CN105549381B - 一种基于吸引律的离散重复控制方法 - Google Patents

Abstract

一种基于吸引律的离散重复控制方法，给定环节产生周期对称的参考信号；构造周期反馈环节；基于有限时间反双曲余弦吸引律构造出理想误差动态；依据理想误差动态，构造e/v信号转换模块，其输出信号用于离散重复控制器的修正量；继而计算出重复控制器的输出信号作为伺服对象的输入，使伺服系统跟随参考信号变化。本发明提供一种时域设计的、兼有良好的控制精度以及完全抑制周期干扰信号的基于吸引律的离散重复控制方法。

Description

一种基于吸引律的离散重复控制方法

技术领域

本发明涉及周期参考/干扰信号下的重复控制器，适用于工业控制中的离散重复控制方法。

背景技术

目前的重复控制技术主要集中于基于内模原理的频域分析与设计方法，这种控制方法通过在稳定的闭环系统中“嵌入”周期信号产生器，形成一个含周期时延机制的正反馈环节，通过对前一个周期控制经验的积累形成控制作用，解决周期参考信号的跟踪或周期干扰信号的抑制问题。这种控制技术的应用背景包括电力电子线路、电机伺服系统以及其它重复运行过程。

对于连续时间系统，重复控制器需构造周期为T的任意周期信号内模它是一个纯时延正反馈环节。这种含纯时延环节的正反馈控制系统可产生任意(周期由延迟时间常数确定的)周期信号；构造无限维闭环系统，在虚轴上存在无限多个极点。当采用离散时滞内模时，闭环系统为有限维。

实际工业控制中采用计算机控制技术，控制算法多是以离散形式实现。离散重复控制器设计主要有两种途径：一种是通过对连续重复控制器离散化得到；另一种是直接针对离散时间系统进行设计。取采样周期T_s，使得参考信号周期为采样周期的整数倍，记每个周期中的采样点个数为N，即T＝NT_s。这样，离散周期信号内模为因此，实现离散周期内模时所需的内存量和控制器计算量取决于N的大小，也即取决于采样周期T_s。

时滞内模的有限阶近似、或有限阶内模已引起人们的研究兴趣。例如，连续内模的有限维近似方法、梳妆滤波器方法，以有限阶多项式建模的拟前馈方法也被作为离散延迟内模。更简单的情形是，针对正弦信号的跟踪/抑制问题，只构造正弦内模便可达目的。现有的重复控制器设计多是在频域中进行的，由于信号对称性表现在时域中，对于更为复杂的对称性信号并不能进行有效处理。

发明内容

为了消除常规控制器设计中采用断续函数带来的抖振问题，本发明提出一种有限时间吸引律，依据有限时间吸引律设计出离散重复控制器，这种重复控制技术不仅能够跟踪上给定的周期参考信号，而且可以实现对周期干扰信号的完全抑制。

本发明解决上述技术问题采用的技术方案是：

一种基于吸引律的离散重复控制方法，所述控制方法包括以下步骤：

1)给定周期为N的参考信号，满足

r_k＝±r_k-N (1)

其中，r_k，r_k-N分别为k时刻和k时刻对应前一周期的参考信号；

2)依据参考信号的周期特性，构造如下等效干扰：

其中，w_k，w_k-N分别为k时刻和k时刻对应前一周期的干扰信号；d_k为k时刻的等效干扰信号；

3)基于反双曲余弦函数的吸引律，其具体形式为

其中，ρ＞0，ε＞0，δ＞0；e(t)为跟踪误差信号，arcosh(·)是反双曲余弦函数，式(3)是有限时间吸引律，其收敛时间为

其中，e(0)为初始跟踪误差信号；

有限时间连续吸引律(3)的离散化形式为

其中，sgn(·)为符号函数，e_k＝r_k-y_k表示k时刻的跟踪误差；ρ、ε为表达吸引速度的两个常数，δ为反双曲余弦函数斜率系数且可调节arcosh(·)的函数值和变化率，其取值范围为：ε＞0，0＜ρ＜1，δ＞0；

系统中干扰项w_k一般不能严格满足对称条件，只是w_k的周期部分呈现周期对称特性。因此，当w_k存在非周期干扰成分时，d_k≠0，跟踪控制目的是在有限时间内，使得系统跟踪误差收敛至原点的一个邻域内，并一直停留在这一邻域内，为了达到这一控制目标，考虑等效干扰d_k对e_k的影响，修正吸引律(5)，构造如下具有干扰抑制作用的理想误差动态：

上述也即“嵌入”了干扰抑制措施的吸引律；

依据理想误差动态(6)，重复控制器的表达式为

式中，a₁,…,a_n,b₁,…,b_m(b₁≠0,n≥m)为伺服系统

的系统参数，y_k+1和y_k+1-i分别表示k+1，k+1-i时刻的输出信号，i＝1,2,…,n，u_k+1-i表示k+1-i时刻的控制输入信号(i＝1,2,…,m)，w_k+1为k+1时刻的干扰信号；

进一步，所述重复控制器(7)也可表达成

u_k＝±u_k-N+v_k (9)

其中，

将u_k作为伺服对象的控制输入信号，可量测获得伺服系统输出信号y_k，跟随参考信号r_k变化；

进一步，所述重复控制器的可调参数包括ρ，ε，δ，其参数整定可根据表征系统跟踪误差收敛性能和稳态性能的指标进行，表征系统跟踪误差收敛性能和稳态性能的指标包括单调减区域边界Δ_MDR，绝对吸引层边界Δ_AAL，稳态误差带边界Δ_SSE；

单调减区域Δ_MDR表示为：

Δ_MDR＝max{Δ_MDR1,Δ_MDR2} (11)

式中，Δ_MDR1，Δ_MDR2为正实数，由下式确定

其中，Δ为等效干扰d_k的界值；

绝对吸引层Δ_AAL表示为：

Δ_AAL＝max{Δ_AAL1,Δ_AAL2} (13)

式中，Δ_MDR1，Δ_MDR2为正实数，且满足

稳态误差带Δ_SSE取值依据Δ_AAL来确定，如下：

a.当时

Δ_SSE＝Δ_AAL (15)

b.当时

c.当Δ_AAL≥x₂时

Δ_SSE＝Δ_AAL

其中，x₂为方程

的正实根。

本发明的技术构思为：提出一种有限时间离散吸引律，用于周期参考/干扰信号下伺服系统的重复控制器设计。引入的重复控制是基于跟踪周期信号和抑制周期干扰信号思想，根据干扰信号在时域上的周期对称特性，设计基于反双曲余弦吸引律的离散重复控制器，是一种时域设计方法。时域设计方法在设计重复控制器时具有独到的地方，设计出的控制器更简洁、直观，能够便于现有的时域干扰观测技术相结合，它不同于普遍采用的频域设计方法。

本发明的控制效果主要表现在：兼有快速的跟踪误差收敛、干扰抑制性能和高控制精度。

附图说明

图1是离散重复控制系统的内模方框图。

图2是满足r_k＝±r_k-N的周期对称信号示意图。

图3是重复控制系统方框图。

图4是采用反双曲余弦重复控制器的永磁同步电机控制系统方框图。

图5是永磁同步电机伺服系统原理结构简图。

图6是基于吸引律方法的控制系统设计流程图。

图7是sgn(e_k)和的比较图。

图8是参考信号满足r_k＝±r_k-N的重复控制系统方框图。

图9是反双曲余弦重复控制器方框图。

图10是永磁同步电机控制系统干扰w_k的示意图。

图11是永磁同步电机控制系统等效干扰d_k的示意图。

图12是当控制器参数ρ＝0.1，ε＝0.3，δ＝1时，边界层Δ_MDR，Δ_AAL，Δ_SSE示意图。

图13是当控制器参数ρ＝0.2，ε＝0.2，δ＝1时，边界层Δ_MDR，Δ_AAL，Δ_SSE示意图。

图14是反馈控制器作用下永磁同步电机控制系统实验：图14(a)是位置输出信号，图14(b)是等效干扰信号，图14(c)是位置误差信号，图14(d)是位置误差信号直方图，其中控制器参数为ρ＝0.3，ε＝2.6×10^-4，δ＝1.3×10^-3。

图15是重复控制器作用下永磁同步电机控制系统实验：图15(a)是位置输出信号，图15(b)是等效干扰信号，图15(c)是位置误差信号，图15(d)是位置误差信号直方图，其中控制器参数为ρ＝0.3，ε＝2.6×10^-4，δ＝1.3×10^-3。

具体实施方式

下面结合附图对本发明具体实施方式做进一步描述。

参照图2～图15，一种基于吸引律的离散重复控制方法，采用基于有限时间反双曲余弦吸引律的离散重复控制器，包括如下步骤：

1)给定周期为N的参考信号，满足

r_k＝±r_k-N (1)

其中，r_k，r_k-N分别为k时刻和k时刻对应前一周期的参考信号。

2)依据参考信号的周期特性，构造如下等效干扰：

其中，w_k，w_k-N分别为k时刻和k时刻对应前一周期的干扰信号；d_k为k时刻的等效干扰信号。定义跟踪误差e_k＝r_k-y_k；

3)考虑离散时间系统的输入输出特性差分方程模型

其中，y_k+1和y_k+1-i分别表示k+1，k+1-i时刻的输出信号，i＝1,2,…,n，u_k+1-i表示k+1-i时刻的控制输入信号(i＝1,2,…,m)，w_k+1为k+1时刻的干扰信号；a₁,…,a_n,b₁,…,b_m为系统模型参数，其参数可通过机理建模或实验建模获得。

由系统(3)和跟踪误差定义知，

式中，e_k+1表示k+1时刻的跟踪误差信号；y_k+1，y_k+1-N，y_k+1-i，y_k+1-i-N分别表示k+1，k+1-N，k+1-i，k+1-i-N时刻的输出信号；u_k+1-i，u_k+1-i-N分别表示k+1-i，k+1-i-N时刻的参考信号；w_k+1-N为k+1-N时刻的干扰信号。将w_k+1-w_k+1-N表达为

记等效干扰d_k+1＝w_k+1-w_k+1-N，

4)构造理想误差动态

系统(3)中干扰项w_k+1一般不能严格满足对称条件，只是w_k+1的周期部分呈现周期对称特性。因此，当w_k+1存在非周期干扰成分时，d_k≠0。跟踪控制目的是在有限时间内，使得系统跟踪误差收敛至原点的一个邻域内，并一直停留在这一邻域内。为了达到这一控制目标，考虑等效干扰d_k对e_k的影响，修正吸引律，构造如下理想误差动态

上述也即“嵌入”了干扰抑制作用的有限时间反双曲余弦吸引律。

将式(5)代入式(6)，可得

化简后

式(8)也可表达成

u_k＝±u_k-N+v_k (9)

式中，

将u_k作为伺服对象的控制输入信号，可量测获得伺服系统输出信号y_k，跟随参考信号r_k变化。

进一步，所述重复控制器的可调参数包括ρ，ε，δ，其参数整定可根据表征系统跟踪误差收敛性能和稳态性能的指标进行，表征系统跟踪误差收敛性能和稳态性能的指标包括单调减区域边界Δ_MDR，绝对吸引层边界Δ_AAL，稳态误差带边界Δ_SSE；

单调减区域Δ_MDR表示为：

Δ_MDR＝max{Δ_MDR1,Δ_MDR2} (11)

式中，Δ_MDR1，Δ_MDR2为正实数，由下式确定

其中，Δ为等效干扰d_k的界值；

绝对吸引层Δ_AAL表示为：

Δ_AAL＝max{Δ_AAL1,Δ_AAL2} (13)

式中，Δ_MDR1，Δ_MDR2为正实数，且满足

稳态误差带Δ_SSE取值依据Δ_AAL来确定，如下：

c.当时

Δ_SSE＝Δ_AAL (15)

d.当时

c.当Δ_AAL≥x₂时

Δ_SSE＝Δ_AAL

其中，x₂为方程

的正实根。

对上述离散重复控制器设计做以下说明：

1)在有限时间吸引律中引入d_k+1反映了对于已知周期的周期干扰信号的抑制措施。

2)式(8)，(10)中，y_k+1-i，y_k+1-N-i，i＝1,2,…,m均可通过量测得到，u_k+1-i，u_k+1-N-i，i＝1,2,…,n为控制信号的存储值，可从内存中读取。

3)本发明给出的吸引律方法也适用于常值参考信号(r_k＝r_k-1)下的反馈控制。等效干扰为其控制器如下：

2)由于采用反双曲余弦函数，式(12)、(14)、(16)为超越方程，无法给出各个界的解析解；但对于某具体控制过程，所列的界是常值，可以给出各个界的数值解，并据此表征系统跟踪误差的收敛性能和稳态性能。

3)上述重复控制器针对二阶离散时间系统(1)给出，按照相同的设计步骤，也可以给出高阶系统的设计结果。

实例：以电机伺服系统执行重复跟踪任务为例，其给定位置参考信号具有周期对称特性，电机采用三环控制，其中速度环和电流环控制器均由ELMO驱动器提供，而本发明设计的重复控制器作为电机三环控制系统中的位置环控制器，其由TMS320F2812开发板提供。

对于具有周期对称特性的位置参考信号，当伺服系统进入稳态阶段，系统干扰项也会呈现相同的周期对称特性。为了设计基于有限时间反双曲余弦吸引律的离散重复控制器，在实施例中给定位置参考信号为正弦信号，满足

r_k＝r_k-N

设计位置环控制器需建立除位置环以外的伺服对象的数学模型，包括电流环、速度环、功率驱动器、电机本体以及检测装置(见图5)。利用最小二乘法获得伺服对象的数学模型为

y_k+1＝-a₁y_k-a₂y_k-1+b₁u_k+b₂u_k-1+w_k+1 (18)

其中，y_k，u_k分别为电机系统的位置输出和控制输入信号，w_k为系统干扰信号。系统模型参数为

a₁＝-1.5001,a₂＝0.4987,b₁＝2.8786,b₂＝-0.4113

由于本实施例以正弦信号作为系统的位置参考信号，重复控制器可采用式(9)的给出的控制器形式，其具体表达式可写成

该实施例中将分别通过数值仿真和电机实验说明本发明专利给出重复控制器的有效性。

(1)数值仿真

电机的位置信号为r_k＝10sin(2πfT_sk)rad，频率f＝0.5Hz，采样周期T_s＝0.01s，周期N＝200。系统干扰信号选取为周期干扰信号和非周期干扰信号的叠加(见图10)，具体形式如下：

w_k＝-2sin(2kπ/N)+0.1×(-1)^fix(k/200)(-1)^fix(k/20)×(0.7sgn(mod(k,30)-9.5)+0.3) (20)

在重复控制器(19)作用下，控制器参数(ρ，ε，δ)选取不同的值，系统(18)的绝对吸引层边界Δ_AAL、单调减区域边界Δ_MDR和稳态误差带边界Δ_SSE将呈现不同的情况，如图12-13所示。

a.控制器参数选取为ρ＝0.2，ε＝0.2，δ＝1，有Δ_AAL＝Δ_SSE＝0.2747，Δ_MDR＝0.4879，仿真见图12。

b.控制器参数选取为ρ＝0.1，ε＝0.3，δ＝1，有Δ_AAL＝0.2046，Δ_SSE＝0.2406，Δ_MDR＝0.5604，仿真见图13。

上述数值仿真结果验证了本专利给出系统跟踪误差的绝对吸引层边界Δ_AAL、单调减区域边界Δ_MDR和稳态误差带边界Δ_SSE。

(2)实验结果

实验所用的永磁同步电机控制系统的方框图见图4。给定的参考信号为一正弦信号r_k＝Asin(2πfT_sk)。其中，幅值A＝π/2，频率f＝0.25Hz，采样周期T_s＝5ms，周期N＝800。

1)伺服电机反馈控制实验结果

反馈控制器可采用式(17)给出的控制器形式，其具体表达式可写成

采用伺服电机反馈控制，如式(21)所示，系统位置实际输出与跟踪误差曲线如图14所示。

当ρ＝0.3，ε＝2.6×10^-4，δ＝1.3×10^-3时，实验结果如图14所示。实验中得到d_k的数据并取d_k的上、下界为±0.0012。因此，等效干扰d_k的界值为Δ＝0.0012。由此可知，Δ_AAL＝Δ_SSE＝Δ_MDR＝0.0025。系统跟踪误差在一个采样周期(T_s＝5ms)之后收敛进入|e_k|≤2.5×10^-3rad的邻域内，但少数点位于8×10^-4rad≤|e_k|≤2.5×10^-3rad范围内。

2)伺服电机重复控制实验结果

重复控制器可采用式(19)给出的控制器形式，其具体表达式可写成

采用伺服电机重复控制，如式(22)所示，系统位置实际输出与跟踪误差曲线如图15所示。

当ρ＝0.3，ε＝2.6×10^-4，δ＝1.3×10^-3时，实验结果如图15所示。实验中得到d_k的数据并取d_k的上、下界为±0.0007。因此，等效干扰d_k的界值为Δ＝0.0007。由此可知，Δ_SSE＝Δ_AAL＝0.0012，Δ_MDR＝0.0015。系统跟踪误差在一个信号周期(T＝4s)之后收敛进入|e_k|≤1.2×10^-3rad的邻域内，但少数点位于7×10^-4rad≤|e_k|≤1.2×10^-3rad范围内。

实验结果表明，采用基于反双曲余弦吸引律的离散重复控制器能够达到预期控制效果，实现了快速、有效地抑制电机系统在执行伺服周期跟踪任务时出现的周期干扰信号，从而提高了系统控制精度；也验证了本专利关于系统收敛性能和稳态性能的绝对吸引层边界Δ_AAL、单调减区域边界Δ_MDR和稳态误差带边界Δ_SSE。

Claims (3)

1.一种基于吸引律的离散重复控制方法，其特征在于：所述控制方法包括以下步骤：

1)给定周期为N的参考信号，满足

r_k＝±r_k-N (1)

其中，r_k，r_k-N分别为k时刻和k时刻对应前一周期的参考信号；

2)依据参考信号的周期特性，构造如下等效干扰：

其中，w_k，w_k-N分别为k时刻和k时刻对应前一周期的干扰信号；d_k为k时刻的等效干扰信号；

3)基于反双曲余弦函数的吸引律，其具体形式为

<mrow> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;rho;</mi> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>cosh</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>&amp;delta;</mi> </mfrac> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>sgn</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>e</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，0＜ρ＜1，ε＞0，δ＞0；e(t)为跟踪误差信号，arcosh(·)是反双曲余弦函数，式(3)是有限时间吸引律，其收敛时间为

<mrow> <mi>t</mi> <mo>&lt;</mo> <mfrac> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>&amp;delta;</mi> </mfrac> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>l</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>&amp;delta;</mi> </mfrac> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>&amp;delta;</mi> </mfrac> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msqrt> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mfrac> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>&amp;delta;</mi> </mfrac> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，e(0)为初始跟踪误差信号；

有限时间连续吸引律(3)的离散化形式为

<mrow> <msub> <mi>e</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>cosh</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mi>&amp;delta;</mi> </mfrac> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>sgn</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，sgn(·)为符号函数，e_k＝r_k-y_k表示k时刻的跟踪误差；ρ、ε为表达吸引速度的两个常数，δ为反双曲余弦函数斜率系数且可调节arcosh(·)的函数值和变化率，其取值范围为：ε＞0，0＜ρ＜1，δ＞0；

考虑等效干扰d_k对e_k的影响，修正吸引律(5)，构造如下具有干扰抑制作用的理想误差动态：

<mrow> <msub> <mi>e</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>cosh</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mi>&amp;delta;</mi> </mfrac> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>sgn</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

依据理想误差动态(6)，重复控制器的表达式为

式中，a₁,…,a_n,b₁,…,b_m(b₁≠0,n≥m)为伺服系统

<mrow> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <msub> <mi>b</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>w</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

的系统参数，y_k+1，y_k+1-i，y_k+1-N，y_k+1-N-i分别表示k+1，k+1-i，k+1-N，k+1-N-i时刻的输出信号，i＝1,2,…,n，u_k+1-i，u_k-N，u_k+1-N-i分别表示k+1-i，k-N，k+1-N-i时刻的控制输入信号(i＝1,2,…,m)，w_k+1为k+1时刻的干扰信号；r_k+1为k+1时刻的参考信号。

2.如权利要求1所述的一种基于吸引律的离散重复控制方法，其特征在于：所述重复控制器(7)也可表达成

u_k＝±u_k-N+v_k (9)

其中，

将u_k作为伺服对象的控制输入信号，可量测获得伺服系统输出信号y_k，跟随参考信号r_k变化。

3.如权利要求1或2所述的一种基于吸引律的离散重复控制方法，其特征在于：所述重复控制器的可调参数包括ρ，ε，δ，其参数整定根据表征系统跟踪误差收敛性能和稳态性能的指标进行，表征系统跟踪误差收敛性能和稳态性能的指标包括单调减区域边界Δ_MDR，绝对吸引层边界Δ_AAL，稳态误差带边界Δ_SSE；

单调减区域边界Δ_MDR表示为：

Δ_MDR＝max{Δ_MDR1,Δ_MDR2} (11)

式中，Δ_MDR1，Δ_MDR2为正实数，由下式确定

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;rho;&amp;Delta;</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>D</mi> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>cosh</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>D</mi> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>&amp;delta;</mi> </mfrac> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>)</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>D</mi> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>cosh</mi> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>D</mi> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mi>&amp;delta;</mi> </mfrac> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，Δ为等效干扰d_k的界值；

绝对吸引层边界Δ_AAL表示为：

Δ_AAL＝max{Δ_AAL1,Δ_AAL2} (13)

式中，Δ_MDR1，Δ_MDR2为正实数，且满足

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mrow> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>A</mi> <mi>A</mi> <mi>L</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>h</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mrow> <mi>A</mi> <mi>A</mi> <mi>L</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>&amp;delta;</mi> </mfrac> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>)</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mrow> <mi>A</mi> <mi>A</mi> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>cosh</mi> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mrow> <mi>A</mi> <mi>A</mi> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mi>&amp;delta;</mi> </mfrac> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

稳态误差带边界Δ_SSE取值依据Δ_AAL来确定，如下：

a.当时

Δ_SSE＝Δ_AAL (15)

b.当时

<mrow> <msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mrow> <mi>S</mi> <mi>S</mi> <mi>E</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msqrt> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>)</mo> <mi>&amp;delta;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>h</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msqrt> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>)</mo> <mi>&amp;delta;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

c.当Δ_AAL≥x₂时

Δ_SSE＝Δ_AAL

其中，x₂为方程

<mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>)</mo> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>cosh</mi> <mo>(</mo> <mfrac> <mi>x</mi> <mi>&amp;delta;</mi> </mfrac> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>)</mo> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>(</mo> <msqrt> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>)</mo> <mi>&amp;delta;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>cosh</mi> <mo>(</mo> <msqrt> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>)</mo> <mi>&amp;delta;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow>

的正实根。