝2。误差动力学方程为

参数自适应律为

驱动系统和响应系统的初始化状态分别为(x₁,x₂,x₃)＝(3+2j,1+3j,1)和 (y₁,y₂,x₃)＝(0.1+0.1j,0.1+0.1j,0.1)。估计参数的初始值为和

状态变量的同步时间响应和自适应参数分别如图所示：图2复Lorenz系统和复Chen系统第一个状态变量实部的有限时间同步；随着t→∞时，复Lorenz系统的第一个状态变量实部在有限时间内和复Chen系统第一个状态变量实部实现同步。

图3复Lorenz系统和复Chen系统第一个状态变量虚部的有限时间同步；随着t→∞时，复Lorenz系统的第一个状态变量虚部在有限时间内和复Chen系统第一个状态变量虚部实现同步。

图4复Lorenz系统和复Chen系统第二个状态变量实部的有限时间同步；随着t→∞时，复Lorenz系统的第二个状态变量实部在有限时间内和复Chen系统第一个状态变量实部实现同步。

图5复Lorenz系统和复Chen系统第二个状态变量虚部的有限时间同步；随着t→∞时，复Lorenz系统的第二个状态变量虚部在有限时间内和复Chen系统第一个状态变量虚部实现同步。

图6复Lorenz系统和复Chen系统第三个状态变量的有限时间同步；随着 t→∞时，复Lorenz系统的第三个状态变量在有限时间内和复Chen系统第三个状态变量实现同步。

图7复Lorenz系统未知参数的辨识过程。表示随着t→∞时，未知参量的估计值收敛到a₁＝10,a₂＝28,a₃＝8/3。

图8复Chen系统未知参数的辨识过程。表示随着t→∞时，未知参量的估计值收敛到b₁＝28,b₂＝22,b₃＝1。图2-图6表示混沌复系统(29)和(30)的同步状态时间响应。图7和图8表示未知参量的估计值和分别收敛到 a₁＝10,a₂＝28,a₃＝8/3和b₁＝28,b₂＝22,b₃＝1。由以上仿真结果可明确看出复混沌系统的有限时间达到了同步。

Claims (2)

1.应用于保密系统的带有未知参数的复混沌系统有限时间同步滑模控制方法，其特征在于：包括以下步骤：

A：首先针对两个有未知参数的复混沌系统中其中一个带有未知参数的复混沌系统作为驱动系统，驱动系统为信息的发送端；另一个有未知参数的复混沌系统作为响应系统，响应系统为信息的接收端，然后驱动系统和响应系统对应作差，得到误差系统；

步骤A中所述的驱动系统和响应系统分别表示如下：

驱动系统

其中，x(t)＝[x₁,x₂,…,x_n]^T是驱动系统(1)的状态向量，且状态向量x＝x^r+jxⁱ，F(x)是n×n的复矩阵，且矩阵的元素是复变量函数，f＝(f₁,f₂,…,f_n)^T是非线性的复向量函数，A＝(a₁,a₂,…,a_n)^T是系统实向量参数，右上的脚码r和i分别代表复状态向量的实部和虚部；

响应系统

其中，y(t)＝[y₁,y₂,…,y_n]^T是响应系统(2)的状态向量，且状态向量y＝y^r+jyⁱ，G(y)是n×n的复矩阵，且矩阵的元素是复变量函数，g＝(g₁,g₂,…,g_n)^T是非线性的复向量函数，B＝(b₁,b₂,…,b_n)^T是系统实向量参数，所设计的控制器是υ＝υ^r+jυⁱ，υ₁＝v₁+jv₂，υ₂＝v₃+jv₄，…，υ_n＝v_2n-1+jv_2n，其中υ^r＝(v₁,v₃,…,v_2n-1)，υⁱ＝(v₂,v₄,…,v_2n)；

令状态变量x₁＝u₁+ju₂，x₂＝u₃+ju₄，…，x_n＝u_2n-1+ju_2n，则向量x^r＝(u₁,u₃,…,u_2n-1)，xⁱ＝(u₂,u₄,…,u_2n)^T，驱动系统进一步整理为

令状态变量y₁＝u′₁+ju′₂，y₂＝u′₃+ju′₄，...，y_n＝u′_2n-1+ju′_2n，则向量y^r＝(u′₁,u′₃,…,u′_2n-1)，yⁱ＝(u′₂,u′₄,…,u′_2n)^T，响应系统为

B：然后设计合适的终端滑模控制面使误差系统达到期望的滑动模态：参数控制律和选择有限时间内的滑模控制律，满足误差系统在有限时间内到达条件，确保误差系统有限时间内滑模控制的实现；

所述的步骤B具体包括以下步骤：首先定义驱动系统(1)和响应系统(2)的误差为e(t)，所述的e(t)为e(t)＝x(t)-y(t)，x(t)＝[x₁,x₂,…,x_n]^T是驱动系统(1)的状态向量，y(t)＝[y₁,y₂,…,y_n]^T是响应系统(2)的状态向量；在常数T＝T(e(0))＞0时，使得且当t≥T时，||e(t)||≡0，则称驱动系统(1)和响应系统(2)在有限时间T内完成同步；其中||·||表示是矩形范数；

滑模控制器的设计包括两个步骤：

首先，设计合适的终端滑模控制面使误差系统到达期望的滑模动态；具有积分形式的终端滑模控制面设计如下：k＝1,2,…,2n,其中，s_k(t)∈R，p_k＞0和0＜σ＜1是常数，sgn(·)表示符号函数；

其次，选择合适的滑模控制律，

满足有限时间内到达条件，确保有限时间混沌同步实现；合适的参数控制律为

其中，参数λ＝[p₁s₁,p₃s₃,…,p_2n-1s_2n-1,p₂s₂,p₄s₄,…,p_2ns_2n]^T，μ,ξ_A和ξ_B是正常数,和分别是自适应参数和的初始值；

C：最后将参数控制律和有限时间内的滑模控制律加载在响应系统上，实现带有未知参数的复混沌系统有限时间同步的滑模控制。

2.根据权利要求1所述的应用于保密系统的带有未知参数的复混沌系统有限时间同步滑模控制方法，其特征在于：所述的误差系统在有限时间内到达滑模控制面的到达时间为：